第13讲 导数及其运算
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[思路 紧扣导数定义,正确理解增量 的实质. 思路] 紧扣导数定义,正确理解增量∆x的实质 的实质. 思路 [答案 答案] 答案 B
[解析 根据导数定义,分子中 的增量应与分母相同,故选 解析]根据导数定义 分子中x0的增量应与分母相同 故选B. 的增量应与分母相同, 解析 根据导数定义,
第13讲 │ 要点探究 13讲
f′(x0)或y′|x= f′(x0)或y′|x=x0
0 0 ∆x→0
∆x→0
lim
1.一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 = .一般地,函数 = 在 = 处的瞬时变化率是 f(x +∆x)-f(x ) ( ) (
0 0
∆x
∆x
________
导函数
∆x→0
____, ____,即f′(x0)= =______________________. =
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[解答 (1)y′=[ln( x2+1)]′= 解答] 解答 ′ ′ =
2
1 ( x2+1)′ ′ x +1
2
1 1 (x2+1)′ × ′ x + 1 2 x 2+ 1 2x x . = 2 2=x2 +1 2( x +1) ( ) 1+cos(2x2-2x) + ( ) (2)∵y=cos2(x2-x)= ∵ = = 2 2 ( ) 1 cos(2x -2x) = + , 2 2 1 cos(2x2-2x) ( ) 1 ′ = - (2x2 - 2x)′· sin(2x2 - 2x) = (1 - ∴ y′ = + ′ ′ 2 2 2 2 2x)sin(2x -2x). . π π - (3)y′=(e-2x)′sin3x-3+e-2xsin3x-3 ′ ′ ′ - [点评 对复合函数求导,应分 点评] 点评 对复合函数求导, π π -2x π -2x =(-2x)′e sin3x- +3x- ′e cos3x- - ′ - - - 3 3 3 析清楚复合函数的复合层次, 析清楚复合函数的复合层次, π π - 2x -2x - =-2e sin3x-3 +3e cos3x-3பைடு நூலகம் =-
2
第13讲 │ 要点探究 13讲 要点探究
► 探究点1 探究点 导数的概念
例1 函数f(x)在x=x0处可导,用f′(x0)表示下列各式: 函数 在 = 处可导, ′ 表示下列各式: 表示下列各式 f(x0+2∆x)-f(x0) ( ) ( (1)lim =________; ; ∆x→0 ∆x f(x0+h)-f(x0-h) ( ) ( ) (2)lim =________. h→0 h
导数
2.当x变化时,f′(x)是x的一个函数,我们称它为 . 变化时, 的一个函数, 变化时 是 的一个函数 我们称它为f(x)的________, 的________,
∆x
简称______,有时也记作 , 简称______,有时也记作y′,即f′(x)=y′=________________. ______ f((x)) = = f(x+∆x)- ( + )
[点评 利用导数定义解题,要充分体会导数定义的实质,表达 点评] 利用导数定义解题,要充分体会导数定义的实质, 点评 式不同,但表达的实质可能相同.比如下面的变式题: 式不同,但表达的实质可能相同.比如下面的变式题:
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相等的是( 下列式子中与 f′(x0)相等的是 ′ 相等的是 f(x0)-f(x0-2∆x) ( ( ) (1)li∆x→0 m ; 2∆x f(x0+∆x)-f(x0-∆x) ( ) ( ) (2)li∆x→0 m ; ∆x f(x0+2∆x)-f(x0+∆x) ( ) ( ) (3)li∆x→0 m ; ∆x f(x0+∆x)-f(x0-2∆x) ( ) ( ) (4)li∆x→0 m . ∆x A.(1)(2) B.(1)(3) . . C.(2)(3) . D.(1)(2)(3)(4) . )
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第13讲 导数及其运算 13讲
第13讲 │ 知识梳理 13讲 知识梳理
__________________,我们称它为函数 = lim f((在 ∆x))-f(x ) 处的导数 x+ = 处的导数, __________________,我们称它为函数y=f(x)在x=(x0处的导数,记作
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求下列函数的导数: 例 3 求下列函数的导数: (1)y=a +x ; = (3)y=elnxlgx; = ;
