信号与系统第8章
信号与系统基础-第8章
x[n] cos(15n / 8) n
n 图8-5 几种不同频率的正弦型序列
11
8.1 基本离散信号
8.1.3 复指数序列 虚指数序列
def
f [n] e( j )n en
f [n] ejt ejnT
ejn
t nT
T
ejn cos n jsin n
knm n
[n] [n m] [k] （8-13）
m0
k
15
8.1 基本离散信号
8.1.7 Z序列
def
f [n] = zn
（8-14）
一般将z表示为极坐标形式：z z e j0 z 0
若设 z e，则上式就变为f [n] zn e，n 可见，z序列是复指数序列的另一种表示形式
与连续信号类似，复指数序列和冲激序列是离散信号中的核心信号。同时，
f [n] f [an] , a=2，3，4，
（8-23）
n
（2）若自变量n 变为a
，且 a 为正整数，则序列f [n] 与 f [ n ] 的关系为
a
f [n]
f [n] a
,
n ka
,
k=0, 1, 2，
0 , n ka
（8-24）
25
8.2 序列的基本运算
离散信号的尺度变换与连续信号的有很大区别。
（a）f [n]
f [n]
f [15]
f [6]
f [3]
f [9]
f [0]
f [6]
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
f [3]
（b）f [3n]
f [3n] f [15]
《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
张宇-信号与系统各章内容整理48学时【最新】
第一章 信号与系统主要内容重点难点1.信号的描述x[n]、x （t ），两者不同之处2.【了解】 信号的功率和能量3.【掌握】自变量变换（计算题目）、理解变换前后图片的缩放或信号的变化4.【了解】 常见信号：指数（j t j n e e w w 、）、正弦（cos cos t n w w 、）、单位冲激（()[]t n d d 、）、单位阶跃（()[]u t u n 、）5.【掌握】用阶跃函数表示矩形函数；冲激与阶跃信号的关系；冲激信号的提取作用；指数信号和正弦信号的周期性。
6.【了解】系统互联7.【掌握】系统的基本性质：记忆与无记忆性、可逆性、因果性、稳定性、时不变与线性。
对已知系统进行性质判断（掌握）1.3、5、71.00cos j n n e w w 、的周期性判断，是周期的条件，若是周期的，则周期：2.00cos j tt e w w 、的周期：自变量变换的量值确定0cos j n n e w w 、的周期性和频率逆转性。
系统的时不变性与线性等性质的证明2T ωπ=02N mωπ=第二章 线性时不变系统第三章 周期信号的傅里叶级数表示FS本章内容安排基本思路:主要内容难点 ✧ 系统的单位冲激响应容易求出：令 ()()x t t d =，对应的输出即为单位冲激响应() h t ；✧ 将任意信号分解为冲激信号()[]t n d d 、的线性组合[][][]; ()()()k x n x k n k x t x t d d t d t t ¥¥-=-=-=-åò✧ 利用L TI 系统的线性和时不变性，在单位冲激响应[]() h t h n 、已知的情况下，推导连续时间和离散时间系统对任意输入x 的响应：[][][]y n =x n * h n ; y(t)=x(t)* h(t)✧ 利用输入输出的卷积关系，根据单位冲激响应[]() h t h n 、，判断ITI 系统的性质1.【掌握】卷积和2.【掌握】卷积积分3.【掌握】用[]() h t h n 、判断L TI 的性质 4.【理解】 初始松弛 5. 【掌握】任意信号与冲激信号、阶跃函数的卷积性质（对比1章冲激信号抽取作用）卷积运算中，求和或者求积时，上下限的确定本章内容安排基本思路:主要内容难点第四章 连续时间傅里变换CFT✧ L TI 系统对复指数信号st ne z 、响应容易求得：()st H s e 、()n H z z 其中()()s H s h e d t t t +--=ò、()[]kk H z h k z+-=-=å✧ 将周期信号分解为0jk tew 的线性组合，即傅立叶级数表示式：()()()0021jk tjk tTk k k k jk t k Tx t a e a e a x t e dt T πωω+∞+∞=-∞=-∞-⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑⎰✧ 傅立叶级数收敛条件分析✧ 从频域分析系统对信号的作用（3.9、3.10）1.【掌握】连续时间周期信号的傅立叶级数公式，求常见信号的傅立叶级数 2.【掌握】收敛条件、傅立叶截断时的吉伯斯现象3..【理解】滤波和频谱的概念，能够判断信号是否能通过一确定的滤波器 5.【掌握】RC 回路实现的滤波器的滤波特性分析，滤波器设计时的折衷思想。
信号与系统课后习题答案
习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。
因此，公共周期3110==f T s 。
(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。
因此，公共周期5110==f T s 。
(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数，因此无法找出公共周期。
所以是非周期的。
(d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。
