河北省武邑中学高三数学上学期周考试题(11.20)文(扫描版)
河北省武邑中学2017届高三上学期周考(11.20)数学文试题 Word版含答案

数学(文)周测第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.若集合{}15A y y =-<<,{}2 B y y x x ==∈N ,,则AB 等于( )A .{}1 4,B .{}0 1 4,,C .()1 0-,D .[05), 2.若()()()2321 i a b i a b -=++∈R ,,则a bi +等于( )A .B .5 C3.函数()f x =) A .() 1-∞,B .()0 1,C .(0 1],D .()() 1 1 1-∞-,,4.已知数列{}n a 是等差数列,21462 4 32a a a a -=+=,,则数列{}n a 的公差为( ) A .2 B .3 C.4 D .55.若3sin tan αα=,α为锐角,则()tan 3πα-等于( )A . C. -.6.在梯形ABCD 中,3AB DC =,则BC 等于( )A .1233AB AD -+ B .2433AB AD -+ C. 23AB AD -+ D .23AB AD -7.设0 2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,则()1cos 224sin cos f πθθθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的最小值为( )A B C.1 D .2 8.一周长为6cm 的正六边形的六个顶点都在球O 的表面上,球心O 到正六边形所在平面的距离为,记球O 的体积为3cm V ,球O 的表面积为2cm S ,则( )A .V S =B .2V S = C.2V S = D .V =9.已知函数()()2sin 0 2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭,的图象如图所示,则函数()y f x ω=+的对称中心坐标为( )A .()23 3242k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,B .()323 83k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,C.()153 282k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, D .()332 283k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,10.设0a >,若满足约束条件000x y a x y y a +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩的变量x 的最大值为6,则3z x y =-的最大值为( )A .6-B .3 C.18 D .2111.已知实数a 为正数,则“1a >”是“函数()()()1x f x ax e x x =+-∈R 的最小值为0”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C.充要条件 D .既不充分也不必要条件12.若不等式()2ln 1x x x a x -+<+对()0 x ∈+∞,恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A .()0 +∞, B .[0 )+∞, C.()1 +∞,D .[1 )+∞,第Ⅱ卷二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知函数()212 0log 0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,,,则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 14.设向量()() 2m n m ==a b ,,,,且向量a 在向量b 方向上的投影为负数,则实数m 的取值范围为 .15.设正项数列{}n a 的前n 项和为n T ,且22223212224323n a a a a n n++++=-…,则20T = .16.一四棱锥的三视图如图所示,设A 为此棱锥所有棱的长度构成的集合,则A = .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分10分)在非等腰ABC △中, A B C ,,的对边分别是 a b c ,,,2A C B +=,223sin 8sin 11sin sin C A A C +=⋅.⑴求ca的值; ⑵若7b =,求ABC △的面积. 18. (本小题满分12分)已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,且135a a +=,2410a a +=. ⑴求数列{}n a 的通项公式;⑵若727 k k a a S +-,,成等差数列,求正整数k 的值. 19. (本小题满分12分)设函数()()()2230x f x t t f =-⋅++,其中t 为常数,且t ∈R . ⑴当4t =时,求函数()f x 在( 2]-∞,上的值域; ⑵当2t <时,求函数()f x 的零点0x 的取值范围. 20. (本小题满分12分)如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,侧面11AA D D 为矩形,AB ⊥平面11AA D D ,11CD AA D D ⊥平面,E 、F 分别为11A B 、1CC 的中点,且12AA CD ==,1AB AD ==.⑴求证:1EF A BC ∥平面; ⑵求1D 到平面11A BC 的距离. 21. (本小题满分12分)已知曲线()()32153236f x x ax x a =++->-在点()()1 1f ,处的切线l 与坐标围成的三角形的面积为25. ⑴求实数a 的值;⑵若0a >,且对[]12 1 1x x ∀∈-,,,()()1262f x f x --<恒成立,求实数m 的取值范围. 22. (本小题满分12分) 已知函数()2bxf x ax c=+,()'09f =,其中0 a b c >∈R ,,,且10b c +=. ⑴求b 、c 的值及函数()f x 的单调区间;⑵若在区间[]1 2,上仅存在一个0x ,使得()0f x a ≥,求实数a 的值.高三数学试卷参考答案(文科)一、选择题1.B ∵{}15A y y =-<<,B 中的元素为0,1,4,9,…,∴{}0 1 4AB =,,.2.A ∵()2234i i -=-,()()311a b i a b i ++=-+,∴ 3 3a b ==,,∴a bi +=.3.B ∵ln 0x -≥,∴01x <≤,∵210x -≠,∴()0 1x ∈,. 4.C 14d a =+且()5122432a a d =+=,∴4416d d -+=,∴4d =. 5.C sin 3sin tan cos αααα==,α为锐角,∴1cos 3α=,sin α=sin tan cos ααα==∴()tan 3tan παα-=-=-. 6.C 1233BC AC AB AB AD AB AB AD =-=+-=-+. 7.B ∵0 2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,∴()20 θπ∈,,∴sin 2(0 1]θ∈,,∴()1sin 22sin 2f θθθ=+≥=当且仅当sin 2θ=时取“=”. 8.A 设正六边形遥边长为a ,则66a =,∴1a =,由题可得正六边形所在小圆的半径为1r =,则球O的半径3R ===,∴2243143R V RS R ππ===.9.D 由图象可知1153122888πππ=-=,所以3T π=,又23T ππω==,所以23ω=,又232382k ππϕπ⨯+=+, ∴24k πϕπ=+,又∵2πϕ<,∴4πϕ=,所以()22sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由234x k ππ+=,得3328k πππ=-,k ∈Z ,则()y f x ω=+的对称中心坐标为()332 283k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ,. 10.D 作出不等式组表示的可行域,如图所示,易求得 22aa A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,() B a a --,,()2 C a a -,,由图可得x 的最大值为26a =,∴3a =,当直线3z x y =-经过点()6 3C -,时,z 取最大值21.11.A 设()1x g x e x =+-,显然()g x 为增函数,当0x >时,()()00g x g >=,当0x <时,()()00g x g <=.∴()0 0 0a x f x >>>,,;()0 0 0a x f x ><>,,,∴()()min 00f x f ==. 12.A 令()2ln g x x x x =-+,()()1h x a x =+,()0 x ∈+∞,,则()()()211'x x g x x+-=-,∴当1x >时,()'0g x <,()g x 递减;当01x <<时,()'0g x >,()g x 递增,∴()()max 10g x g ==.()h x 表示过定点()1 0-,的直线在()0 x ∈+∞,的部分,结合两个函数的图象可得0a >.二、填空题 13.78 ()11731888f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.14.()2 0-,向量a 在向量b 方向上的投影为0a bb⋅<,∴220a b m m ⋅=+<,∴20m -<<. 15.419 当11 1n a ==,,当2n ≥,()()22434134na n n n=----=⎡⎤⎣⎦,0n a >,∴2n a n =, ∴ 1 12 2n n a n n =⎧=⎨≥⎩,,,∴()()20122320122019419T =++++=++⨯=….16.