x a
x-x5 - (2)y= = ; x2 x2 (4)y= . = sinx
[解答 (1)y′=(ax)′+(xa)′=axlna+axa-1; 解答] 解答 ′ ′ ′ + 5 x-x - 3 3 (2)y= = x2 =x-2-x3, y′=(x-2)′-(x3)′= - ∴ ′ - ′ ′ 3 5 - x- -3x2; - 2 2 1 (3)y=elnxlgx=xlgx,y′=(xlgx)′=lgx+ = , ′ ′ + ; = ln10 x2 2xsinx-x2cosx - (4)y′=sinx′= . ′ sin2x
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求下列各函数的导数: 例 4 求下列各函数的导数: (1)y=ln( x2+1); (2)y=cos2(x2-x); = ; = ; π - (3)y=e-2xsin3x-3 . =
[思路 本例题中的函数均为复合函数,求导时需 思路] 本例题中的函数均为复合函数, 思路 搞清复合的层次,注意使用整体的观点, 搞清复合的层次,注意使用整体的观点,弄清每一 步是对哪一层求导,用什么公式求导. 步是对哪一层求导,用什么公式求导.
-
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[点评 对于函数求导,一般要遵循先化简, 点评] 对于函数求导,一般要遵循先化简, 点评 再求导的基本原则,求导时, 再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法 则的应用, 则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的作 在实施化简时,要注意变换的等价性, 用,在实施化简时,要注意变换的等价性,避免 不必要的失误. 不必要的失误.对于某些不满足求导法则条件的 函数,可适当进行恒等变形,步步为营, 函数,可适当进行恒等变形,步步为营,使解决 问题水到渠成. 问题水到渠成.
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[解答 (1)∵y′=x2, 在点 P(2,4)处的切线的斜率 k= y′x=2=4.∴曲线在点 P(2,4) 解答] ∵ ′ 解答 ∴ 处的切线的斜率 = ′ ∴ 处的切线方程为 y-4=4x-2,即 4x-y-4=0. - = - - - = 1 3 4 1 3 4 (2)设曲线 y= x + 与过点 P(2,4)的切线相切于点 Ax0,3x0+3,则切线的斜率 k 设曲线 = 的切线相切于点 3 3 1 3 4 2 ′ = = y′x=x0=x0.∴切线方程为 y-3x0+3=x2x-x0,即 y=x2·x- ∴ - = 0 - 0 - 2 3 4 2 4 x0+ .∵点 P(2,4)在切线上, 4=2x2- x3+ , x3-3x2+4=0, x3+x2-4x2+ ∵ 在切线上, = 0 即 0 = , 0 ∴ 在切线上 ∴ 0 0 0 0 3 3 3 3 4=0,∴x2x0+1- = , 0 =-1 4x0+1x0-1=0,∴x0+1x0-22=0,解得 x0=- 或 x0=2,故所求的切线方 , , , 程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. - - = - + =
lim
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3.导数的几何意义 . (1)设函数 =f(x)在x0处可导,则f′(x0)表示曲线上相应 设函数y= 处可导, 设函数 在 处可导 表示曲线上相应 切线的斜率 处的____________ 点M(x0,y0)处的____________,点M处的切线方程为 , 处的____________, 处的切线方程为 y-y0=f′(x0)(x- y-y0=f′(x0)(x-x0) ______________________. ______________________. (2)设s=s(t)是位移函数,则s′(t0)表示物体在 时刻的 是位移函数, 表示物体在t0时刻的 设 = 是位移函数 表示物体在 瞬时速度 ____________. ____________. (3)设v=v(t)是速度函数,则v′(t0)表示物体在 =t0时刻 是速度函数, 表示物体在t= 时刻 设 = 是速度函数 表示物体在 加速度 ________. 的________.
