9-3全微分19848

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全微分方程

1 dx 1+ x
dx + C ],
x x 通解为 y + xy + + = C. 3 4
dy x2 + x3 + y 求微分方程 = − 的通解. dx 1+ x
2 3 ( x + x + y )dx + (1 + x )dy = 0, 解2 整理得 ∂P ∂Q Q =1= , ∴ 是全微分方程 . ∂y ∂x
将方程左端重新组合,有
d ( x ) + x − yd ( x − y ) = 0,
2 2 2
2 2 原方程的通解为 x + ( x − y ) = C . 3
2
3 2
3. 设 f ( x )在( −∞ ,+∞ )内可微， f (0 ) = 0, L为 xoy 面内任意闭曲线， ∫ 2 xyf ( x )dx + [ f ( x ) − x ]dy = 0成立，
2 x2
− 2( x 2 + 1)
4、已知 f(0)=1/2,试确定 f ( x ) , 使 [e x + f ( x )] ydx + f ( x )dy = 0 为全微分方程, 并求此全微分方程的通解.
解：P = [e + f ( x )] y
x
Q 是全微分方程
f ( x) = e
∫ dx
x
x ′ ⇒ f ( x) = f ( x) + e
1.观察法: 凭观察凑微分得到 µ ( x , y ) 常见的全微分表达式
x2 + y2 xdx + ydy = d 2
xdy − ydx y d arctan = x x2 + y2

大一高数下全微分课件

乘积法则
总结词
乘积法则用于计算两个函数的乘积的全微分。
详细描述
乘积法则是全微分的另一个重要法则，它指出如果z是两个函数u和v的乘积，那么dz=u*du+v*dv。具体来说，如果 z=u*v，那么全微分 dz=d(u*v)/du*du+d(u*v)/dv*dv=u*d u+v*dv。
商的法则
大一高数下全微分课件
• 全微分的定义 • 全微分的基本公式和法则 • 全微分的应用 • 常见函数的微分 • 微分中值定理与导数的应用 • 习题与解答
01
全微分的定义
全微分的概念
全微分是指在函数定义域内某一点处，将函数在该点的值与自变量在该点的值分别进行微小变化，函数值变化
量的线性部分。
全微分是函数在一点处对所有自变量偏导数的加权和，权因子是偏导数与自变量变
答案2
dz = cos(x + y) * (cos/sin)(π/4) * (cos/sin)(π/6) = -√3/3
解析2
函数z = sin(x + y)在点(π/4, π/6)的全微分为dz = cos(x + y) * cos(π/4) * cos(π/6) = -√3/3。
答案3
dz = e^(x + y) * (e^1) * (e^0) = e^(1+0) = e
高阶导数与高阶全微分
高阶导数可以用于计算高阶全微分，高阶全微分可以用于研究函数的更高阶的几何特性。
02
全微分的基本公式和法则
链式法则
总结词
链式法则描述了复合函数的全微分计算方法。
详细描述
链式法则是全微分的重要法则之一，它指出如果z是由y和x通过复合函数f(g(y)) 得到的，那么全微分dz=d(f(g(y)))/dz * dy。具体来说，如果u=g(y)且z=f(u) ，那么dz=d(f(u))/du * du=d(f(u))/du * d(g(y))/dy * dy。

高等数学9-3

化三重积分 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz 为直角坐标下
z
的三次积分。的三次积分。
1）是由曲面 y = 0, y = ） z = 0, x + z = 1 围成 0 ≤ z ≤ 1 x 解 : 0≤ y ≤ x 0≤ x≤1
x
z = 1 x
y=0
x
o
y
z=0
y
y= x
c
x o
y
∫c dz ∫∫ f ( x , y, z )dxdy
D( z )
d
先重后定
- 12 -
第三节
三重积分
例4
第九章重积分及其应用
z 2dxdydz , 其中是由曲面计算三重积分∫∫∫
z=
围成的闭区域。 x 2 + y 2 , z = 1, z = 2 围成的闭区域。
z
π
2
d ∫0
2cos
ρ d ρ ∫0 zdz
2
x
y
z =0
=
4a2 π 3
ρ = 2cos
x
∫0
2
8 3 cos d = a 9
3
- 17 -
o
第三节
三重积分
例6 计算三重积分
第九章重积分及其应用
其中其中由
z = x2 + y2 , z = 2 x2 y2 所围成 . 抛物面
解: : 0 ≤ 0≤ x ≤1 ∴ ∫∫∫ xd xd yd z
z
y ≤ 1 (1 x) 2
o
z = 1 x 2y
∫0
1
1 2(1 x)
1x2 y

