空间解析几何椭球面
空间解析几何6
解析几何 第二章 空间解析几何
即
2 2 x y 1 h2 h2 2 1 2 b 2 1 2 a c c z h
它与用平行于xOz的平面来截割所得结果完全类 似。 如果a=b,则成为单叶旋转双曲面。
方程
x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 2 2 1与 2 2 2 1 2 a b c a b c
所表示的曲面也是单叶双曲面。
解析几何 第二章 空间解析几何
z
（二）双叶双曲面
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b c
a 2 2 顶点 b h , h, 0 在腰圆( 1) b
解析几何 第二章 空间解析几何
z
x
y
z
（11）
（12）
（13）
x
y
解析几何 第二章 空间解析几何
用平行于xOz平面y=h来截单叶双曲面，截口
的方程为
x2 z2 h2 2 2 1 2 (5 ) b a c y h c 2 2 实轴 // z轴，实轴长 h b b a 2 虚轴 // x轴， 虚轴长 h b2 b
来截割曲面，得到截线方程
x 2 y 2 h2 x 2 y 2 h2 2 2 2 1 2 2 2 1 (8) 与 a b c b c a z h z h 当h=c时，截得的图形为一点
当h>c时，截线为椭圆，两半轴是
h h a 2 1 与b 2 1 c c
若点P(x,y,z)是椭球面上的点，则点P的 关于yOz坐标平面的对称点P′(-x,y,z)也在 椭球面上，
大学高数空间解析几何2.
曲西方程；F （xj,z ）=O空同解祈/L 何一・曲面方程的概念定义：如果曲面s 与三元方程F (x,j,z) = O 满足:(1)曲面s 上任一点的坐标都满足方程F (xj^z) =O(2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程.二、平面及其方程例1设有点A (1,2,3)与B (2,-1,4),求与线段AB垂直平分的平面方程・所求平面就是与A和B等距离的动点的轨迹设平面上任一点为A/(x,j,z)AM\ = \MnI (X・ 1)2 + (y ・ 2)2 + (z - 3)2 = V(x-2y+6 + iy +(z-4)2化简得2x-6j + 2z-7 = 0 —所求平面方程Ax + By+ Cz + D = O平面的一般方程■特殊半廁XOYlfri z = 0YOZ 而x =()zox 而y=o适合下列条件的平面方程Ax + B\+Cz^D = 0仃什么特征？I.过原点0 = 02•平行于他标轴 3 •包含坐标轴平行于X4 = 0包含X4 = 0Q = 0v/? = o>^B = 0 D = 02C = 0zC = 0Q = ()4•平行于坐标平面平行于XOY面4=0 B=Q zox®4=0C=0YOZifii B = 0 C = 04例2作Z-2的图形.三、球面及其方程例3建立球心在点Mo (myo, z…)半径为R的球而的方程.设是球面上的任一点\M A M = RJ (X-Xo) 2 + Cv-几)'+ (z・zj 承(尤-X J+ (y - y 0 y+ (z - z J=j 11+ZH OXZ ——HA THP GWOZZ XHXZ(o n )吕舍sHJ+X•I \7 卜 乙——K \—/ 丟逗迂膜低丫OHd +Xz IJ+ wZ = JQ■宀b上半部例5求与原点O及M❶（2,3,4）的距离之比为1:2 点的全体所组成的曲面方程•解设M （兀jsz）是曲面上任一点根据题意有-=1恨俯惣恵月IMMJ 2J(X・2), + (y - 3)2 +(Z - 4), 2所求方程为卜+I卜0+1）并+寻」四•旋转曲面定义以一条平曲线纟翹平面上的一条直线旋黔一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴.旋转面的方程曲线C卩（”Z）=0lx = 0曲线C〔八”乙）二。
椭球面参数方程的推导详解
椭球面参数方程的推导详解椭球面是一种三维空间中的曲面，可以由参数方程来描述。
参数方程的推导可以分为以下几个步骤：1.定义椭球体椭球体是一个由椭圆沿着其中的一个轴旋转一周所形成的曲面，可以用一个半长轴a和半短轴b来描述。
椭球的中心位于原点，且假设半长轴a大于半短轴b。
2.极坐标系的引入为了方便描述椭球面，我们引入极坐标系。
设椭球体的中心在原点O，选择椭球体的一个焦点F作为极坐标系的极点。
在极坐标系中，我们可以用极径r和极角θ来表示椭球面上的一点。
3.构造参数方程我们可以通过极径r和极角θ来构造椭球面上的点的坐标。
根据极坐标系的定义，椭球面上的一点坐标可以表示为：(x, y, z) = (f(rd)cosθ, f(rd)sinθ, g(rd)) (1)其中，f(rd)和 g(rd) 是关于极径r的函数，需要确定它们的表达式。