{4 5 , 由三视图可知,该几何体为底面是边长为4的正方形,高为4的四棱锥,通过计算可得{4 5 A =,. 三、解答题17.解:⑴由正弦定理得:223sin 8sin 11sin sin C A A C +=⋅, 即()()228311838003803c c ac a c a c a c a c a a -+=--=-=-==⇒或或, 若a c =,则ABC △为等腰三角形,不合.故83c a =.……………………………………5分 ⑵∵2A C B +=,∴60B =︒,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得,22226484949939a a a a =+-=,∴ 3 8a c ==,.∴1sin 122S ac B ===分从而21227112k k -⋅=+-,即222720k k +-=,解得28k =或9-(舍), ∴3k =.……………………………………12分19.解:⑴()()()()()1223012230x x x f x t t f t f +=-⋅++=-++,∴()()0230f f =+,∴()01f =-,当4t =时,()221x f x =-⨯+,当( 2]x ∈-∞,时,2(0 4]x ∈,,∴()[7 1)f x ∈-,.………………6分 ⑵当2t <时,20t ->,令()0f x =,得312122x t t t -==+--,∵20t ->,∴312t t ->-,∴21x >,0x >,∴()f x 的零点()00 x ∈+∞,.………………………………………………12分 20.解:⑴(方法一)证明:取1BB 的中点G ,连结EG 、FG ,∵E 为11A B 的中点,∴1EG A B ∥,∵1EG A BC ⊄平面,11A B A BC ⊂平面, ∴1EG A BC ∥平面.在四棱柱1111ABCD A B C D -中,侧面11BB C C 为平行四边形,又F 为1CC 的中点, ∴FG BC ∥,同理可得1FG A BC ∥平面,∵FGEG G =,∴平面EFG ∥平面1A BC ,∵EF ⊂平面EFG ,∴EF ∥平面1A BC .…………………………6分(方法二)取A 、B 的中点M ,连EM 、CM , ∵F 为1CC 的中点,侧面11BB C C 为平行四边形, ∴CF ∥112BB , ∵E 为11A B 中点,∴EM ∥112BB ,∴CF ∥EM , ∴四边形CFEM 为平行四边形,∴EF CM ∥,又EF ⊄平面1A BC ,CM ⊂平面1A BC ,∴EF ∥平面1A BC .…………6分⑵∵四边形11AA D D 为矩形,∴1AD AA ⊥, 又AB ⊥平面11AA D D ,∴1AB AA ⊥,∵AD AB A =,∴1AA ⊥平面ABD ,∴1BB ⊥平面11A C D ,在1Rt A AB △中,1A B =,在111Rt A D C △中,11A C =, 在1Rt BB C △中,1BC =1112A BC S ==△∵11111212A C D S =⨯⨯=△,∴由111111D A BCB ACD V V ---=得,11121333h BB =⨯⨯=,∴h =分 21.解:⑴()2'23f x x ax =++,∴()'124f a =+,又()512f a =+, ∴切线l 的方程为()()52442y a a x --=+-,当0x =时,32y a =--,当0y =时,3224a x a +=+,∴l 与坐标轴围成的三角形的面积3132222425a S a a +=⋅--=+,∵2a >-,∴()238225a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,解得12a =或1910a =-.………………………………………………6分⑵∵0a >,∴12a =,()2'30f x x x =++>对[]1 1x ∈-,上恒成立, ∴()f x 在[]1 1x ∈-,上递增,∵()1113f -=-,()13f =, ∴()max 3f x =,()min 113f x =-,∴()()()1211236633max222f x f x +---==<∴4m >.…………12分22. 解:⑴∵()()()()()22222212'b ax c x ax b c ax f x axc axc ⎡⎤⋅+-⋅-⎣⎦==++,∴()2'09bc bf c c===, 又10b c +=,∴9b =,1c =.…………………………2分 ∴()()()()22291'0 1ax f x a x ax-=>∈+R ,,令()'0f x =,得x =()'0f x >,得x <<令()'0f x <,得x <,或x >,∴()f x的增区间为⎛ ⎝,减区间为 ⎛-∞ ⎝,, ⎫+∞⎪⎪⎭,.……………………5分 ⑵由题意可得,()f x 在[]1 2,上的最大值为a , 当1a ≥时,若[]1 2x ∈,,则()()()22291'01ax f x ax-=≤+,∴()f x 在[]1 2,上递减,()()max 911f x f a a ===+,又1a ≥,∴a =.……………………7分 当104a <≤时,若[]1 2x ∈,,则()()()22291'01ax f x ax -=≥+,∴()f x 在[]1 2,上递增. ()()max 18241f x f a a ===+,又104a <≤,∴a ∈∅.…………………………9分 当114a <<时,若[]1 2x ∈,,则()f x在1 ⎡⎢⎣上递增,在 2],上递减, ()max f x f a ===,∴28114a =>,∴1a >,又114a <<,∴a ∈∅.…………11分综上,实数a分。
2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三(上)期中数学试卷一、单选题.本题共8小题,每小题5分,共40分,将答案填涂在答题卡上相应位置. 1.设集合A ={x |x 2﹣1<0},B ={y |y =2x ,x ∈A },则A ∩B =( ) A .(0,1)B .(﹣1,2)C .(﹣1,+∞)D .(12,1)2.O 是正方形ABCD 的中心.若DO →=λAB →+μAC →,其中λ,μ∈R ,则λμ=( )A .﹣2B .−12C .−√2D .√23.若复数z =1﹣i +i 2﹣i 3+…+i 2022﹣i 2023,则复数z 的虚部为( ) A .0B .﹣1C .1D .i4.正项等比数列{a n }中的a 1,a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点,则log √6a 2016=( )A .1B .2C .√2D .﹣15.已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2,2a 5,3a 8成等差数列,则3S 3S 6=( )A .134B .1312 C .94D .11126.已知正四面体A ﹣BCD 的内切球的表面积为36π,过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ,则所得截面的面积为( ) A .27√2B .27√3C .54√2D .54√37.已知x =tan1.04,a =log 3x ,b =2a ,c =sinb ,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a <b <cB .a <c <bC .c <a <bD .c <b <a8.已知f (x )=2cos (2ωx −π6)+b sin2ωx +cos (2ωx +π2)(b >0,ω>0)又g (x )=f (x )﹣2√3,对任意的x 1,x 2均有g (x 1)+g (x 2)≤0成立,且存在x 1,x 2使g (x 1)+g (x 2)=0,方程f (x )+√3=0在(0,π)上存在唯一实数解,则实数ω的取值范围是( ) A .12<ω≤56B .12≤ω<56C .512<ω<34D .512<ω≤34二、多选题:本题共4小题,全部选对得5分,部分选对得2分,多选或错选均不得分,共计20分,将答案填涂在答题卡上相应位置.9.著名的“河内塔”问题中,地面直立着三根柱子,在1号柱上从上至下、从小到大套着n 个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子,且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面,视为一次操作.设将n 个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为a n ,则( )A .a 2=3B .a 3=8C .a n +1=2a n +nD .a n =2n −110.折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨,㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1,其平面图是如图2的扇形AOB ,其中∠AOB =150°,OA =2OC =2OD =2,点F 在弧AB 上,且∠BOF =120°,点E 在弧CD 上运动(包括端点),则下列结论正确的有( )A .OF →在OA →方向上的投影向量为√32OA →B .若OE →=λOC →+μOD →,则λ+μ∈[1,√6+√2] C .OD →⋅DA →=1−√3D .EF →⋅EB →的最小值是﹣311.已知复数z 1=cos α+i sin α,z 2=cos β+i sin β,z 3=cos γ+i sin γ,O 为坐标原点,z 1,z 2,z 3对应的向量分别为OZ 1→,OZ 2→,OZ 3→,则以下结论正确的有( ) A .|z 1•z 2|=|z 1|•|z 2|B .若z 1•z 2=z 1•z 3,则z 2=z 3C .若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→,则OZ 1→与OZ 2→的夹角为π3D .