【全国市级联考】北京市西城区2018年1月高三期末考试文科数学试题(原卷版)

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2017-2018学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(文科)

2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）2 C．y=sinx D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．6 C．30 D．2705．（5分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a6．（5分）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱7．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣4）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若函数f（x）=x（x+b）是偶函数，则实数b=．10．（5分）已知双曲线的一个焦点是F（2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是．11．（5分）向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么=．12．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=；c=．13．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足条件，设O为原点，则|OM|的最小值是．14．（5分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．16．（13分）已知数列{a n}是公比为的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项之积为T n，求T n的最大值．17．（13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A，B两类（评定标准见表）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A2的学生中有一半是女生．等级为A1和A2的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B类女生占女生总数的比例为k1，B类男生占男生总数的比例为k2．判断k1与k2的大小．（只需写出结论）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AC．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥B1﹣AA1EF的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．若，求的值．19．（14分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q在椭圆C上．试问直线x+y﹣4=0上是否存在点P，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．（13分）已知函数f（x）=x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【解答】解：===﹣1+i，对应点的坐标为（﹣1，1），故选：B3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）2 C．y=sinx D．【解答】解：对于A，函数在R递减，对于B，函数在（0，1）递减，对于C，函数在（0，+∞）无单调性，对于D，函数在（0，+∞）递增，故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．6 C．30 D．270【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=2满足条件k≤5，执行循环体，S=2，k=3满足条件k≤5，执行循环体，S=6，k=5满足条件k≤5，执行循环体，S=30，k=9不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为30．故选：C．5．（5分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a【解答】解：，得，即a=4b．故选：C．6．（5分）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为直四棱柱ABEA1﹣DCFD1，截去的部分为三棱柱BB1E﹣CC1F．故选：B．7．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若f（0）=f（π），则sinφ=sin（π+φ）=﹣sinφ，则sinφ=0，则φ=kπ，此时f（x）=sin（x+φ）=sin（x+kπ）=±sinx，曲线C关于直线对称，反之若曲线C关于直线对称，则f（0）=f（π），即“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的充要条件，故选：C8．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣4）【解答】解：不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞x2），可得⇒，利用均值不等式1⇒2∴x1+x2＜﹣2，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若函数f（x）=x（x+b）是偶函数，则实数b=0．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即﹣x（﹣x+b）=x（x+b），得x﹣b=x+b，则﹣b=b，得b=0，故答案为：0．10．（5分）已知双曲线的一个焦点是F（2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，∴c=2，，∵c=，∴a=1，b2=3，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．11．（5分）向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么=4．【解答】解：向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，=（2，0）．=（2，﹣1）．那么=2×2+0×（﹣1）=4．故答案为：4．12．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=1；c=．【解答】解：△ABC中，a=3，，∴△ABC的面积为absinC=×3×sin=，解得b=1；∴c2=a2+b2﹣2abcosC=32+12﹣2×3×1×cos=13，c=．故答案为：1；．13．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足条件，设O为原点，则|OM|的最小值是．【解答】解：画出满足条件的可行域，如图所示：故|OM|的最小值为原点到直线x+y﹣1=0的距离：=．故答案为：．14．（5分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是[﹣，+∞）；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是[，1] ．【解答】解：c=0时，f（x）=x2+x=（x+）2﹣，f（x）在[﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递增，可得f（﹣2）取得最大值，且为2，最小值为﹣；当0＜x≤3时，f（x）=递减，可得f（3）=，则f（x）∈[，+∞），综上可得f（x）的值域为[﹣，+∞）；∵函数y=x2+x在区间[﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1]上是增函数，∴当x∈[﹣2，0）时，函数f（x）最小值为f（﹣）=﹣，最大值是f（﹣2）=2；由题意可得c＞0，∵当c＜x≤3时，f（x）=是减函数且值域为[，），当f（x）的值域是[﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为=[（4分）]=[（5分）]=，[（7分）]所以f（x）的最小正周期．[（8分）]（Ⅱ）因为，所以．[（10分）]所以，[（12分）]所以．[（13分）]16．（13分）已知数列{a n}是公比为的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项之积为T n，求T n的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为a2+6是a1和a3的等差中项，所以2（a2+6）=a1+a3．[（2分）]因为数列{a n}是公比为的等比数列，所以，[（4分）]解得a1=27．[（6分）]所以a n=a1•q n﹣1=（）n﹣4．[[（8分）]（Ⅱ）令a n≥1，即（）n﹣4≥1，得n≤4，[（10分）]故正项数列{a n}的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1．[（11分）]所以当n=3，或n=4时，T n取得最大值，[（12分）]T n的最大值为T3=T4=a1•a2•a3=729．[（13分）]17．（13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A，B两类（评定标准见表）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A2的学生中有一半是女生．等级为A1和A2的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B类女生占女生总数的比例为k1，B类男生占男生总数的比例为k2．判断k1与k2的大小．（只需写出结论）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中B类学生所占比例为（0.02+0.04）×10=60%，（2分）所以A类学生所占比例为40%．（3分）因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A类学生的人数约为8万人．（4分）（Ⅱ）由表1得，在5人（记为a，b，c，d，e）中，B类学生有2人（不妨设为b，d）．将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种．（6分）依次为：（ab，cde），（ac，bde），（ad，bce），（ae，bcd），（bc，ade），（bd，ace），（be，acd），（cd，abe），（ce，abd），（de，abc）．（8分）所以“甲、乙两组各有一名B类学生”的概率为．（10分）（Ⅲ）k1＜k2．（13分）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AC．过AA 1的平面交B 1C 1于点E ，交BC 于点F ．（Ⅰ）求证：A 1C ⊥平面ABC 1；（Ⅱ）求证：A 1A ∥EF ；（Ⅲ）记四棱锥B 1﹣AA 1EF 的体积为V 1，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V ．若，求的值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AB ⊥平面AA 1C 1C ，所以A 1C ⊥AB ．[（2分）]在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，因为AA 1=AC ，所以四边形AA 1C 1C 为菱形，所以 A 1C ⊥AC 1．[（3分）]所以A 1C ⊥平面ABC 1．[（5分）]（Ⅱ）证明：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，因为A 1A ∥B 1B ，A 1A ⊄平面BB 1C 1C ，[（6分）]所以A 1A ∥平面BB 1C 1C ．[（8分）]因为平面AA 1EF ∩平面BB 1C 1C=EF ，所以A 1A ∥EF ．[（10分）]（Ⅲ）解：记三棱锥B 1﹣ABF 的体积为V 2，三棱柱ABF ﹣A 1B 1E 的体积为V 3．因为三棱锥B 1﹣ABF 与三棱柱ABF ﹣A 1B 1E 同底等高，所以，[（11分）]所以．因为，所以．[（12分）]因为三棱柱ABF ﹣A 1B 1E 与三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1等高，所以△ABF 与△ABC 的面积之比为，[（13分）]所以．[（14分）]19．（14分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q在椭圆C上．试问直线x+y﹣4=0上是否存在点P，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，a=2，b=1．[（2分）]所以椭圆C的方程为．[（3分）]设椭圆C的半焦距为c，则，[（4分）]所以椭圆C的离心率．[（5分）]（Ⅱ）由已知，设P（t，4﹣t），Q（x0，y0）．[（6分）]若PAQB是平行四边形，则，[（8分）]所以（2﹣t，t﹣4）+（﹣t，t﹣3）=（x0﹣t，y0﹣4+t），整理得x0=2﹣t，y0=t﹣3．[（10分）]将上式代入，得（2﹣t）2+4（t﹣3）2=4，[（11分）]整理得5t2﹣28t+36=0，解得，或t=2．[（13分）]此时，或P（2，2）．经检验，符合四边形PAQB是平行四边形，所以存在，或P（2，2）满足题意．[（14分）]20．（13分）已知函数f（x）=x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2lnx﹣2x的定义域是（0，+∞），导函数为f'（x）=2xlnx+x﹣2，所以f'（1）=﹣1，又f（1）=﹣2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣x﹣1；（Ⅱ）证明：由已知f（2）﹣f（1）=4ln2﹣2，所以只需证明方程2xlnx+x﹣2=4ln2﹣2在区间（1，2）有唯一解．即方程2xlnx+x﹣4ln2=0在区间（1，2）有唯一解．设函数g（x）=2xlnx+x﹣4ln2，则g'（x）=2lnx+3．当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在区间（1，2）单调递增．又g（1）=1﹣4ln2＜0，g（2）=2＞0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）=0．综上，存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）f（1.01）＞﹣2.01．证明如下：首先证明：当x＞1时，f（x）＞﹣x﹣1．设h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣1）=x2lnx﹣x+1，则h'（x）=x+2xlnx﹣1．当x＞1时，x﹣1＞0，2xlnx＞0，所以h'（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）单调递增，所以x＞1时，有h（x）＞h（1）=0，即当x＞1时，有f（x）＞﹣x﹣1．所以f（1.01）＞﹣1.01﹣1=﹣2.01．。

高三试卷—北京2018西城区高三(上)期末数学(文)试题及答案

（Ⅲ）比较 f (1.01) 与 2.01的大小，并加以证明．
数学试题答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1．A
2．B
3．D
5．C
6．B
7．C
4．C 8．B
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9． 0
10． x2 y2 1 3
12．1； 13
x y 1≥ 0.
x2 x, 2 ≤ x ≤ c,
14．已知函数
f
(x)
1 x
,
若 c 0 ，则 f (x) 的值域是____；若 f (x) 的值域是[ 1 , 2] ，则实数 c 的
c x ≤ 3.
4
取值范围是____．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
（A）{x | 1 x 3} （C）{x | 0 x 2}
（B）{x | 1 x 0} （D）{x | 2 x 3}
2．在复平面内，复数 2i 对应的点的坐标为 1i
（A） (1,1)
（B） ( 1,1)
（C） ( 1, 1)
（D） (1, 1)
3．下列函数中，在区间 (0,) 上单调递增的是
[ 6 分]
依
次
为
：
(ab, cde), (ac, bde), (ad , bce), (ae, bcd ), (bc, ade), (bd , ace), (be, acd ), (cd , abe),
(ce, abd),(de,abc) ．
[ 8 分]
所以“甲、乙两组各有一名 B 类学生”的概率为 6 3 ． 10 5

北京市西城区2016-2018--2019学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)