4. 求f(rd)和 g(rd) 的表达式我们知道，椭球面上的一点到焦点F和到椭球中心的距离之和等于椭球的半长轴a（即焦半径）。
根据勾股定理，可以得到：(rf(rd)cosθ)^2 + (rf(rd)sinθ)^2 + (g(rd))^2 = a^2 (2)另外，根据极坐标系和椭球的定义，有：rf(rd) = b/sqrt(1-(b^2/a^2)(rd)^2) (3)将式(3)代入式(2)可以得到：[r^2(b^2/a^2)(1-(b^2/a^2)(rd)^2)cos^2θ + r^2(b^2/a^2)(1-(b^2/a^2)(rd)^2)sin^2θ + (g(rd))^2] = a^2对上述等式进行化简，可以得到：(b^2/a^2)(1-(b^2/a^2)(rd)^2) + (g(rd))^2 = a^2/r^2 (4)整理式(4)，可以得到：(g(rd))^2 = a^2/r^2 - (b^2/a^2)(1-(b^2/a^2)(rd)^2)将式(3)和上式代入式(1)，可以得到参数方程：(x, y, z) = (b/sqrt(1-(b^2/a^2)(rd)^2)cosθ, b/sqrt(1-(b^2/a^2)(rd)^2)sinθ, a√(1-(b^2/a^2)(rd)^2)) (5)5.参数方程的意义式(5)即是椭球面的参数方程，它表示了椭球面上的一点坐标与极径r和极角θ之间的关系。
椭球面ppt课件
解析几何
三、椭球面的参数方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x a cos cos
y
b
sin
sin
z c sin
2
2
,0
2
解析几何
点的轨迹为椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
解析几何
二、椭球面的性质
1 对称性 2 范围
3 形状
椭球面的几种特殊情况：
球面
长形旋转椭球面
(1)
a
b
c,
x a
2 2
y2 b2
z2 c2
1
x2
y2
z2
r2
(2)
a
b
x2 c, a2
z2 c2
1
x 0
o
x
y
椭球面的主截线（主椭圆）
解析几何
平行截割法：
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面
z
c
o a
by
x
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面
可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生.
abc
2 轨迹定义法
一直线分别交坐标面 yOz, zOx, xOy 于A, B,C 三点，当直线变动时，直线上的
三定点 A, B,C 也分别在三个坐标面上变动，另外直线上有第四个点 P ，它与
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
空间解析几何中的空间曲线与曲面
空间解析几何中的空间曲线与曲面在数学中，空间解析几何是研究空间中的点、直线、曲线和曲面等几何元素的学科。
其中，空间曲线和曲面是解析几何中的重要概念，对于研究空间中的形状和运动非常关键。
本文将介绍空间解析几何中的空间曲线与曲面，并对其相关性质进行探讨。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中的一条曲线。
常见的空间曲线包括直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
下面以直线为例进行讨论。
1. 直线在空间解析几何中，直线可通过点和方向确定。
假设直线上有两个点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，则直线的方向向量为AB(x₂-x₁,y₂-y₁, z₂-z₁)。
方向向量是指从点A指向点B的向量。
除了通过两个点来确定直线外，我们还可以使用点与方向向量的形式表示直线。
设直线上一点为P(x, y, z)，则直线的参数方程为：x = x₁ + aty = y₁ + btz = z₁ + ct其中t为参数，同时a、b、c为方向向量AB的分量。
2. 抛物线、椭圆和双曲线在空间解析几何中，抛物线、椭圆和双曲线都是曲线的一种。
它们的方程可以通过二次方程来表示。
以抛物线为例，其方程一般形式为：Ax² + By² + Cz = 0其中A、B、C为实数，并且A和B不同时为零。
抛物线在空间中呈现出的形状取决于A、B和C的取值。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中的一个曲面。
常见的空间曲面包括平面、球面、圆锥曲面和椭球面等。
