19.2.3一次函数与方程、不等式(第一课时).ppt
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人教版数学八年级下册：19.2.3 一次函数与方程、不等式(共24张PPT)
由图象可知它们的交点的横坐标为2.
4
当x ＜2时直线y=5x+4 上的点都在直
线y=2x+10的下方.
即5x+4＜2x+10
-5
02 x
∴此不等式的解集为 x ＜2
y=2x+10 y=5x+4
六、课堂小结
因为任何一个以X为未知数的一元一次方程都可
以变形为 ax+b=0(a≠ 的形式，所以解一元一 1 次方程相当0)于在某个一次函 y=ax+b(a≠
三、研读课文
2、画出一次函数 y 2x 1
的图象.
解：由我们前面所
学画图象方法可知
如右图所示．
y y=2x +1
1
−0.5
O
x
三、研读课文
3、从函数的角度对以上3个方程进行 解释.
• 解释1：3个方程相当于在一次函数 y 2x 1 的 函数值分别为3，0，-1时，求自变量x 的值.
• 解释2：在直线 y 2x 1 上取纵坐标分别为3，0， -1的点，它们的横坐标分别是 1 ，-0.5 ，-1 .
2、已知一次函数 y kx b的图象如图所
示，则不等式 kx b ＞0的解集是（ B ）
A．x＞-2 C．x＞-1
B．x＜-2 D．x＜-1
新课引入 展示目标 研读课文 归纳小结 强化训练
强化训练
1、直线 y x 1 上的点在 x 轴上方时 对应的自变量的范围是（ A ） A．x>1 B．x≥1 C．x<1 D．x≤1
• 解释3：以上三个方程的解为: X=1;X=-0.5;X=1
四、归纳小结
因为任何一个以X为未知数的一元一次
人教版八年级数学下册课件：19.2一次函数--2.3 一次函数与方程、不等式(1)一次方程、不等式
10
知识点一：一次函数与一元一次方程
学以致用
3.一次函数y=mx+n的图象如图所示， 则方程mx+n=0的解为( C ) A.x=2 B.y=2 C.x=-3 D.y=-3 4.已知方程kx+b=0的解是x=3，则函 数y=kx+b的图象可能是( C )
11
知识点二：一次函数与一元一次不等式
新知探究
4
知识点一：一次函数与一元一次方程
新知归纳
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都 可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解 一元一 次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为 0时，求自变量x的值.
5
知识点一：一次函数与一元一次方程
新知归纳 一次函数与一元一次方程的联系：
任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变 形为ax＋b＝0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一 元一次方程可以转化为：求一次函数y＝ax＋b(a≠0， a，b为常数)的函数值为0时，自变量x的取值；反映在 图象上，就是直线y＝ax＋b与x轴的交点的横坐标．
下面3个不等式有什么共同点和 不同点？你能从函数的角度对解这3个不等 式进行解释吗？ (1)3x+2＞2; (2) 3x+2＜0；(3) 3x＋2＜-1.
12
知识点二：一次函数与一元一次不等式
新知探究
可以看出，这3个不等式的不等号左 边都是3x＋2,而不等号及不等号右边却有 不同.从函数的角度看，解这3个不等式相 当于在一次函数y＝3x＋2的函数值分别大 于2、小于0、小于－1时，求自变量x的取 值范围.或者说，在直线y＝3x＋2上取纵坐 标分别满足大于2、小于0、小于－1的点， 看它们的横坐标分别满足什么条件(如图).
知识点一：一次函数与一元一次方程
学以致用
3.一次函数y=mx+n的图象如图所示， 则方程mx+n=0的解为( C ) A.x=2 B.y=2 C.x=-3 D.y=-3 4.已知方程kx+b=0的解是x=3，则函 数y=kx+b的图象可能是( C )
11
知识点二：一次函数与一元一次不等式
新知探究
4
知识点一：一次函数与一元一次方程
新知归纳
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都 可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解 一元一 次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为 0时，求自变量x的值.
