3.1.1直线的倾斜角与斜率 教学设计(赵志华)

第三章直线与方程
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
西和二中赵志华
一、教材分析:直线的倾斜角和斜率从初中所学“两点确定一条直线出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识。

通过本节课的学习，能够培养学生观察、分析、猜想、抽象概括等数学基本思维方法。

二、学情分析：教学对象是刚刚接触解析几何的学生，虽然具有一定的观察和分析问题的能力，抽象概括能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃，但缺乏冷静，深刻与辩证。

从而导致思维的片面，不够严谨，同时又容易把本节内容与立体几何中所学的研究方法进行类比，而二者的研究方法又不同，所以在教学中应加强区分。

三、教学目标
（一）、知识与技能
1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念-
2、理解直线的倾斜角的唯一性.
3、理解直线的斜率的存在性.
4、斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.
（二）、过程与方法
经历将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题的过程，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，不断体会“数形结合”的思想方法.
（三）、情感、态度与价值观
通过把直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系，提高观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。

四、教学重点、难点
教学重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
教学难点：斜率的计算方法.
教学方法：启发、引导、讨论.
学习方法：探究、思考、讨论、练习.
教学准备
教师准备：多媒体课件（用于展示问题、引导讨论、出示答案）三角尺.
学生准备：一次函数与直线的关系、特殊角的正切值.
五、教学过程
（一）创设情景提出问题
通过在上一章学习，我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…，所以，答案是不能确定，那这些直线间有什么联系呢？提出问题。

（师生互动）学生回答（不能确定）因为：
（1）它们都经过点P.
（2）它们的倾斜程度不同.
接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.
（设计意图）设疑激趣导入课题．学生可以在对比、观察、思维的基础上提升自己的思维能力
（二）倾斜角概念的形成
1、直线倾斜角的概念
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α= .
（师生互动）教师提问：
倾斜角α的取值范围是什么？（0°≤α＜180°）当直线l与x轴垂直时（90
α= ）（由学生结合图形回答）
2、概念的加深理解：
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾
斜角α.
（师生互动）教师提问：
如图，直线a ∥b ∥c ，那么它们的倾斜角α相等吗？
学生回答后作出结论.
一个倾斜角α不能确定一条直线，进而得出确定一条直线位置的几何要素.
（设计意图）通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何
要素．
（三）斜率的概念形成
1、直线的斜率
一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小
写字母k 表示，即tan k α=.由此可知，一条直线l 的倾斜角α一定存在，但是斜率k 不一定存在. 例如α= 45°时，k = tan45°= 1； （师生互动）教师提问：（由学生讨论后回答）
（1）当直线l 与x 轴平行或重合时，k 为多少？
k = tan0°= 0.
（2）当直线l 与x 轴垂直时，k 还存在吗？
α= 90°
，k 不存在. （设计意图）设疑激发学生思考得出结论．
2、直线的斜率公式
2121.y y k x x -=
-
对于上面的斜率公式要注意下面五点：
（1）当x 1 = x 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°，
直线与x 轴垂直；
（2）k 与P 1、P 2的顺序无关，即y 1、y 2和x 1、x 2在公式中的前后次序可以
同
时交换，但分子与分母不能交换；
（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
（4）当y1 = y2时，斜率k = 0，直线的倾斜角α= 0°，直线与x轴平行或重合；
（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.
（师生互动）教师提出问题：
给定两点P1 （x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导.
（设计意图）借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程. （四）例题教学
例1已知A （3，2），B（–4，1），C （0，–1），求直线AB，BC，CA 的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
【分析】已知两点坐标，而且x1≠ x-2，由斜率公式代入即可求得k的值；
而当tan0
=<时，倾斜角α是钝角；
kα
而当tan0
=>时，倾斜角α是锐角；
kα
而当tan0
==时，倾斜角α是0°.
kα
（师生互动）学生分析求解，教师板书例1 略解：直线AB的斜率k1 = 1/7＞0，所以它的倾斜角α是锐角.直线BC的斜率k2 = –0.5＜0，所以它的倾斜角α是钝角.
（设计意图）通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义
例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1.
【分析】要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k = ta nα=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可.
（师生互动）例2 略解：设直线a 上的另一个点M 的坐标为（x ，y ），根
据斜率公式有1 = （y – 0）/（x – 0），
所以 x = y .
可令x = 1，则y = 1，于是点M 的坐标为（1，1）.此时过原点和点M （1，
1），可作直线a .
同理，可作直线b ，c ，１（用计算机作动画演示画直线过程）
（五）小结：
（1）直线的倾斜角和斜率的概念.
（2）直线的斜率公式. （师生互动）师生共同总结交流完善
（设计意图）引导学生学会自己总结.
六、实战演练
1. 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）（1，1），（2，4）； （2）（–3，5），（0，2）；
（3）（2，3），（2，5）； （4）（3，–2），（6，–2）
2. 已知点
P (，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则Q 点的坐标为
.
七、课堂小结
1、直线的倾斜角定义及其范围：
2、直线的斜率定义：
3、斜率k 与倾斜角a 之间的关系：
4、斜率公式：
a k tan =)90( ≠a 1800<≤α⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<=⇒<<⇒⇒=>=⇒<<==⇒=0tan 18090)(tan 900tan 90000tan 0a k a k a a a k a k a 不存在不存在)(2
1211212x x y y k x x y y k --=--=或
八、作业设计
必做题：课本习题３．１Ａ组１２３４５题
备选练习１２３。