湖州师范学院高等数学(微积分)竞赛试题答案
微积分试题及答案【精选】
一、选择题(每题2分)1、设x ƒ()定义域为(1,2),则lg x ƒ()的定义域为() A 、(0,lg2)B 、(0,lg2]C 、(10,100)D 、(1,2)2、x=-1是函数x ƒ()=()221x x x x --的() A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点3、试求0x →A 、-14B 、0C 、1D 、∞ 4、若1y xx y+=,求y '等于() A 、22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y-- D 、22x yx y +-5、曲线221xy x =-的渐近线条数为() A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中,那个不是映射()A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+C 、2y x = D 、ln y x = (0)x >二、填空题(每题2分) 1、__________2、、2(1))l i m ()1x n xf x f x nx →∞-=+设 (,则 的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,,则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线,则 __________5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ,在点(,)的法线方程是__________ 三、判断题(每题2分)1、221x y x =+函数是有界函数 ( )2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( )3、limββαα=∞若,就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题(每题6分) 1、1sin xy x=求函数 的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知),求 3、2326x xy y y x y -+="已知,确定是的函数,求 4、20tan sin lim sin x x xx x→-求 5、计算6、21lim (cos )x x x +→计算 五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-(,总成本函数为2()20050C x x x=++,问政府对每件商品征收货物税为多少时,在企业获得利润最大的情况下,总税额最大?(8分) 2、描绘函数21y x x=+的图形(12分) 六、证明题(每题6分)1、用极限的定义证明:设01lim (),lim ()x x f x A f A x+→+∞→==则 2、证明方程10,1xxe =在区间()内有且仅有一个实数一、选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、1sin1sin1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )xxx xx xy x ee x x x x x x x x x x x'='='⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+((2、22()112(arctan )121arctan dy f x dxxx x dx x xxdx='=+-++= 3、 解:2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y xy y y x yy x y y x y x y yy y x y--'+'=-∴'=--'----'∴''=-4、解:2223000tan sin ,1cos 21tan (1cos )12lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x x x x →→→--∴==当时,原式=5、解:65232222261)61116116(1)166arctan 6arctanx t dx t tt t t t t tt t C C===+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰令原式(6、 解:201ln cos 01limln cos 20200012lim 1lim ln cos ln cos lim 1(sin )cos lim 2tan 1lim 22x xx x xx x x x x e ex xxx x x xx x e++→++++→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中:原式 五、应用题1、解:设每件商品征收的货物税为a ,利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x aaL x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-='=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时,T 取得最大值2、 解:()()2300,01202201D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-'==''=+''==-,间断点为令则令则渐进线:32lim lim 001lim x x x y y y x y y x y x x→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题 1、 证明:lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x M M M x f A x f A x εεξε→∞→∞=∴∀>∃>>-<><<>∴-<= 当时,有取=,则当0时,有即。
浙江省2005高等数学(微积分)竞赛试题(解答)
2005浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) *一、 计算题(每小题12分,满分60分)1、计算23400sin ln(1)38lim (sin )(1)xx x x x t t dt x x e →+-+--⎰. 解: 3200sin 1cos 1limlim 36x x x x x x x →→--== 原式34050sin ln(1)386lim x x x x t t dt x →+-+=⎰3240sin ln(1)26lim 5x x x x x x→+-+= 230sin 3cos ln(1)2126lim 20x x x x x x x x→++-++= 22cos (1)cos sin sin ln(1)231(1)lim10x x x x xx x x x x x→+--+++-+++= 22200cos (1)cos sin 23sin ln(1)1(1)lim lim 1010x x x x x xxx x x x x x →→+-+-+-+++=+ 2222012(1)cos sin 2(1)3(1)lim 1010(1)x x x x x x x x x →+--+++=-++ 222012(1)cos sin 2(1)3(1)lim 1010x x x x x x x x →+--+++=-+ 201cos 2(1)sin 4(1)3(1)6(1)lim 1020x x x x x x x x x →-+-+++++=-+ 20012(1)sin cos 4(1)3(1)6(1)lim lim 102020x x x x x x x x x x x→→-+-+++++=-++*周晖杰 2008/11/22011cos 198lim 101020x x x x x →-++=--+ 20011cos 198lim lim 10102020x x x x x x x→→-+=--++ 114101010105=--++=. 2、计算sin 3cos 4sin xdx x x+⎰.