21.3 实际问题与一元二次方程 (第3课时)-公开课-优质课(人教版教学设计精品)

21.3 实际问题与一元二次方程

一、内容和内容解析

1．内容

列一元二次方程解决有关“面积问题”．

2．内容解析

本节课以“面积问题”为载体，进一步深入学习建立一元二次方程模型分析和解决实际问题．重点是分析实际问题中的数量关系，利用几何图形的面积建立一元二次方程的数学模型．

二、目标和目标解析

1．目标

(1)能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二次方程．

(2)进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．

2．目标解析

达成目标(1)的标志是：借助几何图形面积之间的关系，分析出已知条件的关系，从而选择合理的未知数，列出相应的代数式，分析等量关系，列出正确的方程来解决实际问题．达成目标(2)的标志是：在用一元二次方程解决“面积问题”的过程中，对用方程解决实际问题的步骤(审、设、列、解、验、答)，以及需注意的事项继续进行总结和深化，体会一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型．

三、教学问题诊断分析

通过前两节课的学习，学生已具备一定的建模思想，了解将实际问题转化为数学问题的一般步骤，积累了一定的解题经验和方法．本课时中的实际问题与图形面积相关，通过合理地设未知数，将长宽表示出来，从而根据面积之间的关系建立一元二次方程解决问题．

四、教学过程设计

1．从实际背景中抽象出一元二次方程模型

问题1要设计一本书的封面，封面长27㎝，宽21㎝，正中央是一个

矩形，如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、

右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？

师生活动：学生思考、交流、回答．小组交流后提问：

(1)四周边衬的面积怎么表示？

(2)中央矩形的长和宽受什么影响？根据已知条件，如何设未知数？面积怎样表示？ 这本书的上下左右边衬的宽度相等，可设四周边衬的宽度为x cm ，则中央矩形的面积可以表示为(27－2x )(21－2x )．

(3)题中的等量关系是什么？可以怎样列出方程？

据四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，可列方程为

27×21－(27－2x )(21－2x )＝41×27×21． (4)还有其它方法列出方程吗？比较一下哪种方法更简洁？

据四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，可知正中央矩形的面积是封面面积的四分之三，从而得方程(27－2x )(21－2x )＝4

3×27×21． 方法二更简洁，找出等价的等量关系，可以使问题更简洁．

(5)通过解决这一问题，你有什么收获？

不规则几何图形的面积，常常需要转化为规则几何图形的面积．解决问题时要适当选有关的量设出未知数，再通过面积之间的等量关系建立方程．

设计意图：回顾列一元二次方程解决问题的方法，明确每一步的核心内容，为后面探究三的解决铺设知识基础．

2．探究三的解决

问题2 如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm ，宽21 cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？

师生活动：学生独立思考，回答．教师提出问题引导学生：

(1)本题和上一个问题在已知条件的描述上有什么区别？

上一个问题是上、下、左、右边衬都等宽，而这个问题是上、下边衬等宽，左、右边衬等宽．

(2)条件中的上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，上、下和左、右的边衬之间有什么关系？

封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中间长方形的长宽之比也应是9∶7．设中间长方形的长和宽分别是9a cm 和7a cm ，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是

21(27－9a )∶2

1(27－7a ) ＝9(3－a )∶7(3－a )

＝9∶7．

(3)你如何合理地设未知数，根据等量关系列出方程？

设上、下边衬的宽均为9x cm ，左、右边衬的宽均为7x cm ，则中间长方形的长为(27－18x )cm ，宽为(21－14x )cm ．

根据等量关系中间长方形的面积是封面面积的四分之三，可列方程

(27－18x )(21－14x )＝4

3×27×21． 整理，得16x 2－48x ＋9＝0．

解方程，得x ． (4)方程的哪个根符合实际意义？为什么？

因为上、下边衬的宽为9x ，左、右边衬的宽为7x ，根据题意，9x ＜27，7x ＜21，也就是x <3，所以x 应该取x ＝43

36－．

(5)有没有更简单的方法？

设中间矩形的长、宽分别为9x cm ，7x cm ．

列方程 9x ·7x ＝

4

3×27×21， 解得x ≈2.6．

进而得上、下边衬的宽度均为(27－9×2.6)×0.5＝1.8；

左、右边衬的宽度均为(21－9×2.6)×0.5＝1.4．

设计意图：探究3的问题中，方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解，需要根据实际意义作出取舍，这有利于培养学生的数学应用能力．

3．练习、巩固应用

教科书第22页练习9．

4．小结

问题3 回顾前面几节课的学习内容，你能总结一下建立一元二次方程模型解决实际问题的基本步骤吗？需要注意哪些问题？

师生活动：学生先思考、讨论，教师帮助总结．要强调：认真审题很重要，要采取适当方法分析清楚问题中的各种数量及其相互关系，设出未知数，利用等量关系建立一元二次方程．要注意合理设出未知数，这样可以使问题的解决更为简单；还要注意分析一元二次方程的两个根是否符合实际问题的要求．

设计意图：归纳建立一元二次方程模型解决实际问题的基本过程和方法，形成整体认识，进一步提高一元二次方程的应用能力．

5．布置作业

教科书第25页复习题21第8题．

6．目标检测设计

用一条长40 cm的绳子怎样围成一个面积为75 cm2的矩形？能围成一个面积为101 cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．

设计意图：检测学生利用几何图形的面积建立一元二次方程模型解决实际问题的能力．