河北省武邑中学高三数学上学期周考试题(11.20)文(扫描版)

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河北省武邑中学2017届高三上学期周考(11.20)数学文试题 Word版含答案

数学（文）周测第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}15A y y =-<<，{}2 B y y x x ==∈N ，，则AB 等于（）A ．{}1 4，B ．{}0 1 4，，C ．()1 0-，D ．[05)， 2.若()()()2321 i a b i a b -=++∈R ，，则a bi +等于（）A ．B ．5 C3.函数()f x =） A ．() 1-∞，B ．()0 1，C ．(0 1]，D ．()() 1 1 1-∞-，，4.已知数列{}n a 是等差数列，21462 4 32a a a a -=+=，，则数列{}n a 的公差为（） A ．2 B ．3 C.4 D ．55.若3sin tan αα=，α为锐角，则()tan 3πα-等于（）A ． C. -．6.在梯形ABCD 中，3AB DC =，则BC 等于（）A ．1233AB AD -+ B ．2433AB AD -+ C. 23AB AD -+ D ．23AB AD -7.设0 2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()1cos 224sin cos f πθθθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的最小值为（）A B C.1 D ．2 8.一周长为6cm 的正六边形的六个顶点都在球O 的表面上，球心O 到正六边形所在平面的距离为，记球O 的体积为3cm V ，球O 的表面积为2cm S ，则（）A ．V S =B ．2V S = C.2V S = D ．V =9.已知函数()()2sin 0 2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，的图象如图所示，则函数()y f x ω=+的对称中心坐标为（）A ．()23 3242k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，B ．()323 83k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，C.()153 282k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， D ．()332 283k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，10.设0a >，若满足约束条件000x y a x y y a +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩的变量x 的最大值为6，则3z x y =-的最大值为（）A ．6-B ．3 C.18 D ．2111.已知实数a 为正数，则“1a >”是“函数()()()1x f x ax e x x =+-∈R 的最小值为0”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件12.若不等式()2ln 1x x x a x -+<+对()0 x ∈+∞，恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．()0 +∞， B ．[0 )+∞， C.()1 +∞，D ．[1 )+∞，第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()212 0log 0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，，，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 14.设向量()() 2m n m ==a b ，，，，且向量a 在向量b 方向上的投影为负数，则实数m 的取值范围为．15.设正项数列{}n a 的前n 项和为n T ，且22223212224323n a a a a n n++++=-…，则20T = ．16.一四棱锥的三视图如图所示，设A 为此棱锥所有棱的长度构成的集合，则A = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）在非等腰ABC △中， A B C ，，的对边分别是 a b c ，，，2A C B +=，223sin 8sin 11sin sin C A A C +=⋅．⑴求ca的值； ⑵若7b =，求ABC △的面积． 18. （本小题满分12分）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且135a a +=，2410a a +=． ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若727 k k a a S +-，，成等差数列，求正整数k 的值． 19. （本小题满分12分）设函数()()()2230x f x t t f =-⋅++，其中t 为常数，且t ∈R ． ⑴当4t =时，求函数()f x 在( 2]-∞，上的值域； ⑵当2t <时，求函数()f x 的零点0x 的取值范围. 20. （本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11AA D D 为矩形，AB ⊥平面11AA D D ，11CD AA D D ⊥平面，E 、F 分别为11A B 、1CC 的中点，且12AA CD ==，1AB AD ==．⑴求证：1EF A BC ∥平面； ⑵求1D 到平面11A BC 的距离. 21. （本小题满分12分）已知曲线()()32153236f x x ax x a =++->-在点()()1 1f ，处的切线l 与坐标围成的三角形的面积为25. ⑴求实数a 的值；⑵若0a >，且对[]12 1 1x x ∀∈-，，，()()1262f x f x --<恒成立，求实数m 的取值范围. 22. （本小题满分12分）已知函数()2bxf x ax c=+，()'09f =，其中0 a b c >∈R ，，，且10b c +=. ⑴求b 、c 的值及函数()f x 的单调区间；⑵若在区间[]1 2，上仅存在一个0x ，使得()0f x a ≥，求实数a 的值.高三数学试卷参考答案（文科）一、选择题1.B ∵{}15A y y =-<<，B 中的元素为0，1，4，9，…，∴{}0 1 4AB =，，.2.A ∵()2234i i -=-，()()311a b i a b i ++=-+，∴ 3 3a b ==，，∴a bi +=.3.B ∵ln 0x -≥，∴01x <≤，∵210x -≠，∴()0 1x ∈，. 4.C 14d a =+且()5122432a a d =+=，∴4416d d -+=，∴4d =. 5.C sin 3sin tan cos αααα==，α为锐角，∴1cos 3α=，sin α=sin tan cos ααα==∴()tan 3tan παα-=-=-. 6.C 1233BC AC AB AB AD AB AB AD =-=+-=-+. 7.B ∵0 2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴()20 θπ∈，，∴sin 2(0 1]θ∈，，∴()1sin 22sin 2f θθθ=+≥=当且仅当sin 2θ=时取“=”. 8.A 设正六边形遥边长为a ，则66a =，∴1a =，由题可得正六边形所在小圆的半径为1r =，则球O的半径3R ===，∴2243143R V RS R ππ===.9.D 由图象可知1153122888πππ=-=，所以3T π=，又23T ππω==，所以23ω=，又232382k ππϕπ⨯+=+， ∴24k πϕπ=+，又∵2πϕ<，∴4πϕ=，所以()22sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由234x k ππ+=，得3328k πππ=-，k ∈Z ，则()y f x ω=+的对称中心坐标为()332 283k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ，. 10.D 作出不等式组表示的可行域，如图所示，易求得 22aa A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，() B a a --，，()2 C a a -，，由图可得x 的最大值为26a =，∴3a =，当直线3z x y =-经过点()6 3C -，时，z 取最大值21.11.A 设()1x g x e x =+-，显然()g x 为增函数，当0x >时，()()00g x g >=，当0x <时，()()00g x g <=.∴()0 0 0a x f x >>>，，；()0 0 0a x f x ><>，，，∴()()min 00f x f ==. 12.A 令()2ln g x x x x =-+，()()1h x a x =+，()0 x ∈+∞，，则()()()211'x x g x x+-=-，∴当1x >时，()'0g x <，()g x 递减；当01x <<时，()'0g x >，()g x 递增，∴()()max 10g x g ==.()h x 表示过定点()1 0-，的直线在()0 x ∈+∞，的部分，结合两个函数的图象可得0a >.