北京市西城区2019学年度第一学期期末试卷、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 •已知集合 A={x R |0 ：：：x ::: 1} , B ={x R |(2x —1)(x 1)0}，则 A“ B 二()1(A)(0,;)2— 1(C )(-・-1)U (0,2)5i2.复数()2 +i(A ) 1 2i (B ) -1 2i3 •执行如图所示的程序框图，则输出 S =((A) 2 (B) 6 (C) 15 (D) 314•函数f （x ）二丄-Inx 的零点个数为（)高三数学（文科）第I 卷（选择题共40分）2019.11(B)(打)2(D)(」：,-1)U (1,1)(C ) -1 -2i (D ) 1 -2i5.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是()2x (A ) 0(B ) 1(C ) 2(D ) 3(A) 5\3 (B) 2.3=1的两条切线MA , MB (A ，B 为切点)，则MA MB =(7•设等比数列｛a n ｝的公比为q ，前n 项和为S n •则“ |q | — 2 ”是“ -7S 2 ”的()(B )必要而不充分条件(D )既不充分也不必要条件&已知函数f (x)的定义域为R .若常数c • 0 ,对一 x • R ，有f (x • c) • f (x -c)，则称函数f(x)具有性质P .给定下列三个函数：3① f (x) = | x |; ② f (x)二sin x ;③ f (x)二 x -x .其中，具有性质P 的函数的序号是( )(A ［①(B ［③(C )①② (D )②③(C )5,3 ~3~(D)2,. 3(A )(B )5(D )6•过点M (2,0)作圆x 2y 2(A )充分而不必要条件 (C )充分必要条件5.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是( )2第H卷(非选择题共110 分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9 .已知向量a= (1,3), b = (m,2m—1).若向量a与b共线，则实数m = __________ .10 •平行四边形ABCD中，E为CD的中点•若在平行四边形ABCD内部随机取一点M ,则点M取自△ ABE内部的概率为 _________ .x2y211•双曲线二=1的渐近线方程为；离心率为36 4512•若函数f(x)二log2x, x 0,是奇函数，则g(-8)= _______________ .l g(x), x"n n n13.已知函数f (x) =sin(x ___________________________ )，其中［,a］.当a 时，f (x)的值域是；若f (x)6 3 21的值域是［- —,1］，则a的取值范围是2214.设函数f (x^x2-6x 5，集合A ={( a,b) | f (a) f (b)空0,且f(a)- f(b) 一0}.在直角坐标系aOb中，集合A所表示的区域的面积为_________ .三、解答题：本大题共 6小题，共80分•解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分13分)在厶ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为a,b,c ，且cos2B ・cosB = 0 .(I)求角B 的值；(n)若b =凉7 , a ^5，求△ ABC 的面积.16. (本小题满分13分)为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重. 经统计，这批学生的体重数据位：千克)全部介于 45至70之间.将数据分成以下 5组：第1组［45 ,50)，第2组［50,55), 组［55,60)，第4组［60,65)，第5组［65,70］，得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法，从第3, 4, 5组中随机抽取6名学生做初检.(I)求每组抽取的学生人数；17. (本小题满分14分)如图，直三棱柱 ABC - ABG 中，AC — BC , AC =BC =C G =2 , M , N 分别为AC , B 1C 1的中点.(I)求线段MN 的长;(单第3(n)若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检,nn1(A)八 r") 、C j (A).i ±j =1(I)对如下数表 A S(4, 4)，求l(A)的值;%如%■« F ■V■叫1%(n)求证：MN /平面ABBA ;(川)线段CG 上是否存在点Q ，使AB 丄平面MNQ ?说明理由.18. (本小题满分13分)X已知函数f (x)二飞，其中b R .x ? +b(I)若X =「1是f(x)的一个极值点，求b 的值； (n)求f(x)的单调区间.19. (本小题满分14分)221 如图，A , B 是椭圆令•占=1 (a b 0)的两个顶点.|AB|— 5 ,直线AB 的斜率为-―.a b2(I)求椭圆的方程；(n)设直线l 平行于AB ，与x, y 轴分别交于点M,N ，与椭圆相交于C,D .证明：△ OCM 的面如图，设A 是由n n 个实数组成的n 行n 列的数表，其中a ij (i, j ^1,2,3^l, n)表示位于第i 行第j 列的实数，且a 「{1, -1} •记S(n, n)为所有这样的数表构成的集合.对于A S( n, n)，记r i (A)为A 的第i 行各数之积，C j (A)为A 的第j 列各数之积•令(n)证明：存在 A S(n, n)，使得 1(A) =2n _4k ，其中 k =0,1,2,川，n ; (川)给定n 为奇数，对于所有的 A 三S( n, n)，证明：丨(A) = 0 . 积等于△ ODN 的面积.20.(本小题满分13分)北京市西城区2019 —2019学年度第一学期期末高三数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共40分.2019.11. B;2. A;3. C;4.B; 5. C;6.D ; 7. A; 8. B .二、填空题: 本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. -1 ;10.1 ;—?11.y=上x , 3 , 2221兀12. -3 ；1[-，［—，二］; 14. 423注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分15.(本小题满分13分)(I)解：由已知得2cos2B • cosB -1 = 0 , ................. 2 分即(2cos B -1)(cos B 1)=0 .1解得cosB ，或cosB = T. ................. 4分2因为0 ::: B : n,故舍去cosB = -1 . .................. 5分n所以B . .................. 6分3(n)解：由余弦定理得b2 =a2■ c2 -2accosB . .................. 8分将B =n, b ».；7代入上式，整理得(a • c)2-3ac = 7. 3所以ac =6.所以△ ABC 的面积S =丄acsin B =3-^ .2 216.(本小题满分13分)(I)解：由频率分布直方图知，第3 ,4 , 5组的学生人数之比为 3: 2:1 . ..................... 2分所以，每组抽取的人数分别为：3 2 1第 3 组： 6=3 ；第 4 组： 6=2 ；第 5 组： 6"6 6 6所以从3 , 4 , 5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生. .................... 5分(n)解：记第3组的3位同学为A , A , A ；第4组的2位同学为B , B 2 ；第5组的1位同学为则从6位同学中随机抽取 2位同学所有可能的情形为:(人,人),(人,人),(人启)，3月2)，3,6，仏人),(人月1),(人2也),(人22),(人月1), (A, B 2),( A 3,C),( B 1, B 2),( B 1,C),(B 2,C)，共15种可能........... 10 分其中，(A,B 1),(A,B 2),(A,C),(A 2,B),(A 2,B 2),(A,C),(A,B 1),(A 3,B 2),(A,C),(B 1,C),(B 2,C)这11种情形符合2名学生不在同一组的要求.11分13分12分故所求概率为1513分17.(本小题满分14分)(I)证明：连接CN .因为ABC 1AB1G是直二棱柱，所以CG _ 平面ABC , (1)分所以AC _ CG .……2分因为AC _ BC , 所以AC _平面BCC I B-I.因为MC -1 , CN = ：、；CC12 GN2=5 ,（n）证明：取AB中点D，连接DM , DB1. .................. 5分1在厶ABC中，因为M为AC中点，所以DM//BC , DM=丄BC21 在矩形BBCG中，因为N为BQ中点，所以BN//BC, BC .2所以DM 〃B,N , DM 二B,N .所以四边形MDB,N为平行四边形，所以MN //DB,.因为MN学平面ABBA , DB, u平面ABBA ,所以MN //平面ABB,A .（川）解：线段CG上存在点Q，且Q为CC i中点时，有AB_平面MNQ . ..... 11分证明如下：连接BC1.在正方形BB1C1C中易证QN _ BC| .又AG _平面BBGC，所以AG _ QN，从而NQ _平面A1BC1. ................................................... 12分所以AB _QN . (13)分同理可得AB _ MQ，所以AB _平面MNQ .故线段CG上存在点Q，使得A B _平面MNQ .18.（本小题满分13分）依题意，令f （-1） =0，得b =1.经检验，b =1时符合题意.1 解：①当b =0时，f（x）：故f（x）的单调减区间为（-：：,0）, （0, •：：）;无单调增区间.14分(I)解: f（X）b-x2(x2b)25 分（n）x令 f (x) =0，得为=、、b , X2 = - \ b ........... 8 分f （x ）和f （x ）的情况如下:故f （x ）的单调减区间为（_：：,_』）,（」b, •：：）；单调增区间为............ 11分③当b <0时，f （x ）的定义域为D ={^ R =.设 C(X 1,yJ , D(X 2, y 2).②当b 0时,f (x)二b-x 2(x 2 b)2b —x 2 因为f(x) —:::0在D 上恒成立,故f （x ）的单调减区间为（-、、-6八兀）,（.弔：：）；无单调增区间. 13分19.（本小题满分14分）（I ）解：依题意，得a1 2， L ；a2 ■ b 2 = \5.解得所以 2椭圆的方程为-y 24（n ）证明: 由于丨// AB ，设直线l 的方程为y = -• m ，将其代入x22x 2y = 1,消去y ,4整理得2x 22-4mx 4m 一4 = 0.A =16m 2 _32(m 2 _1)A O,所以片• x 2 = 2m,................. 8分c2cX 1X 2 =2m -2.证法一:记△ OCM 的面积是0 , △ ODN 的面积是 S - 由 M(2m,0) , N(0,m),则 S = Sr 二-|2m| I 力 I =1 |m| | x 2 |= |2y , | = |x 2 I •.......... 10 分2 2因为 x 1 • x 2 = 2m ,1所以 12y 1 ^| 2 ( x 1m)^^x 12m^|x 2| , ................. 13 分2从而S=S 2 •.......... 14分证法二：记△ OCM 的面积是S , △ ODN 的面积是 S • 则0=5= | MC | =| ND |= 线段CD,MN 的中点重合. ........... 10分因为 x 1 x^ 2m ，所以x 1—m , 土归二2 21故线段CD 的中点为(口,丄口)•2因为 M(2m,0)，N(0,m)，20 •(本小题满分13分) ([)解：「1(A)汀3(Am ,「2(A)=-1； G (A) =C 2(A)二 C 4(A) — 1, Q (A)=1,4 4所以 l(A) =' r i (A) ' C j (A) =0 •.......... 3 分i =ij =i(n)证明：(i)对数表 A o : a ij = 1 (i, j =1,2,3, || 1, n)，显然 1 (A o ) = 2n .将数表 A 中的巧由1变为-1，得到数表Ai ，显然I (A) =2n-4 .将数表A 中的a 22由1变为-1，得到数表 A ，显然I (A ?) = 2n -8 .所以线段MN(m m)•从而S = S 2 •13分 14分依此类推，将数表人二中的a kk由1变为-1，得到数表A .即数表A k满足：an 二a?2 = HI 二a kk 二-1(1 空k 乞n)，其余a j = 1 .所以A(A) =r2(A)二川二R(A) - -1, G(A)=C2(A) = I"二C k(A) - -1.所以I (AJ =2[(-1) k (n - k)] =2 n - 4k，其中k =0,1,2,川，n . .............................. 7 分【注：数表A不唯一】(川)证明：用反证法.假设存在A S(n, n)，其中n为奇数，使得I(A)=0 .因为r(A) {1,, C j(A) {1, -1} (1 小n,1 j n),所以A(A), Q(A)，…，G(A) , G(A) , C2(A)，…,C n(A)这2n 个数中有n 个1, n 个-1 .令M 汀’A) “(A)川「.(A) q(A) C2(A) ||| q(A).一方面，由于这2n个数中有n个1 , n个-1，从而M=(-1)n=「1. ①另一方面，「1(A) r2(AMU r n(A)表示数表中所有元素之积(记这n2个实数之积为m )；q(A) q(A)川q(A) 也表示m , 从而M = m2 = 1 . ②①、②相互矛盾，从而不存在A S(n, n),使得I (A) =0 .即n为奇数时，必有I(A)=0 . .................. 13分。

2018年北京西城区高三上学期期末考试数学试题(文)

北京市西城区2018年第一学期期末试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =（）（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2 （C ）1(,1)(0,)2-∞- （D ）1(,1)(,1)2-∞-2．复数5i 2i=+（）（A ）12i +（B ）12i -+ （C ）12i -- （D ）12i -3．执行如图所示的程序框图，则输出S=（）（A ）2（B ）6（C ）15（D ）314．函数1()ln f x x x=-的零点个数为（）（A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）35．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（）A ．53B ．3C ．54D ．2 6．考察下列函数：①()sin f x x x =-；②2()32f x x =--；③2()2x f x x =-；④()ln 2cos f x x x =- 其中有三个零点的函数是A ． ①②B ． ②③C ． ③④D ． ①④7．已知α∈(2π,π)，sin α=35,则tan(4πα+)等于 A. －17 B. 17C. 7D.－7 8．如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半径为1的半圆，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积是A ．3π BC ．D第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量(1,3)=a，(,21)m m =-b ．若向量a 与b 共线，则实数m =______．10．平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M 取自△ABE 内部的概率为______．11．双曲线2213645x y -=的渐近线方程为______；离心率为______．12．若函数2log ,0,()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩是奇函数，则(8)g -=______．13．已知函数π()sin()6f x x =+，其中π[,]3x a ∈-．当2a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______． 14．设函数2()65f x x x =-+，集合{(,)|()()0A a b f a f b =+≤，且()()0}f a f b -≥．在直角坐标系aOb 中，集合A 所表示的区域的面积为______．正视图俯视图侧视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos2cos 0B B +=．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若b=5a c +=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[4550)，，第2组[5055)，，第3组[5560)，，第4组[6065)，，第5组[6570]，，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．17．（本小题满分14分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥，21===CC BC AC ，M ，N 分别为AC ，11C B 的中点．（Ⅰ）求线段MN 的长；（Ⅱ）求证：MN // 平面11A ABB ；（Ⅲ）线段1CC 上是否存在点Q ，使⊥B A 1平面MNQ ？说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2()x f x x b=+，其中b ∈R ．（Ⅰ）若1x =-是)(x f 的一个极值点，求b 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间．19．（本小题满分14分）如图，A ，B 是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的两个顶点．||AB =直线AB 的斜率为12-．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 平行于AB ，与,x y 轴分别交于点,M N ，与椭圆相交于,C D ．证明：△OCM 的面积等于△ODN 的面积．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ija (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-．记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）对如下数表(4,4)A S ∈，求()l A 的值；（Ⅱ）证明：存在(,)A S n n ∈，使得()24l A n k =-，其中0,1,2,,k n =；（Ⅲ）给定n 为奇数，对于所有的(,)A S n n ∈，证明：()0l A ≠．。

