高中数学人教B版选修1-2学案：第3章章末分层突破
2016_2017学年高中数学第1章统计案例章末分层突破学案新人教B版选修1_2
章末分层突破[自我校对] ①回归分析②相互独立事件的概率 ③χ2公式④判断两变量的线性相关回归分析问题(1)确定研究对象，明确变量x ，y .(2)画出变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性相关关系等).(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性相关关系，则选用回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^).(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法). (5)得出回归方程.另外，回归直线方程只适用于我们所研究的样本的总体，而且一般都有时间性.样本的取值范围一般不能超过回归直线方程的适用范围，否则没有实用价值.假设一个人从出生到死亡，在每个生日那天都测量身高，并作出这些数据散点图，则这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析.下表是一位母亲给儿子作的成长记录：年龄/周岁 3 456789身高/cm90.8 97.6 104.2 110.9 115.7 122.0 128.5 年龄/周岁 10111213141516身高/cm134.2 140.8 147.6 154.2 160.9 167.6 173.0(1)作出这些数据的散点图； (2)求出这些数据的线性回归方程；(3)对于这个例子，你如何解释回归系数的含义？ (4)解释一下回归系数与每年平均增长的身高之间的联系. 【精彩点拨】 (1)作出散点图，确定两个变量是否线性相关； (2)求出a ，b ，写出线性回归方程； (3)回归系数即b 的值，是一个单位变化量； (4)根据线性回归方程可找出其规律. 【规范解答】 (1)数据的散点图如下：(2)用y 表示身高，x 表示年龄， 因为x －＝114×(3＋4＋5＋…＋16)＝9.5，y －＝114×(90.8＋97.6＋…＋173.0)＝132，b ^＝≈18 993－14×9.5×1321 491－14×9.52≈6.316，a ^＝y －－b x －＝71.998，所以数据的线性回归方程为y ＝6.316x ＋71.998.(3)在该例中，回归系数6.316表示该人在一年中增加的高度. (4)回归系数与每年平均增长的身高之间近似相等.[再练一题]1.假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y39.442.942.943.149.2(2)求y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗.【导学号：37820006】【解】 (1)散点图如下.(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用回归方程刻画它们之间的关系.设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，x －＝30.36，y －＝43.5，故所求的线性回归方程为y ^＝34.70＋0.29x . 当x ＝56.7时，y ^＝34.70＋0.29×56.7＝51.143. 估计成熟期有效穗约为51.143.独立性检验程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下，我们构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量χ2的含义，可以通过P (χ2>6.635)≈0.01来评价假设不合理的程度，由实际计算出χ2>6.635说明假设不合理的程度约为99%，即两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度为99%.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表.(2)根据公式χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2计算χ2的值.(3)比较χ2与临界值的大小关系并作统计推断.在某校高三年级一次全年级的大型考试中数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所示，则数学成绩优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系较大？物理 化学 总分 数学优秀 228 225 267 数学非优秀14315699【精彩点拨】 分别列出数学与物理，数学与化学，数学与总分优秀的2×2列联表，求k 的值.由观测值分析，得出结论.【规范解答】 (1)列出数学与物理优秀的2×2列联表如下：物理优秀 物理非优秀合计 数学优秀 228 132 360 数学非优秀 143 737 880 合计3718691 240n 11＝228122122n 1＋＝360，n 2＋＝880，n ＋1＝371，n ＋2＝869，n ＝1 240. 代入公式χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2（n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2）得χ21＝1 240×（228×737－132×143）2360×880×371×869≈270.114 3.(2)列出数学与化学优秀的2×2列联表如下：化学优秀 化学非优秀合计 数学优秀 225 135 360 数学非优秀 156 724 880 合计3818591 240n 11＝225122122n 1＋＝360，n 2＋＝880，n ＋1＝381，n ＋2＝859，n ＝1 240.代入公式，得χ22＝1 240×（225×724－135×156）2360×880×381×859≈240.611 2.(3)列出数学与总分优秀的2×2列联表如下：总分优秀 总分非优秀合计 数学优秀 267 93 360 数学非优秀 99 781 880 合计3668741 240n 11＝267，n 12＝93，n 21＝99，n 22＝781，n 1＋＝360，n 2＋＝880，n ＋1＝366，n ＋2＝874，n ＝1 240.代入公式，得χ23＝1 240×（267×781－93×99）2360×880×366×874≈486.122 5.由上面计算可知数学成绩优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，由计算分别得到χ2的统计量都大于临界值6.635，由此说明有99%的把握认为数学优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，但与总分优秀关系最大，与物理次之.[再练一题]2.某推销商为某保健药品做广告，在广告中宣传：“在服用该药品的105人中有100人未患A 疾病”.经调查发现，在不服用该药品的418人中仅有18人患A 疾病.请用所学知识分析该药品对预防A 疾病是否有效.【解】 将问题中的数据写成如下2×2列联表：患A 疾病不患A 疾病合计 服用该药品 5 100 105 不服用该药品18 400 418 合计23500523将上述数据代入公式χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2中，计算可得χ2≈0.041 4，因为0.0414<3.841，故没有充分理由认为该保健药品对预防A 疾病有效.转化与化归思想在回归分析中的应用推测另一个变量的变化.如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题.某商店各个时期的商品流通率y (%)的商品零售额x (万元)资料如下：x 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 y6 4.6 4 3.2 2.8x 19.5 21.5 23.5 25.5 27.5 y2.52.42.32.22.1散点图显示出x 与y 的变动关系为一条递减的曲线.经济理论和实际经验都证明，流通率y 决定于商品的零售额x ，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y ＝a ＋b x.试根据上表数据，求出a 与b 的估计值，并估计商品零售额为30万元的商品流通率.【规范解答】 设u ＝1x，则y ＝a ＋bu ，得下表数据：y ^＝－0.187 5＋56.25 u .所以所求的回归方程为y ^＝－0.187 5＋56.25x.当x ＝30时，y ＝1.687 5，即商品零售额为30万元时，商品流通率为1.687 5%.[再练一题]3.在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中x (单位：min)表示化学反应进行的时间，y (单位：mg)表示未转化物质的质量.(2)估计化学反应进行到10 min 时未转化物质的质量(精确到0.1).【解】 (1)在y ＝cd x两边取自然对数，令ln y ＝z ，ln c ＝a ，ln d ＝b ，则z ＝a ＋bx .由已知数据，得由公式得a ≈3.905 5，b ≈－0.221 9，则线性回归方程为z ＝3.905 5－0.221 9x .而lnc ＝3.905 5，lnd ＝－0.221 9，故c ≈49.675，d ≈0.801，所以c ，d 的估计值分别为49.675，0.801. (2)当x ＝10时，由(1)所得公式可得y ≈5.4(mg).所以化学反应进行到10 min 时未转化物质的质量约为5.4 mg.1.(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元【解析】 由题意知，x －＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y －＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元). 【答案】 B2.(2014·湖北高考)根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A.a ＞0，b ＞0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0D.a ＜0，b ＜0【解析】 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b ＜0，当x ＝0时，y ^＝a ＞0.故a ＞0，b ＜0.【答案】 B3.(2015·全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )图11A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【解析】 对于A 选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A 正确.对于B 选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B 正确.对于C 选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C 正确.由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D.【答案】 D4.(2016·全国卷Ⅲ)如图12是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.图12(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：,i ＝1)y i ＝9.32，,i ＝1)t i y i ＝40.17，＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝，a ^＝y －－b ^t －.【解】 (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得t ＝4，,i ＝1)(t i －t )2＝28，＝0.55，＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(2)由y －＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝＝2.8928≈0.103.a ^＝y －－b ^t －≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.5.(2014·全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1（t i －t ）（y i －y －）∑ni ＝1（t i －t －）2，a ^＝y －－b ^t －.【解】 (1)由所给数据计算得t －＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y －＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑7i ＝1(t i －t －)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑7i ＝1(t i －t －)(y i －y －)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑ni ＝1（t i －t ）（y i －y －）∑ni ＝1（t i －t －）2＝1428＝0.5， a ^＝y －－b ^t －＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得 y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.章末综合测评(一) 统计案例 (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(x i ，y i )，i ＝1，2，…，n ；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图.如果变量x ，y 具有线性相关关系，则在下列操作顺序中正确的是( ) A.①②⑤③④ B.③②④⑤①C.②④③①⑤D.②⑤④③①【解析】 根据线性回归分析的思想，可知对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，应先收集数据(x i ，y i )，然后绘制散点图，再求相关系数和线性回归方程，最后对所求的回归方程作出解释，因此选D.【答案】 D2.下列说法错误的是( )A.当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系B.把非线性回归化线性回归为我们解决问题提供一种方法C.当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系D.当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决【解析】 此题考查解决线性相关问题的基本思路. 【答案】 A3.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是( )A.1425 B.1225 C.34 D.35【解析】 设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，依题意知，P (A )＝810＝45，P (B )＝710，且A 与B 相互独立. 故他们都命中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝1425.【答案】 A4.班级与成绩2×2列联表：A.70，73，45，188B.17，73，45，90C.73，17，45，90D.17，73，45，45【解析】 m ＝7＋10＝17，n ＝35＋38＝73，p ＝7＋38＝45，q ＝m ＋n ＝90.