二、填空题 13.78 ()11731888f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.14.()2 0-，向量a 在向量b 方向上的投影为0a bb⋅<，∴220a b m m ⋅=+<，∴20m -<<. 15.419 当11 1n a ==，，当2n ≥，()()22434134na n n n=----=⎡⎤⎣⎦，0n a >，∴2n a n =， ∴ 1 12 2n n a n n =⎧=⎨≥⎩，，，∴()()20122320122019419T =++++=++⨯=….16.{4 5 ，由三视图可知，该几何体为底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，通过计算可得{4 5 A =，. 三、解答题17.解：⑴由正弦定理得：223sin 8sin 11sin sin C A A C +=⋅，即()()228311838003803c c ac a c a c a c a c a a -+=--=-=-==⇒或或，若a c =，则ABC △为等腰三角形，不合.故83c a =.……………………………………5分 ⑵∵2A C B +=，∴60B =︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，22226484949939a a a a =+-=，∴ 3 8a c ==，.∴1sin 122S ac B ===分从而21227112k k -⋅=+-，即222720k k +-=，解得28k =或9-（舍）， ∴3k =.……………………………………12分19.解：⑴()()()()()1223012230x x x f x t t f t f +=-⋅++=-++，∴()()0230f f =+，∴()01f =-，当4t =时，()221x f x =-⨯+，当( 2]x ∈-∞，时，2(0 4]x ∈，，∴()[7 1)f x ∈-，.………………6分 ⑵当2t <时，20t ->，令()0f x =，得312122x t t t -==+--，∵20t ->，∴312t t ->-，∴21x >，0x >，∴()f x 的零点()00 x ∈+∞，.………………………………………………12分 20.解：⑴（方法一）证明：取1BB 的中点G ，连结EG 、FG ，∵E 为11A B 的中点，∴1EG A B ∥，∵1EG A BC ⊄平面，11A B A BC ⊂平面， ∴1EG A BC ∥平面.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11BB C C 为平行四边形，又F 为1CC 的中点， ∴FG BC ∥，同理可得1FG A BC ∥平面，∵FGEG G =，∴平面EFG ∥平面1A BC ，∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥平面1A BC .…………………………6分（方法二）取A 、B 的中点M ，连EM 、CM ， ∵F 为1CC 的中点，侧面11BB C C 为平行四边形， ∴CF ∥112BB ， ∵E 为11A B 中点，∴EM ∥112BB ，∴CF ∥EM ， ∴四边形CFEM 为平行四边形，∴EF CM ∥，又EF ⊄平面1A BC ，CM ⊂平面1A BC ，∴EF ∥平面1A BC .…………6分⑵∵四边形11AA D D 为矩形，∴1AD AA ⊥，又AB ⊥平面11AA D D ，∴1AB AA ⊥，∵AD AB A =，∴1AA ⊥平面ABD ，∴1BB ⊥平面11A C D ，在1Rt A AB △中，1A B =，在111Rt A D C △中，11A C =，在1Rt BB C △中，1BC =1112A BC S ==△∵11111212A C D S =⨯⨯=△，∴由111111D A BCB ACD V V ---=得，11121333h BB =⨯⨯=，∴h =分 21.解：⑴()2'23f x x ax =++，∴()'124f a =+，又()512f a =+， ∴切线l 的方程为()()52442y a a x --=+-，当0x =时，32y a =--，当0y =时，3224a x a +=+，∴l 与坐标轴围成的三角形的面积3132222425a S a a +=⋅--=+，∵2a >-，∴()238225a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得12a =或1910a =-.………………………………………………6分⑵∵0a >，∴12a =，()2'30f x x x =++>对[]1 1x ∈-，上恒成立， ∴()f x 在[]1 1x ∈-，上递增，∵()1113f -=-，()13f =， ∴()max 3f x =，()min 113f x =-，∴()()()1211236633max222f x f x +---==<∴4m >.…………12分22. 解：⑴∵()()()()()22222212'b ax c x ax b c ax f x axc axc ⎡⎤⋅+-⋅-⎣⎦==++，∴()2'09bc bf c c===，又10b c +=，∴9b =，1c =.…………………………2分 ∴()()()()22291'0 1ax f x a x ax-=>∈+R ，，令()'0f x =，得x =()'0f x >，得x <<令()'0f x <，得x <，或x >，∴()f x的增区间为⎛ ⎝，减区间为 ⎛-∞ ⎝，， ⎫+∞⎪⎪⎭，.……………………5分 ⑵由题意可得，()f x 在[]1 2，上的最大值为a ，当1a ≥时，若[]1 2x ∈，，则()()()22291'01ax f x ax-=≤+，∴()f x 在[]1 2，上递减，()()max 911f x f a a ===+，又1a ≥，∴a =.……………………7分当104a <≤时，若[]1 2x ∈，，则()()()22291'01ax f x ax -=≥+，∴()f x 在[]1 2，上递增. ()()max 18241f x f a a ===+，又104a <≤，∴a ∈∅.…………………………9分当114a <<时，若[]1 2x ∈，，则()f x在1 ⎡⎢⎣上递增，在 2]，上递减， ()max f x f a ===，∴28114a =>，∴1a >，又114a <<，∴a ∈∅.…………11分综上，实数a分。

2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期中数学试卷一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置. 1．设集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B ＝（） A ．（0，1）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，+∞）D ．(12，1)2．O 是正方形ABCD 的中心．若DO →=λAB →+μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ=（）A ．﹣2B ．−12C ．−√2D ．√23．若复数z ＝1﹣i +i 2﹣i 3+…+i 2022﹣i 2023，则复数z 的虚部为（） A ．0B ．﹣1C ．1D ．i4．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，则log √6a 2016=（）A ．1B ．2C ．√2D ．﹣15．已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2，2a 5，3a 8成等差数列，则3S 3S 6=（）A ．134B ．1312 C ．94D ．11126．已知正四面体A ﹣BCD 的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ，则所得截面的面积为（） A ．27√2B ．27√3C ．54√2D ．54√37．已知x =tan1.04，a =log 3x ，b =2a ，c =sinb ，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a8．已知f （x ）＝2cos （2ωx −π6）+b sin2ωx +cos （2ωx +π2）（b ＞0，ω＞0）又g （x ）＝f （x ）﹣2√3，对任意的x 1，x 2均有g （x 1）+g （x 2）≤0成立，且存在x 1，x 2使g （x 1）+g （x 2）＝0，方程f （x ）+√3=0在（0，π）上存在唯一实数解，则实数ω的取值范围是（） A ．12＜ω≤56B ．12≤ω＜56C ．512＜ω＜34D ．512＜ω≤34二、多选题：本题共4小题，全部选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡上相应位置.9．著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着n 个中心带孔的圆盘．将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将n 个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为a n ，则（）A ．a 2＝3B ．a 3＝8C ．a n +1＝2a n +nD ．a n =2n −110．