【全国市级联考】北京市西城区2018年1月高三期末考试文科数学试题(解析版)

北京市西城区2017 —2018学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1. 若集合，，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】集合，，，故选A.2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由，则复数对应的点的坐标是，故选B.3. 下列函数中，在区间上单调递增的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】，在区间上单调递减，不满足条件；在区间上单调递减，，不满足条件；在区间上不是单调函数，不满足条件；根据幂函数的性质可知在区间上单调递增满足条件，故选D.4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】执行程序框图，输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，，结束循环，输出，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5. 若，则有( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因为=,所以，，故选D.6. 一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（）A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱【答案】B【解析】由三视图可知，剩余几何体是如图所示的四棱柱，则截去的部分是三棱柱，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7. 函数的图象记为曲线．则“”是“曲线关于直线对称”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若“”，则可得，,或，曲线关于直线对称，充分性成立；若曲线关于直线对称，根据轴对称图形的性质可得一定有“”，必要性成立，所以“”是“曲线关于直线对称”的充分必要条件，故选C.8. 已知，是函数的图象上的相异两点．若点，到直线的距离相等则点，的横坐标之和的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为点，到直线的距离相等，所以可设，则在上，可得，，，，即的横坐标之和的取值范围是，故选B.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数的运算以及利用基本不等式求范围，属于难题.求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值；三相等是，最后一定要验证等号能否成立.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 若函数是偶函数，则实数____．【答案】【解析】函数,根据二次函数的性质可得函数对称轴方程为，函数f(x)=x(x+b)是偶函数，所以函数对称轴为轴，所以，故答案为 .10. 已知双曲线的一个焦点是．其渐近线方程为，该双曲线的方程是_____.【答案】【解析】因为双曲线的一个焦点是，所以，双曲线的渐近线方程为，即①，又，② 联立②，解得，所以双曲线方程为，故答案为.11. 向量在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么____．【答案】【解析】由图可知，，所以，故答案为 .12. 在△中，，，△的面积为，则____；____．【答案】(1). (2).【解析】因为△的面积为，所以，由余弦定理可得，故答案为 .【思路点睛】本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用................13. 已知点的坐标满足条件设为原点，则的最小值是____．【答案】【解析】画出所表示的可行域，如图，由图可知，当的最小值是到直线的距离，由点到直线距离公式可得，即的最小值是，故答案为.14. 已知函数若，则的值域是____；若的值域是，则实数的取值范围是____．【答案】(1). (2).【解析】若，由二次函数的性质，可得，的值域为，若值域为，时，且时，，要使的值域为，则，得，实数的取值范围是，故答案为.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求证：当时，．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式以及两角差的正弦公式化简函数，利用周期公式可得；（2）由，得，所以，从而可得.试题解析：（1）因为，所以的最小正周期．（2）因为，所以．所以，所以．16. 已知数列是公比为的等比数列，且是和的等差中项．（1）求的通项公式；（2）设数列的前项之积为，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由数列是公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式及是和的等差中项列方程求出，从而可得的通项公式；（2）令，即，可得正项数列的前项大于，第项等于，以后各项均小于，所以的最大值为．试题解析：（1）因为是和的等差中项，所以．因为数列是公比为的等比数列，所以，解得．所以．（2）令，即，得，故正项数列的前项大于1，第项等于1，以后各项均小于1．所以当，或时，取得最大值，的最大值为．17. 某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为的学生中有40%是男生，等级为的学生中有一半是女生．等级为和的学生统称为类学生，等级为和的学生统称为类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图，得分（表1(I)已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为类学生的人数；(Ⅱ)某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名类学生”的概率；(Ⅲ)在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，类女生占女生总数的比例为，类男生占男生总数的比例为，判断与的大小．（只需写出结论）【答案】(Ⅰ)8万人；(Ⅱ)；(Ⅲ)．【解析】试题分析：(I)根据直方图可得样本中类学生所占比例为，所以类学生所占比例为，再根据总人数可估计在该项测评中被评为类学生的人数；(Ⅱ)利用列举法列举出按要求分成两组，分组的方法数为种，其中“甲、乙两组各有名类学生”的方法共有种，由古典概型概率公式可得结果；(Ⅲ)根据直方图，结合表格数据可得结论.试题解析：（1）依题意得，样本中类学生所占比例为，所以类学生所占比例为．因为全市高中学生共万人，所以在该项测评中被评为类学生的人数约为8万人．（2）由表1得，在5人（记为）中，类学生有2人（不妨设为）．将他们按要求分成两组，分组的方法数为种．依次为：．所以“甲、乙两组各有一名类学生”的概率为．（3）．18. 如图，三棱柱中，平面，.过的平面交于点，交于点.(l)求证：平面；(Ⅱ)求证：；(Ⅲ)记四棱锥的体积为，三棱柱的体积为.若，求的值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).【解析】试题分析：(l)因为平面，由线面垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，利用线面垂直的判定定理可得平面；(Ⅱ)由，平面，所以平面，利用线面平行的性质定理可得；(Ⅲ)记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，先证明，所以，结合，可得，而三棱柱与三棱柱等高，由此得．试题解析：（1）因为平面，所以．在三棱柱中，因为，所以四边形为菱形，所以．所以平面．（2）在三棱柱中，因为，平面，所以平面．因为平面平面，所以．（3）记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为.因为三棱锥与三棱柱同底等高，所以，所以.因为，所以. 因为三棱柱与三棱柱等高，所以△与△的面积之比为，所以．19. 已知椭圆过，两点．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点在椭圆上．试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1），；（2）存在，或.【解析】试题分析：（1）由椭圆过，两点可得，，，从而，进而可得椭圆的方程及离心率；（2）设，，若是平行四边形，则，可得．将上式代入，可解得，或，从而可得出点的坐标.试题解析：（1）由题意得，，，所以椭圆的方程为．设椭圆的半焦距为，则，所以椭圆的离心率．（2）由已知，设，．若是平行四边形，则，所以，整理得．将上式代入，得，整理得，解得，或．此时，或．经检验，符合四边形是平行四边形，所以存在，或满足题意．【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的存在性问题以及椭圆的离心率，属于难题. (3)存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①当条件和结论不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③当条件和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径.20. 已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；（3）比较与的大小，并加以证明．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）求出的值可得切点坐标，求出,可得的值，从而得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）由已知，只需证明方程在区间有唯一解，先利用导数证明在区间单调递增，再利用零点存在定理可得结论；（3）当时，利用导数研究函数的单调性，可得，即，令即可的结果.试题解析：（1）函数的定义域是，导函数为．所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，（2）由已知．所以只需证明方程在区间有唯一解．即方程在区间有唯一解．设函数，则．当时，，故在区间单调递增．又，，所以存在唯一的，使得．综上，存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为．（3）．证明如下：首先证明：当时，．设，则．当时，，所以，故在单调递增，所以时，有，即当时，有．所以．【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与零点，属于难题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.。

2017-2018学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(文科)

