非弹性散射-确定末态的积分方程
弹性散射,非弹性散射 s分波的微分散射截面 第七章 散射理论
一、概念与名词解释 1. 弹性散射，非弹性散射 二、计算 1. 粒子受到势场 U(r)=α/r 2 散射，求 s 分波的微分散射截面. 2. 慢速粒子受到势能为 U(r)=α/r 4 的场散射，求 s 分波的散射截面. 3. 用玻恩近似法求粒子在势能 U(r)=U0exp(- α2 r2) 的场中散射时的散射截面. 4. 用玻恩近似法求粒子被势场 U(r)=U0exp(-r/a) 散射时的微分散射截面. 5. 用玻恩近似法求粒子在势场 U(r)= α/r 2 (α>0)中散射的微分散射截面. Ze 2 /r - r/b (r a) 6. 用玻恩近似法求粒子在势能为 U(r) b a 2 /Ze 2 的场中散射 (r a), 0 时的微分散射截面. 7. 考虑中子束对双原子分子 H2 的散射. 中子束沿 z 方向入射，两个氢原子核位 于 x=+a 处 . 中子和电子无相互作用，中子与氢原子核即质子之间的短程作用 可取为 试用玻恩近似计算散 V( r ) -V0 [ (x - a) (y) (z) (x a) (y) (z)]. 不考虑反冲， 射振幅及微分截面. 8. 若散射势是定域可分离势 r ' V r ' ' v(r)v(r' ), 写出并求解ψ(+) 的积分方程， 求 散射振幅和这种势场下的玻恩近似. 三、综合题 1. 考虑一个质量为 m 的粒子在一维势 V(x) 上的散射. (1) 证明 G E (x) 1 eikx dk 是能量为 E 的与时间无关的薛定谔方程 2 - E - 2 k 2 /2m i
在出射波边界条件下的自由粒子格林函数； (2) 写出一个沿正 x 方向的入射波能量本征函数所满足的积分方程，并在玻恩近 V0 ( x a/2) 似下求势能为 V(x) 的反射概率. 讨论 E 在什么范围取值时，所 0 ( x a/2) 采用的近似准确度较高.
07 热中子非弹性散射,S(α, β)
22.54 中子与物质的相互作用及应用（2004年春季）第七讲（2004年2月26日）中子弹性散射——热运动及化学键效应参考文献——J. R. Lamarsh, Introduction to Nuclear Reactor Theory (Addison-Wesley, Reading,1966), chap 2. S. Yip, 22.111 Lecture Notes (1975), chap 7.G. I. Bell and S. Glasstone, Nuclear Reactor Theory (Van Nostrand Reinhold, New York, 1970), chap 7.所有的截面都是相互作用空间位置的点函数。
核相互作用的范围远小于任何常见能量的中子波长，因此可以认为中子相互作用是发生在一个点上而非发生在一个有限范围的区域上。
本讲侧重于讨论弹性散射截面)(E σ与入射中子能量E 之间的依赖关系，E 指实验室系（LCS ）下的中子能量。
在上次课程里，已经推导出能量转移核形式的出射中子能量分布，但没有提及方程（6.1）对能量的依赖关系，其原因就是)('E E F →)(E σ远复杂于。
对于处于热中子能区的中子，研究)('E E F →)(E σ必须考虑到热运动及靶原子化学键结合能的影响。
关于这些影响有更多内容可以讨论，不仅是)(E σ，还需要考虑二阶微分散射截面。
本讲只讨论总截面，对于双微分散射截面的讨论将在以后进行。
关于'2/dE d d Ωσ)(E σ随能量变化的定性理解可以参考第二讲。
我们在2003年第三讲里提到过，当入射中子的速度远大于靶核速度时，从简化运动学分析的角度来说，假定靶核静止不动是一个很好的近似。
在第四讲关于截面的讨论中，采用这种近似把一个二体碰撞问题转化为等效的单体问题——在势场V(r)中的粒子散射。
这里，矢量r 指中子对靶核的相对位置。
非弹性散射的强吸收模型
4.4非弹性散射的强吸收模型许多非弹性散射的测量结果强烈吸收了激发低态的粒子，这些粒子表现出较大的横截面（与小角度以外的弹性截面相当）和在前半球强烈达到顶点的角度分布， 振荡或衍射结构作为弹性角分布。