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．如图1，其平面图是如图2的扇形AOB ，其中∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2OD ＝2，点F 在弧AB 上，且∠BOF ＝120°，点E 在弧CD 上运动（包括端点），则下列结论正确的有（）A ．OF →在OA →方向上的投影向量为√32OA →B ．若OE →=λOC →+μOD →，则λ+μ∈[1，√6+√2] C ．OD →⋅DA →=1−√3D ．EF →⋅EB →的最小值是﹣311．已知复数z 1＝cos α+i sin α，z 2＝cos β+i sin β，z 3＝cos γ+i sin γ，O 为坐标原点，z 1，z 2，z 3对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，则以下结论正确的有（） A ．|z 1•z 2|＝|z 1|•|z 2|B ．若z 1•z 2＝z 1•z 3，则z 2＝z 3C ．若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→，则OZ 1→与OZ 2→的夹角为π3D ．若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→，则△Z 1Z 2Z 3为正三角形 12．已知函数f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R)，则下列说法正确的是（） A ．当a ＞0时，f （x ）在（1，+∞）上单调递增B ．若f （x ）的图象在x ＝2处的切线与直线x +2y ﹣5＝0垂直，则实数a =34C ．当﹣1＜a ＜0时，f （x ）不存在极值D ．当a ＞0时，f （x ）有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2＝1 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={|log 3(x −1)|，1＜x ≤4x 2−10x +25，x ＞4，若方程f （x ）＝n 有4个解分别为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)= ． 14．函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则实数a ＝． 15．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱AB ，AD ，AA 1两两夹角都为60°，且AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M ，N 分别为BB 1，B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为． 16．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 6＝4，a 3＝1，则(S n +94)22a n的最小值为．四、解答题：（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程否则扣分）17．（10分）函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，其中MN ∥x 轴．（1）求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）将y ＝f （x ）的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到y ＝g （x ）的图像，求g(π8)的值．18．（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ．（1）求角A 的大小；（2）若sin B 是方程x 2−2x +99100=0的一个根，求cos C 的值． 19．（12分）函数y ＝2sin x ﹣1在（0，+∞）上的零点从小到大排列后构成数列{a n }．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a 2n ﹣1+a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．20．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，AC ∩BD ＝O 1，AC ∩MN ＝G ．沿MN 将△CMN 翻折到△PMN 的位置，连接P A ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ﹣ABMND ．（1）在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面P AG ？证明你的结论；（2）当四棱锥P ﹣MNDB 体积最大时，求点B 到面PDG 的距离；（3）在（2）的条件下，在线段P A 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +a n ＝3．（1）求{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b 1＝1，b n+1b n=n+22(n+1)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n +a n ≥52．22．（12分）已知函数h （x ）＝ln （2ex ﹣e ），g （x ）＝2ax ﹣2a ，a ∈R ．（1）若曲线f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）在（1，f （1））处的切线与直线x ﹣y +1＝0平行，求函数f （x ）的极值；（2）已知f （x ）＝h （x ）﹣g （x ），若f （x ）＜1+a 恒成立．求证：对任意正整数n ＞1，都有∑ln 2n k=1k 54＜n(n +1)．2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分，将答案填涂在答题卡上相应位置. 1．设集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B ＝（） A ．（0，1）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，+∞）D ．(12，1)解：A ＝{x |x 2﹣1＜0}＝（﹣1，1），B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }＝（12，2），则A ∩B ＝（12，1），故选：D ．2．O 是正方形ABCD 的中心．若DO →=λAB →+μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ=（）A ．﹣2B ．−12C ．−√2D ．√2解：因为O 是正方形ABCD 的中心，所以O 为AC 的中点，所以DO →=DC →+CO →=AB →+12CA →=AB →−12AC →，因为DO →=λAB →+μAC →，所以λ=1，μ=−12，所以λμ=1−12=−2．故选：A ．3．若复数z ＝1﹣i +i 2﹣i 3+…+i 2022﹣i 2023，则复数z 的虚部为（） A ．0B ．﹣1C ．1D ．i解：z =1−i +i 2−i 3+⋯+i 2022−i2023=1×(1−(−i)2024)1−(−i)=1×(1−1)1+i=0，所以复数z 的虚部为0．故选：A ．4．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，则log √6a 2016=（）A ．1B ．2C ．√2D ．﹣1解：根据f(x)=13x 3−4x 2+6x −3，可得f ′（x ）＝x 2﹣8x +6，因为a 1，a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点，所以a 1，a 4031是方程f ′（x ）＝x 2﹣8x +6＝0的两个实数根，所以a 1a 4031＝6，又因为数列{a n }为正项等比数列，所以a 1a 4031=a 20162=6，所以a 2016=√6，log √6a 2016=log √6√6=1．故选：A ．5．已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2，2a 5，3a 8成等差数列，则3S 3S 6=（）A ．134B ．1312 C ．94D ．1112解：公比q 不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 2，2a 5，3a 8成等差数列，可得4a 5＝a 2+3a 8，即为4a 1q 4＝a 1q +3a 1q 7，即3q 6﹣4q 3+1＝0，解得q 3=13（1舍去），则3S 3S 6=3•a 1(1−q 3)1−q •1−q a 1(1−q 6)=3•1−q 31−q 6=3•11+q 3＝3•11+13=94，故选：C ．6．已知正四面体A ﹣BCD 的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ，则所得截面的面积为（） A ．27√2B ．27√3C ．54√2D ．