2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）2 C．y=sinx D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．6 C．30 D．2705．（5分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a6．（5分）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱7．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣4）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若函数f（x）=x（x+b）是偶函数，则实数b=．10．（5分）已知双曲线的一个焦点是F（2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是．11．（5分）向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么=．12．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=；c=．13．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足条件，设O为原点，则|OM|的最小值是．14．（5分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．16．（13分）已知数列{a n}是公比为的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项之积为T n，求T n的最大值．17．（13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A，B两类（评定标准见表）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A2的学生中有一半是女生．等级为A1和A2的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B类女生占女生总数的比例为k1，B类男生占男生总数的比例为k2．判断k1与k2的大小．（只需写出结论）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AC．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥B1﹣AA1EF的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．若，求的值．19．（14分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q在椭圆C上．试问直线x+y﹣4=0上是否存在点P，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．（13分）已知函数f（x）=x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．2017-2018学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵集合A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜2}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【解答】解：===﹣1+i，对应点的坐标为（﹣1，1），故选：B3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）2 C．y=sinx D．【解答】解：对于A，函数在R递减，对于B，函数在（0，1）递减，对于C，函数在（0，+∞）无单调性，对于D，函数在（0，+∞）递增，故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．6 C．30 D．270【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=2满足条件k≤5，执行循环体，S=2，k=3满足条件k≤5，执行循环体，S=6，k=5满足条件k≤5，执行循环体，S=30，k=9不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为30．故选：C．5．（5分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a【解答】解：，得，即a=4b．故选：C．6．（5分）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为直四棱柱ABEA1﹣DCFD1，截去的部分为三棱柱BB1E﹣CC1F．故选：B．7．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若f（0）=f（π），则sinφ=sin（π+φ）=﹣sinφ，则sinφ=0，则φ=kπ，此时f（x）=sin（x+φ）=sin（x+kπ）=±sinx，曲线C关于直线对称，反之若曲线C关于直线对称，则f（0）=f（π），即“f（0）=f（π）”是“曲线C关于直线对称”的充要条件，故选：C8．（5分）已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，﹣4）【解答】解：不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞x2），可得⇒，利用均值不等式1⇒2∴x1+x2＜﹣2，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若函数f（x）=x（x+b）是偶函数，则实数b=0．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即﹣x（﹣x+b）=x（x+b），得x﹣b=x+b，则﹣b=b，得b=0，故答案为：0．10．（5分）已知双曲线的一个焦点是F（2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，∴c=2，，∵c=，∴a=1，b2=3，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．11．（5分）向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么=4．【解答】解：向量，在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，=（2，0）．=（2，﹣1）．那么=2×2+0×（﹣1）=4．故答案为：4．12．（5分）在△ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=1；c=．【解答】解：△ABC中，a=3，，∴△ABC的面积为absinC=×3×sin=，解得b=1；∴c2=a2+b2﹣2abcosC=32+12﹣2×3×1×cos=13，c=．故答案为：1；．13．（5分）已知点M（x，y）的坐标满足条件，设O为原点，则|OM|的最小值是．【解答】解：画出满足条件的可行域，如图所示：故|OM|的最小值为原点到直线x+y﹣1=0的距离：=．故答案为：．14．（5分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是[﹣，+∞）；若f（x）的值域是，则实数c的取值范围是[，1] ．【解答】解：c=0时，f（x）=x2+x=（x+）2﹣，f（x）在[﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递增，可得f（﹣2）取得最大值，且为2，最小值为﹣；当0＜x≤3时，f（x）=递减，可得f（3）=，则f（x）∈[，+∞），综上可得f（x）的值域为[﹣，+∞）；∵函数y=x2+x在区间[﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1]上是增函数，∴当x∈[﹣2，0）时，函数f（x）最小值为f（﹣）=﹣，最大值是f（﹣2）=2；由题意可得c＞0，∵当c＜x≤3时，f（x）=是减函数且值域为[，），当f（x）的值域是[﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为=[（4分）]=[（5分）]=，[（7分）]所以f（x）的最小正周期．[（8分）]（Ⅱ）因为，所以．[（10分）]所以，[（12分）]所以．[（13分）]16．（13分）已知数列{a n}是公比为的等比数列，且a2+6是a1和a3的等差中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项之积为T n，求T n的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为a2+6是a1和a3的等差中项，所以2（a2+6）=a1+a3．[（2分）]因为数列{a n}是公比为的等比数列，所以，[（4分）]解得a1=27．[（6分）]所以a n=a1•q n﹣1=（）n﹣4．[[（8分）]（Ⅱ）令a n≥1，即（）n﹣4≥1，得n≤4，[（10分）]故正项数列{a n}的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1．[（11分）]所以当n=3，或n=4时，T n取得最大值，[（12分）]T n的最大值为T3=T4=a1•a2•a3=729．[（13分）]17．（13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A，B两类（评定标准见表）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A2的学生中有一半是女生．等级为A1和A2的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B类女生占女生总数的比例为k1，B类男生占男生总数的比例为k2．判断k1与k2的大小．（只需写出结论）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中B类学生所占比例为（0.02+0.04）×10=60%，（2分）所以A类学生所占比例为40%．（3分）因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A类学生的人数约为8万人．（4分）（Ⅱ）由表1得，在5人（记为a，b，c，d，e）中，B类学生有2人（不妨设为b，d）．将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种．（6分）依次为：（ab，cde），（ac，bde），（ad，bce），（ae，bcd），（bc，ade），（bd，ace），（be，acd），（cd，abe），（ce，abd），（de，abc）．（8分）所以“甲、乙两组各有一名B类学生”的概率为．（10分）（Ⅲ）k1＜k2．（13分）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1=AC．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥B1﹣AA1EF的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．若，求的值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面AA1C1C，所以A1C⊥AB．[（2分）]在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AA1=AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1．[（3分）]所以A1C⊥平面ABC1．[（5分）]（Ⅱ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为A1A∥B1B，A1A⊄平面BB1C1C，[（6分）]所以A1A∥平面BB1C1C．[（8分）]因为平面AA1EF∩平面BB1C1C=EF，所以A1A∥EF．[（10分）]（Ⅲ）解：记三棱锥B1﹣ABF的体积为V2，三棱柱ABF﹣A1B1E的体积为V3．因为三棱锥B1﹣ABF与三棱柱ABF﹣A1B1E同底等高，所以，[（11分）]所以．因为，所以．[（12分）]因为三棱柱ABF﹣A1B1E与三棱柱ABC﹣A1B1C1等高，所以△ABF与△ABC的面积之比为，[（13分）]所以．[（14分）]19．（14分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q在椭圆C上．试问直线x+y﹣4=0上是否存在点P，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，a=2，b=1．[（2分）]所以椭圆C的方程为．[（3分）]设椭圆C的半焦距为c，则，[（4分）]所以椭圆C的离心率．[（5分）]（Ⅱ）由已知，设P（t，4﹣t），Q（x0，y0）．[（6分）]若PAQB是平行四边形，则，[（8分）]所以（2﹣t，t﹣4）+（﹣t，t﹣3）=（x0﹣t，y0﹣4+t），整理得x0=2﹣t，y0=t﹣3．[（10分）]将上式代入，得（2﹣t）2+4（t﹣3）2=4，[（11分）]整理得5t2﹣28t+36=0，解得，或t=2．[（13分）]此时，或P（2，2）．经检验，符合四边形PAQB是平行四边形，所以存在，或P（2，2）满足题意．[（14分）]20．（13分）已知函数f（x）=x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2lnx﹣2x的定义域是（0，+∞），导函数为f'（x）=2xlnx+x﹣2，所以f'（1）=﹣1，又f（1）=﹣2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣x﹣1；（Ⅱ）证明：由已知f（2）﹣f（1）=4ln2﹣2，所以只需证明方程2xlnx+x﹣2=4ln2﹣2在区间（1，2）有唯一解．即方程2xlnx+x﹣4ln2=0在区间（1，2）有唯一解．设函数g（x）=2xlnx+x﹣4ln2，则g'（x）=2lnx+3．当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在区间（1，2）单调递增．又g（1）=1﹣4ln2＜0，g（2）=2＞0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）=0．综上，存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）f（1.01）＞﹣2.01．证明如下：首先证明：当x＞1时，f（x）＞﹣x﹣1．设h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣1）=x2lnx﹣x+1，则h'（x）=x+2xlnx﹣1．当x＞1时，x﹣1＞0，2xlnx＞0，所以h'（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）单调递增，所以x＞1时，有h（x）＞h（1）=0，即当x＞1时，有f（x）＞﹣x﹣1．所以f（1.01）＞﹣1.01﹣1=﹣2.01．。

2018北京市西城区高三一模数学(文科)

西城区高三统一测试数学（文科） 2018.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}Bx x x =∈-->R ，则AB =（A ）{|1}x x ∈<-R（B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．若复数(i)(34i)a++的实部与虚部相等，则实数a =（A ）7 （B ）7- （C ）1 （D ）1-3．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）54．若函数2,0,()3(),0xx f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=（A）3-（B3（C ）29-（D ）295．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A）（B2（C）6+（D）6+6．已知二次函数2()f x a x b x c=++．则“0a<”是“()0f x <恒成立”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知O 是正方形A B C D 的中心．若D OA B A Cλμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R，则λμ=（A ）2-（B ）12-（C ）-（D8．如图，在长方体1111A B C DA B C D -中，12A A AB ==，1B C =，点P在侧面11A A B B 上．满足到直线1A A 和C D的距离相等的点P （A ）不存在（B ）恰有1个（C ）恰有2个（D ）有无数个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数1()ln f x x=的定义域是____．10．已知x ，y 满足条件 1,1,10,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≥则2zx y=+的最小值为____．11．已知抛物线28yx=-的焦点与双曲线2221(0)x ya a-=>的一个焦点重合，则a=____；双曲线的渐近线方程是____．12．在△A B C 中，7b =，5c =，3B 2π∠=，则a=____．13．能够说明“存在不相等的正数a ，b ，使得a b ab+=”是真命题的一组a ，b 的值为____．14．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）设等差数列{}n a 的公差不为0，21a =，且2a ，3a ，6a 成等比数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使35n S >成立的n 的最小值．16．（本小题满分13分）函数π()2co s co s()3f x x x m=⋅-+的部分图象如图所示．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求0x 的值．17．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，求这2人均被录用的概率；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）18．（本小题满分14分）如图1，在△A B C 中，D ，E 分别为A B ，A C 的中点，O 为D E 的中点，A BA C ==，4B C =．将△A D E 沿D E 折起到△1A D E 的位置，使得平面1A D E⊥平面B C E D ，F 为1A C的中点，如图2．（Ⅰ）求证：//E F平面1A B D ；（Ⅱ）求证：平面1A O B ⊥平面1A O C ；（Ⅲ）线段O C 上是否存在点G ，使得O C ⊥平面E F G ？说明理由．图1 图219．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>2，以椭圆C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 是椭圆C 的右顶点，点B 在x 轴上．若椭圆C 上存在点P ，使得90A P B∠=，求点B 横坐标的取值范围．20．（本小题满分13分）已知函数()e (ln )xf x a x =⋅+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()yf x =在1x =处的切线与直线ex y=-垂直，求a 的值；（Ⅱ）记()g x存在极小值点0x，且0()0a∈时，证明：()g x．当(0,ln2)f x的导函数为()f x<．西城区高三统一测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B 7．A 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(0,1)(1,)+∞ 10．5- 110x±=12．3 13．3,32（答案不唯一） 14．22注：第11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠．因为2a ，3a ，6a 成等比数列，所以2326a a a =⋅． [ 2分]即2(1)14d d+=+， [ 4分]解得 2d =，或0d =（舍去）． [ 6分]所以 {}n a 的通项公式为2(2)23n a a n d n =+-=-． [ 8分]（Ⅱ）因为23n a n =-，所以2121()()222n n n n a a n a a S nn-++===-． [10分]依题意有 2235n n ->，解得 7n >． [12分]使35nS >成立的n 的最小值为8． [13分]解：（Ⅰ）依题意，有2π()13f =-， [ 2分]所以 2ππ2co s co s133m ⋅+=-，解得 12m=-． [ 4分]（Ⅱ）因为π1()2co s co s()32f x x x =⋅--112c o s (c o s in )222x x x =⋅+-[ 6分]21co s co s 2x x x =+-1in 2c o s 222x x=+ [ 9分]πsin (2)6x =+． [10分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==． [11分]所以 02ππ7π326x =+=． [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为 5334671000+=，被该企业录用的人数为 264169433+=．所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P=．[ 3分]（Ⅱ）记应聘E 岗位的男性为1M ，2M ，3M ，被录用者为1M ，2M ；应聘E 岗位的女性为1F ，2F ，3F ，被录用者为1F ，2F ． [ 4分] 从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，共9种情况，即：111213212223313233,,,,,,,,M F M F M F M F M F M F M F M F M F ．[ 7分]这2人均被录用的情况有4种，即：11122122,,,M F M F M F M F ． [ 8分] 记“从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，这2人均被录用”为事件K ，则4()9P K =． [10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． [13分]解：（Ⅰ）取线段1A B 的中点H ，连接H D ，H F ． [ 1分] 因为在△A B C 中，D ，E 分别为A B ，A C 的中点，所以 //D EB C，12D EB C=．因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，所以 //H F B C ，12H F B C=，所以 //H FD E，H FD E=，所以四边形D E F H 为平行四边形， [ 3分] 所以 //E F H D ． [ 4分] 因为 E F ⊄平面1A B D ， H D ⊂平面1A B D ，所以 //E F 平面1A B D ． [ 5分] （Ⅱ）因为在△A B C 中，D ，E 分别为A B ，A C 的中点，所以 AD AE =．所以11A D A E=，又O 为D E 的中点，所以 1A OD E⊥． [ 6分]因为平面1A D E ⊥平面B C E D ，且1A O⊂平面1A D E ，所以 1A O ⊥平面B C E D ， [ 7分]所以 1C OA O⊥． [ 8分]在△O B C 中，4B C =，易知 O B O C ==所以 C O B O⊥，所以 C O⊥平面1A O B ， [ 9分]所以平面1A O B ⊥平面1A O C ． [10分]（Ⅲ）线段O C 上不存在点G ，使得O C ⊥平面E F G ． [11分]否则，假设线段O C 上存在点G ，使得O C ⊥平面E F G ，连接 G E ，G F ，则必有 O C G F⊥，且O CG E⊥．在 R t△1A O C 中，由F 为1A C 的中点，O CG F⊥，得G为O C 的中点． [12分]在 △E O C 中，因为 O C G E⊥，所以 E OE C=，这显然与 1E O =，E C =矛盾！所以线段O C 上不存在点G ，使得O C⊥平面E F G ． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得2c a =a b=222a b c=+． [ 3分]解得2a =，b=．所以椭圆C 的方程为22142xy+=． [ 5分] （Ⅱ）“椭圆C 上存在点P ，使得90A P B∠=”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P ，使得P A P B −−→−−→⋅=成立”． [ 6分]依题意，(2,0)A ．设(,0)B t ，(,)P m n ，则2224m n+=， [ 7分]且 (2,)(,)0m n t m n --⋅--=，即 2(2)()0m t m n --+=． [ 9分]将2242m n-=代入上式，得 2(2)()24m m t m ---+=． [10分]因为 22m -<<，所以 22m t m +-+=，即22m t =+．[12分] 所以 2222t -<+<，解得20t -<<，所以点B 横坐标的取值范围是(2,0)-． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）11()e (ln )e e (ln )x x xf x a x a x xx'=⋅++⋅=⋅++． [ 2分]依题意，有(1)e (1)ef a '=⋅+=， [ 3分]第 11 页共 11 页解得 0a =． [ 4分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得 1()e (ln )xg x a x x=⋅++，所以 2211121()e (ln )e ()e (ln )xxxg x a x a x xxxxx'=⋅+++⋅-=⋅+-+． [ 6分]因为 e 0x>，所以()g x '与221ln axxx+-+同号．设221()ln h x a xxx=+-+， [ 7分]则 223322(1)1()x x x h x xx-+-+'==．所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞单调递增． [ 8分] 因为(0,ln 2)a ∈，所以 (1)10h a =+>，11()ln22h a =+<，故存在01(,1)2x ∈，使得0()0h x =． [10分]()g x 与()g x '在区间1(,1)上的情况如下：所以()g x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以若(0,ln 2)a ∈，存在01(,1)2x ∈，使得0x 是()g x 的极小值点． [11分] 令0()0h x =，得0212ln x a x x -+=，所以00212()e(ln )ex x x f x a x x -=⋅+=⋅<． [13分]。