【答案】 B5.在线性回归模型y ＝bx ＋a ＋ε中，下列说法正确的是( ) A.y ＝bx ＋a ＋ε是一次函数 B.因变量y 是由自变量x 唯一确定的C.因变量y 除了受自变量x 的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差ε的产生D.随机误差ε是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差ε的产生 【解析】 线性回归模型y ＝bx ＋a ＋ε，反映了变量x ，y 间的一种线性关系，预报变量y 除受解释变量x 影响外，还受其他因素的影响，用ε来表示，故C 正确.【答案】 C6.下表给出5组数据(x ，y )，为选出4组数据使线性相关程度最大，且保留第1组数据(－5，－3)，则应去掉( )i 1 2 3 4 5 x i －5 －4 －3 －2 4 y i－3－24 －16A.第2C.第4组D.第5组【解析】 通过散点图选择，画出散点图如图所示：应除去第三组，对应点是(－3，4).故选B. 【答案】 B7.某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel 软件计算得y ^＝0.577x －0.448(x 为人的年龄，y 为人体脂肪含量).对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是( )A.年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%B.年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%C.年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%D.年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为21.01%【解析】 当x ＝37时，y ^＝20.90%，即对于年龄为37岁的人来说，大部分人的体内脂肪含量为20.90%.【答案】 C8.已知回归直线的斜率的估计值是 1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是( )【导学号：37820007】A.y ^＝1.23x ＋4 B.y ^＝1.23x ＋5 C.y ^＝1.23x ＋0.08D.y ^＝0.08x ＋1.23【解析】 由题意可设回归直线方程为y ^＝1.23x ＋a ， 又样本点的中心(4，5)在回归直线上， 故5＝1.23×4＋a ，即a ＝0.08， 故回归直线的方程为y ^＝1.23x ＋0.08. 【答案】 C9.工人月工资y (元)随劳动生产率x (千元)变化的回归方程为y ^＝50＋80x ，下列判断错误的是( )A.劳动生产率为1 000元时，工资约为130元B.劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元C.劳动生产率提高1 000元时，工资提高130元D.当月工资约为210元时，劳动生产率为2 000元【解析】 此回归方程的实际意义是劳动生产率为x (千元)时，工人月工资约为y (元)，其中x 的系数80的代数意义是劳动生产率每提高1(千元)时，工人月工资约增加80(元)，故C 错误.【答案】 C10.调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：A.95%B.99%C.95%～99%D.<95%【解析】 由于χ2＝89×（24×26－8×31）232×57×55×34≈3.689<3.841，所以认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握小于95%.【答案】 D11.(2014·江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1C.智商D.阅读量【解析】 A 中，χ2＝52×（6×22－14×10）220×32×16×36＝131 440.B 中，χ2＝52×（4×20－16×12）220×32×16×36＝637360.C 中，χ2＝52×（8×24－12×8）220×32×16×36＝1310.D 中，χ2＝52×（14×30－6×2）220×32×16×36＝3 757160.∵131 440<1310<637360<3 757160， ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量. 【答案】 D12.为预测某种产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取了8组观察值.计算知，则y 对x的回归方程是( )A.y ^＝11.47＋2.62x B.y ^＝－11.47＋2.62x C.y ^＝2.62＋11.47xD.y ^＝11.47－2.62x【解析】 由已知数据计算可得b ^＝2.62，a ^＝11.47，所以回归方程是y ^＝11.47＋2.62x ，故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.关于统计量χ2的判断中，有以下几种说法：①χ2在任何问题中都可以用来检验两个变量有关还是无关； ②χ2的值越大，两个分类变量的相关性就越大；③χ2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，当χ2的值很小时可以判定两个分类变量不相关.其中说法正确的是________.【解析】 χ2只适用于2×2列联表问题，故①错误.χ2只能判断两个分类变量相关，故②正确.可能性大小不能判断两个分类变量不相关的程度大小，故③错误.【答案】 ②14.给出下列实际问题： ①一种药物对某种病的治愈率； ②两种药物治疗同一种病是否有关系； ③吸烟者得肺病的概率； ④吸烟人群是否与性别有关系；⑤上网与青少年的犯罪率是否有关系.其中，用独立性检验可以解决的问题有________.【解析】 独立性检验主要是对两个分类变量是否有关系进行检验，主要涉及两种变量对同一种事情的影响，或者是两种变量在同一问题上体现的区别等.【答案】 ②④⑤15.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (χ2≥3.841表中数据，得到χ2＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________.【解析】 χ2≈4.844>3.81，故判断出错的概率为0.05. 【答案】 0.0516.已知一组数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，5)，其中x i ∈{1，7，5，13，19}，且这组数据有线性相关关系，并求得回归直线方程为y ^＝1.5x ＋45，则y －＝________.【解析】 因为x －＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，所以y －＝1.5x －＋45＝1.5×9＋45＝58.5.【答案】 58.5三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率.【解】 (1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”.则A ＝A 1·A 2.P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14.(2)记B 1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，B 2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”，＝14＋18＋14＝58. 18.(本小题满分12分)某城市理论预测2000年到2004年人口总数与年份的关系如下表所示：年份200x (年) 0 1 2 3 4 人口数y (十万)5781119(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)据此估计2017年该城市人口总数.(参考数值：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30) 【解】 (1)(2)x ＝2，y ＝10，0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30.故y 关于x 的线性回归方程为y ^＝3.2x ＋3.6. (3)即2017年时，y ^＝3.2×17＋3.6＝58(十万). 据此估计2017年，该城市人口总数580万.19.(本小题满分12分)(2016·南通高二检测)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：归方程，再对被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？【解】 (1)设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以P (A )＝1－410＝35.即选取的2组数据恰好是不相邻两天的概率是35.(2)由数据，求得x －＝12，y －＝27. 由公式，求得b ^＝52，a ^＝y －－b x －＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(3)当x ＝10时，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；同样，当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的.20.(本小题满分12分)为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的试验结果.(疱疹面积单位：mm 2)表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) 频数1025203015后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”？表3：疱疹面积小于70 mm 2疱疹面积不小于70 mm 2合计 注射药物A n 11＝ n 12＝ 注射药物B n 21＝ n 22＝合计n ＝疱疹面积小于70 mm 2疱疹面积不小于70 mm 2合计 注射药物A n 11＝70 n 12＝30 100 注射药物B n 21＝35n 22＝65100合计10595n ＝200χ2＝100×100×105×95≈24.56，由于χ2>6.635，所以在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.21.(本小题满分12分)(2016·湛江高二检测)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x (个) 2 3 4 5 加工的时间y (小时)2.5344.5图1(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：回归直线y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝a ^＝y ^－b ^x －.【解】 (1)散点图如图：(2)由表格计算得＝54，所以b ^＝0.7，a ^＝1.05，所以y ^＝0.7x ＋1.05，回归直线如上图.(3)将x ＝10代入回归直线方程得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)， 所以预测加工10个零件需要8.05小时.22.(本小题满分12分)为了研究某种细菌随时间x 变化时，繁殖个数y 的变化，收集数据如下：天数x /天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y /个612254995190(2)描述解释变量x 与预报变量y 之间的关系. 【解】 (1)所作散点图如图所示.(2)由散点图看出样本点分布在一条指数型函数y ＝的周围，于是令z ＝lny ，则x 1 2 3 4 5 6 z1.792.483.223.894.555.25由计算得：z ＝0.69x ＋1.115，则有y ＝e 0.69x ＋1.115.。
高中数学人教版选修1-2全套教案(K12教育文档)
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高中数学人教版选修1—2全套教案第一章统计案例第一课时 1。
1回归分析的基本思想及其初步应用(一）教学目标1、知识与技能目标认识随机误差；2、过程与方法目标（1）会使用函数计算器求回归方程；（2)能正确理解回归方程的预报结果。
3、情感、态度、价值观通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法,形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。
教学中适当地利用学生合作与交流,使学生在学习的同时,体会与他人合作的重要性.教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.教学难点：解释残差变量的含义,了解偏差平方和分解的思想.教学过程：一、复习准备：1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2。
复习:函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法,其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报。
二、讲授新课：1。
教学例题：①例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：/cm 体重/kg48 57 50 54 64 61 43 59求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重。
2016-2017学年高中数学北师大版选修1-2学案：章末分层突破4 Word版含解析
2
1
p2：z2＝2i； p3：z 的共轭复数为 1＋i； p4：z 的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A．p2，p3 C．p2，p4
2 【解析】 ∵z＝－1＋i＝－1－i，
B．p1，p2 D．p3，p4
∴|z|＝ －12＋－12＝ 2，
∴p1 是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2 是真命题；
【答案】 A 4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a＝( )
2
1
A．－3
B．－2
C．2
D．3
【解析】 (1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知 a－2＝1＋2a，解得
a＝－3，故选 A.
【答案】 A
1＋2i 5．(2016·北京高考)复数 2－i ＝( )
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
【解析】 ∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.
【答案】 A
z 3．(2015·山东高考)若复数 z 满足1－i＝i，其中 i 为虚数单位，则 z＝( )
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
【解析】 由已知得z＝i(1－i)＝i＋1，则 z＝1－i，故选 A.
【规范解答】 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为 0，
所以Error!
