江西省南昌市教研室命制2014届高三交流卷(一)数学(理)试题 Word版含答案
江西省南昌市教研室命制2014届高三交流卷(二)数学(理)试题 Word版含答案
南昌市教研室命制2014届高三交流卷（二）数学（理）试题第I 卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（ ）A ．{}0x x > B ．{}10x x x <->或 C ．{}4x x > D ．{}14x x -≤≤2．已知复数231ii--（i 是虚数单位），它的实部和虚部的和是（ ） A ．4 B ．6 C ．2 D ．3 3．下列命题中是假．命题．．的是 （ ）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m xm x f m R ),0(+∞且在上递减B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ;D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4．已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数y x z -=的最小值为（ ）A ．5B ．2-C ．6D ．75． “1a =”是“函数a x x f -=)(在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设振幅、相位、初相为方程sin()(0)y A x b A ωϕ=++>的基本量，则方程3sin(21)+4y x =-的基本量之和为 （ ） A ．4B ．23x +C ．8D ．21x +7．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为 （ ） A ．22 B ．2 C ．23 D ．38．F 1，F 2是双曲线2222:1(,0)x y C a b b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．15C ．2D ．139．设235111111,,a dx b dx c dx x x x ===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是（ ）A ．235a b c <<B ．325b a c<<C ．523c a b <<D ．253a c b<<10．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，12()22xf x x =-，又a 是函数2()ln(1)g x x x=+-的正零点，则(2)f -，()f a ，(1.5)f 的大小关系是 （ ） A ．(1.5)()(2)f f a f <<- B ．(2)(1.5)()f f f a -<< C ．()(1.5)(2)f a f f <<-D ．(1.5)(2)()f f f a <-<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 11.已知在平面直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为：33cos 13sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以OX 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为12．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____________．13．如图，已知||1,||3OA OB ==，OA 与OB 的夹角为56π，点C 是AOB ∆的外接圆上优孤AB 上的一个动点，则OA OC ⋅的最大值为 .14．右图是一个算法的程序框图，最后输出的W =________.15. n ⎡⎤⎣⎦表示不超过n 的最大整数.11233S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，24567810S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，3910111213141521S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么5S = .三、解答题:本大题共6小题，共74分. 16． (本题满分12分)已知θ为向量a 与b 的夹角，||2=a ，||1=b ，关于x 的一元二次方程2x -||a x 0+⋅=a b 有实根. （Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数23()sin cos 3cos 2f θθθθ=+-的最值.17．(本题满分12分)某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知x 与y 均为B 等级的概率为0.18. (Ⅰ) 求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b , 随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望.18． (本题满分12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 的前5项和为30，且2a 为1a 和4a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足*1()n n n b S n N b n +=∈，且11b =，求数列1{}n n b +的前n 项和n T19．(本题满分12分)在三棱柱111ABC A B C -中，已知2AB BC ==，090ABC ∠=，点1A 在底面ABC 的投影为B ，且123A B =．（1）证明：平面11AA B B ⊥平面11BB C C ； （2）设P 为11B C 上一点，当29PA =时，求二面角1A AB P --的正弦值．1313xyA B C A 7 20 5 B 918 6Ca4b20．(本题满分13分)如图，设F是椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，MN为椭圆的长轴，P为椭圆C上一点，且||[2,6]PF∈．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点(8,0)Q-，①求证：对于任意的割线QAB，恒有AFM BFN∠=∠；②求三角形ABF∆面积的最大值．21.（本小题满分14分） 设函数2()ln ()2af x x x a =+--，a R ∈. （1）若函数()f x 在1[, 2]2上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）求函数)(x f 的极值点.（3）设x m =为函数()f x 的极小值点，()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,且120x x m <<<，AB 中点为0(,0)C x ，比较)('x f 与0的大小.答案第I 卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（ ）A ．{}0x x > B ．{}10x x x <->或 C ．{}4x x > D ．{}14x x -≤≤2．已知复数231ii--（i 是虚数单位），它的实部和虚部的和是（ ） A ．4 B ．6 C ．2 D ．3 3．下列命题中是假命题．．．的是 （ ）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m xm x f m R ),0(+∞且在上递减B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ;D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4．已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数y x z -=的最小值为（ ）A ．5B ．2-C ．6D ．75． “1a =”是“函数a x x f -=)(在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设振幅、相位、初相为方程sin()(0)y A x b A ωϕ=++>的基本量，则方程3sin(21)+4y x =-的基本量之和为 （ ） A ．4B ．23x +C ．8D ．21x +7．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为 （ ） A ．22 B ．2 C ．23 D ．38．F 1，F 2是双曲线2222:1(,0)x y C a b b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．15C ．2D ．139．设235111111,,a dx b dx c dx x x x ===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是（ ）A ．235a b c <<B ．325b a c<<C ．523c a b <<D ．253a c b<<10．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，12()22xf x x =-，又a 是函数2()ln(1)g x x x=+-的正零点，则(2)f -，()f a ，(1.5)f 的大小关系是 （ ） A ．(1.5)()(2)f f a f <<- B ．(2)(1.5)()f f f a -<< C ．()(1.5)(2)f a f f <<-D ．(1.5)(2)()f f f a <-<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.11. 已知在平面直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为：33cos 13sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以OX 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为 2412．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____110________．13．如图，已知||1,||3OA OB ==，OA 与OB 的夹角为56π，点C 是AOB ∆的外接圆上优孤AB 上的一个动点，则OA OC ⋅的最大值为 . 1+7214．右图是一个算法的程序框图，最后输出的W =_____22___.15. n ⎡⎤⎣⎦表示不超过n 的最大整数.11233S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，24567810S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，3910111213141521S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么5S = 55 .三、解答题:本大题共6小题，共74分. 16． (本题满分12分)已知θ为向量a 与b 的夹角，||2=a ，||1=b ，关于x 的一元二次方程2x -||a x 0+⋅=a b 有实根. （Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数23()sin cos 3cos 2f θθθθ=+-的最值. ⋅CBAO解：16.（I ） 因为θ为向量a 与b 的夹角，所[0,]θπ∈，由|a |=2，|b |=1,可得2|a |=4，⋅a b =|a ||b |cos θ. ………………3分关于x 的一元二次方程20x x -+⋅=|a |a b 有实根，则有44(12cos )0θ∆=-⋅-≥2|a |a b =,得1cos 2θ≤，所以,3πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.………6分 （II ）23cos 3cos sin )(f 2-+=θθθθ =23)212cos (32sin 21-++θθ =)32sin(2cos 232sin 21πθϑθ+=+ ………………9分 因为π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+37,32πππθ,所以sin(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+23,1)32(πθ 所以，函数的最大值为23，最小值为-1. ………………12分17． (本题满分12分)17.某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知x 与y 均为B 等级的概率为0.18. (Ⅰ) 求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b , 随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望.xyA B C A 7 20 5 B 918 6Ca4b18． (本题满分12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 的前5项和为30，且2a 为1a 和4a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； （2）若数列{}n b 满足*1()n n n b S n N b n +=∈，且11b =，求数列1{}n nb +的前n 项和n T 解：（1） 设公差为(0)d d ≠，则1121115103022()(3)a d a d a d a a d +==⎧⎧⇒⎨⎨=+=+⎩⎩，∴ 2n a n =， (1)n S n n =+； （2）由（1）11n nn b S n b n+==+， 当2n ≥时，32411231234n nn b b b b b n b b b b b -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，∴ !n b n =，又 11b =适合上式∴ !nb n = *()n N ∈， ∴111=(1)!(1)!n n n b n n n +=-++！， ∴ 111111111()()()()11!2!2!3!3!4!!(1)!(1)!nT n n n =-+-+-++-=-++．19．(本题满分12分) 在三棱柱111ABC A B C -中，已知2AB BC ==，090ABC ∠=，点1A 在底面ABC 的投影为B ，且123A B =．（1）证明：平面11AA B B ⊥平面11BB C C ； （2）设P 为11B C 上一点，当29PA =时，求二面角1A AB P --的正弦值．1313（1）证明：∵ 1A B ⊥平面ABC ，BC ⊆平面ABC ∴ 1A B BC ⊥，在ABC ∆中，090ABC ∠=，∴ AB BC ⊥，∴ BC ⊥平面11AA B B ，BC ⊆平面11BB C C ， ∴ 平面11AA B B ⊥平面11BBC C ； （2）法一：传统方法 由（1）知11B C ⊥平面11AA B B ，∴ 1PB ⊥平面11AA B B ，过点1B 作棱AB 的垂线，垂足为O ，连接OP ，则1POB ∠即为二面角1A AB P --的平面角 连接1AB ，在1ABB ∆，由余弦定理可求得128AB =，∵ 29PA =，∴ 11PB =，∴ 13OP =，∴ 113sin 13POB ∠=． 法二：向量方法 如图建立空间直角坐标系B xyz -， (2,0,0)A ，(0,2,0)A ，(0,0,23)A ，由 111(2,0,23)B A BA B =⇒-，ABCA 1B 1C 1PCA 1B 1C 1Pz yxxyOBFMNQ A 由 111(2,2,23)BC BC C =⇒-，由 1112(2,,23)(1)B C B P P λλλ=⇒->，由 292AP λ=⇒=，∴ (2,1,23)P -，设(,)n x y z =，为平面PAB 的法向量，则022300x n BA x y z n BP ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-++=⎪⋅=⎪⎩⎩，取 (0,6,3)n =-， 由（1）知 (0,2,0)m BC ==为平面11AA B B 的法向量， ∴ 126cos ,23939n m <>=-=-，13sin ,13n m <>=．20．(本题满分13分)如图，设F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，MN 为椭圆的长轴，P 为椭圆C 上一点，且||[2,6]PF ∈． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点(8,0)Q -，①求证：对于任意的割线QAB ，恒有AFM BFN ∠=∠； ②求三角形ABF ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）2211612x y +=； （Ⅱ）①易知直线AB 斜率存在．当AB 的斜率为0时，显然0AFM BFN ∠=∠=，满足题意，当AB 的斜率不为0时，设AB l : 8(0)x my m =-≠，11(,)A x y ，22(,)A x y ，由 22228(34)48144011612x my m y my x y =-⎧⎪⇒+-+=⎨+=⎪⎩． ∴ 222222248412(34)24(4)04m m m m ∆=-⨯+=->⇒>，1224834m y y m +=+，12214434y y m =+． 则121222AF BF y y k k x x +=+++1212211212(6)(6)66(6)(6)y y y my y my my my my my -+-=+=----12121226()(6)(6)my y y y my my -+=--， 又1212221444826()2603434mmy y y y m m m -+=⋅-⋅=++，∴0A F B F k k +=，从而AFM BFN ∠=∠．综合可知：对于任意的割线QAB ，恒有AFM BFN ∠=∠．②由①，22121724||||234ABF QBF QAFm S S S QF y y m ∆∆∆-=-=⋅-=+， 2222724727233163(4)162316344m m m m -==≤=-+⋅-+-，当且仅当2216344m m -=-，即2213m =±（此时适合于0>∆的条件）时取等号． ∴ 三角形ABF ∆面积的最大值是33．换元法：令24(0)m t t -=>，则 2227247272723316343162483m t m t t t-==≤=+++．21.（本小题满分14分）设函数2()ln ()2af x x x a =+--，a R ∈. （1）若函数()f x 在1[, 2]2上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）求函数)(x f 的极值点.（3）设x m =为函数()f x 的极小值点，()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,且120x x m <<<，AB 中点为0(,0)C x ，比较)('x f 与0的大小.解：（1）21221()2()x ax f x x a x x -+'=+-=依题意得，在区间1[, 2]2上不等式22210x ax -+≥恒成立. 又因为0x >，所以12(2)a x x≤+.所以222a ≤，2a ≤所以实数a 的取值范围是(, 2]-∞.（2）2221()x ax f x x-+'=，令2()221h x x ax =-+①显然，当0a ≤时，在(0,)+∞上()0h x >恒成立，这时()0f x '>，此时，函数()f x 没有极值点； ……………………………………6分②当0a >时，（ⅰ）当0∆≤，即02a <≤时，在(0,)+∞上()0h x ≥恒成立，这时()0f x '≥，此时，函数()f x 没有极值点；（ⅱ）当0∆>，即2a >时，易知，当222222a a a a x --+-<<时，()0h x <，这时()0f x '<； 当2202a a x --<<或222a a x +->时，()0h x >，这时()0f x '>；所以，当2a >时，222a a x --=是函数()f x 的极大值点；222a a x +-=是函数()f x 的极小值点.综上，当2a ≤时，函数()f x 没有极值点；当2a >时，222a a x --=是函数()f x 的极大值点；222a a x +-=是函数()f x 的极小值点. ………9分 （3）由已知得2211122222()ln ()02()ln ()02a f x x x a a f x x x a ⎧=+--=⎪⎪⎨⎪=+--=⎪⎩两式相减，得：()112122ln ()2x x x x x a x +-+-……① 由'1()2()f x x a x =+-，得'0001()2()f x x a x =+-…………② 得①代入②，得'001201212()2()(2)f x x a x x a x x x =+-=++-+ =221222*********(1)211ln ln ()()1x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-=-+--⎢⎥+⎢⎥⎣⎦令12(0,1),x t x =∈且2222(1)()ln (01),()0,1(1)t t t t t t t t t ϕϕ--'=-<<=-<++()t ϕ∴在(0,1)上递减，()(1)0t ϕϕ∴>=120,()0x x f x '<∴<。
2014江西高考真题数学理(含解析)
的中点，则椭圆 C 的离心率为_______ 三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 π π 16． （本题满分 12 分）已知函数 f ( x) sin( x ) a cos( x 2 ) ，其中 a R, ( , ) 2 2 π （1）当 a 2, 时，求 f ( x ) 在区间 [0, π ] 上的最大值与最小值； 4 π （2）若 f ( ) 0, f ( π) 1 ，求 a, 的值． 2
4.在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, ，若 c 2 (a b)2 6 ， C （ ） A．3 B．
π ，则 △ABC 的面积 3
9 3 2
C．
3 3 2
D． 3 3
5.一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（
）
俯视
A
B
C
D
左（侧）视
1
0
f ( x )dx, 则 f ( x )dx （
0
）
1 3
C．
1 3
D．1
9．在平面直角坐标系中， A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线
2 x y 4 0 相切，则圆 C 面积的最小值为（
A．
） D．
4 5
B．
3 4
C． (6 2 5)
cos _______
1 ，向量 a 3e1 2e1 与 b 3e1 e2 的夹角为 ，则 3
1 x2 y 2 15． 过点 M (1,1) 作斜率 为的直线与椭圆 C ： 2 2 1(a b 0) 相交于 A, B ， 若 M 是线段 AB 2 a b
江西省南昌市教研室命制2014届高三交流卷(六)数学(理)Word版含答案
一、选择题（每小题5分，共50分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1、设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )． A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)2、已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、执行如图所示的算法框图，则输出的λ是 ( )．A ．－4B ．－2C ．0D ．－2或04、已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是 ( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] 5、已知命题p ：“任意x ∈[1，2]都有x 2≥a ”．命题q ：“存在x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为 ( )．A ．(－∞，－2]B ．(－2，1)C ．(－∞，－2]∪{1}D ．[1，＋∞) 6、如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是 ( )．A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π7、过双曲线x 2a 2－y 25－a 2＝1(a >0)的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 ( )．A ．(2，5)B ．(5，10)C ．(1，2)D ． (5,52)8、如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0<x <1)，截面下面部分的体积为V (x )，则函数y ＝V (x )的图像大致为( )．9、在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中，使相邻两数都互质的排列方式共有( )．A ．576种B ．720种C ．864种D ．1 152种10、给出定义：若]21,21(+-∈m m x （其中m 为整数），则m 叫做实数x 的“亲密的整数”，记作m x =}{，在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =在)1,0(∈x 上是增函数；②函数)(x f y =的图象关于直线)(2Z k kx ∈=对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期为1；④当]2,0(∈x 时，函数x x f x g ln )()(-=有两个零点。
2014届江西省南昌市教研室命制高三交流卷(一)理科综合物理试卷
难度：0.64 组卷：1009 题型：单选题 更新：2014/5/13
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18 . 如图所示，质量为M的平板小车静止在光滑的水平地面上，小车左端放一个质量为m的木块，小车的右端固定一个轻质弹簧．现给木 块一个水平向右的瞬时冲量I，木块便沿小车向右滑行，在与弹簧作用后又沿原路返回，并且恰好能到达小车的左端．试求：
用的总时间。（保留两位有效数字）
难度：0.64 组卷：597 题型：解答题 更新：2014/5/13
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12 . 如图所示，半径为R的半圆型光滑绝缘轨道固定在水平面上，一带电量为＋q，质量为m的小球以极微小的速度从轨道最高点A释放， 恰在B点进入有界电场和磁场的复合场（电场未画出），并能沿直线运动到地面上的C点。（重力加速度为g）求：
A．
B．
C．Biblioteka D．难度：0.64 组卷：1712 题型：单选题 更新：2014/5/13
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2 . 如图所示，有一光滑斜面倾角为θ，固定在水平面上，竖直挡板与斜面夹住一个质量为m光滑球，现使挡板以恒定的加速度a向右运 动，则小球的加速度为（ ）
A．a
B．acos θ
难度：0.64 组卷：1240 题型：单选题 更新：2014/5/13
难度：0.85 组卷：277 题型：单选题 更新：2014/5/13
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16 . 如图所示，厚度为d、折射率为n的大玻璃板的下表面，紧贴着一个半径为r的圆形发光面．为了从玻璃板的上方看不见圆形发光面， 可在玻璃板的上表面贴一块纸片，所贴纸片的最小面积应是多大？
难度：0.64 组卷：990 题型：解答题 更新：2014/5/13
2014年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)