高数Ⅱ习题答案—习题9-3,9-4解答

习题 9-331. 解：()()21=;=z z x y y x x x y y y∂∂+-∂∂把看作常量把看作常量；从而，所求全微分为 21+=z z x dz dx dy y dx x dy x y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂=++- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 32. 解：()()z y x z x y ∂=∂∂=∂把看作常量把看作常量故全微分)z zdz dx dy xdx ydy x y∂∂=+=+∂∂33. 解：()();z z y x x y ∂∂∂∂把看作常量把看作常量故全微分)z z dz dx dy ydx xdy x y ∂∂=+=+∂∂34. 解：()()()()()()()()=siny cos cos cos sin sin ;=cos sin sin sin cos cos ;x y x y x y x x x y x y x y y y z y e x e x e x x y x z x x e y e y e y y x y ++++++∂⎡⎤''+=-⎢⎥∂⎣⎦∂⎡⎤''+=+⎢⎥∂⎣⎦把看作常量把看作常量故全微分z zdz dx dy x y∂∂=+=∂∂()()cos sin sin sin cos cos x y e x x ydx y y xdy +-++⎡⎤⎣⎦ 35. 解：已知223x xy xz u e++=()()()()223223223232,=e 2;,=e 2;,e 3x xy xz x xy xz x xy xz u y z x y z xux z xy y u x y xz z++++++∂++∂∂⋅∂∂=⋅∂把看作常量把看作常量把看作常量故全微分：()223232e 223x xy xz u u u du dx dy dz x y z dx xydy xz dz x y z++∂∂∂⎡⎤=++=++++⎣⎦∂∂∂ 36. 解：(),=yz-1uy z yz x x∂⋅∂把看作常量（归结为幂函数求导） (),=ln yz ux z x x z y∂⋅⋅∂把看作常量（归结为指数函数求导） (),ln yz ux y x x y z∂=⋅⋅∂把看作常量（归结为指数函数求导）故全微分：u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++=∂∂∂1ln ln yz-yz yz yz x dx zx xdy yx xdz ⋅+⋅+⋅ 36. 解：由题意，002,1,0.02,0.01x y x y ==-∆=∆=；则有全增量：()()()()()()()()()2323000000002,12332,,20.0210.0121 4.08040.97029940.040792zf x x y y f x y x x y y x y -∆=+∆+∆-=+∆+∆-=+-+--=⨯-+= ()()=2;=3322z z y xy x x y x y ∂∂∂∂把看作常量把看作常量；()()2,12,1=;=12z z4xy--∂∂-∂∂全微分：()()()()()2,12,12,1dz40.02120.010.04z zx yx y ---∂∂=⋅∆+⋅∆=-⨯+⨯∂∂=通常，我们用全微分近似计算全增量，其误差为：()()2,12,10.000792dzz ε--=-∆=习题 9-338. 解：由全导数公式得()()()()1cos 122cos ln sin =sin cossin ln sin v vx dz z du z dv vu x u u x dx u dx v dx x x x x --∂∂=+=⋅+⋅-∂∂=- 幂函数求导指数函数求导带回原变量39. 解：由全导数公式得()222312312=123u v u vdz z du z dvtdx u dx v dxtt''--∂∂=+=∂∂=-=-反余弦函数求导反余弦函数求导带回原变量40. 解：由全导数公式得() ()() (),,,1cos sin=2sinx x xx yy z x ytdu u dx u dy u dze y z e t e tdt x dt y dt z dte t∂∂∂=++=-⋅+⋅+-⋅-∂∂∂=把看作常量把看作常量把看作常量带回原变量41. 解：由链式法则得()()(2222arctan2211221arctanuv uvv uyyyxz f u f v ye v x e ux u x v x xx y yxe yx yx y x∂∂∂∂∂⎛⎫=+=⋅⋅⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛=-+⎝把看作常量把看作常量把看作常量把看作常量带回原变量()()(222arctan22111221arctanuv uvv uxxyxz f u f ve v y e uy u y v y xx y yxe yy xx y x∂∂∂∂∂=+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅∂∂∂∂∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛=++⎝把看作常量把看作常量把看作常量把看作常量带回原变量42. 解：()()()212ln32ln32332yvuyz f u f v uu vx u x v x y vx yx xy y x y y∂∂∂∂∂=+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂∂⎛⎫-=+⎪⎪-⎝⎭把看作常量把看作常量把看作常量把看作常量带回原变量() ()()()2222l n 22l n 32232v x u x z f u f v x u u v y u y v y y v x x y x x y y x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂=+=⋅⋅-+⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭把看作常量把看作常量把看作常量把看作常量带回原变量43. 