这些属性是直接反应的特征，我们可以用简单的术语来理解它们，就像我们在前面部分中用于弹性散射的那些。
4.41绝热近似两个基本特征是使用集体模型和绝热近似。
我们发现，简单的半经典或衍射理论的应用需要相对较短的波长或相当高的能量;在这种情况下，低激发态的激发能远小于轰击能量;绝热近似完全忽略它们，使得基态和激发态被认为是近似退化的，并且可以在相同的基础上处理弹性和非弹性散射。
如果我们用集体旋转模型的话，核结构的物理现象就能被观察。
那么非球形核的激发简单旋转，并且可忽略的激发能意味着旋转速率比碰撞对的通过慢得多。
因此我们可以确定核的旋转模式，计算每个特定方向的散射，然后在方向上求平均值。
在衍射模型的应用中，我们需要计算来自非球形黑核模型（例如椭球体）的衍射散射的振幅。
我们需要多种的近似值。
用坐标来表示核的方向记作§然后我们计算振幅f(0.§)，这对特定角度的散射有特殊的作用。
核的每个量子态包括一个方位的特定分布，其概率由其波函数的平方模数给出，{ΦA (§)}2为了获得两个特定量子态A1和A2之间的跃迁振幅，我们需要采取矩阵元素在两个状态之间的f 。
4.17f 1,2 θ =∫ψA 2∗(ζ)f (0,ζ)ψA 1(ζ)dζ 弹性散射的特定情况由对角矩阵元素给出4.18f el =f 0,0 θ =∫[ψA 0 ζ ]2f (0,ζ)dζ图4.7（强吸收体系下非弹性散射角分布的例子，除了90Zr+t 所示的弹性横截面用于比较.弹性散射的曲线是用光纤模型获取的，然而非弹性散射用直接反应代表，用DWBA 来计算。
整个曲线和虚线是应用两种不同的光学模型计算得到的。
）如果ΦA是基态的波函数，将方程解释为基本原子核取向的简单平均值，由概率{ΦA(§)}2加权，。
第七讲散射理论
第七讲散射理论一、散射现象的一般描述1、什么是散射？简单地说，散射就是指粒子与粒子之间或粒子与力场之间的碰撞（相互作用）过程，是一种具有重要实际意义的现象，所以散射现象也称碰撞现象，其可以示意为：粒子流散射中心如：原子物理中的α粒子散射实验。
2、散射的分类：弹性散射：一粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能的交换，粒子内部状态并无改变。
非弹性散射：两粒子碰撞中粒子的内部状态有所改变（例如原子被激发或电离）。
在这里我们只讨论弹性散射，即假设碰撞过程中粒子的内部状态未变，并假设散射中心质量很大、碰撞对其运动没有影响。
3、散射的经典力学描述从经典力学来看，在散射过程中，每个入射粒子都以一个确定的碰撞参数（瞄准距离）b 和方位角0ϕ射向靶子，由于靶子的作用，入射粒子的轨道将发生偏转，沿某方向(,)θϕ出射。
例如在α粒子的散射实验中，有22cot 422M b Ze θυπε= （偏转角θ与瞄准距离之间的关系） 那些瞄准距离在b b db -和之间的α粒子，散射后，必定向着d θθθ+和之间的角度射出，如下图所示：凡通过图中所示环形面积d σ的α粒子，必定散射到角度在d θθθ+和之间的一个空心圆锥体之中。
环形面积d σ称为有效散射截面，又称微分截面。
且2222401()()4sin 2Ze d d M σθπευΩ= 然而，在散射实验中，人们并不对每个粒子的轨道感兴趣，而是研究入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布。
设一束粒子流以稳定的入射流强度沿Z 轴方向射向靶粒子A ，由于靶粒子的作用，设在单位时间内有dn 个粒子沿(,)θϕ方向的立体角d Ω中射出，显然，,(,)dn Nd dn q Nd θϕ∝Ω=Ω令，即1(,)()dn q N d θϕ=Ω显然，(,)q θϕ具有面积的量纲，称为微分散射截面。
微分散射截面),(ϕθq 表示单位时间内散射到单位立体角Ωd （面积/距离平方）的粒子数占总粒子数比率，即Ω=Nd q dn ),(ϕθ。
§6 散射问题
§6 散射问题在量子力学中，散射现象也称为碰撞现象，主要研究粒子与力场、粒子与粒子的碰撞过程，这有很重要的实际意义。
如研究气体放电、气体分子碰撞、原子内部结构等。
§6.1 一般描述 1. 几个概念弹性散射（弹性碰撞）．．．．．．．．．．：粒子与粒子碰撞过程中，只有动能的交换，粒子内部状态不改变的碰撞。