由②得 x＝4，经验证满足①③式．
所以当 x＝4 时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为 0，
所以Error! 3＋ 21 3－ 21
由①得 x> 2 或 x< 2 . 由②得 x≠4，由③得 x>3.
高中数学人教b版选修1-2学案：第3章 章末分层突破 含解析
章末分层突破[自我校对]①i 2＝－1 ②a ＝c ，b ＝d③z －＝a －bi ④Z(a ，b)⑤OZ → ⑥a ＋c ⑦(b ＋d)i⑧(a －c)＋(b －d)i1.复数a ＋bi(a ，b ∈R)⎩⎨⎧虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数（a ＝0）非纯虚数（a ≠0）2.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(或不等式)即可.当实数a 为何值时，z ＝a 2－2a ＋(a 2－3a ＋2)i ：(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)对应的点在直线x －y ＝0上.【精彩点拨】 解答本题可根据复数的分类标准，列出方程(不等式)求解.【规范解答】 (1)由z ∈R ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.(2)z 为纯虚数，⎩⎨⎧a 2－2a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，即⎩⎨⎧a ＝0或a ＝2，a ≠1且a ≠2.故a ＝0.(3)z 对应的点在第一象限，则⎩⎨⎧a 2－2a>0，a 2－3a ＋2>0，∴⎩⎨⎧a<0或a>2，a<1或a>2，∴a<0或a>2.∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).(4)依题得(a 2－2a)－(a 2－3a ＋2)＝0，∴a ＝2.[再练一题]1.当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m)i 为 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.【37820049】【解】 (1)当⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m ≠0， 即m ＝2时，复数z 是实数.(2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数.(3)当⎩⎨⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0， 即m ＝－3时，复数z 是纯虚数.同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式.计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 8. 【精彩点拨】 先由－32－12i ＝i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ，1－3i ＝(－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ，将原式化简，再利用－12＋32i 的特殊性进行求解. 【规范解答】 原式＝i 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 12＋（1＋i ）8⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 8＝1×1＋（2i ）4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 9 ＝1＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－7＋83i. [再练一题] 2.计算：(1)（2＋2i ）4（1－3i ）5； (2)（－1＋3i ）3（1＋i ）6－－2＋i 1＋2i .。
2020-2021学年高二数学选修1-2第三章3.1.1数系的扩充和复数的概念教案
数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析1.内容数系的扩充和复数的概念2.内容解析《数系的扩充与复数的概念》是人教版普通高中课程标准数学实验教科书选修1-2第三章第一节的内容，大纲课时安排一课时。
主要包括数系概念的发展简介，数系的扩充，复数相关概念、代数形式、相等条件、分类.复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，不仅可以使学生对于数的概念有一个更为完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.在学习了这节课以后，学生首先能知道数系是怎么扩充的，并且这种扩充是必要的，虚数单位i在数系扩充过程中的作用，而复数就是一个实数加上一个实数乘以i的形式，学生能清楚的知道一个复数什么时候是实数，什么时候是虚数，什么时候是纯虚数，两个复数相等的充要条件是什么.本节课让学生在经历一系列的思维活动后，完成对知识的探索，变被动地“接受问题”为主动地“发现问题”，加强学生对知识应用的灵活性，深化学生对复数的认识，提高学生分析问题和解决问题的能力.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：数系的扩充以及复数的有关概念.二、目标和目标解析1.目标（1）使学生体会数的概念是逐步发展的，初步体会引入虚数单位i的合理性；了解引入复数的必要性；（2）理解复数的基本概念；掌握两复数相等的充要条件；能够对复数进行简单的分类;（3）在培养学生类比与转化的数学思想方法的过程中，激发学生勇于探索创新的精神，提高学生的创新思维和应用意识．2.目标解析（1）学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成.（2）作为新学知识，理解复数的基本概念，掌握复数有关知识，为今后学习奠定基础，承上启下.（3）通过问题设置，引领学生追溯历史，提炼数系扩充原则，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中.三、教学问题诊断分析学生已经学过自然数、整数、有理数、实数等数系，但是对知识的认识相对比较零碎、分散，对知识没有一个系统性的理解，同时由于虚数单位i的概念非常抽象，又与学生原有的知识冲突，因此在学习过程中可能遇到的问题有：1.学生不太容易体会数系再次扩充的必要性.2.由于学生的认知能力有限，学生很难发现数系扩充前后对于运算法则的一致性要求.3.由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，也就是对虚数单位i的引入难以理解.在学习本节课的过程中，复数的概念如果采用单纯的讲解会显得比较枯燥无味，教学时，采用已学过的数集的认识历程，让学生体会数系的扩充是生产实践的需要，介绍数的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律有着比较清晰的认识，让学生能够在问题探索中掌握新知.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：对引入复数引入必要性的认识以及从实数到复数的扩充历程．四、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用图片展示数系学习历程，另外通过演示，体会复数从无到有的发展过程.五、教学过程分析（一）课题引入多媒体课件展示“数学的魅力在于用数来诠释全世界”，引入课题.设计意图：采用名言欣赏的方式进行情景引入，紧扣主题，展示本节课学习的意义.（二）复习回顾1.已经学习了哪些数集？2.回顾数的学习历程情境一一年级数学第一节《数一数》情境二三年级（上）数学第八节《分数的初步认识》情境三三年级（下）数学第七节《小数的初步认识》情境四六年级数学第一节《负数》情境五七年级数学第六节《实数》师：我们回顾了对数系的认识历程，我们看到数系在不断地进行扩充，从自然数到整数，再到有理数，乃至实数，请你思考：（1）人们为什么不断地扩充数系？师：从上述过程可以看出，满足社会实践的需要，是数系扩充的一个重要原因．正所谓自然数是“数”出来的，分数是“分”出来的，负数是“欠”出来的．另外，数学内部的发展、需求也是一个重要的原因！例如，求下列方程的解：x+3=1；3x−2=0；x2−2=0．如果没有数系的合理扩充，这些方程的解就是一个问题，数学本身也不可能协调的发展．因此，数学源于社会实践又服务于社会实践，问题或数学矛盾是数学发展的动力．（2）数学扩充的一般原则是什么？师：数系的扩充不仅仅是增加一种新的数，它还涉及数的运算．因此，数系的扩充还需保留原来的基本运算，用今天的话来讲，就是要向前“兼容”，不能推倒小楼建大楼．具体来讲，就是加、减、乘、除、乘方和开方的运算律应得到继承．比如要满足加法、乘法的交换率和结合律以及乘法对加法的分配律．设计意图：通过梳理数系的学习历程，体会数系扩充的必要性，了解数系扩充前后的联系，为后面学习做好铺垫.（三）问题导引师：数系的扩充是否就此止步不前了呢？如果不是，新的数系又是什么呢？情境六与数学家的对话 16世纪意大利数学家达尔卡诺在他的著作中写到“将10分成两部分，使他们的乘积等于40”，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了：10=(5+√−15)+(5−√−15)，40=(5+√−15)(5−√−15)．师：这样一个似乎简单的问题为什么会有争议呢？这两个表达式有什么问题？又包含了有哪些“合理”的成分，没有让数学家们一巴掌把它拍死？师：的确，虽然16世纪实数理论还没有完善，但任何一个（实）数的平方都是一个非负数，或者负数的开方没有意义的道理是人所共知的．这里√−15是什么？他有什么意义吗？是√−15个苹果还是√−15斤棉花？你卡尔达诺能说清楚吗？不过，另一方面，根据当时还不太严谨的运算法则，这两个式子好像也没什么大的问题（先不管√−15是什么，和为10，积为40也是明显的），至少就数学论数学来说，还马马虎虎有点意思，不能因为看不顺眼就拍死它吧？设计意图：以问题形式吸引学生注意力，承上启下，调动学生的积极性.（四）问题探究提出1637年，法国数学家笛卡尔在他的《几何学》中把这样的数称为“i maginary” .（“想象中的数”,虚数）迷茫“……，它大概是存在和虚妄两界中的两物”．——德国数学家莱布尼茨“……我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻．”——瑞士数学大师欧拉发展1777年，欧拉在其论文中首次用符号“i ”表示√−1，称为虚数单位．1832年，德国数学家高斯第一次引入复数概念，一个复数可以用a＋b i来表示，其中a，b是实数，i代表虚数单位完善1837年哈密顿用有序实数对(a，b)定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律，把实数看成特殊的复数，建立完整的复数系．复数的概念 1.形如a+b i(a,bϵR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位2.全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示3.复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z= a+b i(a,bϵR)其中a 与b分别叫做z的实部与虚部设计意图：通过问题的提出、迷茫、发展和完善过程，让学生感受有实数系扩充到复数系的历程，体会数学家的创新精神和实践能力，让学生参与其中，培养学生解决问题的能力，增强学生解决问题的自信心.练习完成课后练习1设计意图：巩固所学内容，加强对复数概念的认识.（五）自主学习阅读请阅读教材51页完成下面的问题：1．两个复数相等的充要条件是什么？2．复数集C和实数集R之间有什么关系？3．复数集是怎么分类的？设计意图：让学生通过自己去阅读、思考的方式获得知识，培养学生积极参与的意识和自主探索的能力.练习完成课后练习2、3设计意图：及时反馈，学以致用，加强对知识的认识，提高学生的解题能力.（六）例题讲解例：实数m取什么值时，复数z=(m+1)+(m－1)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数．由复数z=a+b i是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值．解：（1）当m-1=0，即m=1时，复数z是实数；（2）当m-1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；（3）当m+1=0，且m-1≠0即m=-1时，复数z是纯虚数．设计意图：通过例题，强化复数相等的充要条件，提高分析、解决问题的能力，规范做题步骤.变式练习实数m取什么值时，复数z=(m-1)(m+2)+(m-1)(m-3)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0.设计意图：增加题目难度，检验学生学习情况.（七）课堂小结这节课你学到了哪些内容，你有什么收获？学生活动：学生发言交流自己的收获，其他同学补充．设计意图：通过学生总结，教师提炼，培养学生归纳概括的能力，回顾本节课内容，为以后学习打下基础.（八）课后作业1、书面作业：习题3.1A组 1，2.2、课后探究：请你收集一些从实数系扩充到复数系的数学史料，并对“自然数——整数——有理数——实数——复数”的数系扩充过程进行整理.设计意图：巩固本节课所学知识，同时带着新的问题走出课堂，扩大学生的视野，加深对知识的认识，激发学生课外学习数学的兴趣.（九）知识拓展复数的应用师：在本节课我们看到，虚数从提出到完善大约经历了300年的历程,数学也就是在这种曲折、矛盾中不断的向前发展．复数系建立之后，人们又把复数和向量联系起来，并在复数的基础上建立了复变函数理论，成为数学新的一个分支，其在流体力学、机翼理论等方面有着广泛的应用，从我们熟悉的飞机制造，到引以为傲的高铁，再到跨世纪的伟大工程——三峡大坝，复数都起到了重要的作用．可谓虚数不虚，学海无涯！设计意图：拓展了学生的知识面，使学生思想得到升华.教学评析本节课的学习，一方面帮助学生回忆数系扩充的过程，体会虚数引入的必要性和合理性，让学生参与有实数系到复数系的扩充历程;一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础.从各个环节上看，本节课主要亮点有：采用名言欣赏的方式进行情景引入，紧扣主题，调动学生的积极性和求知欲。
人教B版高中数学选修1-2课件本章末归纳总结3
14．设α，β是二面角α－l－β的两个面，m，n分别是α，β
的法向量，如果当m，n的起点都在二面角的面内，方向均指向 二面角内部或均指向二面角外部，则这个二面角的大小就是π －<m，n>如果m，n的方向一个指向二面角的内部，另一个指 向二面角的外部，则这个二面角的大小就是<m，n>.