2018年高三最新北京市西城区2018学年度第一学期高三

北京市西城区2018—2018学年度第一学期高三年级期末抽样测试数学试题（文科）2018.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合{,}A a b =，{,,}B a b c =，{,,}C b c d =，那么集合()A B C 等于（） A. {,,}a b c B. {,,}a b d C. {,,}b c d D. {,,,}a b c d2. 已知向量a =(1,2)，向量b =(,2)x -，且a ⊥(a -b )，则实数x 等于（） A. 4- B. 4 C. 0 D. 93. 已知3sin 5α=，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么2sin2cos αα的值等于（）A. 34-B. 34 C. 32-D.324. 设函数2 0()() 0.x x f x g x x ⎧<=⎨>⎩，，，若()f x 是奇函数，则(2)g 的值是（）A. 14-B. 4-C. 14D. 45. 平面α⊥平面β的一个充分条件是（）A. 存在一条直线l l l αβ⊥⊥，，B. 存在一个平面////γγαγβ，，C. 存在一个平面γγαγβ⊥⊥，，D. 存在一条直线//l l l αβ⊥，， 6. 若直线l ：1y kx =-与直线10x y +-=的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（） A.(,1)-∞- B. (,1]-∞- C. (1,)+∞ D.[1,)+∞7. 将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为（）A. 6种B. 10种C. 20种D. 30种8. 对于任意实数a ，b ，定义, ,min{,}, .a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设函数2()3, ()log f x x g x x =-+=，则函数()min{(),()}h x f x g x =的最大值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 把答案填在题中横线上 .9. 椭圆22 1 4x y +=的离心率是_______ . 10. 已知(2)n x +的展开式中共有5项，则=n _______，展开式中的常数项为_______（用数字作答）. 11. 已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，其中1,2,3,,n = 那么5a =______ . 12. 在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，5cos 13A =-，则sin B =_________ . 13. 已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,1,10,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于______，最小值等于__________ .14. 已知点(0,0)A，B ，(0,1)C . 设AD BC ⊥于D ，那么有CD CB λ=，其中λ=________ .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15.（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x x ωω=- (0ω>) 的最小正周期是π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，且()0f x =，求x 的值.16.（本小题满分13分）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求21a a 的值；（Ⅱ）若59a =，求n a 及n S 的表达式.17.（本小题满分13分）甲、乙两人进行投篮训练，已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35.假设两人投球命中与否相互之间没有影响.（Ⅰ）如果两人各投球1次，求恰有1人投球命中的概率；（Ⅱ）如果两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率.18.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC CC ==， AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：11CD A ABB ⊥平面；（Ⅱ）求证：11//AC CDB 平面；（Ⅲ）求直线1B B 和平面1CDB 所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知函数()|2|f x x x =-. （Ⅰ）解不等式()3f x <；（Ⅱ）设02a <<，求()f x 在[0]a ，上的最大值.20.（本小题满分14分）设点30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，动圆P 经过点F 且和直线32y =-相切 .记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W . ABCDA 1B 1C 1（Ⅰ）求曲线W的方程；,l l，分别交曲线W于,A B和,C D. 求四边形ACBD面积的最小（Ⅱ）过点F作互相垂直的直线12值 .北京市西城区2018—2018学年度第一学期高三年级期末抽样测试数学试题（文科）参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1. D2. D3. C4. A5. D6. C7. B8. B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.10.4 16； 11. 9 12. 813 13.14. 14注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()sin cos .4f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ………….. 3分0ω> ， ()f x ∴的最小正周期是2πω.依题意得2ππω=， 2.ω∴= …………..6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()2.4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭依题意得sin 204x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0,2x π≤≤ 所以32444x πππ-≤-≤，所以20.4x π-= 解得.8x π= ………….. 12分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d .124 ,,S S S 成等比数列， 2214S S S ∴=， ………….. 2分即 2111(2)(46)a d a a d +=+，化简得 212d a d =，注意到0d ≠， 1 2d a ∴=. ………….. 5分21111133.a a d a a a a +∴=== ………….. 7分（Ⅱ）解：511 499a a d a =+== ， 1 1a ∴=， 2.d = ………….. 9分 1 (1)21n a a n d n ∴=+-=-. ………….. 11分 21().2n n n a a S n +== ………….. 13分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是13131()()()()()()1125252P A B P B A P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . ………….. 7分（Ⅱ）解：事件“两人各投球2次均不命中”的概率为11221225525P =⨯⨯⨯=， ………….. 10分∴ 两人各投球2次，这4次投球中至少有1次命中的概率为1241.2525-= ………….. 13分18.（本小题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明：111 ABC A B C - 是直三棱柱，∴ 平面11.ABC A ABB ⊥平面AC BC =，点D 是AB 的中点，CD AB ∴⊥，11 CD A ABB ∴⊥平面. ………….. 4分（Ⅱ）证明：ABCDA 1B 1C 1E连结1BC ，设1BC 与1B C 的交点为E ，连结DE .D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，1 //.DE AC ∴ ………….. 7分111 DE CDB AC CDB ⊂⊄ 平面，平面，11 //.AC CDB ∴平面 ………….. 9分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知 11CD A ABB ⊥平面，111 CDB A ABB ∴⊥平面平面，且1111CDB A ABB DB = 平面平面，∴ 直线1B B 和平面1CDB 所成的角就是1B B 和1DB 所成的角，即1BB D ∠是直线1B B 和平面1CDB 所成的角. ………….. 12分在1Rt DBB ∆中，11 t a n DB BB D B B == ，∴ 直线1B B 和平面1CDB所成角的大小是. ………….. 14分解法二：在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC CC ==， AC BC ⊥， 1 AC BC CC ∴、、两两垂直 .如图，以C 为原点，直线1CA CB CC ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 . 设12AC BC CC ===.则1(0 0 0)(2 0 0)(0 2 0)(0 0 2)C A B C ，，，，，，，，，，，，1(0 2 2)B ，，， (1 1 0).D ，，（Ⅰ）证明：1 (1 10)(2 20)(0 02)CD AB B B ==-=-，，，，，，，，， 1 00CD AB CD B B ∴==，，1.CD AB CD B B ⊥⊥，又1AB B B B = ， 11 CD A ABB ∴⊥平面. ………….. 4分（Ⅱ）证明：设1BC 与1B C 的交点为E ，则(0 1 1).E ，， 1111 (1 0 1)(2 0 2) //.2DE AC DE AC DE AC =-=-∴=∴，，，，，，， ………….. 7分111 DE CDB AC CDB ⊂⊄ 平面，平面，11 //.AC CDB ∴平面 ………….. 9分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知 11CD A ABB ⊥平面，111 CDB A ABB ∴⊥平面平面，且1111CDB A ABB DB = 平面平面，∴ 直线1B B 和平面1CDB 所成的角就是1B B 和1DB 所成的角，即1BB D ∠是直线1B B 和平面1CDB 所成的角. ………….. 12分1 (1 1 2)B D =--，，，1111 cos B B BD B B B D B B BD∴〈〉==，∴ 直线1B B 和平面1CDB所成角的大小是. ………….. 14分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：2222 |2| 3 2 3 2230230x x x x x x x x x x ≥<⎧⎧-<⇔⇔≤<<⎨⎨--<-+>⎩⎩ ，，或或，，，∴ 不等式()3f x <的解集为{|3}.x x < ………….. 5分（Ⅱ）解：22222(1)1 2()|2|2(1)1 2.x x x x f x x x x x x x ⎧-=--≥⎪=-=⎨-+=--+<⎪⎩，，，∴ ()f x 的单调递增区间是(1] [2)-∞+∞，和，；单调递减区间是[1 2]，. …………..8分（1）当10≤<a 时，()f x 是[0]a ，上的增函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值是()(2)f a a a =-； ………….. 11分（2）当21<<a 时，()f x 在[0 1]，上是增函数，在[1]a ，上是减函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值是(1)1f =. ………….. 14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：过点P 作PN 垂直直线32y =-于点.N 依题意得||||PF PN =，所以动点P 的轨迹为是以30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线32y =-为准线的抛物线， ………….. 4分即曲线W 的方程是26.x y = ………….. 5分（Ⅱ）解：依题意，直线12,l l 的斜率存在且不为0，设直线1l 的方程为32y kx =+，由12l l ⊥ 得2l 的方程为132y x k =-+.将32y kx =+代入26x y =，化简得2690x kx --=. ………….. 8分设1122() () A x y B x y ，，，，则12126 9.x x k x x +==-，2 ||6(1)AB k ∴=+， ………….. 10分同理可得21||61.CD k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………….. 11分∴四边形ACBD 的面积2222111||||18(1)1182722S AB CD k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当 221k k =，即1k =±时，min 72.S = 故四边形ACBD 面积的最小值是72. ………….. 14分。

2018.1西城高三期末(文科)