若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→,则△Z 1Z 2Z 3为正三角形 12.已知函数f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R),则下列说法正确的是( ) A .当a >0时,f (x )在(1,+∞)上单调递增B .若f (x )的图象在x =2处的切线与直线x +2y ﹣5=0垂直,则实数a =34C .当﹣1<a <0时,f (x )不存在极值D .当a >0时,f (x )有且仅有两个零点x 1,x 2,且x 1x 2=1 三、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)={|log 3(x −1)|,1<x ≤4x 2−10x +25,x >4,若方程f (x )=n 有4个解分别为x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4,则(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)= . 14.函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数,则实数a = . 15.在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,以顶点A 为端点的三条棱AB ,AD ,AA 1两两夹角都为60°,且AB =2,AD =1,AA 1=3,M ,N 分别为BB 1,B 1C 1的中点,则MN 与AC 所成角的余弦值为 . 16.各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2a 6=4,a 3=1,则(S n +94)22a n的最小值为 .四、解答题:(本大题满分70分,每题要求写出详细的解答过程否则扣分)17.(10分)函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,其中MN ∥x 轴. (1)求函数y =f (x )的解析式;(2)将y =f (x )的图像向右平移π4个单位,再向上平移2个单位得到y =g (x )的图像,求g(π8)的值.18.(12分)在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且(a +b )(sin A ﹣sin B )=(c ﹣b )sin C . (1)求角A 的大小; (2)若sin B 是方程x 2−2x +99100=0的一个根,求cos C 的值. 19.(12分)函数y =2sin x ﹣1在(0,+∞)上的零点从小到大排列后构成数列{a n }. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =a 2n ﹣1+a 2n ,求数列{b n }的前n 项和S n .20.(12分)如图1,在边长为4的菱形ABCD 中,∠DAB =60°,点M ,N 分别是边BC ,CD 的中点,AC ∩BD =O 1,AC ∩MN =G .沿MN 将△CMN 翻折到△PMN 的位置,连接P A ,PB ,PD ,得到如图2所示的五棱锥P ﹣ABMND .(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面P AG ?证明你的结论; (2)当四棱锥P ﹣MNDB 体积最大时,求点B 到面PDG 的距离;(3)在(2)的条件下,在线段P A 上是否存在一点Q ,使得平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929若存在,试确定点Q 的位置;若不存在,请说明理由. 21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n +a n =3. (1)求{a n }的通项公式; (2)数列{b n }满足b 1=1,b n+1b n=n+22(n+1),设数列{b n }的前n 项和为T n ,证明:T n +a n ≥52.22.(12分)已知函数h (x )=ln (2ex ﹣e ),g (x )=2ax ﹣2a ,a ∈R .(1)若曲线f (x )=h (x )﹣g (x )在(1,f (1))处的切线与直线x ﹣y +1=0平行,求函数f (x )的极值;(2)已知f (x )=h (x )﹣g (x ),若f (x )<1+a 恒成立.求证:对任意正整数n >1,都有∑ln 2n k=1k 54<n(n +1).2023-2024学年河北省衡水市武邑中学高三(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题.本题共8小题,每小题5分,共40分,将答案填涂在答题卡上相应位置. 1.设集合A ={x |x 2﹣1<0},B ={y |y =2x ,x ∈A },则A ∩B =( ) A .(0,1)B .(﹣1,2)C .(﹣1,+∞)D .(12,1)解:A ={x |x 2﹣1<0}=(﹣1,1),B ={y |y =2x ,x ∈A }=(12,2),则A ∩B =(12,1),故选:D .2.O 是正方形ABCD 的中心.若DO →=λAB →+μAC →,其中λ,μ∈R ,则λμ=( )A .﹣2B .−12C .−√2D .√2解:因为O 是正方形ABCD 的中心,所以O 为AC 的中点,所以DO →=DC →+CO →=AB →+12CA →=AB →−12AC →,因为DO →=λAB →+μAC →, 所以λ=1,μ=−12,所以λμ=1−12=−2.故选:A .3.若复数z =1﹣i +i 2﹣i 3+…+i 2022﹣i 2023,则复数z 的虚部为( ) A .0B .﹣1C .1D .i解:z =1−i +i 2−i 3+⋯+i 2022−i2023=1×(1−(−i)2024)1−(−i)=1×(1−1)1+i=0,所以复数z 的虚部为0. 故选:A .4.正项等比数列{a n }中的a 1,a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点,则log √6a 2016=( )A .1B .2C .√2D .﹣1解:根据f(x)=13x 3−4x 2+6x −3,可得f ′(x )=x 2﹣8x +6,因为a 1,a 4031是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点,所以a 1,a 4031是方程f ′(x )=x 2﹣8x +6=0的两个实数根,所以a 1a 4031=6,又因为数列{a n }为正项等比数列,所以a 1a 4031=a 20162=6,所以a 2016=√6,log √6a 2016=log √6√6=1. 故选:A .5.已知公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2,2a 5,3a 8成等差数列,则3S 3S 6=( )A .134B .1312 C .94D .1112解:公比q 不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n , a 2,2a 5,3a 8成等差数列, 可得4a 5=a 2+3a 8, 即为4a 1q 4=a 1q +3a 1q 7,即3q 6﹣4q 3+1=0,解得q 3=13(1舍去),则3S 3S 6=3•a 1(1−q 3)1−q •1−q a 1(1−q 6)=3•1−q 31−q 6=3•11+q 3=3•11+13=94, 故选:C .6.已知正四面体A ﹣BCD 的内切球的表面积为36π,过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ,则所得截面的面积为( ) A .27√2B .27√3C .54√2D .54√3解:设内切球半径为r ,由题意得4πr 2=36π, 设正四面体棱长为a ,由三角形的性质得BE =√32a ,BO ′=23BE =23×√32a =√33a , ∴在△ABO ′中,AO ′′=√AB 2−BO′2=√63a ,又AOOO′=31, ∴OO ′=14AO′=14×√63a =√612a ,∵OO ′=3,∴√612a =3,解得a =6√6.∴BE =√32a =9√2,AO ′=√63a =12,在△ABE 中,S =12×|BE|×|AO′|=12×12×9√2=54√2. 过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A ﹣BCD ,所得截面的面积为54√2. 故选:C .7.已知x =tan1.04,a =log 3x ,b =2a ,c =sinb ,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a <b <cB .a <c <bC .c <a <bD .c <b <a解:因为π4<1.04<π3,x =tan1.04<tan π3=√3,且x =tan1.04>tan π4=1,则1<x <√3,0<a =log 3x <log 3√3=12,即0<a <12;所以1<b =2a <√2,即1<b <√2,所以12=sin π6<sin1<c =sinb <1,即12<c <1.所以a <c <b . 故选:B .8.已知f (x )=2cos (2ωx −π6)+b sin2ωx +cos (2ωx +π2)(b >0,ω>0)又g (x )=f (x )﹣2√3,对任意的x 1,x 2均有g (x 1)+g (x 2)≤0成立,且存在x 1,x 2使g (x 1)+g (x 2)=0,方程f (x )+√3=0在(0,π)上存在唯一实数解,则实数ω的取值范围是( ) A .12<ω≤56B .12≤ω<56C .512<ω<34D .512<ω≤34解:因为f(x)=2cos(2ωx −π6)+bsin2ωx +cos(2ωx +π2)=2sin(2ωx +π3)+(b −1)sin2ωx=bsin2ωx +√3cos2ωx =√b 2+3sin(2ωx +θ), 其中θ满足tanθ=√3b,又由任意的x1,x2均有g(x1)+g(x2)≤0成立,即任意的x1,x2均有f(x1)+f(x2)≤4√3成立,且存在x1,x2使g(x1)+g(x2)=0,可知f(x)最大值为2√3,所以√b2+3=2√3,又b>0,所以b=3,所以f(x)=2√3sin(2ωx+π6 ),当0<x<π时,π6<2ωx+π6≤2ωπ+π6,又f(x)在(0,π)上存在唯一实数x0使f(x0)=−√3,即sin(2ωx0+π6)=−12,所以7π6<2ωπ+π6≤11π6,所以12<ω≤56.