【七年级寒假班讲义】第7讲 平行线的性质(学生版)

平行线的性质定理知识结构模块一：平行线的性质定理知识精讲平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补．- 1 -- 2 -【例1】 两条直线被第三条直线所截，总有( )．A ．同位角相等B ．内错角相等C ．同旁内角互补D ．以上都不对【例2】 如图，下列说法正确的是( )．A ．若AB ∥CD ，则∠1=∠2 B ．若AD ∥BC ，则∠3=∠4 C ．若∠1=∠2，则AB ∥CD D ．若∠1=∠2，则AD ∥BC【例3】 如图，能使AB ∥CD 的条件是()．A ．∠1=∠BB ．∠3=∠AC ．∠1+∠2+∠B =180°D ．∠1=∠A【例4】 如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，若∠A ＝100°， 则∠DBC 的度数等于()． A ．100° B ．85°C ．40°D ．50°【例5】 如图，a //b //c ，与∠1相等的角有哪些?与∠11相等的角有哪些?与∠8互补的角有哪些?【例6】 如图，直线AB ∥CD ，a ⊥b ，有三个命题：①∠1+∠3=90°，②∠2+∠3=90°，③∠2=∠4．下列说法中，正确的是( )A ．只有①正确B ．只有②正确C ．①和③正确D ．①②③都正确例题解析2341A BCDa b321ABCDEABCD910121156784231a b c- 3 -【例7】 如图，∠1＋∠2＝180°，∠3=78°，则∠4＝_________．【例8】 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠4+∠5＝180°，其中正确的个数是()． A ．1B ．2C ．3D ．4【例9】 如图，∠B =∠C ，AB ∥EF ，试说明：∠BGF =∠C ．解：∵∠B =∠C∴AB ∥CD （__________________________） 又∵AB ∥EF∴EF ∥CD （__________________________） ∴∠BGF =∠C （___________________________）【例10】 如图8，AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G ，∠E =∠3，试说明：AD 平分∠BAC ．解：∵AD ⊥BC ，EG ⊥BC∴AD ∥EG （______________________________） ∴∠1=∠E （______________________________） ∠2=∠3（______________________________） 又∵∠3=∠E ∴∠1=∠2∴AD 平分∠BAC （______________________________）【例11】 如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，∠BAC =65°， 则∠BCD =__________．【例12】 如图，AC ⊥BC ，DE ⊥BC ，CD ⊥AB ，∠ACD ＝40°， 则∠BDE 等于()A ．40°B ．50°C ．60°D ．不能确定123 4 5A BCDEA BCD321AB CDEGA BCDEFG4321ABC D- 4 - CBFDEA【例13】 如图，AB //CD ，EH 分别交AB 、CD 与点F 、点G ，且∠BFH +∠1=180°-∠CJH ，试说明IG //JH 的理由．【例14】 已知：如图，∠1=∠2=∠B ，EF ∥AB ．试说明∠3=∠C 的理由．【例15】 如图，AD ∥BC ，∠A =∠C ，说明AB ∥DC 的理由．【例16】 如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=，则AEF ∠=( )． A ．110° B ．115° C ．120°D ．130°【例17】 已知：如图，123456∠=∠∠=∠∠=∠，，．试说明//ED FB 的理由．1AEDCBFABCDEFG H JI12 532641ABCDE FG231ABCD EF- 5 -【例18】 如图，已知DE ∥BC ，12∠=∠，CD AB ⊥于点D ，说明FG AB ⊥的理由．1．三个距离：（1） 两点之间的距离；（2） 点到直线、射线、线段的距离； （3） 平行线间的距离． 2．几种角：（1） 余角：∠1+∠2=90°，补角：∠1+∠2=180°； （2） 邻补角：∠1+∠2=180°(有一条公共边和公共顶点)； （3） 对顶角；（4） 同位角、内错角、同旁内角． 3．可以用来推理的依据：（1） 同角的余角相等，同角的补角相等； （2） 对顶角相等； （3） 邻补角的意义； （4） 角平分线的意义； （5） 垂直的意义；（6） 判定平行线的三个方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行；（7） 平行线的三个性质：两直线平行，同位角相等；知识精讲模块二：综合运用21 ABCEG D F- 6 - 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补；（8） 垂直于同一条直线的两条直线平行； （9） 平行于同一条直线的两条直线平行； （10） 平行线间的距离处处相等； （11） 等量代换； （12） 等式的性质． 4．几个基本性质（1） 两点之间，垂线段最短； （2） 垂线段最短；（3） 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； （4） 经过直线外的一点有且只有一条直线平行于已知直线．【例19】 如图，AB ∥CD ，直线PQ 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 是∠FED 的平分线，交AB 于点G ．若∠QED =40°，那么∠EGB 等于( )．A ．80°B ．100°C ．110°D ．120°【例20】 如图，已知AD 与BC 相交于点O ，AB ∥CD ，如果∠B =40°，∠D =30°，则∠AOC的大小为( ) A ．60°B ．70°C ．80°D ．120°【例21】 如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角( )．A ．相等或互补B ．互补C ．相等D ．相等且互余【例22】 已知：AB //CD ，BD 平分ABC ∠，DB 平分ADC ∠，试说明DA //BC ．例题解析A BCDEFGQPAB C DO4321ABCD- 7 -AB1EF 2 CP DDFCAEBGF EDCBA 【例23】 如图，已知AB ∥CD ，∠BAE =30°，∠DCE =60°，EF ，EG 三等分∠AEC ．