2014-2015年北京市朝阳区高三上学期期末数学试卷(理科)及答案解析

2014-2015学年北京市朝阳区高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设i为虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为（）A．6 B．9 C．12 D．无法确定3．（5分）设函数f（x）=sin（2x﹣）的图象为C，下面结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期是2πB．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数C．图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到D．图象C关于点（，0）对称4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是（）A．4+2B．8 C．4+2D．45．（5分）α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）在△ABC中，B=，则sinA•sinC的最大值是（）A．B．C．D．7．（5分）点O在△ABC的内部，且满足+2+4=0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比是（）A．B．3 C．D．28．（5分）设连续正整数的集合I={1，2，3，…，238}，若T是I的子集且满足条件：当x∈T时，7x∉T，则集合T中元素的个数最多是（）A．204 B．207 C．208 D．209二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P （1，2），则sin（π﹣α）的值是．10．（5分）双曲线C：x2﹣y2=λ（λ＞0）的离心率是；渐近线方程是．11．（5分）设不等式组表示平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆x2+y2=1内的概率为．12．（5分）有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，…，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待秒才能确定时间．13．（5分）在锐角AOB的边OA上有异于顶点O的6个点，边OB上有异于顶点O的4个点，加上点O，以这11个点为顶点共可以组成个三角形（用数字作答）．14．（5分）已知函数f（x）=（x∈R）．下列命题：①函数f（x）既有最大值又有最小值；②函数f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）在区间[﹣π，π]上共有7个零点；④函数f（x）在区间（0，1）上单调递增．其中真命题是．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD中是正方形，侧面PAB⊥底面ABCD中，PA=AB，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；（Ⅱ）求证：AE⊥PF；（Ⅲ）若PB=AB，二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，试判断点F在边BC 上的位置，并说明理由．17．（13分）若有穷数列a1，a2，a3，…，a m（m是正整数）满足条件：a i=a m﹣i+1（i=1，2，3，…，m），则称其为“对称数列”．例如，1，2，3，2，1和1，2，3，3，2，1都是“对称数列”．（Ⅰ）若{b n}是25项的“对称数列”，且b13，b14，b15，…，b25是首项为1，公比为2的等比数列．求{b n}的所有项和S；（Ⅱ）若{c n}是50项的“对称数列”，且c26，c27，c28，…，c50是首项为1，公差为2的等差数列．求{c n}的前n项和S n，1≤n≤50，n∈N*．18．（13分）设函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）为f（x）的导函数，当x∈[，2e]时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象的上方，求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．过椭圆右顶点A的两条斜率乘积为﹣的直线分别交椭圆C于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线MN是否过定点D？若过定点D，求出点D的坐标；若不过，请说明理由．20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），x1，x2，x3∈R，且x1＜x2＜x3．（Ⅰ）当x1=0，x2=1，x3=2时，若方程f（x）=mx恰存在两个相等的实数根，求实数m的值；（Ⅱ）求证：方程f′（x）=0有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程f'（x）=0的两个实数根是α，β（α＜β），试比较与α，β的大小并说明理由．2014-2015学年北京市朝阳区高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设i为虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z==，∴复数z=在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），所在的象限是第四象限，故选：D．