5
知识点一：一次函数与一元一次方程
新知归纳 一次函数与一元一次方程的联系：
任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变 形为ax＋b＝0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一 元一次方程可以转化为：求一次函数y＝ax＋b(a≠0， a，b为常数)的函数值为0时，自变量x的取值；反映在 图象上，就是直线y＝ax＋b与x轴的交点的横坐标．
下面3个不等式有什么共同点和 不同点？你能从函数的角度对解这3个不等 式进行解释吗？ (1)3x+2＞2; (2) 3x+2＜0；(3) 3x＋2＜-1.
12
知识点二：一次函数与一元一次不等式
新知探究
可以看出，这3个不等式的不等号左 边都是3x＋2,而不等号及不等号右边却有 不同.从函数的角度看，解这3个不等式相 当于在一次函数y＝3x＋2的函数值分别大 于2、小于0、小于－1时，求自变量x的取 值范围.或者说，在直线y＝3x＋2上取纵坐 标分别满足大于2、小于0、小于－1的点， 看它们的横坐标分别满足什么条件(如图).
一次函数与一次方程、一次不等式课件
y
x -2 0
(B)
y
x
-2
0
(C)
(D)
思考
下面三个方程有什么共同特点？ 你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗 ？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1． 用函数值的角度看:
解一元一次方程 ax +b =k 就是求当函数值为k 时对应的 自变量的值.
思考
下面三个方程有什么共同特点？ 你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？ （1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
解: (1) 2x+20=0 (2) 令 y=0 , 即
2x 20
x 10
2x 20 0
2x 20
x 10
两个问题实际上是同一个问题.
从“数” 上看
从函数图象看, 直线 y=2x+20与x轴交
y
y 2x 20
20
点的坐标是 （-10、 10
0说）明了方程
O
x
2x+20=0的解是
x 10
从“形”上看
归纳 :
因为, 任何一个一元一次方程都可以化简为 kx+b=0的形式, 所以解一元一次方程 kx+b=0, 都可转化为求函数 y=kx+b中 y=0时的x的值。从图象上看, 就是一次函 数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标的值。
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
1 解方程 3x-2=0 当x为何值时，
19.2.3一次函数与一 次方程
回顾延伸:
让我们重新观察一下平面直角坐标 系，思考： （1）x轴上，点的纵坐标有何规律呢？ （2）x轴的上方，点的纵坐标有何规 律呢？ （3）x轴的下方，点的纵坐标有何规 律呢？
x -2 0
(B)
y
x
-2
0
(C)
(D)
思考
下面三个方程有什么共同特点？ 你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗 ？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1． 用函数值的角度看:
解一元一次方程 ax +b =k 就是求当函数值为k 时对应的 自变量的值.
思考
下面三个方程有什么共同特点？ 你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？ （1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
解: (1) 2x+20=0 (2) 令 y=0 , 即
2x 20
x 10
2x 20 0
2x 20
x 10
两个问题实际上是同一个问题.