非弹性散射（非弹性碰撞）．．．．．．．．．．．．：粒子与粒子碰撞过程中粒子内部状态发生改变（如原子被激发或电离）的碰撞。
课程主要讨论弹性碰撞．．．．．．．．．．。
微分散射截面．．．．．．： 设一束粒子沿z 轴入射粒子A ，A 称为散射中心，碰撞引起A 的运动可略去。
粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角?称为散射角．．．。
单位时间内散射到垂直于散射方向的小面积元dS 上的粒子数与dS 、入射粒子流强度N 成正比，与dS 到A 的距离r 平方成反比，即Ω=Nd rdSNdn 2~ 引入比例系数)(ϕθ,qΩ=Nd ,q dn )(ϕθ (6.1.1))(ϕθ,q 与入射粒子、散射中心的性质及相互之间的作用和相对动能有关。
量纲关系：22][1][1][L q TL N Tdn =→==)(ϕθ,q 具有面积的量纲，称为微分散射截面．．．．．．。
∫∫∫=Ω=ππϕςθϕθϕθ020sin )()(d d ,q d ,q Q (6.1.2)称为总散射面积．．．．．。
2. 散射面积量子力学解法 以散射中心为坐标原点，)(r U 表示入射粒子与散射中心间的相互作用势能，散射体系的薛定鄂方程为 ψψψµE U =+∇−222h (6.1.3) 令 22222hh p E k ==µ (6.1.4)µµk p v h ==(6.1.5) )(2)(2r r V h µ=(6.1.6) 薛定鄂方程改为 0)]([22=−+∇ψψr V k (6.1.7) 由于探测散射粒子在离散射中心很远处，即→∝r ，此时0)(→r U 。
大学课件_计算传热学_第五章非稳态问题的求解方法
第5章 非稳态问题的求解方法1.1 通用输运方程()()()()()t t f q Γv tφφρφρφφ,grad div div =++-=∂∂ ( 5-1 )5.1 显式Euler 方法考虑1D, 定速度，常物性，无源项的特例22xx u t ∂∂Γ+∂∂-=∂∂φρφφ ( 5-2 ) 时间向前，空间中心差分，得FD 与FV 相同形式代数方程()t x x u nin i n i n i n i nin i∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-+Γ+∆--+=-+-++21111122φφφρφφφφ( 5-3 ) 可写成()ni n i n i n i c d c d d 1112221-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=φφφφ ( 5-4 ) 其中()xtu c and x t d ∆∆=∆Γ∆=2ρ ( 5-5 ) d 表示时间步长与特征扩散时间()Γ∆/2ξρ的比。
后者代表一个扰动由于扩散通过∆x 一段距离所需时间。
c 表示时间步长与特性对流传递时间x u ∆/的比。
后者代表一个扰动由于对流通过∆x 一段距离所需时间。
c 成为Courant number, 为CFD 中一个关键的参数。
此格式为时间为1阶精度，空间为2阶精度。
方程（4）内的系数在某些条件下，可能会是负值。
用矩阵表示：n n A φφ=+1 ( 5-6 )观察函数：()∑---=-=in i ni n n 211φφφφε( 5-7 )如果系数矩阵A 的本征值中有大于1，则ε随着n 的增加而增加。
如果本征值全部小于1，则ε是递减的。
一般本征值很难求得，对于本特例，它的解可用复数形式表示ji n n j e ασφ= ( 5-8 )其中，α为波数，可取任意值。
∙ 无条件发散：φn 无条件随n 增加→|σ|>1 ∙无条件稳定：φn 无条件随n 降低→|σ|<1代入差分方程，得到本征值为：()αασsin 2cos 21c i d +1-+= ( 5-9 )考虑特殊情况，∙ 无扩散：d=0, →σ >0, 无条件发散，充分条件∙无对流：c=0, →当cos α= -1时，σ最大，→d<1/2，无条件收敛，充分条件从另一个稳定条件考虑，要求系数矩阵A 的所有系数为正，可得到类似稳定性条件：（充分条件）d c d 2and 5.0<<( 5-10 )第一个条件要求()Γ∆<∆22x t ρ ( 5-11 )表示，每当∆x 减少一半，时间步长需减少到1/4. 第二个条件要求2Pe or2<<Γ∆cell xu ρ ( 5-12 )这同前述的用1D 稳态对流/扩散问题的CDS 要求是一致的。