2014年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|x2-x-2≤0}，B={x|y=ln(1-x)}，则A∩B=()A.(0，2]B.(-∞，-1)∪(2，+∞)C.[-1，1)D.(-1，0)∪(0，2)【答案】C【解析】试题分析：解不等式x2-x-2≤0可得-1≤x≤2，根据对数函数的定义域可得函数y=ln(1-x)的解析式有意义时，1-x＞0，x＜1，代入集合交集运算公式，可得答案．解x2-x-2≤0可得-1≤x≤2，∴集合A={x|x2-x-2≤0}=[-1，2]若使函数y=ln(1-x)的解析式有意义则1-x＞0，即x＜1故B={x|y=ln(1-x)}=(-∞，1)∴A∩B=[-1，1)，故选C．2.若(sinx-acosx)dx=2，则实数a等于()A.-1B.1C.-D.【答案】A【解析】试题分析：根据定积分的定义，找出三角函数的原函数进行代入计算，根据等式(sinx-acosx)dx=2，列出关于a的方程，从而求解．∵(sinx-acosx)dx=2，∴==(-cosx)-(asinx)=0-(-1)-a=2，∴a=-1，故选A．3.设，为向量，则|•|=||||是“∥”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：利用向量的数量积公式得到•=，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．∵•=，若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选C．4.下列命题：①若f(x)=2cos2-1，则f(x+π)=f(x)对x∈R恒成立；②要得到函数y=sin(-)的图象，只需将y=sin的图象向右平移个单位；③若锐角α，β满足cosα＞sinβ，则α+β＜．其中是真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】试题分析：通过函数函数的解析式求出函数的周期，判断①的正误；利用三角函数图象的平移判断②的正误；利用三角函数的单调性判断③的正误；对于①，函数f(x+π)=f(x)，∴函数的周期为：π，f(x)=2cos2-1=cosx，函数的周期是2π，∴①不正确；对于②，将y=sin的图象向右平移个单位，得到函数y=sin(-)的图象，∴②不正确；对于③，锐角α，β满足cosα＞sinβ，∴sin()＞sinβ，可得α+β＜，∴③正确；正确命题只有一个．故选：B．5.已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆+=1(a＞b＞0)上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF2F1=2，则椭圆的离心率e=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由已知条件推导出|PF2|=，则|PF1|=，由勾股定理得到=4c2，由此能求出椭圆的离心率．∵点P是以F1，F2为焦点的椭圆+=1(a＞b＞0)上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF2F1=2，∴=2，设|PF2|=x，则|PF1|=2x，由椭圆定义知x+2x=2a，∴x=，∴|PF2|=，则|PF1|=，由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2，∴=4c2，解得c=a，∴e==．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，另一条直角边是，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是，表示出体积，根据不等式基本定理，得到最值．由三视图知，几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，∴另一条直角边是，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是，∴几何体的体积是V=∵在侧面三角形上有a2-1+b2-1=6，∴V=，当且仅当侧面的三角形是一个等腰直角三角形，故选D．7.若，则log2(a1+a3+…+a11)等于()A.27B.28C.7D.8【答案】C【解析】试题分析：根据二项展开式，进行赋值，令x=-1，-3，从而可求a1+a3+…+a11的值，进而可得结论．由题意，令x=-1，则①令x=-3，则②①-②可得2(a1+a3+…+a11)=28∴a1+a3+…+a11=27∴log2(a1+a3+…+a11)=log227=7故选C．8.(2图14•南昌一模)在三棱锥C-A她D中(如图)，△A她D与△C她D是全等d等腰直角三角形，O为斜边她D d中点，A她=4，如面角A-她D-C d大小为6图°，并给出下面结论：①AC⊥她D；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=；⑤四面体A她CD d外接球面积为32π．其中真命题是( )A.②③④B.①③④C.①④⑤D.①③⑤【答案】D【解析】试题分析：根据等腰直角三角形的性质得OA⊥BD，OC⊥BD，且OC=OA=OB=OD=BD，再由线面垂直的判定定理判断出①、②、③的正确性；由余弦定理求出cos∠ADC的值判断出④正确性；再由条件求出四面体ABCD的外接球的半径，求出它的表面积判断出⑤正确性．∵△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，∴OA⊥BD，OC⊥BD，且OC=OA=它BD，又∵0A∩OC=O，∴BD⊥平面AOC，则AC⊥BD，即①正确；由9面角A-BD-C的大小为60°得，∠AOC=60°，∵OC=OA，∴△AOC为正三角形，即③正确；假设AD⊥CO，由OC⊥BD，且AD∩BD=D得，OC⊥平面ABD，∴0A⊥OC，这与∠AOC=60°矛盾，故②不正确；由AB=4得，AD=CD=4，且AC=OC=OA=它它，∴cos∠ADC=它它它它=它它它它它它=，故④不正确；由OA=OB=OC=OD得，四面体ABCD的外接球的球心是O，且半径r=它它，∴四面体ABCD的外接球的面积为3它π，故⑤正确，故选D．9.若数列{a n}，{b n}的通项公式分别是a n=(-1)n+2013•a，b n=2+，且a n＜b n对任意n∈N*恒成立，则常数a的取值范围是( )A.(-2，1)B.[-2，1)C.(-2，1]D.[-2，1]【答案】B【解析】试题分析：讨论n取奇数和偶数时，利用不等式恒成立，即可确定a的取值范围．∵a n=(-1)n+2013•a，b n=2+，且a n＜b n对任意n∈N*恒成立，∴(-1)n+2013•a＜2+，若n为偶数，则不等式等价为-a＜2+，即-a≤2，即a≥-2．若n为奇数，则不等式等价为a＜2-，即a＜1，综上：-2≤a＜1，即常数a的取值范围是[-2，1)，故选：B．10.已知定义在区间[-3，3]上的函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0，对于函数y=f(x)的图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))都有(x1-x2)•[f(x1)-f(x2)]＜0．若实数a，b满足f(a2-2a)+f(2b-b2)≤0，则点(a，b)所在区域的面积为( )A.8B.4C.2D.1【答案】A【解析】试题分析：根据条件确定函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，然后利用线性规划的知识作出不等式组对应的平面区域，即可得到结论．∵函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0，∴f(-x)=-f(x)，即函数f(x)是奇函数．由(x1-x2)•[f(x1)-f(x2)]＜0，则函数f(x)在区间[-3，3]上是减函数．则不等式f(a2-2a)+f(2b-b2)≤0等价为f(a2-2a)≤-f(2b-b2)=f(-2b+b2)，即，∴，作出不等式组对应的平面区域如图：则A(3，3)，B(3，-1)，E(1，1)，则对应区域的面积为2×，故选：A．11.已知直线l的参数方程是(t是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=-6cosθ，则圆心C到直线l的距离为( )A.2B.C.2D.3【答案】B【解析】试题分析：由直线l的参数方程消去参数t可得直线l的普通方程，由圆C的极坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．由直线l的参数方程是(t是参数)，消去参数t可得直线l的普通方程：x-y+1=0．由圆C的极坐标方程ρ=-6cosθ，可得ρ2=-6ρcosθ，∴x2+y2=-6x，化为(x+3)2+y2=9，可得圆心C(-3，0)．∴圆心C到直线l的距离d==．故选：B．12.已知函数f(x)=|2x-a|+a．若不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，则实数a的值为( )A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】试题分析：由不等式f(x)≤6可得，解得a-3≤x≤3．再根据不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，可得a-3=-2，从而求得a的值．∵函数f(x)=|2x-a|+a，故有不等式f(x)≤6可得|2x-a|≤6-a，∴，解得a-3≤x≤3．再根据不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，可得a-3=-2，∴a=1，故选：A．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.复数的模为．(其中i是虚数单位)【答案】【解析】试题分析：利用两个复数代数形式的乘除法，把复数化到最简形式，依据模的定义求出z的模．∵=，∴复数的模是故答案为：14.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为．【答案】【解析】试题分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x-2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x-2的距离即为所求．点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x-2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小．直线y=x-2的斜率等于1，令y=x2-lnx的导数y′=2x-=1，x=1，或x=-(舍去)，故曲线y=x2-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标(1，1)，点(1，1)到直线y=x-2的距离等于，故点P到直线y=x-2的最小距离为，故答案为．15.(它514•南昌一模)在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图o图1所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i(1≤i≤4)，在o图它所示的程序框图中，是这4个数据中的平均数，则输出的v的值为．【答案】5【解析】试题分析：算法的功能是求数据78、80、82、84的方差，利用方差公式计算可得答案．由程序框图知：算法的功能是求数据手8、80、82、81的方差，∵=手=81，∴v=[(手8-81)2+(80-81)2+(82-81)2+(81-81)2]==5．故答案为：5．16.从装有n+1个球(其中n个白球，1个黑球)的口袋中取出m个球(0＜m≤n，m，n∈N)，共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出m-1个白球，1个黑球，共有，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：= ．(1≤k＜m≤n，k，m，m∈N)．【答案】C n+k m【解析】试题分析：从装有n+1个球(其中n个白球，1个黑球)的口袋中取出m个球(0＜m≤n，m，n∈N)，共有C n+1m种取法．在这C n+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，另一类是，取出1个黑球，m-1个白球，则C n m+C n m-1=C n+1m根据上述思想，在式子：C n m+C k1•C n m-1+C k2•C n m-2+…+C k k•C n m-k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案．在C n m+C k1•C n m-1+C k2•C n m-2+…+C k k•C n m-k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数C n+k m故选C n+k m三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.已知向量=(，sinx+cosx)与(1，y)共线，设函数y=f(x)．(1)求函数f(x)的周期及最大值；(2)已知△ABC中的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f(A-)=，且a=7，sin B+sin C=，求△ABC的面积．【答案】(1)∵向量=(，sinx+cosx)与(1，y)共线，∴…则y=f(x)=2sin(x+)，∴f(x)的周期T=2π，…当时，f max(x)=2…(2)∵，∴，∴…∵，∴．由正弦定理，得得，，即，∴b+c=13…由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得a2=(b+c)2-2bc-2bccos A，即49=169-3bc，∴bc=40…∴…【解析】(1)向量向量平行以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，通过三角函数的周期公式求解函数f(x)的周期及最大值；(2)通过f(A-)=，求出A，利用a=7，以及正弦定理化简sin B+sin C=，求出b+c，利用余弦定理推出bc关系，求出bc，然后求△ABC的面积．18.为了了解某校今年高三男生的身体状况，随机抽查了部分男生，将测得的他们的体重(单位：千克)数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．(1)求该校随机抽查的部分男生的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市高三男生中任选三人，设X 表示体重超过55千克的学生人数，求X的数学期望．【答案】(1)设报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则，解得p1，=0.125，p2=0.25，p3=0.375…∵p2=0.25=，∴n=48…(2)由(1)可得，一个男生体重超过55公斤的概率为p=p3+(0.0375+0.0125)×5=，…∴X～(3，)，∴p(X=k)=，k=0，1，2，3…则EX=0×+1×+2×+3×=…【解析】(1)设报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，根据前3个小组的频率之比为1：2：3和所求频率和为1建立方程组，解之即可求出第二组频率，然后根进行求解即可；据样本容量等于频数频率(2)由(1)可得，一个男生体重超过55公斤的概率为p=p3+(0.0375+0.0125)×5=，所以X～(3，)，从而可求X的数学期望．19.(t014•南昌一模)已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且S n=(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(t)设b n=，T n=b1+b t+…+b n，求T n．【答案】(1)S n=(n∈N*)，当n=1时，，∴a1=1，当n≥2时，由S n=，得&n上sp;①取n=n-1，得&n上sp;②①-②得：，∴(a n+a n-1)(a n-a n-1-1)=0，∵a n+a n-1＞0，∴a n-a n-1=1，n≥2，∴数列{a n}是等差数列，则a n=n；(2)由S n=，a n=n，∴，则上，∴，，两式作差得：∴=，∴．人人人【解析】(1)在递推式中取n=1求得a1，然后取n=n-1得另一递推式，作差后整理得到数列{a n}为等差数列，则数列的通项公式可求；(2)把a n代入S n=，求得S n后代入b n=，然后利用错位相减法求得T n．20.在五边形ABCDE中(图一)，BD是AC的垂直平分线，O为垂足．ED∥AC，AE∥BD，AB⊥BC，P为AB的中点．沿对角线AC将四边形ACDE折起，使平面ACDE⊥平面ABC(图右)．(1)求证：PE∥平面DBC；(2)当AB=AE时，求直线DA与平面DBC所成角的正弦值．【答案】(1)证明：设M为BC中点，连PM，DM 依题意，∵P、M分别为AB、BC的中点，∴∴，…(多分)∴四边形PMDE为平行四边形，∴EP∥DM又DM⊂平面DBC，PE⊄平面DBC，∴PE∥平面DBC…(2)以点O为原点，直线OA、OB、OD所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设|AE|=2，则A(2，十，十)、B(十，2，十)C(-2，十，十)、D(十，十，2)、E(2，十，2)、P(1，1，十)…(小分)∴十、十、十…设平面PBC的法向量为，则由十十，得十十，…令x=1，则y=z=-1，∴，∴cos＜，＞==小多，∴直线DA与平面DBC所成角的正弦值为小多．…【解析】(1)证明四边形PMDE为平行四边形，可得EP∥DM，利用线面平行的判定定理，可得PE∥平面DBC；(2)建立空间直角坐标系，设|AE|=2，则AB=2，求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线DA与平面DBC所成角的正弦值．21.已知点P(1，-)在椭圆C：+=1(a＞b＞0)上，过椭圆C的右焦点F2(1，0)的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，W=．试判断W是否为定值？若W为定值，请求出这个定值；若W不是定值，请说明理由．【答案】(1)椭圆C的右焦点为(1，0)，∴c=1，椭圆C的左焦点为(-1，0)可得，解得a=2，∴b2=a2-c2=4-1=3，∴椭圆C的标准方程为…(2)①当直线斜率不存在时，|AB|2=(2b)2=4b2，，∴．…②当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)．直线y=k(x-1)代入椭圆方程，消去y可得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0，∴，，∴|MN|=•|x1-x2|=．…由直线y=kx代入椭圆方程，消去y，并整理得：x2=，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则|AB|=•|x3-x4|=4，∴综上所述，W为定值4．…【解析】(1)利用椭圆的定义求出a=2，再求出b，由此能求出椭圆的标准方程．(2)分类讨论，当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由直线y=k(x-1)代入椭圆方程，消去y可得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0，再由韦达定理，求出|MN|，同理求出|AB|，即可得出结论．22.已知函数f(x)=ax-bxlnx，其图象经过点(1，1)，且在点(e，f(e))处的切线斜率为3(e 为自然对数的底数)．(1)求实数a、b的值；(2)若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值；(3)证明：2ln2+3ln3+…+nlnn＞(n-1)2(n∈N*，n＞1)．【答案】(1)∵f(1)=1，∴a=1，∵f(x)=x-bxlnx，∴f'(x)=1-b(1+lnx)，依题意f'(e)=1-b(1+lne)=3，∴b=-1，(2)由(1)知：f(x)=x+xlnx当x＞1时，设，则′设h(x)=x-2-lnx，则′，h(x)在(1，+∞)上是增函数∵h(3)=1-ln3＜0，h(4)=2-ln4＞0，∴存在x0∈(3，4)，使h(x0)=0，当x∈(1，x0)时，h(x)＜0，g'(x)＜0，即g(x)在(1，x0)上为减函数；同理g(x)在(x0，+∞)上为增函数，从而g(x)的最小值为，∴k＜x0∈(3，4)，k的最大值为3，(3)由(2)知，当x＞1时，，∴f(x)＞3x-3，即x+xlnx＞3x-3，xlnx＞2x-3∴2ln2+3ln3+…+nlnn＞(2×2-3)+(2×3-3)+…+(2n-3)=2(2+3+…+n)-3(n-1)==n2-2n+1=(n-1)2．【解析】(1)图象经过点(1，1)，且在点(e，f(e))处的切线斜率为3，求出f(x)导函数，然后代入求值；(2)求出f(x)导函数后，构造设h(x)=x-2-lnx，判断h(x)的单调性，求出最值；(3)要证明：2ln2+3ln3+…+nlnn＞(n-1)2(n∈N*，n＞1)，只要求出x+xlnx＞3x-3，问题就能解决．。
2014年江西高考理科数学试卷(带详解)
2014·卷(理科数学)1.[2014·卷] z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 【测量目标】复数的基本运算【考查方式】给出共轭复数和复数的运算，求出z 【参考答案】D 【难易程度】容易【试题解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2a ＝2，－2b ＝2，得a ＝1，b ＝－1，故z ＝1－i. 2.[2014·卷] 函数f (x )＝ln(2x －x )的定义域为( )A.(0，1]B.[0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 【测量目标】定义域【考查方式】根据对数函数的性质，求其定义域 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由2x －x >0，得x >1或x <0.3.[2014·卷] 已知函数f (x )＝||5x ，g (x )＝2ax －x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 【测量目标】复合函数【考查方式】给出两个函数，求其复合函数 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】由g (1)＝a －1，由()1f g ⎡⎤⎣⎦＝1，得|1|5a －＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.4.[2014·卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若22()c a b ＝－＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3B.2 C.2D. 【测量目标】余弦定理，面积【考查方式】先利用余弦定理求角，求面积 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由余弦定理得， 222cos =2a b c C ab +-＝262ab ab -＝12，所以ab ＝6，所以ABC S V ＝1sin 2ab C ＝2. 5.[2014·卷] 一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )第5题图LLJ73-77A B C D 【测量目标】三视图【考查方式】给出实物图，判断俯视图 【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】易知该几何体的俯视图为选项B 中的图形.6.[2014·卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )成绩 性别 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女 10 22 32 总计 16 3652视力 性别 好 差 总计 男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 3652 表3 智商 性别 偏高 正常 总计 男 8 12 20 女 8 24 32 总计 16 3652阅读量 性别丰富 不丰 富 总计 男 14 6 20 女 2 30 32 总计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量 【测量目标】卡方分布的应用【考查方式】直接给出表格，观察最大变量与性别的关系 【参考答案】D 【难易程度】中等()222526221410528⨯⨯-⨯⨯()()2222521651612521671636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222352248812521281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222452143026526861636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯.分析判断24χ最大，所以选择D. 7.[2014·卷] 阅读如程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )第7题图 LLJ78A.7B.9C.10D.11【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案. 【参考答案】B 【难易程度】中等【试题解析】当1i =时，10lglg33S =+=->-1,123i =+=,3lg3lg lg55S =-+=->-1, 325i =+=,5lg 5lg lg 77S =-+=->-1，527i =+=,7lg 7lg lg 99S =-+=->-1 729i =+=,9lg9lg lg1111S =-+=-<-1所以输出9i =.8.[2014·卷] 若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.13-C.13D.1 【测量目标】定积分【考查方式】给出函数的表达式，求积分 【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】1 ()0f x dx ⎰＝()211200x f x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰＝130112()03x f x dx x ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰＝112()03f x dx +⎰,得1()0f x dx ⎰＝13－. 9.[2014·卷] 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4A.4π 5 B.3π4 C.(625)π- D.5π4【测量目标】直线与圆的位置关系，面积和最值 【考查方式】已知直线与圆的位置关系，求圆的面积 【参考答案】A 【难易程度】中等【试题解析】由题意知，圆C 必过点O (0，0)，故要使圆C 的面积最小，则点O 到直线l 的距离为圆C 的直径，即2=5r ,所以=5r ，所以4=π5S10.[2014·卷] 如图所示，在长方体ABCD 1111A B C D 中，AB ＝11，AD ＝7，1AA ＝12.一质点从顶点A 射向点E (4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为(234)i L i ＝，，，1L ＝AE ，将线段1234L L L L ，，，竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )第10题图LLJ79A B C D 第10题图 LLJ80-83【测量目标】投影，直线与面的关系【考查方式】利用光的反射原理求其长度并判断图形 【参考答案】C 【难易程度】中等【试题解析】由题意，1L ＝AE ＝13.易知点E 在底面ABCD 上的投影为F (4，3，0)，根据光的反射原理知，直线AE 和从点E 射向点1E 的直线1E E 关于EF 对称，因此1E (8，6，0)，且21L L ＝＝13.此时，直线1EE 和从点1E 射出所得的直线12E E 关于过点1E (8，6，0)和底面ABCD 垂直的直线对称，得2E ' (12，9，12).因为12>11，9>7，所以这次射出的点应在面11CDD C 上，设为2E ，求得31213==3L E E ，321L L L <＝最后一次，从点2E 射出，落在平面1111A B C D 上，求得4326>3L L =,故选C.【测量目标】不等式【考查方式】利用不等式的性质，求最值 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】易知|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2, 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立.故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.[2014·卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.1cos sin ρθθ=+，π02θ剟 B.1cos sin ρθθ=+，π04θ剟 C.ρ=cos sin θθ+，π02θ剟 D.ρ=cos sin θθ+，π04θ剟 【测量目标】极坐标方程【考查方式】直接把直线方程转化成极坐标方程 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】依题意，方程y ＝1－x 的极坐标方程为()cos sin ρθθ+＝1，整理得1cos sin ρθθ=+.因为0≤x≤1，所以 01y剟，结合图形可知π02θ剟. 12.[2014·卷] 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 【测量目标】超几何分布【考查方式】根据超几何分布的表达式就可以求出概率 【参考答案】12【难易程度】容易【试题解析】由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝1337410C 12C C = 13.[2014·卷] 若曲线y ＝ex－上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【测量目标】直线与曲线的位置关系【考查方式】根据直线与曲线的位置关系，求其点的坐标 【参考答案】(－ln 2，2) 【难易程度】容易【试题解析】设点P 的坐标为00()x y ，，exy '－＝－又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以0ex －－＝－2，可得0ln 2x ＝－，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2).14.[2014·卷] 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos =α，向量a ＝3122e e －与b ＝123e e －的夹角为【测量目标】平面向量的夹角【考查方式】根据平面向量求其夹角的余弦值【参考答案】3【难易程度】容易【试题解析】cos = ||||ab a b β2215.