从“数” 上看
从函数图象看, 直线 y=2x+20与x轴交
y
y 2x 20
20
点的坐标是 （-10、 10
0说）明了方程
O
x
2x+20=0的解是
x 10
从“形”上看
归纳 :
因为, 任何一个一元一次方程都可以化简为 kx+b=0的形式, 所以解一元一次方程 kx+b=0, 都可转化为求函数 y=kx+b中 y=0时的x的值。从图象上看, 就是一次函 数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标的值。
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
1 解方程 3x-2=0 当x为何值时，
19.2.3一次函数与一 次方程
回顾延伸:
让我们重新观察一下平面直角坐标 系，思考： （1）x轴上，点的纵坐标有何规律呢？ （2）x轴的上方，点的纵坐标有何规 律呢？ （3）x轴的下方，点的纵坐标有何规 律呢？
19.2.3.1一次函数与方程、不等式ppt课件
2x+4<0的解集是 ______
（2）点A的坐标是______, 方程2t;-2(1,6)
x>-2
x=1
4
快乐收获 1.一次函数y=-4x+5的函数值为0时，可得关于x的方程是（ ）
A. -4x+5 =0 B. 4x+5 =0 C. -4x-5 =0 D. x+5=0
5
快乐收获
10
3
快乐探究
从函数角度看 解一元一次方程、 解一元一次不等式
(-2,0) 右（与（图1x与当当）轴3是）xxx直的轴__函直线交__的数__线点y__交y=__y><=P2__=点2_x--时时22x_+2P+_4x，，4__+的__4yy__><图__00_（；；象-2，0）
方不程等2x式+42=x0+的4解>0是的_解__集__是_ ____ x=-2
19.2.3 一次函数与方程、不等式 (第1课时)
y
o
x
1
快乐启航
1.解方程： 2x+4=0
2x+4=6
2.解不等式： 2x+4>0 2x+4<6
3.直线y=2x+4与x轴交点坐标为_____, 与y轴交点坐标为_______,图象经过________象限，y随x的增大而______
2
学习目标： 1.怎样用一次函数的图象来解一元一次方程； 2.怎样用一次函数的图象求一元一次不等式的解集。
2.如图1：已知直线y=kx+b与x轴交于点(- 4,0)，则当y>0时，x的取值范围是（ ） A.x>-4 B. x>0 C. x<-4 D. x<0
人教版数学八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式(1) 课件(19张PPT)
坐标.
y
4
y=x+3
3
2
1
–4 –3 –2 –1 O
–1
x
1 23 4
–2
–3
直线 y=x+3与 x 轴交点坐标 为(-3，0)，说明方程 x+3=0 的解是 x=-3.
新知探究
思考 观察函数图象，你能直接写出对应一元一次方程的解吗？
y
y
4
4
3
3
2
2
1
–4 –3 –2 –1 O
–1
y=-x-2 –2
课堂导入
下面 3 个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对
解这 3 个方程进行解释吗？
(1) 2x+1=3；
(2) 2x+1=0；
也可以看做在直线
y=2x+1 上取纵坐标分别 为 3，0，-1 的点，看它 们的横坐标分别为多少.
(3) 2x+1=-1.
y
4 y=2x+1
3
2
1
–4 –3 –2 –1 O
第十九章 一次函数
人教版 八年级·下册
19.2.3 一次函数与方程、不等式 课时1
时间：2023/1/26
知识回顾
数缺形时少直观， 形少数时难入微。 数形结合千般好， 数形分离万事休。
——华罗庚
知Hale Waihona Puke 回顾1.老师为了检测小明的数学学习情况,编了几道测试题. 问题(1):解方程2x+1=0. 问题(2):当x为何值时,函数y=2x+1的值为0? 问题(3):画出函数y=2x+1的图象, 并确定它与x轴的交点坐标.
由上面问题可以得到,一元一次方程的求解与解相应的一次 函数问题相一致.
一次函数与方程、不等式 (课件)
y
y=x+2
Y=x+2
y
2
o2
x
Yy==3-x3+6x+6
-3x+6=0的解 其解为X=2
-2
o
x
X+2=0的解
y
其解为X=-2
y=x-1
Y=x-1
o1
x
-1
X-1=0的解 其解为X=1
一元一次方程都可以转化为__k_x_+_b_=_0__ 的形式.
求方程kx+b=0的解
当一次函数y=kx+b的值为 0 时，求相应的_自__变__量__x
而这三个方程的解则分别对 应着此时自变量的值，即图 象上A，B，C三点的横坐 标．
分 析 从函数的角度看，解这三个方程
方程2x+1=3的解是： x=1 ； 方即程当 x=1时，函数y=2x+1的值为3，也就是 y=3 ；
方即程当2xx=+1- 12=时0的，解函是数：y=x2=x-+121；的值函为数0，也就是 y=0 ；
求直线y= ax+b 与 x 轴交点的横 坐标．
时间是一个常量，但对勤奋者来 说，却是一个“变量”，我们应当 在有限的时间内做出伟大的事业。
你的收获与平时的付出是成正比 的，一份耕耘，一份收获。相信自 己，只要付出，你一定会有收获！
的值.
求直线y=kx+b与 x轴 的交点的 横 坐标.