15．两点间的距离求取需要注意向量模的性质及模长公
了一个很方便、实用的工具，其思路明确，易于下手，过程较
为程序化，易于掌握．
[例1] 已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是
BB1，CD的中点．
求证：平面DEA⊥平面A1FD1.
导学号64150882
[思路分析] 证明面面垂直就是证明平面的法向量垂直． [证明] 如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz.
令y1＝－1，得n1＝(0，－1,2)． 同理可得n2＝(0,2,1)． 因此n1· n2＝(0，－1,2)· (0,2,1)＝0，知n1⊥n2. ∴平面DEA⊥平面A1FD1.
行来证，也可以让直线垂直于平面的法向量．面面平行的证明 可以转化为线面平行来证也可以结合法向量来证(法向量平
行)．
9．垂直问题的处理也是经常采用线线→线面→面面的解 题思路，证明线线垂直经常利用数量积为零来证，线面垂直的 证明可以转化为线线垂直来证，也可以让直线平行于平面的法 向量．面面垂直的证明可以转化为线面垂直来证也可以结合法 向量来证(法向量垂直)．
令 DD1＝2，则有 D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)， F(0,1,0)，E(2,2,1)． 设 n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面 DEA，平 面 A1FD1 的法向量， → → 则 n1⊥DA，n1⊥DE.
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修1-2 3.1.2 复数的引入》5
复数的引入教学设计
课堂练习1.若，为实数，且
i
yi
y
x2
4
2
2+
=
+
+
,求，
2.若
)6
5
(
)2
3
2(2
2=
+
-
+
-
-i
x
x
x
x，求的值
多媒
体展
示
板书
过程
学生
思考
练习
让学生
加深复
数计算
公式
增强学
生公式
的理解
与记忆
深入探究5．复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做
虚轴。
注意：原点既是实轴上的点，又是虚轴上的点，它是实轴与虚轴的唯一
交点。
实轴上的点都表示实数；虚轴上的点（除原点外）都表示纯虚数。
6复数的几何意义
任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定。
学生
思考
巩固新
知
复数（，）
7．复数的模
向量的模叫做复数的模，记作或（它是一个非负实数），有：。
（复数的模就是复数所对应的点与坐标原点之间的距离。
）
8共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修1-2 本章小结》
数系的扩充与复数的引入-----章末归纳总结一．考点导航1理解复数的基本概念及分类 2了解复数的代数表示方法及几何意义 3会进行复数代数形式的四则运算 二．知识结构三．要点回顾1概念:形如____________的数称为复数。
其中___称为实部___称为虚部___称为虚数单位。
由a 、b 的条件可把复数分为：2运算：___________)()).(1(=+±+di c bi a____________))().(2(=++di c bi a__________).3(=++dic bi a在进行复数的运算时，要灵活利用i ，的性质，或适当变形创造条件，从而转化为关于i ，的计算问题，并注意以下结论的灵活应用：（1) 14=n i ; i i n =+14; 124-=+n i ;ii n -=+342______)12=±i （3 i i i =-+114 i ii -1-1=+ 5i i -=13共轭复数，复数相等，复数的模 共轭复数：_________________ 复数相等：_________________ 复数的模：_______________也常用下列结论简化解题过程：①2zz z = ②2121z z z z =③2121z z z z ⋅=⋅4复数的几何意义包括三个方面：复数的表示点和向量、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义． 四．课堂练习题型一： 复数的概念及分类1（2021天津理9）i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为______2（2021江苏2）已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是______． 3．（2021上海理2）设iiz 23+=，其中为虚数单位，则的虚部= ． 4（2021天津理9）已知a ∈R ，若iia +-2为实数，则a 的值为题型二：共轭复数、复数相等数系的扩充复数复数的概念复数的运算定义及分类 代数形式四则运算几何意义1．（2021湖北理1）i 为虚数单位，607i 的共轭复数为（ ）．A ．iB ．i -C ．1D ．1- 2（2021全国二理2）若a 为实数，且()()2i 2i 4i a a +-=-，则a =（ ）．A 1-B 0C 1 D23．（2021山东1）若复数满足232i z z +=-，其中为虚数单位，则= A ． B ． C ．12i -+D ．12i --42021北京1）已知复数2z i =+，则=⋅z zA． C ．3D ．5题型三： 复数的模 12021浙江9）已知复数iz +=11，其中i 是虚数单位，则=z2（2021全国二2）设(1i)1i x y +=+，其中，是实数，则i =x y +（ ）1 B C3（2107全国一2）设复数z 满足()1i 2iz +=，则z =（ ）A ．12 B．C．D ．24（2021全国一2）设复数z 满足1i1zz +=-，则z =（ ）A ．1 B． C．D ．2题型四： 复数的四则运算1 2021浙江理1）已知i 是虚数单位，则(1i)(2i)-+-=A ．3i -+B 13i -+C 33i -+D 1i -+2（2021福建理1）若集合{}234i,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B =A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．∅3（2107全国2理1）=++ii13（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -4．（2021全国2）若12i z =+，则4i1z z =-（ ）A B C D 题型五：复数的几何意义1（2021全国2）设32z i =-+，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2（2021 新课标2理2）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，i z +=21 ，则=⋅21z z （ ）A 5-B 5C 4i -+ D4i --3（2021安徽理1）设i 是虚数单位，则复数ii-12在复平面内所对应的点 位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限4（2021北京理2）若复数))(1(i a i +-在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ()–1∞， B ()––1∞， C ()1+∞，D ()–1+∞，课后作业思考本章的重难点，你认为在未来的高考中考试热点会是什么呢？ 并设计一道未来的高考题。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修1-2 本章小结》04
《统计案例小结复习》教学设计一、学情分析：高二的学生已经在必修三的第二章：统计中学习了两个变量的相关性的概念，对两个变量的相关性，最小二乘法也有一些了解，所以这部分内容相对其他章节较简单，但由于本校学生基础薄弱、学习习惯差，所以在教学中采用提问和小组合作探究相结合的方式，让大部分学生都能参与到其中，并且熟练掌握这部分内容，进而利用掌握的知识进行解题。
二、教学目标:×2列联表的独立性检验，线性回归方程及应用2能够运用所学知识解答相关习题。
三、教学重点和难点：1重点：公式的应用122求线性回归直线方程及应用3学习用专业术语来规范答题2难点：线性回归直线方程及应用四、教法、学法及媒体选择：1.教法及媒体选择:根据新课程理念，针对本节内容，我主要采取探究式教学与多媒体辅助教学相结合的方法。
由于高考时这部分内容主、客观题的形式都出现过，所以在教学中侧重于在答题时使用专业术语，争取在考试中能得到更多的分数。
在教学过程中，通过典型习题的反复训练，使学生规范答题，教学中通过教师纠正、有意识地正确引导来反复强化，从而达到突出教学重点，突破教学难点的目的。
2学法:学生通过阅读教材、分析、讨论、比较推理法进行探究式学习，争取收获更多的知识。
五、教学过程：六、板书设计：统计案例复习公式的应用122求线性回归直线方程七、教学反思：本节课内容较简单，大部分学生对复习的知识点掌握得不错，教学环节基本上完成了，教学效果一般，还没有达到我的预期目标，分析原因如下：1.由于准备时间不够充分，对复习题的选择不够精细，不能由浅入深，导致有的学生做起题来较吃力。
2.由于教学时间有限，不能提问到所有学生，学生对课堂活动的参与度没能大幅度提高。
希望以后在选择习题上加大工作量和力度，争取选取更精、更典型的习题，在课堂上尽量提问到所有学生，充分调动学生的积极性，达到提高教学效果的目的。
高中数学北师大版选修1-2学案章末分层突破2 Word版含解析
章末分层突破
[自我校对]
①流程图②工艺流程图③结构图④组织结构图
程序框图
画程序框图的规则：使用标准的框图符号；框图一般按从上到下，从左到
右的方向画；除判断框外，大多数程序框图的符号只有一个进入点和一个退出
点，而判断框是具有超过一个退出点的唯一符号．
公历规定：如果年份数字被整除而不被整除，就是闰年；如果年份数字被整除，也是闰年；其余的都不是闰年．用程序框图表示出这个规则．【精彩点拨】解答本题可先确定算法步骤，再依据算法步骤画程序框图．
【规范解答】算法步骤：第一步输入年份；
第二步逐一判断该年份能否被，被，被整除；
第三步根据规则，输出结果．
程序框图：
．(·浙江高考)
图-
若某程序框图如图-所示，当输入时，则该程序运行后输出的结果是.