解：() () ()()()2222222cos 2sin sin 2sin cos cos sin 2sin v v x z f x f yxy y v x xy v u x u y u u v v v u v v v ∂∂∂∂∂=+=-⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+- 把看作常量把看作常量把y 看作常量把看作常量带回原变量()()()()()()2232322sin 2cos sin sin 2sin cos sin 2cos v v x z f x f y xy y u v x xy u v v x v y v u v v v u v v v∂∂∂∂∂=+=-⋅-+-⋅∂∂∂∂∂=-+-把看作常量把看作常量把y 看作常量把看作常量带回原变量44. 解：()()22212222122t t x z f x f y x x s x s y sy y s t s t s t s t ∂∂∂∂∂=+=⋅+-⋅∂∂∂∂∂--⎛⎫=- ⎪++⎝⎭把看作常量把看作常量把y 看作常量把看作常量带回原变量() ()2222122422s s x z f x f yx x t x t y ty y s t s t s t s t ∂∂∂∂∂=+=⋅-+-⋅∂∂∂∂∂--⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭把看作常量把看作常量把y 看作常量把看作常量带回原变量45. 解：令22;xyx y u ev -==（本题两个中间变量，两个自变量）；则有121212=====22xyxy y y z f u f v f ff f x u x v x u v f x f e y xf ye f ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂''=+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭''''⋅+⋅⋅=+把看作常量把看作常量今后常用记号：() 1222xyx x xy z f u f v f y f e x y u y v y f fyxe u v∂∂∂∂∂''=+=⋅-+⋅⋅∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂把看作常量把看作常量46. 解：令3,,x u xy v xyz w ===（本题三个中间变量，三个自变量）；则有12322123123,,,+====,,=33y z y z y z s f u f v f w f f ff f f x u x v x w x u v w f x f y f yz x f yf yzf ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂'''=+= ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭''''''⋅+⋅+⋅=++把看作常量把看作常量把看作常量今后常用记号：12323+==0x,z x,z x,z s f u f v f wy u y v y w y f f x f xz xf xzf ∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂'''''⋅+⋅+⋅=+把看作常量把看作常量把看作常量1233+==00x,y x,y x,y s f u f v f w z u z v z w z f f f xy xyf ∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂''''⋅+⋅+⋅=把看作常量把看作常量把看作常量47. 解：令3x xy xyz u ++=（本题一个中间变量，三个自变量）；则有()()()()2,===3y z s uf u f u f x xx y yz f ∂∂'''==∂∂'++把看作常量今后常用记号：()(),=x z s uf x xz f x xz f y y ∂∂'''=+=+∂∂把看作常量,=x y s uf xy f xyf z z ∂∂'''=⋅=∂∂把看作常量48. 解：令;x u xy v ==（本题两个中间变量，两个自变量）；则有1212=1y y z f u f vf f y f yf x u x v x ∂∂∂∂∂''''=+⋅+⋅=+∂∂∂∂∂把看作常量把看作常量122=0x x z f u f v f f x xf y u y v y ∂∂∂∂∂'''=+⋅+⋅=∂∂∂∂∂把看作常量把看作常量49. 解：所设函数是由(),,,,x yz uf v w u xy v w y x====（三个中间变量，二个自变量）复合而成的多元复合函数；故有()()12122,,,212+====,1=,,y u w u v v w y y z z u z v z w f ff f x u x v x w x v w y f v w y uf uf y x x y y yf xf f y x x ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂''=+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫''⋅+⋅+⋅-= ⎪⎝⎭⎛⎫''==+- ⎪⎝⎭把看作常量把看作常量把看作常量把看作常量把看作常量把看作常量今后常用记号：带回原变量()()122,,,212+=1=,,x u w u v v w x x z z u z v z w y u y v y w yx f v w x uf uf y x x y x xf f yf y x y∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫''⋅+⋅-+⋅= ⎪⎝⎭⎛⎫''==-+ ⎪⎝⎭把看作常量把看作常量把看作常量把看作常量把看作常量把看作常量带回原变量50. 证：（本题一个中间变量，两个自变量）求偏导数（注意：先用两函数和的求导法则，再用复合函数的链式法则）()()()()()()=+=0+==2y z uy u y f u f u xx x x f u f f x ∂∂∂∂'∂∂∂∂'''⋅把看作常量把看作常量,是中间变量今后常用记号：()()()() =+=1+=1+2x z ux u y f u f f y y y y y∂∂∂∂''⋅-∂∂∂∂把看作常量把看作常量，是中间变量将求得的,z zx y∂∂∂∂代人方程左边得：左边z zyx x y∂∂=+=∂∂2xyf '()12x yf x '+-==右边。