[2014·卷] 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆22:22=1(>>0)x y C a b a b +相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________.【测量目标】直线与椭圆的位置关系，离心率【考查方式】利用交点，联立方程找出关系，求其离心率 【参考答案】=2e 【难易程度】中等【试题解析】设点A (11x y ，)，点B (22x y ，)，点M 是线段AB 的中点，所以12x x ＋＝2，12y y ＋＝2，且2211222222221,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式作差可得22122x x a -＝22122()y y b --，即12122()()x x x x a +-＝12122()()y y y y b +--，所以1212y y x x --=y 1－y 2x 1－x 2＝22b a -，即AB k ＝22b a -.由题意可知，直线AB 的斜率为12-，所以22b a -＝12-，即a b .又222a b c ＝＋，所以c ＝b ，2e =. 16. [2014·卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a ，π4θ=时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若π2f ⎛⎫⎪⎝⎭＝0，(π)f ＝1，求a ，θ的值.【测量目标】三角函数最值，参数【考查方式】先转化函数解析式，在利用给定的定义域求其最值，在求参数的值 【试题解析】(1)f (x )＝sin π4x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋2cos π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2(sin x ＋cos x )sin x＝2cos x－2sin x ＝sin π4x ⎛⎫-⎪⎝⎭.因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－ 1.(2)由()π02π1ff ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1.a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩又ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，知cos 0θ≠，所以12sin 0(2sin 1)sin 1.a a a θθθ-=⎧⎨--=⎩ 解得1π6a θ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩.17.[2014·卷] 已知首项都是1的两个数列{}n a ，{}n b (*0n b n ≠∈N ，)满足1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0.(1)令nn na cb =，求数列{}n c 的通项公式； (2)若13n n b －＝，求数列{}n a 的前n 项和.n S【难易程度】容易【测量目标】等差数列，错位相减【考查方式】先求出等差数列，再利用错位相减求和【试题解析】(1)因为1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0，*0)n b n ≠∈N ，(，所以11n n a b ++－nna b ＝2，即1n n c c ＋－＝2，所以数列{}n c 是以1c ＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故21.n c n ＝－(2)由13n n b －＝，知1(21)3n n a n －＝－，于是数列{}n a 的前n 项和n S ＝0121133353(21)3n n ⨯⨯⨯⋯⨯－＋＋＋＋－，3n S ＝1211333(23)3(21)3n n n n ⨯⨯⨯⨯L －＋＋＋－＋－，将两式相减得－2n S ＝1＋1212(333)(2n n ⨯L －＋＋＋－－1)32(22)3n n n ⨯⨯＝－－－，所以(1)31.n n S n ＝－＋18. [2014·卷] 已知函数f (x )＝()2x bx b ++∈R . (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，求b 的取值围.【测量目标】极值，单调性、函数的导数【考查方式】先利用求导求极值，再利用单调性求参数的取值围 【试题解析】(1)当b ＝4时，f ′(x )＝12x-，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.所以当x ∈ (－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈ (－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2) f ′(x )＝12x -，易知当x ∈10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭时，<012x -，依题意当x ∈10,3⎛⎫⎪⎝⎭时，有5x ＋(3b －2)… 0，从而53＋(3b －2)… 0，得1.9b …所以b 的取值围为1,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.19.[2014·卷]如图，四棱锥P ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)求证：AB ⊥PD .(2)若∠BPC ＝90︒，PB ＝2，PC ＝2，问AB 为何值时，四棱锥P ABCD 的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值.第19题图LLJ84【难易程度】中等【测量目标】线面、面面、线线位置关系，夹角的余弦值，法向量的应用【考查方式】先由线面位置关系来证线线位置关系，在建立直角坐标系利用向量求夹角的余弦值【试题解析】(1)证明：因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PD .(2)过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG .故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ，BC ⊥PG .在Rt △BPC 中，PG ＝23，GC 26，BG ＝6.设AB ＝m ，则OP ＝22PG OG -＝243m -，故四棱锥P -ABCD 的体积为2214=686333mV m m m -=-.因为2248686m m m m -=-2228633m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭m ＝63AB ＝63P -ABCD 的体积最大.此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O (0，0，0)，B 66⎫⎪⎪⎝⎭， C 626⎫⎪⎪⎝⎭，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，263，0，P 6⎛ ⎝⎭，故BP u u u r ＝6266⎝⎭，BC uuu r ＝(0，6，0)， 6CD ⎛⎫=u u u r .设平面BPC 的法向量(,,1),n x y =u u r 则由n PC ⊥u u r u u u r ,n BC ⊥u u r u u u r 得62660y ⎧+-=⎪，解得1,0,x y ==1(1,0,1),n =u u r 同理可求出平面DPC 的法向量21(0,,1),2n =u ur ，从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为1212110cos .5||||1214n n n n θ⋅===⋅⋅+u u r u u r u u r u u r第19题图LLJ84b20. [2014·卷] 如图，已知双曲线()22:210x C y a a-=>的右焦点F ,点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF OB ⊥，BF OA P (O 为坐标原点).(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点()()000,0P x y y ≠的直线0:021x y l y y a -=与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值第20题图 LLJ85【难易程度】较难【测量目标】双曲线方程和离心率、焦点，直线与曲线的位置关系【考查方式】先求出双曲线方程，再利用直线与曲线的位置关系求第二问【试题解析】(1)设(,0)F c ，因为1b =，所以21c a =+直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得(,)22c c B a -,又直线OA 的方程为1y x a =，则3(,),.AB c A c k a a =又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a-=-，解得23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=(2)由(1)知3a =则直线l 的方程为0001(0)3x x y y y -=≠，即0033x x y y -=,因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y -,直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y -,则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+-,因为是C 上一点，则2200 1.3x y -=，代入上式得2220022224(23)4(23)4x x MF --===，所求定值为23MF =21.[2014·卷] 随机将()1,2,,2,2n n n *⋅⋅⋅∈N …这2n 个连续正整数分成A ,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2112,a a b b ξη=-=-(1)当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()P C ；(3)对(2)中的事件CC 的对立事件，判断()P C 和. 【难易程度】难【测量目标】分布列和数学期望，概率，数学归纳法【考查方式】先求出分布列和数学期望，在求出其概率，最后在利用数学归纳法【试题解析】(1)当3n =时，ξ所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A ,B 两组，不同的分组方法共有3620C =种，所以ξ的分布列为:133172345.5101052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=(2)ξ和η恰好相等的所有可能值为1,,1,,2 2.n n n n -+-L 又ξ和η恰好相等且等于1n -时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相42()63P C ==;当3n …时,()(),P C P C <理由如下：时，①式左边124(2C )16,=+=①式右.那么，当1n m =+时，(2)!4(22)!(1)(2)(22)!(41)!!(1)!(1)!(1)!(1)!m m m m m m m m m m m m ⨯-+--=+=--++.即当1n m =+时①式也成立,综合1o 2o 得，对于3n …的所有正整数，都有()()P C P C <成立.。
江西省南昌市教研室命制2014届高三交流卷(二)数学(理)试题
江西省南昌市教研室命制 2014届高三交流卷（二）数学（理）试题第I 卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（ ）A ．{}0x x >B ．{}10x x x <->或C ．{}4x x >D ．{}14x x -≤≤2．已知复数231ii--（i 是虚数单位），它的实部和虚部的和是（ ） A ．4 B ．6 C ．2 D ．3 3．下列命题中是假命题．．．的是（ ）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m xm x f m R ),0(+∞且在上递减B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ;D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4．已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数y x z-=的最小值为（ ）A ．5B ．2-C ．6D ．7 5． “1a =”是“函数a x x f -=)(在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设振幅、相位、初相为方程sin()(0)y A x b A ωϕ=++>的基本量，则方程3sin(21)+4y x =-的基本量之和为 （ ） A ．4B ．23x +C ．8D ．21x +7．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为 （ ）A ．BC ．D 8．F 1，F 2是双曲线2222:1(,0)x y C a b b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ）AB C ．2D9．设235111111,,a dx b dx c dx x x x ===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是（ ）A ．235a b c <<B ．325b a c<<C ．523c a b <<D ．253a c b<<10．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，12()22xf x x =-，又a 是函数2()ln(1)g x x x=+-的正零点，则(2)f -，()f a ，(1.5)f 的大小关系是 （ ）A ．(1.5)()(2)f f a f <<-B ．(2)(1.5)()f f f a -<<C ．()(1.5)(2)f a f f <<-D ．(1.5)(2)()f f f a <-< 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.11.已知在平面直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以OX 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为12．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____________．13．如图，已知||1,||3OA OB ==，OA 与OB 的夹角为56π，点C 是AOB ∆的外接圆上优孤AB 上的一个动点，则OA OC ⋅的最大值为 .14．右图是一个算法的程序框图，最后输出的W =________.15. .13S =++=，210S =++++=，321S =++++++=，那么5S = .三、解答题:本大题共6小题，共74分. 16． (本题满分12分)已知θ为向量a 与b 的夹角，||2=a ，||1=b ，关于x 的一元二次方程2x -||a x 0+⋅=a b 有实根. （Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数2()sin cos f θθθθ=的最值.17．(本题满分12分)某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知x 与y 均为B 等级的概率为0.18. (Ⅰ) 求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b , 随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望.18． (本题满分12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 的前5项和为30，且2a 为1a 和4a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； （2）若数列{}n b 满足*1()n n n b S n N b n +=∈，且11b =，求数列1{}n nb +的前n 项和n T19．(本题满分12分)在三棱柱111ABC A B C -中，已知2AB BC ==，090ABC ∠=，点1A 在底面ABC 的投影为B ，且1A B =（1）证明：平面11AA B B ⊥平面11BB C C ；（2）设P 为11B C 上一点，当PA =1A AB P --20．(本题满分13分)如图，设F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，MN 为椭圆的长轴，P 为椭圆C上一点，且||[2,6]PF ∈． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点(8,0)Q -，①求证：对于任意的割线QAB ，恒有AFM BFN ∠=∠； ②求三角形ABF ∆面积的最大值．21.（本小题满分14分）设函数2()ln ()2af x x x a =+--，a R ∈. （1）若函数()f x 在1[, 2]2上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）求函数)(x f 的极值点.（3）设x m =为函数()f x 的极小值点，()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,且120x x m <<<，AB 中点为0(,0)C x ，比较)('x f 与0的大小.参考答案第I 卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=（ ）A ．{}0x x >B ．{}10x x x <->或C ．{}4x x >D ．{}14x x -≤≤2．已知复数231ii--（i 是虚数单位），它的实部和虚部的和是（ ） A ．4 B ．6 C ．2 D ．3 3．下列命题中是假命题．．．的是（ ）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m xm x f m R ),0(+∞且在上递减B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ;D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4．已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数y x z -=的最小值为（ ）A ．5B ．2-C ．6D ．7 5． “1a =”是“函数a x x f -=)(在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设振幅、相位、初相为方程sin()(0)y A x b A ωϕ=++>的基本量，则方程3sin(21)+4y x =-的基本量之和为 （ ） A ．4B ．23x +C．8D ．21x +7．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为 （ ） A． BC． D8．F 1，F 2是双曲线2222:1(,0)x y C a b b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率是（ ）AB C ．2D9．设235111111,,a dx b dx c dx x x x ===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是（ ）A ．235a b c <<B ．325b a c<<C ．523c a b <<D ．253a c b<<10．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，12()22xf x x =-，又a 是函数2()ln(1)g x x x=+-的正零点，则(2)f -，()f a ，(1.5)f 的大小关系是 （ ）A ．(1.5)()(2)f f a f <<-B ．(2)(1.5)()f f f a -<<C ．()(1.5)(2)f a f f <<-D ．(1.5)(2)()f f f a <-< 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.11. 已知在平面直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以OX 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为12．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是____110________．13．如图，已知||1,||3OA OB ==，OA 与OB 的夹角为56π，点C 是AOB ∆的外接圆上优孤AB 上的一个动点，则OA OC ⋅的最大值为. 1214．右图是一个算法的程序框图，最后输出的W =_____22___.15..13S =++=，210S =++++=，321S =++++++=，那么5S = 55 .三、解答题:本大题共6小题，共74分. 16． (本题满分12分)已知θ为向量a 与b 的夹角，||2=a ，||1=b ，关于x 的一元二次方程2x -||a x 0+⋅=a b 有实根. （Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数2()sin cos f θθθθ=的最值. 解：16.（I ） 因为θ为向量a 与b 的夹角，所[0,]θπ∈，由|a |=2，|b |=1,可得2|a |=4，⋅a b =|a ||b |cos θ. ………………3分关于x 的一元二次方程20x x -+⋅=|a |a b 有实根，则有44(12cos )0θ∆=-⋅-≥2|a |a b =,得1cos 2θ≤，所以,3πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.………6分 （II ）23cos 3cos sin )(f 2-+=θθθθ ⋅CBAO=23)212cos (32sin 21-++θθ =)32sin(2cos 232sin 21πθϑθ+=+ ………………9分 因为π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+37,32πππθ,所以sin(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+23,1)32(πθ 所以，函数的最大值为23，最小值为-1. ………………12分17． (本题满分12分)17.某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知x 与y 均为B 等级的概率为0.18.(Ⅰ) 求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b , 随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望.18． (本题满分12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 的前5项和为30，且2a 为1a 和4a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； （2）若数列{}n b 满足*1()n n n b S n N b n +=∈，且11b =，求数列1{}n nb +的前n 项和n T 解：（1） 设公差为(0)d d ≠，则1121115103022()(3)a d a d a d a a d +==⎧⎧⇒⎨⎨=+=+⎩⎩，∴ 2n a n =， (1)n S n n =+；（2）由（1）11n nn b S n b n+==+， 当2n ≥时，32411231234n nn b b b b b n b b b b b -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，∴ !n b n =，又 11b =适合上式∴!n b n = *()n N ∈， ∴111=(1)!(1)!n n n b n n n +=-++！， ∴ 111111111()()()()11!2!2!3!3!4!!(1)!(1)!n T n n n =-+-+-++-=-++．19．(本题满分12分)在三棱柱111ABC A B C -中，已知2AB BC ==，090ABC ∠=，点1A 在底面ABC 的投影为B ，且1A B =（1）证明：平面11AA B B ⊥平面11BB C C ； （2）设P 为11B C 上一点，当PA =1A AB P --的正弦值．13（1）证明：∵1A B ⊥平面ABC ，BC ⊆平面ABC∴ 1A B BC ⊥，在ABC ∆中，090ABC ∠=，∴ AB BC ⊥，∴ BC ⊥平面11AA B B ，BC ⊆平面11BB C C ， ∴ 平面11AA B B ⊥平面11BBC C ； （2）法一：传统方法 由（1）知11B C ⊥平面11AA B B ，∴ 1PB ⊥平面11AA B B ，过点1B 作棱AB 的垂线，垂足为O ，连接OP ，则1P O B ∠即为二面角1A AB P--的平面角连接1AB ，在1ABB ∆，由余弦定理可求得1AB∵ PA =，∴ 11PB =，∴ OP = 1sin 13POB ∠=法二：向量方法 如图建立空间直角坐标系B xyz -，(2,0,0)A ，(0,2,0)A ，(0,0,A ，由 111(2,0,B A BA B =⇒-， 由111(2,2,BC BC C =⇒-，ABCA 1B 1C 1P C由1112(2,,1)B C B P P λλλ=⇒->，由2AP λ=⇒=，∴(2,1,P -，设(,)n x y z =，为平面PAB 的法向量，则0200x n B A x y z n B P ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-++=⎪⋅=⎪⎩⎩，取(0,6n =-，由（1）知 (0,2,0)m BC ==为平面11AA B B 的法向量，∴c o s,9n m <>==，13sin ,13n m <>=．20．(本题满分13分)如图，设F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，MN 为椭圆的长轴，P 为椭圆C 上一点，且||[2,6]PF ∈． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点(8,0)Q -，①求证：对于任意的割线QAB ，恒有AFM ∠=②求三角形ABF ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）2211612x y +=； （Ⅱ）①易知直线AB 斜率存在．当AB 的斜率为0时，显然0AFM BFN ∠=∠=，满足题意，当AB 的斜率不为0时，设AB l : 8(0)x my m =-≠，11(,)A x y ，22(,)A x y ，由 22228(34)48144011612x my m y my x y =-⎧⎪⇒+-+=⎨+=⎪⎩． ∴222222248412(34)24(4)04m m m m ∆=-⨯+=->⇒>，1224834m y y m +=+，12214434y y m =+． 则121222AF BF y yk k x x +=+++1212211212(6)(6)66(6)(6)y y y my y my my my my my -+-=+=----12121226()(6)(6)my y y y my my -+=--，又 1212221444826()2603434mmy y y y m m m -+=⋅-⋅=++，∴0AF BF k k +=，从而A F MB F N ∠=∠．综合可知：对于任意的割线QAB ，恒有AFM BFN ∠=∠．②由①，2121||||234ABF QBF QAFS S S QF y y m ∆∆∆=-=⋅-=+，72==≤=当且仅当=，即3m =±（此时适合于0>∆的条件）时取等号．∴ 三角形ABF ∆面积的最大值是33．(0)t t =>，则27272163163t t t t==≤=++ 21.（本小题满分14分）设函数2()ln ()2af x x x a =+--，a R ∈. （1）若函数()f x 在1[, 2]2上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）求函数)(x f 的极值点.（3）设x m =为函数()f x 的极小值点，()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,且120x x m <<<，AB 中点为0(,0)C x ，比较)('x f 与0的大小.解：（1）21221()2()x ax f x x a x x -+'=+-=依题意得，在区间1[, 2]2上不等式22210x ax -+≥恒成立. 又因为0x >，所以12(2)a x x≤+.所以2a ≤a ≤所以实数a的取值范围是(,-∞.（2）2221()x ax f x x-+'=，令2()221h x x ax =-+①显然，当0a ≤时，在(0,)+∞上()0h x >恒成立，这时()0f x '>，此时，函数()f x 没有极值点； ……………………………………6分②当0a >时，（ⅰ）当0∆≤，即0a <时，在(0,)+∞上()0h x ≥恒成立，这时()0f x '≥，此时，函数()f x 没有极值点；（ⅱ）当0∆>，即a >x <<()0h x <，这时()0f x '<；当0x <<x >时，()0h x >，这时()0f x '>；所以，当a >x ()f x的极大值点；x =()f x 的极小值点.综上，当a ()f x 没有极值点；当a >2a x =是函数()f x 的极大值点；2a x =是函数()f x 的极小值点. ………9分 （3）由已知得2211122222()ln ()02()ln ()02a f x x x a a f x x x a ⎧=+--=⎪⎪⎨⎪=+--=⎪⎩两式相减，得：()112122ln()2x x x x x a x +-+-……①由'1()2()f x x a x =+-，得'0001()2()f x x a x =+-…………② 得①代入②，得 '001201212()2()(2)f x x a x x a x x x =+-=++-+ =221222*********(1)211ln ln ()()1x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-=-+--⎢⎥+⎢⎥⎣⎦令12(0,1),x t x =∈且2222(1)()ln (01),()0,1(1)t t t t t t t t t ϕϕ--'=-<<=-<++()t ϕ∴在(0,1)上递减，()(1)0t ϕϕ∴>=120,()0x x f x '<∴<。