因此，公共周期π==01f T s 。
1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。
显然是功率信号。
t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。
显然是能量信号。
3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号，显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。
1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。
信号与系统第8章 离散时间系统的z域分析
零状态响应为
Yf
(z)
(1 z 1 z 2 ) 2 3z 1 z 2
1 1 z 1
1/ 6 0.5 5 / 6 1 z1 1 z1 1 0.5z1
yf [k] Z 1{Yf (z)}{1/ 6 0.5(1)k (5/ 6)(0.5)k}u[k]
y[k] yx[k] yf [k] {1/ 6 3.5(1)k (4 / 3)(0.5)k}u[k]
离散时间信号与系统的Z域分析
• 离散时间信号的Z域分析 • 离散时间系统的Z域分析 • 离散时间系统函数与系统特
性
离散时间信号的Z域分析
• 理想取样信号的拉普拉斯变换 • 单边Z变换定义 • 单边Z变换的收敛域 • 常用序列的Z变换 • 单边Z变换的性质 • Z反变换
理想取样信号的拉普拉斯变换
fs (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
Re(z)
三、常用序列的Z变换
1) Z{ (k)} 1, z 0
2) 3)
Z{u(k)} 1 1 z
Z{aku(k)}
1 , 1
1 a
z
z
1
1 z
a
4)
Z{e
j0k
u(k
)}
1
e
1
j0
z
1
z z e j0
5)
Z{e-
j0k u (k
)}
1
1 e- j0
z
1
z z e- j0
z e j0 z e j0
解代数方程
二阶系统响应的z域求解
y[k] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 f [k] b1 f [k 1] k 0
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做Z变换，利用
奥本海姆《信号与系统》(第2版)(下册)名校考研真题-通信系统(圣才出品)
【答案】C
【 解 析 】 线 性 相 位 FIR 滤 波 器 必 满 足 某 种 对 称 性 ， 即 h(n) = h( N −1− n) 或 者 h(n) = −h( N −1− n) 。答案中 C 为偶对称，且 N＝8，为Ⅰ型 FIR 滤波器。
【答案】 h(n) = 0，n 0 h(t) = 0，t 0 【解析】①对于稳定的又是因果的离散系统，其系统函数 H (z) 的极点都在 z 平面的单 位圆内；②对于稳定的又是因果的连续系统，其系统函数 H (s) 的极点都在 s 平面的左半开 平面。
2．离散系统的模拟可由
【解析】LTI 连续时间系统总可被分解为全通网络和最小相移网络的级联的形式。
三、简答题
1．FIR 数字滤波器必为稳定系统，试说明。[清华大学 2006 研] 解：FIR 数字滤波器的冲击响应是有限长的，因而当有限输入时，必有有限输出，必为 稳定的。
2．已知
LTI
系统的输入
x[n]和输出
y[n]满足如下关系
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第 8 章 通信系统
一、选择题
1．下面给出了几个 FIR 滤波器的单位函数响应。其中满足线性相位特性的 FIR 滤波器 是（ ）。[东南大学 2007 研]
A．h（n）＝{1,2,3,4,5,6,7,8} B．h（n）＝{1,2,3,4,1,2,3,4} C．h（n）＝{1,2,3,4,4,3,2,1}
k +100
i=k −100
n) e(i
= +
k +n+100
e(i)
i=k +n−100
信号与系统课后答案第八章作业答案后半部分
频率响应为
H
(e jΩ
)
=
H
(z)
|z = e jΩ
=
4 ⎡⎣ejΩ −1⎤⎦
3
⎡⎢⎣e
jΩ
−
1 3
⎤ ⎥⎦
经计算得极点为 p = 1 ，零点为 z = 1。 3
H（e jΩ）
（Ω）
幅频响应图（横坐标进行了归一化处理）
（c）Yx (z) =
y(−1) + 2 y(−2) + 2 y(−1)z−1 1− z−1 − 2z−2
=
8⋅ z +1⋅ 3 z−2 3
z， z +1
z
>2
其逆
z
变换即零输入响应为
yx
(n)
=
8 3
⋅
2n
u(n)
+
1 3
⋅
(−1)n
u(n)
（d）根据上面计算的零输入和零状态响应可知系统的完全响应为
f (n) = (−1)n u(n) ， y(−1) = 0 ， y(−2) = 1；
解：（1）将原式两边取单边 Z 变换得，
Y (z) −[z−1Y (z) + y(−1)] − 2[z−2Y (z) + y(−2) + y(−1)z−1] = F (z) + z−1F (z)
整理得：
Y (z)
=
题图 8-23
根据系统框图可得 h(n) = h1(n) ∗[h2 (n) + h3 (n)] ，故 h(n) = δ (n) ∗[h2 (n) + h3(n)] = u(n) + u(n − 2)
