第13讲 导数及其运算

[思路 紧扣导数定义，正确理解增量 的实质． 思路] 紧扣导数定义，正确理解增量∆x的实质 的实质． 思路 [答案 答案] 答案 B
[解析 根据导数定义，分子中 的增量应与分母相同，故选 解析]根据导数定义 分子中x0的增量应与分母相同 故选B. 的增量应与分母相同， 解析 根据导数定义，
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f′(x0)或y′|x＝ f′(x0)或y′|x＝x0
0 0 ∆x→0
∆x→0
lim
1．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ．一般地，函数 ＝ 在 ＝ 处的瞬时变化率是 f(x ＋∆x)－f(x ) ( ) (
0 0
∆x
∆x
________
导函数
∆x→0
____， ____，即f′(x0)＝ ＝______________________. ＝
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[解答 (1)y′＝[ln( x2＋1)]′＝ 解答] 解答 ′ ′ ＝
2
1 ( x2＋1)′ ′ x ＋1
2
1 1 (x2＋1)′ × ′ x ＋ 1 2 x 2＋ 1 2x x . ＝ 2 2＝x2 ＋1 2( x ＋1) ( ) 1＋cos(2x2－2x) ＋ ( ) (2)∵y＝cos2(x2－x)＝ ∵ ＝ ＝ 2 2 ( ) 1 cos(2x －2x) ＝ ＋ ， 2 2 1 cos(2x2－2x) ( ) 1 ′ ＝ － (2x2 － 2x)′· sin(2x2 － 2x) ＝ (1 － ∴ y′ ＝ ＋ ′ ′ 2 2 2 2 2x)sin(2x －2x)． ． π π － (3)y′＝(e－2x)′sin3x－3＋e－2xsin3x－3 ′ ′ ′ － [点评 对复合函数求导，应分 点评] 点评 对复合函数求导， π π －2x π －2x ＝(－2x)′e sin3x－ ＋3x－ ′e cos3x－ － ′ － － － 3 3 3 析清楚复合函数的复合层次， 析清楚复合函数的复合层次， π π － 2x －2x － ＝－2e sin3x－3 ＋3e cos3x－3பைடு நூலகம் ＝－
2
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► 探究点1 探究点 导数的概念
例1 函数f(x)在x＝x0处可导，用f′(x0)表示下列各式： 函数 在 ＝ 处可导， ′ 表示下列各式： 表示下列各式 f(x0＋2∆x)－f(x0) ( ) ( (1)lim ＝________； ； ∆x→0 ∆x f(x0＋h)－f(x0－h) ( ) ( ) (2)lim ＝________. h→0 h
导数
2．当x变化时，f′(x)是x的一个函数，我们称它为 ． 变化时， 的一个函数， 变化时 是 的一个函数 我们称它为f(x)的________， 的________，
∆x
简称______，有时也记作 ， 简称______，有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝________________. ______ f((x)) ＝ ＝ f(x＋∆x)－ ( ＋ )
[点评 利用导数定义解题，要充分体会导数定义的实质，表达 点评] 利用导数定义解题，要充分体会导数定义的实质， 点评 式不同，但表达的实质可能相同．比如下面的变式题： 式不同，但表达的实质可能相同．比如下面的变式题：
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相等的是( 下列式子中与 f′(x0)相等的是 ′ 相等的是 f(x0)－f(x0－2∆x) ( ( ) (1)li∆x→0 m ； 2∆x f(x0＋∆x)－f(x0－∆x) ( ) ( ) (2)li∆x→0 m ； ∆x f(x0＋2∆x)－f(x0＋∆x) ( ) ( ) (3)li∆x→0 m ； ∆x f(x0＋∆x)－f(x0－2∆x) ( ) ( ) (4)li∆x→0 m . ∆x A．(1)(2) B．(1)(3) ． ． C．(2)(3) ． D．(1)(2)(3)(4) ． )
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__________________，我们称它为函数 ＝ lim f((在 ∆x))－f(x ) 处的导数 x＋ ＝ 处的导数， __________________，我们称它为函数y＝f(x)在x＝(x0处的导数，记作
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求下列函数的导数： 例 3 求下列函数的导数： (1)y＝a ＋x ； ＝ (3)y＝elnxlgx； ＝ ；
x a