散射前后光的波长或光子能量PPT课件
均匀吸收和选择吸收
• 若材料在可见光范围对各种波长的吸收程度相同，则称为均匀吸收，它随吸收程 度的增加使颜色从灰变到黑；
• 若材料对某一波长吸收系数很大而对另一波长吸收系数很小，则称为选择吸收， 透明材料的选择吸收使其呈不同的颜色。
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光的色散和散射
在真空中，光以恒定的速度传播，与光的频率无关。然而， 在通过任何材料时，光的传播速度要发生变化，而且不同频 率的光在同物质中的传播速度也不同；
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光的反射与折射图
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反射系数和透射系数 根据麦克斯韦方程组和电磁场的边界条件可以得到光波在反射前后和折射 前后的能量变化规律。反射光的功率对入射光的功率之比称为反射系数(反 射比)。经过折射进入第二介质的光为透射光，透射光与入射光功率之比称 为透射系数。
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例如：
空气 105 cm-1
玻璃 102 cm-1 金属 104 ~ 105 cm-1
金属实际上是不透明的
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金属、半导体和电介质材料吸收系数与电磁波长的关系
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• 上图所示是材料的光吸收系数与电磁波波长的关系。由图可见，在电磁波可见光区，金属和半导体介质对 其吸收都是很大的，但电介质材料，包括玻璃、陶瓷、高聚物等材料在可见光波谱区吸收系数很小，具有 良好的透过性。
南京理工大学化工学院在材料中如果有光学性能不均匀的微小结构区域例如含有小粒子的透明介质光性能不同的晶界相气孔或其它夹杂物都会引起一部分光束被散射由于散射光在前进方向上的强度减弱了对于相分布均匀的材料其减弱的规律与吸收规律具有相同的形式散射系数南京理工大学化工学院南京理工大学化工学院光散射分类根据散射前后光子能量或光波波长变化与否分为弹性散射与非弹性散射弹性散射
第18章微观粒子的散射
2
(q2
1 +1/
a2 )2
23
若入射粒子能量很高
qa = 2ka sin(ϑ / 2) 1 (大角度才成立)
σ
(ϑ )
=
mZ ′Ze2
8πε0k 2=2
2
sin 4
1
(ϑ
/
2)
——经典的Rutherford散射公式. 注意：上式成立的
条件与ϑ有关，只有较大ϑ时才成立.
ϑ
高速带电粒子被中性原子散射，散射中心的原子核被 核外电子屏蔽，这种屏蔽的Coulomb场可表示为
U (r)
=
−
Z ′Ze2
4πε 0
1 r
exp
−
r a
有效屏蔽半径
∫ σ (ϑ)
=
2m =2q
Z ′Ze2
4πε 0
2
∞ 0
exp
−
r′ a
sin(qr′)dr
′
2
=
2m =2
Z ′Ze2
∞
∑ ψ i =ψ 0 exp(ikz) =ψ 0 (2l +1)il jl (kr)Pl (cosϑ) l=0
∑∞
≈ψ 0 (2l +1)il
l=0
1 kr
sin
kr
−
lπ
2
Pl
(cos
ϑ
),
(r
→ ∞)
——不同相位的球面波叠加——每个球面波称为分波
7
有心力场且轴对称条件下，Schrödinger方程的解
∞
≈ψ0
l=0
Al kr
sin
kr
−
lπ
2
非弹性散射
量子力学术语
01 概念
目录
02 基本原理
高能快中子射入物质，与构成物质的原子核（靶核）发生作用时，先被靶核吸收形成复合核，而后再放出较 低能量的中子，靶核吸收了能量处于激发态。这一作用称为非弹性散射。