1. 平面在空间解析几何中，平面是由三个相互垂直的坐标轴确定的。
平面可以用一个点和一个法向量来表示。
假设平面上有一点P(x₁, y₁, z₁)，该平面的法向量为N(a, b, c)，则平面的方程可以表示为：a(x-x₁) + b(y-y₁) + c(z-z₁) = 0其中(x, y, z)为平面上任意一点的坐标。
2. 球面在空间解析几何中，球面是由一个固定点O和到该点距离相等的所有点构成的曲面。
椭球面知识点总结
椭球面知识点总结一、基本概念1.椭球面的定义椭球面是指以一个椭圆绕着其长轴旋转一周所形成的曲面。
它可以用一个方程来表示，在三维笛卡尔坐标系中，椭球面的方程可以写为：x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1其中，a、b、c分别代表在x、y、z轴上的半轴长度。
2.椭球面的参数方程椭球面也可以通过参数方程来表示，参数方程的形式为：x = a*cos(u)*sin(v)y = b*sin(u)*sin(v)z = c*cos(v)其中，u和v分别是参数，0≤u≤2π，0≤v≤π。
3.椭球面的性质椭球面是一个闭曲面，它在每一点处的曲率是不同的，除了在两个半轴的端点处，椭球面的主曲率在其他点处都不相等。
二、性质1.椭球面的焦点椭球面有两个焦点，这两个焦点的距离等于长轴的长度。
当我们在空间中绘制一个椭球面时，可以通过这两个焦点来确定椭球面的位置和形状。
2.椭球面的直径椭球面的直径是椭球面上两点之间的最大距离，它是长轴的长度。
3.椭球面的离心率椭球面的离心率是一个衡量椭球形状的参数，它定义为焦点距离的一半除以长轴的长度。
离心率的取值范围为0到1，当离心率为0时，椭球退化为一个点，当离心率为1时，椭球变成一个长方体。
4.椭球面的体积椭球面的体积可以通过积分的方法来求解，其体积的表达式为:V = 4/3 * π * a * b * c5.椭球面的曲率在任意一点处，椭球面的曲率可以通过一组数来表示。
根据椭球面的参数方程，可以求出其曲率在不同点处的值，从而得到整个椭球面上曲率的分布情况。
6.椭球面的法向量椭球面上任意点处的法向量可以通过梯度的方法来求解。
可以求得椭球面上每一点处的法向量分量，从而得到整个椭球面的法向量分布情况。
三、应用1.几何学中的应用椭球面在几何学中有着广泛的应用，它可以用来描述三维空间中的曲面。
在绘图和建模中，椭球面的形状和性质对于设计和制造具有曲面的产品是非常重要的。
2.物理学中的应用椭球面在物理学中也有着重要的应用，例如地球的形状就接近一个椭球面，而行星的轨道也可以用椭球面来描述。
五. 二次曲面、椭球面、抛物面、双曲面、椭圆锥面
同理：yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f ( y, x2 z2 ) 0. 绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点：
出现某两变量的平方和.
11
(3) 常见的旋转曲面
① 圆柱面： x2 y2 a2
直线C：
y x
a 0
绕z轴旋转而成. z
x
o
y
12
13
yoz 面上直线:
z y cot
x 0
z
绕z 轴旋转一周所得的圆锥面方程：
z x2 y2 cot
o
y
令 b cot，则
x
z b x2 y2.
14
③ 旋转双曲面
x x
双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y 0
o
z
oo
z
y
y
绕 x轴旋转而成的曲面:
x2 a2
y2 c2
都可通过配方研究它的图形.
5
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： 2. 两个基本问题 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
6
二、几种特殊的曲面及其方程
1. 平面 Ax By Cz D 0 2. 球面 以M0 (x0 , y0 , z0 )为球心，R 为半径的 球面方程为
x2 y2 z2 R2
o
x
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 .
M0
M
y
4
例2 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样 的曲面.
解 配方得 此方程表示: 球心为 M0(1, 2, 0),
椭球面
2 x2 y2 h 2 2 1 2 , b c a z h,
（ 4）
当 h c 时， (4)的图形是一个椭圆, 这个椭圆的两半轴
分别是
2 2 h h a 1 2 及b 1 2 , c c
它的两轴的端点分别是
a, b与c 叫做椭球面(4.4-1)的半轴.