【解析】输入＝，由于＝，＝，所以＝×＋＝，＝，此时不满足>；当＝时，
＝×＋＝，＝，此时不满足>；当＝时，＝×＋＝，＝，此时不满足>；当＝时，＝×＋＝，＝，此时不满足>；当＝时，＝×＋＝，＝，此时满足>，因此输出＝.
【答案】。
高中数学(人教B版 选修1-1)教师用书第3章 导数及其应用 章末分层突破
章末分层突破
[自我校对]
①斜率
②－()＝′()(－)
③′()±′()
④′()()＋()′()
⑤
见类型有两种：
()函数＝()“在点＝处的切线方程”，这种类型中(，())是曲线上的点，其切线方程为－()＝′()(－)．
()函数＝()“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定是切点，可先设切点(，)，则切线斜率为′()，再由切线过点(，)得斜率为，又由＝()，由上面两个方程可得切点(，)，即求出了过点(，)的切线方程．
已知函数()＝＋－－，()＝＋＋，直线：＝＋，且′(－)＝.
()求的值；
()是否存在实数，使直线既是曲线＝()的切线，又是＝()的切线？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由. 【导学号：】
【精彩点拨】
【规范解答】()因为′()＝＋－，且′(－)＝，
所以－－＝，得＝－.
()因为直线过定点()，先求过点()，且与曲线＝()相切的直线方程．
设切点为(＋＋)，
又因为′()＝＋.。
高中数学 章末分层突破3学案 新人教B版选修2-1(2021年整理)
2016-2017学年高中数学章末分层突破3学案新人教B版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学章末分层突破3学案新人教B版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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章末分层突破［自我校对］①共面向量定理②坐标表示③加减运算④坐标运算________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________空间向量的概念及运算1,并用它们表示出目标向量,这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积（1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝错误!是两个重要公式．(2）空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a｜2，a在b 上的投影错误!＝｜a｜·cos θ等．给出下列命题：①若错误!＝错误!，则必有A与C重合,B与D重合，AB与CD为同一线段；②若a·b＜0，则〈a，b〉为钝角；③若a是直线l的方向向量,则λa(λ∈R)也是l的方向向量；④非零向量a，b,c满足a与b,b与c，c与a都是共面向量,则a，b，c必共面．其中错误命题的个数是( ）A．1 B．2C．3 D．4【精彩点拨】紧扣空间向量的相关概念、运算法则加以判断，注意举反例的思想方法．【规范解答】①错误,如在正方体ABCD。
高中数学 章末分层突破1学案 新人教B版选修2-1(2021年整理)
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章末分层突破[自我校对]①p∧q②全称命题③存在量词________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________四种命题的关系及其真假的判定命题“若p q”；逆否命题为“若綈q，则綈p”．书写四种命题应注意：（1)分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待．(2)要注意条件和结论的否定形式．（2016·银川高二检测)将下列命题改写成“若p，则q"的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn＜0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根；（3)能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除．【精彩点拨】明确命题的条件和结论及命题的关系，再判定真假．【规范解答】（1）将命题写成“若p，则q"的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．它的逆命题、否命题和逆否命题如下:逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．（假)否命题:若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．（假)逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真)（2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.（假）否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假）逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真）(3）将命题写成“若p,则q”的形式为：若一个数能被6整除，则它能被2整除，且能被3整除，它的逆命题，否命题和逆否命题如下:逆命题:若一个数既能被2整除又能被3整除，则它能被6整除．（真)否命题:若一个数不能被6整除，则它不能被2整除或不能被3整除．(真）逆否命题：若一个数不能被2整除或不能被3整除，则它不能被6整除．（真)［再练一题]1．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若lg x2＝0，则x＝－1"的逆命题；③若“x≠y或x≠－y，则｜x|≠｜y｜”的逆否命题．其中真命题的个数是（)A．0 B．1C．2 D．3【解析】对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若｜x｜＝|y|，则x＝y且x＝－y”,它是假命题,故选B。
人教新课标B版高中数学高二选修1-2学案 章末复习课
学习目标 1.了解流程图及其画法.2.了解结构图及常见的结构图．1．流程图流程图是由一些________和________构成的图示．流程图常常用来表示一些动态过程，通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”．流程图可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤，在日常生活和工作的很多领域都得到了广泛应用．例如，描述算法的程序框图、描述工业生产流程的工序流程图、描述去医院看病过程的诊病流程图等． 2．结构图(1)结构图是一种静态图示，是一种描述系统结构的图示．结构图一般由构成系统的________和表达________关系的连线(或方向箭头)构成．连线通常按照________、________的方向(方向箭头按照箭头所指的方向)表示各素的________关系或____________关系． (2)常见结构图⎩⎪⎨⎪⎧知识结构图：描述各部分知识之间的关系.组织结构图：表示一个组织或部门的构成. (3)结构图中的从属关系通常是“树”形结构的，即构成系统的要素一般至少有一个“上位”或“下位”要素．一般情况下，“________”要素比“________”要素更为具体，“________”要素比“________”要素更为抽象．(4)在结构图中也经常出现一些“环”形结构，这种情形常在表达________关系时出现． (5)结构图还经常用来表示一个组织的构成，组织结构图一般呈“________”形结构．类型一 流程图的画法及应用例1 商家生产一种产品，需要先进行市场调研，计划对北京、上海、广州三地市场进行市场调研，待调研结束后决定生产的产品数量．你能用流程图表示出来吗？反思与感悟流程图具有简洁、明了、高效的优点，日常生活中应用非常广泛，正确解读流程图是应用的前提．跟踪训练1如图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图：根据此流程图可回答下列问题：(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？(2)哪些环节可能导致废品的产生，二次加工产品的来源是什么？(3)该流程图的终点是什么？类型二结构图的画法及应用例2画出《数学必修3》第二章“统计”的知识结构图．反思与感悟在画结构图时应注意以下几点：(1)画结构图与流程图一样，首先要确定组成结构图的基本要素，然后按照逻辑的先后关系或从属关系用连线来注明各要素之间的关系．(2)一般情况下，“下位”要素比“上位”要素更为具体，“上位”要素比“下位”要素更为抽象．“下位”要素越多，结构图越复杂．所以，画结构图时，应该根据具体需要确定复杂程度，简洁的结构图有时能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点．跟踪训练2在高中阶段，我们学习了各个领域的许多知识．在语言与文学领域，学习语文和外语；在数学领域，学习数学；在人文与社会领域，学习思想政治、历史和地理；在科学领域，学习物理、化学和生物；在技术领域，学习通用技术和信息技术；在艺术领域，学习音乐、美术和艺术；在体育与健康领域，学习体育等．试根据上述信息设计一个学习知识结构图．1．个人求职流程图如下，其中空白处应为()A．仔细调查用人单位情况B．认真学习求职登记表C．仔细填写登记表D．到用人单位上班2．画某校学生会、某公司的组织结构图时，所用的结构图为()A．环形B．树形C．树或环形D．以上均不可以3．如图是《数学选修1－2》第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“三段论”，那么应该放在图中()A．“①”处B．“②”处C．“③”处D．“④”处4．芳芳在一个早晨要完成这样几件事件，所需的时间如图：起床刷牙、洗脸、整理房间煮早饭吃早饭经过合理安排，最少用________分钟就可以去上学．5．某公司的组织结构是：总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理，执行经理领导生产经理、工程经理、品质管理经理和物料经理，生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员．试画出组织结构图．1．流程图的画法(1)分解步骤：将整个过程分解为若干个基本单元；(2)理清关系：分析各个基本单元之间的逻辑关系；(3)表述关系：将各个基本单元用简洁的语言或符号表述出来；(4)画图连线：绘制框图，并用流程线连接起来．2．结构图的画法(1)确定基本元素：确定组成结构图的基本元素；(2)确定关系：确定基本元素之间的逻辑的先后顺序或从属关系；(3)画图连线：绘制框图，并用连线或方向箭头连接起来。
高中数学 第2章 推理与证明章末分层突破学案 新人教B版选修1-2(2021年整理)
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第2章推理与证明章末分层突破［自我校对］①由部分到整体，由个别到一般②类比推理③演绎推理④由一般到特殊⑤综合法⑥执果索因⑦反证法归纳推理1.（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想).2.在应用归纳推理时，首先要观察部分对象的整体特征，然后分析所观察对象中哪些元素是不变的，哪些元素是变化的，并将变化的量的变化规律表达出来。
如图21，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点,1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点。
则第11行的实心圆点的个数是________。
图2。
1【精彩点拨】列出每行实心圆点的个数,从中归纳出变化规律,然后运用此规律求第11行实心圆点的个数.【规范解答】前6行中实心圆点的个数依次为：0，1,1,2，3，5，据此猜想这个数列的规律为：从第3项起，每一项都等于它前面两项的和，故续写这个数列到第11行如下:8，13，21,34，55，所以第11行的实心圆点的个数是55。
【答案】55[再练一题］1.(2016·杭州高二检测）记S k＝1k＋2k＋3k＋…＋n k，当k＝1，2，3，…时，观察下列等式：S 1＝12n2＋12n，S2＝错误!n3＋错误!n2＋错误!n，S3＝错误!n4＋错误!n3＋错误!n2，S 4＝15n5＋错误!n4＋错误!n3－错误!n,S5＝An6＋错误!n5＋错误!n4＋Bn2，…可以推测,A－B＝________。
高中数学 章末分层突破2学案 新人教B版选修2-1(2021年整理)
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章末分层突破［自我校对］①对称性②离心率③顶点④渐近线⑤离心率________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________圆锥曲线定义及应用,要有运用圆锥曲线定义解题的意识,“回归定义”是一种重要的解题策略．研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题．（1)已知动点M的坐标满足方程5错误!＝|3x＋4y－12|,则动点M的轨迹是（)A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对（2)（2016·湖南岳阳质检）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F在x轴上,离心率为错误!。
过F1的直线l交C于A,B两点，且△ABF2的周长为16,那么C的方2程为________．【精彩点拨】(1)利用动点满足的几何条件符合抛物线定义．（2)利用椭圆定义来解．【规范解答】（1）把轨迹方程5错误!＝|3x＋4y－12|写成错误!＝错误!.∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．(2）设椭圆方程为错误!＋错误!＝1(a＞b＞0),因为AB过F1且A，B在椭圆上,如图所示，则△ABF2的周长为｜AB｜＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2｜＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝4a＝16，∴a＝4.又离心率e＝错误!＝错误!，∴c＝2错误!，∴b2＝a2－c2＝8,∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1.【答案】（1）C (2)错误!＋错误!＝1[再练一题]1．点P是抛物线y2＝8x上的任意一点,F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3），求｜PM｜＋｜PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．【解】抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2,那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D,那么｜PM|＋|PF｜＝|PM｜＋｜PD｜.如图所示，根据平面几何知识，当M，P,D三点共线时,｜PM|＋｜PF｜的值最小，且最小值为|MD|＝2－（－2）＝4,所以|PM|＋｜PF|的最小值是4.此时点P的纵坐标为3,所以其横坐标为错误!，即点P的坐标是错误!.圆锥曲线的方程与性质标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b,c，e之间的关系等．如图2.1所示，F1,F2是椭圆C1：错误!＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( ）图2。