54√3解：设内切球半径为r ，由题意得4πr 2＝36π，设正四面体棱长为a ，由三角形的性质得BE =√32a ，BO ′=23BE =23×√32a =√33a ， ∴在△ABO ′中，AO ′′=√AB 2−BO′2=√63a ，又AOOO′=31， ∴OO ′=14AO′=14×√63a =√612a ，∵OO ′＝3，∴√612a =3，解得a ＝6√6．∴BE =√32a =9√2，AO ′=√63a =12，在△ABE 中，S =12×|BE|×|AO′|=12×12×9√2=54√2．过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ，所得截面的面积为54√2．故选：C ．7．已知x =tan1.04，a =log 3x ，b =2a ，c =sinb ，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解：因为π4＜1.04＜π3，x =tan1.04＜tan π3=√3，且x =tan1.04＞tan π4=1，则1＜x ＜√3，0＜a =log 3x ＜log 3√3=12，即0＜a ＜12；所以1＜b =2a ＜√2，即1＜b ＜√2，所以12=sin π6＜sin1＜c =sinb ＜1，即12＜c ＜1．所以a ＜c ＜b ．故选：B ．8．已知f （x ）＝2cos （2ωx −π6）+b sin2ωx +cos （2ωx +π2）（b ＞0，ω＞0）又g （x ）＝f （x ）﹣2√3，对任意的x 1，x 2均有g （x 1）+g （x 2）≤0成立，且存在x 1，x 2使g （x 1）+g （x 2）＝0，方程f （x ）+√3=0在（0，π）上存在唯一实数解，则实数ω的取值范围是（） A ．12＜ω≤56B ．12≤ω＜56C ．512＜ω＜34D ．512＜ω≤34解：因为f(x)=2cos(2ωx −π6)+bsin2ωx +cos(2ωx +π2)=2sin(2ωx +π3)+(b −1)sin2ωx=bsin2ωx +√3cos2ωx =√b 2+3sin(2ωx +θ)，其中θ满足tanθ=√3b，又由任意的x1，x2均有g（x1）+g（x2）≤0成立，即任意的x1，x2均有f(x1)+f(x2)≤4√3成立，且存在x1，x2使g（x1）+g（x2）＝0，可知f（x）最大值为2√3，所以√b2+3=2√3，又b＞0，所以b＝3，所以f(x)=2√3sin(2ωx+π6 )，当0＜x＜π时，π6＜2ωx+π6≤2ωπ+π6，又f（x）在（0，π）上存在唯一实数x0使f(x0)=−√3，即sin(2ωx0+π6)=−12，所以7π6＜2ωπ+π6≤11π6，所以12＜ω≤56．故选：A．二、多选题：本题共4小题，全部选对得5分，部分选对得2分，多选或错选均不得分，共计20分，将答案填涂在答题卡上相应位置.9．著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着n个中心带孔的圆盘．将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为a n，则（）A．a2＝3B．a3＝8C．a n+1＝2a n+n D．a n=2n−1解：将圆盘从小到大编为1，2，3，…号圆盘，则将第n+1号圆盘移动到3号柱时，需先将第1～n号圆盘移动到2号柱，需a n次操作；将第n+1号圆盘移动到3号柱需1次操作；再将1～n 号圆需移动到3号柱需a n 次操作，故a n +1＝2a n +1，故C 错误；由此递推关系及a 1＝1可求得通项为a n =2n −1，故D 正确；则a 2＝3，a 3＝7，故A 正确，B 错误．故选：AD ．10．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．如图1，其平面图是如图2的扇形AOB ，其中∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2OD ＝2，点F 在弧AB 上，且∠BOF ＝120°，点E 在弧CD 上运动（包括端点），则下列结论正确的有（）A ．OF →在OA →方向上的投影向量为√32OA →B ．若OE →=λOC →+μOD →，则λ+μ∈[1，√6+√2] C ．OD →⋅DA →=1−√3D ．EF →⋅EB →的最小值是﹣3解：对于A 选项，由题意可知∠AOF ＝30°，所以OF →在OA →方向上的投影向量为|OF →|cos30°⋅OA →|OA →|=√32OA →，即A 选项正确；对于B 选项，以点O 为坐标原点，OD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D （1，0）、C(−√32，12)，设点E （cos θ，sin θ），其中0≤θ≤5π6，由OE →=λOC →+μOD →可得(cosθ，sinθ)=λ(−√32，12)+μ(1，0)，所以{−√32λ+μ=cosθ12λ=sinθ，即{λ=2sinθμ=√3sinθ+cosθ，所以λ+μ=(2+√3)sinθ+cosθ=(√6+√2)sin(θ+π12)，又因为0≤θ≤5π6，则π12≤θ+π12≤11π12，所以√6−√24≤sin(θ+π12)≤1，所以λ+μ=(√6+√2)sin(θ+π12)∈[1，√6+√2]，即B 选项正确；对于C 选项，DA →=OA →−OD →，所以OD →⋅DA →=OD →⋅(OA →−OD →)=OA →⋅OD →−OD →2=2×1×cos150°−12=−√3−1，即选项C 错误；对于D 选项，E （cos θ，sin θ），其中0≤θ≤5π6，B （2，0）、F(−1，√3)，则EB →=(2−cosθ，−sinθ)，EF →=(−1−cosθ，√3−sinθ)，所以EB →⋅EF →=(2−cosθ)(−1−cosθ)−sinθ(√3−sinθ)=−2sin(θ+π6)−1，因为0≤θ≤5π6，则π6≤θ+π6≤π，故当θ+π6=π2时，即θ=π3时，EF →⋅EB →取最小值为﹣2﹣1＝﹣3，即D 选项正确．故选：ABD ．11．已知复数z 1＝cos α+i sin α，z 2＝cos β+i sin β，z 3＝cos γ+i sin γ，O 为坐标原点，z 1，z 2，z 3对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，则以下结论正确的有（） A ．|z 1•z 2|＝|z 1|•|z 2|B ．若z 1•z 2＝z 1•z 3，则z 2＝z 3C ．若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→，则OZ 1→与OZ 2→的夹角为π3D ．若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→，则△Z 1Z 2Z 3为正三角形解：因为z 1＝cos α+i sin α，z 2＝cos β+i sin β，z 3＝cos γ+i sin γ，所以|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝1，则|OZ 1→|＝|OZ 2→|＝|OZ 3→|＝1，对于A ，z 1•z 2＝cos αcos β﹣sin αsin β+（cos αsin β+sin αcos β）i ，故|z 1•z 2|2＝（cos αcos β﹣sin αsin β）2+（cos αsin β+sin αcos β）2＝cos 2α•cos 2β﹣2cos α•cos β•sin α•sin β+sin 2α•sin 2β+cos 2α•sin 2β+2sin α•cos β•cos α•sin β+sin 2αcos 2β ＝cos 2α（cos 2β+sin 2β）+sin 2α（sin 2β+cos 2β），＝cos 2α+sin 2α ＝1，|z 1|•|z 2|＝1，所以|z 1•z 2|＝|z 1|•|z 2|，故A 正确；对于B ，若z 1•z 2＝z 1•z 3，则z 2=z 1⋅z 3z 1=z 3，故B 正确；对于C ，设OZ 1→与OZ 2→的夹角为θ，θ∈[0，π]，若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→，则（OZ 1→+OZ 2→）2＝（OZ 3→）2，即OZ 1→2+OZ 2→2＝1，即1+1+2cos θ＝1，所以cos θ=−12，所以θ=2π3，即OZ 1→与OZ 2→的夹角为2π3，故C 错误；对于D ，若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→，则﹣（OZ 1→+OZ 2→）=OZ 3→，则[﹣（OZ 1→+OZ 2→）]2=OZ 3→2，即（OZ 1→+OZ 2→）2=OZ 3→2，由C 选项可知OZ 1→与OZ 2→的夹角为2π3，同理OZ 2→与OZ 3→的夹角为2π3，OZ 1→与OZ 3→的夹角为2π3，又|OZ 1→|＝|OZ 2→|＝|OZ 3→|＝1，所以∠Z 1Z 2Z 3＝∠Z 1Z 3Z 2＝∠Z 2Z 1Z 3=π3，故D 正确．故选：ABD ．12．已知函数f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R)，则下列说法正确的是（）A ．当a ＞0时，f （x ）在（1，+∞）上单调递增B ．若f （x ）的图象在x ＝2处的切线与直线x +2y ﹣5＝0垂直，则实数a =34C ．当﹣1＜a ＜0时，f （x ）不存在极值D ．