2．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为（）A．6 B．9 C．12 D．无法确定【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标（1，0），p=2．设A（x1，y1）B（x2，y2）抛物y2=4x的准线x=﹣1，线段AB中点到抛物线的准线的距离为6，即有（x1+x2）=5，∴x1+x2=10，∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=10+2=12，故选：C．3．（5分）设函数f（x）=sin（2x﹣）的图象为C，下面结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期是2πB．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数C．图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到D．图象C关于点（，0）对称【解答】解：根据函数f（x）=sin（2x﹣）的周期为=π，可得A错误；在区间（﹣，）上，2x﹣∈（﹣，），故f（x）没有单调性，故B错误；把函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位，可得y=sin（2x﹣）的图象，故C错误；令x=，可得f（x）=sin（2x﹣）=0，图象C关于点（，0）对称，故D 正确，故选：D．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是（）A．4+2B．8 C．4+2D．4【解答】解：根据几何体的三视图，画出它的直观图，如图所示；由三视图知，PO⊥平面ABC，OC⊥平面PAB，且OP=OC=2，OB=OA=1；∴PA=PB==，AC=BC==，PC==2；∴S=S△CAB=2，△PABS△PAC=S△PBC=；∴三棱锥的全面积为S=S△PAB+S△CAB+S△PAC+S△PBC=4+2．故选：A．5．（5分）α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：充分性：∵α∩β=m，∴m⊂α，m⊂β，∵l∥m，l⊄α，l⊄β，∴l∥α，l∥β，必要性：过l作平面γ交β于直线n，∵l∥β，∴l∥n，若n与m重合，则l∥m，若n与m不重合，则n⊄α，∵l∥α，∴n∥α，∵n⊂β，α∩β=m，∴n∥m，故l∥m，故“l∥m”是“l∥α且l∥β”的充要条件，故选：C．6．（5分）在△ABC中，B=，则sinA•sinC的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：sinAsinC=sinAsin（π﹣A﹣B）=sinAsin（﹣A）=sinA（cosA+sinA）=sin2A﹣cos2A+=sin（2A﹣）+∵0∴﹣＜2A﹣＜∴2A﹣=时，sinAsinC取得最大值．故选：D．7．（5分）点O在△ABC的内部，且满足+2+4=0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比是（）A．B．3 C．D．2【解答】解：如图所示，作OD=4OC，以OA，OD为邻边作平行四边形OAED，连接AD，OE，交于点M，OE交AC于点N．∵满足+2+4=，∴+4=，∴，∴==，∴，∴，∴△ABC的面积与△AOC的面积之比是7：2．故选：A．8．（5分）设连续正整数的集合I={1，2，3，…，238}，若T是I的子集且满足条件：当x∈T时，7x∉T，则集合T中元素的个数最多是（）A．204 B．207 C．208 D．209【解答】解：集合T中不能有满足7倍关系的两个数，因此我们将I中的数分成三类：第一类：1，7，49；2，14，98；3，21，147；4，28，196；共4组；每组最多只能有两个数在集合T中，即集合T中至少需要排除4个元素：7，14，21，28；第二类，5，35；6，42；…；34，238；共26组；每组最多只能有一个数在集合T中，即集合T中至少需要排除26个元素；第三类是剩余的数，它们不是7的倍数，且它们的7倍不在集合中，所以这组数都可以在集合中，故集合T中元素的个数最多是238﹣4﹣26=208；故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，2），则sin（π﹣α）的值是．【解答】解：由题意可得x=1，y=2，r=，∴sinα==，∴sin（π﹣α）=sinα=．故答案为：．10．（5分）双曲线C：x2﹣y2=λ（λ＞0）的离心率是；渐近线方程是y=±x．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=λ（λ＞0）即为﹣=1，则有a=，b=，c=，则有e==，渐近线方程为y=±x．故答案为：，y=±x．11．（5分）设不等式组表示平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆x2+y2=1内的概率为．【解答】解：画出区域D和圆，如图示：区域D的面积是4，区域D在圆中的部分面积是，∴点P落在圆内的概率是=，故答案为：．12．