解: sin (3cos 4sin )(3cos 4sin )x A x x B x x '=+++ 解得: 34,2525A B =-=34(3cos 4sin )(3cos 4sin )sin 25253cos 4sin 3cos 4sin x x x x x dx dx x x x x '-+++=++⎰⎰ 3(3cos 4sin )43cos 4sin 253cos 4sin 253cos 4sin x x x x dx dx x x x x '++=-+++⎰⎰ 34ln(3cos 4sin )2525x x C =-+++. 3、计算40min(4,)xt dt ⎰.解:①x <时, 5405x x t dt =⎰,②x ≥, 4400min(4,)45x xt dt dt dt x =+=-⎰,③x ≤, 4400min(4,)4xxt dt dt dt x =+=+⎰⎰⎰. 4、设()f x 在0x =点二阶可导,且0()lim11cos x f x x→=-,求(0),(0),(0)f f f '''的值.解: ①由0()lim11cos x f x x→=-得: 0lim ()0x f x →=, ()f x 在0x =点二阶可导, 则(),()f x f x '在0x =点连续;lim ()(0)0x f x f →⇒==;②002()()lim lim 112x x f x f x x x →→'==, 同理得: (0)0f '=; ③00()()limlim 11x x f x f x x →→'''==, 则(0)1f ''=.5、设(,)()z f x y x y g x ky =-+++,,f g 具有二阶连续偏导数,且0g ''≠, 如果222222224z z zf x x y y∂∂∂''++=∂∂∂∂,求常数k 的值. 解:12zf fg x∂'''=++∂, 12z f f kg y ∂'''=-++∂212111221222f f z g f f f f g x x x x '''∂∂∂∂''''''''''=++=++++∂∂∂∂ 21211122122f f z g f f f f kg x y y y y'''∂∂∂∂''''''''''=++=-+-++∂∂∂∂∂ 2212111221222f f z g k f f f f k g y y y y'''∂∂∂∂''''''''''=-++=--++∂∂∂∂ ,f g 具有二阶连续偏导数, 1221f f ''''=, 代入222222224z z zf x x y y∂∂∂''++=∂∂∂∂得: 2(21)0k k g ''++=,由于0g ''≠, 则1k =-.二、(满分20分)计算22323lydx xdyx xy y --+⎰Ñ,其中l 为1x y +=沿正向一周.解: 令2222,323323y xP Q x xy y x xy y-==-+-+⇒其中22:1C x y +=,令cos ,sin x y θθ==,转化为定积分得:2232332C Cydx xdy ydx xdyx xy y xy--=-+-⎰⎰蜒22222002sin cos 12(cos sin )22sin ()4d d ππθθθθπθθθ--==-+-+-⎰⎰ 7242024111()421sin 22sin ()4d dt t ππππθπθ-=--=-++-⎰⎰2222001111221sin 1sin 1sin dt dt dt tt t ππππ-=-=-=-+++⎰⎰⎰. 令21tan ,arctan ,1t x t x dt dx x===+212122dt x +∞=-=-+⎰.注意:②0()(),a TT af x dx f x dx +=⎰⎰2200(sin ,cos )(sin ,cos )llf d f d ππθθθθθθ++=⎰⎰三、(20分) 在某平地上向下挖一个半径为R 的半球形池塘,若某点泥土的密度为22r R e ρ=,其中r 为此点离球心的距离,试求挖池塘需做的功.解:①定积分难计算在于同一水平面上泥土的密度不一样; ②二重积分??? ③三重积分蓝色这一点泥土做的功为:2222()xy z R dW e dvgz ++= 2222()xy z R W e gzdv ++Ω⇒=⎰⎰⎰,用球面坐标sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩222222()2cos sin xy z R rR W e gzdv e gr r drd d ϕϕϕθ++ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222233200sin 2sin 222R rR rR gg e r drd d d d e r dr ππϕϕθθϕϕΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰42gR π=.注意:①dxdydz z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(222111()(,)2()(,)(cos sin ,sin sin ,cos )sin r r d d f r r r r dr θϕθθϕθϕθθϕθϕθϕθϕϕϕ=⎰⎰⎰②先重后单 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩzD dc dxdy z y x f dz dxdydz z y x f ),,(),,(.一方面, 要求平行于坐标面的平面截空间Ω得截面是规则图形,如圆、椭圆等;另一方面, 被积函数为)(),,(z f z y x f =,或)(),,(x f z y x f =或)(),,(y f z y x f =时,利用先重后单法计算常能简单.R2222()(,)x y zR x y e ρ++=z22R z -四、(20分)证明: 当02x π<<时,(1) 3tan 3x x x >+;(2) 35721tan 31563x x x x x >+++.证明: (1)3()tan 3x f x x x =--, 22()sec 1f x x x '⇒=--2()2(sec tan )0f x x x x ''⇒=->, 由于2tan ,sec 1x x x >>;(0,),()(0)02x f x f π''⇒∀∈>=(0,),()(0)02x f x f π⇒∀∈>=即: 当02x π<<时, 3tan 3x x x >+(2) 35721tan 31563x x x x x >+++ 200tan sec 1x x x x=='==, 200tan 2sec tan 0x x x x x==''==22400tan [4sec tan 2sec ]2x x x x x x =='''=+=(4)23440tan [8sec tan 8sec tan 8sec tan ]0x x xx x x x x x ===++=没法再求下去了,看来泰勒公式不适用了!35721()tan 31563x f x x x x x =----224622462121()sec 1tan 3939f x x x x x x x x x '=----=---2642224211tan (69)tan (69)99x x x x x x x x =-++=-++22232222221(3)tan (3)tan tan 0933x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+=-+=-=-+>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.五、(15分)判别级数11(1)n n∞=-⋅∑的敛散性. 解: [][]1x x x ≤<+或1[]x x x -<≤11(1)n n∞=-⋅∑222111111111111(1)1234589101512n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++++-+++++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L L令22211112n a n n n n =+++++L ,则111(1)(1)n n n n a n ∞∞==-⋅=-∑∑交错项级数 ①222111lim lim 012n n n a n n n n →∞→∞⎛⎫=+++= ⎪++⎝⎭L 由夹逼定理; ②122221111(1)(1)1(1)2(1)2(1)n a n n n n n n +=+++++++++++++L L六、(15分)对下列函数()f x ,分别说明是否存在一个区间[,]a b , 0a >,使{()[,]}{[,]}f x x a b x x a b ∈=∈,并说明理由.(1) 212()33f x x =+; (2) 1()f x x=; (3)1()1f x x=-.解: (1) 由于212()033f x x =+>, 所以若这样的区间[,]a b 要存在的话,必有0a ≥.又由于212()33f x x =+在[,]a b 是单调递增的, 所以必须要满足21233x x +=, 解得: 12x x ==或, 由于212()33f x x =+是连续函数, 故该区间为[1,2].总结: 对单调递增连续函数来说, 只要保证两个端点的值相等. (2) 1()f x x=, 0x ≠所以讨论0,0a b ><或,当0a >, 由于1()f x x=在(0,)+∞单调递减且连续, 所以只要11,b a a b==, 即该区间为1[,],01a a a<<或1[,],1a a a>. (3) 1()1f x x =-, 21()0f x x '=> 令11x x-=, 无根,223+。