多元函数微分学—全微分及其运用(高等数学课件)

典型例题讲解
例2 求函数 z ( x y )e xy 在点（1，2）处的全微分.
z
解： e xy y ( x y )e xy (1 xy y 2 )e xy，
x
z
例2
e xy 求函数计算函数，在点（1，2）处的全微分。
x( x y )e xy (1 xy x 2 )e xy，
用公式(1):
z dz f x( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y
二、典型例题讲解
例1 有一金属制成的圆柱体，受热后发生形变，它的半径由20 cm 增大到
20.05 cm ，高由50 cm 增加到50.09cm，求此圆柱体体积变化的近似值.
解: 设圆柱体的半径、高和体积分别为、ℎ 和, 它们的增量分别记为
多元函数的微分学
多元函数的全微分
知识点讲解
1.全微分的定义
2.可微、连续、可偏导之间的关系
3.全微分的求法
全微分的定义
1.全改变量
设函数 z f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义,自变量、在0 、0
的改变量分别为 x, y ，全增量:
z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )
x
y
z
由公式知：求全微分的步骤如下：
1.求偏导数；
2.套公式得全微分.
f ( x, y )
典型例题讲解
例1 求函数 z x 2 y xy 2 的全微分.
解:
z
z
2 xy y 2 , x 2 2 xy
x
y
dz (2 xy y 2 )dx ( x 2 2 xy)dy.

全微分定义公式

全微分定义公式如果函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在 ( x , y ) (x, y) (x,y)处的全增量Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Deltaz=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)可以表示为Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \Delta z=A\Deltax+B\Delta y+o(ρ) Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)其中A、B不依赖于Δ x Δx Δx，Δ y Δy Δy，仅与 x x x，y y y有关，ρ ρ ρ趋近于0( ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2ρ=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2 )，此时称函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处可微分，A Δ x + B Δ y AΔx+BΔy AΔx+BΔy称为函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x, y) (x,y)处的全微分，记为 d z dz dz即d z = A Δ x + B Δ y dz=A\Delta x +B\Delta y dz=AΔx+BΔy该表达式称为函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)在 ( x , y ) (x, y) (x,y)处(关于Δ x Δx Δx, Δ y Δy Δy)的全微分。

定理定理1若函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 p 0 ( x 0 , y 0 ) p_0(x_0,y_0) p0(x0,y0)处可微，则 z = f ( x , y ) z=f(x,y)z=f(x,y)在 p 0 ( x 0 , y 0 ) p_0(x_0,y_0) p0(x0,y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有 f x ′ ( x 0 , y 0 ) = A f'_x(x_0,y_0)=A fx′(x0,y0)=A，f y ′ ( x 0 , y 0 ) = B f'_y(x_0,y_0)=B fy′(x0,y0)=B。

D9_3全微分

xy 2 2 x y f ( x , y ) 例1 0
x2 y2 0 x2 y2 0
.
试证明：在点( 0,0) 处有 f x ( 0,0) f y ( 0,0) 0
但 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处不可微。证明： f x ( 0,0) lim f ( x ,0) f ( 0,0 ) x 0 x x0 0 2 0 x 0 lim 0, lim x 0 x x 0 x
1 f y (0,0,0) f z (0,0,0) 4 d f ( 0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z 1 (d x d y d z ) 4
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利用轮换对称性 , 可得
处全增量可表示成
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数 A x + B y 称为函数 f ( x, y ) f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，在点 (x, y) 的全微分, 记作
第三节
全微分
y Ax o( x)
d y f ( x)x
应用
一元函数 y = f (x) 的微分
近似计算估计误差
本节内容:
一、全微分的定义可微的条件
*二、全微分在数值计算中的应用
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一、全微分的定义
一元函数 y = f (x) 的增量概念：
y f ( x x) f ( x )
f x ( x 1 x, y y ) x f y ( x, y 2 y ) y ( 0 1 , 2 1 ) [ f x ( x, y ) ] x [ f y ( x, y ) ] y