（5分）有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，…，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待11秒才能确定时间．【解答】解：大钟报时时最多可响12声，12点的报时，大钟会响12声，所以某人从听到第一声响开始计时，需要至少等待11秒才能听到第12声响，确定这时是12点．13．（5分）在锐角AOB的边OA上有异于顶点O的6个点，边OB上有异于顶点O的4个点，加上点O，以这11个点为顶点共可以组成120个三角形（用数字作答）．【解答】解：第一类：三角形顶点不包括O点，在OA上取两点，在OB上取一点，或者在OA上取一点，在OB上取两点，此时构成三角形的个数为+=96，第二类：三角形顶点，包括O点，在OA上取一点，在OB上取一点，此时构成三角形的个数为=24，根据分类计数原理，以这11个点为顶点共可以组成96+24=120个三角形故答案为：120．14．（5分）已知函数f（x）=（x∈R）．下列命题：①函数f（x）既有最大值又有最小值；②函数f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）在区间[﹣π，π]上共有7个零点；④函数f（x）在区间（0，1）上单调递增．其中真命题是①②③．（填写出所有真命题的序号）【解答】解：考虑①：函数f（x）=≤=，当且仅当x=时取等号，故函数由最大值；取x=﹣，有f（﹣）=＜＜，当x＞10时，f（x）＞＞﹣＞f（），当x＜﹣9时，f（x）＞＞﹣＞f（），而f（x）在[﹣9，10]上存在最小值，设此最小值为m，则m≤f（﹣），所以，m亦为f（x）在定义域上的最小值．故①正确；考虑②：因为f（1﹣x）=f（x），所以x=为f（x）的对称轴，故②正确；考虑③：因为f（x）=0，即sinπx=0，故x=k，k为整数，∴区间[﹣π，π]上有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共7个零点，故③正确；考虑④：f（0）=f（1）=0，所以f（x）不可能单调递增；故④错误；综上①②③正确，故答案为：①②③三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图估算所调查的600人的平均年龄为：25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为，∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为，依题意，X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：EX==．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD中是正方形，侧面PAB⊥底面ABCD中，PA=AB，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；（Ⅱ）求证：AE⊥PF；（Ⅲ）若PB=AB，二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，试判断点F在边BC 上的位置，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）在△PBC中，∵点E是PB中点，点F是BC中点，∴EF∥PC，又∵EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC；（Ⅱ）∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥AB，又∵侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩底面ABCD=AB，且BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE，∵PA=AB，点E是PB的中点，∴AE⊥PB，又∵PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC，∵PF⊂平面PBC，∴AE⊥PF；（Ⅲ）结论：点F为边BC上靠近B点的三等分点；理由如下：∵PA=AB，PB=AB，∴PA⊥AB，由（II）知，BC⊥平面PAB，又∵BC∥AD，∴AD⊥平面PAB，即AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD，AB，AP两两垂直，分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：不妨设AB=2，BF=m，则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0），于是=（0，1，1），=（m，2，0），设平面AEF的一个法向量为=（p，q，r），由，得，取p=2，则q=﹣m，r=m，得=（2，﹣m，m），由于AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，所以AP⊥平面ABCD，即平面ABF的一个法向量为=（0，0，2），根据题意，==，解得m=，∵BC=AB=2，∴BF=BC，即点F为边BC上靠近B点的三等分点．17．（13分）若有穷数列a1，a2，a3，…，a m（m是正整数）满足条件：a i=a m﹣i+1（i=1，2，3，…，m），则称其为“对称数列”．例如，1，2，3，2，1和1，2，3，3，2，1都是“对称数列”．（Ⅰ）若{b n}是25项的“对称数列”，且b13，b14，b15，…，b25是首项为1，公比为2的等比数列．