高中数学人教B版选修1-1学案：第三单元 章末复习课 Word版含答案
学习目标1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题．知识点一在x ＝x 0处的导数1．定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx→0ΔyΔx＝________________，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数．2．几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数是函数图象在点(x 0，f (x 0))处的切线________． 知识点二导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的__________(简称________)，f ′(x )＝y ′＝____________.知识点三基本初等函数的导数公式知识点四导数的运算法则1．函数的单调性与导数如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间内单调递增；________，则f(x)在此区间内单调递减．2．函数的极值与导数已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有________，则称函数f(x)在点x0处取____________，记作y极大值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有________，则称函数f(x)在点x0处取____________，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．知识点六求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤1．求f(x)在开区间(a，b)内所有____________．2．计算函数f(x)在极值点和________________，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．类型一导数几何意义的应用例1已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由y0－y1x0－x1＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一类类型．跟踪训练1已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在实数k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，说明理由．类型二函数的单调性与导数 例2已知函数f (x )＝ax －1e x .(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若对任意t ∈[12，2]，f (t )>t 恒成立，求实数a 的取值范围．反思与感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间． (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价． (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集． (4)求参数的范围时常用到分离参数法． 跟踪训练2已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．类型三函数的极值、最值与导数例3已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，过曲线y ＝f (x )上的点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1，y ＝f (x )在x ＝－2时有极值． (1)求f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的单调区间和最大值．反思与感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义． (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f ′(x )的正负．(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者． 跟踪训练3已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．类型四分类讨论思想 例4已知函数f (x )＝ln xx －1.(1)试判断函数f (x )的单调性；(2)设m >0，求f (x )在[m,2m ]上的最大值； (3)试证明：对∀n ∈N ＋，不等式ln(1＋n n )e <1＋nn .反思与感悟(1)分类讨论即分别归类再进行讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略．(2)解题时首先要思考为什么分类，即分类依据是什么，一般的分类依据如：方程类型、根的个数及与区间的关系、不等号的方向等；其次考虑分几类，每一类中是否还需要再分类． (3)分类讨论的基本原则是不重不漏．跟踪训练4设函数f (x )是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝x 3－ax (a 为实数)．(1)当x ∈(0,1]时，求f (x )的解析式；(2)若a >3，试判断f (x )在(0,1]上的单调性，并证明你的结论； (3)是否存在a ，使得当x ∈(0,1]时，f (x )有最大值1?1．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12C ．－22D.22.2．如果函数f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是()3．体积为16π的圆柱，它的半径为________时，圆柱的表面积最小．4．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上单调递增，则a 的最大值为________． 5．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．明确“过点P (x 0，y 0)的曲线y ＝f (x )的切线方程”与“在点P (x 0，y 0)处的曲线y ＝f (x )的切线方程”的异同点．2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．答案精析知识梳理 知识点一 1．lim Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx2．斜率 知识点二 导函数导数li m Δx→f (x ＋Δx )－f (x )Δx知识点三0ux u －1cos x －sin xa x ln ae x1x ln a 1x知识点四f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )知识点五1．f ′(x )>0f ′(x )<02．f (x )<f (x 0)极大值f (x )>f (x 0)极小值 知识点六 1．极值点 2．端点的函数值 题型探究例1解函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ， f ′(x )＝1－2x (x >0),∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1,∴y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1), 即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0.①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .∵当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．跟踪训练1解(1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y＝g(x)相切的直线方程．设切点坐标为(x0,3x20＋6x0＋12)，又因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)．将点(0,9)代入，得9－3x20－6x0－12＝－6x20－6x0，所以3x20－3＝0，得x0＝±1.当x0＝1时，g′(1)＝12，g(1)＝21，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y＝12x＋9；当x0＝－1时，g′(－1)＝0，g(－1)＝9，切点坐标为(－1,9)，所以切线方程为y＝9.下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：因为f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，所以f′(x)＝－6x2＋6x＋12.由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切线．由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9，所以y＝9是公切线．综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线．例2解(1)当a＝1时，f(x)＝x－1 e x，∴f ′(x )＝－x ＋2e x .由f ′(x )>0，得x <2， 由f ′(x )<0，得x >2.故f (x )的单调递增区间为(－∞，2)，单调递减区间为(2，＋∞)． (2)若对任意t ∈[12，2]，f (t )>t 恒成立，则当x ∈[12，2]时，ax －1e x >x 恒成立，即当x ∈[12，2]时，a >e x ＋1x 恒成立．设g (x )＝e x ＋1x ，x ∈[12，2]，则g ′(x )＝e x －1x 2，x ∈[12，2]．设h (x )＝e x －1x2，∵h ′(x )＝e x ＋2x 3>0在x ∈[12，2]上恒成立，∴h (x )在[12，2]上单调递增，即g ′(x )＝e x －1x 2在[12，2]上单调递增．∵g ′(12)＝e 12－4<0，g ′(2)＝e 2－14>0，∴g ′(x )＝e x －1x 2在[12，2]上有零点m ，∴g (x )＝e x ＋1x 在[12，m ]上单调递减，在[m,2]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >g (12)，a >g (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a >e ＋2，a >e 2＋12，∴a >e 2＋12.即实数a 的取值范围为(e 2＋12，＋∞)．跟踪训练2解(1)求导得f ′(x )＝3x 2－a ， 因为f (x )在R 上是增函数，所以f ′(x )≥0在R 上恒成立． 即3x 2－a ≥0在R 上恒成立， 即a ≤3x 2，而3x 2≥0，所以a ≤0.当a ＝0时，f (x )＝x 3－1在R 上单调递增，符合题意． 所以a 的取值范围是(－∞，0]．(2)假设存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减， 则f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立． 即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， 即a ≥3x 2，又因为在(－1,1)上，0≤3x 2<3， 所以a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )＝3x 2－3，在(－1,1)上，f ′(x )<0， 所以f (x )在(－1,1)上单调递减， 即a ＝3符合题意．所以存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，且a 的取值范围是[3，＋∞)． 例3解(1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 所以f ′(1)＝3＋2a ＋b ， 故过曲线上P 点的切线方程为 y －f (1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)，即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)， 已知该切线方程为y ＝3x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝3，c －a －2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，c －a ＝3，因为y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，所以f ′(－2)＝0， 即－4a ＋b ＝－12， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，c －a ＝3，－4a ＋b ＝－12，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，c ＝5，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5. (2)由(1)知f ′(x )＝3x 2＋4x －4 ＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.当x ∈[－3，－2)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，23)时，f ′(x )<0；当x ∈(23，1]时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调递增区间为[－3，－2)和(23，1]，单调递减区间为(－2，23)．又f (－2)＝13，f (23)＝9527，f (－3)＝8，f (1)＝4，所以f (x )在区间[－3,1]上的最大值为13.跟踪训练3解(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知，f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 所以函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln5. 例4(1)解函数f (x )的定义域是(0，＋∞)． 由已知f ′(x )＝1－ln xx2，令f ′(x )＝0，得1－ln x ＝0，所以x ＝e. 