当a ＞0时，f （x ）有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2＝1 解：因为f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R)，x ＞0且x ≠1，所以f ′（x ）=1x +2a (x−1)2，对于A ，当a ＞0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，故正确；对于B ，因为直线x +2y ﹣5＝0的斜率为−12，又因为f （x ）的图象在x ＝2处的切线与直线x +2y ﹣5＝0垂直，令f ′（2）=12+2a ＝2，解得a =34，故正确；对于C ，当﹣1＜a ＜0时，不妨取a =−12，则f ′（x ）=1x −1(x−1)2=x 2−3x+1x(x−1)2，令f ′（x ）＝0，则有x 2﹣3x +1＝0，解得x 1=32−√52，x 2=32+√52，当x ∈（0，32−√52）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈（32−√52，32+√52）时，f ′（x ）＜0，f（x ）单调递减；所以此时函数有极值，故错误；对于D ，由A 可知，当a ＞0时，f （x ）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，当x ＞1时，f （e a ）＝a ﹣a （1+2e a −1）=−2ae a −1＜0， f （e 3a +1）＝3a +1﹣a （1+2e 3a+1−1）=(3a+1)(e 3a+1−1)−a(e 3a+1+1)e 3a+1−1＞3a(e 3a+1−1)−a(e 3a+1+1)e 3a+1−1=2a(e 3a+1−2)e 3a+1−1＞0，所以f （x ）在（1，+∞）上有一个零点，又因为当0＜x ＜1时，f （e ﹣a ）＝﹣a ﹣a （1+2e −a −1）=2ae a −1＞0，f （e﹣3a ﹣1）＝﹣3a ﹣1﹣a （1+2e −3a−1−1）＝﹣3a ﹣1﹣a （1+2e 3a+11−e 3a+1）＝﹣3a ﹣1﹣a •1+e 3a+11−e 3a+1=− [（3a +1）+a •e 3a+1+11−e 3a+1 ]=−(3a+1)(1−e 3a+1)+a(e 3a+1+1)1−e 3a+1=−3a(1−e 3a+1)+a(e 3a+1+1)1−e 3a+1=−4a−2ae 3a+11−e 3a+1=2a(2−e 3a+1)e 3a+1−1＜0，所以f （x ）在（0，1）上有一个零点；所以f （x ）有两个零点，分别位于（0，1）和（1，+∞）；设0＜x 1＜1＜x 2，令f （x ）＝0，则有lnx −a(x+1)x−1=0，所以ln 1x−a(1x +1)1x−1=−lnx −a⋅x+1x1−x x=−lnx −a(x+1)1−x =−lnx +a(x+1)x−1=−（lnx −a(x+1)x−1）＝0，所以f （x ）＝0的两根互为倒数，所以x 1x 2＝1，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={|log 3(x −1)|，1＜x ≤4x 2−10x +25，x ＞4，若方程f （x ）＝n 有4个解分别为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)= 10 ．解：作出函数f （x ）的大致图象，如下：可知，0＜n ＜1且当1＜x ≤4时，|log 3（x ﹣1）|＝n 有2个解x 1，x 2； log 3（x 1﹣1）＝﹣n ，log 3（x 2﹣1）＝n ，得x 1=3−n+1，x 2=3n+1，∴1x 1+1x 2=13−n +1+13n +1=13n +1+3n 1+3n=1；当x ＞4时，由x 2﹣10x +21＝n 有2个解x 3，x 4，根据图象的对称性，得x 3+x 4＝10． ∴(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)=1×10=10．故答案为：10． 14．函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则实数a ＝ ﹣1 ．解：根据题意，函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数，则f （x ）+f （﹣x ）＝0，即ln （2x 1+x +a ）+ln （−2x1−x+a ）＝0，变形可得：a 2−(a+2)x 21−x 2=1，必有a ＝﹣1；故答案为：﹣1．15．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱AB ，AD ，AA 1两两夹角都为60°，且AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M ，N 分别为BB 1，B 1C 1的中点，则MN 与AC 所成角的余弦值为 √9114．解：∵M ，N 分别为BB 1，B 1C 1的中点，∴MN →=12BC 1→=12AD →+12AA 1→，AC →=AB →+AD →，∴MN →2=14AD →2+14AA 1→2+12AD →⋅AA 1→=14+94+12×1×3×cos60°=134，AC →2=AB →2+AD →2+2AB →⋅AD →=4+1+2×2×1×cos60°＝7，MN →⋅AC →=（12AD →+12AA 1→）•（AB →+AD →）=12AD →2+12AB →⋅AD →+12AA 1→⋅AB →+12AA 1→⋅AD →=134，∴cos ＜MN →，AC →＞=MN →⋅AC →|MN →||AC →|=134√132×7=√9114．∴直线MN 与AC 所成角的余弦值为√9114．故答案为：√911416．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 6＝4，a 3＝1，则(S n +94)22a n的最小值为 8 ．解：各项均为正数的等比数列{a n }，由a 2a 6＝4＝a 42，即a 4＝2， ∵a 3＝1， ∴q ＝2，a 1=14，∴a n =14×2n ﹣1＝2n ﹣3，S n =14(1−2n)1−2=2n ﹣2−14，∴（S n +94）2＝（2n ﹣2+2）2＝22（n ﹣2）+4×2n ﹣2+4，∴(S n +94)22a n=22(n−2)+4×2n−2+42n−2=2n ﹣2+42n−2+4≥2√2n−2⋅42n−2+4＝4+4＝8，当且仅当n ＝3时取等号，故答案为：8．四、解答题：（本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程否则扣分）17．（10分）函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，其中MN ∥x 轴．（1）求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）将y ＝f （x ）的图像向右平移π4个单位，再向上平移2个单位得到y ＝g （x ）的图像，求g(π8)的值．解：（1）根据函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得函数的图象关于直线x =−π2−π62=−π3对称，5π12+π3=34×2πω，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2×5π12+φ＝0，求得φ=−5π6，故函数f （x ）＝sin （2x −5π6）．（2）将y ＝f （x ）的图像向右平移π4个单位，可得y ＝sin （2x −π2−5π6）＝sin （2x −4π3）＝sin （2x +2π3）的图象；再向上平移2个单位得到y ＝g （x ）＝sin （2x +2π3）+2的图像．故g(π8)=sin 11π12+2＝sin π12+2＝sin （π3−π4）+2＝（sin π3cos π4−cos π3sin π4）+2＝（√32×√22−12×√22）+2=√6−√24+2．18．（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ．（1）求角A 的大小；（2）若sin B 是方程x 2−2x +99100=0的一个根，求cos C 的值．解：（1）∵（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ，∴利用正弦定理化简得：（a +b ）（a ﹣b ）＝c （c ﹣b ），即b 2+c 2﹣a 2＝bc ， ∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =12，∵A ∈（0，π），∴A =π3．（2）∵x 2−2x +99100=0，解得：x 1=910，x 2=1110， ∵由sin B ≤1，得到sin B =910，可得cos B ＝±√1−sin 2B =±√1910， ∴cos C ＝﹣cos （A +B ）＝sin A sin B ﹣cos A cos B =√32×910−12×（±√1910）=9√3±√1920． 19．（12分）函数y ＝2sin x ﹣1在（0，+∞）上的零点从小到大排列后构成数列{a n }．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ＝a 2n ﹣1+a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：（1）函数y ＝2sin x ﹣1的最小正周期为2π，函数y ＝2sin x ﹣1在（0，2π）上的零点分别为π6，5π6，数列{a 2n ﹣1} 是以π6为首项，2π为公差的等差数列，即当n 为奇数时，a n =π6+n−12d =nπ−5π6；数列{a 2n } 是以5π6为首项，2π为公差的等差数列，即当n 为偶数时，a n =5π6+n−22d =nπ−7π6．