江西省南昌市教研室命制2014届高三数学交流卷试题(一)文
南昌市教研室命制2014届高三交流卷（一）数学（文）试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.已知集合A={一1,0，1}，B={y|y=cos x,x ∈A}，则A B 为( )A ．{0，—1}B ．{0，1}C ．φD ．{1}2．已知复数2(1)(2)()z a a i a R =-+-∈，则“1a =”是“z 为纯虚数”的( ) A. 充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件 D.既非充分又非必要条件 3.平面向量a 与b 的夹角为60，(2,0)a =，1b =，则2a b+=( )AB． C ．4 D ．124. 执行如图所示的程序框图．若输入3x =，则输出k 的值是( ) A ．3 B ．4 C ． 5 D ． 65. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只需将()sin 2g x x =的图象( )A. 向右平移6π个长度单位B. 向左平移6π个长度单位 C. 向右平移3π个长度单位 D. 向左平移3π个长度单位6. 从221x y m n -=（其中{},2,5,4m n ∈--）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在y 轴上的双曲线方程的概率为（ ）A ．34B ． 12 C ．23D ．47是结束输出k 否x>23 ?k=k+1x=x+5k=0输入x 开始7. 函数13y x x =-的图象大致为8. 四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的表面积为 （ ）A.2222S a a =+ B. 2223S a a =C. 2242S a a =+ D. 2233S a a =9.已知抛物线22(0)y p xp =>的焦点F 与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且T F 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）A ．212- 21- Ｃ．13- Ｄ．213-10.如图，点P 从点O 出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系分别记为(),()y f x y g x ==，定义函数()()()()()()()f x f x g x h x g x f x g x ⎧⎪=⎨>⎪⎩，≤，，． 对于函数()y h x =，下列结论正确的个数是（ ）① (4)10h = ； ②函数()h x 的图象关于直线6x =对称； ③函数()h x 值域为013⎡⎣， ； ④函数()h x 增区间为05（，）． 第10题图 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）OPPO11．已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12ab b +的值为 .12．某校高三第一次模考中，对总分450分（含450分）以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若650～700分数段的人数为90，则500～550分数段的人数为_________人.13. 若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 .14. 在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ． 15. 给出下列四个命题：①ABC ∆中，A B >是sin sin A B >成立的充要条件；②当01x x >≠且时，有1ln 2ln x x +≥；③已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，则93S S >；④若函数)23(-=x f y 为R 上的奇函数，则函数)(x f y =的图象一定关于点)0,23(F 成中心对称.⑤函数)(cos sin cos )(23R x x x x x f ∈-+=有最大值为2，有最小值为0。
(整理)江西省南昌市教研室命制届高三交流卷一理科综合试题
江西省南昌市教研室命制2014届高三交流卷（一）理科综合试题第I卷选择题（共21小题，每小题6分，共126分）一、选择题（本大题共13小题，每小题6分，每小题只有一个选项符合题目要求）1、下列有关生物学现象和分析，叙述正确的是：（）A．玉米Aa连续自交，后代个体AA所占的比例越来越高，种群发生了进化B．由于人类活动，使原本肥沃的农田被废弃，该过程属于群落的演替C．迁入、迁出能引起种群的基因频率定向改变D．自然选择是造成种群个体之间生存和繁殖能力存在差异的主要原因2、下列有关生物学实验中，所涉及的实验材料及实验方法的选择，合理的是：（）A．用显微镜直接观察花生子叶细胞，可看到有多个橘黄色脂肪颗粒B．选择蝗虫的卵巢为实验材料，研究减数分裂过程C．在观察DNA和RNA分布的实验中，分别用甲基绿和吡罗红对洋葱内表皮细胞进行染色D．调查某陆地群落植物类群丰富度，可采用样方法完成3、如下图为人体内基因对性状的控制过程，分析可知：（）A．基因1和基因2一般不会出现在人体内的同一个细胞中B．图中①过程需RNA聚合酶的催化，②过程需tRNA的协助C．④⑤过程的结果存在差异的根本原因是血红蛋白结构的不同D．过程①②③④⑤表明基因通过控制酶的合成来控制生物体性状4、下列关于细胞结构与功能的叙述，正确的是：（）A．蓝藻和水绵都可以通过叶绿体的光合作用合成有机物B．用显微镜观察细胞的有丝分裂，在视野中找到一个细胞进行连续观察，可以观察细胞有丝分裂的各个时期C．用小鼠不同器官和组织构建的cDNA文库不同D．Na+进入胰岛B细胞的方式与胰岛B细胞分泌胰岛素的方式相同5、很多蔬菜和水果中富含维生素C。
科学家在癌细胞培养液中加入维生素C（实验组）以研究其对癌细胞生长的影响。
培养过程中定时检测处于分裂期细胞的百分比，得到如图曲线。
据此分析，下列有关说法正确的是：（）A．癌细胞的出现是抑癌基因突变成原癌基因并表达的结果B．在10-11h时，实验组细胞对培养液中含氮物质、含磷物质的吸收速率最快C．在10h时，对照组中所有细胞的染色体数和DNA数均为体细胞的2倍D．维生素C对癌细胞分裂间期的抑制作用比对分裂期的抑制作用明显6、有关生物体对刺激做出反应的表述，错误的是：（）A．病毒感染→人体T细胞分泌特异性抗体→清除病毒B．外界温度降低→哺乳动物体温调节中枢兴奋→体温稳定C．摄入高糖食品→人体胰岛素分泌增加→血糖水平回落D．单侧光照→植物体生长素重新分布→向光弯曲7．化学在绿色发展、循环发展、低碳发展及推进生态文明建设中正发挥着积极作用，下列做法不正确．．．的是A．研制开发燃料电池汽车，降低机动车尾气污染，某种程度可以减少PM2.5污染B．绿色化学的核心是应用化学原理对环境污染进行治理C．铁强化酱油可通过膳食补充人体所需的铁元素D．地沟油由于混有一些对人体有害的杂质而不能食用，可加工制成生物柴油，生物柴油成分与从石油中提取的柴油成分不同三、非选择题(包括必考题和选考题两部分。
江西省南昌市教研室命制2014届高三交流卷(九)数学(理)试题 Word版含答案
南昌市教研室命制2014届高三交流卷（九）数学（理）试题一、选择题（本题共10个小题，每题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的） 1若纯虚数z 满足2(2i)4(1i)z b -=-+（其中i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2-B ．2C ．-4D ．42．设集合33{|0},{|||},""""122x P x Q x x m P m Q x =≤=-≤∈∈-那么是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像的一部分，A ，B 是图像上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA ·OB 的值为（ ） A.12π B.19π2＋1 C.19π2－1 D.13π2－1 4．设各项为正的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且653,,a a a 成等差数列，则6453a a a a ++的值为（ ）A ．215+ B.215- C.21D.2 5．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.163πB.193πC.1912πD.43π 6.已知奇函数)0,()(-∞在x f 上是单调减函数，且0)2(=f ，则不等式0)1()1(>--x f x 的解集为（ ）A ．}13|{-<<-x x B.}3111|{<<<<-x x x 或 C ．}3103|{<<<<-x x x 或 D.}213|{><<-x x x 或7.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3 张，要 求这 3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( )A.232B.252C.472D.4848．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2p ，则双曲线的离心率为( )．A.102 B ．2 C. 5 D.529. 在实数集R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( ). A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜1210. 定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，其中1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 若1[()][0,)2f f a ∈，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,]4B. 11(,)42C. 11(,]42D. 3[0,]8二．选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分. 11（1）（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c 的极坐标方程为（ ）A. 2cos sin 0ραα-=B. cos sin 0ραα-=C. 2cos sin 0ραα-=D. 2cos sin 0αρα-=（2）（不等式选做题）设，若不等式对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是（ ）A. 3(,]2-∞-B. 3[,)2+∞C. 33[,]22-D. 33(,][,)22-∞-+∞三.填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分） 12．已知二项式531()x x-展开式中的常数项为p ,且函数221,10()3,0110x x f x p x x ⎧--≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩, 则11()f x dx -=⎰___________.13．如图，正三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于点G ，已知△A ′ED 是△AED绕DE 旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ②恒有平面A ′GF ⊥平面BCED ；③三棱锥A ′－FED 的体积有最大值； ④直线A ′E 与BD 不可能垂直．其中正确的命题的序号是________．14．运行如右图所示的程序框图，若输出的y 值的范围是 [0, 10]，则输入的x 的值的范围是 ．15.已知数列{a n }中，a 1＝1，且P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，若函数f (n )＝1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋1n ＋a 3＋…＋1n ＋a n(n ∈N *，且n ≥2)，函数f (n )的最小值是________． 四、解答题（本题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 16．（本小题满分12分） 已知(cos sin ,3cos )m x x x ωωω=+，()cos sin ,2sin n x x x ωωω=-，其中ω＞0．设函数f (x )＝m n ⋅，且函数f (x )的周期为π．(Ⅰ) 求ω的值；(Ⅱ)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等差数列，当f (B )＝1时，判断△ABC 的形状．18.（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB=1. （1）求证：平面AB 1D ⊥平面B 1BCC 1；（2）求证：A 1C//平面AB 1D ；（3）求平面BAB 1与平面DAB 1夹角的正切值.19．（本小题满分12分）数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n (S n －1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)设b n ＝22log n n S S +，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足T n ≥6的最小正整数n .20．（本小题满分13分）设点P 是圆x 2＋y 2＝4上任意一点，由点P 向x 轴作垂线PP 0，垂足为P 0，且0MP ＝320PP . (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)与(1)中的轨迹C 交于不同的两点A ，B . ①若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，求实数m 的取值范围；②若以AB 为直径的圆过曲线C 与x 轴正半轴的交点Q ，求证：直线l 过定点(Q 点除外)，并求出该定点的坐标．答案(理)又∵0＜B ＜π，∴6π＜2B ＋6π＜π613．∴2B ＋6π＝65π．∴B ＝3π．………………8分∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ．…………………………………………………9分∴cos B ＝cos 3π＝212222=-+ac b c a , ∴()4222c a c a ac +-+=． 化简得a ＝c ，……………………………………………………………………………11分 又∵B ＝3π，∴△ABC 为正三角形．…………………………………………………12分17．(本题满分12分)（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，61(0)6010P ξ=== … （3分） （２）由（1）可知1(0)10P ξ==；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2(3)15P ξ== … （7分）分布列ξ0 1 2 3p110 1130 25 215… （10分）E ξ=0×110+1×1130+2×25+3×215=4730 (12)18.（本小题满分12分） 解法一：证明：（1）因为B 1B ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥B 1B （1分）因为D 为正△ABC 中BC 的中点，所以AD ⊥BD （2分） 又B 1B∩BC=B ， 所以AD ⊥平面B 1BCC 1 （3分）又AD ⊂平面AB 1D ，故平面AB 1D ⊥平面B 1BCC 1 （4分） （2）连接A 1B ，交AB 1于E ，连DE （5分）因为点E 为矩形A 1ABB 1对角线的交点，所以E 为AB 1的中点 （6分） 又D 为BC 的中点，所以DE 为△A 1BC 的中位线，所以DE//A 1C （7分） 又DE ⊂平面AB 1D ，所以A 1C//平面AB 1D （8分） （3）解：过D 作DF ⊥AB 于F ，过F 作FG ⊥AB 1于G ，连接DG .因为平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，DF ⊥AB ，所以DF ⊥平面A 1ABB 1.又AB 1⊂平面A 1ABB 1，所以AB 1⊥DF.又FG ⊥AB 1，所以AB 1⊥平面DFG ，所以AB 1⊥DG. （9分） 又AB 1⊥FG ，所以∠DGF 为二面角B —AB 1—D 的平面角. （10分） 因为AA 1=AB=1，所以在正△ABC 中，3,4DF =在332,.48ABE FG BE ∆==中 （11分） 所以在6,tan .3DF Rt DFG DGF FG ∆∠==中 （12分） 解法二：解：建立如图所示的直角坐标系，依题意有：13311(,0,0),(,0,1),(0,,0),(0,,1),22221(0,,0),(0,0,0)(2)2A A B B C D ----分 （1）证明：由13(,0,0),(0,1,0),(0,0,1)2AD BC BB ===， 得110,,,0,AD BC AD BC AD BB AD BB ⎧⋅=⊥⎧⎪⎨⎨⊥⋅=⎩⎪⎩所以又BC∩⊥BB 1=B ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1. （4分） 又AD ⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D ⊥B 1BCC 1 （5分） （2）证明：连接A 1B ，交AB 1于E ，连DE ，因为点E 为正方形A 1ABB 1对角线的交点，所以E 为AB 1的中点，即311(,,).442E -- （6分） 11131131(,,),(,,1),442222,DE A C A C ED ==-=由得所以A C//ED.(7分)又DE ⊂平面AB 1D ，所以A 1C//平面AB 1D （8分） （3）解：设平面ABB 1的一个法向量为1111(,,),n x y z =由1111111310,(1,3,0).220,AB n x y n BB n z ⎧⋅=-=⎪=⎨⎪⋅==⎩得 （9分） 设平面AB 1D 的一个法向量为2222(,,),n x y z =由12222222310,122(0,1,).230,2AB n x y z n AD n x ⎧⋅=-+=⎪⎪=⎨⎪⋅==⎪⎩得 （10分）所以12315cos ,.511314n n <>==+⨯+（11分） 所以126tan ,3n n <>=，依图可得二面角B —AB 1—D 的正切值为6.3（12分） 19. (1)证明：∵2n S ＝a n (S n －1)，∴2n S ＝(S n －S n －1)(S n －1)(n ≥2)．∴S n S n －1＝S n －1－S n ，即1S n －1S n －1＝1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)解：由(1)知S n ＝1n ，∴b n ＝log 2n ＋2n.∴T n ＝log 2(31×42×53×64×…×n ＋2n )＝log 2(n ＋1)(n ＋2)2≥6.∴(n ＋1)(n ＋2)≥128.∵n ∈N *，∴n ≥10.∴满足T n ≥6的最小正整数为10.20. 解：(1)设点M(x ，y)，P(x 0，y 0)，则由题意知P 0(x 0,0)．由0MP ＝(x 0－x ，－y)，0PP ＝(0，－y 0)，且0MP ＝320PP ， 得(x 0－x ，－y)＝32(0，－y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－x ＝0，－y ＝－32y 0，于是⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝23y. 又x 20＋y 20＝4，∴x 2＋43y 2＝4.∴点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0.∴Δ＝(8mk)2－16 (3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0.(*),且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1x 2＝2－3＋4k2.①依题意，k 2＝y 1y 2x 1x 2，即k 2＝kx 1＋m x 1·kx 2＋m x 2.∴x 1x 2k 2＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2.∴km(x 1＋x 2)＋m 2＝0， 即km ⎝⎛⎭⎫－8mk 3＋4k 2＋m 2＝0.∵m≠0，∴k ⎝⎛⎭⎫－8k 3＋4k 2＋1＝0，解得k 2＝34.将k 2＝34代入(*)，得m 2<6.∴m 的取值范围是(－6，0)∪(0，6)．②证明：曲线x 24＋y 23＝1与x 轴正半轴的交点为Q(2,0)．依题意，AQ ⊥BQ ，即AQ ·BQ ＝0.于是(2－x 1，－y 1)·(2－x 2，－y 2)＝0. ∴x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝0，即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1＋m)·(kx 2＋m)＝0，∴(k 2＋1)·2－3＋4k2＋(km －2)·⎝⎛⎭⎫－8mk 3＋4k 2＋4＋m 2＝0.化简，得7m 2＋16mk ＋4k 2＝0. 解得，m ＝－2k 或m ＝－2k7，且均满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，直线l 的方程为y ＝k(x －2)，直线过定点(2,0)(舍去)；当m ＝－2k7时，直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0. ∴直线l 过定点⎝⎛⎭⎫27，0.21.【解析】（1）因为()22ln (0)a f x x a x x x=+->，所以()()222222222()1x a x a a a x ax a f x x x x x +---'=--==． ①若0=a ，()x x f =，()x f 在()+∞,0上单调递增．②若0>a ，当()0,2x a ∈时，()0f x '<， ()x f 在()a 2,0上单调递减；当()2,x a ∈+∞时，()0f x '>，()x f 在()+∞,2a 上单调递增．③若0<a ，当()0,x a ∈-时，()0f x '<， ()x f 在()a -,0上单调递减；当(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，()x f 在()+∞-,a 上单调递增．综上：①当0=a 时，()x f 在()+∞,0上单调递增．②当0>a 时，()x f 在()a 2,0上单调递减，()x f 在()+∞,2a 上单调递增． ③当0<a 时，()x f 在()a -,0上单调递减，()x f 在()+∞-,a 上单调递增．（2）当1a =时，()()0ln 2>-+=x x xx x f ． 由（1）知，若1a =，当()0,2x ∈时，()0f x '<，()x f 单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()x f 单调递增，所以()()2ln 32min -==f x f ．因为对任意的12,[1,e]x x ∈，都有12()()f x g x ≥成立， 问题等价于对于任意[]1,e x ∈，()()min f x g x ≥恒成立， 即23ln 224ln 2x bx --+-≥对于任意[]1,e x ∈恒成立， 即12b x x+≥对于任意[]1,e x ∈恒成立， 因为函数x x y 1+=的导数21'10y x =-≥在[]1,e 上恒成立， 所以函数x x y 1+=在[]1,e 上单调递增，所以max 11e e x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以12e e b +≥，所以e 122eb +≥．。
2014年江西高考理科数学试卷(带详解)