因为当0<x <e 时，f ′(x )＝1－ln xx 2>0，当x >e 时，f ′(x )＝1－ln xx 2<0，所以函数f (x )在(0，e]上单调递增， 在(e ，＋∞)上单调递减．(2)解由(1)知函数f (x )在(0，e]上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ①当0<2m ≤e ，即0<m ≤e2时，f (x )在[m,2m ]上单调递增， 所以f (x )max ＝f (2m )＝ln2m2m－1；②当m ≥e 时，f (x )在[m,2m ]上单调递减．所以f (x )max ＝f (m )＝ln m m－1； ③当m <e<2m ，即e 2<m <e 时， 当m ≤x <e 时，f ′(x )>0，当e<x ≤2m 时，f ′(x )<0，所以f (x )max ＝f (e)＝1e－1. (3)证明由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )max ＝f (e)＝1e－1， 所以在(0，＋∞)上恒有f (x )＝ln x x －1≤1e －1， 即ln x x ≤1e，当且仅当x ＝e 时“＝”成立， 所以对∀x ∈(0，＋∞)恒有ln x ≤1ex . 因为1＋n n >0，1＋n n≠e ， 所以ln 1＋n n <1e ·1＋n n ⇒ln(1＋n n )e <1＋n n， 即对∀n ∈N ＋，不等式ln(1＋n n )e <1＋n n恒成立． 跟踪训练4解(1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)．∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3＋ax ，即当x ∈(0,1]时，f (x )＝－x 3＋ax .(2)f (x )在(0,1]上单调递增，证明如下：f ′(x )＝－3x 2＋a ，x ∈(0,1]，∴－3x 2∈[－3,0)．又a >3，∴a －3x 2>0，即f ′(x )>0.∴f (x )在(0,1]上单调递增．(3)当a >3时，f (x )在(0,1]上单调递增，∴f (x )max ＝f (1)＝a －1＝1.∴a ＝2与a >3矛盾．当0≤a ≤3时，令f ′(x )＝a －3x 2＝0，得x ＝a 3或x ＝－a 3(舍去)． 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )>0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 3上单调递增． 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，1时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫a 3，1上单调递减． 又函数f (x )在x ＝a 3处连续， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－⎝⎛⎭⎫a 33＋a a 3＝1.解得a ＝3274. 当a <0时，f ′(x )＝a －3x 2<0，∴f (x )在(0,1]上单调递减，f (x )在(0,1]上无最大值． 综上，存在a ＝3274，使f (x )在(0,1]上有最大值1. 当堂训练1．B[y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12.] 2．A[由f (x )与f ′(x )的关系可知选A.]3．2解析设圆柱底面半径为r ，母线长为l .∴16π＝πr 2l ，即l ＝16r2， 则S 表面积＝2πr 2＋2πrl ＝2πr 2＋2πr ×16r 2＝2πr 2＋32πr， 由S ′＝4πr －32πr2＝0，得r ＝2. ∴当r ＝2时，圆柱的表面积最小．4．3解析由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ≥0(x ≥1)，∴a ≤3x 2，∴a ≤3，∴a 的最大值为3.5．解(1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32. 由题意知，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1. (2)由(1)知，f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， 则f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，无极大值．。
高中数学(北师大版)选修1-2教案：第3章 数学证明 参考学案
3.2数学证明学习目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
学习过程：一、预习：1、引言：小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。
由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财。
但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？？？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？分析上面的问题：大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行为。
其刑事责任年龄起点为14周岁，对财物的数额没有要求。
小前提：小明超过14周岁，强行向路人抢取钱财50元。
结论：小明犯了抢劫罪。
2、我们知道合情推理所得结论不一定正确,那么怎样推理所得的结论就一定正确呢?又怎样证明一个结论呢?3、三段论的基本格式：4、归纳：三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理。
三段论中三个简单判断只包含三个不同的概念，每个概念都重复出现一次。
这三个概念都有专门名称：结论中的宾词叫“大词”，结论中的主词叫“小词”，结论不出现的那个概念叫“中词”，在两个前提中，包含大词的叫“大前提”，包含小词的叫“小前提”。
演绎推理的特点:1．演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般到特殊的推理；2、在演绎推理中，前提于结论之间存在着必然的联系，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。
因此演绎推理是数学中严格的证明工具。
3、在演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学论证和系统化。
二、课堂训练：例1、把“函数y=x 2+x+1的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论例2. D,E,F 分别是BC,CA,AB 上的点,∠BFD=∠A,DE ∥BA,求证：ED=AF例3、已知a,b,m 均为正实数，b<a ，求证：ma mb a b ++〈三、练习：1、把下列推理恢复成完全的三段论是直角三角形；，所以，，三边长依次为）因为（ABC ABC ∆∆54312、下面说法正确的有（ ）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
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章末分层突破[自我校对]①i 2＝－1 ②a ＝c ，b ＝d ③z －＝a －b i ④Z (a ，b ) ⑤OZ →⑥a ＋c ⑦(b ＋d )i ⑧(a －c )＋(b －d )i1.复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数（a ＝0）非纯虚数（a ≠0）2.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(或不等式)即可.当实数a 为何值时，z ＝a 2－2a ＋(a 2－3a ＋2)i ： (1)为实数； (2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内； (4)对应的点在直线x －y ＝0上.【精彩点拨】 解答本题可根据复数的分类标准，列出方程(不等式)求解. 【规范解答】 (1)由z ∈R ，得a 2－3a ＋2＝0， 解得a ＝1或a ＝2.(2)z 为纯虚数，⎩⎨⎧a 2－2a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，即⎩⎨⎧a ＝0或a ＝2，a ≠1且a ≠2. 故a ＝0.(3)z 对应的点在第一象限，则⎩⎨⎧a 2－2a >0，a 2－3a ＋2>0，∴⎩⎨⎧a <0或a >2，a <1或a >2， ∴a <0或a >2.∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞). (4)依题得(a 2－2a )－(a 2－3a ＋2)＝0， ∴a ＝2. [再练一题]1.当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数.【导学号：37820049】【解】 (1)当⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数. (2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数.同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式.计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 8. 【精彩点拨】 先由－32－12i ＝i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ，1－3i ＝(－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ，将原式化简，再利用－12＋32i 的特殊性进行求解.【规范解答】 原式＝i12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 12＋（1＋i ）8⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 8＝1×1＋（2i ）4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 9＝1＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－7＋83i.[再练一题]2.计算：(1)（2＋2i ）4（1－3i ）5；(2)（－1＋3i ）3（1＋i ）6－－2＋i 1＋2i.【解】 (1)原式＝24（1＋i ）4－25⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝－12·（2i ）2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 6＝－12·(－4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i. (2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 3[（1＋i ）2]3－（－2＋i ）（1－2i ）5＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 3（2i ）3－－2＋4i ＋i ＋25＝8－8i－i ＝i －i ＝0.除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：(1)|z |＝1⇔z ＝1z . (2)z ∈R ⇔z ＝z .(3)z ≠0，z 为纯虚数⇔z ＝－z .设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若z1＋z 2∈R ，则a ，b 应满足什么条件？并说明理由.【精彩点拨】 解答本题可求出z1＋z 2的代数形式，由其虚部为0可得a ，b 满足的条件；也可利用共轭复数的性质求解.【规范解答】 法一：z1＋z 2＝a ＋b i 1＋a 2－b 2＋2ab i＝（a ＋b i ）（a 2－b 2＋1－2ab i ）（a 2－b 2＋1）2＋（2ab ）2＝（a 3＋ab 2＋a ）－b （a 2＋b 2－1）i （a 2－b 2＋1）2＋4a 2b 2∈R ，∴b (a 2＋b 2－1)＝0. ∴b ＝0或a 2＋b 2＝1.法二：∵z 1＋z 2∈R ，∴z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫-z 1＋z 2＝-z 1＋z 2＝-z 1＋z 2， 即z (1＋z 2)－z －(1＋z 2)＝0， ∴z ＋|z |2·z －－z －－|z |2·z ＝0， 即(z －z －)(1－|z |2)＝0， ∴z ＝z －或1－|z |2＝0. 由z ＝z －，得b ＝0. 由1－|z |2＝0，得a 2＋b 2＝1. ∴b ＝0或a 2＋b 2＝1. [再练一题] 3.已知z －1z ＋1为纯虚数，且(z ＋1)(z －＋1)＝|z |2，求复数z . 【导学号：37820050】【解】 由(z ＋1)(z －＋1)＝|z |2⇒z ＋z －＝－1. ① 由z －1z ＋1为纯虚数⇒z －1z ＋1＋-z －1-z ＋1＝0⇒z ·z －－1＝0. ②设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ， 代入①②，得a ＝－12，a 2＋b 2＝1. ∴a ＝－12，b ＝±32. ∴z ＝－12±32i.1.点Z (a ，b )或向量OZ 称为复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的几何表示，因此复平面的点与复平面的向量是复数的两个几何形象.2.复数形式的基本轨迹(1)当|z －z 1|＝r 时，表示复数z 对应的点的轨迹是以z 1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆|z|＝1.(2)当|z－z1|＝|z－z2|时，表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线.(3)|z1－z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离.若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是()A.2B.3C.4D.5【精彩点拨】常规方法是运用复数的代数形式，把复数最值问题转化为一般函数最值问题再解决，而运用|z－z0|的几何意义解决更为简便.【规范解答】如图，|z＋2－2i|＝1表示以C(－2，2)为圆心，1为半径的圆，则|z－2－2i|的最小值是指点A(2，2)到圆的最短距离，显然|AB|＝|AC|－1＝3，即为最小值，故选B.【答案】 B[再练一题]4.(2016·杭州高二检测)已知|z|＝2，则|z＋1＋3i|的最大值和最小值分别为________.【解析】设z＝x＋y i(x，y∈R)，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z＋1＋3i|表示点(x，y)到点(－1，－3)的距离.