综上a n ={nπ−5π6，n 为奇数nπ−7π6，n 为偶数；（2）b n ＝a 2n ﹣1+a 2n ＝4n π﹣3π， S n =(b 1+b n )n2=n(2n −1)π． 20．（12分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，AC ∩BD ＝O 1，AC ∩MN ＝G ．沿MN 将△CMN 翻折到△PMN 的位置，连接P A ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ﹣ABMND ．（1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面P AG？证明你的结论；（2）当四棱锥P﹣MNDB体积最大时，求点B到面PDG的距离；（3）在（2）的条件下，在线段P A上是否存在一点Q，使得平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为√2929若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．解：（1）在翻折过程中总有平面PBD⊥平面P AG，证明：折叠前，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，由于M，N分别是边BC，CD的中点，所以MN∥BD，所以MN⊥AC，折叠过程中，MN⊥GP，MN⊥GA，GP∩GA＝G，GP，GA⊂平面P AG，所以MN⊥平面P AG，所以BD⊥平面P AG，由于BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面P AG．（2）当平面PMN⊥平面MNDB时，四棱锥P﹣MNDB体积最大，由于平面PMN∩平面MNDB＝MN，GP⊂平面PMN，GP⊥MN，所以GP⊥平面MNDB，由于AG⊂平面MNDB，所以GP⊥AG，菱形ABCD边长为4，且∠DAB＝60°，所以BD＝4，AC=2√3，PG＝CG=√3，在Rt△O1DG中，DG=√22+(√3)2=√7，所以S△PGD=12×√7×√3=√212，S△BDG=12×4×√3=2√3，设点B到面PDG的距离为h，则由等体积法有V B﹣PDG＝V P﹣BDG，即13S△PDG×ℎ=13S△BDG×PG，即√212ℎ=2√3×√3，所以ℎ=4√21 7，所以点B到面PDG的距离为4√21 7．（3）存在，理由如下：在点G处有GA，GM，GP两两互相垂直，则以G为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知P(0，0，√3)，D(√3，−2，0)，B(√3，2，0)，N(0，−1，0)，A(3√3，0，0)，PA →=(3√3，0，−√3)，设PQ ＝λP A （0≤λ≤1），则GQ →=GP →+PQ →=GP →+λPA →=(0，0，√3)+(3√3λ，0，−√3λ)=(3√3λ，0，√3−√3λ)，平面PMN 的法向量为n 1→=(1，0，0)，DQ →=(3√3λ−√3，2，√3−√3λ)，DN →=(−√3，1，0)，设平面QDN 的法向量为n 2→=(x ，y ，z)，则{n 2→⋅DQ →=(3√3λ−√3)x +2y +(√3−√3λ)z =0n 2→⋅DN →=−√3x +y =0，故可设n 2→=(λ−1，√3λ−√3，3λ+1)，设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ，由于平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929，所以cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=|λ−1|√(λ−1)+(√3λ−√3)2+(3λ+1)=√2929，解得λ=12或λ＝3（舍去），所以当Q 是P A 的中点时，平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929．21．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +a n ＝3．（1）求{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b 1＝1，b n+1b n=n+22(n+1)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n +a n ≥52．解：（1）由S n +a n ＝3，当n ＝1时，S 1+a 1＝3，解得a 1=32；当n ≥2时，S n ﹣1+a n ﹣1＝3，相减得a n +a n ﹣a n ﹣1＝0，即a n a n−1=12，∴数列{a n }是以32为首项，12为公比的等比数列，故a n =32n ，验证n ＝1时成立，故a n =32n ；（2）b 1＝1，b n+1b n=n+22(n+1)，故b n =b n b n−1⋅b n−1b n−2⋅⋯⋅b 2b 1⋅b 1=(12)n−1(n+1n ⋅n n−1⋅n−1n−2⋅⋯⋅32)×1=n+12n （n ≥2）， b 1＝1适合上式，则b n =n+12n ． ∴T n =22+322+423+⋯+n+12n ， 12T n =222+323+424+⋯+n+12n+1，两式相减可得： 12T n =1+122+123+124+⋯+12n−n+12n+1=1+122(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−n+32n+1，∴T n =3−n+32n ，T n +a n =3−n 2n ．令c n =n 2n ，c n+1−c n =n+12n+1−n 2n =−n+12n+1，n ∈N *，故c 1＝c 2，且c n+1−c n =−n+12n+1＜0，n ≥2，n ∈N *， c n 是从第二项开始单调递减数列，得(c n )max =c 1=c 2=12．故T n +a n =3−n 2n ≥3−12=52． 22．（12分）已知函数h （x ）＝ln （2ex ﹣e ），g （x ）＝2ax ﹣2a ，a ∈R ．（1）若曲线f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）在（1，f （1））处的切线与直线x ﹣y +1＝0平行，求函数f （x ）的极值；（2）已知f （x ）＝h （x ）﹣g （x ），若f （x ）＜1+a 恒成立．求证：对任意正整数n ＞1，都有∑ln 2n k=1k 54＜n(n +1)．解：（1）由f （x ）＝ln （2ex ﹣e ）﹣2ax +2a ，可得f ′(x)=22x−1−2a ，由条件可得f ′（1）＝2﹣2a ＝1，即a =12，则f(x)=ln(2x −1)−x +2，f ′(x)=22x−1−1=−(2x−3)2x−1(x ＞12)，令f′（x）＝0可得x=3 2，当x＞32时，f′（x）＜0，当12＜x＜32时，f′（x）＞0．所以f（x）在(32，+∞)上单调递减，在(12，32)上单调递增，所以f（x）的极大值为f(32)=ln2−32+2=ln2+12，无极小值．（2）证明：f（x）＜1+a，即ln（2x﹣1）﹣a（2x﹣1）＜0对任意的x＞12恒成立，即a（2x﹣1）＞ln（2x﹣1），其中x＞1 2，令t＝2x﹣1＞0，则at＞lnt，即at＞lnt⇒a＞lnt t，构造函数g(t)=lntt，则g′(t)=1−lnt2，令g′（t）＝0，得t＝e，列表如下：所以函数y＝g（t）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞），所以g(t)max=g(e)=1 e ，所以a＞1 e ，即a＞1e时，ln（2x﹣1）＜a（2x﹣1）恒成立，取a=25，则ln(2x−1)＜2(2x−1)5对任意的x＞12恒成立，令k＝2x﹣1（k∈N*），则lnk＜2k 5，所以ln1+ln2+ln3+⋯+ln(2n)＜25(1+2+3+⋯+2n)=2n(1+2n)5＜4n(n+1)5，所以∑2n k=154lnk＜n(n+1)，即∑ln2nk=1k54＜n(n+1)．。

2019-2020河北省武邑中学高三上学期开学考试数学(文)试题