概念
在散射过程中，若参于散射的两粒子内部能量与结构不发生变化，则称这种散射为弹性散射。在弹性散射过 程中，系统能服从能量守恒定律和动量守恒定律。反之，只要有一个参与散射的粒子发生内部结构或能量的变化 （如激发），就称这种散射为非弹性散射。
所以，为了分辨固体的能量改变特征，将需要比射线所能得到的更高的分辨能力。
根据上面所叙述的，我们可能认为，中子在多方面都胜过射线。然而，使用的中子强度比较小，由慢中子堆 可得到总的热中子流仅仅为——，并且它由于窄能带的选择而剧烈地减小。实际上，在中子散射实验中，往往为 了强度而牺牲些准直性和能量分辨力。由于这个缘故，进行精密结构测定，最好还是使用射线。
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基本原理
如果碰撞过程中除了有动能交换外，粒子的数目、类型内部状态有所改变或转化为其他粒子，则称为非弹 性散射或非弹性碰撞。
为了弄清光子和中子之间差异的原因，我们来研究波长为的中子，其能量为
因为在热平衡下，占优势的热激发具有能量，所以从固体的非弹性散射中，我们可预料到相当大的能量改变。 不仅如此，在室温慢化的反应堆中子之后，将有很多这种波长的中子。另一方面，对同一波长的光子，能量为
levy-mises方程
levy-mises方程
Levy-Mises方程是一种描述非平衡态统计力学的微分方程，它由法国数学家保罗·莱维（Paul Lévy）和奥地利物理学家理查德·冯·米塞斯（Richard von Mises）在20世纪20年代提出。
Levy-Mises方程描述的是粒子在外力作用下的非平衡态演化过程。
具体来说，它描述了粒子在流体中的扩散、漂移和应力耗散等过程，以及这些过程与粒子之间相互作用的关系。
数学上，Levy-Mises方程可以表示为：
∂f/∂t + v ·∇f = ∇·(Df) + (∇·Σ) ·(∂f/∂v)
其中，f是粒子分布函数，v是粒子速度，D是扩散系数，Σ是应力张量。
该方程可以通过适当的边界条件和初值条件求解，从而得到粒子分布的演化规律。
Levy-Mises方程在物理学、化学、生物学等领域中有广泛的应用，例如在材料科学中，可以用它来研究材料的扩散过程；在生物学中，可以用它来研究细胞内物质的运输过程。
NId波超导体结中的准粒子非弹性散射效应
NId波超导体结中的准粒子非弹性散射效应
N/I/d波超导体结中的准粒子非弹性散射效应
考虑准粒子的非弹性散射和正常金属区域的杂质散射,以方势垒描述N/I/d波超导体结中绝缘层对准粒子输运的影响,运用Bogoliubov-de Gennes(Bde)方程和Blonder-Tinkham-Klapwijk(BTK)理论,计算了N/I/d波超导体结的隧道谱.研究表明;(1)伴随着准粒子的非弹性散射效应,绝缘层的势垒值及绝缘层厚度对零偏压电导峰值有显著影响;(2)准粒子有限寿命的缩短,可压低零偏压电导峰,并抹平能隙处的小峰或凹陷;(3)较大的杂质散射会导致零偏压电导峰的劈裂,而准粒子的非弹性散射则可有效地阻止其劈裂.
作者：魏健文 WEI Jian-wen 作者单位：淮阴师范学院物理系,淮安,223001 刊名：低温物理学报ISTIC PKU英文刊名：CHINESE JOURNAL OF LOW TEMPERATURE PHYSICS 年，卷(期)：2008 30(3) 分类号：O51 关键词：非弹性散射方势垒 N/I/d波超导体结隧道谱。
非弹性散射-确定末态的积分方程
G
xx
EaH0i
(2.3.11)
利用完全性条件(2.3.6)，上式可记为
G gb
b
gb (21)3
b(
)
*(
b
)
eiq(xx) E aE bqi
dq
(2.3.12)
因为 Eaa22m ka 2,Ebqb2量守恒定律(2.3.9)，可得
2
EaEbq2mkb2q2
(2.3.14)
于是式(2.3.12)也可以表示为
g b (2 1)32 m 2 b()b *()kb 2 e iqq (x 2 x )id q
412m 2 b()b*()exikbxxx
(2.3.15)
于是，在非弹性散射情况下，与薛定谔方程(2.3.1)相 应的确定末态的积分方程为
x