微积分数学竞赛试题及答案
微积分数学竞赛试题及答案试题一:极限问题题目:求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答:根据洛必达法则,当分子分母同时趋向于0时,可以对分子分母同时求导后再求极限。
对分子和分母分别求导得到:\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \]因此,原极限的值为1。
试题二:导数问题题目:求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解答:首先求函数 \( f(x) \) 的导数:\[ f'(x) = 6x - 2 \]然后将 \( x = 1 \) 代入导数表达式中:\[ f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \]所以,函数在 \( x = 1 \) 处的导数为4。
试题三:积分问题题目:求定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
解答:使用幂函数的积分公式:\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]对于 \( n = 2 \),我们有:\[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \]计算定积分的值:\[ \int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}= \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]试题四:级数问题题目:判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \) 是否收敛。
解答:这个级数可以通过部分分式分解来简化:\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \]解得 \( A = 1 \) 和 \( B = -1 \),因此:\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]将这个结果代入级数中,我们得到一个望远镜级数:\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \]这个级数的项会相互抵消,只剩下第一项 \( \frac{1}{1} \),所以级数收敛,其和为1。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε,总存在δ>0,使得当时,恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ,则a = ,b = 。
3. 若当0x x →时,α与β 是等价无穷小量,则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续,则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导,则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2+2x -5上点M 处的切线斜率为6,则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=,52+=Q C ,则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域(a -ε,a +ε)内有无穷多个点,则( )。
(A) 数列{x n }必有极限,但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在,且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的( )。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x( )。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=,需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p ( )时,需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→;在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在,又a 是常数,则下列结论正确的是( )。
高等数学(微积分)竞赛工科类试题整理1
浙江和江苏试题2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)一.计算题(每小题12分,满分60分) 1、求9⎰.解: 9551155==⎰⎰⎰111111555u t u du=+-==-⎰⎰⎰312222155u u C=-+Cx x ++-+215235)1(52)1(152。
2、求1120(1)(12)limsin xxx x x x→+-+.解:1111220(1)(12)(1)(12)limlimsin x xx xx x x x x x xx→→+-++-+=11022201ln(1)1ln(12)lim (1)(12)(1)(21)2x xx x x x x x x x x x x →⎧⎫⎡⎤⎡⎤++=+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 0112220(1)ln(1)2(21)ln(12)lim (1)(12)(1)2(21)x xx x x x x x x x x x x x x →⎧⎫⎡⎤⎡⎤-++-++=+-+⎨⎬⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 1122200(1)ln(1)2(21)ln(12)lim (1)lim (12)(1)2(21)x x x x x x x x x x x x x x x x →→⎡⎤⎡⎤-++-++=+-+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦22(1)ln(1)2(21)ln(12)limlim2x x x x x x x x e e xx→→-++-++=-00ln(1)2ln(12)lim lim24x x x x e e x x→→-+-+=-22e e e =-+=.3、求p 的值,使22007()()0b x p ax p edx ++=⎰.解: 222007()2007()t x pbb p x p ta a px p e dx te dt =+++++=⎰⎰被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即:a pb p +=--,解得:2a b p +=-.4、计算2222max{,}00,(0,0)abb x a y dx edy a b >>⎰⎰. 