信号与系统 第三版 第8-10章 陈生潭.khda
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信号与系统-第8章
1/T2称为交接频率（断点）。
G2 ( )
40
20 1 -20 -40 10 102 103
1.系统函数的极点与时域特性的关系 （1） 若一阶极点位于s平面的坐标原点
（2） 若一阶极点位于s平面的实轴上 ， 且极点为负实数，p=-a<0
（3） 若一阶极点位于s平面的实轴， 且极点为正实数，p1=a>0
（4） 若有一对共轭极点位于虚轴， p1=jω0及p2=-jω0
（5） 若有一对共轭极点位于s左半平 面，即p1=-a+jω0，p2=-a-jω0，-a<0
应用拉普拉斯变换求解微分方程
• 当电路或系统的输入输出微分方程 已知时，可直接对微分方程应用单边拉 普拉斯变换，利用时域微分性质求出s域 输出 Y(s) ，对其取逆变换得到时域解 y(t) 。
从该例可看出，用拉普拉斯变换法求 解微分方程不需要专门求解t=0+时刻的输 出及其导数，并且可直接得到全响应。 通过上例可以看到，利用拉普拉斯变换 可以避开烦琐的求解微分方程的过程。 特别是对于高阶微分方程，拉氏变换法 可以使计算量大大减小。
1 2 2 H ( ) 2 1 T2 j 2T2 T2
1 2 2 H ( ) 2 1 T2 j 2T2 T2
二次因式的幅频特性的对数增益为
1 2 2 2 2 G 20lg 2 20lg 1 T2 2T2 T2
1 1 G 20lg j 20lg 1 2T12 T1 T1
1 2 2 20lg 10lg(1 T1 ) T1
1 G( ) 20 lg 10 lg(1 2T12 ) T1
信号与系统(郑君里)课后答案 第八章习题解答
=
z
z −
1
−
z
z −
2
2
当
z
>
2 时为右边序列 x (n)
=
⎡⎛ 1 ⎞n ⎢⎢⎣⎜⎝ 2 ⎟⎠
−
2n
⎤ ⎥
u
(
n
)
⎥⎦
当
z
<
0.5 时为左边序列
x(n)
=
⎡ ⎢2n ⎢⎣
−
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞n ⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
u
(
−n
−
1)
当 0.5 <
z
<
2 时为右边序列 x (n)
=
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞ ⎟⎠
n
u
(
n
)
+
2n
u
(
−n
−
1)
8-18 解题过程：
因为 H ( z) =
Z ⎡⎣h (n)⎤⎦
=
z(
z−a
z
> a)
X
(z) =
Z
⎡⎣x (n)⎤⎦
=
z− z −1
( z−N +1
z −1
z
> 1)
Y ( z) = X ( z) H ( z) = z ( ) ⋅ z − z−N+1 z > 1
z − a z −1
(
2
z
)n
⎤ ⎦
∑ = 1−
∞
( 2z )n
n=0
=1− 1 1− 2z
= −2z 1− 2z
=
z
z −
1
⎛ ⎜⎝
z
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分
（7）
X
z
1 2
n
u
n
u
n
10
z
n
9 n0
1 2
n
z
n
9 n0
1 2z
n
1
1 2z
1 1
10
z 0
2z
X（z）的零、极点分布图如图 8-2-1（g）所示。
（8）
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X
z
n台
1 2
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台
第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 复习笔记
从本章开始陆续讨论 Z 变换的定义、性质以及它与拉氏变换、傅氏变换的联系。在此 基础上研究离散时间系统的 z 域分析，给出离散系统的系统函数与频率响应的概念。通过 本章，读者应掌握对于离散时间信号与系统的研究，是先介绍 z 变换，然后引出序列的傅 里叶变换以及离散傅里叶变换（第九章）。
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于实轴的直线映射到 z 平面是负实轴；
（3）在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期性旋转，每平移 ωs，则沿
单位圆转一圈。
2．z 变换与拉氏变换表达式
Z
x nT X z zesT X s Z
n
u
n
1 3
n
u
n
z
n
n
（3）
X
z
n
1 3
n
u
n
z
n
n0
信号与线,性系统分析,(吴大正,全8章),习题答案
西安电子科技大学844信号与系统第一章 信号与系统（二）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f =（7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)(sin )(t r t f =（7）)(2)(k t f k ε=（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=kkkkfεεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