全微分方程基本公式

全微分方程基本公式全微分方程是分析科学问题的重要工具，它可以帮助我们精确地解决复杂的数学问题。

本文介绍了全微分方程的基本概念及其相关的基础公式，为科学家更好地理解和应用它提供了依据。

全微分方程（FDE）是一种广泛应用于数学模型分析和实际问题求解的非常有效的方法，它可以提供一种有效的解决方案。

本文介绍了全微分方程的基本公式，帮助读者更好地理解全微分方程的基本原理和应用。

一、全微分方程的基本定义全微分方程（FDE）是一阶和多阶微分方程，它们次数比一般微分方程更高，其解决方法也较复杂。

全微分方程式用于表达复杂的物理问题，也常用于模拟动态系统的运动状态。

一般来说，全微分方程的形式可以表示为：$$ F(x,y,y',....,y^{(n)})=0 $$其中，$ n $ 为方程的次数，也称为FDE的阶数。

$ x $ 是变量，用于表示未知函数，此外，$ y'=\frac {dy}{dx} $ 、 $ y''=\frac {d ^ 2y}{dx ^ 2} $ 和 $ y^{(n)}=\frac {d^ny}{dx^n} $ 也分别称为导数和高阶导数，用于描述未知函数 $ y $ 的变化状态。

二、全微分方程的基本公式1. 一阶全微分方程一阶全微分方程是最简单的全微分方程，其公式可以用如下形式表示：$$ P(x)y'+Q(x)y=g(x) $$其中，$ P(x) $ 和 $ Q(x) $ 为常数或未知函数，$ y $ 为未知函数，而$ g(x) $ 是一个定义在区间上的函数。

2. 二阶全微分方程二阶全微分方程的公式为：$$ P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=g(x) $$其中，$ P(x) $、$ Q(x) $ 和 $ R(x) $ 为不同函数，$ y $ 为未知函数，$ g(x) $ 是一个定义在区间上的函数。

3.三阶全微分方程三阶全微分方程可以表示为：$$ P(x)y'''+Q(x)y''+R(x)y'+S(x)y=g(x) $$其中，$ P(x) $、$ Q(x) $、$ R (x) $ 和$ S(x) $ 为不同函数，$ y $ 为未知函数， $ g(x) $ 是一个定义在区间上的函数。

高数下D9_3全微分

即
定理1(必要条件)
若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
注意: 定理1 的逆定理不成立 .
偏导数存在函数不一定可微 !
即:
反例: 函数
易知
但
因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
定理2 (充分条件)
若函数
的偏导数
则函数在该点可微分.
若函数在域 D 内各点都可微,
则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
处全增量
则称此函数在D 内可微.
(2) 偏导数连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
由微分定义 :
得
函数在该点连续
偏导数存在
函数可微
(可用于近似计算)
例3.计算
的近似值.
解: 设
,则
取
则
分别表示 x , y , z 的绝对误差界,
2. 误差估计
利用
令
z 的绝对误差界约为
z 的相对误差界约为
则
例4. 利用公式
求计算面积时的绝对误差与相对误差.
解：
故绝对误差约为
又
所以 S 的相对误差约为
计算三角形面积.现测得
习题9-3 1；2；3；4；7
内容小结
1. 微分定义:
2. 重要关系:
函数可导
函数可微
偏导数连续
函数连续
思考与练习
函数
在
可微的充分条件是( )
的某邻域内存在 ;
时是无穷小量 ;

9-3全微分及其应用共11页

所以函数在点 ( 0 ,0 ) 处不可微 .
(2) 可微的充分条件
定理若函 zf(x 数 ,y)在(x 点 ,y)处有连偏导z数， z，则 zf(x,y)在(x 点 ,y)处可 x y 且dzzxzy. x y 习惯上，记全微分为 dzzdxzdy. x y 以上有关二元函数全微分的讨论可推广到三元
（3）当 (x)2(y)2 0时，
zfx (x 0,y0) xfy (x 0,y0) y是无穷
（4）当 (x)2(y)2 0时，
z f x( x0 , y0 )x f y( x0 , y0 )y ÇÊ ÞÎ îÇ ¡Ð ¿Á . (x)2 (y)2
当点 P ( x , y)沿着直线 yx趋近于 (0 ,0 )时，
有 lxi m 0(x )2x ( yy)2 lx i0 m (x )2 x ( xx)2
1 ， z [ f x ( 0 , 0 ) x f y ( 0 , 0 ) y ] o () ，
如果 zf( 函 x ,y)在数 (x ,点 y)处可微
即 z d 有 o ( z ) A x B y o () ，
那么limz li[m A xB y o () ]0，
x0
x 0
y0
y 0
从而 zf( 函 x ,y)在数 (x ,点 y)处连续
第三节全微分及其应用
一、全微分的概念
首先复习一元函数微分的有关内容：若 y f ( 函 x ) 在 x 的数点 y f 增 ( x x ) f ( x 量 )
可以表示为 y A x o ( x ) ，则称 y函 f(x)在数 x点处可微，并A 称 x为函 yf(x 数 )在点x处的微, 记分作 dy，