当 a b c 时，2a ， 2b与2c 分别叫做椭球面的长轴，中轴与短轴. 而 a, b与c 分别叫做椭球面的长半轴，中半轴与 短半轴.
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
（4.4-1）
显然任何两轴相等的椭球面一定是旋转 椭球面， 例如当 a b c 时，方程(4.4-1)就变成
来表达，其中
(0 ), (0 2 ) 为参数,
如果从(4.4-2)式中消去参数
,
,那么就得到标准方程.
例 已知椭球面的轴与坐标轴重合,且通过椭圆
x2 y2 1, z 0 与点 9 16
M 1,2, 23 ,
求这个椭球面的方程. 解 因为所求椭球面的轴与三坐标轴重合，所求 椭球面的方程为
以平面 z h 截割椭球面, 得到的截线方程是
x y z 2 2 1 2 a b c
（ 4）
2
2
2
x2 y2 h2 2 2 1 2 , b c a z h,
当
h c 时， （4）无图形，表示平面 z h 与
椭球面不相交； 当 h c 时， （4)的图形是 平面 z h 上的一个点 (0,0,c) 或 (0,0,-c)；
b,
a b c.
§4.4 椭球面
§4.4 椭球面椭球面是一种比球面更复杂的几何形状，它是由一个椭圆绕着其中一个短轴旋转而形成的。
椭球面在地理学上有很重要的应用，特别是在地图制图和导航方面。
在有关测量和制图的应用中，椭球通常称为地球椭球（地球的三维形状），并且有许多不同的椭球模型可供选择。
在这里，我们将了解一些基本椭球面的概念及其在测量和导航方面的应用。
椭球面的基本概念在三维空间中，椭球面可以用以下方程定义：（x² / a²）+ (y² / b²) + (z² / c²) = 1其中，a，b和c是分别对应椭球面沿三条互相正交的坐标轴的半轴长度。
例如，如果椭球面的坐标轴分别为x，y和z，则a是沿x轴的半轴长度，b是沿y轴的半轴长度，c是沿z轴的半轴长度。
在地图制图中，通常将椭球面的主轴称为长半轴和短半轴，并将a和b定义为它们的长度。
椭球面的平均半径（R）通常定义为长半轴和短半轴的平均值：R = （2a + b）/3因此，椭球面的大小可以用这些参数来描述。
椭球面的应用椭球面在地图制图和导航方面有很重要的应用。
在地图制图中，椭球面通常用于计算地球表面上的距离和方向。
这是因为在任意给定的经度和纬度位置，地球的表面都可以被近似为一个椭球面。
因此，使用椭球面表示地球的形状可以在地图制图中更准确地描述位置和方向。
不同的椭球面模型可以用于精确地测量距离和确定位置。
除此之外，椭球面也应用于全球定位系统（GPS），其中椭球面可以用来确定卫星的位置，并计算接收器的位置。
GPS系统中的卫星指向地球椭球面上的一个点，并且接收器以椭球面的参数来计算接收器与卫星之间的距离，从而确定接收器的位置。
在GPS系统中，也有多种不同的椭球面模型可供选择，以匹配特定的应用场景。
结论。
椭球面的几何特征与测量计算课件
椭球面的离散化方法
椭球面的离散化方法是将椭球面分割成 若干个小的离散单元，以便于进行数值
计算和分析。
常见的离散化方法包括网格法、元胞自 动机法、粒子群优化算法等。
离散化方法需要考虑离散单元的大小和 形状，以及离散单元之间的连接关系等 因素。离散化方法的精度和效率直接影 响到数值计算和分析的准确性和可靠性
数据处理方法
在空间数据处理过程中，椭球面可以作为基础数据结构，用于建立各种地理信息要素的空 间关系，如点、线、面等要素的相互关系。
椭球面在空间信息分析中的应用
信息分析方法
空间信息分析是地理信息系统的核心功能之一，包括空间查询、空间分析、空间统计等。椭球面作为一种几何模型， 可以为空间信息分析提供重要的方法和手段。
椭球面的几何特 征与测量计算课 件
目录
• 椭球面的基本几何特征 • 椭球面的测量计算方法 • 椭球面在地理信息系统中的应用 • 椭球面在大地测量学中的应用 • 椭球面的数学模型与计算方法 • 椭球面在地球科学领域的应用前
景
01
椭球面的基本几何特征
椭球面的定义与方程
Hale Waihona Puke 椭球面定义椭球面是一种二次曲面，由椭圆 围绕其主轴旋转形成。
椭球面方程
对于一个椭球面，其一般方程可 写为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 + z^2 / c^2 = 1，其中a、b、c是 椭球的长半轴、中半轴和高半轴 。
椭球面的主轴与极点
主轴
椭球面的主轴是椭圆的主轴，也是椭 球面的旋转轴。
极点
在椭球面上，与主轴等距离的点形成 的曲线称为极曲线，极曲线的交点称 为极点。
椭球面的基本性质
封闭性