a a 2 m 2b
b ()
* ()e ik bx x b x x
x Va d x d
(2.3.16)
这里的结果与弹性散射情况下的式(2.2.1)比较，可以 看出这里出现了描写系统A内部状态的波函数 b ，且 k b 不一定等于 k a 。
为此可将式231右侧因子视为源与该非齐次微分方程相应的格林函数所满足的方程为2310利用完全性条件236上式可记为2312因为2313再由能量守恒定律239可得2314于是式2312也可以表示为2315于是在非弹性散射情况下与薛定谔方程231相应的确定末态的积分方程为2316这里的结果与弹性散射情况下的式221比较可以看出这里出现了描写系统a内部状态的波函数
2.3.2 确定末态的积分方程
从弹性散射的讨论中已经知道，为了得到散射幅公式， 最好先将有关的薛定谔方程改写为李普曼-许温格方 程。为此，可将式(2.3.1)右侧因子视为“源”，与该 非齐次微分方程相应的格林函数所满足的方程为
现代分析测试技术_01X射线衍射分析原理综合练习
第一章X射线衍射分析原理（红色的为选做，有下划线的为重点名词或术语或概念）1．名词、术语、概念：晶面指数，干涉指数（衍射指数，反射指数），倒易点阵，倒易矢量，晶带，连续X射线，短波限，特征X射线，Kα射线，Kβ射线，X射线弹性散射（相干散射，经典散射，汤姆逊散射），X射线非弹性散射（非相干散射，康普顿散射，康普顿-吴有训散射，量子散射），光电效应，荧光辐射，俄歇效应，俄歇电子，吸收限，线吸收系数，质量吸收系数，选择反射，掠射角（布拉格角，半衍射角），散射角，衍射角，结构因子（结构因素），系统消光，点阵消光，结构消光，多重性因子等。
2．干涉指数是对晶面（）与晶面（）的标识，而晶面指数只标识晶面的（）。
3．晶面间距分别为d110／2，d110/3的晶面，其干涉指数分别为（）和（）。
4．倒易矢量r*HKL的基本性质：r*HKL垂直于正点阵中相应的（HKL）晶面，其长度|r*HKL|等于(HKL)之晶面间距d HKL的（）。
5．萤石（CaF2）的（220）面的晶面间距d220=0.193nm，其倒易矢量r*220垂直于正点阵中的（220）面，长度|r*220|=（）nm-1。
6．晶体中的电子对X射线的散射包括（）与（）两种。
7．X射线激发固体中原子内层电子使原子电离，原子在发射光电子的同时内层出现空位，此时原子（实际是离子）处于激发态，将发生较外层电子向空位跃迁以降低原子能量的过程，此过程可称为退激发或去激发过程。
退激发过程有两种互相竞争的方式，即发射（）或发射（）。
8．X射线衍射波的两个基本特征是（）和（）。
9．X射线照射晶体，设入射线与反射面之夹角为θ，称为（）或（）或（），则按反射定律，反射线与反射面之夹角也应为θ；入射线延长方向与反射方向之间的夹角2θ叫（）。
10．产生衍射的必要条件是（），充分条件是（）。
11．干涉指数表示的晶面并不一定是晶体中的真实原子面，即干涉指数表示的晶面上不一定有原子分布。
Green函数统一求解方法
（方法二）
i H 0 G0 t t t
t t
t t
H 0 G0 t t i t t
t t i
H 0 G 0
2 2 2 p H 0(x) 2m 2m
G0
x , x ; E
1
2
3
1 k 2m
2 2
2
2
e i
ik x x
dk
2m
G0
x , x ; E
1
2m
3
2
1
Ae
iH 0 /
1 2
3
0:
i H 0 G 0 i H 0 G 0
i G 0 G 0
0 G 0
1 q Ea b i 2m
2 2
e
iq x x
弹性散射含时自由Green函数满足的方程 形式解为
G0 t t i 1 t H 0 i
i H 0 G0 t t t
1 Eb H i
a
b a b a b V
a a
1 2
1 E H 0 i
e
iE t t /
dE
1 G 0 t t lim 0 2
非弹性碰撞过程及电子阻止本领
非弹性碰撞过程及电子阻止本领自本世纪三十年代量子力学诞生以来，入射粒子在固体中的电子阻止本领一直是一个较活跃的研究领域。
特别是近30年以来，随着实验测试手段的不断提高，人们可以较精确地测量电子阻止本领的值，这又进一步地促进了人们对电子阻止本领的理论研究。