2014·江西卷(理科数学)1.[2014·江西卷] z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 【测量目标】复数的基本运算【考查方式】给出共轭复数和复数的运算，求出z 【参考答案】D 【难易程度】容易【试题解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2a ＝2，－2b ＝2，得a ＝1，b ＝－1，故z ＝1－i. 2.[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(2x －x )的定义域为( )A.(0，1]B.[0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 【测量目标】定义域【考查方式】根据对数函数的性质，求其定义域 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由2x －x >0，得x >1或x <0.3.[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝||5x ，g (x )＝2ax －x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 【测量目标】复合函数【考查方式】给出两个函数，求其复合函数 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】由g (1)＝a －1，由()1f g ⎡⎤⎣⎦＝1，得|1|5a －＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.4.[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若22()c a b ＝－＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3 D.【测量目标】余弦定理，面积【考查方式】先利用余弦定理求角，求面积 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由余弦定理得， 222cos =2a b c C ab+-＝262ab ab -＝12，所以ab ＝6，所以ABC S ＝1sin 2ab C ＝5.[2014·江西卷] 一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )第5题图LLJ73-77A B C D【测量目标】三视图【考查方式】给出实物图，判断俯视图【参考答案】B【难易程度】容易【试题解析】易知该几何体的俯视图为选项B中的图形.6.[2014·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1A.成绩B.视力C.智商【测量目标】卡方分布的应用【考查方式】直接给出表格，观察最大变量与性别的关系【参考答案】D【难易程度】中等【试题解析】根据表格我们可以得出()22 215262214105281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()2222521651612521671636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222352248812521281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222452143026526861636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯.分析判断24χ最大，所以选择D. 7.[2014·江西卷] 阅读如程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为()第7题图 LLJ78A.7B.9C.10D.11【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案. 【参考答案】B 【难易程度】中等【试题解析】当1i =时，10lglg 33S =+=->-1,123i =+=,3lg 3lg lg 55S =-+=->-1, 325i =+=,5lg 5lg lg 77S =-+=->-1，527i =+=,7lg 7lg lg 99S =-+=->-1 729i =+=,9lg 9lg lg1111S =-+=-<-1所以输出9i =.8.[2014·江西卷] 若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )【测量目标】定积分【考查方式】给出函数的表达式，求积分 【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】1()0f x dx ⎰＝()211200x f x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰＝130112()03x f x dx x ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰＝112()03f x dx +⎰,得1()0f x dx ⎰＝13－. 9.[2014·江西卷] 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y－4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π 5B.3π4C.(6π-D.5π4【测量目标】直线与圆的位置关系，面积和最值 【考查方式】已知直线与圆的位置关系，求圆的面积 【参考答案】A 【难易程度】中等【试题解析】由题意知，圆C 必过点O (0，0)，故要使圆C 的面积最小，则点O 到直线l 的距离为圆C 的直径，即2r 所以r 4=π5S10.[2014·江西卷] 如图所示，在长方体ABCD 1111A B C D 中，AB ＝11，AD ＝7，1AA ＝12.一质点从顶点A 射向点E (4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为(234)i L i ＝，，，1L ＝AE ，将线段1234L L L L ，，，竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )第10题图LLJ79A B C D 第10题图 LLJ80-83【测量目标】投影，直线与面的关系【考查方式】利用光的反射原理求其长度并判断图形 【参考答案】C 【难易程度】中等【试题解析】由题意，1L ＝AE ＝13.易知点E 在底面ABCD 上的投影为F (4，3，0)，根据光的反射原理知，直线 AE 和从点E 射向点1E 的直线1E E 关于EF 对称，因此1E (8，6，0)，且21L L ＝＝13.此时，直线1EE 和从点1E 射出所得的直线12E E 关于过点1E (8，6，0)和底面ABCD 垂直的直线对称，得2E ' (12，9，12).因为12>11，9>7，所以这次射出的点应在面11CDD C 上，设为2E ，求得31213==3L E E ，321L L L <＝最后一次，从点2E 射出，落在平面1111A B C D 上，求得4326>3L L =,故选C. 11.[2014·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【测量目标】不等式【考查方式】利用不等式的性质，求最值 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】易知|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2, 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立.故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3. [2014·江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.1cos sin ρθθ=+，π02θ剟 B.1cos sin ρθθ=+，π04θ剟 C.ρ=cos sin θθ+，π02θ剟 D.ρ=cos sin θθ+，π04θ剟 【测量目标】极坐标方程【考查方式】直接把直线方程转化成极坐标方程 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】依题意，方程y ＝1－x 的极坐标方程为()cos sin ρθθ+＝1，整理得1cos sin ρθθ=+.因为0≤x≤1，所以 01y剟，结合图形可知π02θ剟. 12.[2014·江西卷] 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 【测量目标】超几何分布【考查方式】根据超几何分布的表达式就可以求出概率 【参考答案】12【难易程度】容易【试题解析】由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝1337410C 12C C = 13.[2014·江西卷] 若曲线y ＝ex－上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【测量目标】直线与曲线的位置关系【考查方式】根据直线与曲线的位置关系，求其点的坐标 【参考答案】(－ln 2，2) 【难易程度】容易【试题解析】设点P 的坐标为00()x y ，，exy '－＝－又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以0ex －－＝－2，可得0ln 2x ＝－，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2).14.[2014·江西卷] 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos =3α，向量a ＝3122e e －与b ＝123e e －的夹角为β，则cos β＝________.【测量目标】平面向量的夹角【考查方式】根据平面向量求其夹角的余弦值【难易程度】容易【试题解析】cos = ||||aba b β22=15.[2014·江西卷] 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆22:22=1(>>0)x y C a b a b+相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________. 【测量目标】直线与椭圆的位置关系，离心率【考查方式】利用交点，联立方程找出关系，求其离心率 【参考答案】=2e 【难易程度】中等【试题解析】设点A (11x y ，)，点B (22x y ，)，点M 是线段AB 的中点，所以12x x ＋＝2，12y y ＋＝2，且2211222222221,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式作差可得22122x x a -＝22122()y y b --，即12122()()x x x x a +-＝12122()()y y y y b +--，所以1212y y x x --=y 1－y 2x 1－x 2＝22b a -，即AB k ＝22b a -.由题意可知，直线AB 的斜率为12-，所以22b a-＝12-，即a .又222a b c ＝＋，所以c ＝b ，e =. 16. [2014·江西卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a π4θ=时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若π2f ⎛⎫⎪⎝⎭＝0，(π)f ＝1，求a ，θ的值. 【难易程度】容易【测量目标】三角函数最值，参数【考查方式】先转化函数解析式，在利用给定的定义域求其最值，在求参数的值 【试题解析】(1)f (x )＝sin π4x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋2cos π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2(sin x ＋cos x )x＝2cos x－2sin x ＝sin π4x ⎛⎫-⎪⎝⎭.因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由()π02π1f f ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1.a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩又ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，知cos 0θ≠，所以12sin 0(2sin 1)sin 1.a a a θθθ-=⎧⎨--=⎩ 解得1π6a θ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩.17.[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{}n a ，{}n b (*0n b n ≠∈N ，)满足1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0. (1)令nn na cb =，求数列{}n c 的通项公式； (2)若13n n b －＝，求数列{}n a 的前n 项和.n S 【难易程度】容易【测量目标】等差数列，错位相减【考查方式】先求出等差数列，再利用错位相减求和【试题解析】(1)因为1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0，*0)n b n ≠∈N ，(，所以11n n a b ++－nna b ＝2，即1n n c c ＋－＝2，所以数列{}n c 是以1c ＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故21.n c n ＝－(2)由13n n b －＝，知1(21)3n n a n －＝－，于是数列{}n a 的前n 项和n S ＝0121133353(21)3n n ⨯⨯⨯⋯⨯－＋＋＋＋－，3n S ＝1211333(23)3(21)3n n n n ⨯⨯⨯⨯ －＋＋＋－＋－， 将两式相减得－2n S ＝1＋1212(333)(2n n ⨯ －＋＋＋－－1)32(22)3n n n ⨯⨯＝－－－，所以(1)31.n n S n ＝－＋18. [2014·江西卷] 已知函数f (x )＝()2x bx b ++∈R . (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，求b 的取值范围. 【难易程度】中等【测量目标】极值，单调性、函数的导数【考查方式】先利用求导求极值，再利用单调性求参数的取值范围【试题解析】(1)当b＝4时，f′(x)，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈10,2⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x'<，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x＝0处取得极大值f(0)＝4.(2) f′(x)，易知当x∈10,3⎛⎫⎪⎝⎭时，，依题意当x∈10,3⎛⎫⎪⎝⎭时，有5x＋(3b－2)…0，从而53＋(3b－2)…0，得1.9b…所以b的取值范围为1,9⎛⎤-∞⎥⎝⎦.19.[2014·江西卷]如图，四棱锥P ABCD中，ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD.(2)若∠BPC＝90︒，PBPC＝2，问AB为何值时，四棱锥P ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.第19题图LLJ84【难易程度】中等【测量目标】线面、面面、线线位置关系，夹角的余弦值，法向量的应用【考查方式】先由线面位置关系来证线线位置关系，在建立直角坐标系利用向量求夹角的余弦值【试题解析】(1)证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD，故AB⊥PD.(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.在Rt△BPC中，PG，GC，BG设AB ＝m，则OPP-ABCD的体积为1=3V m=因为=mABP-ABCD的体积最大.此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O(0，0，0)，B⎫⎪⎪⎝⎭，C⎫⎪⎪⎝⎭，D⎝⎛⎭⎫0，263，0，P⎛⎝⎭，故BP＝⎝⎭，BC＝(0，6，0)，CD⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭.设平面BPC的法向量1(,,1),n x y=则由1n PC⊥,1n BC⊥得y+=⎨⎪=⎩，解得1,0,x y ==1(1,0,1),n = 同理可求出平面DPC 的法向量21(0,,1),2n = ，从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为1212cos ||||n n n n θ⋅==⋅第19题图LLJ84b20. [2014·江西卷] 如图，已知双曲线()22:210x C y a a -=>的右焦点F ,点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF OB ⊥，BF OA P (O 为坐标原点).(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点()()000,0P x y y ≠的直线0:021x y l y y a-=与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值第20题图 LLJ85【难易程度】较难【测量目标】双曲线方程和离心率、焦点，直线与曲线的位置关系【考查方式】先求出双曲线方程，再利用直线与曲线的位置关系求第二问【试题解析】(1)设(,0)F c ，因为1b =，所以c 直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得(,)22c c B a -,又直线OA 的方程为1y x a =，则3(,),.AB c A c k a a =又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a-=-，解得23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=(2)由(1)知a =l 的方程为0001(0)3x x y y y -=≠，即0033x x y y -=,因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y -,直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y-,则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+-,因为是C 上一点，则2200 1.3x y -=，代入上式得222002222200004(23)4(23)49[(2)]39[1(2)]3x x MF x NF y x x --===+--+-，所求定值为MF NF =.21.[2014·江西卷] 随机将()1,2,,2,2n n n *⋅⋅⋅∈N …这2n 个连续正整数分成A ,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2112,a a b b ξη=-=- (1)当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()P C ；(3)对(2)中的事件C 的对立事件，判断()P C 和. 【难易程度】难【测量目标】分布列和数学期望，概率，数学归纳法【考查方式】先求出分布列和数学期望，在求出其概率，最后在利用数学归纳法【试题解析】(1)当3n =时，ξ所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A ,B 两组，不同的分组方法共有3620C =种，所以ξ的分布列为:133172345.5101052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=(2)ξ和η恰好相等的所有可能值为1,,1,,2 2.n n n n -+- 又ξ和η恰好相等且等于1n -时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等42()63P C ==;当3n …时,()(),P C P C <理由如下：式左边124(2C )16,=+=①式右.那么，当1n m =+时，①(2)!4(22)!(1)(2)(22)!(41)!!(1)!(1)!(1)!(1)!m m m m m m m m m m m m ⨯-+--=+=--++①式右边.即当1n m =+时①式也成立,综合1 2 得，对于3n …的所有正整数，都有()()P C P C <成立.。
江西省南昌市教研室命制高三数学交流卷试题(一)文
南昌市教研室命制2014届高三交流卷（一）数学（文）试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.已知集合A={一1,0，1}，B={y|y=cos x,x ∈A}，则A B 为( )A ．{0，—1}B ．{0，1}C ．φD ．{1}2．已知复数2(1)(2)()z a a i a R =-+-∈，则“1a =”是“z 为纯虚数”的( ) A. 充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件 D.既非充分又非必要条件 3.平面向量a 与b 的夹角为60，(2,0)a =，1b =，则2a b +=( )AB． C ．4 D ．124. 执行如图所示的程序框图．若输入3x =，则输出k 的值是( ) A ．3 B ．4 C ． 5 D ． 65. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只需将()sin 2g x x =的图象( )A. 向右平移6π个长度单位B. 向左平移6π个长度单位 C. 向右平移3π个长度单位 D. 向左平移3π个长度单位6. 从221x y m n -=（其中{},2,5,4m n ∈--）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在y 轴上的双曲线方程的概率为（ ）A ．34B ． 12 C ．23D ．47是结束输出k 否x>23 ?k=k+1x=x+5k=0输入x 开始7. 函数13y x x =-的图象大致为8. 四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的表面积为 （ ）A.222S a =B. 222S a =C. 224S a =D. 223S a =9.已知抛物线22(0)y p xp =>的焦点F 与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且T F 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）A ．212-1- Ｃ．13- Ｄ．213-10.如图，点P 从点O 出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系分别记为(),()y f x y g x ==，定义函数()()()()()()()f x f x g x h x g x f x g x ⎧⎪=⎨>⎪⎩，≤，，． 对于函数()y h x =，下列结论正确的个数是（ ）①(4)h = ； ②函数()h x 的图象关于直线6x =对称； ③函数()h x值域为0⎡⎣； ④函数()h x 增区间为05（，）． 第10题图 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）OPPO11．已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12ab b +的值为 .12．某校高三第一次模考中，对总分450分（含450分）以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若650～700分数段的人数为90，则500～550分数段的人数为_________人.13. 若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 .14. 在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ． 15. 给出下列四个命题：①ABC ∆中，A B >是sin sin A B >成立的充要条件；②当01x x >≠且时，有1ln 2ln x x +≥；③已知nS 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，则93S S >；④若函数)23(-=x f y 为R 上的奇函数，则函数)(x f y =的图象一定关于点)0,23(F 成中心对称.⑤函数)(cos sin cos )(23R x x x x x f ∈-+=有最大值为2，有最小值为0。
2014年江西省南昌市高考数学三模试卷(理科)
2014年江西省南昌市高考数学三模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设集合A={x|-3≤2x-1≤3}，集合B={x|y=lg（x-1）}，则A∩B=（）A.（1，2）B.[1，2]C.[1，2）D.（1，2]【答案】D【解析】解：由A中的不等式解得：-1≤x≤2，即A=[-1，2]；由B中的函数y=lg（x-1），得到x-1＞0，即x＞1，∴B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]．故选D求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.i是虚数单位，的共轭复数为（）A.-1+iB.1+iC.-1-iD.1-i【答案】C【解析】解：∵==-1+i，∴的共轭复数为：-1-i．故选：C．将复数的分母实数化，化简后可得z=-1+i，于是可得的共轭复数．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．3.常说“便宜没好货”，这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B．根据逆否命题的等价性和充分条件必要条件的定义进行判断．本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．如果y与x呈现线性相关且回归直线方程为y=bx+，则b=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据所给的三对数据，得到=3，=5，∴这组数据的样本中心点是（3，5）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴5=3b+，∴b=，故选B．根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值．本题考查线性回归方程，考查数据的样本中心点，考查样本中心点和线性回归直线的关系，本题是一个基础题，运算量不大，解题的依据也不复杂．5.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=80，b=100，A=30°，则此三角形（）A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形【答案】C【解析】解：△ABC中，过点C作CD⊥AB，D为垂足，如图所示：∵a=80，b=100，A=30°，∴∠ACD=60°，且CD=AC=b=50．直角三角形BCD中，cos∠BCD==＜，∴∠BCD＞45°，∴∠ACB=∠ACD+∠∠BCD＞60°+45°=105°，故∠ACB为钝角，故△ABC一定是钝角三角形，故选：C．过点C作CD⊥AB，D为垂足，由条件求得∠ACD=60°，∠BCD＞45°，可得∠ACB 为钝角，从而得出结论．本题主要考查直角三角形中的边角关系，属于中档题．6.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．故选B．直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可．本题考查几何体的三视图的画法，考查作图能力．7.设{a n}为等差数列，且a3+a7-a10=2，a11-a4=7，则数列{a n}的前13项的和为S13=（）A.63B.109C.117D.210【答案】C【解析】解；∵{a n}为等差数列，且a3+a7-a10=2，a11-a4=7，∴a3+a7-a10+a11-a4=7+2=9，即3a7-2a7=a7=9，∴S13==117．故选：C．根据等差数列的性质，以及数列前n项和的公式即可求解．本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的计算，利用等差数列的性质若p+q=m+k，则a p+a q=a m+a k的性质是解决等差数列的关键．8.若的展开式中x3的系数为，则常数a的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】解：由于的展开式的通项公式为T r+1=••=•a9-r••，令-9=3，可得r=8，故展开式中x3的系数为•a•=，∴a=4，故选D．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数，再根据x3的系数为，求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9.设F1、F2分别为双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（-x0，-y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（-a，-b），又A（-a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2-2•bcos120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选A．先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．本题主要考查双曲线的离心率．解决本题的关键在于求出a，c的关系．10.已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设则g′（x）=∴g（x）在（-1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或-1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，＞，能排除D．故选B考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题三、选择题(本大题共2小题，共10.0分)15.参数方程（t为参数）表示（）A.一条直线B.一条射线C.抛物线D.两条射线【答案】D【解析】解：∵曲线C的参数方程（t为参数）∴|x|=|t+|=|t|+||≥2，可得x的限制范围是x≤-2或x≥2，再根据y=2，可得表示的曲线是：y=2（x≤-2或x≥2），是两条射线，故选D．由题意得|x|=|t+|≥2，可得x的限制范围，再根据y=2，可得表示的曲线是什么．本题考查参数方程与普通方程之间的转化，关键是利用已知条件消去参数．16.若关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围为（）A.（0，1）B.（-1，0）C.（-∞，-1）D.（-∞，-1）∪（0，+∞）【答案】D【解析】解：∵|x-1|-|x-2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，∴a2+a+1＞|x-1|-|x-2|恒成立，构造函数f（x）=|x-1|-|x-2|=，，＜＜，，则a2+a+1＞f（x）max，∵f（x）max=1，∴a2+a+1＞1，∴a2+a＞0，解得a＞0或a＜-1．∴实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（0，+∞）故选D．依题意，关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集⇔a2+a+1＞|x-1|-|x-2|恒成立，构造函数f（x）=|x-1|-|x-2|，可求其最大值，从而可解关于a的不等式即可．本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，突出等价转化思想的应用与一元二次不等式的解法的考查，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)11.函数f（x）=sin（x+）+asin（x-）的一条对称轴方程为x=，则a= ______ ．【答案】【解析】解：f（x）=sin（x+）+asin（x-）=sin（x+）-asin（-x）=sin（x+）-acos（x+）=sin（），tanθ=a．由，得，k∈Z．∴a=tan（）=．故答案为：．由诱导公式化正弦为余弦，然后化为sin（），再由x=时角的终边在y轴上求出θ，则a=tanθ可求．本题考查y=A sin（ωx+φ）的图象变换，考查了利用两角和与差的正弦化积问题，考查了数学转化思想方法，关键是明确函数的对称轴方程为x=的意义，是中档题．12.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，M，N分别为CD、BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ= ______ ．【答案】【解析】解：如图所示，连接MN并延长交AB的延长线于点E．