第三节函数的增减性

1 例6 证明 x > 1 时， 2 x > 3 − x 1 1 1 1 证 令 f ( x ) = 2 x − ( 3 − ) 则 f ′( x ) = = 2 ( x x − 1) − 2 x x x x
Q 在(1, + ∞ )内，f ′( x ) > 0, ∴ f ( x )在[1, + ∞ )上单调增加 , 1 又 f ( x ) > f (1) = 0 ∴当 x > 1 时， 2 x > 3 − x
如果函数的导数在某区间上的有限个点处为零， 注 如果函数的导数在某区间上的有限个点处为零，在其余各 点处恒为正或负，则函数在该区间上仍为单增或单减。 点处恒为正或负，则函数在该区间上仍为单增或单减。 例5 讨论 y = x 的单调性
3
y
y = x3
x
解 定义域 (− ∞ ,+∞ )
y ′ = 3 x 2 > 0（除去 x = 0 ）
在 (0, 2π )内, 恒有 y′ = 1 − cos x > 0
∴ y = x − sin x 在 [0 , 2π ]上单调增加 .
利用函数单调性所解决的几个问题: 二、利用函数单调性所解决的几个问题
1 判定函数单调性（即确定其单调区间） 一般步骤为： 判定函数单调性（即确定其单调区间） 一般步骤为： （1）确定函数定义域； ）确定函数定义域； （2）求 f ′( x ); ） （3）令 f ′( x ) = 0 , 解得它的根 x i ; ） 的间断点、 （4）确定 ）确定f(x)的间断点、 f ′( x ) 不存在的点 x k ; 的间断点 把函数的定义域划分为几个部分区间； （5）用 x i 、x k 把函数的定义域划分为几个部分区间； ） （6）在上面每个小区间上讨论函数的单调性。 ）在上面每个小区间上讨论函数的单调性。 一般的解题的格式为： 一般的解题的格式为： 解：函数的定义域为：··· ···， f ′( x ) = LL 函数的定义域为： ， 解得x ？ 令f ′( x ) = 0 , 解得 1=？ , x2=？ , x3= ？, ··· ··· ？ 不存在， 当x=？ 时， f ( x )、f ′( x ) 不存在， ？ 列表得结论。 列表得结论。
§4.3
y
y = f (x)
函数的增减性
y
B
f ′( x ) > 0
A
f ′( x ) < 0
y = f (x)
A
B
b
o
a
x
o
a
b
x
函数单调性的判定法: 一、函数单调性的判定法
上连续, 内可导. 设函数 y=f(x) 在[a, b]上连续 在(a, b)内可导 上连续 内可导
(1)如果在 (a , b )内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x )在 [a , b ]上单调增加 ;
∴ f ( x )在[0, + ∞ )上单调增加 .
y
1 ⋅
例3 讨论 y = 3 x 2 的单调性
y = 3 x2
y′ =
2 x 3
−
1 3
=
2 33 x
⋅ −1
⋅ o
⋅ 1
x
x = 0 时 y ′不存在 x < 0时，y′ < 0,
x > 0时，y′ > 0
来自百度文库
f ( x )在 ( −∞ , 0 ]上单调减少 ,
或>
一般用大端减小端） a）设 f ( x ) = h( x ) − g ( x ); （一般用大端减小端） ） 的正、 b）讨论 f ′( x ) = h′( x ) − g ′( x )的正、负； ） c）求定义区间端点的函数值； ）求定义区间端点的函数值； d）由函数的单调性及端点函数值，证得不等式。 ）由函数的单调性及端点函数值，证得不等式。
∴ f ( x )在(− ∞ ,+∞ )上单调增加 .
0
又例 讨论 y = x + cos x 在 [ − 2π ， π ] 上的单调性 2 解
y ′ = 1 − sin x > 0
（除去 x = −
π
2
,
π
2
, y′ = 0 ）
∴ f ( x )在 [ − 2π , 2π ] 上单调增加 .
2 利用单调性证明不等式 一般要证明 g ( x ) < h( x ) :
x ∈ (− ∞ , 1), f ′( x ) > 0
0
−3
1
2
x
x ∈ (1, 2 ), x ∈ ( 2， ∞ ), +
f ′( x ) < 0 f ′( x ) > 0
∴ f ( x ) 在 ( −∞ , 1], [ 2 , + ∞ ) 上单增 , 在 [1, 2 ] 上单减 .
[2 即 : f ( x )的单增区间为 (− ∞ ,1]、 , +∞ ), 单减区间为 [1, 2 ].
若 f ′( x )总为正 , 则 f ( x 2 ) − f ( x1 ) = f ′(ξ )( x 2 − x1 ) > 0 即 f ( x1 ) < f ( x2 ),
f ( x )在 [a , b ]上单调增加 .
同理， f ′( x ) 总为负 , 则 f ( x )在 [a , b ]上单调减少 . 同理， 若 例1 判定 y = x − sin x 在 [0, 2π ] 上的单调性 . 解
例2 讨论 y = e x − x − 1 的单调性 . 解
定义域 (− ∞ , + ∞ ). y ′ = e x − 1,
令y′ = 0，得 x = 0
x ∈ (0, + ∞ ) , y ′ > 0,
解 定义域 (− ∞ , + ∞ )
x ∈ (− ∞ , 0 ) , y ′ < 0,
∴ f ( x )在( −∞ , 0]上单调减少.
f ( x )在[ 0 , + ∞ )上单调增加 .
例4 解
确定 f ( x ) = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 3 的单调区间 .
定义域 (− ∞ , + ∞ )
y
f ′( x ) = 6 x 2 − 18 x + 12 = 6( x − 1)( x − 2)
令 y ′ = 0，得 x = 1, 2
(2 )如果在 (a , b )内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x )在[a , b ]上单调减少 .
证 在[a, b]上任取两点 x1 、 2 (不妨设 x1 < x 2 ) , x 上任取两点 由拉格朗日中值定理， 则 x 2 − x 1 > 0, 由拉格朗日中值定理，有
f ( x 2 ) − f ( x 1 ) = f ′(ξ )( x 2 − x 1 )