一般地，研究电子阻止本领的主要理论方法有：量子力学扰动理论、线性介电响应理论、量子散射理论、半唯象理论及经验理论（公式）。
本章将分别对上述理论给以简单介绍。
4.1 高速离子的电子阻止本领 − 量子力学扰动理论描述 （一）非弹性散射截面考虑由一个入射粒子和一个靶原子组成的系统。
在0=t 时刻，入射粒子同靶原子之间不发生相互作用，系统处于未扰动状态。
这时系统的哈密顿量为a p H H H ˆˆˆ0+=，其中p H ˆ和a H ˆ分别为入射粒子的哈密顿量和孤立靶原子的哈密顿量。
与0ˆH 相对应的系统的本征函数为nu ，本征值为n E 。
当在0>t 时，入射粒子与靶原子开始相互作用，设系统的波函数为)(t ψ，满足如下薛定谔方程)()ˆˆ()(0t V H tt i ψ+=∂ψ∂η（4.1-1） 其中V ˆ是它们之间的相互作用势。
将)(t ψ按0ˆH 的本征函数nu 展开： ]/)(exp[)()(00ηt t iE u t a t n n n n --=ψ∑∞= （4.1-2）其中)(t a n 为展开系数。
将（4.1-2）式代入方程（4.1-1），并利用波函数n u 的正交性，可以得到关于展开系数)(t a n 的方程)](ex p[)()(00t t i t a V dt t da i mn m m mn n --=∑∞=ωη (4.1-3) 其中η/)(n m mn E E -=ω为系统从本征态n u 跃迁到本征态m u 的频率，⎰=m n nm u V u d V ˆ*τ (4.1-4)则为跃迁矩阵元，其中τd 表示空间体积元。
再根据波函数)(t ψ的归一性，很容易得到展开系数)(t a n 所满足的归一化条件1)(20=∑∞=t a n n (4.1-5）对于高速入射粒子，相互作用势V ˆ相对0ˆH 是个小量，这样可以采用微扰理论来求解方程(4.1-3)。
散射理论
第八章 散射理论本章介绍：前面讨论了薛定谔方程中的束缚态问题。
而对于能量连续的散射态，能级间隔趋于零，因此一般说来，不能用微扰论来处理。
另一方面，微观粒子之间的散射或称碰撞过程的研究，对于了解许多实验现象十分重要，所以，建立一套散射理论无论从实验上看，还是使理论更加完善上看，都是完全必要的。
本章将分别就弹性散射和非弹性散射，按入射粒子的能量高低，分别建立不同的散射理论，并介绍了分波法和玻恩近似两种处理散射问题的近似方法。
§8.1 散射截面§8.2 分波法§8.3 分波法应用实例§8.4 玻恩近似§8.5 质心坐标系与实验坐标系§8.6 全同粒子的散射§8.1 散射截面在经典力学中，弹性散射是按照粒子在散射过程中，同时满足动量守恒和能量守恒来定义的。
在量子力学中，一般说来，除非完全略去粒子之间的相互作用势能，否则，动量将不守恒。
因此，在量子力学中，不可能按经典力学的公式来定义弹性散射。
在量子力学中，如果在散射过程中两粒子之间只有动量交换，粒子由内部运动状态决定，则这种碰撞过程成为弹性散射。
如果在散射过程中粒子内部运动状态有所变化，如激发、电离等则称为非弹性散射。
本章只讨论弹性散射问题。
考虑一束入射粒子流向粒子A 射来，取粒子流入射方向为z 轴。
A 为散射中心。
为讨论方便起见，假定A 的质量比入射粒子大得多，由碰撞引起的A 的运动可以忽略。
应当指出，散射过程是两体问题。
因为它涉及两个互相散射的粒子。
对于两体问题，最好的处理方法是采用质心坐标系。
因为在质心坐标系中，一个两体问题将被归结为一个粒子因为与质心的相互作用而被散射。
另一粒子的运动可对称给出。
从而归结为单体问题。
如果散射中心粒子A 的质量比入射粒子大得多，可以认为质心就在A 上，这样就使问题处理简单多了。
如图所示，入射粒子受A 的作用而偏离原来的运动方向，发生散射。
图中A 角为散射粒子的方向与入射粒子方向的夹角，称为散射角。
非球形气溶胶粒子散射相函数经验公式