解: 22222222max{,}max{,}00abb xa yb x a y Ddx e dy ed σ=⎰⎰⎰⎰, 其中D 如右图2222222212max{,}max{,}b x a y b x a y D D ed ed σσ=+⎰⎰⎰⎰222212a yb xD D ed ed σσ=+⎰⎰⎰⎰2222ab b ya xa yb xb a dy edx dx edy=+⎰⎰⎰⎰2222b aa yb xa b yedy xedxba=+⎰⎰2222222211()()22b a a yb xed a y ed b x ab ab=+⎰⎰221(1)a beab=-.5、计算2()Sx y dS+⎰⎰,其中S 为圆柱面224,x y +=解: 2221()()2SSSx y dS x y dS ydS +=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰142SSdS ydS =+⎰⎰⎰⎰ 8yzD π=+⎰⎰8yzD π=+⎰⎰8π=被积函数关于y 是奇函数,积分区域关于z 对称,二、(20分)设1211211212345632313nun n n=+-++-+++--- ,111123n v n n n=+++++ ,求: (1)1010u v ;(2)lim n n u →∞.解: (1)111232313nn k u k k k=⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭∑ 1211211212345632313n n n=+-++-+++--- ,23111111nnnn k k k v n kkk=====-+∑∑∑111111111111123456323132n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++++++++++-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭31111121132313nn nn n k k k u v k k k k k ===⎛⎫-=+--- ⎪--⎝⎭∑∑∑11211033nnk k k k k ==⎛⎫=---= ⎪⎝⎭∑∑ 1n vu v ⇒=;(2)111lim lim lim 123n n n n n u v n n n →∞→∞→∞⎛⎫==+++ ⎪++⎝⎭11111lim 1221111n k nn n n n n →∞⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪++++⎪⎝⎭(图来说明积分上下)2111lim1nn k k nn→∞==+∑201ln 31dx x==+⎰.三、(满分20分)有一张边长为4π的正方形纸(如图),C 、D 分别为A A '、B B '的中点,E为D B '的中点,现将纸卷成圆柱形,使A 与A '重合,B与B '重合,并将圆柱垂直放在xOy 平面上,且B 与原点O 重合,D 若在y 轴正向上,求:(1) 通过C ,E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程; (2) 此旋转曲面、xOy 平面和过A 点垂直于z 轴的平面所围成的立体体积.解:C EL :22224x y z π--==--旋转曲面上任意取一点(,,)M x y z则000(,,)N x y z 的坐标为:0002222z x z y z z ππ-⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩,(0,0,)Q zM Q N Q ===化简得:所求的旋转曲面方程为:222282zxy π+-=,(2)(0,0,4)A π,故过(0,0,4)A π垂直z 轴的平面方程为:4z π=BDB 'Ex令0x=,解得在坐标面yo z上的曲线方程为:22282zyπ-=,图中所求的旋转体的体积为:24V dzππ⎛=⎝⎰24282zdzπππ⎛⎫=+⎪⎝⎭⎰242322zdzπππ=+⎰222321283233πππ=+=.四、(20分) 求函数2222(,,)x yzf x y zx y z+=++,在222{(,,)14}D x y z x y z=≤++≤的最大值、最小值.解:222222222222222()2()222(,,)()()xx x y z x x yz xy xz xyzf x y zx y z x y z++-++-'==++++2222232222222222()2()2(,,)()()yz x y z y x yz zx z yx y zf x y zx y z x y z++-++--'==++++2222232222222222()2()2(,,)()()zy x y z z x yz yx y zx z yf x y zx y z x y z++-++--'==++++由于,x y具有轮换对称性,令x y=, 0x=或0y z==解得驻点: (0,,)y y或(,0,0)x对22221(0,,)2x yzf y yx y z+==++, 2222(,0,0)1x yzf xx y z+==++,在圆周2221x y z++=上,由条件极值得:令2222(,,)(1)F x y z x yz x y zλ=++++-(,,)220xF x y z x xλ'=+=8=(,,)20y F x y z z y λ'=+=(,,)20z F x y z y z λ'=+= 222(,,)10F x y z x y z λ'=++-=解得:(0,)22,(0,)22-,(0,22--,(0,22-,(1,0,0),(1,0,0)-1(0,,222f =,1(0,222f -=-,1(0,,222f --=,1(0,)222f -=-,(1,0,0)1f =,(1,0,0)1f -=;在圆周2224x y z ++=上,由条件极值得:令2222(,,)(4)F x y z x yz x y z λ=++++-(,,)220x F x y z x x λ'=+=(,,)20y F x y z z y λ'=+=(,,)20z F x y z y z λ'=+= 222(,,)40F x y z x y z λ'=++-=解得:(0,,(0,,(0,,(0, ,(2,0,0),(2,0,0)-12f =,1(0,2f =-,1(0,2f =,1(0,2f =-,(2,0,0)1f =,(2,0,0)1f -=;2222(,,)x yz f x y z x y z+=++,在222{(,,)14}D x y z x y z =≤++≤的最大值为1,最小值为12-.五、(15分)设幂级数0n n n a x ∞=∑的系数满足02a =,11n n na a n -=+-,1,2,3,n = ,求此幂级数的和函数.证明:0()nn n S x a x∞==∑1111111()(1)n n n nn n n n S x naxaxn x∞∞∞----==='⇒==+-∑∑∑()nnnnn n n ax nxS x nx ∞∞∞====+=+∑∑∑而()1200011(1)nn nn n n n n x nxx nxx xx x x x x ∞∞∞∞-====''⎛⎫⎛⎫'=====⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑,即:2()()(1)x S x S x x '-=- 一阶非齐次线性微分方程---常数变易法,求()()0S x S x '-=的通解:()xS x ce=,令()()x S x c x e =代入2()()(1)xS x S x x '-=-得:2()()()(1)xxxx c x e c x e c x e x '+-=-,即:()211()(1)111x x x x xxe c x dx xe dx xe dx x e xx x ---'⎛⎫'==⋅=-⎪----⎝⎭⎰⎰⎰()11xxxxxexee dx ec xx ----=+-=++--⎰故2()()(1)x S x S x x '-=-的通解为:1()11x x x xxe S x e c e ce x x --⎛⎫=++⋅=+ ⎪--⎝⎭,由于(0)0S =,解得1c =-, 故0n n n a x ∞=∑的和函数1()1xS x ex=--.六、(15分)已知()f x 二阶可导,且()0f x >,[]2()()()0f x f x f x '''-≥,x R ∈,(1) 证明:2121212()(),,2x x f x f x f x x R+⎛⎫≥∀∈ ⎪⎝⎭.