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2018.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B = （A ）{|13}x x -<< （B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x << （D ）{|23}x x <<2．在复平面内，复数2i1i-对应的点的坐标为（A ）(1,1)（B ）(1,1)-（C ）(1,1)--（D ）(1,1)-3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）1y x =-+（B ）2(1)y x =-（C ）sin y x =（D ）12y x =4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）2 （B ）6 （C ）30 （D ）2705．若122log log 2a b +=，则有（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）4a b = （D ）4b a =6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去．．的几何体是（A ）三棱锥（B ）三棱柱（C ）四棱锥（D ）四棱柱7．函数()sin()f x x ϕ=+的图象记为曲线C ．则“(0)(π)f f =”是“曲线C 关于直线π2x =对称”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．已知A ，B 是函数2x y =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（A ）(,1)-∞- （B ）(,2)-∞-（C ）(,3)-∞-（D ）(,4)-∞-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若函数()()f x x x b =+是偶函数，则实数b =____．10．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(2,0)F，其渐近线方程为y =，该双曲线的方程是____．11．向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么⋅=a b ____．12．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC，则b =____；c =____．13．已知点(,)M x y 的坐标满足条件10,10,10.x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥设O 为原点，则OM 的最小值是____．14．已知函数2,2,()1,3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1()2f x -≥．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是公比为13的等比数列，且26a +是1a 和3a 的等差中项．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T 的最大值．17．（本小题满分13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A ，B 两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为1A 的学生中有40%是男生，等级为2A 的学生中有一半是女生．等级为1A 和2A 的学生统称为A 类学生，等级为1B 和2B 的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．表1 图2（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A 类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45,50,55,75,85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B 类女生占女生总数的比例为1k ，B 类男生占男生总数的比例为2k ．判断1k 与2k 的大小．（只需写出结论）18．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，1AA AC =.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1A C ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求证：1//A A EF ；（Ⅲ）记四棱锥11B AA EF -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为V .若116V V =，求BFBC的值.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）已知函数2()ln 2f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -；（Ⅲ）比较(1.01)f 与 2.01-的大小，并加以证明．北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．B 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C 8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．0 10．2213y x -= 11．412．1 13 14．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第12，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cos sin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]32cos 212x x =-+[ 5分]π)13x =-+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [ 8分] （Ⅱ）因为 π2x ≤≤0，所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分]所以 ππsin(2)sin()33x --=≥， [12分]所以 1()2f x -≥． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 26a +是1a 和3a 的等差中项，所以 2132(6)a a a +=+． [ 2分]因为数列{}n a 是公比为13的等比数列，所以 1112(6)39a aa +=+， [ 4分]解得 127a =． [ 6分]所以 1411()3n n n a a q --=⋅=． [ 8分]（Ⅱ）令1n a ≥，即41()13n -≥，得4n ≤， [10分]故正项数列{}n a 的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1． [11分] 所以当3n =，或4n =时，n T 取得最大值， [12分] n T 的最大值为 34123729T T a a a ==⋅⋅=．[13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中B 类学生所占比例为(0.020.04)1060%+⨯=， [ 2分]所以A 类学生所占比例为40%． [ 3分] 因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A 类学生的人数约为8万人． [ 4分] （Ⅱ）由表1得，在5人（记为,,,,a b c d e ）中，B 类学生有2人（不妨设为,b d ）．将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种． [ 6分]依次为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(a b c d e a c b d e a d b c e a e b c d b c a d e b d a c e b e a c dc d a b e(,),(,)ce abd de abc ． [ 8分]所以“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率为63105=． [10分] （Ⅲ）12k k <． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 2分]在三棱柱111ABC A B C -中，因为 1AA AC =，所以四边形11AA C C 为菱形，所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1A C ⊥平面1ABC ． [ 5分] （Ⅱ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ， [ 6分] 所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 8分] 因为平面1AA EF 平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [10分] （Ⅲ）记三棱锥1B ABF -的体积为2V ，三棱柱11ABF A B E -的体积为3V .因为三棱锥1B ABF -与三棱柱11ABF A B E -同底等高，所以 2313V V =，[11分] 所以 1233213V V V V =-=. 因为116V V =，所以 3131624V V =⨯=. [12分] 因为三棱柱11ABF A B E -与三棱柱111ABC A B C -等高，所以 △ABF 与△ABC 的面积之比为14， [13分] 所以14BF BC =． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =． [ 2分]所以椭圆C 的方程为2214x y +=． [ 3分]设椭圆C 的半焦距为c ，则 c = [ 4分]所以椭圆C 的离心率c e a ==． [ 5分]（Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ． [ 6分]若PAQB 是平行四边形，则 PA PB PQ +=， [ 8分]所以 00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+，整理得 002, 3x t y t =-=-． [10分] 将上式代入 220044x y +=，得 22(2)4(3)4t t -+-=， [11分] 整理得 2528360t t -+=，解得 185t =，或2t =． [13分] 此时 182(,)55P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形，所以存在 182(,)55P ，或(2,2)P 满足题意． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数2()ln 2f x x x x =-的定义域是(0,)+∞，导函数为()2ln 2f x x x x '=+-． [ 1分] 所以(1)1f '=-，又(1)2f =-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =--． [ 3分] （Ⅱ）由已知(2)(1)4ln 22f f -=-． [ 4分]所以只需证明方程 2ln 24ln 22x x x +-=-在区间(1,2)有唯一解．即方程 2ln 4ln 20x x x +-=在区间(1,2)有唯一解． [ 5分]设函数 ()2ln 4ln 2g x x x x =+-， [ 6分]则 ()2ln 3g x x '=+．当 (1,2)x ∈时，()0g x '>，故()g x 在区间(1,2)单调递增． [ 7分] 又 (1)14ln 20g =-<，(2)20g =>，所以存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0g x =． [ 8分] 综上，存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -． [ 9分]（Ⅲ）(1.01) 2.01f >-．证明如下： [10分]首先证明：当1x >时，()1f x x >--．设 2()()(1)ln 1h x f x x x x x =---=-+， [11分] 则 ()2ln 1h x x x x '=+-．当 1x >时，10x ->，2ln 0x x >，所以 ()0h x '>，故()h x 在(1,)+∞单调递增， [12分] 所以 1x >时，有()(1)0h x h >=，即当 1x >时，有()1f x x >--．所以 (1.01) 1.011 2.01f >--=-． [13分]。

2018-2019学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(文科)

2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．(★)已知集合A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x 2≤5}，那么A∩B=（）A．{0，2，4}B．{-2，0，2}C．{0，2}D．{-2，2}2．(★★)下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x2+2x B．y=x3C．y=ln|x|D．y=cosx3．(★★)一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（）A．B．C．D．4．(★)设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为（）A．-1B．-2C．1D．25．(★)执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A．5B．6C．7D．86．(★★)已知数列{a n}是等比数列，则“a 2＞a 1”是“数列{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．(★★)设，是不共线的两个平面向量，已知，．若P，Q，R三点共线，则实数k的值为（）A．2B．-2C．D．8．(★★)设双曲线的左焦点为F，右顶点为A．若在双曲线C上，有且只有3个不同的点P使得成立，则λ=（）A．-2B．-1C．D．0二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(★)复数z满足方程1-i•z=i，则z= ．10．(★)以抛物线y 2=8x的焦点为圆心，且与直线y=x相切的圆的方程为．11．(★★)能说明“设函数f（x）的定义域为R，若f（0）=0，则f（x）是奇函数”为假命题的一个函数是．12．(★★)在△ABC中，a=3，，B=2A，则cosA= ．13．(★★)设函数则f[f（0）]= ；若方程f（x）=b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是．14．(★)在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退．某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．(★)已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若直线x=π为函数f（x+a）图象的一条对称轴，求实数a的值．16．(★★★)在各项均为正数的等比数列{a n}中，，且a 4+a 5=6a 3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{log 2a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．17．(★★)为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中a＞0）．（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动．已知乙企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于[40，45]的产品的概率；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．18．(★★★)如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面B 1BCC 1是正方形，M，N分别是A 1B 1，AC的中点，AB⊥平面BCM．（Ⅰ）求证：平面B 1BCC 1⊥平面A 1ABB 1；（Ⅱ）求证：A 1N∥平面BCM；（Ⅲ）若三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为10，求棱锥C 1-BB 1M的体积．19．(★★★)已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且∠PFQ=90°，求证：AQ∥BM．20．(★★★)已知函数f（x）=lnx-x+a，其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y=f（x）与x轴相切，求a的值；（Ⅱ）若a=ln2e，证明：f（x）≤x；（Ⅲ）如果函数在区间（1，e）上不是单调函数，求a的取值范围．。