∵AB∥CD，AB=2CD，M，N分别为CD、BC的中点，∴=1，∴N是线段ME的中点，MC=EB=．∴=，化为．∵=λ+μ，∴λ+μ==．故答案为：．如图所示，连接MN并延长交AB的延长线于点E．由于AB∥CD，AB=2CD，M，N分别为CD、BC的中点，可得=1，N是线段ME的中点，MC=EB=．可得，．与=λ+μ比较即可得出．本题考查了向量的平行四边形法则、向量共面定理，考查了辅助线的作法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.已知函数f（x）满足，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：由于f（x+2）=f（x）．∴f（x）是周期为2的函数，x在[0，1]，f（x）=x由于f（x）是偶函数，x在[-1，0]，f（x）=-xf（x）是周期为2的函数f（2）=f（0）=0函数解析式：y=-x+2x在[2，3]时，函数解析式：y=x-2g（x）仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点．x在[-1，0），g（x）=-x-kx-k=-（k+1）x-k令g（x）=0，∴x=-∴-1≤-＜0，解得k＞0x在（0，1]，g（x）=x-kx-k=（1-k）x-k，令g（x）=0，∴x=∴0＜≤1解的0＜k≤x在（1，2]，g（x）=-x+2-kx-k=-（k+1）x+2-k，令g（x）=0，∴x=∴1＜≤2，解的0≤k＜x在（2，3]，g（x）=x-2-kx-k=（1-k）x-2-k，令g（x）=0，∴x=∴2＜≤3，解的0＜k≤综上可知，k的取值范围为：0＜k≤故答案为：（0，]．根据题意知函数是一个偶函数且周期是2，写出函数在[-1，0]，[2，3]，[-1，0）上的函数解析式，根据g（x）仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点．分别在这四段上讨论零点的情况，零点的范围，最后求出几种结果的交集．学生知识经验已较为丰富，智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以本题符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展．14.已知圆G：x2+y2-2x-2y=0经过椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点及上顶点．过椭圆外一点M（m，0）（m＞a），倾斜角为π的直线l交椭圆于C，D两点，若点N（3，0）在以线段CD为直径的圆E的外部，则m的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：∵圆G：x2+y2-2x-2y=0与x轴、y轴交点为（，），和（0，2），∴，b=2，∴a2=b2+c2=12，∴椭圆方程为：，设直线l的方程为：，＞由可得：10x2-18mx+9m2-12=0．由△=324m2-40（9m2-12）＞0，可得：＜＜，设C（x1，y1），D（x2，y2），，，=（x1-3，y1）•（x2-3，y2）=（x1-3）（x2-3）+y1y2=4x1x2-（3m+3）（x1+x2）+9+3m2＞0．化简得：2m2-9m+7＞0，解得：＞∴m的取值范围是，，故答案为：，由圆的方程与坐标轴的交点得到椭圆的半焦距及半短轴长，结合a2=b2+c2求得半长轴长，可求椭圆的方程；设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出m的初步范围，再设出交点坐标，由点N（3，0）在以线段CD为直径的圆E的外部，转化为＞求解m的范围，最后取交集得答案．本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了数学转化思想方法，训练了利用向量法求解与圆锥曲线有关的问题，“设而不求”的解题思想使问题的求解得到了简化，是高考试卷中的压轴题．四、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c-4、b=c-2．又∵∠，，∴，∴，恒等变形得c2-9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．…（6分）（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，∠∠∠∴，AC=2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|===，…（10分）又∵，，∴＜＜，∴当，即时，f（θ）取得最大值．…（12分）【解析】（Ⅰ）由题意可得a=c-4、b=c-2．又因∠，，可得，恒等变形得c2-9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sinθ，．△ABC的周长f （θ）=|AC|+|BC|+|AB|=．再由，，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.随机抽取某中学高一年级学生的一次数学统测成绩得到一样本，其分组区间和频数：[50，60），2：[60，70），7：[70，80），10：[80，90），x[90，100]，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题：（1）求样本的人数及x的值；（2）从成绩不低于80分的样本中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．【答案】解：（1）由题意得，分数在[50，60）之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，∴样本人数为n=（人），∴x的值为x=25-（2+7+10+2）=4（人）．（2）成绩不低于80分的样本人数为4+2=6人，成绩在90分以上的人数为2人，∴ξ的取值为0，1，2，∵P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：∴Eξ=0×=．【解析】（1）由题意得，分数在[50，60）之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，由此能求出样本的人数及x的值．（2）成绩不低于80分的样本人数为6人，成绩在90分以上的人数为2人，ξ的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望和分布列的求法，解题时要认真审题，是中档题．19.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=2，AD=DC=1．（1）若点E在SD上，且AE⊥SD，证明：AE⊥平面SDC；（2）若三棱锥S-ABC的体积V S-ABC=，求面SAD与面SBC所成二面角的正弦值大小．【答案】（1）证明：∵侧棱SA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴SA⊥CD．…．（1分）∵底面ABCD直角梯形，AD垂直于AB和DC，∴AD⊥CD，又AD∩SA=A，∴CD⊥侧面SAD，…．（3分）∵AE⊂侧面SAD∴AE⊥CD，∵AE⊥SD，CD∩SD=D，∴AE⊥平面SDC；…．（5分）（2）解：连结AC，∵底面ABCD直角梯形，AD垂直于AB和DC，SA=2，AD=DC=1∴AC=，∠ACB=，设AB=t，则=，∵三棱锥，∴t=AB=．…．（7分）如图建系，则A（0，0，0），S（0，0，2），D（0，1，0），B（0.5，0，0），C（1，1，0），由题意平面SAD的一个法向量为=（1，0，0），不妨设平面SBC的一个法向量为=（x，y，z），则∵=（0.5，0，-2），=（1，1，-2），∴，不妨令z=1，则=（（4，-2，1）…．（10分）∴cos＜，＞==，…．（11分）设面SAD与面SBC所成二面角为θ，则sinθ=…．（12分）【解析】（1）证明AE⊥平面SDC，只需证明AE⊥CD，利用证明CD⊥侧面SAD可得；（2）连结AC，利用三棱锥S-ABC的体积V S-ABC=，求出AB，再建立坐标系，求出平面SAD的一个法向量、平面SBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求面SAD 与面SBC所成二面角的正弦值大小．本题考查线面垂直的判断与性质，考查面面角，考查三棱锥体积的计算，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键．20.已知函数f（x）=e x（ax+b），曲线y=f（x）经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2．（1）求常数a，b的值；（2）求证：曲线y=f（x）和直线l只有一个公共点；（3）是否存在常数k，使得x∈[-2，-1]，f（x）≥k（4x+2）恒成立？若存在，求常数k的取值范围；若不存在，简要说明理由．【答案】解：（1）f′（x）=e x（ax+a+b）…（1分），依题意，，即…（3分），解得a=b=2…（5分）．（2）记g（x）=e x（ax+b）-（4x+2）=2e x（x+1）-2（2x+1），则g′（x）=2e x（x+2）-4…（6分），当x=0时，g′（x）=0；当x＞0时，g′（x）＞0；当x＜0时，g′（x）＜0…（8分），∴g（x）≥g（0）=0，等号当且仅当x=0时成立，即f（x）≥4x+2，等号当且仅当x=0时成立，曲线y=f（x）和直线l只有一个公共点…（9分）．（3）x∈[-2，-1]时，4x+2＜0，∴f（x）≥k（4x+2）恒成立当且仅当…（10分），记，x∈[-2，-1]，…（11分），由h′（x）=0得x=0（舍去），…（12分）当＜时，h′（x）＞0；当＜时，h′（x）＜0…（13分），∴在区间[-2，-1]上的最大值为，常数k的取值范围为[，+∞）．【解析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，和切线方程之间的关系，求常数a，b的值；（2）构造方程，利用导数取证明曲线y=f（x）和直线l只有一个公共点；（3）是将不等式f（x）≥k（4x+2）恒成立，转化为函数最值成立，构造函数，利用导数进行求解．本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的性质，考查学生的运算能力，运算量较大，综合性较强，难度较大．21.给定数列a1，a2，…，a n．对i=1，2，…，n-1，该数列前i项的最大值记为A i，后n-i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i-B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n-1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n-1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n-1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n-1是等差数列．【答案】解：（Ⅰ）当i=1时，A1=3，B1=1，故d1=A1-B1=2，同理可求d2=3，d3=6；（Ⅱ）由a1，a2，…，a n-1（n≥4）是公比q大于1的等比数列，且a1＞0，则{a n}的通项为：a n=a1q n-1，且为单调递增的数列．于是当k=1，2，…n-1时，d k=A k-B k=a k-a k+1，进而当k=2，3，…n-1时，===q为定值．∴d1，d2，…，d n-1是等比数列；（Ⅲ）设d为d1，d2，…，d n-1的公差，对1≤i≤n-2，因为B i≤B i+1，d＞0，所以A i+1=B i+1+d i+1≥B i+d i+d＞B i+d i=A i，又因为A i+1=max{A i，a i+1}，所以a i+1=A i+1＞A i≥a i．从而a1，a2，…，a n-1为递增数列．因为A i=a i（i=1，2，…n-1），又因为B1=A1-d1=a1-d1＜a1，所以B1＜a1＜a2＜…＜a n-1，因此a n=B1．所以B1=B2=…=B n-1=a n．所以a i=A i=B i+d i=a n+d i，因此对i=1，2，…，n-2都有a i+1-a i=d i+1-d i=d，即a1，a2，…，a n-1是等差数列．【解析】（Ⅰ）当i=1时，A1=3，B1=1，从而可求得d1，同理可求得d2，d3的值；（Ⅱ）依题意，可知a n=a1q n-1（a1＞0，q＞1），由d k=a k-a k+1⇒d k-1=a k-1-a k（k≥2），从而可证（k≥2）为定值．（Ⅲ）依题意，0＜d1＜d2＜…＜d n-1，可用反证法证明a1，a2，…，a n-1是单调递增数列；再证明a m为数列{a n}中的最小项，从而可求得是a k=d k+a m，问题得证．本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．22.已知F是椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆于点D，且．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．【答案】解：（Ⅰ）∵A（-a，0），设直线方程为y=2（x+a），B（x1，y1）令x=0，则y=2a，∴C（0，2a），----------------------（2分）∴，，，----------------------（3分）∵，∴x1+a=，，整理得，--------------------（4分）∵B点在椭圆上，∴，∴，----------------------（5分）∴，即，∴----------------------（6分）（Ⅱ）∵，可设b2=3t．a2=4t，∴椭圆的方程为3x2+4y2-12t=0----------------------（7分）由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12t=0----------------------（8分）∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P∴△=0，即64k2m2-4（3+4m2）（4m2-12t）=0整理得m2=3t+4k2t----------------------（9分）设P（x1，y1）则有，∴，----------------------（10分）又M（1，0），Q（4，4k+m）若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，∴，，恒成立整理得3+4k2=m2，----------------------（12分）∴3+4k2=3t+4k2t恒成立，故t=1∴所求椭圆方程为----------------------（13分）【解析】（Ⅰ）设直线方程为y=2（x+a），利用，确定B的坐标，利用B点在椭圆上，即可求椭圆的离心率；（Ⅱ）设b2=3t．a2=4t，可得椭圆的方程为3x2+4y2-12t=0，与y=kx+m联立，利用动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，可得m2=3t+4k2t，求出P的坐标，利用x 轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，即可得出结论．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2014年江西省南昌市教研室命制高考数学模拟模试卷(1)(理科)
2014年江西省南昌市教研室命制高考数学模拟模试卷（1）（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设复数，则z的共轭复数=（）A. B.1+i C. D.1-i【答案】D【解析】解：=，∴z的共轭复数=1-i．故选：D．直接由复数代数形式的除法运算把z化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则z的共轭复数可求．本题考查了复数代数形式的除法运算，复数的除法运算，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．2.设p：x2-x-2＜0，q：＜，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由x2-x-2＜0，得-1＜x＜2，即p：-1＜x＜2．由＜，得（1+x）（|x|-2）＜0，若x≥0，则不等式等价为（1+x）（x-2）＜0，解得-1＜x＜2．此时0≤x＜2．若x＜0，则不等式等价为（1+x）（-x-2）＜0，即（1+x）（x+2）＞0，解得x＞-1或x＜-2．此时x＜-2或-1＜x＜0，综上不等式的解为x＜-2或-1＜x＜2，即q：x＜-2或-1＜x＜2．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．利用不等式先求出p，q的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及一元二次不等式和分式不等式的解法，比较基础．3.设f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0）上是增函数，设a=f（log47），b=f （log3），c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）A.c＜a＜bB.c＜b＜aC.b＜c＜aD.a＜b＜c【答案】B【解析】解：由题意f（x）=f（|x|）．∵log47=log2＞1，log3=-log23＜-log2＜-1，2＜2，∴|2|＞|log23|＞|log47|．又∵f（x）在（-∞，0]上是增函数且为偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．∴c＜b＜a．故选：B．对于偶函数，有f（x）=f（|x|），在[0，+∞）上是减函数，所以，只需比较自变量的绝对值的大小即可，即比较3个正数|log23|、|log47|、|2|的大小，这3个正数中越大的，对应的函数值越小．本题考查偶函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．4.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵，∴==-=-．故选B．利用诱导公式即可得出．熟练掌握诱导公式是解题的关键．5.已知函数f（x）=2msinx-ncosx，直线是函数f（x）图象的一条对称轴，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵直线是函数f（x）=2msinx-ncosx图象的一条对称轴，∴2m•-n•=±．平方，化简可得3n2+4m2+4mn=0，即3+4+4=0．解得=-，故选：C．由题意可得，2m•-n•=±．平方，化简可得3n2+4m2+4mn=0，即3+4+4=0，解方程求得的值．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象和性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．6.等差数列{a n}中的a1、a4025是函数f（x）=x3-4x2+6x-1的极值点，则log2a2013（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】解：f′（x）=x2-8x+6，∵a1、a4025是函数f（x）=x3-4x2+6x-1的极值点，∴a1、a4025是方程x2-8x+6=0的两实数根，则a1+a4025=8．而{a n}为等差数列，∴a1+a4025=2a2013，即a2013=4，从而==2．故选A．利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．7.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为（）A.5B.C.D.【答案】B【解析】解：根据题意，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）．设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y=k（x-1），由消去x，得y2-y-4=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由根与系数的关系可得y1y2=-4．根据抛物线的定义，得|AF|=x1+=x1+1=5，解得x1=4，代入抛物线方程得：y12=4×4=16，解得y1=±4，∵当y1=4时，由y1y2=-4得y2=-1；当y1=-4时，由y1y2=-4得y2=1，∴|y1-y2|=5，即AB两点纵坐标差的绝对值等于5．因此△AOB的面积为：S=△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|•|y1|+|OF|•|y2|=|OF|•|y1-y2|=×1×5=．故选：B设A（x1，y1）、B（x2，y2），算出抛物线的焦点坐标，从而可设直线AB的方程为y=k（x-1），与抛物线方程联解消去x可得y2-y-4=0，利用根与系数的关系算出y1y2=-4．根据|AF|=5利用抛物线的抛物线的定义算出x1=4，可得y1=±4，进而算出|y1-y2|=5，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△AOB的面积．本题给出抛物线经过焦点F的弦AB，在已知AF长的情况下求△AOB的面积．着重考查了抛物线定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．8.已知函数f（x）=＞在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，则a的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】解：当x＞0时，f（x）=x2+1，则f′（x）=2x∴f′（1）=2×1=2则在点（1，2）处的切线方程为y=2x当x≤0时，y=f（x）=即（x+2）2+（y-a）2=4（y≥a）作出函数图象如右图随着a减小时，半圆向下移动，当点A（-4，a）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，即a=2×（-4）=-8再向下移动，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象有三个公共点，相切时与f（x）的图象有两个交点即解得a=-4-2＜-8∴a的取值范围是，故选D．先利用导数研究在点（1，2）处的切线方程，然后作出函数图象，随着a减小时，半圆向下移动，当点A（-4，a）落在切线上时，在点（1，2）处的切线与f（x）的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线f（x）的图象都有三个公共点，只需求出零界位置的值即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数图象，同时考查了数形结合的数学思想和分析问题的能力，属于难题．9.美不胜收的“双勾函数”y=x+是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是y轴和直线y=x，其离心率e=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵y=x+是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是y轴和直线y=x，∴双曲线的渐近线与实轴的夹角为22.5°，=．∴°=°°∴．∴=．故选：D．求出双曲线的渐近线与实轴的夹角，推出a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的基本性质的应用，考查转化思想以及计算能力，判断双曲线的渐近线与实轴的夹角是解题的关键．10.若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f （x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A.f（x）=e x-1B.f（x）=ln（x+1）C.f（x）=sinxD.f（x）=tanx【答案】C【解析】解：要使函数具有性质S，则对应的函数图象都在区域|x|≥|y|内，分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）=sinx，故选：C．根据性质S的定义，只需要满足函数的图象都在区域|x|≥|y|内即可．本题主要考查与函数有关的新定义题，正确理解题意是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本方法，本题也可以通过特殊值法进行排除．11.在直角坐标系x O y中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】D【解析】解：∵直线的极坐标方程为ρcosθ=4，化为普通方程是x=4；把x=4代入曲线方程（t为参数）中，解得t=±2，∴y=±8；∴点A（4，8），B（4，-8）；∴|AB|=|-8-8|=16．故选：D．把直线的极坐标方程化为普通方程，代入到曲线的参数方程中，求出A、B两点的坐标，即可求出|AB|．本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时把直线的极坐标方程化为普通方程，再代入曲线的参数方程中，即可容易的解答．12.若不等式log2（|x+1|+|x-2|-m）≥2恒成立，则实数m的取值范围为（）A.（-∞，-3]B.[-3，-1]C.[-1，3]D.（-∞，-1]【答案】D【解析】解：∵不等式log2（|x+1|+|x-2|-m）≥2恒成立，∴|x+1|+|x-2|-m≥22，化为|x+1|+|x-2|≥4+m，∵|x+1|+|x-2|≥3，∴3≥4+m，解得m≤-1．∴实数m的取值范围为（-∞，-1]．故选：D．由于不等式log2（|x+1|+|x-2|-m）≥2恒成立⇔|x+1|+|x-2|-m≥22，求出|x+1|+|x-2|的最小值即可．本题考查了对数的运算性质、绝对值的几何意义、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知向量，，，，，，若与垂直，则k= ______ ．【答案】-3【解析】解：∵向量，，，，，，∴=（，3），∵与垂直，∴（，）•（k，）=，∴k=-3．故答案为：-3．由向量，，，，，，先求出=（，3），再由与垂直，求出k的值．本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14.运行如图的程序框图，输出的结果是______【答案】510【解析】解：此问题相当于以下问题：已知数列{a n}的通项，求其前8项和S8．∵=510．故答案为510．此问题相当于以下问题：已知数列{a n}的通项，求其前8项和S8．利用等比数列的前n项和公式即可得出．把问题正确等价转化和熟练掌握等比数列的定义及其前n项和公式是解题的关键．15.P是以F1，F2为焦点的椭圆＞＞上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=，sin（α+β）=，则此椭圆的离心率为______ ．【答案】【解析】解：∵cosα=，sin（α+β）=，∴sinα=，cos（α+β）=±，∴sinβ=sin[（α+β）-α]=•+•=或•-•＜0（舍去），设|PF1|=m，|PF2|=n，则由正弦定理可得，∴m=n，∵m+n=2a，∴n=，m=由余弦定理可得，整理可得，∵0＜e＜1，∴e=．故答案为：．先计算sinβ，设|PF1|=m，|PF2|=n，再利用正弦定理求出n=，m=，利用余弦定理，即可得出结论．本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，综合性强．16.在棱长为1的正方体中ABCD=A1B1C1D1，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于______ ．【答案】2+【解析】解：取BB1的中点E、CC1的中点F，连接AE、EF、FD，则BN⊥平面AEFD设M在平面AB1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为α∴能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等∵正方体ABCD=A1B1C1D1的棱长为1∴矩形AEFD的周长为2+故答案为：2+取BB1的中点E、CC1的中点F，连接AE、EF、FD，则BN⊥平面AEFD，设M在平面AB1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为α，故能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等．本题考查立体几何中的轨迹问题，考查学生的分析解决问题的能力，解题的关键是确定使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.已知函数f（x）=sin2x+2sinx•sin（-x）+3sin2（-x）（1）若tanx=，求f（x）的值；（2）求函数f（x）最小正周期及单调递减区间．【答案】解（1）f（x）=sin2x+2sinx•cosx+3cos2x===；（2）f（x）=sin2x+2sinx•cosx+3cos2x=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2，∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为T==π；由+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得：+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z．【解析】（1）f（x）解析式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanx的值代入计算即可求出值；（2）f（x）解析式利用同角三角函数间的基本关系化简，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期，利用正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递减区间．