信号与系统教案(吴大正第四版西电PPT)第8章
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
8.2
连续系统状态方程的建立
2013-7-12
例1 某系统的微分方程为 y(t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) +8 f (t) 试求该系统的状态方程和输出方程。
方法一：画出直接形式的信号流图
2( s 4) 解由微分方程不难写出其系统函数 H ( s ) 2 s 3s 2
R1 x1 (t ) L x (t ) 1 2 C
■
1 1 L x1 (t ) L 1 x (t ) 2 0 R2 C
0 u (t ) s1 1 u (t ) s2 R2 C
通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
第8-6页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
8.1
状态变量与状态方程
2013-7-12
对于一般的n阶多输入-多 ff1(t) 2(t) 输出LTI连续系统，如图 。 其状态方程和输出方程为
fp(t)
┇
{xi(t0)}
y1(t) y2(t) ┇
首先选择状态变量 。 通常选电容电压和电 感电流为状态变量。 必须保证所选状态变 量为独立的电容电压 和独立的电感电流。
uC1 uC1 uC2 uC3 us uC2
(a) 任选两个电容电压 独立
(b) 任选一个电容电压 独立 iL1
iL1
iL3
iL2
is
iL2
四种非独立的电路结构
(c) 任选两个电感电流 独立 (d) 任选一个电感电流 独立
《信号与系统》复习重点
《信号与系统》期末复习重点一、考核目标和范围通过考核使学生了解和掌握信号与系统的基本原理、概念和方法，运用数学分析的方法解决一些简单问题，使学生在分析问题和解决问题的能力上有所提高，为学生进一步学习后续课程打下坚实的基础。
课程考核的命题严格限定在教材第1—8章内，对第9、10章不做要求。
二、考核方式三、复习资源和复习方法（1）教材《信号与系统》第2版，陈后金，胡健，薛健编著，高等教育出版社，2007年。
结合教材习题解答参考书（陈后金，胡健，薛健，钱满义，《信号与系统学习指导与习题精解》，清华大学出版社，北京交通大学出版社，2005）进行课后习题的练习、复习。
（2）离线作业。
两次离线作业题目要熟练掌握。
（3）复习方法：掌握信号与系统的时域、变换域分析方法，理解各种变换（傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换）的基本内容、性质与应用。
特别要建立信号与系统的频域分析的概念以及系统函数的概念。
结合习题进行反复练习。
四、期末复习重难点第1章信号与系统分析导论1. 掌握信号的定义及分类。
2. 掌握系统的描述、分类及特性。
3. 重点掌握确定信号及线性非时变系统的特性。
第2章信号的时域分析1．掌握典型连续信号与离散信号的定义、特性及其相互关系。
2．掌握连续信号与离散信号的基本运算。
3．掌握信号的分解，重点掌握任意连续信号分解为冲激信号的线性组合，任意离散信号分解为单位脉冲序列的线性组合。
第3章系统的时域分析1．掌握线性非时变连续时间系统时域描述。
2．掌握用卷积法计算连续时间系统的零状态响应3．掌握离散时间系统的时域描述。
4．掌握用卷积法计算离散时间系统的零状态响应。
第4章 周期信号的频域分析1．掌握连续周期信号的频域分析方法。
2．掌握离散周期信号的频域分析方法。
第5章 非周期信号的频域分析1．掌握常见连续时间信号的频谱，以及Fourier 变换的基本性质及物理含义。
2．掌握连续非周期信号的频域分析。
3．掌握离散非周期信号的频域分析。
吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)配套题库【名校考研真题】(下册)第8章 系统的状态变量分析【圣
第8章系统的状态变量分析一、分析计算题1．如图8-1（a）所示电路系统，R=1Ω，L=0.5H，C=8／5F。
（1）求电路的输入阻抗Z（s），并画出Z（s）的零极点分布图。
（2）在u c（0）=0，i L（0）=0的情况下，使用开关s接通电流源i s（t），且i s（t）=ε（t）A，用拉普拉斯变换求U c（t）。
（3）以电源i s（t）为输入，以u c（t）、i L（t）为状态变量建立方程，求A、B矩阵和状态转移矩阵e At。
[北京理工大学研]图8-1解：（1）画出零状态下的s域电路模型，如图8-1（b）所示。
Z（s）有一个零点两个极点其零极点分布图如图8-1（c）所示。
（2）取逆变换，得（3）列写状态方程由KCL得由KVL得代入数值并整理，得故矩阵求状态转移矩阵解得λ1=－1＋j0.5，λ2=－1－j0.5解上两式可得故2．下列是求系统响应y（n）的一段程序：列出相应的状态方程和输出方程。
[清华大学研]解：由程序可见，F和G为状态变量，分别设为λ1（n）和λ2（n），z为输入，Y为输出，分别表示为z（n）和y（n）。
则由程序得将式（1）代入式（3）得将式（1）代人式（2）得由式（5）（4）（1）可写出如下矩阵形式的状态方程和输出方程：3．如图8-2所示线性时不变离散因果系统的信号流图，f（k）为输入，y（k）为输出。
（1）判断该离散系统是否稳定?并说明理由。
（2）设状态变量x1、x2、x3如图中所标，试列出该系统的状态方程与输出方程。