应用新知
例1 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒 增加2米，再过几秒它的速度为17米/秒？ 解法1：设再过x秒物体的速度为17米/秒．
列出方程 2x+5=17 解得x=6．
应用新知
一次函数与方程、不等式PPT课件1 人教版
19.2.3 一次函数与方程、不等式
已知一次函数y=2x+1，求当函数值y =3、y =0、
y = -1时，自变量x的值。
根据题意得：
2x 1 3
2x 1 0
2 x 1 1
由上可知，当一个一次函数y=kx+b确定了y的值， 它就变成了一个一元一次方程。也就是说，每一 个一元一次方程都可以看成是一次函数的一种具
1) 在同一直角坐标系中分别作一次 函数y=-x+5和y=2x-1的图象,这两个 图象有交点吗?
y
y=2x-1
5 4 3 2 1
P(2,3) y=-x+5
1 2 3 4
的解吗?
-4 -3 -2 -1 O -1
-2
x
-3
-4 -5
根据图像你能得出哪个方程组的解，这个解是什么
二元一次方 x=1 程组的解为: y=1
而这三个方程的解则刚 好是自变量x的一个值。 -2 -1 O 2x +1=-1 的解 -1
2x +1=3 的解 x 3 2 1
ax+b=0 的形式. 一元一次方程常常转化为_________ 求方程ax+b=0的解
也就是求y=ax+b当 y= 0
时，自变量x的的值.
也是求直线y=ax+b与 x轴 的交点的 横 坐标.
根据图象直接写出答案
2x+y=4 y
①找交点 ②做垂线 ③左右看
（1）
2x-3y=12 的解？
3
2 （2 y） 2 x 4 ＞ y x4 3 2 < x 4 （3 y） 2 x 4 y 3
y= 3 x- 4
x
2
已知一次函数y=2x+1，求当函数值y =3、y =0、
y = -1时，自变量x的值。
根据题意得：
2x 1 3
2x 1 0
2 x 1 1
由上可知，当一个一次函数y=kx+b确定了y的值， 它就变成了一个一元一次方程。也就是说，每一 个一元一次方程都可以看成是一次函数的一种具
1) 在同一直角坐标系中分别作一次 函数y=-x+5和y=2x-1的图象,这两个 图象有交点吗?
y
y=2x-1
5 4 3 2 1
P(2,3) y=-x+5
1 2 3 4
的解吗?
-4 -3 -2 -1 O -1
-2
x
-3
-4 -5
根据图像你能得出哪个方程组的解，这个解是什么
二元一次方 x=1 程组的解为: y=1
而这三个方程的解则刚 好是自变量x的一个值。 -2 -1 O 2x +1=-1 的解 -1
2x +1=3 的解 x 3 2 1
ax+b=0 的形式. 一元一次方程常常转化为_________ 求方程ax+b=0的解
也就是求y=ax+b当 y= 0
时，自变量x的的值.
也是求直线y=ax+b与 x轴 的交点的 横 坐标.
根据图象直接写出答案
2x+y=4 y
①找交点 ②做垂线 ③左右看
（1）
2x-3y=12 的解？
3
2 （2 y） 2 x 4 ＞ y x4 3 2 < x 4 （3 y） 2 x 4 y 3
y= 3 x- 4
x
2
人教版八年级数学下册 第十九章 19.2.3 一次函数与方程、不等式 第一课时 课件 (共26张PPT)
（1）途中乙发生了什么事，
P
（2）他们是相遇还是追击； 12
（3）他们几时相遇。
10
8
D E
AB
0
0.5
1 1.2
t
1.右图中的两直线l1 、l2 的交点坐标可以看作
y 2x 1
y 4
l1
3
2
l2 1
-1 0 -1
1 2 3 4x
x 2y 2 2.解方程组 2x y 2
问 经过多长时间两人相遇 ?