第三节全微分

t
t
z z x s x s
z z x z dy t x t y dt
注意设 z f (u, x, y) ,u ( x, y) z f [ ( x, y), x, y]
x
链式图
x
z
y y
u
链式法则 z z u f
x u x
第三节
全微分
一、全微分的定义二、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
1.一元函数的微分： 2.全微分的定义若函数 z f ( x, y) 在点( x, y )的某一邻域内偏导数
z z 在该点可微,且称 x dx y dy 为函数 z f ( x, y)
z x
z z f ( x, y) 、 y 存在,且在这一点它们都连续，则
z z u z v y u y v y
u x
z
v
y
例1 设 z e sin v
u
z ,而 u xy , v x y ,求 x
u x
,
z y
解
z z u z v x u x v x
u u
z
e sin v y e cosv 1
dz z du z dv dt u dx v dt
情形3：复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形,设 z f x, y , x s, t , y t
z f s, t , t
z
y
s
x
链式图
链式法则
v ( x, y)在点( x, y )处有偏导数, 函数 z f (u, v) 在对应点
(u , v) 处有连续偏导数, 则复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y)]

《微积分九版》课件

微分概念
总结词
微分概念是微积分中的基础概念，它描述了函数在某一点附近的小变化。
详细描述
微分表示函数在某一点附近的小变化量，即函数值的增量与自变量增量的比值在增量趋于零时的极限。微分的几何意义是函数图像在该点附近的一条切线。微分在近似计算、误差估计等方面有重要应用。
积分概念
总结词
积分概念是微积分中的基础概念，它描述了函数在某个区间上的整体效果。
弹性分析主要关注两个经济变量之间的相对变化率，例如需求价格弹性和供给价格弹性等。通过计算这些弹性的导数，可以了解它们之间的相互影响和最优决策。
弹性分析涉及的公式包括弹性系数的计算，例如需求价格弹性和供给价格弹性的计算公式。
例如，在价格制定中，企业会计算需求价格弹性，以确定最优的价格策略。
则描述了物体角动量的变化规律，公式为 dL/dt=M。
万有引力定律
总结词
描述物体间相互吸引的力的大小和方向。
详细描述
万有引力定律指出，任何两个物体间都存在相互吸引的力，大小与两物体的质量成正比，与距离的平方成反比，方向沿着两物体连线的方向。公式为 F=G(m1m2/r²)。
CHAPTER 06
《微积分九版》ppt课件
contents
目录
• 微积分简介 • 微积分基础知识 • 微积分基本定理 • 微积分运算技巧 • 微积分在物理中的应用 • 微积分在经济学中的应用
CHAPTER 01
微积分简介
微积分的起源
微积分起源于17世纪的欧洲，是数学的一个重要分支，主要用于研究连续变化的量。
化趋势和最优决策。
公式
边际分析涉及的公式包括导数和偏导数的计算，例如求导公式、链式

常微分方程第五讲：全微分方程

x y
cos(t)
.
/ cot(t)
d y cos(t)d t,
从而 y sin t C .
故得原方程参数形式的解
x
y
cos(t) sin (t)d t C
.
(t为参数)
西南
上式消去参数得通积分 x 2 (y C )2 1.
科
技
大
学
理
学
院
32
例2：求方程x3 y '3 3xy ' 0的通解.
若方程（1）不含 x，即 F( y, y/ ) 0, 则完全类似求解。
例3：解方程y - ( y ')5 - ( y ')3 y ' 5 0.
u M 2x(1 x2 - y ), (*) x
u N x2 - y. (**) y 先就（*）两端对x积分（视y为常数）有
西
u(x, y) 2x(1 x2 - y )dx ( y)
南
科技大
x2
2
(x2
3
y)2
(
y).
学
3
理
学
院
7
再利用（**）（视x为常数）有
1
(x2 y)2 '( y) x2 y , 即 '( y) 0，于是 ( y) C.
则称（1）为全微分方程或恰当方程，u (x ,y )
称为（1）的一个原函数。
例如
xdx ydy 0,
u (x ,y )
1 (x 2
2
y 2 ),
西
南科
使得d u (x ,y ) xd x yd y , 是全微分方程，
技
大学理
u (x ,y ) 是方程的一个原函数。