[西安电子科技大学]图8-2解：（1）视原信号流图为两个子系统并联，设上半部分流图的系统函数为H 1（z），下半部分流图的系统函数为H 2（z）。
应用梅森公式得令H（z）分母多项式为A（z）＝z 3－3z 2＋7z－5，因1(1)()0z A A z ===，不大于零，由朱里准则判定该系统不稳定。
（2）观察流图，状态方程与输出方程分别为4．写出如图8-3所示系统的方程与输出方程。
信号与系统_张华清_第八章系统的状态变量分析
其特征根 1 2 2 是二重根。
齐次解的函数表达式为：
yh (k) (C1k C2 )(2)k， k 0
在特征根是共轭复根的情况下，齐次解的形式可以是等 幅、增幅或衰减等形式的正弦（或余弦）序列。
假设 1, 2 e j 是一对共轭复根，则在齐次解中，相
应部分齐次解为： C1 cos(k) C2 sin(k) k
k
例3.2-5
信号与系统 第三章例题
例3.2-5 已知某线性时不变离散系统的差分方程如下式所示，
试写出其齐次解的函数形式。
y(k) 4y(k 1) 4y(k 2) e(k) 3e(k 1)
解
此差分方程所对应的特征方程为
2 4 4 0 ( 2)2 0
法。
离散系统的数学模型为差分方程，所谓离散系统的时域 分析，就是在时间域（简称时域）中求解差分方程，以及求 解系统的单位序列响应、阶跃响应等。
求解差分方程与求解微分方程有许多相似之处，其经典 解法的全解也可分为齐次解和特解。
离散系统按照响应的不同来源也可分为零输入响应和零 状态响应；求零状态响应也可利用卷积计算求解。
其特征根为： 1 2，2 3 则其齐次解可写为： yh (k) C1(2)k C2 (3)k， k 0
将 y(0) = 1， y(1) = 0，代入上式，可得
C1 C2 1 2C1 3C2
0
C1 C2
3 2
所以
yh (k) 3(2)k 2(3)k， k 0
解
此齐次差分方程所对应的特征方程为
4 23 22 2 1 0 ( 1)2 (2 1) 0
信号与系统第1至8章习题参考解答
《信号与系统》第1~8章习题参考解答第一章 (2)第二章 (13)第三章 (22)第四章 (35)第五章 (48)第六章（无） (56)第七章 (57)第八章 (65)第一章1-4 对于例1-1所示信号，由f (t )求f (−3t − 2)，但改变运算顺序，先求f (3t )或先求f (−t )，讨论所得结果是否与原例之结果一致。
解：(1). 例1-1的方法： f (t )→ f (t − 2)→ f (3t − 2)→ f (−3t − 2) (2). 方法二：f (t )→ f (3t )→ 2[3()]3f t − →f (−3t − 2) (3). 方法三：f (t )→f (−t ) →[(2)]f t −+ →f (−3t − 2)方法三：1-5 已知()f t ，为求0()f t at −应按下列哪种运算求得正确结果（式中0t ，a 都为正值）？（1）()f at −左移0t （2）()f at 右移0t （3）()f at 左移0t a （4）()f at −右移0ta解：（4）()f at −右移t a：故（4）运算可以得到正确结果。
注：1-4、1-5 题考察信号时域运算：1-4 题说明采用不同的运算次序可以得到一致的结果； 1-5 题提醒所有的运算是针对自变量t 进行的。
如果先进行尺度变换或者反转变换，再进行移位变换，一定要注意移位量和移位的方向。
1-9 粗略绘出下列各函数式的波形图： （1）()(2)()t f t e u t −=− （2）2()(36)()t t f t e e u t −−=+ （3）3()(55)()t t f t e e u t −−=−（4）()cos(10)[(1)(2)]t f t e t u t u t π−=−−− 解：（1）()(2)()tf t e u t −=−（2）2()(36)()ttf t e eu t −−=+（3）3()(55)()ttf t e eu t −−=−（4）()cos(10)[(1)(2)]tf t e t u t u t π−=−−−1-12 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别：（1）[()(1)]−−；t u t u t（2）(1)�；t u t−（3）[()(1)](1)−−+−；t u t u t u t（4）(1)(1)−−；t u t（5）(1)[()(1)]−−−−；t u t u t（6）[(2)(3)]−−−；t u t u t（7）(2)[(2)(3)]t u t u t−−−−。
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uC2
uC3
us
uC2
(a) 任选两个电容电压 独立
(b) 任选一个电容电压 独立 iL1
iL1
iL3
iL2
is
iL2
四种非独立的电路结构
(c) 任选两个电感电流 独立 (d) 任选一个电感电流 独立
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信号与系统
8.2 连续系统状态方程的建立