故选:A.二、多选题:本题共4小题,全部选对得5分,部分选对得2分,多选或错选均不得分,共计20分,将答案填涂在答题卡上相应位置.9.著名的“河内塔”问题中,地面直立着三根柱子,在1号柱上从上至下、从小到大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子,且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面,视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为a n,则()A.a2=3B.a3=8C.a n+1=2a n+n D.a n=2n−1解:将圆盘从小到大编为1,2,3,…号圆盘,则将第n+1号圆盘移动到3号柱时,需先将第1~n号圆盘移动到2号柱,需a n次操作;将第n+1号圆盘移动到3号柱需1次操作;再将1~n 号圆需移动到3号柱需a n 次操作,故a n +1=2a n +1,故C 错误; 由此递推关系及a 1=1可求得通项为a n =2n −1,故D 正确; 则a 2=3,a 3=7,故A 正确,B 错误. 故选:AD .10.折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨,㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1,其平面图是如图2的扇形AOB ,其中∠AOB =150°,OA =2OC =2OD =2,点F 在弧AB 上,且∠BOF =120°,点E 在弧CD 上运动(包括端点),则下列结论正确的有( )A .OF →在OA →方向上的投影向量为√32OA →B .若OE →=λOC →+μOD →,则λ+μ∈[1,√6+√2] C .OD →⋅DA →=1−√3D .EF →⋅EB →的最小值是﹣3解:对于A 选项,由题意可知∠AOF =30°, 所以OF →在OA →方向上的投影向量为|OF →|cos30°⋅OA →|OA →|=√32OA →,即A 选项正确;对于B 选项,以点O 为坐标原点,OD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则D (1,0)、C(−√32,12),设点E (cos θ,sin θ),其中0≤θ≤5π6, 由OE →=λOC →+μOD →可得(cosθ,sinθ)=λ(−√32,12)+μ(1,0),所以{−√32λ+μ=cosθ12λ=sinθ,即{λ=2sinθμ=√3sinθ+cosθ,所以λ+μ=(2+√3)sinθ+cosθ=(√6+√2)sin(θ+π12), 又因为0≤θ≤5π6,则π12≤θ+π12≤11π12,所以√6−√24≤sin(θ+π12)≤1, 所以λ+μ=(√6+√2)sin(θ+π12)∈[1,√6+√2], 即B 选项正确;对于C 选项,DA →=OA →−OD →,所以OD →⋅DA →=OD →⋅(OA →−OD →)=OA →⋅OD →−OD →2=2×1×cos150°−12=−√3−1, 即选项C 错误;对于D 选项,E (cos θ,sin θ),其中0≤θ≤5π6,B (2,0)、F(−1,√3), 则EB →=(2−cosθ,−sinθ),EF →=(−1−cosθ,√3−sinθ),所以EB →⋅EF →=(2−cosθ)(−1−cosθ)−sinθ(√3−sinθ)=−2sin(θ+π6)−1,因为0≤θ≤5π6,则π6≤θ+π6≤π, 故当θ+π6=π2时,即θ=π3时,EF →⋅EB →取最小值为﹣2﹣1=﹣3,即D 选项正确.故选:ABD .11.已知复数z 1=cos α+i sin α,z 2=cos β+i sin β,z 3=cos γ+i sin γ,O 为坐标原点,z 1,z 2,z 3对应的向量分别为OZ 1→,OZ 2→,OZ 3→,则以下结论正确的有( ) A .|z 1•z 2|=|z 1|•|z 2|B .若z 1•z 2=z 1•z 3,则z 2=z 3C .若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→,则OZ 1→与OZ 2→的夹角为π3D .若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→,则△Z 1Z 2Z 3为正三角形 解:因为z 1=cos α+i sin α,z 2=cos β+i sin β,z 3=cos γ+i sin γ, 所以|z 1|=|z 2|=|z 3|=1,则|OZ 1→|=|OZ 2→|=|OZ 3→|=1,对于A ,z 1•z 2=cos αcos β﹣sin αsin β+(cos αsin β+sin αcos β)i , 故|z 1•z 2|2=(cos αcos β﹣sin αsin β)2+(cos αsin β+sin αcos β)2=cos 2α•cos 2β﹣2cos α•cos β•sin α•sin β+sin 2α•sin 2β+cos 2α•sin 2β+2sin α•cos β•cos α•sin β+sin 2αcos 2β =cos 2α(cos 2β+sin 2β)+sin 2α(sin 2β+cos 2β), =cos 2α+sin 2α =1,|z 1|•|z 2|=1,所以|z 1•z 2|=|z 1|•|z 2|,故A 正确; 对于B ,若z 1•z 2=z 1•z 3,则z 2=z 1⋅z 3z 1=z 3,故B 正确; 对于C ,设OZ 1→与OZ 2→的夹角为θ,θ∈[0,π], 若OZ 1→+OZ 2→=OZ 3→,则(OZ 1→+OZ 2→)2=(OZ 3→)2, 即OZ 1→2+OZ 2→2=1,即1+1+2cos θ=1,所以cos θ=−12,所以θ=2π3,即OZ 1→与OZ 2→的夹角为2π3,故C 错误;对于D ,若OZ 1→+OZ 2→+OZ 3→=0→,则﹣(OZ 1→+OZ 2→)=OZ 3→, 则[﹣(OZ 1→+OZ 2→)]2=OZ 3→2,即(OZ 1→+OZ 2→)2=OZ 3→2,由C 选项可知OZ 1→与OZ 2→的夹角为2π3,同理OZ 2→与OZ 3→的夹角为2π3,OZ 1→与OZ 3→的夹角为2π3, 又|OZ 1→|=|OZ 2→|=|OZ 3→|=1,所以∠Z 1Z 2Z 3=∠Z 1Z 3Z 2=∠Z 2Z 1Z 3=π3,故D 正确.故选:ABD .12.已知函数f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R),则下列说法正确的是( )A .当a >0时,f (x )在(1,+∞)上单调递增B .若f (x )的图象在x =2处的切线与直线x +2y ﹣5=0垂直,则实数a =34C .当﹣1<a <0时,f (x )不存在极值D .当a >0时,f (x )有且仅有两个零点x 1,x 2,且x 1x 2=1 解:因为f(x)=lnx −a(x+1)x−1(a ∈R),x >0且x ≠1, 所以f ′(x )=1x +2a (x−1)2, 对于A ,当a >0时,f ′(x )>0,所以f (x )在(0,1)和(1,+∞)上单调递增,故正确; 对于B ,因为直线x +2y ﹣5=0的斜率为−12,又因为f (x )的图象在x =2处的切线与直线x +2y ﹣5=0垂直, 令f ′(2)=12+2a =2,解得a =34,故正确; 对于C ,当﹣1<a <0时,不妨取a =−12,则f ′(x )=1x −1(x−1)2=x 2−3x+1x(x−1)2, 令f ′(x )=0,则有x 2﹣3x +1=0,解得x 1=32−√52,x 2=32+√52, 当x ∈(0,32−√52)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;当x ∈(32−√52,32+√52)时,f ′(x )<0,f(x )单调递减;所以此时函数有极值,故错误;对于D ,由A 可知,当a >0时,f (x )在(0,1)和(1,+∞)上单调递增, 当x >1时,f (e a )=a ﹣a (1+2e a −1)=−2ae a −1<0, f (e 3a +1)=3a +1﹣a (1+2e 3a+1−1)=(3a+1)(e 3a+1−1)−a(e 3a+1+1)e 3a+1−1>3a(e 3a+1−1)−a(e 3a+1+1)e 3a+1−1=2a(e 3a+1−2)e 3a+1−1>0,所以f (x )在(1,+∞)上有一个零点, 又因为当0<x <1时,f (e ﹣a )=﹣a ﹣a (1+2e −a −1)=2ae a −1>0,f (e﹣3a ﹣1)=﹣3a ﹣1﹣a (1+2e −3a−1−1)=﹣3a ﹣1﹣a (1+2e 3a+11−e 3a+1)=﹣3a ﹣1﹣a •1+e 3a+11−e 3a+1=− [(3a +1)+a •e 3a+1+11−e 3a+1 ]=−(3a+1)(1−e 3a+1)+a(e 3a+1+1)1−e 3a+1=−3a(1−e 3a+1)+a(e 3a+1+1)1−e 3a+1=−4a−2ae 3a+11−e 3a+1=2a(2−e 3a+1)e 3a+1−1<0,所以f (x )在(0,1)上有一个零点;所以f (x )有两个零点,分别位于(0,1)和(1,+∞); 设0<x 1<1<x 2, 令f (x )=0,则有lnx −a(x+1)x−1=0, 所以ln 1x−a(1x +1)1x−1=−lnx −a⋅x+1x1−x x=−lnx −a(x+1)1−x =−lnx +a(x+1)x−1=−(lnx −a(x+1)x−1)=0, 所以f (x )=0的两根互为倒数, 所以x 1x 2=1,故D 正确. 故选:ABD .