2018年北京市西城区高三第一学期期末数学试题及答案

第Ⅰ卷（选择题共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．若会合A{ x |0x 3} ，B{ x |1x 2} ，则A U B（ A）{ x | 1 x 3}（ B）{ x | 1 x 0}（ C）{ x |0 x 2}（ D）{ x | 2 x 3}2．以下函数中，在区间(0, ) 上单一递加的是（ A）y x 1（ B）y| x1|（ C）y sin x（ D）y1 x23．履行以下图的程序框图，输出的S 值为（A）2（B） 6（C） 30（ D） 2704．已知M为曲线 C ：x3 cos , （为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最y sin大值是（ A）1（B）2（C） 3（D）4x1≥ 0,5．实数x, y知足x y1≥ 0,则 2x y 的取值范围是x y≥1 0,（ A）[0,2]（B）(,0]（ C）[ 1,2]（ D）[0,)6．设a,b是非零向量，且a, b 不共线．则“ | a | | b | ”是“ | a 2b | | 2a b | ”的（ A）充足而不用要条件（ B）必需而不充足条件（ C）充足必需条件（ D）既不充足也不用要条件7．已知A，B是函数y2x的图象上的相异两点．若点 A ， B 到直线y 1 的距离相等，2则点 A ， B 的横坐标之和的取值范围是（A）(, 1)（B）(, 2)（C）(1,)（D）(2,) 8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H] ）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L ，记作 [OH ] ）的乘积等于常数10 14．已知 pH 值的定义为pH lg[H ] ，健康人体血液的pH 值保持在～之间，那么健康人体血液中的[H ]能够为[OH ]（参照数据：lg2 0.30 ， lg30.48 ）（A）1（B）1（C）1（D）1 23610第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．在复平面内，复数2i对应的点的坐标为____．1 i10．数列 { a n } 是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．若a21____；S5 ____．，则 a n211．在△ABC中，a 3 ，C，△ ABC的面积为33 ，则c____．3412．把4 件不一样的产品摆成一排．若此中的产品A与产品 B 都摆在产品 C 的左边，则不一样的摆法有 ____种．（用数字作答）13．从一个长方体中截取部分几何体，获得一个以原长方体的部分极点为极点的凸多面体，其三视图以下图．该几何体的表面积是 ____．x2x, 2 ≤x≤c,14．已知函数f ( x)1 ,若 c0 ，则f ( x)的值域是____；若f (x)的值域c x ≤ 3. x是 [1,2] ，则实数c的取值范围是____．4三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x)2sin2x cos(2 x π) ．3（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；π（Ⅱ）求 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值．216．（本小题满分13 分）已知表 1 和表 2 是某年部分日期的天安门广场升旗时辰表．表 1：某年部分日期的天安门广场升旗时辰表日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰1月1日7:364月9日5:467月9日4:5310月8日6:17 1月21日7:314月28日5:197月27日5:0710月26日6:36 2月10日7:145月16日4:598月14日5:2411月13日6:56 3月2日6:476月3日4:479月2日5:4212月1日7:16 3月22日6:156月22日4:469月20日5:5912月20日7:31表 2：某年 2 月部分日期的天安门广场升旗时辰表日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰2月 1日7:232月11日7:132月 21日6:592月 3日7:222月13日7:112月 23日6:572月 5日7:202月15日7:082月 25日6:552月 7日7:172月17日7:052月 27日6:522月 9日7:152月19日7:022月 28日6:49（Ⅰ）从表 1 的日期中随机选出一天，试预计这天的升旗时辰早于7:00 的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表 2 的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择互相独立．记X 为这两人中观看升旗的时辰早于7:00 的人数，求X 的散布列和数学希望E( X ) ．（Ⅲ）将表 1 和表 2 中的升旗时辰化为分数后作为样本数据（如7:31 化为731）．记表 2 中60全部升旗时辰对应数据的方差为s2，表1和表2中全部升旗时辰对应数据的方差为 s*2，判断 s2与 s*2的大小．（只要写出结论）17．（本小题满分14 分）如图，三棱柱 ABC A1 B1C1中，AB平面 AA1 C1C ，AA1 AB AC2，A1AC 60 .过 AA1的平面交 B1C1于点E，交BC于点F .（Ⅰ）求证：A1 C平面 ABC1；（Ⅱ）求证：四边形AA1 EF 为平行四边形；（Ⅲ）若BF2，求二面角 B AC1F的大小. BC318．（本小题满分13 分）已知函数 f (x) e ax sin x1，此中a 0．（Ⅰ）当a1y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；时，求曲线（Ⅱ）证明： f (x) 在区间 [0, π] 上恰有 2 个零点．19．（本小题满分14 分）已知椭圆 C :x2y2b 0) 过点 A(2, 0) ，且离心率为3．a22 1( a2 b（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设直线 y kx 3 与椭圆 C 交于 M , N 两点．若直线x3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．20．（本小题满分13 分）数列A n：a1, a2, L , a n(n ≥ 4)知足：a1 1 ， a n m ， a k 1a k0 或1( k1, 2, L , n1) ．对随意i , j ，都存在s,t，使得a i a j a s a t，此中 i , j ,s,t {1,2, L ,n} 且两两不相等．（Ⅰ）若 m 2，写出以下三个数列中全部切合题目条件的数列的序号；①1,1,1,2,2,2 ；② 1,1,1,1,2,2,2,2 ；③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2（Ⅱ）记 S a1a2L a n．若m 3 ，证明： S≥ 20；（Ⅲ）若 m 2018，求n的最小值．北京市西城区 2017 — 2018 学年度第一学期期末高三数学（理科）参照答案及评分标准一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分.1． A2．D3． C4．D5． D6．C7． B8．C二、填空题：本大题共 6 小题，每题5 分，共 30 分.9． ( 1,1)10． 2n3， 3111． 13412． 813． 3614． [ 1,)；[1,1]42注：第 10， 14 题第一空2 分，第二空3 分 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.其余正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）因为 f ( x) 2sin 2x cos(2xπ 3 )1 cos2 xπ π [ 4分](cos2 x cossin 2 x sin )333 sin 2x31[ 5分]2cos2 x23sin(2 xπ 1 ，[7 分 ])3所以 f ( x) 的最小正周期T2π π． [8 分 ]2（Ⅱ）因为0 ≤ x ≤ π，2所以π π 2π[10分]≤ 2x≤3．33当 2 xπ π，即 x 5π时，[11分]3212f ( x) 获得最大值为3 1．[13 分 ]16．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）记事件 A 为“从表 1 的日期中随机选出一天，这天的升旗时辰早于7:00 ”，[ 1分]在表 1 的 20 个日期中，有15 个日期的升旗时辰早于7:00 ，15 3．[3 分 ]所以 P(A)4 20（Ⅱ） X 可能的取值为 0,1,2 ．[ 4 分 ]记事件 B 为“从表 2 的日期中随机选出一天，这天的升旗时辰早于 7:00 ”，则 P(B)51， P(B) 1 P(B)2 ． [5 分 ]15 33P( X0) P(B) P(B) 4 ；P( X 1) C 12 ( 1 )(1 1 ) 4 ；9 33 9 P( X2) P(B) P(B)1 ．[ 8分 ]9所以 X 的散布列为：X 0 1 2P4 4 1999E(X) 041 4 21 2 ． [10 分]999 3注：学生获得X ~ B(2, 1) ，所以 E(X)2 1 2 ，相同给分．33 3（Ⅲ） s 2s *2 ．[13分 ]17．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）因为 AB平面AA 1C 1C ，所以 A 1C AB ． [1 分 ] 因为三棱柱ABC A 1 B 1C 1 中， AA 1 AC ，所以四边形 AA 1C 1 C 为菱形，所以 A 1C AC 1 ．[ 3分 ] 所以 A 1C 平面 ABC 1 ．[4 分 ]（Ⅱ）因为A 1 A//B 1B ， A 1 A 平面 BB 1C 1C ，所以 A 1 A// 平面 BB 1C 1C ．[5 分 ] 因为平面 AA 1 EF I 平面 BB 1C 1C EF ，所以 A 1 A//EF ．[6 分 ]因为平面 ABC // 平面 A 1 B 1C 1 ，平面 AA 1 EF I 平面 ABC AF ，平面 AA 1 EF I 平面 A 1 B 1C 1A 1E ，所以 A 1E //AF ．[7 分 ] 所以四边形 AA 1 EF 为平行四边形．[8 分 ]（Ⅲ）在平面 AA 1C 1C 内，过 A 作 Az AC ．因为 AB平面 AA 1C 1C ，如图成立空间直角坐标系 A - xyz ．[ 9分]由题意得， A(0,0,0) ， B (2,0,0) ， C(0,2,0) ， A 1 (0,1, 3) ， C 1 (0,3,3) ．因为 BF2，所以 BF2BC ( 4,4,0) ，BC 333 32 4所以 F( , ,0)．3 3由（Ⅰ）得平面ABC 1的法向量为 A1C (0,1, 3) ．设平面 AC F 的法向量为n ( x, y, z)，1则nAC10,3y3z0,即2x4y0. n AF0,33令 y 1 ，则x 2 ，z 3 ，所以 n ( 2,1,3) ．[11分 ]所以 | cos n , A1C|| n A1C | 2 ．[13分 ]| n || A1C |2由图知二面角 B AC1 F 的平面角是锐角，所以二面角 B AC1F的大小为 45 ．[14分 ]18．（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）当 a1时， f (x)e x sin x 1 ，所以f(x)e x (sin x cosx) ．[ 2 分 ]因为f(0)1， f (0)1，[ 4 分 ]所以曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为y x 1 ．[ 5 分 ]（Ⅱ）f ( )e ax (asinxcos )．[ 6 分 ] x x由f( x)0，得 a sin x cosx 0 ．[7 分 ]因为a0，所以 f (π0 ．[ 8分 ] )2当 xππcos x0，得 tanx1 (0,) U (,π) 时，由 a sin x．22a所以存在独一的 x0( π, π) ，使得tanx01．[9 分 ]2a f ( x) 与 f ( x) 在区间(0,π)上的状况以下：x(0, x0 )x0( x0 , π) f( x)+0f (x)↗极大值↘所以因为且所以f (x) 在区间 (0, x 0 ) 上单一递加，在区间(x 0 , π) 上单一递减．[11分]π a πf ( x 0 )f (e21 0 ，[12分 ]) 1 e2f (0)f ( π) 1 0 ，f ( x) 在区间 [0, π]上恰有 2 个零点．[13 分 ]19．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由题意得 a2 ， e c3，所以 c 3 ．[2 分 ]a2因为 a 2 b 2 c 2 ，[ 3 分 ] 所以 b1，[4 分 ]所以椭圆 C 的方程为x 2 y 2 1 ．[5 分 ]4（Ⅱ）若四边形 PAMN 是平行四边形，则 PA //MN ，且 | PA| | MN |.[ 6 分]所以直线 PA 的方程为 y k( x 2) ，所以 P(3,k) ， | PA |k 21．[ 7 分 ]设 M ( x 1 , y 1 ) ， N ( x 2 , y 2 ) ．y kx3,得 (4 k 2 1)x28 3kx 8 0 ，[ 8分 ]由4y 2 4, x 2由0 ，得 k 2 1 ．2且 x 1 x 28 3k， x 1 x 28 ． [ 9分 ]4k 2 14k 21所以 |MN|(k 2 1)[(x 1 x 2 )2 4x 1x 2] .(k 264k 2 32 ．[10分 ]1)21)2(4k因为 | PA| |MN |，所以( k 21) 64k 232k 21 ．(4k 2 1)2整理得4 2 33 0 ， [12分 ]16k 56k解得 k3，或 k11[13分 ]2．2经查验均切合0 ，但 k3时不知足 PAMN 是平行四边形，舍去．2所以 k3 ，或 k11 ．[14分 ]2220．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）②③．[3 分 ]注：只获得 ② 或只获得 ③ 给 [ 1 分 ] ，有错解不给分．（Ⅱ）当 m 3 时，设数列 A n 中 1,2,3出现频数挨次为 q 1 , q 2 , q 3 ，由题意 q i ≥ 1 (i 1,2,3) ．① 假定 q 1 4 ，则有 a 1 a 2 a sa t （对随意 s t2），与已知矛盾，所以q 1 ≥ 4 ．同理可证： q 3 ≥4 ．[ 5分 ]② 假定 q2 1 ，则存在独一的k {1,2,L , n}，使得 a2 ．k那么，对s,t ，有 a 1a k 1 2a sa t （ k,s,t 两两不相等），与已知矛盾，所以q 2 ≥ 2 ．[ 7分 ]综上： q 1 ≥ 4,q 3 ≥ 4, q 2 ≥ 2 ，3[ 8分]所以 Siq i ≥20 ．i 1（Ⅲ）设 1,2,L ,2018 出现频数挨次为 q 1, q 2 ,..., q 2018 ．同（Ⅱ）的证明，可得 q 1 ≥ 4, q 2018 ≥ 4 ， q 2≥2,q 2017 ≥2 ，则 n ≥ 2026．取 q 1q20184,q 2q20172 ， q i 1,i 3,4,5, L ,2016 ，获得的数列为：B n :1,1,1,1,2,2,3,4, L L ,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018 ． [10 分 ]下边证明 B n 知足题目要求．对i , j {1,2,L,2026} ，不如令 a i ≤ a j ，①假如 a i a j 1 或 a i a j 2018，因为q1= 4, q2018= 4，所以切合条件；②假如 a i1,a j 2 或 a i2017, a j2018，因为 q1=4, q2018 = 4， q2=2,q2017=2 ，所以也成立；③假如 a i1,a j 2 ，则可选用 a s2,a t a j 1 ；相同的，假如a i2017,a j 2018 ，则可选用 a s a i1,a t2017，使得 a i a j a s a t，且 i, j , s,t 两两不相等；④假如1a i ≤a j2018 ，则可选用 a s a i1,a t a j 1 ，注意到这类状况每个数最多被选用了一次，所以也成立．综上，对随意 i , j ，总存在s,t，使得 a i a j a s a t，此中 i , j , s,t {1,2,L,n} 且两两不相等．所以B n知足题目要求，所以n 的最小值为2026．[13分 ]。