你明白他的想法吗？
设同时出发后t 时相遇, 则 20 t 30 t 150
用他的方法做一做，看 看和你的结果一致吗？
t=3
求出s与t之间的关系式，联立解方程组
A、B 两地相距150千米，甲、
对于乙，s 是t
乙两人骑自行车分别从A、B 两地相
的一次函数，
向而行。假设他们都保持匀速行驶， 则他们各自到A 地的距离s (千米) 都
120千米,即乙的
B 两地同时相向而行。假设他 小彬 速度是 30千米/时,
们都保持匀速行驶，则他们各
自到A地的距离s(千米)都是骑 车时间t(时)的一次函数.
1 时后乙距A地120千米, 2 时后甲距A地 40千米.
2 时后甲距A 地 40千米, 故甲的速度是 20千米/时,
由此可求出甲、乙两人的 速度, 以及 ……
2
4
6
所以方程
x 2 y 2 2x y 2
-6
的解是 x 2 。
y
2
一、二元一次方程的解与相应的一次函数图象上点 对应。
以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图形
就是 一次函数 y=3－x 的图象.
19.2.3一次函数与方程、不等式课件-
培养学生用联系的观点看待数学问题的意识。
创设情境、讲授新课
探究一
1
当y=3时，2x+1等于几？当y =0、y = -1时，2x+1又等于几 呢？你能把它们写成一个方程的形式吗？ 可以写成（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1。 就变成了一元一次方程。
函 数 和 方 程
探究一
小练习 练习2：根据图象,请写出图象所对应的一元一次 方程的解.
2
X=0 X= - 2
X=2
X=3
函 数 和 方 程 巩 固 练 习
探究二
3
根据题意得：3x+2＞2，3x+2＜0，3x+2＜-1。
就变成了一元一次不等式。 思考：刚才我们类比一次函数和一元一次方程的关系，能用 函数观点看一元一次不等式吗？
函 数 和 方 程 巩 固 练 习
课堂小结
课堂小结
通过这节课，我们学到了什么知识？你有哪些收获？
本课主要知识点：
1、函数与方程、不等式有着必然的联 系； 2、用函数的观点看待方程、不等式是 我们学数学应该掌握的思想方法。
课堂小结
通过这节课，我们学到了什么知识？你有哪些收获？
3、一次函数与一元一次方程的关系：
函 数 和 方 程
探究一
1
①求自变量x为何值时,函数y=2x+1的值为3、0、-1。 ②解方程：2x+1=3、2x+1=0、2x+1=-1
这两个问题实际上是同一个问题（只是表达形式不同）
函 数 和 方 程
探究一
1
求ax+b=c（a≠0）的解 一次函数 与一元一 次方程的 关系 （从“数”的角度） x为何值时，y=ax+b的值为k 求ax+b=c（a≠0）的解 （从“形”的角度） 当函数y=ax+b纵坐标为k时，所对 应的横坐标x的值 函 数 和 方 程
创设情境、讲授新课
探究一
1
当y=3时，2x+1等于几？当y =0、y = -1时，2x+1又等于几 呢？你能把它们写成一个方程的形式吗？ 可以写成（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1。 就变成了一元一次方程。
函 数 和 方 程
探究一
小练习 练习2：根据图象,请写出图象所对应的一元一次 方程的解.
2
X=0 X= - 2
X=2
X=3
函 数 和 方 程 巩 固 练 习
探究二
3
根据题意得：3x+2＞2，3x+2＜0，3x+2＜-1。
就变成了一元一次不等式。 思考：刚才我们类比一次函数和一元一次方程的关系，能用 函数观点看一元一次不等式吗？
函 数 和 方 程 巩 固 练 习
课堂小结
课堂小结
通过这节课，我们学到了什么知识？你有哪些收获？
本课主要知识点：
1、函数与方程、不等式有着必然的联 系； 2、用函数的观点看待方程、不等式是 我们学数学应该掌握的思想方法。
课堂小结
通过这节课，我们学到了什么知识？你有哪些收获？
3、一次函数与一元一次方程的关系：
函 数 和 方 程
探究一
1
①求自变量x为何值时,函数y=2x+1的值为3、0、-1。 ②解方程：2x+1=3、2x+1=0、2x+1=-1
这两个问题实际上是同一个问题（只是表达形式不同）
函 数 和 方 程
探究一
1
求ax+b=c（a≠0）的解 一次函数 与一元一 次方程的 关系 （从“数”的角度） x为何值时，y=ax+b的值为k 求ax+b=c（a≠0）的解 （从“形”的角度） 当函数y=ax+b纵坐标为k时，所对 应的横坐标x的值 函 数 和 方 程
《一次函数与方程、不等式》教学PPT课件 初中数学公开课
(2)由图象可知，当x>2时，直线y＝2x－5落在直线y＝－x＋1 的上方，即2x－5>－x＋1；
(3)由图象可知，当x<2时，直线y＝2x－5落在直线y＝－x＋1 的下方，即2x－5<－x＋1.