(2) 若(0)1f =,证明(0)(),f x f x e x R'≥∈.证明: (1) 要证明2121212()(),,2x x f x f x f x x R+⎛⎫≥∀∈ ⎪⎝⎭,只需证明1212121111ln()ln ()ln ,,2222f x f x f x x x x R⎛⎫+≥+∀∈ ⎪⎝⎭,也即说明()ln()F x f x =是凹函数,[]()ln()()f x f x f x ''=,[][]22()()()()ln ()0()()f x f x f x f x f x f x f x ''''-'⎛⎫''==≥ ⎪⎝⎭, 故()ln ()F x f x =是凹函数, 即证.(2)2()()(0)(0)2F F x F F x xξ'''=++[]222()()()(0)ln (0)(0)2()x f x f x f x f f x x f f x ξ='''-'=++(0)f x'≥,即:(0)(),f xf x ex R'≥∈.2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) *一.计算题1、求xxx x x ee e sin13203lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→.解:xxxxx xxx x x e e e e e e s i n1320s i n1320331lim 3lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→→xee e x xeee ee e xxxx xxxxxx xxxee e e sin 13sin 133320323232lim 3lim ⋅++→⋅++⋅++→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2cos 3320032lim e exeee x xxx==⋅++→。
湖州师范学院高等数学(微积分)竞赛试题
湖州师范学院第六届高等数学(微积分)竞赛试题解答(文科组)竞赛时间:2008年11月19日14:00-17:00一、计算题(每小题15分,满分60分)1.设()f x 是区间(,)-∞+∞上的连续函数,且满足1201()3(),2f x x x f x dx =-+⎰求1()f x dx ⎰及()f x .解 因为()f x 是区间(,)-∞+∞上的连续函数, 所以10()f x dx ⎰必存在, 对12()3(),f x x x f x dx =-⎰取[,]01上的定积分,并令1()f x dx k =⎰得,11120001312k x dx k xdx dx =-+⎰⎰⎰,即11122k k =-+, 有1k =. 则有10()1f x dx =⎰.21()32f x x x =-+.2.解ln(1(1d =+⎰(1=++-(1C =+3.求242lim(1)(1)(1)(1)(||1).nn x x x x x →∞++++<解 242l i m (1)(1)(1)(1)nn x x x x →∞++++ 242(1)(1)(1)(1)(1)lim 1nn x x x x x x →∞-++++=-2242(1)(1)(1)(1)lim 1nn x x x x x→∞-+++=-442(1)(1)(1)lim 1nn x x x x→∞-++=-1211lim (||1)11n n x x x x+→∞-===<--.4. 设函数()f x 连续,求220()xd tf x t dt dx -⎰.解 令22x t u -=,当0t =时,2u x =;t x =时0u =,2tdt du -= 于是有220220011()()()22xx x tf x t dt f u du f u du -=-=⎰⎰⎰,因此 222201()()2()2x d tf x t dt f x x xf x dx -=⋅=⎰. 二、(本题满分15分)设)(x f 在0=x 的邻域内可导,且310)(1 lim e x x f x xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→,试求)0(f ,)0(f '. 解 由310])(1[lim e xx f x xx =++→得3])(1ln[lim=++→xx x f x x ,因为分母极限为零,从而分子极限为零,即0])(1ln[lim 0=++→xx f x x , 可以得到0)(lim=→xx f x , 同样,我们有)0(0)(lim 0f x f x ==→,由导数的定义得00)0()(lim)0('0=--=→x f x f f x三、(本题满分20分) 已知12(1)nn a x x dx =-⎰,证明:级数1n n a ∞=∑收敛,并求这个级数的和.解 设1t x =-, 则112120(1)(2)nn n n n a t t dt t t t dt ++=-=-+⎰⎰121123n n n =-++++ ………………………………………..5分于是 111111()()1223n nn k k k S a k k k k ==⎡⎤==---⎢⎥++++⎣⎦∑∑11112233n n =--+++ 故 11111l i m l i m 22336n n n S n n →∞→∞⎡⎤=--+=⎢⎥++⎣⎦则级数1n n a ∞=∑收敛,且116n n a ∞==∑. ……………………………………20分 四、 (本题满分20分)过点P(1,0)作抛物线2-=x y 的切线,该切线与上述抛物线及x 轴围成一平面图形,求此图形的面积和该图形绕y 轴旋转一周所成旋转体的体积. 解 交点坐标(3,1),直线方程)1(21-=x y321111(222x S dx -=⨯⨯+-⎰3332222112(1)(2)443x x ⎡⎤⎡⎤=+---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1114123=+=.V=⎰+-+1222])12()2[(dy y y π=⎰+-14]34[(dy y y π=56π五、 (本题满分20分)设函数()f x 满足方程2173()4()0f x x f x x+-+=,求()f x 的极大值与极小值.解 在方程2173()4()0f x x f x x+-+= (1)中用1x-替换x ,得2143()()70f f x x x x-+-=即2314()3()70f x x f x x+--= (2)联立(1)与(2),消去1()x-得33()4f x x x =+, 223()12f x x x '=-, 36()24f x x x''=+令()0f x '=,得x =, 由于0f ''=>,(0f ''=-<故f =, (f =-. 六、 (本题满分15分)设函数)(x f 在]3,0[上连续,在(0,3)内可导,且3)2()1()0(=++f f f ,1)3(=f , 试证必存在∈ξ(0,3), 使.0)(='ξf解 因为)(x f 在[0,3]上连续,故在[0,2]是连续,在[0,2]上有最大值M 和最小值m , 于是Mf m M f m Mf m ≤≤≤≤≤≤)2()1()0( ,故M f f f m ≤++≤3)2()1()0( 由介值定理知,至少存在一点]2,0[∈c 使)(c f =13)2()1()0(=++f f f 1)3()(==f c f ,且)(x f 在]3,[c 上连续,在)3,(c 内可导,由罗尔定理知,必存在)3,(c ∈ξ)3,0(⊂,使0)(='ξf .。
2012年浙江省高等数学(微积分)竞赛试题及答案 工科类
2012年浙江省高等数学(微积分)竞赛试题 工科类 一:计算题(每小题14分,共70分)1:计算:()+lim log +a ba n x x →∞2设函数f :R R →可导,且,x y R ∀∈,满足:()()+++f x y f x y xy ≥,求()f x 的表达式。
3计算: 0sin ,n x xdx n Z π*∈⎰4计算:{}-min ,2Dx y x y dxdy ⎰⎰,其中D 是2=y x 和2=x y 所围成的封闭区域。
5求曲线{33=cos =sin x a y a θθ()0,>0a θπ≤≤的形心。
二:(本题满分20分)证明:=111+ln <<1+ln ,ni n n n Z n i *∈∑三:(本题满分20分)设2:u RR →,且u 具有二阶连续偏导,求证当u 可以表示成:()()(),=u x y f x f y 的充分必要条件是:2=u u uu x y y y∂∂∂∂∂∂∂ 。