三、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)={|log 3(x −1)|,1<x ≤4x 2−10x +25,x >4,若方程f (x )=n 有4个解分别为x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4,则(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)= 10 . 解:作出函数f (x )的大致图象,如下:可知,0<n <1且当1<x ≤4时,|log 3(x ﹣1)|=n 有2个解x 1,x 2; log 3(x 1﹣1)=﹣n ,log 3(x 2﹣1)=n , 得x 1=3−n+1,x 2=3n+1,∴1x 1+1x 2=13−n +1+13n +1=13n +1+3n 1+3n=1;当x >4时,由x 2﹣10x +21=n 有2个解x 3,x 4,根据图象的对称性,得x 3+x 4=10. ∴(1x 1+1x 2)(x 3+x 4)=1×10=10. 故答案为:10. 14.函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数,则实数a = ﹣1 . 解:根据题意,函数f(x)=ln(2x1+x+a)为奇函数,则f (x )+f (﹣x )=0, 即ln (2x 1+x +a )+ln (−2x1−x+a )=0,变形可得:a 2−(a+2)x 21−x 2=1,必有a =﹣1;故答案为:﹣1.15.在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,以顶点A 为端点的三条棱AB ,AD ,AA 1两两夹角都为60°,且AB =2,AD =1,AA 1=3,M ,N 分别为BB 1,B 1C 1的中点,则MN 与AC 所成角的余弦值为 √9114. 解:∵M ,N 分别为BB 1,B 1C 1的中点,∴MN →=12BC 1→=12AD →+12AA 1→,AC →=AB →+AD →,∴MN →2=14AD →2+14AA 1→2+12AD →⋅AA 1→=14+94+12×1×3×cos60°=134,AC →2=AB →2+AD →2+2AB →⋅AD →=4+1+2×2×1×cos60°=7,MN →⋅AC →=(12AD →+12AA 1→)•(AB →+AD →)=12AD →2+12AB →⋅AD →+12AA 1→⋅AB →+12AA 1→⋅AD →=134,∴cos <MN →,AC →>=MN →⋅AC →|MN →||AC →|=134√132×7=√9114.∴直线MN 与AC 所成角的余弦值为√9114. 故答案为:√911416.各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2a 6=4,a 3=1,则(S n +94)22a n的最小值为 8 .解:各项均为正数的等比数列{a n },由a 2a 6=4=a 42,即a 4=2, ∵a 3=1, ∴q =2,a 1=14,∴a n =14×2n ﹣1=2n ﹣3,S n =14(1−2n)1−2=2n ﹣2−14,∴(S n +94)2=(2n ﹣2+2)2=22(n ﹣2)+4×2n ﹣2+4,∴(S n +94)22a n=22(n−2)+4×2n−2+42n−2=2n ﹣2+42n−2+4≥2√2n−2⋅42n−2+4=4+4=8,当且仅当n =3时取等号,故答案为:8.四、解答题:(本大题满分70分,每题要求写出详细的解答过程否则扣分)17.(10分)函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,其中MN ∥x 轴. (1)求函数y =f (x )的解析式;(2)将y =f (x )的图像向右平移π4个单位,再向上平移2个单位得到y =g (x )的图像,求g(π8)的值.解:(1)根据函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象,可得函数的图象关于直线x =−π2−π62=−π3对称,5π12+π3=34×2πω,∴ω=2.再根据五点法作图,可得2×5π12+φ=0,求得φ=−5π6, 故函数f (x )=sin (2x −5π6). (2)将y =f (x )的图像向右平移π4个单位,可得y =sin (2x −π2−5π6)=sin (2x −4π3)=sin (2x +2π3)的图象;再向上平移2个单位得到y =g (x )=sin (2x +2π3)+2的图像. 故g(π8)=sin 11π12+2=sin π12+2=sin (π3−π4)+2=(sin π3cos π4−cos π3sin π4)+2=(√32×√22−12×√22)+2=√6−√24+2.18.(12分)在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且(a +b )(sin A ﹣sin B )=(c ﹣b )sin C . (1)求角A 的大小; (2)若sin B 是方程x 2−2x +99100=0的一个根,求cos C 的值. 解:(1)∵(a +b )(sin A ﹣sin B )=(c ﹣b )sin C ,∴利用正弦定理化简得:(a +b )(a ﹣b )=c (c ﹣b ),即b 2+c 2﹣a 2=bc , ∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =12,∵A ∈(0,π),∴A =π3.(2)∵x 2−2x +99100=0,解得:x 1=910,x 2=1110, ∵由sin B ≤1,得到sin B =910,可得cos B =±√1−sin 2B =±√1910, ∴cos C =﹣cos (A +B )=sin A sin B ﹣cos A cos B =√32×910−12×(±√1910)=9√3±√1920. 19.(12分)函数y =2sin x ﹣1在(0,+∞)上的零点从小到大排列后构成数列{a n }. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =a 2n ﹣1+a 2n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解:(1)函数y =2sin x ﹣1的最小正周期为2π, 函数y =2sin x ﹣1在(0,2π)上的零点分别为π6,5π6,数列{a 2n ﹣1} 是以π6为首项,2π为公差的等差数列,即当n 为奇数时,a n =π6+n−12d =nπ−5π6; 数列{a 2n } 是以5π6为首项,2π为公差的等差数列,即当n 为偶数时,a n =5π6+n−22d =nπ−7π6. 综上a n ={nπ−5π6,n 为奇数nπ−7π6,n 为偶数;(2)b n =a 2n ﹣1+a 2n =4n π﹣3π, S n =(b 1+b n )n2=n(2n −1)π. 20.(12分)如图1,在边长为4的菱形ABCD 中,∠DAB =60°,点M ,N 分别是边BC ,CD 的中点,AC ∩BD =O 1,AC ∩MN =G .沿MN 将△CMN 翻折到△PMN 的位置,连接P A ,PB ,PD ,得到如图2所示的五棱锥P ﹣ABMND .(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面P AG?证明你的结论;(2)当四棱锥P﹣MNDB体积最大时,求点B到面PDG的距离;(3)在(2)的条件下,在线段P A上是否存在一点Q,使得平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为√2929若存在,试确定点Q的位置;若不存在,请说明理由.解:(1)在翻折过程中总有平面PBD⊥平面P AG,证明:折叠前,因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,由于M,N分别是边BC,CD的中点,所以MN∥BD,所以MN⊥AC,折叠过程中,MN⊥GP,MN⊥GA,GP∩GA=G,GP,GA⊂平面P AG,所以MN⊥平面P AG,所以BD⊥平面P AG,由于BD⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面P AG.(2)当平面PMN⊥平面MNDB时,四棱锥P﹣MNDB体积最大,由于平面PMN∩平面MNDB=MN,GP⊂平面PMN,GP⊥MN,所以GP⊥平面MNDB,由于AG⊂平面MNDB,所以GP⊥AG,菱形ABCD边长为4,且∠DAB=60°,所以BD=4,AC=2√3,PG=CG=√3,在Rt△O1DG中,DG=√22+(√3)2=√7,所以S△PGD=12×√7×√3=√212,S△BDG=12×4×√3=2√3,设点B到面PDG的距离为h,则由等体积法有V B﹣PDG=V P﹣BDG,即13S△PDG×ℎ=13S△BDG×PG,即√212ℎ=2√3×√3,所以ℎ=4√21 7,所以点B到面PDG的距离为4√21 7.(3)存在,理由如下:在点G处有GA,GM,GP两两互相垂直,则以G为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,依题意可知P(0,0,√3),D(√3,−2,0),B(√3,2,0),N(0,−1,0),A(3√3,0,0),PA →=(3√3,0,−√3),设PQ =λP A (0≤λ≤1),则GQ →=GP →+PQ →=GP →+λPA →=(0,0,√3)+(3√3λ,0,−√3λ)=(3√3λ,0,√3−√3λ),平面PMN 的法向量为n 1→=(1,0,0),DQ →=(3√3λ−√3,2,√3−√3λ),DN →=(−√3,1,0), 设平面QDN 的法向量为n 2→=(x ,y ,z), 则{n 2→⋅DQ →=(3√3λ−√3)x +2y +(√3−√3λ)z =0n 2→⋅DN →=−√3x +y =0,故可设n 2→=(λ−1,√3λ−√3,3λ+1), 设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ, 由于平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929, 所以cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=|λ−1|√(λ−1)+(√3λ−√3)2+(3λ+1)=√2929,解得λ=12或λ=3(舍去),所以当Q 是P A 的中点时,平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为√2929.21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n +a n =3. (1)求{a n }的通项公式; (2)数列{b n }满足b 1=1,b n+1b n=n+22(n+1),设数列{b n }的前n 项和为T n ,证明:T n +a n ≥52.