全微分方程的解法

故通解为 (2) 偏积分法: 假设所求全微分函数为 ,则有
所以从而即
(3) 凑微分法:
根据二元函数微分的经验,原方程可写为
方程的通解为：
练习：验证方程是全微分方程，并求它的通解。
方程的通解为：
积分因子法
一、概念二、积分因子的求法
一、定义: m ( x, y ) 0 连续可微函数，使方程 m( x , y ) P ( x , y )dx m( x , y )Q ( x , y )dy 0成为全
Q y x
，故曲线积分与路径无关。因此
( x, y )
( x, y)
( x0 , y0 )
P( x, y)dx Q( x, y)dy
二、全微分方程的解法
(1) 线积分法:
( x, y) P( x, y)dx Q( x0 , y)dy
x0 y0
x
y
或 ( x, y)
2 P 2 Q , xy y yx x 又因为 P( x, y), Q( x, y) 偏导数连续， P Q 2 2 所以，即 y x xy yx
所以
（2）证明充分性
P Q ，求一个二元函数 ( x, y) 使它满足设 y x d ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy 这里 ( x0 , y0 ) R P( x, y), Q( x, y) 即 x y x 由第一个等式，应有 ( x, y ) P( x, y )dx ( y )
( m P ) ( m Q ) m P P m m Q Q m , y y x x y x
P Q m m Q P m x y y x

9-4 全微分

V x2 y ．当 x 和 y 分别获得增量 x 和 y 时，体积 V 的全增量为
V ( x x)2 ( y y ) x 2 y 2 xyx x 2y 2 xxy y (x)2 (x) 2 y.
由上式可知，V 的计算是较繁琐的．因此设想：能否像一元函数一样，有一个简便的近似计算公式呢？事实上不难发现，当（x, y） (0,0) 时，上式后三项之和 2xy y(x)2 (x)2 y 是 (x)2 (y)2 的高阶无穷小，即
dz |( x0 , y0 ) Ax By ．
（9.4.2）
23-5
由于 dz |( x0 , y0 ) 是 x, y 的线性函数，且与 z 仅相差一个的高阶无穷小 o( ) ，因此 dz |( x0 , y0 ) 也称为 z 的线性主部，当| x |,| y | 充分小时，有
不存在，所以此函数在点(0,0)处不可微．
注 2：需要指出的是，定理 9.4.1 是多元函数可微的必要条件，而非充分条件．
例 9.4.1 二元函数 z | x | | y | 在点 (0,0) 处是连续的，但在点(0,0)
处不可偏导，所以 z | x | | y | 在点 (0,0) 处不可微．
xy 2 2 , x y 0, 2 2 例 9.4.2 二元函数 f ( x, y ) x y 在 (0,0)处可偏导， 0, x2 y 2 0
定理 9.4.1(可微的必要条件) 如果二元函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微，则 (1) f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续； (2) f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处可偏导，且有 A f x( x0 , y0 ), B f y( x0 , y0 ) ，从而 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处的全微为

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一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x ,y ) f ( x ,y )fx(x,y)x
f( x ,y y ) f( x ,y )fy(x,y)y
二元函数
二元函数
对x和对y的偏增量对 x和对 y的偏微分
全增量的概念
如果函数z f (x, y)在点(x, y)的某邻域内有定义，并设P(xx, y y)为这邻域内的
当 y 0 时，上式仍成立，此时|x|,
f ( x x ,y ) f ( x ,y )A x o ( |x|),
lim f(x x ,y)f(x ,y)A z ,
x 0
x
x
同理可得 B z . y
一元函数在某点的导数存在
某邻域存在；
（ 3） z
fx( x, y)x
f

y
(
x
,
y
)
y
，
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量；
z
（ 4）
f

x
(
x, (
y ) x )2
x
f y( (y)2
x
,
y
)
y
,
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量.
一、填空题:
练习题
解 z yexy, z xe xy ,
x
y
z e2 , z 2e2 ,
x (2,1)
y (2,1)
所求全微分 d ze2dx 2e2d.y
例2 求函数zycosx(2y)，当x，y，
4
dx，dy时的全微分.
4
解 zysinx (2y), x zcox s2(y)2ysix n 2 (y), y
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy 例如， f(x,y) x2y2
0
x2y2 0 .
x2y2 0
在点 (0,0)处有 fx(0,0)fy(0,0)0
o()
x y z [ f x ( 0 ,0 ) x f y ( 0 ,0 ) y ] (x)2 (y)2 ,
1、设
z

y
e x,则
z
_____________；
x
z _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； dz _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . y
2 、若 u ln( x 2 y 2 z 2 ) , 则
du _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
0.1cm，内高为20cm,内半径为4cm ,求容器外壳体积的近似值. 五、测得一块三角形土地的两边边长分别为630.1m 和 78 0.1m,这两边的夹角为60 10 .试求三角形面积的近似值,并求其绝对误差和相对误差. 六、利用全微分证明 : 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和 ; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和 .
li[m f(xx,yy)f(x,y)] limz 0
x 0
0
y 0
故函数 z f ( x ,y ) 在点 ( x , y ) 处连续 .
二、可微的条件
定理 1（必要条件）如果函数 z f (x, y)在点 ( x , y ) 可微分，则该函数在点( x , y ) 的偏导数z 、
七、求函数
f
( x,
y)
( x 2