4、
1、
2 、
回顾与反思
看似平淡无 奇的现象有 时却隐藏着 深刻的道理
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢？
A(0,6)
的解集是图象位于 x轴上方的x的取
值范围,即x<2；不等式 -3x+6<0的
3
解集是图象可知，当x>1时，y<3.
O 1 B(2,0) x
归纳总结：一次函数与一元一次不等式的关系
求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集
从“函数值”看
值大于或小于c时对应的自变量
的取值范围．
-2
2 1
-1
-
O2
3
-1
y =2
y =0 1 2 3x
y =-1
例1 函数y=-3x+6的图象如下图，结合图象求： （1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<3?
解：如图所示， 函数y=-3x+6的图象
y
与x轴交于点B（2，0）. （1）由图象可知，不等式-3x+6>0
y=kx+b的值 大于(或小于)0时， x的取值范围
求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集
从“函数图象”看
确定直线y=kx+b 在x轴上方(或下方) 的图象所对应的x 取值范围
(3)由图象可知，当x<2时，直线y＝2x－5落在直线y＝－x＋1 的下方，即2x－5<－x＋1.
4、
1、
2 、
回顾与反思
看似平淡无 奇的现象有 时却隐藏着 深刻的道理
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢？
A(0,6)
的解集是图象位于 x轴上方的x的取
值范围,即x<2；不等式 -3x+6<0的
3
解集是图象可知，当x>1时，y<3.
O 1 B(2,0) x
归纳总结：一次函数与一元一次不等式的关系
求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集
从“函数值”看
值大于或小于c时对应的自变量
的取值范围．
-2
2 1
-1
-
O2
3
-1
y =2
y =0 1 2 3x
y =-1
例1 函数y=-3x+6的图象如下图，结合图象求： （1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<3?
解：如图所示， 函数y=-3x+6的图象
y
与x轴交于点B（2，0）. （1）由图象可知，不等式-3x+6>0
y=kx+b的值 大于(或小于)0时， x的取值范围
求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集
从“函数图象”看
确定直线y=kx+b 在x轴上方(或下方) 的图象所对应的x 取值范围
19.2.3 一次函数与方程、不等式(1) 课件
4.函数y=2x+6的图象如图，利用图象：
(3)若-1≤y≤3，求x的取值范围.
由图象可得：函数图象过 F(1.5，3)，G(-3.5，-1)两点， 当-3.5≤x≤-1.5时，函数y=2x+6 的函数值满足-1≤y≤3， ∴x的取值范围是-3.5≤x≤-1.5.
综合应用
5.已知一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0) 的图象(如图①).
习题19.2
减小
二、四
0
-5
象肯定不是直线 y=ax+b的是（ B ）
y
y
-2 0
x
2
(A)
y
x
0
-2
(B)
y -2 0 x
-2 0
x
(C)
(D)
归纳
因为任何一个以x为未知数的一 元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0) 的形式，所以解一元一次方程相当于 在 某 个 一 次 函 数 y=ax+b(a≠0) 的 函 数 值为0时，求自变量x的值.
第十九章 一次函数 19.2 一次函数
19.2.3 一次函数与方程、 不等式
新课导入
数学知识之间是相互联系的，一次函数 知识并不是孤立的，其实它与以前我们学过 的有关知识有密切联系.今天我们来探讨一次 函数与方程、不等式之间的联系.