这是由三个内部变量u 、 这是由三个内部变量 C(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一 和 构成的一 阶微分方程组。 阶微分方程组。 若初始值u 已知， 若初始值 C(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据 0时 、 和 已知 则根据t≥t 的给定激励u 就可惟一地确定在t≥t 的给定激励 S1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在 0时的解 和 就可惟一地确定在 uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。 、 和 。 u (t ) = R 2 i L 2 (t ) + u S 2 (t ) 系统的输出容易地由 iC (t ) = i L1 (t ) − i L 2 (t ) 三个内部变量和激励求 出： 一组代数方程
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R1 iL1 L1 a iL2 L2 iC us1 uC u us2 R2
8.1 状态变量与状态方程
2011-10-8
duC 1 1 = iL1 − iL2 C C dt R diL1 1 1 = − uC − 1 iL1 + uS1 L1 L1 L dt 1 diL2 1 R 1 = uC − 2 iL2 − uS 2 dt L2 L2 L2
y1 = c11 x1 + c12 x 2 + L + c1n x n + d11 f1 + d12 f 2 + L + d1 p f p y 2 = c 21 x1 + c 22 x 2 + L + c 2n x n + d 21 f1 + d 22 f 2 + L + d 2 p f p L y q = c q1 x1 + c q 2 x 2 + L + c qn x n + d q1 f1 + d q 2 f 2 + L + d qp f p
第8-10页 10页
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信号与系统
8.2 连续系统状态方程的建立
2011-10-8
由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤： 由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤： （1）选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为 ）选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为 状态变量； 状态变量； 电流方程， （2）对接有所选电容的独立结点列出 ） 接有所选电容的独立结点列出KCL电流方程， 电流方程 含有所选电感的独立回路列写KVL电压方程； 电压方程； 对含有所选电感的独立回路列写 电压方程 （3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状 ） 态变量，则利用适当的KCL、KVL方程将它们消去， 方程将它们消去 态变量，则利用适当的 、 方程将它们消去， 然后整理给出标准的状态方程形式 标准的状态方程形式； 然后整理给出标准的状态方程形式； （4）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直 ） 接列写输出方程，并整理成标准形式。 接列写输出方程，并整理成标准形式。
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信号与系统
第八章
系统状态变量分析 2011-10-8
第八章
系统状态变量分析
前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 外部法 输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： 入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： （1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出 ）只适用于单输入单输出系统， 系统，将增加复杂性； 系统，将增加复杂性； （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 ）只研究系统输出与输入的外部特性， 内部情况一无所知，也无法控制。 内部情况一无所知，也无法控制。 本章将介绍的内部法 内部法——状态变量法是用 个状态 状态变量法是用 本章将介绍的内部法 状态变量法是用n个状态 变量的一阶微分或差分方程组 状态方程） 一阶微分或差分方程组（ 变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系 优点有： 统。优点有：（1）提供系统的内部特性以便研究。 ）提供系统的内部特性以便研究。 （2）便于分析多输入多输出系统； ）便于分析多输入多输出系统； （3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用 ）一阶方程组便于计算机数值求解。 于时变系统和非线性系统。 于时变系统和非线性系统。
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信号与系统 写成矩阵形式： 写成矩阵形式： 状态方程
8.1 状态变量与状态方程
2011-10-8
& x(t ) = Ax(t ) + Bf (t ) 输出方程 y (t ) = Cx(t ) + Df (t )