又因为点(－1，－3)在圆x2＋y2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－3)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z＋1＋3i|的最大值和最小值分别为4和0.【答案】4，01.(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则-z|z |＝( ) A.1 B.－1 C.45＋35iD.45－35i【解析】 ∵z ＝4＋3i ，∴z －＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴-z |z |＝4－3i 5＝45－35i. 【答案】 D2.(2016·全国卷Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( ) A.－1＋2i B.1－2i C.3＋2iD.3－2i【解析】 由z ＋i ＝3－i 得z ＝3－2i ，∴z ＝3＋2i ，故选C. 【答案】 C3.(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( )A.－3B.－2C.2D.3【解析】 (1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.【答案】 A4.(2015·陕西高考)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12πB.12＋1πC.12－1πD.14－12π【解析】 |z |＝（x －1）2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示.当|z|≤1时，y≥x表示的是图中阴影部分，其面积为S＝14π×12－12×1×1＝π－24.又圆的面积为π，根据几何概型公式得概率P＝π－24π＝14－12π.【答案】 D5.(2015·江苏高考)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为______. 【解析】∵z2＝3＋4i，∴|z2|＝|z|2＝|3＋4i|＝32＋42＝5，∴|z|＝ 5.【答案】 5章末综合测评(三) 数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.(2015·福建高考)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A.3，－2B.3，2C.3，－3D.－1，4【解析】(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋b i，所以a＝3，b＝－2.【答案】 A2.(2015·广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝()A.2－3iB.2＋3iC.3＋2iD.3－2i【解析】∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.【答案】 A3.(2016·衡阳高二检测)若i(x＋y i)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋y i 的模是()【导学号：37820051】A.2B.3C.4D.5【解析】 由i(x ＋y i)＝3＋4i ，得－y ＋x i ＝3＋4i ，解得x ＝4，y ＝－3，所以复数x ＋y i 的模为42＋（－3）2＝5.【答案】 D4.(2014·广东高考)已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝( ) A.－3－4i B.－3＋4i C.3－4iD.3＋4i【解析】 由(3－4i)z ＝25，得z ＝253－4i ＝25（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝3＋4i ，故选D.【答案】 D5.(2016·天津高二检测)“m ＝1”是“复数z ＝(1＋m i)(1＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 z ＝(1＋m i)(1＋i)＝1＋i ＋m i －m ＝(1－m )＋(1＋m )i ，若m ＝1，则z ＝2i 为纯虚数；若z 为纯虚数，则m ＝1.故选C.【答案】 C6.设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A.实轴上B.虚轴上C.直线y ＝±x (x ≠0)上D.以上都不对 【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在复平面上的对应点在直线y ＝±x (x ≠0)上. 【答案】 C 7.设复数z 满足1－z1＋z＝i ，则|1＋z |＝( )A.0B.1C. 2D.2【解析】 ∵1－z1＋z＝i ，∴z ＝1－i 1＋i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－i ，∴|z ＋1|＝|1－i|＝ 2. 【答案】 C8.设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z －i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋iD.－1－i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z －i ＋2＝2z ，得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，∴z ＝1＋i. 【答案】 A9.若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2【解析】 z 2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos 2θ－sin 2θ)＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴⎩⎨⎧sin 2θ＝0，cos 2θ＝－1， ∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )，令k ＝0知选D. 【答案】 D 10.当z ＝－1－i2时，z 100＋z 50＋1的值是( ) A.1B.－1C.iD.－i 【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 250＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2250＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2225＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.【答案】 D11.在复平面上，正方形OBCA 的三个顶点A ，B ，O 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i ，0，则这个正方形的第四个顶点C 对应的复数是( )A.3＋iB.3－iC.1－3iD.－1＋3i【解析】 ∵正方形的三个顶点的坐标分别是A (1，2)，B (－2，1)，O (0，0)，∴设第四个顶点C 的坐标为(x ，y )，则BC →＝OA →，∴(x ＋2，y －1)＝(1，2).∴⎩⎨⎧x ＋2＝1，y －1＝2，∴⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3， ∴第四个顶点C 的坐标为(－1，3).【答案】 D12.复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R )在复平面内对应向量的模为2，则|z ＋2|的最大值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】 由于|z |＝2，所以（x －2）2＋y 2＝2，即(x －2)2＋y 2＝4，故点(x ，y )在以(2，0)为圆心，2为半径的圆上，而|z ＋2|＝|x ＋y i|＝x 2＋y 2，它表示点(x ，y )与原点的距离，结合图形易知|z ＋2|的最大值为4，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上.)13.(2015·天津高考)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.【解析】 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0，1－2a ≠0，解得a ＝－2.【答案】 －214.复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是________.【解析】 ∵z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，z 2＝2－i 3＝2＋i ， ∴P (－1，0)，Q (2，1)，∴PQ →＝(3，1)，即PQ →对应的复数为3＋i.【答案】 3＋i15.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则对复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝3＋2i 的复数z 等于___________________________________________.【解析】 由定义运算，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2i ＝2z i －z ＝3＋2i ，则z ＝3＋2i －1＋2i ＝（3＋2i ）（－1－2i ）（－1＋2i ）（－1－2i ）＝15－85i. 【答案】 15－85i16.复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________.【导学号：37820052】【解析】 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎨⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2. 由条件得|z |＝（a －2）2＋（a ＋1）2 ＝2a 2－2a ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＋92 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋92， 因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R )是4－20i 的共轭复数，求实数x 的值.【解】 ∵复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ，∴x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ，∴⎩⎨⎧x 2＋x －2＝4，x 2－3x ＋2＝20，∴x ＝－3. 18.(本小题满分12分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－6m 1－i－2(1－i)，当实数m 取什么值时，复数z 是：(1)虚数；(2)纯虚数.【解】 z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，(1)当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数.(2)当⎩⎨⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，即m ＝－12时，z 为纯虚数.19.(本小题满分12分)设复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值.【解】 z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3（1－i ）2＋i＝3－i 2＋i ＝（3－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝1－i. 将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，－（a ＋2）＝1.所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.20.(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .【导学号：37820053】【解】 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |，所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎨⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎨⎧x 1＝－5，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－3，y 2＝4. 因为|OA |≠|BC |，所以x 2＝－3，y 2＝4(舍去)，故z ＝－5.21.(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2.(1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积.【解】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，∴2ab ＝2.∴a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i.∴点A (1，1)，B (0，2)，C (1，－1)，∴S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i.∴点A (－1，－1)，B (0，2)，C (－1，－3)，∴S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.即△ABC 的面积为1.22.(本小题满分12分)已知关于x 的方程：x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )有实数根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的值.【解】 (1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )的实根，∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，∴⎩⎨⎧b 2－6b ＋9＝0，a ＝b ，解得a ＝b ＝3.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －3－3i|＝2|z |，得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，∴复数z 对应的点Z 的轨迹是以O 1(－1，1)为圆心，22为半径的圆，如图所示.当点Z 在OO 1的连线上时，|z |有最大值或最小值，∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，∴当z ＝1－i 时，|z |有最小值且|z |min ＝ 2.。