y2
)sin
1 , x2 y2 0 x2 y2

0
, x2 y2 0
的偏导数,并研究在点(0,0) 处偏导数的连续性及
函数f (x, y)的可微性.
练习题答案
一、1、
y
e
y x
,
1
e
y x
,
1
e
y x
(
y
dx
dy ) ；
所以 f x ( x ,y ) 在 ( 0 ,0 ) 不连续 . 同理可证 fy ( x ,y ) 在 ( 0 ,0 )不连续 .
x z 必存在，且函数 z f ( x, y)在点( x, y) 的全微分 y
为
dz z x z y ． x y
证如果函数 z f(x ,y )在点 P (x ,y )可微分 ,
P(xx,yy)P 的某个邻域
z A x B y o ()总成立,
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微偏导数连续
三、小结
１、多元函数全微分的概念；２、多元函数全微分的求法；３、多元函数连续、可导、可微的关系．
（注意：与一元函数有很大区别）
思考题
函数 z f ( x, y)在点(x0, y0) 处可微的充分条件是:
（ 1） f ( x, y)在点( x0, y0 ) 处连续；（ 2） f x( x, y)、 f y( x, y)在点( x0 , y0 ) 的
dz(,) 4
z dxz dy
x(,) 4
y(,) 4
2(47). 8
例 3计算函数 uxsiyn ey的 z 全微分 . 2
解 u 1, x
u1coyszeyz, y 2 2
u yeyz , z
所求全微分
d u d x (1 co y z sye )z d y yye d z.z 22
当 ( x , y ) ( 0 , 0 ) 时，
fx(x,y)ysix n 2 1 y2(x 2 x 2y y2)3cox 2 1 s y2,
当点 P (x ,y ) 沿直线 y x 趋于 ( 0 ,0 ) 时 ,
(x,xl) i(m 0,0) fx(x,y)
lx i0 m x si2 n 1 |x | 22 x |3 x |3co 2 1 |x s| , 不存在.
如果考虑点 P ( x , y ) 沿着直线 y x 趋近于 ( 0 , 0 ) ，
x y
则
(x)2 (y)2

(x)2x(xx)2
1, 2
说明它不能随着 0 而趋于 0 , 当 0时，
z [ f x ( 0 , 0 ) x f y ( 0 , 0 ) y ] o (),
习惯上，记全微分为 dzzdxzdy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
du udx udyud.z x y z
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
例 1计算函数 z e x在 y点 (2 ,1 )处的全微分 .
点 ( 0 ,0 ) 连续且偏导数存在，但偏导数在点( 0 ,0 )
不连续，而 f 在点(0,0) 可微.
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
(x,y)(0,0)， (x,y)(0,0)讨论 .
证令 xco,sysin,
3、若函数 z y ,当 x 2, y 1 , x 0.1, y 0.2 时 , x
函数的全增量 z _ _ _ _ _ _ _ ; 全微分 dz _ _ _ _ _ _ _ _ .
4 、若函数 z xy x , 则 z 对 x 的偏增量 y
z Ax By o( )，其中 A, B不依赖于 x, y而仅与 x, y有关， (x)2 (y)2 ，
则称函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分， Ax By称为函数z f ( x, y)在点( x, y)的全微分，记为dz，即 dz= Ax By.
则 limxysin 1
(x,y)(0,0)
x2y2
l i0m 2sincossin 10 f(0,0),
故函数在点 ( 0 , 0 ) 连续 ,
fx(0,0) lx i0 m f(x,0 )x f(0,0)lxi m 00x00,
同理 fy(0,0)0.
任意一点，则称这两点的函数值之差
f (x x, y y) f (x, y) 为函数在点P对应于自变量增量x,y的全增量，记为z ，
即 z= f (x x, y y) f (x, y)
全微分的定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
fy(x ,y ) y2 y ,当 y 0时， 2 0,
z fx (x ,y ) x 1 x fy(x ,y) y2 y
1x2y
1x2y
(x)2(y)2
1 2 00,
故函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微 .
x2 x
xx
2 、 2 ( xdx ydy zdz ) ； 3 、 - 0 . 1 1 9, - 0 .1 2 5 ； x2 y2 z2
4、 ( y 1 )x, y 1 .
y
y
二、 1 dx 2 dy . 33
三、 2.95.
四、55 .3cm 3 .