推进新课
知识点 1 一次函数与一元一次方程
例1 2x 1 3 2x 1 0 2x1 1
2k ∴k =± 3
4
4
误区 诊断
误
不能正确理解图象导致错解不等式
区 已知直线y=-2x-1与直线y=3x+m相交于第三
象限，求m得取值范围.
一次函数与方程、不等式(1)幻灯片PPT
在一次函数y=2x+1的函数
值分别为3，0，-1时，求 自变量x的值。或者说在
直线y=2x+1上取纵坐标分 别为3，0，-1的点A，B， C，看它们横坐标是多少
．
巩固练习
练一练
1.已知：一次函数y=1.2x-6与x轴交点为（5,0），则
方程1.2x-6=0的解为____x_=_5。
2.已知：方程ax+3=0的解为x=-1,则一次函数y=ax+3图
一次函数与一元一次不等式
对于任意一个一元一次不等式
ax+b>0(a≠0)，我们可以把这个不等 式的解集看成函数y=ax+b当y>0时自 变量x的取值范围．
不等式ax+b>0(a≠0)的解集是函数 y=ax+b的图象在x轴上方的部分所对 应的x的取值范围．
应用新知
例2 用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10
x
(C)
(D)
一次函数与一元一次方程
对于任意一个一元一次方程
ax+b=0(a≠0)，它有唯一解，我们可 以把这个方程的解看成函数y=ax+b 当y=0时与之对应的自变量的值．
从图象上看，方程的解是函数图
象与x轴交点的横坐标．
从数的角度看: 求ax+b=0M（a≠0）的解
x为何值时，y=ax+b的值为0M？ 从形的角度看：
．
解法1：不等式可化为3x-6<0， 画出直线y=3x-6， 可以看出图象在x轴下方的部分 对应的自变量的取值范围是x<2. 所以不等式的解集为x<2．
例2 用画函数图象的方法解不等式应用新知
5x+4<2x+10．
值分别为3，0，-1时，求 自变量x的值。或者说在
直线y=2x+1上取纵坐标分 别为3，0，-1的点A，B， C，看它们横坐标是多少
．
巩固练习
练一练
1.已知：一次函数y=1.2x-6与x轴交点为（5,0），则
方程1.2x-6=0的解为____x_=_5。
2.已知：方程ax+3=0的解为x=-1,则一次函数y=ax+3图
一次函数与一元一次不等式
对于任意一个一元一次不等式
ax+b>0(a≠0)，我们可以把这个不等 式的解集看成函数y=ax+b当y>0时自 变量x的取值范围．
不等式ax+b>0(a≠0)的解集是函数 y=ax+b的图象在x轴上方的部分所对 应的x的取值范围．
应用新知
例2 用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10
x
(C)
(D)
一次函数与一元一次方程
对于任意一个一元一次方程
ax+b=0(a≠0)，它有唯一解，我们可 以把这个方程的解看成函数y=ax+b 当y=0时与之对应的自变量的值．
从图象上看，方程的解是函数图
象与x轴交点的横坐标．
从数的角度看: 求ax+b=0M（a≠0）的解
x为何值时，y=ax+b的值为0M？ 从形的角度看：
．
解法1：不等式可化为3x-6<0， 画出直线y=3x-6， 可以看出图象在x轴下方的部分 对应的自变量的取值范围是x<2. 所以不等式的解集为x<2．
例2 用画函数图象的方法解不等式应用新知
5x+4<2x+10．
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一次函数与一元一次方程的关系
求ax+b=0(a，b是 常数，a≠0)的解． x为何值时 函数y= ax+b的值 为0． 求直线y= ax+b 与 x 轴交点的横 坐标．
从“函数值”看
求ax+b=0(a, b是 从“函数图象”看 常数，a≠0)的解．
1、直线y=x+3与x轴的交点坐标为 （－3，0） x+3=0的解是 所以相应的方程
序号 一元一次方程问题
一次函数问题 当x为何值时， y=2x+20的值为0? 当x为何值时， y=8x-3 ___________ 的值为0? 当x为何值时， y=-7x+2的值为0? 当x为何值时， y=8x-5 的值为0? ___________
1 2 3
解方程 2x+20=0 解方程 8x-3=0 解方程 - 7x+2=0 解方程 8x-3=2 8x-5=0
， .