四:(本题满分20分)在空旷的草地上有一个地面半径为3的圆柱体,在墙角栓有一头山羊,其绳长为π,求山羊能吃到草地的面积。
五:(本题满分20分)求证:()-1=1=111-1C =,k nn k nk k n Z k k*∈∑∑参考答案一、计算题1、若a b ≥ l i m l o g(a bx x x x →+∞+l i m l o g(1)l i m l o g (1a b ab ax xx x x x a x a --→+∞→+∞=+=++= 同理,当a b <时,lim log ()a b x x x x →+∞+b =, 所以lim log ()a bx x x x →+∞+max(,)a b =2、解:由假设,0y ∀>,有()()1f x y f x x y+-≥+ f 可导()1f x x +'⇒≥+同理()1()1f x x f x x -''≤+⇒=+ 2()/2f x x x c =++ 3、解:sin d n x x x π⎰()011sin sin nnj j j j x x dx x j xdx ππππππ-====+-∑∑⎰⎰()()201sin d 21212nj n x x x j n n n n n n πππππ==+-=++-=+∑⎰4、解:(){}(){}12,1,,/2,01/2D x y x y x D x y x y x x =≤≤≤≤=≤≤≤≤(){}(){}2234,,1/21,,/2,01/2D x y xy x x D x y xy x x =≤≤≤≤=≤≤≤≤原积分12()d d ()d d D D y x x x y x y x x y =-+-⎰⎰⎰⎰34()d d ()d d D D x y x x y x y y x y +-+-⎰⎰⎰⎰211102d )d d ()d xxxx y x x y x x y x y =-+-⎰⎰⎰21112221002d ()d d ()2d xx xx x y x x y x x y y y +-+-⎰⎰⎰⎰11341456142210021211111()678851232x x x x x x x =-++-++146720112()24621x x x +-+111124724532245=++⨯⨯⨯⨯112533216642117920++=⨯⨯ 5、解:/0c LLx xds ds ==⎰⎰,d /d c LLy y s s =⎰⎰而d 3sin cos d s a θθθθ== 2d 3sin cos d sin cos 3Ls a ba d a ππθθθθθθ/===⎰⎰⎰/2324206d sin 3sin cos d 6sin cos d 5Ly s a x a a a ππθθθθθθθ===⎰⎰⎰0c x ∴= 25c y a =二、证明:显然11111d d j j jj x x x jx +-<<⎰⎰ 2j ≥1 1122111111d 1d 1ln nn n j n j j j j x x n j j x x -===∴=+<+=+=+∑∑∑⎰⎰另一方面111111111111d ln nn n j j j j j x n j jn x n n --+====+>+=+∑∑∑⎰三、证明:()()u f x g y =时,显然有xy x y uu u u = 反之,若xy x y uu u u =成立,即有2()/()0xxy x y y u uu u u u u-== 1/()x u u f x ⇒= 也即1121ln ()d ()()()u f x x g y f x g y =+=+⎰ ()()u f x g y ∴=四、解:(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点,拴羊点在x 轴上3x =点,则羊跑最远的曲线在3x <的区域内是渐开线 即 3(cos (/3)sin )x t t t π=-- 3(sin (/3)cos )y t t t π=+- 记在3x <山羊能吃到草的草地面积为1S3/30213/2/32d 29sin d 2(3sin (3)cos )(3)cos d S y x t t t t t t t t ππππ=-=+--⎰⎰⎰/32029sin d t t π-⎰/32223(3)sin cos (3)cos d t t t t t t πππ⎡⎤=-+-⎣⎦⎰/32029sin d t t π-⎰/322013(3)sin (3)(sin 2)2t t t t t πππ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦/32016(3)(sin 2)9sin d 2t t t t t ππ⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦⎰()/3/3/322000191133cos 2sin 29cos 2d 2222t t t t t t t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰33/319sin 2349t t ππ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭所以山羊能吃到草的草地面积333119218S πππ=+= (方法二) 山羊能吃到草的草地面积S 可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积1S 和 绳子绕向房子时转过θ∆ 其扫过的面积可近似为扇形22r θ∆()2/33103/9S d ππθθπ=-=⎰所以311/18S π=五、证明:111110011111(1)(1)d (1)d nn n k k k k k k k knn n k k k C C t t C t t k t ---===--=-=-∑∑∑⎰⎰ 1100(1)11(1)d d n n t t t t t t ----==⎰⎰101d 1nx x x -=-⎰ 而11100111d d 1nnn k k k t t t t k t -==1-==-∑∑⎰⎰ ∴等式成立。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε,总存在δ>0,使得当时,恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ,则a = ,b = 。
3. 若当0x x →时,与 是等价无穷小量,则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续,则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导,则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2+2x -5上点M 处的切线斜率为6,则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=,52+=Q C ,则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域(a -,a +)内有无穷多个点,则( )。
(A) 数列{x n }必有极限,但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在,且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的( )。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x( )。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=,需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p ( )时,需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→;在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在,又a 是常数,则下列结论正确的是( )。
湖州师范学院高等数学(微积分)竞赛试题答案
即。
五、(本题满分15分)设函数在[a,b]上连续,且f(a)=0,试证明:
证明:因判别级数的敛散性。
解:
= ,