求{b n}的所有项和S；（Ⅱ）若{c n}是50项的“对称数列”，且c26，c27，c28，…，c50是首项为1，公差为2的等差数列．求{c n}的前n项和S n，1≤n≤50，n∈N*．【解答】解：（Ⅰ）依题意，b13=1，b14=2，…b25=．则，，…b12=b14=2．+1=214﹣3；（Ⅱ）依题意，c50=c26+24×2=49，∵{c n}是50项的“对称数列”，∴c1=c50=49，c2=c49=47，…，c25=c26=1．∴当1≤n≤25时，；当26≤n≤50时，=n2﹣50n+1250．∴．18．（13分）设函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）为f（x）的导函数，当x∈[，2e]时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象的上方，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，f′（x）=，由f′（x）＞0可得3x2﹣10x+3＞0，解得，x或x＞3，由f′（x）＜0可得3x2﹣10x+3＜0，解得，3，函数的单增调区间（），（3，+∞），单调减区间为（）；（Ⅱ）设g（x）为f（x）的导函数，g（x）=，又因为函数f（x）的图象总在g（x）的图象的上方，所以，f（x）＞g（x），则，在x∈[，2e]时，恒成立．又因为，所以a（x2+1）﹣2x＜x2+1，所以（a﹣1）（x2+1）＜2x，∵x2+1＞0，∴，设h（x）=，则a﹣1＜h（x）min，x∈[，2e]即可．又h′（x）=，由h′（x）=＞0，注意到x∈[，2e]，解得，由h′（x）=＜0，注意到x∈[，2e]，解得：1＜x≤2e．所以函数h（x）在上是增函数，在（1，2e]上是减函数．所以h（x）的最小值为：h（），或h（2e）．∵h（）=，h（2e）=，作差可证得，∴a﹣1，所以a的取值范围：．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．过椭圆右顶点A的两条斜率乘积为﹣的直线分别交椭圆C于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线MN是否过定点D？若过定点D，求出点D的坐标；若不过，请说明理由．【解答】解：（I）由已知，∴a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）直线MN过定点D（0，0）．证明如下：由题意，A（2，0），直线AM和直线AN的斜率存在且不为0，设AM的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0∴2x M=，∴x M=，∴y M=k（x M﹣2）=，∴M（，），∵椭圆右顶点A的两条斜率乘积为﹣的直线分别交椭圆C于M，N两点，∴设直线AN的方程为y=﹣（x﹣2），同理可得N（，），x M≠x N，即k时，k MN=，∴直线MN的方程为y﹣=（x﹣），即y=x，∴直线MN过定点D（0，0）．x M=x N，即k=时，直线MN过定点D（0，0）．综上所述，直线MN过定点D（0，0）．20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），x1，x2，x3∈R，且x1＜x2＜x3．（Ⅰ）当x1=0，x2=1，x3=2时，若方程f（x）=mx恰存在两个相等的实数根，求实数m的值；（Ⅱ）求证：方程f′（x）=0有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程f'（x）=0的两个实数根是α，β（α＜β），试比较与α，β的大小并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）当x1=0，x2=1，x3=2时，方程f（x）=mx可化为x（x﹣1）（x﹣2）=mx，即x（x2﹣3x+2﹣m）=0方程f（x）=mx恰存在两个相等的实数根，包括两种情况：①若x=0是方程x2﹣3x+2﹣m=0的根，则m=2时，方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0可化为x2（x﹣3）=0，则方程有两相等实根，一个为0，一个为3；②若方程x2﹣3x+2﹣m=0有两相等的实根，则△=9﹣4（2﹣m）=0，解得m=，此时方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0有两个相等的实根，一个，一个为0∴当m=或m=2时，方程f（x）=mx恰存在两个相等的实数根；（Ⅱ）由f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）可得f（x）=x3﹣（x1+x2+x3）x2+（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣x1x2x3，∴f′（x）=3x2﹣2（x1+x2+x3）x+（x1x2+x1x3+x2x3）=0，∵△=4（x1+x2+x3）2﹣12（x1x2+x1x3+x2x3）=2[（x1﹣x2）2+（x2﹣x3）2+（x3﹣x1）2]，∵x1＜x2＜x3．∴△＞0，∴方程f′（x）=0有两个不相等的实数根；（Ⅲ）α＜＜β，下面证明：由f′（x）=3x2﹣2（x1+x2+x3）x+（x1x2+x1x3+x2x3）=0可得f′（）=﹣（x1+x2+x3）（x1+x2）+x1x2+x1x3+x2x3﹣x1x2=﹣＜0即f′（）=3（﹣α）（﹣β）＜0，由α＜β可得α＜＜β，。