椭球面的一般方程公式
椭球面的一般方程公式椭球面是空间几何学中最常见的曲面之一。
它可以定义为在三维空间中的一个圆柱投影的形状，它的一般表达方式是由椭球面的一般方程公式来确定的。
在本文中，我们将介绍椭球面的一般方程公式定义以及它的应用。
椭球面的一般方程公式的定义椭球面的一般方程公式表达式可以定义为：ax^2 + by^2 + cz^2 + 2fyz + 2gzx + 2hxy + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0其中a，b，c是椭球面的三个半径，f，g，h是椭球面的三个倾角，u，v，w是椭球面的三个平移量，d是常量。
椭球面的一般方程公式的应用椭球面的一般方程公式可以用来表示椭球面的一般性形状，以及椭球面的每一个特定点的坐标。
此外，它还可以用来表示椭球面上的一系列不同的特性，如法向量、切线、等值面、等高线等。
此外，椭球面的一般方程公式也可以用来描述椭球面上的一些表面特性，例如曲率变化等。
同时它也可以用来表示椭球面的变形行为。
最后，椭球面的一般方程公式还可以用来求解三维空间中椭球面的交点以及两个椭球面之间的交线。
结论椭球面是空间几何学中常用的表示曲面的形式，它的一般方程公式是由a，b，c，f，g，h，u，v，w，d等参数决定的。
椭球面的一般方程公式可以用来表示椭球面的一般性形状，以及椭球面的每一个特定点的坐标。
此外，它还可以用来表示椭球面上的一系列不同的特性，如法向量、切线、等值面、等高线等。
此外，椭球面的一般方程公式也可以用来描述椭球面上的一些表面特性，例如曲率变化等，也可以用来表示椭球面的变形行为。
最后，椭球面的一般方程公式还可以用来求解三维空间中椭球面的交点以及两个椭球面之间的交线。
4.4椭球面
2 轨迹定义法 P162 5
一直线分别交坐标面 yOz, zOx, xOy 于A, B,C 三点，当直线变动时，直线上的
三定点 A, B,C 也分别在三个坐标面上变动，另外直线上有第四个点P ，它与
A, B,C 三点的距离分别为a,b, c ，当直线按照这样的规定（即保持 A, B,C 分别
在三坐标面上）变动时， P
c
o a
by
x
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面
可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生.
思考：旋转椭球面 与椭球面有区别吗？
椭圆 椭球面与平面 z h h c 的交线为 圆 旋转椭球面与平面 z h h c 的交线为
三、椭球面的参数方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
x2
xOy面
:
a
2
y2 b2
1
z 0
x2 z2
xOz面
:
a
2
c2
1
y 0
y2 z2
yOz面
:
b2
c2
1
x
x 0
椭球面的主截线（主椭圆）
截口是曲面与平面的交线
z 椭球面
o y
平行截割法：
z
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面
点的轨迹为椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
二、椭球面的性质
1 对称性 2 范围 3 形状
椭球面的几种特殊情况：
球面
长形旋转椭球面
(1)
a
b
c,
x2 a2
5-椭球面的几何特征与测量计算解析
2
0
1
MN
2
M NtgA
M1 N co2sAdA
设 t M tgA N
则
dt
M N
1 cos2
dA A
大地测量学基础
第二节 椭球面上法截线曲率半径
四、平均曲率半径
此时积分限要作相应变更：当A=0时，t=0；A
2
时，t 。
照此换元后，经积分得到下式，
R2
MN
dt
2
0 1t2
MNarctg 0 t
第三节 椭球面上弧长计算 大地测量学基础
一、子午圈弧长公式
（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）
1、计算B=0到B的子午圈弧长X
由M=dX/dB得X：
B
dX
B
MdB
0
0
将
代入上式，从0到B积分，可得X。 可知，X是B的函数。
大地测量学基础
第三节 椭球面上弧长计算
一、子午圈弧长公式
（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）
11 (11)(2 s A ic n2 o A )s 11
RR A 90 MN
MN
大地测量学基础
第二节 椭球面上法截线曲率半径