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4.几种常见函数的导数 . (1)C是常数,则C′=____; 是常数, 是常数 ′ 0 ; nxn-1 ∈ - (2)(xn)′=______(n∈Q*); ′ ; cosx ; -sinx ; (3)(sinx)′=______; (4)(cosx)′=________; ′ ′ 1 1 x·lna (5)(ln x)′=______;(logax)′=________; ′ ; ′ ; x ex ; ax·lna (6)(ex)′=____;(ax)′=________. ′ ′ 5.求导法则 . (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x) ′ __________. ± f′(x)g(x)+f(x)g′(x) + (2)[f(x)g(x)]′=____________________. ′ f(x) f′( x)g(x)-f(x)g′(x) ′ ) ( ) ( ) ′ ) ( ) (g(x)≠0) ≠ (3) ′=____________________. g ( x) ) g(x) ( ) 6.复合函数的导数 . 对于两个函数y= 对于两个函数 =f(u)和u=φ(x)=ax+b,其构成的复合函数记为 = 和 = = + ,其构成的复合函数记为y= f(φ(x)),其中 为中间变量,则复合函数 =f(φ(x))的导数为 为中间变量, ,其中u为中间变量 则复合函数y= 的导数为 y′x=[f(φ(x))]′=__________. ′ ′ f′(u)φ′(x)
[思路 用导数的定义即可求解. 思路] 用导数的定义即可求解. 思路
[答案 答案] 答案
(1)2f′(x0)
(2)2f′(x0)
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[解析 (1)原式=2· 解析] 原式 原式= 解析 f(x0+2∆x)-f(x0) ( ) ( lim =2f′(x0). ′ . ∆x→0 2∆x f(x0+h)-f(x0-h) ( ) ( ) (2)原式=2·lim 原式= h→0 原式 =2f′(x0). ′ . 2h
x 数为指数函数, 对于④ 函数为幂函数, 数为指数函数,因此(e )′=ex;对于④,函数为幂函数,因
x
此(x )′=axa-1;对于⑤,函数为三角函数,因此(cosx)′= 对于⑤ 函数为三角函数, 以上只有②③两个正确. -sinx.以上只有②③两个正确. 以上只有②③两个正确
a
[点评 利用公式求导,不能混淆“幂函数”与“指数函数” 点评] 利用公式求导,不能混淆“幂函数” 指数函数” 点评 的求导公式, 的求导公式,不能混淆指数函数导数的系数与对数函数导数的系 数.
[思路 先判断原函数的类型,再套用公式求解. 思路] 先判断原函数的类型,再套用公式求解. 思路
[答案 答案] 答案
B
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[解析 对于①, 解析] 对于① 函数为指数函数, 函数为指数函数, 对于② 解析 因此(3 )′=3xln3; ; 对于②, lnx 1 log2x)′= ′= 函数为对数函数, 对于③ 函数为对数函数,因此( ;对于③,函 x·ln2 ln2
“由外到内”逐层求导,在中 由外到内”逐层求导, 学数学中一般复合函数的复合 层次不超过3层 层次不超过 层.
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探究点3 ► 探究点 导数的几何意义
1 4 例 5 已知曲线 y= x3+ . = 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; 处的切线方程; 求曲线在点 处的切线方程 (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; 的切线方程; 求曲线过点 的切线方程 (3)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程; 求满足斜率为 的曲线的切线方程; (4)第(1)小题中切线与曲线是否还有其他公共点? 小题中切线与曲线是否还有其他公共点? 第 小题中切线与曲线是否还有其他公共点
探究点2 ► 探究点 利用求导法则求导
下列函数求导运算正确的个数为: ① 下列函数求导运算正确的个数为: (3x)′= ′ 1 3xlog3e; ② (log2x)′ = ; ′ ; ③ (ex)′ = ex ; ④ (xa)′ = ′ ′ x·ln2 axlna;⑤(cosx)′=sinx.( ) ; ′ A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 . . . . 例2