易知当n充分大时,{ }单调下降且此数列收敛于0,由莱布尼兹判别法知,级数收敛。
必须有所知,否则不如死。——罗曼·罗兰
必须有所知,否则不如死。——罗曼·罗兰
湖州师范学院高等数学(微积分)竞赛试题答案
(工科专业)
一、 计算题(每小题15分,满分60分)
1. 计算:。
解:
=
=
最后一式是函数在[0,1]区间上的积分和(n等份,取右端点)
解:原式=。
二、(本题满分20分)在椭圆上求一点,使其到直线的距离最短。
解:设所求的点为,则P到直线的距离为
,为方便,求解如下等价问题:
在满足的条件下求的极小点。设
,
令:
解得:
计算得。
由问题的实际意义最短距离存在,因此即为所求的点。
故,
又
因此=ln2。
2.设,试求的值。
解:= ,
显然由条件知,而
因此有且,故
3. 求定积分。
解:
=
=。
4.计算二重积分,其中。
三、(本题满分20分)在xy平面上给定三点,L是由的三边组成的一条封闭曲线,试计算。
解:
。
四、(本题满分20分)设函数在[a,b]上连续,在(a, b)上可导且,试证明存在,使得。
证明:由拉格朗日中值定理知 ,
又由柯西中值定理知
所以
微积分参考答案
微积分参考答案微积分参考答案微积分是数学中的一门重要学科,它研究的是函数的变化和求解问题的方法。
在学习微积分的过程中,我们常常会遇到各种各样的问题,需要通过计算来得到准确的答案。
在这篇文章中,我将为大家提供一些常见微积分问题的参考答案,希望能对大家的学习有所帮助。
一、导数与微分1. 求函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 在 x = 2 处的导数。
解:首先,我们可以利用导数的定义来求解这个问题。
导数的定义是函数在某一点的斜率,可以通过求函数的极限来得到。
对于函数 f(x) = x^2 + 2x + 1,我们可以计算出其导数为 f'(x) = 2x + 2。
将 x = 2 代入导数公式中,得到 f'(2) = 2(2) + 2 = 6。
所以,函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 在 x = 2 处的导数为 6。
2. 求函数 g(x) = e^x 在 x = 0 处的导数。
解:函数 g(x) = e^x 是一个指数函数,其导数等于其本身。
所以,函数 g(x) = e^x 在 x = 0 处的导数为 g'(0) = e^0 = 1。
所以,函数 g(x) = e^x 在 x = 0 处的导数为 1。
3. 求函数 h(x) = ln(x) 在 x = 1 处的导数。
解:函数 h(x) = ln(x) 是一个对数函数,其导数可以通过对数函数的导数公式得到。
根据对数函数的导数公式,我们可以计算出 h'(x) = 1/x。
将 x = 1 代入导数公式中,得到 h'(1) = 1/1 = 1。
所以,函数 h(x) = ln(x) 在 x = 1 处的导数为 1。
二、积分与定积分1. 求函数 f(x) = 2x 在区间 [0, 3] 上的定积分。
解:定积分可以理解为函数在某一区间上的面积。
对于函数 f(x) = 2x,在区间[0, 3] 上的定积分可以通过积分的定义来计算。
2010年浙江省高等数学(微积分)竞赛试卷(工科类)试题及答案
2010年浙江省高等数学(微积分)竞赛试卷(工科类)一.计算题1.求极限12n →+∞+解:原极限=(0.5)0.5lim[1n e ---→+∞= 2.计算22(1)(22)dx x x x +∞-∞+-+⎰ 解:令,x t s y t s =+=-,原积分=2222222(1)(1)2exp[]exp[](1)R R t s dtds x y dxdy ρρρ-++-=--=-⎰⎰ 3.设ABC ∆为锐角(含直角)三角形,求sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++---的最大值和最小值解:记(,)sin()sin sin cos()cos cos ,f B C B C B C B C B C =+++++--(,)c o s ()c o s s i n ()s i n B f B C B C B B C B '=++-++=(,)cos()cos sin()sin 0Cf B C B C C B C C '=++-++= cos sin cos sin ,B B C C B C +=+=或2B C π+=(舍去). cos(2)cos sin(2)sin 0,,33B B B B B A C B ππ+-+=====m a x (,)(31),m i n (,)1f B C f B C =-=4.已知分段光滑的简单闭曲线Γ(约当曲线)落在平面:10ax by cz π+++=上,设Γ在π上围成的面积为A ,求()()()b z c y d x c x a z d y a y b x d z a x b y c z Γ-+-+-++⎰ ,其中n 与Γ的方向成右手系。
解:原积分=2220.5222222()()s sadydz bdzdx cdxdy ab c a b c ds --++=-++++⎰⎰⎰⎰ 2220.5()a b c A =-++5.设f 连续,满足220()()x x t f x e f t dt -=⎰,求(1)3(1)f f '-的值. 解:0.5220.50.502exp()()2()x f x f x x t f t dt x f x f x --'=++-=++-⎰ 二.定义数列{}n a 如下:11101,max{,},2,3,4,,2n n a a a x dx n -===⎰ 求lim n n a →∞. 解:1111100max{,}n n n n a a x dx a dx a ---=≥=⎰⎰,即{}n a 单调增且1112a =≤,设01n a ≤≤, 则 1111000max{,}1n n a a x dx dx +-≤=≤=⎰⎰,即{}n a 有界. 三.设有圆盘随着时间t 的变化,圆盘中心沿曲线2:cos ,sin ,(0)L x t y t z t t ===≥向空间移动,且圆盘面的法向与L 的切向一致.若圆盘半径()r t 随时间改变,有32()r t t =,求在时间段1[0,]2内圆盘所扫过的空间体积.解:0.50.50.5220004(14)/32V r ds t t t πππ===+⎰⎰⎰22.51.51222(()1)1323253120t t t πππ=-=-=⎰ 四. 证明:222210,t x x x e dt e x +∞--∀><⎰ 证明:2222exp()exp()exp()exp()2222x x x t t t x x dt x dt t dt +∞+∞+∞-=-<-<-⎰⎰⎰ 五. 证明:222tan 2sin 3,(0,)2x x x x π+>∈ 证明:223tan ,(tan )1tan 1,tan /3x x x x x x x x '>=+>+>+易知3sin /6,x x x >-故222tan 2sin 3x x x +>。
大学数学积分试题及答案
大学数学积分试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 以下哪个选项是正确的不定积分公式?A. \(\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C\)B. \(\int x^2 dx = \frac{1}{2}x^2 + C\)C. \(\int x^2 dx = x^3 + C\)D. \(\int x^2 dx = 2x + C\)答案:A2. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x dx\) 的值是多少?A. 0B. 0.5C. 1D. 2答案:B3. 以下哪个函数的不定积分是 \(\int \sin(x) dx\)?A. \(\cos(x)\)B. \(-\cos(x)\)C. \(\sin(x)\)D. \(\sec(x)\)答案:B4. 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi} \cos(x) dx\) 的值是多少?A. 0B. 1C. -1D. 2答案:A二、填空题(每题5分,共20分)5. 计算不定积分 \(\int e^x dx = \) ________ + C。
答案:\(e^x\)6. 计算定积分 \(\int_{1}^{2} (x^2 - 3x + 2) dx = \) ________。