四、平均曲率半径
1 n
R ni1
RAi
(n)
R 2 10 2 R A d A 2 10 2 N c o s 2A M N M s in 2A d A
R2
dyta9 n0 (B)coBt dx
yx(1e2)tanB
x
a
coBs
1e2sinB2
N a c WV
VW1e2 WV1e2bVaV,ca2 ac b
W1e2si2nB V1e'2co2B s12
椭球面的几何定义及参数方程的推导
椭球面的几何定义及参数方程的推导椭球面是一种特殊的曲面，其几何定义及参数方程的推导如下。
椭球面是一个三维空间中的曲面，它的形状类似于一个椭球。
在数学上，椭球面可以由一个固定点（焦点）F1、F2和到这两个焦点的长度之和为常数的点P构成。
这个常数称为椭球面的离心率，记为e。
当离心率e=0时，椭球变成一个球体；当0<e<1时，椭球的形状变得扁平；当e=1时，椭球变成一个圆柱面；当e>1时，椭球的形状变得尖锐。
为了推导椭球面的参数方程，我们可以先考虑一个二维平面上的椭圆。
椭圆可以由一个固定点（焦点）F和到焦点的长度之和为常数的点P构成。
设椭圆的焦点为F1(-c,0)和F2(c,0)，以及椭圆上的一点P(x,y)。
根据椭圆的定义，有PF1+PF2=2a，其中2a为椭圆的长轴长度。
根据点到点的距离公式，可以得到PF1的长度为√((x+c)^2+y^2)，PF2的长度为√((x-c)^2+y^2)。
将这两个长度相加，得到PF1+PF2=√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)。
根据椭圆的定义，有PF1+PF2=2a，所以我们可以得到以下方程：√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a。
将上述方程进行整理，得到：[(x+c)^2+y^2]+[(x-c)^2+y^2]+2√((x+c)^2+y^2)√((x-c)^2+y^2)=4a^2。
继续整理，得到：2x^2+2c^2+2y^2+2√((x+c)^2+y^2)√((x-c)^2+y^2)=4a^2。
化简方程，得到：x^2/a^2+y^2/(a^2-c^2)=1。
将上述方程与三维空间中的椭球面进行对比，可以发现它们的参数方程非常相似。
对于三维空间中的椭球面，我们可以将上述参数方程的x、y替换为三维坐标系中的x、y、z，得到最终的椭球面的参数方程：x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1。
其中，a、b、c分别为椭球面在x、y、z轴上的半轴长度。
空间解析几何(下篇)剖析
空解精要（升华部分）序这个部分是空解的精华部分，与高代数分都有联系，关键在于你能否发现其中的玄机。
我相信，当你看完以下的知识点时，一切都会水落石出。
这部分的重点有：柱面，锥面，旋转曲面，二次曲面及其一般线性理论，还有参数方程。
*注意：这部分的知识点如果不涉及度量问题，那么在仿射坐标系下也成立。
一.最完美二次曲面--球面1.定义：在三维线性空间中，我们把到定点的距离等于定长的点 的集合叫做球面，这个定点叫球心。
球心到球面的任何 点的距离叫做半径。
2.球面的方程：以点()000,,z y x 为球心，R 为半径的球面标准方程为 ()()()2202020R z z y y x x =-+-+-这是一个二次曲面，它的一般形式为 0222=++++++D Cz By Ax z y x命题1：用一个平面去截取球面，得到的截面是一个圆。
命题2：如果一个平面与球面相切，那么切点与球心的连线垂 直于该平面。
3.切面的求法：根据数学分析里面的求偏导数来做，无需刻意记 住二次曲面一般理论中的公式。
二.柱面的锥面 （一）.柱面1.定义：由平行于某一定方向且与一条空间定曲线相交的一 族平行直线所组成的曲面叫做柱面，定曲线叫做准线，平行 直线中的每条都叫(直)母线，定方向是直母线的方向，也叫 柱面方向。
2.柱面方程的构造从定义中可以看出，柱面的存在由准线和母线族决定，如果 确定了准线的方程和母线的方向，那么就可以得出柱面的方 程。
如果已知准线方程为()()⎩⎨⎧==0,,0,,z y x G z y x F母线方向为（l,m,n ）于是，假设一点),,(1111z y x P 在柱面上，这里假设的1P 是准线与 母线的交点，而母线的位置具有任意性，于是将准线和母线 联立就可以取遍所有的母线，也就是柱面的方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=-0),,(0),,(111111111z y x G z y x F nz z m y y l x x 从中消去111,,z y x ，得到的就是柱面方程。