解:(1)由S n +a n =3,当n =1时,S 1+a 1=3,解得a 1=32;当n ≥2时,S n ﹣1+a n ﹣1=3,相减得a n +a n ﹣a n ﹣1=0,即a n a n−1=12,∴数列{a n }是以32为首项,12为公比的等比数列,故a n =32n ,验证n =1时成立, 故a n =32n ; (2)b 1=1,b n+1b n=n+22(n+1),故b n =b n b n−1⋅b n−1b n−2⋅⋯⋅b 2b 1⋅b 1=(12)n−1(n+1n ⋅n n−1⋅n−1n−2⋅⋯⋅32)×1=n+12n (n ≥2), b 1=1适合上式,则b n =n+12n . ∴T n =22+322+423+⋯+n+12n , 12T n =222+323+424+⋯+n+12n+1,两式相减可得: 12T n =1+122+123+124+⋯+12n−n+12n+1=1+122(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−n+32n+1,∴T n =3−n+32n ,T n +a n =3−n 2n . 令c n =n 2n ,c n+1−c n =n+12n+1−n 2n =−n+12n+1,n ∈N *, 故c 1=c 2,且c n+1−c n =−n+12n+1<0,n ≥2,n ∈N *, c n 是从第二项开始单调递减数列,得(c n )max =c 1=c 2=12.故T n +a n =3−n 2n ≥3−12=52. 22.(12分)已知函数h (x )=ln (2ex ﹣e ),g (x )=2ax ﹣2a ,a ∈R .(1)若曲线f (x )=h (x )﹣g (x )在(1,f (1))处的切线与直线x ﹣y +1=0平行,求函数f (x )的极值;(2)已知f (x )=h (x )﹣g (x ),若f (x )<1+a 恒成立.求证:对任意正整数n >1,都有∑ln 2n k=1k 54<n(n +1).解:(1)由f (x )=ln (2ex ﹣e )﹣2ax +2a ,可得f ′(x)=22x−1−2a , 由条件可得f ′(1)=2﹣2a =1,即a =12,则f(x)=ln(2x −1)−x +2,f ′(x)=22x−1−1=−(2x−3)2x−1(x >12),令f′(x)=0可得x=3 2,当x>32时,f′(x)<0,当12<x<32时,f′(x)>0.所以f(x)在(32,+∞)上单调递减,在(12,32)上单调递增,所以f(x)的极大值为f(32)=ln2−32+2=ln2+12,无极小值.(2)证明:f(x)<1+a,即ln(2x﹣1)﹣a(2x﹣1)<0对任意的x>12恒成立,即a(2x﹣1)>ln(2x﹣1),其中x>1 2,令t=2x﹣1>0,则at>lnt,即at>lnt⇒a>lnt t,构造函数g(t)=lntt,则g′(t)=1−lnt2,令g′(t)=0,得t=e,列表如下:所以函数y=g(t)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞),所以g(t)max=g(e)=1 e ,所以a>1 e ,即a>1e时,ln(2x﹣1)<a(2x﹣1)恒成立,取a=25,则ln(2x−1)<2(2x−1)5对任意的x>12恒成立,令k=2x﹣1(k∈N*),则lnk<2k 5,所以ln1+ln2+ln3+⋯+ln(2n)<25(1+2+3+⋯+2n)=2n(1+2n)5<4n(n+1)5,所以∑2n k=154lnk<n(n+1),即∑ln2nk=1k54<n(n+1).。
2019-2020河北省武邑中学高三上学期开学考试数学(文)试题

2019-2020河北省武邑中学高三上学期开学考试数学(文)试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的。
1.若集合,,则()A. B. C. D.2.设命题:,,则为()A. ,B. ,C. ,D. ,3.已知等差数列的前项和,若,则等差数列的公差是()A. 2B. -2C.D.4.已知,则()A. B. C. D.5.若满足约束条件,则的最大值是()A. -8B. 0C. -3D. 16.在中,,是的中点,则()A. B. C. D.7.已知向量,,且,则()A. B. C. D.8.函数在上的图象为()A. B.C. D.9.要得到函数的图像,只需将函数的图像()A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度10.已知且,函数,则“”是“在上单调递减”的()A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件11.已知函数在上的值域为,若的最小值与最大值分别为,则()A. B. C. D.12.已知函数,,若两曲线,有公共点,且在该点处它们的切线相同,则当时,的最大值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设函数,则___________.14.已知,满足,则的最大值为__________.15.已知的两个单位向量,且,则__________.16.的垂心在其内部,,,则的取值范围是________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)、(23)题为选考题,考生根据要求作答.17.已知数列是公差不为0的等差数列,,成等比数列.(1)求;(2)设,数列的前项和为,求.18.某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件,尺寸在[223,228]内(单位:mm)的零件为一等品,其余为二等品.在两种工艺生产的零件中,各随机抽取10个,其尺寸的茎叶图如图所示:(1)分别计算抽取的两种工艺生产的零件尺寸的平均数;(2)已知甲工艺每天可生产300个零件,乙工艺每天可生产280个零件,一等品利润为30元/个,二等品利润为20元/个.视频率为概率,试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高?19.在直角三角形中,,为的中点,以为折痕将折起,使点到达点的位置且.(1)求证:;(2)求点到平面的距离.20.斜率为的直线与抛物线交于两点,且的中点恰好在直线上.(1)求的值;(2)直线与圆交于两点,若,求直线的方程.21.设(1)求的最小值;(2)证明:.22.在极坐标系中,曲线方程为.以极点为原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系,直线:,(t为参数,).(1)求曲线的直角坐标方程;(2)设直线与曲线相交于两点,求的取值范围.23.已知.(1)求不等式解集;(2)若时,不等式恒成立,求的取值范围.2019-2020河北省武邑中学高三上学期开学考试数学(文)试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
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河北武邑中学高三年级上学期期末考试数学试题(文)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}2|lgx 0,|4M x N N x =>=≤,则M N ⋂( ) A . []1,2 B .()1,2 C .[)1,2 D .(]1,2 2.设复数满足243z i i -=+,则z =( )A .44i +B .44i -C .22i -D .22i +3.已知函数()log 2a y ax =-在[]0,1上是x 的函数,则a 的取值范围是( ) A .()0,1 B .()1,2 C .()0,2 D .[)2,+∞4. 已知数列{}n a 满足:()111,212n n a a a n -==+≥,为求使不等式123n a a a a k ++++<的最大正整数n ,某人编写了如图所示的程序框图,在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为( ) A .,S k i < B .,1S k i <- C. ,S k i ≥ D .,1S k i ≥-5.设实数,x y 满足3010210x y y x x +-≤⎧⎪⎪-≥⎨⎪-≥⎪⎩,则y x u x y =-的取值范围为( )A .1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 23,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D .33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6.有编号为1,2,…,700的产品,现需从中抽取所有编号能被7整除的产品为样品进行检验.下面是四位同学设计的程序框图,其中正确的是( )A .B .C. D .7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .643π+.563π+18π D .224π+ 8.如图,周长为1的圆的圆心C 在y 轴上,顶点()0,1A ,一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周,记走过的弧长AB x =,直线AM 与x 轴交于点(),0N t ,则函数()t f x =的图像大致为( )A .B .C. D .9.