（1）求∠AEF 的度数；（2）试说明EF ∥AB ．【例24】 已知：如图，CDA CBA ∠=∠，DE 平分CDA ∠，BF 平分CBA ∠，且ADE AED ∠=∠．试说明//DE FB ．【例25】 已知：如图，18012BAP APD ∠+∠=∠=∠，．试说明E F ∠=∠．【例26】 已知：AF 、BD 、CE 都为直线，B 在直线AC 上，E 在直线DF 上，且12∠=∠，C D ∠=∠．试说明A F ∠=∠．4231A B CD E F例题解析模块三：辅助线的添加- 8 - 25°α120°E DCBA【例27】 如图，已知//AB CD ，α∠等于()A ．75B ．80C ．85D ．95【例29】 如图所示，已知AB ∥CD ，110A ︒∠=，140C ︒∠=，求P ∠的度数．【例30】 如图所示，已知△ABC 中，试说明∠A +∠B +∠C =180°．【例31】已知如图，AB //CD ，试解决下列问题：（1）∠1＋∠2＝___________； （2）∠1＋∠2＋∠3＝___________； （3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝___________；（4）试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n ＝___________．【习题1】 一学员在广场上练习驾车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度是()A ．第一次向左拐45°，第二次向右拐45°B ．第一次向右拐65°，第二次向左拐115°C ．第一次向右拐70°，第二次向右拐110°D ．第一次向左拐55°，第二次向左拐125°随堂检测PCBDACBA- 9 -【习题2】 如图，若AD ∥BC ，则图中相等的内错角是()A ．∠1和∠5，∠2与∠6B ．∠3和∠7，∠4与∠8C ．∠2和∠6，∠3与∠7D ．∠1和∠5，∠4与∠8【习题3】 如图，已知m ∥n 点A 、B 在直线m 上，点E 、F 在直线n 上，AP ⊥n 于点P ，且AP =4，EF =6，求△BEF 的面积．【习题4】 如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的4倍少30°，则这两个角是( )．A ．42°和138°B ．都是10°C ．42°和138°或都是10°D ．以上都不对【习题5】 已知：如图，直线a 、b 被直线l 所截，a ∥b ，∠1=25°，求∠2的度数．【习题6】 已知：如图，直线DE 经过点A ，DE ∥BC ，∠B =42°，∠C =57°，求∠DAB 、∠CAD 的度数．【习题7】 填空：（1） 因为∠A =∠_________（已知），231abl ABCD EAEFABmnEF P34657821A BCD- 10 -所以AB ∥DF （）．（2） 因为∠BDE =∠_____________（已知），所以DE ∥AC （）．（3） 因为∠A +∠___________=180°（已知），所以DF ∥AC （）．（4） 因为∠DFC =∠_________（已知）所以DE ∥AB （）．（5） 因为DF ∥AB （已知），所以∠B =∠__________（）．（6） 因为DE ∥AC （已知）所以∠BDE =∠_____________（）．【习题8】 已知：如图，∠ABC =65°，∠1=∠2．求∠BCD 的度数．【习题9】 已知：如图，123//B AC DE ∠=∠∠=∠，，，且B 、C 、D 共线． 试说明//AE BD ．【习题10】 已知：如图，E 、F 分别是AB 和CD 上的点，DE 、AF 分别交BC 于G 、H ，∠A =∠D ，∠1=∠2．试说明∠B =∠C ．ABCD2121ABCDEFGH3241ABCDE- 11 -EABCD【习题11】 如图，已知：AB //CD ，试说明∠B +∠D +∠BED =360︒（至少用三种方法）．【作业1】 下列说法中，正确的是( )A ．在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、垂直、平行三种B ．在同一平面内，不垂直的两条直线必平行C ．在同一平面内，不平行的两条直线必垂直D ．在同一平面内，不相交的两条直线一定不垂直【作业2】 如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，150∠=，下列判断错误的是() A ．如果550∠=，那么//AB CD ； B ．如果4130∠=，那么//AB CD ； C ．如果3130∠=，那么//AB CD ； D ．如果250∠=，那么//AB CD ．【作业3】 如图所示，如果DE ∥AB ，那么∠A +________=180°，或∠B +_________=180°，根据是_______________________；如果∠CED =∠FDE ，那么_______∥_____，根据是课后作业AEF45321A BC DEF- 12 - _______________．【作业4】 给出下列说法：①两条直线被第三条直线所截，则内错角相等；②平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；③平面内的三条直线任意两条都不平行，则它们一定有三个交点；④若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【作业5】 两直线被第三条直线所截，∠1和∠2构成同旁内角，若∠1＝70°，则()．A ．∠2＝70°B ．∠2＝110°C ．∠2＝70°或70°D ．∠2不能确定【作业6】 如图，DH ∥EG ∥BC ，且DC ∥EF ，那么图中与∠1相等的角有()个． A ．2B ．4C ．5D ．6．【作业7】 如图，已知直角△ABC 中，∠BAC =90°，∠B =56°，AD ⊥BC ，DE ∥CA ． 求：∠ADE 的度数．【作业8】 已知∥∥，、之间的距离是3，、之间的距离是5，则、之间的距离是_______．【作业9】 如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′的度数为___________．a b c a b cm b c cm a c cm 1AB CDE FGH EDBC ′F CD ′ AAB CDE- 13 -DCBAE132【作业10】 如图，CD ∥BE ，试判断∠1，∠2，∠3之间的关系．【作业11】 如图，已知AB ∥EF ，CD ⊥BC ，∠B =x °，∠D =y °，∠E =z °，试说明x 、y 、z 之间的关系．ABCDE F。