解析几何的发展简史
绪论“解析几何”又名“坐标几何”,是几何学的一个分支。
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题，基本方法是坐标法。
就是通过坐标把几何问题表示成代数形式，然后通过代数方程来表示和研究曲线。
它包括“平面解析几何”和“空间解析几何”两部分。
前一部分除研究直线的有关性质外，主要研究圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。
后一部分除研究平面、直线的有关性质外，主要研究二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面等）的有关性质。
1.解析几何产生的实际背景和数学条件解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。
解析几何产生数学自身的条件：几何学已出现解决问题的乏力状态；代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度.解析几何的实际背景更多的是来自对变量数学的需求。
从16世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，进入了一个生产迅速发展，思想普遍活跃的时代。
生产实践积累了大量的新经验，并提出了大量的新问题。
可是，对于机械、建筑、水利、航海、造船、显微镜和火器制造等领域的许多数学问题，已有的常量数学已无能为力，人们迫切地寻求解决变量问题的新数学方法。
解析几何产生前的几何学平面几何，立体几何（欧几里得的《几何原本》），圆锥曲线论（阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》），特点：静态的几何, 既不把曲线看成是一种动点的轨迹，更没有给它以一般的表示方法.几何学出现解决问题的乏力状态16世纪以后,哥白尼提出日心说，伽利略得出惯性定律和自由落体定律，这些都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题．几何学必须从观点到方法来一个变革，创立起一种建立在运动观点上的几何学．16世纪代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件．1591年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统地使用了字母，他不仅用字母表示未知数,而且用以表示已知数，包括方程中的系数和常数．这样，代数就从一门以分别解决各种特殊问题的侧重于计算的数学分支，成为一门以研究一般类型的形式和方程的学问．这就为几何曲线建立代数方程铺平了道路．代数的符号化，使坐标概念的引进成为可能，从而可建立一般的曲线方程，发挥其具有普遍性的方法的作用．2.解析几何的创立17世纪前半叶，解析几何创立，其中法国数学家笛卡尔（Descartes，1596-1650)和费尔玛（fermat，1601-1665）作出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。
高等代数与解析几何7.6
（3）截口形状
(i)双曲抛物面与 xoy面的交线：
⎧⎪ ⎨
x a
±
y b
=
0
（两条相交直线）⎪⎩ z = 0
(xioi)z双面曲的抛交物线面：与⎧⎨ （抛物线） ⎩
x y
2 = 2a =0
2
z
z y
x o
(y（ioiiz抛)面双物的曲线交抛）线物：面与⎧⎨⎩
(II )
所定义的曲面叫做单叶双曲面，
方程(II)叫做单叶双曲面的标准方程。
2.性质和图形
(1)对称性:关于三个坐标平面，三个坐标轴及原点都对称。
(2)顶点与半轴: 两对顶点： (±a, 0, 0), (0, ±b, 0)
(3)范
围:
∵ x2 a2
+
y2 b2
=
1
+
z2 c2
≥1
故曲面在柱面
x2 a2
⎧⎪ ⎨
z c
2 2
−
x2 a2
=1
（双曲线） ⎪⎩ y = 0
oy
(iii)双叶双曲面与 yoz面的交线：
⎧⎪ z 2 ⎨ c2
−
y2 b2
=
1
x
（双曲线）
⎪⎩ x = 0
当 h ≥ c时,平面z = h与双叶双曲面的交线为
⎧ ⎪ ⎨
x2 a2
+
y2 b2
=
h2 c2
−1
(当 h = c时是一个点,当 h > c时是一个椭圆.)
⎧⎪ ⎨
x y
= =
a tanφ b tanφ
cosθ , sinθ ,