2019-2020河北省武邑中学高三上学期开学考试数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.设命题：，，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，3.已知等差数列的前项和，若，则等差数列的公差是（）A. 2B. -2C.D.4.已知，则（）A. B. C. D.5.若满足约束条件，则的最大值是（）A. -8B. 0C. -3D. 16.在中，，是的中点，则（）A. B. C. D.7.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.8.函数在上的图象为（）A. B.C. D.9.要得到函数的图像，只需将函数的图像（）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度10.已知且，函数，则“”是“在上单调递减”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件11.已知函数在上的值域为，若的最小值与最大值分别为，则（）A. B. C. D.12.已知函数，，若两曲线，有公共点，且在该点处它们的切线相同，则当时，的最大值为（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数，则___________.14.已知，满足，则的最大值为__________.15.已知的两个单位向量，且，则__________.16.的垂心在其内部，，，则的取值范围是________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列是公差不为0的等差数列，，成等比数列.（1）求；（2）设，数列的前项和为，求.18.某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件，尺寸在[223,228]内（单位：mm）的零件为一等品，其余为二等品.在两种工艺生产的零件中，各随机抽取10个，其尺寸的茎叶图如图所示：（1）分别计算抽取的两种工艺生产的零件尺寸的平均数；（2）已知甲工艺每天可生产300个零件，乙工艺每天可生产280个零件，一等品利润为30元/个，二等品利润为20元/个.视频率为概率，试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高？19.在直角三角形中，，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置且.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.20.斜率为的直线与抛物线交于两点，且的中点恰好在直线上.（1）求的值；（2）直线与圆交于两点，若，求直线的方程.21.设（1）求的最小值；（2）证明：.22.在极坐标系中，曲线方程为.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，直线：，（t为参数，）.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的取值范围.23.已知.（1）求不等式解集；（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围.2019-2020河北省武邑中学高三上学期开学考试数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

河北省武邑中学高三上学期期末考试数学(文)试题有答案-最新精品

河北武邑中学高三年级上学期期末考试数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}2|lgx 0,|4M x N N x =>=≤，则M N ⋂（） A ． []1,2 B ．()1,2 C ．[)1,2 D ．(]1,2 2.设复数满足243z i i -=+，则z =（）A ．44i +B ．44i -C ．22i -D ．22i +3.已知函数()log 2a y ax =-在[]0,1上是x 的函数，则a 的取值范围是（） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()0,2 D ．[)2,+∞4. 已知数列{}n a 满足：()111,212n n a a a n -==+≥，为求使不等式123n a a a a k ++++<的最大正整数n ，某人编写了如图所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为（） A ．,S k i < B ．,1S k i <- C. ,S k i ≥ D ．,1S k i ≥-5.设实数,x y 满足3010210x y y x x +-≤⎧⎪⎪-≥⎨⎪-≥⎪⎩，则y x u x y =-的取值范围为（）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 23,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6.有编号为1，2，…，700的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品为样品进行检验.下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是（）A ．B ．C. D ．7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．643π+．563π+18π D ．224π+ 8.如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点()0,1A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AB x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的图像大致为（）A ．B ．C. D ．9.某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗原料1千克，原料2千克；生产乙产品1件需消耗原料2千克，原料1千克；每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗，原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A ． 1800元B ． 2400元 C. 2800元 D ．3100元 10.圆心在曲线()30y x x=>上，且与直线3430x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（） A ． ()223292x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ B ． ()()22216315x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C. ()()22218135x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭D ．((229x y -+-=11.一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为（）A ．36πB ．1123π C. 32π D ．28π 12.若12,F F 为双曲线22221x y a b-=的左右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M 在双曲线的右准线上，且满足：()111,0OF OM FO PM OP OF OM λλ⎛⎫ ⎪==+> ⎪⎝⎭，则该双曲线的离心率为（）A B C. 2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0,1a b ==，则2a b += ． 14.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．15.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠4小时，假定它们在一昼夜的时间中随机地到达，则两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为．16. ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()2,1,2,cos q a p b c C ==-，且//p q ，三角函数式2cos 2C11tan Cμ-=++的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列{}n a ，{}n b 满足：()()111,1,411n n n n n n b a a b b a a -=+==-+．（1）设11n n C b =-，求数列{}n C 的通项公式；（2）设12231n n n S a a a a a a +=+++，不等式4n n aS b <恒成立时，求实数a 的取值范围．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E F 、分别为PC BD 、的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且2PA PD AD ==．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求三棱锥C PBD -的体积．19.某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据()(),1,2,6i i x y i =，如表所示：已知80y =，（1）求q 的值；（2）已知变量,x y 具有线性相关性，求产品销量y 关于试销单价x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+可供选择的数据662113050,271i ii i i x yx ====∑∑；（3）用ˆy表示（2）中所求的线性回归方程得到的与对应的i x 产品销量的估计值.当销售数据()(),1,2,6i i x y i =对应的残差的绝对值时，则将销售数据ˆ1i i yy -≤称为一个“好数据”.试求(),i i x y 这6组销售数据中的“好数据”.参数数据：线性回归方程中的ˆˆ,ba 最小二乘估计分别是()1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xn x==-==--∑∑ 20.已知抛物线()2:20C y px p =>在第一象限内的点()2,t P 到焦点的距离为52．