某工厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品1件需消耗原料1千克,原料2千克;生产乙产品1件需消耗原料2千克,原料1千克;每件甲产品的利润是300元,每件乙产品的利润是400元,公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗,原料都不超过12千克,通过合理安排计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( )A . 1800元B . 2400元 C. 2800元 D .3100元 10.圆心在曲线()30y x x=>上,且与直线3430x y ++=相切的面积最小的圆的方程为( ) A . ()223292x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ B . ()()22216315x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C. ()()22218135x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭D .((229x y -+-=11.一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为( )A .36πB .1123π C. 32π D .28π 12.若12,F F 为双曲线22221x y a b-=的左右焦点,O 为坐标原点,点P 在双曲线的左支上,点M 在双曲线的右准线上,且满足:()111,0OF OM FO PM OP OF OM λλ⎛⎫ ⎪==+> ⎪⎝⎭,则该双曲线的离心率为 ( )A B C. 2 D .3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.平面向量a 与b 的夹角为60°,()2,0,1a b ==,则2a b += . 14.已知某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 .15.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠4小时,假定它们在一昼夜的时间中随机地到达,则两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 .16. ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量()()2,1,2,cos q a p b c C ==-,且//p q ,三角函数式2cos 2C11tan Cμ-=++的取值范围是 .三、解答题 :共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.已知数列{}n a ,{}n b 满足:()()111,1,411n n n n n n b a a b b a a -=+==-+. (1)设11n n C b =-,求数列{}n C 的通项公式; (2)设12231n n n S a a a a a a +=+++,不等式4n n aS b <恒成立时,求实数a 的取值范围.18.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,E F 、分别为PC BD 、的中点,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且2PA PD AD ==. (1)求证://EF 平面PAD ; (2)求三棱锥C PBD -的体积.19.某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价,将产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据()(),1,2,6i i x y i =,如表所示:已知80y =, (1)求q 的值;(2)已知变量,x y 具有线性相关性,求产品销量y 关于试销单价x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+可供选择的数据662113050,271i ii i i x yx ====∑∑;(3)用ˆy表示(2)中所求的线性回归方程得到的与对应的i x 产品销量的估计值.当销售数据()(),1,2,6i i x y i =对应的残差的绝对值时,则将销售数据ˆ1i i yy -≤称为一个“好数据”.试求(),i i x y 这6组销售数据中的“好数据”.参数数据:线性回归方程中的ˆˆ,ba 最小二乘估计分别是()1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xn x==-==--∑∑ 20.已知抛物线()2:20C y px p =>在第一象限内的点()2,t P 到焦点的距离为52. (1)若1,02M ⎛⎫-⎪⎝⎭,过点,M P 的直线1l 与抛物线相交于另一点Q ,求QF PF 的值; (2)若直线2l 与抛物线C 相交于,A B 两点,与圆()22:1M x a y -+=相交于,D E 两点,O 为坐标原点,OA OB ⊥,试问:是否存在实数a ,使得DE 的长为定值?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 21. 已知函数()()2112x f x x e ax =--. (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数,0πα-<<),曲线2C 的参数方程为125x y ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩(t 为参数),以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系. (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的普通方程; (2)射线4πθ=-与曲线1C 的交点为P ,与曲线2C 的交点为Q ,求线段PQ 的长.23.选修4-5:不等式选讲已知函数()1f x x =+. (1)解不等式()21f x x ≥+;(2)x R ∃∈,使()()26f x f x m --+<成立,求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5DCBBA 6-10 BBDCA 11、12:CC二、填空题13. 113616. (-三、解答题17.解:(1)∵11112n n b b --=--,∴12111111n n n n b b b b --==-+---, ∵11141c b ==--,∴数列{}n c 是以-4为首项,-1为公差的等差数列, ∴()()4113n c n n =-+--=--; (2)由(1)知,131n n c n b ==---,∴23n n b n +=+, 从而113n n a b n =-=+, ()()()12231111114556344444n n n n S a a a a a a n n n n +=+++=+++=-=⨯⨯++++, ∴()()()()21368244334n n n a n a n a n aS b n n n n -+-+-+-=-=++++, 由题意可知()()213680a n a n -+--<恒成立,即可满足不等式4n n aS b <恒成立,设()()()21368f n a n a n =-+--,当1a =时,()380f n n =--<恒成立,当1a >时,由()()213680a n a n -+--=的判别式()()2363210a a ∆=-+->,再结合二次函数的性质4n n aS b <不可能成立; 当1a <时,对称轴()323110,2121a n f n a a -⎛⎫=-=--< ⎪--⎝⎭在()1,+∞上为单调递减函数,∵()()()113684150f a a a =-+--=-<,∴1a <时,4n n aS b <恒成立, 综上知:当1a ≤时,4n n aS b <恒成立.18.解:(1)连结AC ,则F 是AC 的中点,E 为PC 的中点, 故在CPA ∆中,//EF PA ,且PA ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD , ∴//EF 平面PAD ;(2)取AD 的中点N ,连结PN ,∵PA PD =,∴PN AD ⊥, 又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =,∴PN ⊥平面ABCD , ∴31111332212C PBD P BCD BCD a V V S PN a a a --∆====. 19.解:(1)∵84838075686q y +++++=,又∵80y =,∴8483807568806q +++++=,∴90q =;(2)4567891362x +++++==,∴21330506802ˆ41327162b-⨯⨯==-⎛⎫- ⎪⎝⎭, ∴()13ˆ8041062a=--⨯=, ∴ˆ4106yx =-+; (3)∵ˆ4106yx =-+, ∴1111ˆˆ410690,909001yx y y =-+=-=-=<,所以()()11,4,90x y =是好数据; 2222ˆˆ410686,868421yx y y =-+=-=-=>,所以()()22,5,84x y =不是好数据; 3333ˆˆ410682,838211yx y y =-+=-=-==,所以()()33,6,83x y =是好数据; 4444ˆˆ410678,788021yx y y =-+=-=-=>,所以()()44,7,80x y =不是好数据; 5555ˆˆ410674,757411yx y y =-+=-=-==,所以()()55,8,75x y =是好数据; 6666ˆˆ410670,706821yx y y =-+=-=-=>,所以()()66,9,68x y =不是好数据; 所以好数据为()()()4,90,6,68,8,75.20.