此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，诱导公式的作用，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．18.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（2）以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级．【答案】解：（1）由题意知N=15，M=6，n=3，ξ的可能取值为0，1，2，3，其分布列为P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列是：（2）依题意知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P==，一年中空气质量达到一级的天数为η，则η～B（360，），∴Eη=360×=144，∴一年中空气质量达到一级的天数为144天．【解析】（1）由题意知N=15，M=6，n=3，ξ的可能取值为0，1，2，3，其分布列为P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3），由此能求出ξ的分布列．（2）依题意知，一年中每天空气质量达到一级的概率为，一年中空气质量达到一级的天数η～B（360，），由此能求出一年中空气质量达到一级的天数．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，认真解答，避免出现计算上的错误．19.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【答案】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D-xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，，，，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，，，，，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=，，．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，，，．所以cos，＞．因为二面角为锐角，所以二面角F-BE-D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则，，．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t-3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）【解析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F-BE-D 的余弦值；（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面垂直的判定，向量法确定直线与平面的位置关系，其中（I）的关键是证得DE⊥AC，AC⊥BD，熟练掌握线面垂直的判定定理，（II）的关键是建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题，（III）的关键是根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程．20.设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n=0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2k+1（k∈N*）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式．【答案】解：（1）数列-，0，为三阶期待数列…（1分）数列-，-，，为四阶期待数列，…..…..（3分）（其它答案酌情给分）（2）设等差数列a1，a2，a3，…，a2k+1（k≥1）的公差为d，∵a1+a2+a3+…+a2k+1=0，∴（2k+1）a1+=0，所以a1+kd=0，即a k+1=0，∴a k+2=d，…（4分）当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，…（5分）当d＞0时，据期待数列的条件①②得：a k+2+a k+3+…+a2k+1=，∴kd+d=，即d=由a k+1=0得a1+k•=0，即a1=-，∴a n=-+（n-1）=-（n∈N*，n≤2k+1）．…（7分）当d＜0时，同理可得，即由a k+1=0得，即，∴，．…（12分）【解析】（1）利用新定义直接利用等差数列，写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）利用某2k+1（k∈N*）阶“期待数列”是等差数列，通过公差为0，大于0．小于0，分别求解该数列的通项公式．本题考查新数列新定义的应用，求数列的通项公式的方法，考查分析问题解决问题的能力，难度中，考查计算能力．21.已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点，在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等差数列，点M（1，1），求S△ABM的最大值．【答案】解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则∵椭圆离心率，点，在椭圆C上，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆方程为；（2）设直线n的方程为y=kx+m，A（x1，y1），（x2，y2），则∵k OA、k、k OB成等差数列，∴m（x1+x2）=0，∴m=0，∴直线n的方程为y=kx代入椭圆方程得（1+4k2）x2=4，∴|AB|=．∵M到y=kx的距离为d=∴S=•=∴S2=，∴（S2）′=，∴k＜，（S2）′＞0，-＜k＜1，（S2）′＜0，k＞1，（S2）′＞0，∴k=-时，S取得最大值．【解析】（1）设出椭圆方程，根据椭圆离心率，点，在椭圆C上，建立方程组，求解a2，b2，则椭圆的方程可求；（2）确定直线n的方程为y=kx，代入椭圆方程，借助于弦长公式求出|AB|的长度，由点到直线的距离公式求出M到直线y=kx的距离，写出三角形AOB的面积后转化为含有k的代数式，利用导数法求最值．本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查弦长问题、最值问题．属难题．22.已知函数f（x）=-x3+x2+bx，g（x）=alnx+x（a≠0）（1）若函数f（x）存在极值点，求实数b的取值范围；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）当b=0且a＞0时，令，＜，，P（x1，F（x1）），Q（x2，F（x2））为曲线y=F（x）上的两动点，O为坐标原点，能否使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=-3x2+2x+b，若f（x）存在极值点，则f'（x）=-3x2+2x+b=0有两个不相等实数根．所以△=4+12b＞0，解得＞（Ⅱ）′当a＞0时，-a＜0，函数g（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a＜0时，-a＞0，函数g（x）的单调递减区间为（0，-a），单调递增区间为（-a，+∞）．（Ⅲ）当b=0且a＞0时，，＜，，假设使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上．则且x1+x2=0．不妨设x1=t＞0．故P（t，F（t）），则Q（-t，t3+t2）．，（*）该方程有解当0＜t＜1时，F（t）=-t3+t2，代入方程（*）得-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0即t4-t2+1=0，而此方程无实数解；当t=1时，，，，则；当t＞1时，F（t）=alnt，代入方程（*）得-t2+alnt（t3+t2）=0即，设h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则′＞在[1，+∞）上恒成立．∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而h（x）≥h（1）=0，则值域为[0，+∞）．∴当a＞0时，方程有解，即方程（*）有解．综上所述，对任意给定的正实数a，曲线上总存在P，Q两点，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上．【解析】（1）和（2）通过求导直接得出，（3）假设使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上，得出方程讨论解答即可．本题考察了利用导数求函数的单调性，向量运算，分类讨论思想，有一定的难度．。
南昌市教研室命制高三交流卷数学(理)试题含答案
南昌市教研室命制2014届高三交流卷（一）数学（理）试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1设复数11z i=-，则z 的共轭复数是（ ）A.11i +B.1i +C.11i- D.1i -2.设p ∶22,x x q --＜0∶12xx +-＜0，则p 是q 的 （ ） A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要3.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，设412(log 7),(log 3),a f b f ==c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. b a c << B ． a b c << C ． a c b << D ． c b a <<4.已知1sin 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7cos 12πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值等于（ ） A.13B. C. 13-D.5.已知函数x n x m x f cos sin 2)(-=，直线3π=x 是函数)(x f 图像的一条对称轴，则=mn（ ）A.B. 3C. 332-D. 336.等差数列{}n a 中的1a 、4025a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点,则22013log a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则△AOB 的面积为（ ）A ．5B ．52C ．32D ．1788.已知函数210()0x x f x a x ⎧+>⎪=≤ 在点（1,2）处的切线与()f x 的图像有三个公共点，则a 的取值范围是（ ）A ．[8,425)--+B ．(425,425)---+C ．(425,8]-+D ．(425,8]--- 9.美不胜收的“双勾函数” 1y x x=+是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是y 轴和直线y x =，其离心率e= A ．2B ． 21+C ． 3D ． 224-10若函数()y f x =图像上的任意一点P 的坐标(,)x y 满足条件|| ||y x ≥，则称函数()f x 具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是 （ ）A ．()1x f x e =-B ．()ln(1)f x x =+C ．()sin f x x =D ．()tan f x x = 二、选做题：请在下列两题中任选一题作答若两题都做，则按第一题评阅计分本题共5分. 11．（1）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为4cos =θρ的直线与曲线⎩⎨⎧==32ty t x （t 为参数）相交于B A ,两点,则||AB =（ ）A.13B.14C.15D.16 11．（2）（不等式选做题）若不等式2)|2||1(|log 2≥--++m x x 恒成立，则实数m的取值范围为（ ）A . ]3,(--∞B . ]1,3[--C . ]3,1[-D . ]1,(--∞三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，合计20分.12.已知向量)1,3(=a ,)1,0(-=b ,)3,(k c =,若b a 2+与c 共线,则=k _________ 13.运行如图的程序框图,输出的结果是______14.已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆22221(0)x ya b a b +=>>上的任意一点，若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos α5，sin(α+β)=35，则此椭圆的离心率为 ．15.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AC 1、A 1B 1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 ．四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=x x x x x f 23sin 32sin sin 2sin )(22ππ（1）若,21tan =x 求)(x f 的值；（2）求函数)(x f 最小正周期及单调递减区间．17. （本小题满分12分）PM2．5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大。
江西省南昌市教研室命制高三数学交流卷试题(四)理
江西省南昌市教研室命制2014届高三数学交流卷试题（四）理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{sin ,}M y y x x R ==∈，2{0}1xN x Zx -=∈≥+，则M N I 为（ ） A ．∅ B ．(1,1]- C ．{1,1}- D ．{0,1}2．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)x yi ++的值为 ( ） A ．4 B ．4+4i C ．4- D ．2i 3.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)1(2+=n n a S ，则5a =（ ） A ．-16 B ．-32C ．32D ．-644. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法： （1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1,2,3， (100)（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生.如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是（ ） A. 88% B. 90% C. 92% D. 94%5．已知∈b a ,R 且b a ≠，若b a be ae =（e 为自然对数的底数），则下列正确的是（ ） A ．a b b a -=-ln ln B ．b a b a -=-ln lnC ．a b b a -=---)ln()ln(D ．b a b a -=---)ln()ln(6. 已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是（ ）A. (1－3，2)B. (0，2)C. (3－1，2)D. (0，1+3)7. 已知双曲线154:22=-y x C 的左、右焦点分别为12,,F F P 为C 的右支上一点，且212F F PF =，则12PF PF u u u r u u u u rg 等于（ ）A. 24B. 48C. 50D. 568. 一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是（ ）A. 4i <B. 5i <C. 5i ≥D. 6i <9. 已知四棱锥P -ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，点E 是PB 的中点，则异面直线AE 与PD 所成角的余弦值为（ ）A.1B.32 C.33D.210. 已知长方形ABCD ，抛物线l 以CD 的中点E 为顶点，经过A 、B 两点，记拋物线l 与AB 边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M 的概率为P.则下列结论正确的是（ ）A. 不论边长,AB BC 如何变化，P 为定值B. 若ABBC的值越大，P 越大 C. 当且仅当AB BC =时，P 最大 D. 当且仅当AB BC =时，P 最小第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11. 已知α、(0,)βπ∈，且1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，2αβ-= ． 12. 若12,e e u r u u r 是平面内夹角为60o的两个单位向量,则向量12122,32a e e b e e =+=-+r u r u u r r u r u u r 的夹角为 ．13. 已知偶函数)(x f 在R 上的任一取值都有导数,且'(1)1f =,(2)(2),f x f x +=-则曲线)(x f y =在5-=x 处的切线的斜率为 ．14. 若双曲线()222210x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,线段F 1F 2被抛物线22y bx =的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为______．三、选做题：请在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按第一题评阅计分.本题 共5分. 15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分） (A)（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=，设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ，则||AB = ．(B)（不等式选做题）在实数范围内，不等式2115x x x -++≥的解集为 ．四、解答题：（本大题共6小题，共75分，其中第16—19小题每题12分，第20题13分，第21题14分）. 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B,A,所对的边分别为c b a ,,，函数)(sin )sin(cos 2)(R x A A x x x f ∈+-=在125π=x 处取得最大值. (I)当)2,0(π∈x 时，求函数)(x f 的值域；(II)若7=a 且14313sin sin =+C B ，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）某少儿电视节目组邀请了三组明星家庭（明星爸爸及其孩子）一起参加50米趣味赛跑活动.已知这三组家庭的各方面情况几乎相同，要求从比赛开始明星爸爸必须为自己的孩子领跑，直至完成比赛.记这三位爸爸分别为A 、B 、C ，其孩子相应记为c b a ,,.(I)若A 、B 、C 、a 为前四名 , 求第二名为孩子a 的概率；(II)设孩子a 的成绩是第X 名，求随机变量X 的分布列与数学期望. 19．（本小题满分12分）如图，已知SCD ∆中，3=SD ，5=CD ，551cos -=∠SDC ，AD SA 2=，SD AB ⊥交SC 于B ，M 为SB 上点，且MB SM 2=，将SAB ∆沿AB 折起，使平面⊥SAB 平面ABCD (Ⅰ)求证：AM ∥平面SCD ；(Ⅱ)设点N 是直线CD 上的点，且NC DN 21=，求MN 与平面SCD 所成角的正弦值；20．（本小题满分13分）如图，设P 是圆x 2＋y 2＝2上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|PD |2MD |,当P 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C.（I ）求证：曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，并求其方程;（II ）设椭圆C 的右焦点为F 2，直线m kx y l +=:与椭圆C 交于A 、B 两点，直线F 2A 与F 2B 的倾斜角互补，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.21．(本小题满分14分)已知)0()(>-=a xax x f ，bx x x g +=ln 2)(，且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切． （I ）若对),1[+∞内的一切实数x ，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （II ）（ⅰ）当1=a 时，求最大的正整数k ，使得任意k 个实数k x x x ,,,21Λ∈]3,[e （ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++-Λ成立；（ⅱ）求证：)12ln(1441244211441222+>-⋅⋅++-⋅⋅+-⋅⋅n n n Λ.PA BCDEO答案1.A 2．D解析：本题考查正弦函数的值域、分式不等式的解法.[1,1]M =-,{12}{0,1,2}N x x =-<≤=,故{0,1}M N =I .3.B4.B5.C ．解析：设x xe x f =)(，则x e x x f )1()(+='，∴)(x f 在)1,(--∞为减函数，),1(∞+-增函数， 0)0(=f ， 且当0<x 时，0)(<x f ．由)()(b f a f =知0,0<<b a ．由b a e b e a )()(-=-得a b b a -=---)ln()ln(． 6.A解析：作出三角形的区域如图，由图象可知当直线z x y +=经过点()1,3B 时，截距最大，此时231=+-=z ，当直线经过点C 时，截距最小.因为x AB ⊥轴，所以2231=+=C y .又ABC ∆的边长为2，设点)2,(x C ，则2)12()1(22=-+-=x AC ，解得31±=x .因为顶点C 在第一象限，所以31+=x .即点()13,2C +.将点()13,2C +代入直线y x z +-=，得312)31(-=++-=z ，所以z 的取值范围是()13,2-.选A.7.C解析：由双曲线C 的方程22145x y -=，得2,5,453a b c ===+=，所以21226PF F F c ===.又由双曲线的定义，得1224PF PF a -==，所以110PF =.所以22212121212121212cos ,502PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF +-===u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r g u u u r u u u u r. 8.D 9.C解析：设棱长都为1，连接AC,BD 交于点O ，连接OE.因为所有棱长都相等，不放设 ABCD 是正方形，所以O 是BD 的中点，且OE//PD ，故AEO ∠为异面直线AE 与PD 所成的角.易知11,22OE PD AE === 22331121122222AB OA AC ===+=.在OAE ∆中，由余弦定理得311442cos 312AEO +-∠=⨯⨯33=. 10.A解析：以E 为原点，CD 为x 轴，过点E 垂直于CD 的直线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示.设正方形的长为2a ，宽为b ，则(,0),(,),(,),(,0)C a B a b A a b D a --，设抛物线方程为2y mx =，代入点B ，得2b m a =，所以22b y x a =.阴影面积23022042d 2|33a a b b ab S b x x bx x a a ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，矩形ABCD 的面积S ab '=,故由几何概型得，所求事件的概率为43S P S =='为常数.故选A. ABCDxy O12.120o解析：12121cos 602e e e e ==ou r u u r u r u u r g ,12127(2)(32)2a b e e e e =+-+=-r r u r u u r u r u u r g g ,21212(2)4417a e e e e =+=++=r u r u u r u r u u r g ,21212(32)91247b e e e e =-+=-+=r u r u u u r u r u u r g ,所以,a b r r的夹角的余弦值为712cos ,277a b a b a b-<>===-r r r r g r r g ,所以,120a b <>=o r r 13：-1解析：由(2)(2),f x f x +=-得(4)(),f x f x +=可知函数的周期为4,又函数)(x f 为偶函数,所以(2)(2)=(2)f x f x f x +=--,即函数的对称轴为2x =,所以(5)(3)(1)f f f -==,所以函数在5-=x 处的切线的斜率'(5)'(1)1k f f =-=-=-14：332解析：抛物线的焦点坐标为(,0)2b ,由题意知()5232bc b c --=-,2c b =,所以222244()c b c a ==-,即2243a c =,所以23a c =,所以233c e a ===. 15.（1）（坐标系与参数方程选做题）2解析：曲线C 的普通方程为01=--y x ，曲线P 可化为1)2(22=+-y x ，表示圆心在)0,2(，半径=r 1的圆，则圆心到直线C 的距离为2221==d ，所以2222=-=d r AB （2）（不等式选做题）.31,⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-解析:⎪⎩⎪⎨⎧≥≥⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-⎩⎨⎧≥--<⇔≥++-x x x x x x x x x x x x 5321522115315112或或⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤-⎩⎨⎧≤-<0213121101x x x x x x 或或1113x x ⇒<--≤≤或31≤⇒x ,即解集为.31,⎥⎦⎤ ⎝⎛∞- 16.解析：A A x A x x x f sin )sin cos cos (sin cos 2)(+-= A A x A x x x sin sin cos 2cos cos cos sin 22+-= )2sin(sin 2cos cos 2sin A x A x A x -=-=处取得最大值在125x )(π=x f ΘZ,k ,23A Z,k ,22k A 1252∈-=∈+=-⨯∴其中即其中πππππk(1).3),,0(ππ=∴∈A A Θ).32,3(2),2,0(πππ-∈-∴∈A x x Θ⎥⎦⎤ ⎝⎛-≤-<-∴123f(x),1)2sin(23，的值域为即A x(2) 由正弦定理C c B b sin sin sinA a ==得，.sin sin sin A acb C B +=+ .13,23731413=+∴⨯+=c b c b 即 由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=得：40bc 3bc,-16949,22)(22=∴=--+=即bccoA bc c b a .310234021sin 21=⨯⨯==∴∆A bc S ABC 17.解析：2133,1)(124)1(21112122===+==∴∈++=*a a a a a S S n N n n n S S n n 得结合，则当Θ∴ n d n a a a a d n =-+==-=)1(1112 所以)(*∈=N n n a n(2)由n n n n nn n n b T b T b T b T +=+-=++-++11111可得z Ny xAMSDCB所以121-=-+n n n b T T ，121-=+n n b b ，)1(211-=-+n n b b 所以}1{-n b 是等比数列且31=b ，2=q 公比∴ nn n n q b b 222)1(1111=⨯=-=--- ∴ 12+=nn b∴ nn n n n n n b a c )21()12(212112⋅+=+=-+=∴ nn n n c c c c W )21()12()21(7)21(5)21(332321⨯+++⨯+⨯+⨯=++++=ΛΛ利用错位相减法，可以求得2552n nn W +=-. 解析： （1）由题意，可将上述问题转化为：A 、B 、C 、a 的成绩进行了四步骤排序，分类列举（不考虑D 、F ）：若a 第2名，则A 必在第一名，故有222A =种. 若a 第3名，则A 在a 前，故有12224C A =种.若a 第4名，则有336A =种.故第二名为孩子a 的概率是61122==p . （2）由题意，可将上述问题转化为A 、B 、C 、a 、b 、c 进行了排序 ，且要求A 在a 前，B 在b 前，C 在c 前.孩子a 的成绩可以是第2名、第3名、第4名、第5名、第6名. 