（1）若1,02M ⎛⎫-⎪⎝⎭，过点,M P 的直线1l 与抛物线相交于另一点Q ，求QF PF 的值；（2）若直线2l 与抛物线C 相交于,A B 两点，与圆()22:1M x a y -+=相交于,D E 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥，试问：是否存在实数a ，使得DE 的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数()()2112x f x x e ax =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数，0πα-<<），曲线2C 的参数方程为125x y ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）射线4πθ=-与曲线1C 的交点为P ，与曲线2C 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x =+．（1）解不等式()21f x x ≥+；（2）x R ∃∈，使()()26f x f x m --+<成立，求m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5DCBBA 6-10 BBDCA 11、12：CC二、填空题13. 113616. (-三、解答题17.解：（1）∵11112n n b b --=--，∴12111111n n n n b b b b --==-+---， ∵11141c b ==--，∴数列{}n c 是以-4为首项，-1为公差的等差数列， ∴()()4113n c n n =-+--=--；（2）由（1）知，131n n c n b ==---，∴23n n b n +=+，从而113n n a b n =-=+， ()()()12231111114556344444n n n n S a a a a a a n n n n +=+++=+++=-=⨯⨯++++， ∴()()()()21368244334n n n a n a n a n aS b n n n n -+-+-+-=-=++++，由题意可知()()213680a n a n -+--<恒成立，即可满足不等式4n n aS b <恒成立，设()()()21368f n a n a n =-+--，当1a =时，()380f n n =--<恒成立，当1a >时，由()()213680a n a n -+--=的判别式()()2363210a a ∆=-+->，再结合二次函数的性质4n n aS b <不可能成立；当1a <时，对称轴()323110,2121a n f n a a -⎛⎫=-=--< ⎪--⎝⎭在()1,+∞上为单调递减函数，∵()()()113684150f a a a =-+--=-<，∴1a <时，4n n aS b <恒成立，综上知：当1a ≤时，4n n aS b <恒成立．18.解：（1）连结AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点，故在CPA ∆中，//EF PA ，且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴//EF 平面PAD ；（2）取AD 的中点N ，连结PN ，∵PA PD =，∴PN AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，∴PN ⊥平面ABCD ， ∴31111332212C PBD P BCD BCD a V V S PN a a a --∆====. 19.解：（1）∵84838075686q y +++++=，又∵80y =，∴8483807568806q +++++=，∴90q =；（2）4567891362x +++++==，∴21330506802ˆ41327162b-⨯⨯==-⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴()13ˆ8041062a=--⨯=， ∴ˆ4106yx =-+；（3）∵ˆ4106yx =-+， ∴1111ˆˆ410690,909001yx y y =-+=-=-=<，所以()()11,4,90x y =是好数据； 2222ˆˆ410686,868421yx y y =-+=-=-=>，所以()()22,5,84x y =不是好数据； 3333ˆˆ410682,838211yx y y =-+=-=-==，所以()()33,6,83x y =是好数据； 4444ˆˆ410678,788021yx y y =-+=-=-=>，所以()()44,7,80x y =不是好数据； 5555ˆˆ410674,757411yx y y =-+=-=-==，所以()()55,8,75x y =是好数据； 6666ˆˆ410670,706821yx y y =-+=-=-=>，所以()()66,9,68x y =不是好数据；所以好数据为()()()4,90,6,68,8,75.20.解：（1）∵点()2,P t ，∴5222p +=，解得1p =，故抛物线C 的方程为：22y x =，当2x =时，2t =， ∴1l 的方程为4255y x =+，联立可得212,8Q y x x ==，又∵11,22Q P QF x PF x =+=+，∴111821422QF PF +==+；（2）设直线AB 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程可得2220y ty m --=，设()()1122,,A x y B x y ，则12122,2y y t y y m +==-，① 由OA OB ⊥得：()()12120ty m ty m y y +++=，整理得()()22121210t y y tm y y m ++++=，② 将①代入②解得2m =，∴直线:2l x ty =+， ∵圆心到直线l的距离d =，∴DE =显然当2a =时，2,DE DE =的长为定值.21.解：（1）()()()1x x x f x e x e ax x e a '=+--=-， ①设0a ≤，则当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增； ②设0a >，由()0f x '=得0x =或ln x a =，若1a =，则()()10x f x x e '=-≥，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，若01a <<，则ln 0a <，故当()(),ln 0,x a ∈-∞+∞时，()0f x '>；当()ln ,0x a ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()(),ln ,0,a -∞+∞单调递增，在()ln ,0a 单调递减； ③若1a >，则ln 0a >，故当()(),0ln ,x a ∈-∞+∞时，()0f x '>；当()0,ln x a ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()(),0,ln ,a -∞+∞单调递增，在()0,ln a 单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；当01a <<时()f x 在()(),ln ,0,a -∞+∞单调递增，在()0,ln a 单调递减；（2）①设0a ≤，则由（1）知，()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增，又()()01,1f f a =-=-，取b 满足3b <-且()ln b a =-，则()()()221220f b a b ab a b b >---=-+->，所以()f x 有两个零点；②设1a =，则()()1x f x x e =-，所以()f x 只有一个零点；③设01a <<，则由（1）知，()f x 在()(),ln ,0,a -∞+∞单调递增，在()ln ,0a 单调递减，()01f =-，当ln b a =时，()f x 有极大值()()()221220f b a b ab a b b =--=--+<，故()f x 不存在两个零点；当1a >时，则由（1）知，()f x 在()(),0,ln ,a -∞+∞单调递增，在()0,ln a 单调递减，当0x =时，()f x 有极大值()010f =-<，故()f x 不存在两个零点，综上，a 的取值范围为0a ≤. 22.解：（1）曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数，0πα-<<），普通方程为()()22110x y y -+=<，极坐标方程为2cos ,,02πρθθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，曲线2C的参数方程为1225x t y ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数），普通方程260x y +-=；（2）,4πθρ=-=4P π⎫-⎪⎭；4πθ=-代入曲线2C的极坐标方程，可得ρ'=4Q π⎛⎫-⎪⎝⎭，∴PQ ==．23.解：（1）当10x +≥即1x ≥-时，121x x +≥+，∴10x -≤≤，当10x +<即1x <-时，121x x --≥+，∴1x <-， ∴不等式的解集为{}|0x x ≤；（2）∵()()21,67f x x f x x -=-+=+，∴17x x m --+<，∵x R ∃∈，使不等式17x x m --+<成立，∴m 大于17x x --+的最小值， ∴8m >-.。