方阵， 系统矩阵， 其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， × 方阵 称为系统矩阵 B为n×p矩阵，称为控制矩阵， 矩阵， 控制矩阵， × 矩阵 称为控制矩阵 C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵 矩阵， 输出矩阵， × 矩阵 称为输出矩阵 × 矩阵 离散系统， 对离散系统，类似 状态方程
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信号与系统 对于一般的n阶多输入 多输 2(t) 对于一般的 阶多输入-多输 ff1(t) 阶多输入 连续系统， 出LTI连续系统，如图 。 连续系统 其状态方程和输出方程为
fp(t)
8.1 状态变量与状态方程
2011-10-8
┇
{xi(t0)}
y1(t) y2(t) ┇ yq(t)
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信号与系统
8.1 状态变量与状态方程
2011-10-8
二、状态方程和输出方程
用状态变量分析系统时， 在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： 两步进行 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； ）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 ） 系统输出。 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程 状态方程。 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了 描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 而描述输出 激励之间的关系 。而描述输出与状态变量和激励之 输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 代数方程称为 间关系的一组代数方程称为输出方程 。 通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。 通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。 动态方程
2011-10-8
状态方程的建立： 状态方程的建立： 的建立 根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。 根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。 由于 iC = C d u C dt
d iL uL = L dt
为使方程中含有状态变量u 为使方程中含有状态变量 C的一阶导数 ， 可对接有该电容的独立结点列写KCL电流方程； 该电容的独立结点列写 电流方程； 可对接有该电容的独立结点列写 电流方程 为使方程中含有状态变量i 为使方程中含有状态变量 L的一阶导数 ， 可对含有该电感的独立回路列写KVL电压方程。 该电感的独立回路列写 电压方程。 可对含有该电感的独立回路列写 电压方程 对列出的方程，只保留状态变量和输入激励，设法消去 对列出的方程， 保留状态变量和输入激励，设法消去 其它中间的变量，经整理即可给出标准的状态方程 标准的状态方程。 其它中间的变量，经整理即可给出标准的状态方程。 对于输出方程，通常可用观察法由电路直接列出。 对于输出方程，通常可用观察法由电路直接列出。 输出方程 观察法由电路直接列出
信号与系统
8.2 连续系统状态方程的建立
2011-10-8
8.2 连续系统状态方程的建立 一、由电路图直接建立状态方程
首先选择状态变量 。 通常选电容电压 电容电压和 通常选电容电压和电 感电流为状态变量 为状态变量。 感电流为状态变量。 必须保证所选状态变 量为独立的电容电压 量为独立的电容电压 和独立的电感电流。 和独立的电感电流。
& x1 = a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n + b11 f1 + b12 f 2 + L + b1 p f p & x 2 = a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n + b21 f1 + b22 f 2 + L + b2 p f p L & x n = a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n + bn1 f1 + bn 2 f 2 + L + bnp f p
x(k + 1) = Ax(k ) + Bf (k ) 输出方程 y (k ) = Cx(k ) + Df (k )
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状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。 状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。 关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立
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