即2,3,4,5,6X =22422226421(2)15C C P X C C C ===，1222422226422(3)15C C C P X C C C ===，1223422226423(4)15C C C P X C C C ===，1224422226424(5)15C C C P X C C C ===，1224422226425(6)15C C C P X C C C ===.X2 3 4 5 6P115 215 315 415 515 2345615151515153EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 19.解析：（Ⅰ）以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则)32,32,0(M .)0,0,0(A ， )0,1,0(B ，)0,2,2(C ，)0,0,1(D ，)2,0,0(S ，则)32,32,(O =,)2,0,1(-=,)0,2,1(--=设平面SCD 的法向量是(),,,n x y z =r则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴,0,0即⎩⎨⎧=--=-.02,02y x z x 令1=z ，则1,2-==y x ，于是)1,1,2(-=.0=⋅Θ，⊥∴.∴ AM ∥平面SCD .（Ⅱ）21=⇒31=⇒3132+=⇒)0,32,34(N⇒)32,0,34(-=MN 由（Ⅰ）知平面SCD 的法向量)1,1,2(-=n设MN 与平面SCD 所成角为α⇒42(,0,)(2,1,1)3033sin 2069MN n MN n α-⋅-⋅===u u u u r r u u u u u u u r r所以MN 与平面SCD 所成角的正弦值为3020.解析：(1) 设M 的坐标为(x ，y)，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得,2p p x x y y=⎧⎪⎨=⎪⎩，∵P 在圆上，∴x 2＋2(2)y ＝2，即1222=+y x ， ∴曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，其方程为1222=+y x . （2）由题意，知直线AB 斜率存在，其方程为.m kx y +=由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去222,(21)4220,y k x kmx m +++-=得 △=（4km ）2—4(2k 2+1)(2m 2—2)>0.设),,(),,(2211y x B y x A 则,1222,1242221221+-=+-=+k m x x k km x x且1,1221122-+=-+=x mkx k x m kx k B F A F ， 由已知直线F 2A 与F 2B 的倾斜角互补得，.011,0221122=-++-+=+x mkx x m kx k k N F M F 即化简得，02))((22121=-+-+m x x k m x kx ，0212)(412222222=-+--+-⋅∴m k k m km k m k ， 整理得，.2k m -=所以直线MN 的方程为)2(-=x k y ，故直线MN 过定点，该定点的坐标为（2，0） 21.解析:（1）设点),(00y x 为直线22-=x y 与曲线)(x g y =的切点， 则有22ln 2000-=+x bx x ． （*）b x x g +='2)(Θ，22=+∴b x ． （**） 由（*）（**）两式，解得0=b ，x x g ln 2)(=．由)()(x g x f ≥整理，得x x xaln 2-≤，1≥x Θ，∴要使不等式)()(x g x f ≥恒成立，必须x x x a ln 22-≤恒成立．设x x x x h ln 2)(2-=，2ln 22)1(ln 22)(--=⋅+-='x x xx x x x h ，2ln 22)(--=x x x m ，∴当1≥x 时，0)(/>x m ，则)(x h '是增函数，0)1()(='≥'∴h x h ，)(x h 是增函数，1)1()(=≥h x h ，1≤a ．（2）（ⅰ）当1=a 时，xx x f 1)(-=，011)(2>+='xx f Θ，)(x f ∴在]3,[e 上是增函数，)(x f 在]3,[e 上的最大值为38)3(=f ．要对]3,[e 内的任意k 个实数k x x x ,,,21Λ都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++-Λ成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，Θ当3121====-k x x x Λ时不等式左边取得最大值，e x k =时不等式右边取得最小值．21638)1(⨯≤⨯-∴k ，解得13≤k ．因此，k 的最大值为13． （ⅱ）当1=a 时，根据（1）的推导有),1(+∞∈x 时，)()(x g x f >，即)1(21ln x x x -<．令1212-+=k k x ，得)12121212(211212ln +---+<-+k k k k k k ，化简得144)12ln()12ln(2-<--+k kk k ，14412424114141ln 3ln 3ln 5ln )32ln()12ln()12ln()12ln()12ln(222-⋅⋅++-⋅⋅+-⋅⋅<-+-++---+--+=+n n n n n n n ΛΛ即)12ln(1441244211441222+>-⋅⋅++-⋅⋅+-⋅⋅n n n Λ。
江西省南昌市2014届高三第一次模拟考试数学理试题(word版)
江西省南昌市2014届高三第一次模拟考试数学理试题（word 版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分． 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合2{|20}A x xx =--≤，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B = A ．(1,2)B ．[1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,2]2．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于A ．1-B ．1C ．2-D ．23．设,a b 为向量，则“||||||a b a b ⋅=”是“//a b ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列命题：①若2()2cos1,2xf x =-则()()f x f x π+=对x R ∈恒成立；②要得到函数sin()24x y π=-的图象，只需将sin 2x y =的图象向右平移4π个单位；③若锐角,αβ满足cos sin αβ>，则2παβ+<．其中是真命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．35．已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，若12PF PF ⊥，21tan 2PF F ∠=，则椭圆的离心率e =A B C D6A ．1B C D7．若4821201212(3)(2)(2)(2),x x a a x a x a x +=+++++++则213511log ()a a a a ++++ 等于A ．27B ．28C ．7D ．88．在三棱锥C ABD -中（如图），ABD ∆与CBD ∆是全等的等腰直角三角形，O 为斜边BD 的中点，4AB =,二面角A BD C --的大小为 600，并给出下面结论：①AC ⊥BD ；②AD ⊥CO ；③△AOC 为正三角形；④cos 4ADC ∠=； ⑤四面体ABCD 的外接球面积为32π．其中真命题是A ．②③④B ．①③④C ．①④⑤D ．①③⑤9．若数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别是2013(1)n n a a +=-⋅，2014(1)2n n b n+-=+，且n n a b <对任意*n N ∈恒成立，则常数a 的取值范围是 A ．(2,1)- B ．[2,1)- C ．(2,1]-D ．[2,1]-10．已知定义在区间[3,3]-上的函数()y f x =满足()()0f x f x -+=，对于函数()y f x =的图像上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 都有1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<．若实数,a b 满足22(2)(2)0f a a f b b -+-≤，则点(,)a b 所在区域的面积为 A ．8 B ． 4 C ． 2 D ． 1二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分． 11． (1) （坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的参数方程是(1x tt y t =⎧⎨=+⎩是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为6cos ρθ=-，则圆心C 到直线l 的距离为A ．2BC ．D ．(2)（不等式选做题）已知函数a a x x +-=|2|)．若不等式6)(≤x f 的解集为{}32|≤≤-x x ，则实数a 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4绝密★启用前2014届南昌市高三第三次模拟考试理科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效． 三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．12．复数21ii+的模是 ． 13．已知点P 是曲线2ln y x x =-上的一个动点，则点P 到直线:2l y x =-的距离的最小值为_______．14．在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据(14)i x i ≤≤，在如图所示的程序框图中，x 是这4个数据中的平均数，则输出的v 的值为_______．15．从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,共有1m n C +种取法。
江西省2014届高三下学期4月联考测试理数试题和答案(word)
江西省高中2014届下学期毕业班4月联考诊断测试数 学（理科类） 2014.4.10本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。
第一部分1至2页，第二部分3至4页，共150分。
考试时间120分钟。
第一部分 （选择题 共50分）注意事项：用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在草稿纸、试题卷上。
一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数2)21(i +（其中i 为虚数单位）的虚部为A.i 4B.i 4-C.4D.-4 2. 函数)2lg(2x x y -∙+=的定义域为A.)0,2(-B.)2,0(C.)2,2(-D.[)2,2- 3. “α是第二象限角”是“0tan sin ＜αα”的A.充分不必要条件B.必要不充分C.充分条件D.既不充分也不必要 4. 设dx x )21(20-=⎰α，则二项式62)(xax +的常数项是A.-240B.240C.-160D.160 5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.323 B.322C.320D.3146. 已知定义域在R 上的函数)(x f 图像关于直线2-=x 对称且当2-≥x 时，43)(-=xx f ,若函数)(x f 在区间),1(k k -上有零点，则符合条件的k 的值是A.-8B.-7C.-6D.-5 7. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为A.81-B.81C.161D.3218. 若X 是一个集合，集合υ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足： （1）υ∈X ，空集∅∈υ；（2）υ中任意多个元素的并集属于υ； （3）υ中任意多个元素的交集属于υ；称υ是集合X 上的一个拓扑.已知集合{}c b a X ,,=，对于下列给出的四个集合υ：9. 如图正方体1111D C B A A B C D-的棱长为1，点E 在线段1BB 和线段11B A 上移动,θ=∠EAB ，)2,0(πθ∈，过直线AD AE ,的平面ADFE 将正方体分为两部分，记棱BC 所在部分的体积为)(θV ，则函数)(θV V =，)2,0(πθ∈的大致图像是10.已知椭圆)0(1:2222＞＞b a b y a x C =+的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，△21PF F 的重心为G ，内心为I ，且有21F F IG λ=（λ为实数），斜率为1的直线l 经过点1F ，且与圆122=+y x 相切，则椭圆的方程为A.16822=+y xB.14622=+y xC.17922=+y xD.181022=+y x第二部分 （非选择题 共100分）注意事项：必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。
江西省南昌市教研室命制高三数学交流卷试题 理(十)
南昌市教研室命制2014届高三交流卷（十）数学（理）试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1如图，在复平面内，若复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则复数12z z +所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）（A ）16 （B ）2524（C ）34 （D ）11123.设,,x y z 是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x z ⊥ 且y z ⊥则x ∥y ”为真命题的是 ( )A. x 为直线,,y z 为平面B.,,x y z 为平面C. ,x y 为直线,z 为平面D.,,x y z 为直线 4.“tan x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ） （A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数6.定义在R 上的函数()()()()⎩⎨⎧>-++≤-=0,110,8log 2x x f x f x x x f ，则()2013f =（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．3-7.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ） A.1 B.2C.3D.48.已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为9.函数()||()x xaf x e a R e =+∈在区间[]1,0上单调递增，则a 的取值范围（ ） A ．[]1,1-∈a B ． ]0,1[-∈a C ．[0,1]a ∈ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈e e a ,1 10.在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP <，则OA 的取值范围是（ ）A 、⎛ ⎝B 、C 、D第Ⅱ卷选做题（共5分）11.(1)．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点(4，π6)作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4B .7C ．2 2D ．2 311(2)．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22·y sin (θ＋π4)＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹是( )y()A()D()C ()BA ．椭圆B ．椭圆的一部分C ．抛物线D ．抛物线的一部分 第三卷（共85分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）12如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是13 已知30sin a xdx π=⎰，则71x x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 （用数字作答）. 14已知ABC ∆中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，外接圆半径是1,且满足条件()b B A C A )sin (sin sin sin 222-=-,则ABC ∆的面积的最大值为 .15已知12,F F 分别为双曲线22221x y a b-=（0,0a b >> ）的左、右焦点，O 为原点，A 为右顶点，P 为双曲线左支上的任意一点，若OAPF PF -122存在最小值为12a ，则双曲线离心率e 的取值范围是三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校高2010级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示．（I ）求该班学生参加活动的人均次数x ；（II ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率0P ． （III ）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．CF17(12分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC q ∠=，木梁的体积为V（单位：m 3），表面积为S （单位：m 2）．（1）求V 关于θ的函数表达式； （2）求θ的值，使体积V 最大；（3）问当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由．18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，2=BC ，21=BC ，21=CC ，ABC ∆是以BC为底边的等腰三角形，平面⊥ABC 平面11B BCC ，F E ,分别为棱AB 、1CC 的中点 （1）求证：//EF 平面11BC A ； （2）若A 到面1BCC 的距离为整数，且EF 与平面11A ACC，求二面角B AA C --1的余弦值．θD CBAO（第17题）19数列{a n }是公比为21的等比数列，且1-a 2是a 1与1+a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1=8，其前n 项和T n 满足T n =n λ·b n+1(λ为常数，且λ≠1)． (I)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (Ⅱ)比较11T +21T +31T +…+nT 1与了21S n 的大小．20．已知椭圆C 的方程为142222=+my m x ，m 为正数，如图，在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为B （2,0），A （0,1），C(2,1)（1）求随圆C 的离心率；（2）若椭C 与ABC ∆无公共点，求m 的取值范围；（3）若椭圆C 与ABC ∆相交于不同的两点，分别为M 、N ，求OMN ∆面积S 的最大值。
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南昌市教研室命制2014届高三交流卷（一）数学（理）试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1设复数11z i=-，则z 的共轭复数是（ ）A.11i +B.1i +C.11i- D.1i -2.设p ∶22,x x q --＜0∶12xx +-＜0，则p 是q 的 （ ） A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要3.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，设412(log 7),(log 3),a f b f ==2(2)c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. b a c << B ． a b c << C ． a c b << D ． c b a <<4.已知1sin 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7cos 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）A.13 B. 223 C. 13- D. 223- 5.已知函数x n x m x f cos sin 2)(-=，直线3π=x 是函数)(x f 图像的一条对称轴，则=mn（ ） A.332B. 3C. 332-D. 336.等差数列{}n a 中的1a 、4025a 是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点,则22013log a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则△AOB 的面积为（ ）A ．5B ．52C ．32D ．1788.已知函数2210()40x x f x x x a x ⎧+>⎪=⎨--+≤⎪⎩ 在点（1,2）处的切线与()f x 的图像有三个公共点，则a 的取值范围是（ ）A ．[8,425)--+B ．(425,425)---+C ．(425,8]-+D ．(425,8]--- 9.美不胜收的“双勾函数” 1y x x=+是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是y 轴和直线y x =，其离心率e= A ．2B ． 21+C ． 3D ． 224-10若函数()y f x =图像上的任意一点P 的坐标(,)x y 满足条件|| ||y x ≥，则称函数()f x 具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是 （ ）A ．()1x f x e =-B ．()ln(1)f x x =+C ．()sin f x x =D ．()tan f x x = 二、选做题：请在下列两题中任选一题作答若两题都做，则按第一题评阅计分本题共5分. 11．（1）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为4cos =θρ的直线与曲线⎩⎨⎧==32ty t x （t 为参数）相交于B A ,两点,则||AB =（ ）A.13B.14C.15D.16 11．（2）（不等式选做题）若不等式2)|2||1(|log 2≥--++m x x 恒成立，则实数m的取值范围为（ ）A . ]3,(--∞B . ]1,3[--C . ]3,1[-D . ]1,(--∞三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，合计20分.12.已知向量)1,3(=a ,)1,0(-=b ,)3,(k c =,若b a 2+与c 共线,则=k _________ 13.运行如图的程序框图,输出的结果是______14.已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆22221(0)x ya b a b +=>>上的任意一点，若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos α=55，sin(α+β)=35，则此椭圆的离心率为 ．15.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AC 1、A 1B 1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 ．四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=x x x x x f 23sin 32sin sin 2sin )(22ππ（1）若,21tan =x 求)(x f 的值；（2）求函数)(x f 最小正周期及单调递减区间．17. （本小题满分12分）PM2．5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大。
我国PM2．5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级；在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．某市环保局从360天的市区PM2．5监测数据中，随机抽取l5天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)从这l5天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；(2)以这l5天的PM2．5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级．18．（本小题满分12分）如图,ABCD 是边长为3的正方形，ABCD 面⊥DE ，AF DE DE AF 3,//=,BE 与平面ABCD 所成的角为060.(1)求二面角D BE F --的的余弦值;(2)设点M 是线段BD 上一动点，试确定M 的位置，使得BEF AM 面//，并证明你的结论.19. （本小题满分12分） 设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n(n=2,3,4,,)阶“期待数列”:① 1230n a a a a ++++=;②1231n a a a a ++++=．(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”;(2)若某2k+1(*k N ∈)阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; 20．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 在x 轴上，离心率32e =，点2(2)2Q ,在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）若斜率为k (0)k ≠的直线n 交椭圆C 与A 、B 两点，且OA k 、k 、OB k 成等差数列，点M （1,1），求ABM S ∆的最大值.21. （本小题满分14分）已知函数32()f x x x bx =-++，()ln g x a x x =+（0a ≠） （Ⅰ）若函数()f x 存在极值点，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅲ）当0b =且0a >时，令(),1()(),1f x x F x g x x x <⎧=⎨-≥⎩，P (11,()x F x )，Q (22,()x F x )为曲线()y F x =上的两动点，O 为坐标原点，能否使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y 轴上？请说明理由．答案一.DABCC ABDDC 二．（1）D （2）D三.12 -3 13 510 14 5715 25+ 四．16所以)(x f 的单调递减区间为Z k k k ∈++],85,8[ππππ17解：（1）∵ 3,6,15===n M N ,ξ的可能值为0，1， 2，3其分布列为315396)(C C C k P kk -⋅==ξ )3 , 2 , 1 , 0(=k ………………… 3分 ξ0 1 2 3p4558445521645513545520………………… 6分（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为52156==p 一年中空气质量达到一级的天数为η 则η～⎪⎭⎫ ⎝⎛52,360B , 所以14452360=⨯=ηE (天) ……………………11分一年中空气质量达到一级的天数为144天 ……………………………… 12分18（1）∵AC ⊥平面BDE ，∴平面BDE 的法向量设为(3,3,0)CA =-，∴613cos ,13||||2632n CA n CA n CA ⋅===⋅⨯，故二面角F BE D --的余弦值为1313.23211,2k k k a a a ++++++=∴(1)11,22(1)k k kd d d k k -+==+即20联立kxy y x ==+⎩⎨⎧1422易得弦AB 的长为224141k k++21当1t =时，(1,0),(1,2)OP OQ ==-则0OP OQ ⋅≠； …………11分 当1t >时，()F t =ln a t ，代入方程(*)得232ln ()0t a t t t -++= 即1(1)ln t t a=+， …………………………………12分设()(1)ln (1)h x x x x =+≥，则1()ln 10h x x x'=++>在[)1,+∞上恒成立． ∴()h x 在[)1,+∞上单调递增，从而()(1)0h x h ≥=，则值域为[)0,+∞． ∴当0a >时，方程1(1)ln t t a=+有解，即方程(*)有解． …………13分综上所述，对任意给定的正实数a ，曲线上总存在,P Q 两点，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y 轴上． ………………14分．。