x－x5 － (2)y＝ ＝ ； x2 x2 (4)y＝ . ＝ sinx
[解答 (1)y′＝(ax)′＋(xa)′＝axlna＋axa－1； 解答] 解答 ′ ′ ′ ＋ 5 x－x － 3 3 (2)y＝ ＝ x2 ＝x－2－x3， y′＝(x－2)′－(x3)′＝ － ∴ ′ － ′ ′ 3 5 － x－ －3x2； － 2 2 1 (3)y＝elnxlgx＝xlgx，y′＝(xlgx)′＝lgx＋ ＝ ， ′ ′ ＋ ； ＝ ln10 x2 2xsinx－x2cosx － (4)y′＝sinx′＝ . ′ sin2x
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求下列各函数的导数： 例 4 求下列各函数的导数： (1)y＝ln( x2＋1)； (2)y＝cos2(x2－x)； ＝ ； ＝ ； π － (3)y＝e－2xsin3x－3 . ＝
[思路 本例题中的函数均为复合函数，求导时需 思路] 本例题中的函数均为复合函数， 思路 搞清复合的层次，注意使用整体的观点， 搞清复合的层次，注意使用整体的观点，弄清每一 步是对哪一层求导，用什么公式求导． 步是对哪一层求导，用什么公式求导．
－
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[点评 对于函数求导，一般要遵循先化简， 点评] 对于函数求导，一般要遵循先化简， 点评 再求导的基本原则，求导时， 再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法 则的应用， 则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的作 在实施化简时，要注意变换的等价性， 用，在实施化简时，要注意变换的等价性，避免 不必要的失误． 不必要的失误．对于某些不满足求导法则条件的 函数，可适当进行恒等变形，步步为营， 函数，可适当进行恒等变形，步步为营，使解决 问题水到渠成． 问题水到渠成．
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[解答 (1)∵y′＝x2， 在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝ y′x＝2＝4.∴曲线在点 P(2,4) 解答] ∵ ′ 解答 ∴ 处的切线的斜率 ＝ ′ ∴ 处的切线方程为 y－4＝4x－2，即 4x－y－4＝0. － ＝ － － － ＝ 1 3 4 1 3 4 (2)设曲线 y＝ x ＋ 与过点 P(2,4)的切线相切于点 Ax0，3x0＋3，则切线的斜率 k 设曲线 ＝ 的切线相切于点 3 3 1 3 4 2 ′ ＝ ＝ y′x＝x0＝x0.∴切线方程为 y－3x0＋3＝x2x－x0，即 y＝x2·x－ ∴ － ＝ 0 － 0 － 2 3 4 2 4 x0＋ .∵点 P(2,4)在切线上， 4＝2x2－ x3＋ ， x3－3x2＋4＝0， x3＋x2－4x2＋ ∵ 在切线上， ＝ 0 即 0 ＝ ， 0 ∴ 在切线上 ∴ 0 0 0 0 3 3 3 3 4＝0，∴x2x0＋1－ ＝ ， 0 ＝－1 4x0＋1x0－1＝0，∴x0＋1x0－22＝0，解得 x0＝－ 或 x0＝2，故所求的切线方 ， ， ， 程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0. － － ＝ － ＋ ＝
lim
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3．导数的几何意义 ． (1)设函数 ＝f(x)在x0处可导，则f′(x0)表示曲线上相应 设函数y＝ 处可导， 设函数 在 处可导 表示曲线上相应 切线的斜率 处的____________ 点M(x0，y0)处的____________，点M处的切线方程为 ， 处的____________， 处的切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－ y－y0＝f′(x0)(x－x0) ______________________． ______________________． (2)设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在 时刻的 是位移函数， 表示物体在t0时刻的 设 ＝ 是位移函数 表示物体在 瞬时速度 ____________． ____________． (3)设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在 ＝t0时刻 是速度函数， 表示物体在t＝ 时刻 设 ＝ 是速度函数 表示物体在 加速度 ________． 的________．