解:(1)∵点()2,P t ,∴5222p +=,解得1p =, 故抛物线C 的方程为:22y x =,当2x =时,2t =, ∴1l 的方程为4255y x =+,联立可得212,8Q y x x ==, 又∵11,22Q P QF x PF x =+=+,∴111821422QF PF +==+;(2)设直线AB 的方程为x ty m =+,代入抛物线方程可得2220y ty m --=, 设()()1122,,A x y B x y ,则12122,2y y t y y m +==-,① 由OA OB ⊥得:()()12120ty m ty m y y +++=, 整理得()()22121210t y y tm y y m ++++=,② 将①代入②解得2m =,∴直线:2l x ty =+, ∵圆心到直线l的距离d =,∴DE =显然当2a =时,2,DE DE =的长为定值.21.解:(1)()()()1x x x f x e x e ax x e a '=+--=-, ①设0a ≤,则当(),0x ∈-∞时,()0f x '<;当()0,x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(),0-∞单调递减,在()0,+∞单调递增; ②设0a >,由()0f x '=得0x =或ln x a =, 若1a =,则()()10x f x x e '=-≥, 所以()f x 在(),-∞+∞单调递增,若01a <<,则ln 0a <,故当()(),ln 0,x a ∈-∞+∞时,()0f x '>;当()ln ,0x a ∈时,()0f x '<,所以()f x 在()(),ln ,0,a -∞+∞单调递增,在()ln ,0a 单调递减; ③若1a >,则ln 0a >,故当()(),0ln ,x a ∈-∞+∞时,()0f x '>;当()0,ln x a ∈时,()0f x '<,所以()f x 在()(),0,ln ,a -∞+∞单调递增,在()0,ln a 单调递减;综上所述,当0a ≤时,()f x 在(),0-∞单调递减,在()0,+∞单调递增;当01a <<时()f x 在()(),ln ,0,a -∞+∞单调递增,在()0,ln a 单调递减;(2)①设0a ≤,则由(1)知,()f x 在(),0-∞单调递减,在()0,+∞单调递增,又()()01,1f f a =-=-,取b 满足3b <-且()ln b a =-,则()()()221220f b a b ab a b b >---=-+->,所以()f x 有两个零点;②设1a =,则()()1x f x x e =-,所以()f x 只有一个零点;③设01a <<,则由(1)知,()f x 在()(),ln ,0,a -∞+∞单调递增,在()ln ,0a 单调递减,()01f =-,当ln b a =时,()f x 有极大值()()()221220f b a b ab a b b =--=--+<,故()f x 不存在两个零点;当1a >时,则由(1)知,()f x 在()(),0,ln ,a -∞+∞单调递增,在()0,ln a 单调递减,当0x =时,()f x 有极大值()010f =-<,故()f x 不存在两个零点, 综上,a 的取值范围为0a ≤. 22.解:(1)曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数,0πα-<<),普通方程为()()22110x y y -+=<,极坐标方程为2cos ,,02πρθθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭,曲线2C的参数方程为1225x t y ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩(t 为参数), 普通方程260x y +-=; (2),4πθρ=-=4P π⎫-⎪⎭;4πθ=-代入曲线2C的极坐标方程,可得ρ'=4Q π⎛⎫-⎪⎝⎭,∴PQ ==.23.解:(1)当10x +≥即1x ≥-时,121x x +≥+,∴10x -≤≤, 当10x +<即1x <-时,121x x --≥+,∴1x <-, ∴不等式的解集为{}|0x x ≤;(2)∵()()21,67f x x f x x -=-+=+,∴17x x m --+<,∵x R ∃∈,使不等式17x x m --+<成立,∴m 大于17x x --+的最小值, ∴8m >-.。
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河北武邑中学2019-2020学年上学期高三期末考试数学(文)试题第Ⅰ卷一:选择题。
1.已知集合,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析:解得,又,则,则,故选A.考点:一元二次不等式的解法,集合中交集运算.2.设(为虚数单位),则()A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】利用复数除法运算化简,求得,进而求得的值.【详解】依题意,,故.故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算,考查复数模的运算,考查运算求解能力,属于基础题.3.已知命题:N, ,命题:R , ,则下列命题中为真命题的是().A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数的图像与性质判断命题的真假性,利用特殊值判断命题的真假性,再结合含有简单逻辑连接词命题真假性选出正确选项.【详解】当时,根据指数函数的图像与性质可知,故命题为真命题.当时,,故命题为真命题,故为真命题,故选A.【点睛】本小题主要考查含有简单逻辑联结词命题真假性的判断,考查指数函数的图像与性质,考查指数运算,属于基础题.4.若满足则的最小值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用的几何意义即可得到结论.【详解】作出不等式组对应的平面区域,由,得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最小,此时,故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.执行如图所示的程序框图,输入,那么输出的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】模拟执行程序框图,可得程序框图的实质是计算排列数的值,由,即可计算得解.【详解】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的的值,可得程序框图实质是计算排列数的值,当,时,可得:,故选B.【点睛】本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查.6.在中,为的中点,,则()A. B. C. 3 D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的线性表示与数量积的定义,计算即可.【详解】解:如图所示,中,是的中点,,,.故选:.【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的运算问题,是基础题.7.函数(其中)的图象如图所示,为了得到函数的图象,只需将的图象上所有点()A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】由函数的最值求出,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得的解析式,再根据的图象变换规律,可得结论.【详解】解:由函数(其中,的图象可得,,求得.再根据五点法作图可得,求得,函数.故把的图象向右平移个单位长度,可得函数的图象,故选:.【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式,的图象变换规律,属于基础题.8.已知某几何体的正视图、侧视图和俯视图均为斜边为的等腰直角三角形,该几何体的顶点都在同一球面上,则此球的表面积为()A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析:有三视图可知,几何体是以直角边为的等腰直角三角形为底面、高为的三棱锥,它的外接球与棱长为的正方体的外接球相同,外接球直径,表面积为,故选B.考点:1、几何体的三视图;2、球的表面积公式.9.设为抛物线的焦点,曲线与交于点,轴,则A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析:由抛物线的性质可得,故选D.考点:1、直线与抛物线;2、抛物线的几何性质;3、反比例函数.10.设函数,若,则实数的取值范围是()A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析:当时,;当时,.综上,实数的范围为.故选B.考点:对数的性质;分类讨论思想.【易错点睛】本题主要考查了对数的性质;分类讨论思想;分段函数等知识.比较对数的大小的方法:(1)若底数相同,真数不同,则可构造相关的对数函数,利用其单调性比较大小.(2)若真数相同,底数不同,则可借助函数在直线右侧“底大图低”的特点比较大小或利用换底公式统一底数.(3)若底数、真数均不同,则经常借助中间量“”、“”或“”比较大小.11.在三棱锥中,,是线段上一动点,线段长度最小值为,则三棱锥的外接球的表面积是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件计算出三棱锥外接球的半径,然后求出表面积【详解】在中,线段长度最小值为,则线段长度最小值为,即A到BC的最短距离为1,则为等腰三角形,的外接圆半径为设球心距平面ABC的高度为h则,,则球半径则三棱锥的外接球的表面积是故选D【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题,结合已知条件求出外接球的半径很重要,属于中档题。