2018年北京市西城区高三第一学期期末数学试题及答案

第Ⅰ卷（选择题共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项．1．若会集A{ x |0x 3} ，B{ x |1x 2} ，则A U B（ A）{ x | 1 x 3}（ B）{ x | 1 x 0}（ C）{ x |0 x 2}（ D）{ x | 2 x 3}2．以下函数中，在区间(0, ) 上单调递加的是（ A）y x 1（ B）y| x1|（ C）y sin x（ D）y1 x23．执行以下列图的程序框图，输出的S 值为（A）2（B） 6（C） 30（ D） 2704．已知M为曲线 C ：x3 cos , （为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最y sin大值是（ A）1（B）2（C） 3（D）4x1≥ 0,5．实数x, y满足x y1≥ 0,则 2x y 的取值范围是x y≥1 0,（ A）[0,2]（B）(,0]（ C）[ 1,2]（ D）[0,)6．设a,b是非零向量，且a, b 不共线．则“ | a | | b | ”是“ | a 2b | | 2a b | ”的（ A）充分而不用要条件（ B）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（ D）既不充分也不用要条件7．已知A，B是函数y2x的图象上的相异两点．若点 A ， B 到直线y 1 的距离相等，2则点 A ， B 的横坐标之和的取值范围是（A）(, 1)（B）(, 2)（C）(1,)（D）(2,) 8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H] ）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L ，记作 [OH ] ）的乘积等于常数10 14．已知 pH 值的定义为pH lg[H ] ，健康人体血液的pH 值保持在～之间，那么健康人体血液中的[H ]可以为[OH ]（参照数据：lg2 0.30 ， lg30.48 ）（A）1（B）1（C）1（D）1 23610第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．在复平面内，复数2i对应的点的坐标为____．1 i10．数列 { a n } 是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．若a21____；S5 ____．，则 a n211．在△ABC中，a 3 ，C，△ ABC的面积为33 ，则c____．3412．把4 件不同样的产品摆成一排．若其中的产品A与产品 B 都摆在产品 C 的左侧，则不同样的摆法有 ____种．（用数字作答）13．从一个长方体中截取部分几何体，获取一个以原长方体的部分极点为极点的凸多面体，其三视图以下列图．该几何体的表面积是 ____．x2x, 2 ≤x≤c,14．已知函数f ( x)1 ,若 c0 ，则f ( x)的值域是____；若f (x)的值域c x ≤ 3. x是 [1,2] ，则实数c的取值范围是____．4三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x)2sin2x cos(2 x π) ．3（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；π（Ⅱ）求 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值．216．（本小题满分13 分）已知表 1 和表 2 是某年部分日期的天安门广场升旗时辰表．表 1：某年部分日期的天安门广场升旗时辰表日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰1月1日7:364月9日5:467月9日4:5310月8日6:17 1月21日7:314月28日5:197月27日5:0710月26日6:36 2月10日7:145月16日4:598月14日5:2411月13日6:56 3月2日6:476月3日4:479月2日5:4212月1日7:16 3月22日6:156月22日4:469月20日5:5912月20日7:31表 2：某年 2 月部分日期的天安门广场升旗时辰表日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰2月 1日7:232月11日7:132月 21日6:592月 3日7:222月13日7:112月 23日6:572月 5日7:202月15日7:082月 25日6:552月 7日7:172月17日7:052月 27日6:522月 9日7:152月19日7:022月 28日6:49（Ⅰ）从表 1 的日期中随机选出一天，试估计这日的升旗时辰早于7:00 的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表 2 的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X 为这两人中观看升旗的时辰早于7:00 的人数，求X 的分布列和数学希望E( X ) ．（Ⅲ）将表 1 和表 2 中的升旗时辰化为分数后作为样本数据（如7:31 化为731）．记表 2 中60所有升旗时辰对应数据的方差为s2，表1和表2中所有升旗时辰对应数据的方差为 s*2，判断 s2与 s*2的大小．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图，三棱柱 ABC A1 B1C1中，AB平面 AA1 C1C ，AA1 AB AC2，A1AC 60 .过 AA1的平面交 B1C1于点E，交BC于点F .（Ⅰ）求证：A1 C平面 ABC1；（Ⅱ）求证：四边形AA1 EF 为平行四边形；（Ⅲ）若BF2，求二面角 B AC1F的大小. BC318．（本小题满分13 分）已知函数 f (x) e ax sin x1，其中a 0．（Ⅰ）当a1y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；时，求曲线（Ⅱ）证明： f (x) 在区间 [0, π] 上恰有 2 个零点．19．（本小题满分14 分）已知椭圆 C :x2y2b 0) 过点 A(2, 0) ，且离心率为3．a22 1( a2 b（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设直线 y kx 3 与椭圆 C 交于 M , N 两点．若直线x3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．20．（本小题满分13 分）数列A n：a1, a2, L , a n(n ≥ 4)满足：a1 1 ， a n m ， a k 1a k0 或1( k1, 2, L , n1) ．对任意i , j ，都存在s,t，使得a i a j a s a t，其中 i , j ,s,t {1,2, L ,n} 且两两不相等．（Ⅰ）若 m 2，写出以下三个数列中所有吻合题目条件的数列的序号；①1,1,1,2,2,2 ；② 1,1,1,1,2,2,2,2 ；③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2（Ⅱ）记 S a1a2L a n．若m 3 ，证明： S≥ 20；（Ⅲ）若 m 2018，求n的最小值．北京市西城区 2017 — 2018 学年度第一学期期末高三数学（理科）参照答案及评分标准一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分.1． A2．D3． C4．D5． D6．C7． B8．C二、填空题：本大题共 6 小题，每题5 分，共 30 分.9． ( 1,1)10． 2n3， 3111． 13412． 813． 3614． [ 1,)；[1,1]42注：第 10， 14 题第一空2 分，第二空3 分 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由于 f ( x) 2sin 2x cos(2xπ 3 )1 cos2 xπ π [ 4分](cos2 x cossin 2 x sin )333 sin 2x31[ 5分]2cos2 x23sin(2 xπ 1 ，[7 分 ])3因此 f ( x) 的最小正周期T2π π． [8 分 ]2（Ⅱ）由于0 ≤ x ≤ π，2因此π π 2π[10分]≤ 2x≤3．33当 2 xπ π，即 x 5π时，[11分]3212f ( x) 获取最大值为3 1．[13 分 ]16．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）记事件 A 为“从表 1 的日期中随机选出一天，这日的升旗时辰早于7:00 ”，[ 1分]在表 1 的 20 个日期中，有15 个日期的升旗时辰早于7:00 ，15 3．[3 分 ]因此 P(A)4 20（Ⅱ） X 可能的取值为 0,1,2 ．[ 4 分 ]记事件 B 为“从表 2 的日期中随机选出一天，这日的升旗时辰早于 7:00 ”，则 P(B)51， P(B) 1 P(B)2 ． [5 分 ]15 33P( X0) P(B) P(B) 4 ；P( X 1) C 12 ( 1 )(1 1 ) 4 ；9 33 9 P( X2) P(B) P(B)1 ．[ 8分 ]9因此 X 的分布列为：X 0 1 2P4 4 1999E(X) 041 4 21 2 ． [10 分]999 3注：学生获取X ~ B(2, 1) ，因此 E(X)2 1 2 ，同样给分．33 3（Ⅲ） s 2s *2 ．[13分 ]17．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由于 AB平面AA 1C 1C ，因此 A 1C AB ． [1 分 ] 由于三棱柱ABC A 1 B 1C 1 中， AA 1 AC ，因此四边形 AA 1C 1 C 为菱形，因此 A 1C AC 1 ．[ 3分 ] 因此 A 1C 平面 ABC 1 ．[4 分 ]（Ⅱ）由于A 1 A//B 1B ， A 1 A 平面 BB 1C 1C ，因此 A 1 A// 平面 BB 1C 1C ．[5 分 ] 由于平面 AA 1 EF I 平面 BB 1C 1C EF ，因此 A 1 A//EF ．[6 分 ]由于平面 ABC // 平面 A 1 B 1C 1 ，平面 AA 1 EF I 平面 ABC AF ，平面 AA 1 EF I 平面 A 1 B 1C 1A 1E ，因此 A 1E //AF ．[7 分 ] 因此四边形 AA 1 EF 为平行四边形．[8 分 ]（Ⅲ）在平面 AA 1C 1C 内，过 A 作 Az AC ．由于 AB平面 AA 1C 1C ，如图建立空间直角坐标系 A - xyz ．[ 9分]由题意得， A(0,0,0) ， B (2,0,0) ， C(0,2,0) ， A 1 (0,1, 3) ， C 1 (0,3,3) ．由于 BF2，因此 BF2BC ( 4,4,0) ，BC 333 32 4因此 F( , ,0)．3 3由（Ⅰ）得平面ABC 1的法向量为 A1C (0,1, 3) ．设平面 AC F 的法向量为n ( x, y, z)，1则nAC10,3y3z0,即2x4y0. n AF0,33令 y 1 ，则x 2 ，z 3 ，因此 n ( 2,1,3) ．[11分 ]因此 | cos n , A1C|| n A1C | 2 ．[13分 ]| n || A1C |2由图知二面角 B AC1 F 的平面角是锐角，因此二面角 B AC1F的大小为 45 ．[14分 ]18．（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）当 a1时， f (x)e x sin x 1 ，因此f(x)e x (sin x cosx) ．[ 2 分 ]由于f(0)1， f (0)1，[ 4 分 ]因此曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为y x 1 ．[ 5 分 ]（Ⅱ）f ( )e ax (asinxcos )．[ 6 分 ] x x由f( x)0，得 a sin x cosx 0 ．[7 分 ]由于a0，因此 f (π0 ．[ 8分 ] )2当 xππcos x0，得 tanx1 (0,) U (,π) 时，由 a sin x．22a因此存在唯一的 x0( π, π) ，使得tanx01．[9 分 ]2a f ( x) 与 f ( x) 在区间(0,π)上的情况以下：x(0, x0 )x0( x0 , π) f( x)+0f (x)↗极大值↘因此由于且因此f (x) 在区间 (0, x 0 ) 上单调递加，在区间(x 0 , π) 上单调递减．[11分]π a πf ( x 0 )f (e21 0 ，[12分 ]) 1 e2f (0)f ( π) 1 0 ，f ( x) 在区间 [0, π]上恰有 2 个零点．[13 分 ]19．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由题意得 a2 ， e c3，因此 c 3 ．[2 分 ]a2由于 a 2 b 2 c 2 ，[ 3 分 ] 因此 b1，[4 分 ]因此椭圆 C 的方程为x 2 y 2 1 ．[5 分 ]4（Ⅱ）若四边形 PAMN 是平行四边形，则 PA //MN ，且 | PA| | MN |.[ 6 分]因此直线 PA 的方程为 y k( x 2) ，因此 P(3,k) ， | PA |k 21．[ 7 分 ]设 M ( x 1 , y 1 ) ， N ( x 2 , y 2 ) ．y kx3,得 (4 k 2 1)x28 3kx 8 0 ，[ 8分 ]由4y 2 4, x 2由0 ，得 k 2 1 ．2且 x 1 x 28 3k， x 1 x 28 ． [ 9分 ]4k 2 14k 21因此 |MN|(k 2 1)[(x 1 x 2 )2 4x 1x 2] .(k 264k 2 32 ．[10分 ]1)21)2(4k由于 | PA| |MN |，因此( k 21) 64k 232k 21 ．(4k 2 1)2整理得4 2 33 0 ， [12分 ]16k 56k解得 k3，或 k11[13分 ]2．2经检验均吻合0 ，但 k3时不满足 PAMN 是平行四边形，舍去．2因此 k3 ，或 k11 ．[14分 ]2220．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）②③．[3 分 ]注：只获取 ② 或只获取 ③ 给 [ 1 分 ] ，有错解不给分．（Ⅱ）当 m 3 时，设数列 A n 中 1,2,3出现频数依次为 q 1 , q 2 , q 3 ，由题意 q i ≥ 1 (i 1,2,3) ．① 假设 q 1 4 ，则有 a 1 a 2 a sa t （对任意 s t2），与已知矛盾，因此q 1 ≥ 4 ．同理可证： q 3 ≥4 ．[ 5分 ]② 假设 q2 1 ，则存在唯一的k {1,2,L , n}，使得 a2 ．k那么，对s,t ，有 a 1a k 1 2a sa t （ k,s,t 两两不相等），与已知矛盾，因此q 2 ≥ 2 ．[ 7分 ]综上： q 1 ≥ 4,q 3 ≥ 4, q 2 ≥ 2 ，3[ 8分]因此 Siq i ≥20 ．i 1（Ⅲ）设 1,2,L ,2018 出现频数依次为 q 1, q 2 ,..., q 2018 ．同（Ⅱ）的证明，可得 q 1 ≥ 4, q 2018 ≥ 4 ， q 2≥2,q 2017 ≥2 ，则 n ≥ 2026．取 q 1q20184,q 2q20172 ， q i 1,i 3,4,5, L ,2016 ，获取的数列为：B n :1,1,1,1,2,2,3,4, L L ,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018 ． [10 分 ]下面证明 B n 满足题目要求．对i , j {1,2,L,2026} ，不如令 a i ≤ a j ，2018年北京市西城区高三第一学期期末数学试题及答案①若是 a i a j 1 或 a i a j 2018，由于q1= 4, q2018= 4，因此吻合条件；②若是 a i1,a j 2 或 a i2017, a j2018，由于 q1=4, q2018 = 4， q2=2,q2017=2 ，因此也建立；③若是 a i1,a j 2 ，则可采用 a s2,a t a j 1 ；同样的，若是a i2017,a j 2018 ，则可采用 a s a i1,a t2017，使得 a i a j a s a t，且 i, j , s,t 两两不相等；④若是1a i ≤a j2018 ，则可采用 a s a i1,a t a j 1 ，注意到这种情况每个数最多被采用了一次，因此也建立．综上，对任意 i , j ，总存在s,t，使得 a i a j a s a t，其中 i , j , s,t {1,2,L,n} 且两两不相等．因此B n满足题目要求，因此n 的最小值为2026．[13分 ]。

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