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4．几种常见函数的导数 ． (1)C是常数，则C′＝____； 是常数， 是常数 ′ 0 ； nxn－1 ∈ － (2)(xn)′＝______(n∈Q*)； ′ ； cosx ； －sinx ； (3)(sinx)′＝______； (4)(cosx)′＝________； ′ ′ 1 1 x·lna (5)(ln x)′＝______；(logax)′＝________； ′ ； ′ ； x ex ； ax·lna (6)(ex)′＝____；(ax)′＝________. ′ ′ 5．求导法则 ． (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) ′ __________. ± f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ＋ (2)[f(x)g(x)]′＝____________________. ′ f(x) f′( x)g(x)－f(x)g′(x) ′ ) ( ) ( ) ′ ) ( ) (g(x)≠0) ≠ (3) ′＝____________________. g ( x) ) g(x) ( ) 6．复合函数的导数 ． 对于两个函数y＝ 对于两个函数 ＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，其构成的复合函数记为 ＝ 和 ＝ ＝ ＋ ，其构成的复合函数记为y＝ f(φ(x))，其中 为中间变量，则复合函数 ＝f(φ(x))的导数为 为中间变量， ，其中u为中间变量 则复合函数y＝ 的导数为 y′x＝[f(φ(x))]′＝__________. ′ ′ f′(u)φ′(x)
[思路 用导数的定义即可求解． 思路] 用导数的定义即可求解． 思路
[答案 答案] 答案
(1)2f′(x0)
(2)2f′(x0)
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[解析 (1)原式＝2· 解析] 原式 原式＝ 解析 f(x0＋2∆x)－f(x0) ( ) ( lim ＝2f′(x0)． ′ ． ∆x→0 2∆x f(x0＋h)－f(x0－h) ( ) ( ) (2)原式＝2·lim 原式＝ h→0 原式 ＝2f′(x0)． ′ ． 2h
x 数为指数函数， 对于④ 函数为幂函数， 数为指数函数，因此(e )′＝ex；对于④，函数为幂函数，因
x
此(x )′＝axa－1；对于⑤，函数为三角函数，因此(cosx)′＝ 对于⑤ 函数为三角函数， 以上只有②③两个正确． －sinx.以上只有②③两个正确． 以上只有②③两个正确
a
[点评 利用公式求导，不能混淆“幂函数”与“指数函数” 点评] 利用公式求导，不能混淆“幂函数” 指数函数” 点评 的求导公式， 的求导公式，不能混淆指数函数导数的系数与对数函数导数的系 数．
[思路 先判断原函数的类型，再套用公式求解． 思路] 先判断原函数的类型，再套用公式求解． 思路
[答案 答案] 答案
B
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[解析 对于①， 解析] 对于① 函数为指数函数， 函数为指数函数， 对于② 解析 因此(3 )′＝3xln3； ； 对于②， lnx 1 log2x)′＝ ′＝ 函数为对数函数， 对于③ 函数为对数函数，因此( ；对于③，函 x·ln2 ln2
“由外到内”逐层求导，在中 由外到内”逐层求导， 学数学中一般复合函数的复合 层次不超过3层 层次不超过 层．
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探究点3 ► 探究点 导数的几何意义
1 4 例 5 已知曲线 y＝ x3＋ . ＝ 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； 处的切线方程； 求曲线在点 处的切线方程 (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程； 的切线方程； 求曲线过点 的切线方程 (3)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程； 求满足斜率为 的曲线的切线方程； (4)第(1)小题中切线与曲线是否还有其他公共点？ 小题中切线与曲线是否还有其他公共点？ 第 小题中切线与曲线是否还有其他公共点
探究点2 ► 探究点 利用求导法则求导
下列函数求导运算正确的个数为： ① 下列函数求导运算正确的个数为： (3x)′＝ ′ 1 3xlog3e； ② (log2x)′ ＝ ； ′ ； ③ (ex)′ ＝ ex ； ④ (xa)′ ＝ ′ ′ x·ln2 axlna；⑤(cosx)′＝sinx.( ) ； ′ A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 ． ． ． ． 例2