x=－3
2、设m，n为常数且m≠0， 直线y=mx+n（如图所示），
则方程mx+n=0的解是 x=－2 . 3、对于y1=2x－1， y2=4x－2，下列说法：
①两直线平行； ②两直线交于y轴于同一点； ③两直线交于x轴于同一点； ④方程2x－1 =0与 4x－2=0的解相同； ⑤当x=1时，y1=y2=1. 其中正确的是 ③ ④ （填序号）
4
（3）画出函数y=2x+20的图象，并确定它 与x轴的交点坐标.
y y=2x+20 从“函数 图像”上 看 －10
20
0
x
（ 思 考 ： 直 线 y=2x+20 与 x 轴 交 点 坐 标 为 -10 0 ），这说明方程2χ＋20＝0的解 （ ____,_____ 是x=_____）
根据图象你能写出哪些一元一次方程的解
例1一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再 过几秒它的速度为17m/s？ （要求用两种方法解题） 解法1：设再过x秒物体的速度为17米/秒．列方程 2x+5=17． 解得 x=6．
解法2：速度 y( 单位：m/s)是 时间 x ( 单位：s) 的函数 y=2x+5 ．
将y=17带入上式得： 2x+5=17 解得： x=6． 解法3：由 2x+5=17得2x-12=0
1、直线y=3x+9与x轴的交点是（ B） A．（0，-3） B．（-3，0） C．（0，3） D．（0，-3） 2．直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标 x的值是方程2x+a=0的解，则a的值是 4 ______
3、已知方程ax+b=0的解是-2，下列图 像肯定不是直线y=ax+b的是（ B ）
y 0 -12
y=2x－12
6
(6,0)
x
作直线 y1=2x-12,它与x轴的交点为（6，0）即 x =6
y
2．利用函数图象解出x:
9
5x−1= 2x+5
解法２：画出两个函数 y=5x−1 和y=2x+5的图象．
y=2x+5
由图象知，两直线交于点 (2，
O
y=5x−1
2 x
9)，所以原方程的解为 x=2．
从形的 角度看：
求2x+20=0的解
确定直线y=2x+20与x轴的横坐标
从“函数值”看，“解方程ax+b=0(a， b为常数， a≠0)”与“求自变量 x 为何值时， 一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系？ 从图象上看呢？
求一元一次方程ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解， 从“函数值”看就是x为何值时函数y= ax+b的值为 0． 求一元一次方程ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解， 从“函数图象”看就是求直线y= ax+b与 x 轴交 点的横坐标．
y y=5x 0 x -2 0 y 0 0 2 x y y=x+2
x
方程5x =0的解是x=0
y y=-2.5x+5
方程x+2 =0的解是x=-2
y=x-3
3 x
方程-2.5x+5 =0的解是x=2 方程x-3 =0的解是x=3
求2x+20=0的解
从数的 角度看:
x为何值时，y=2x+20的值为0？
y
y
-2
o -2
x
o -2
x
A
y
B
y
-2
o
x-2oxCD3、把一个长10cm、宽5cm的矩形 的长减少，宽不变。当长减少多少 时，矩形的面积是30cm2?
4、利用函数图象解出x:
6x-3=x+2
解一元一次方程ax+b=0 (a ，b为常 数)可以转化为：当某个一次函数的值为 0时，求相应的自变量的值．从图象上看 ，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x 轴交点的横坐标的值
(1)解方程2x+20=0 (2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的 值为0？
解：(1) 2x+20=0 (2) 当y=0时 ，即
问题（1）与 （2）有什么 关系呢？
2 x 20
x 10
2 x 20 0 2 x 20 x 10
从“函数值” 角度看
两个问题实际上是同一个问题．