答案:\(\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2\)7. 计算不定积分 \(\int \frac{1}{x} dx = \) ________ + C。
答案:\(\ln|x|\)8. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx = \) ________。
答案:\(\frac{1}{3}\)三、解答题(每题10分,共60分)9. 计算不定积分 \(\int (3x^2 - 2x + 1) dx\)。
答案:\(\int (3x^2 - 2x + 1) dx = x^3 - x^2 + x + C\)10. 计算定积分 \(\int_{0}^{2} (2x + 1) dx\)。
湖州师范学院高等数学(微积分)竞赛试题答案
湖州师范学院高等数学(微积分)竞赛试题答案(数学专业)一、计算题(每小题15分,满分60分)1. 计算:222sin )(cos 112lim2xe x xxxx -+-+→。
解:),(082114422x xxx+-+=+)(0811124422x x xx+=+-+。
又 )(023)](01[)](0211[cos 2222224x x x x x x e x x +-=++-+-=-,故 222sin )(cos 112lim2xe x xxxx -+-+→121sin )(023)(081lim sin 1)(023)(081lim 222244022222440-=⋅+-+=⋅⋅+-+=→→x x xx xx x x x x x x x x x2.设2006)1(lim=--∞→ββαn nn n ,试求βα,的值。
解:ββα)1(--n n n=)1(0))1(01(1)11(11nn nnnnnn⋅+=+--=--+---βββαβαββα,显然由条件知0≠β,而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=+->+-∞=⋅++-∞→,01,0,01,1,01,)1(0lim1βαβαββαββαn n n n 因此有,01=+-βα且20061=β,故20061,20062005=-=βα3. 求积分⎰+π2cos1sin dxxx x解:⎰+π2cos1sin dxxx x =⎰+22cos1sin πdx xx x +⎰+ππ22cos1sin dxxx x令t x -=π,有⎰⎰⎰+-=-+---=+222222c o s 1s i n )()(c o s 1)s i n ()(c o s 1s i n ππππππππdttt t dt t t t dx xxx=⎰⎰+-+2222cos1sin cos1sin πππdx xx x dx xx所以⎰+π2cos1sin dxxx x =4|)(cos cos 1sin 2222πππππ=-=+⎰x arctg dx xx4.计算二重积分⎰⎰Dy xdxdye },max(22,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D 。
微积分竞赛试题答案
湖州师范学院高等数学(微积分)竞赛试题答案(数学专业)一、 计算题(每小题15分,满分60分)1. 计算:222sin )(cos 112lim2xe x xxxx -+-+→。
解:),(082114422x xxx+-+=+)(0811124422x x x x+=+-+。
又 )(023)](01[)](0211[cos 2222224x x x x x x e x x+-=++-+-=-,故 222sin )(cos 112lim2xe x xxxx -+-+→121sin )(023)(081lim sin 1)(023)(081lim 222244022222440-=⋅+-+=⋅⋅+-+=→→x x xx x x x x x x x x x x x 2.设2006)1(lim=--∞→ββαn nn n ,试求βα,的值。
解:ββα)1(--n n n=)1(0))1(01(1)11(11nn nnn nnn⋅+=+--=--+---βββαβαββα,显然由条件知0≠β,而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=+->+-∞=⋅++-∞→,01,0,01,1,01,)1(0lim1βαβαββαββαn n n n 因此有,01=+-βα且20061=β,故20061,20062005=-=βα3. 求积分⎰+π2cos1sin dx xx x解:⎰+π2cos1sin dx xx x =⎰+22cos1sin πdx xx x +⎰+ππ22cos1sin dx xx x令t x -=π,有⎰⎰⎰+-=-+---=+222222c o s 1s i n )()(c o s 1)s i n ()(c o s 1s i n ππππππππdt tt t dt t t t dx xx x=⎰⎰+-+2222cos1sin cos1sin πππdx xx x dx xx所以⎰+π2cos1sin dx xx x =4|)(cos cos1sin 2222πππππ=-=+⎰x arctg dx xx4.计算二重积分⎰⎰Dy x dxdy e},max(22,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D 。
浙江省2002高等数学(微积分)竞赛试题(解答)
那么用什么方法呢? 比较判别法可能比较好! 那么和谁比较呢? 自然是 å an 了.
n =1 ¥
浙江省高等数学竞赛分析
只需证明:
ean - an - e an £ 0
2
ln e an - an an
(
)£a
n
, 即 证 明 : ln ( e a - an ) £ an2 , 也 即 :
n
令 g ( x) = e x - x - e x , g ¢( x) = e x - 1 - 2 xe x , g ¢¢( x) = e x - 2e x - 4 x2e x < 0, x > 1
2
2
后者 ò1 (1 + x - )e x dx = ò12 (1 + - t )e t (- 2 )dt = ò12 (1 + - x)e
2
1 x
eg
1 t
2 2
x+
1
1
is
t+ 1
③ ò1 (1 + x - )e x dx = ò1 (1 + x - )e x dx + ò1 (1 + x - )e x dx
由 f (0) = 0 得: C = -
x (1 + x)e x (1 + x)e x - e x 1 1 + x xe x = = . (1 + x) 2 2 e x (1 + x) 2 2(1 + x) 2
1 , 求 lim Sn n ®¥ 2k 2
te
1 2
re
d
浙江省高等数学竞赛分析
2 1 + 2 1 3 S3 = arctan + arctan = arctan 3 18 = arctan 2 1 3 18 4 1- × 3 18 LLLL n S n = arctan n +1 n p lim S n = lim arctan = . n ®¥ n ®¥ n +1 4
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
(工科专业)
一、 计算题(每小题15分,满分60分)
1. 计算:。
解:
=
=
最后一式是函数在[0,1]区间上的积分和(n等份,取右端点)
故,
又
因此=ln2。
2.设,试求的值。
解:= ,
显然由条件知,而
因此有且,故
3. 求定积分。
计算。
解:
。
四、(本题满分20分)设函数在[a,b]上连续,在(a, b)上可导且,试证明存在,使
得。
证明:由拉格朗日中值定理知 ,
又由柯西中值定理知
所以
则=
即。
五、(本题满分15分)设函数在[a,b]上连续,且f(a)=0,试证明:
证明:因为
(柯西不等式)
所以。
六、(本题满分15分)判别级数的敛散性。
解:
=,
易知当n充分大时,{ }单调下降且此数列收敛于0,由莱布尼兹判别法知,级数收
敛。
解:
=
=。
4.计算二重积分,其中。
解:原式=。
二、(本题满分20分)在椭圆上求一点,使其到直线的距离最短。
解:设所求的点为,则P到直线的距离为
,为方便,求解如下等价问题:
在满足的条件下求的极小点。设
,
令最短距离存在,因此即为所求的点。
三、(本题满分20分)在xy平面上给定三点,L是由的三边组成的一条封闭曲线,试