非球形气溶胶粒子散射相函数经验公式程晨;徐青山;朱琳【摘要】散射相函数是研究电磁波传输特性的重要参数,直接影响电磁波传输方程的简化程度和解的精度.基于电磁散射与辐射传输中的基本理论,对非球形粒子散射相函数的经验公式进行了研究.为了很好的模拟非球形粒子的后向散射峰值,提高辐射传输方程的简化程度和解的精度,提出了一种新的相函数经验公式.分析新的相函数对非球形粒子的适用性,以单个沙尘性气溶胶为例,计算了不同形状粒子的Henyey-Greenstein*相函数和新的相函数随角度的变化,并与T矩阵法的计算结果进行了对比,发现椭球形粒子的长短轴比和有限长圆柱形粒子的径长比大于0.5时,新的相函数在大角度后向散射部分与T矩阵法的吻合程度较高.考虑波长变化,对比了尺寸谱满足对数正态分布的四种气溶胶粒子的Henyey-Greenstein*相函数和新的相函数与T矩阵法的计算结果.研究表明,对于椭球形粒子和有限长圆柱形粒子,在大角度(大于90°)后向散射部分,除了0.694时的椭球形海洋性气溶胶,新的相函数均方根差较小的占100％,证明了新的相函数可以较好的模拟非球形粒子的后向散射特征.新的相函数对准确模拟辐射传输过程具有重要意义.【期刊名称】《光谱学与光谱分析》【年(卷),期】2019(039)001【总页数】7页(P1-7)【关键词】非球形粒子;相函数;经验公式;后向散射【作者】程晨;徐青山;朱琳【作者单位】中国科学院安徽光学精密机械研究所基础科学中心光电探测室 ,安徽合肥 230031;中国科学院安徽光学精密机械研究所基础科学中心光电探测室 ,安徽合肥 230031;中国科学院安徽光学精密机械研究所基础科学中心光电探测室 ,安徽合肥 230031;中国科学技术大学研究生院科学岛分院 ,安徽合肥 230031【正文语种】中文【中图分类】O431.1引言大气气溶胶是指悬浮在大气中的直径为10-3～101 μm的固体或液体颗粒组成的体系。
中子的非弹性散射截面
中子的非弹性散射截面（cross section）是指中子在与原子核发生非弹性散射时的反应概率。
这是一个物理量，表示中子在经过一个单位体积的原子核时发生非弹性散射的概率。
非弹性散射是指中子与原子核发生碰撞时，中子不能保持原来的能量和动量。
它会转移一部分能量和动量给原子核，从而产生新的粒子。
这种过程称为非弹性散射。
非弹性散射截面是一个重要的物理量，用来描述中子与原子核之间的相互作用。
它在辐射防护、核反应堆设计和核武器分析等方面都有重要的应用。
非弹性散射截面是由许多因素决定的，包括中子的能量、原子核的类型、原子核的结构以及中子与原子核之间的相对距离。
在低能量范围内，非弹性散射截面通常呈现出一个反比例的趋势，即随着中子的能量增加，非弹性散射截面会逐渐减小。
这是因为在低能量范围内，中子与原子核之间的相互作用主要是由弹性散射控制的。
随着中子能量的增加，中子与原子核之间的相互作用趋于非弹性，非弹性散射截面也随之增大。
非弹性散射截面也可以通过核反应堆实验或核模拟软件来计算。
这些工具可以用来估算中子的传输行为，从而帮助设计核反应堆的燃料组成和燃料周期，并为核武器分析提供必要的数据。
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此式的形式解为
x x G Ea H 0 i
(2.3.11)
利用完全性条件(2.3.6)，上式可记为
G g
b b
eiq ( x x) gb b ( ) b* ( ) dq 3 (2 ) Ea Ebq i 1
(2.3.12)
因为
2 2 ka 2 q 2 Ea a , Ebq b 2m 2m
(2.3.13)
再由能量守恒定律(2.3.9)，可得
2 2 Ea Ebq kb q 2 2m
(2.3.14)
于是式(2.3.12)也可以表示为
2m eiq ( x x) gb b ( ) b* ( ) 2 2 dq 3 2 (2 ) kb q i 1
2.3.2 确定末态的积分方程
从弹性散射的讨论中已经知道，为了得到散射幅公式， 最好先将有关的薛定谔方程改写为李普曼-许温格方 程。为此，可将式(2.3.1)右侧因子视为“源”，与该 非齐次微分方程相应的格林函数所满足的方程为
Ea H 0 G x , x ; Ea x x (2.3.10)
(2.3.15) 于是，在非弹性散射情况下，与薛定谔方程(2.3.1)相 应的确定末态的积分方程为
x a
1 2m e b * b ( ) b ( ) 2 4 x x
ik x x
m a 2 2
e b b ( ) b* ( ) x x x V a dxd b