高中数学一轮复习第10讲变量间的相关关系与统计案例

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高考数学一轮必备 10.3《变量间的相关关系与统计案例》考情分析学案

1122211()()()n ni i i i i i n ni i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑10.3变量间的相关关系与统计案例考情分析从近三年高考试题分析，高考对本部分的考察多以散点图和相关关系为主，另外对线性回归方程与独立性检验在实际应用中的考察。

基础知识1.两个变量的线性相关：(1)正相关：在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.(2)负相关：在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)线性相关关系、回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.2.最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法.3.回归方程方程ˆybx a =+是两个具有线性相关关系的变量的一组数据1122(,),(,),(,)n n x y x y x y 的回归方程,其中 4．回归分析的基本思想及其初步应用 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，其常用的研究方法步骤是画出散点图，求出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预报． (2)对n 个样本数据(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、…、(xn ，yn )，(,)x y 称为样本点的中心． (3)除用散点图外，还可以用样本相关系数r 来衡量两个变量x ，y 相关关系的强弱，r =r ＞0，表明两个变量正相关，当r ＜0，表明两个变量负相关，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r |0.75>时，认为这两个变量具有很强的线性相关关系．5、用相关指数2R 来刻画回归的效果，公式是22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果好5．独立性检验的基本思想及其初步应用(1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类型，则这类变量称为分类变量． (2)列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．(3)利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验独立性检验公式2K ＝2()()()()()n ad bc a b a c b d c d -++++注意事项1.(1)函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系． (2)当K 2≥3.841时，则有95%的把握说事A 与B 有关；当K 2≥6.635时，则有99%的把握说事件A 与B 有关；当K 2≤2.706时，则认为事件A 与B 无关．2.(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义． (2)线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估计而来的，存在误差，这种误差会导致预报结果的偏差；而且回归方程只适用于我们所研究的样本总体．(3)独立性检验的随机变量K 2＝3.841是判断是否有关系的临界值，K 2≤3.841应判断为没有充分证据显示事件A 与B 有关系，而不能作为小于95%的量化值来判断．题型一相关关系的判断【例1】对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )A. r 2<r 4<0<r 3<r 1B. r 4<r 2<0<r 1<r 3C. r 4<r 2<0<r 3<r 1D. r 2<r 4<0<r 1<r 3答案：A解析：由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r 2<r 4<0<r 3<r 1.故选A. 【变式1】根据两个变量x ，y 之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________(填“是”与“否”)．解析从散点图看，散点图的分布成团状，无任何规律，所以两个变量不具有线性相关关系．答案否题型二独立性检验【例2】通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：由K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，算得K 2＝－260×50×60×50≈7.8.附表：A. 有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关” 答案：A 解析：∵K 2＝－260×50×60×50≈7.8>6.635，∴有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”．【变式2】某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.附K2＝a ＋b c＋d a＋c b＋d，解(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360 500×100%＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500×100%＝64%.(2)K2＝500×500×680×320≈7.35＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．题型三线性回归方程【例3】9. [2013·金版原创]在2013年元旦期间，某市物价部门对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：格x 的线性回归方程为________．(参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x )答案：y ^＝－3.2x ＋40解析：∑i ＝15x i y i ＝392，x ＝10，y ＝8，∑i ＝15x 2i ＝502.5，代入公式，得b ^＝－3.2，所以，a ^＝y －b ^x ＝40，故线性回归方程为y ^＝－3.2x ＋40. 【变式3】为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为( )． A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176解析由题意得x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176(cm)，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176(cm)，由于(x ，y )一定满足线性回归方程，经验证知选C. 答案 C重难点突破【例4】某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝bx ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解析 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：x ＝0，y ＝3.2， b ＝－－＋－－＋2×19＋4×29－5×0×3.2－2＋－2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a ＝y －b x ＝3.2. 由上述计算结果，知所求回归直线方程为y －257＝b (x －2 006)＋a ＝6.5(x －2 006)＋3.2，即y ^＝6.5(x －2 006)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为6． 5(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．巩固提高1.下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系；其中错误的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案：C解析：①方差不变，对．②错．变量x 增加一个单位时，y 平均降低5个单位．③对．④错，应该有99.9%的把握确认这两个变量间有关系．2.已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为( )A. y ^＝1.23x ＋4 B. y ^＝1.23x ＋5 C. y ^＝1.23x ＋0.08 D. y ^＝0.08x ＋1.23答案：C解析：回归直线必过点(4,5)，故其方程为y ^－5＝1.23(x －4)，即y ^＝1.23x ＋0.08. 3. 已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝( ) A. 1.30 B. 1.45 C. 1.65 D. 1.80答案：B解析：依题意，得x ＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y ＝16×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25；又直线y ^＝0.95x ＋a 必过中心点(x ，y )，即点(4,5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a ，由此解得a ＝1.45，选B.4. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程：y ＝0.56x ＋a ，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为( )A. 70.09 kgB. 70.12 kgC. 70.55 kgD. 71.05 kg答案：B解析：x ＝160＋165＋170＋175＋1805＝170，y ＝63＋66＋70＋72＋745＝69.∵回归直线过点(x ，y )，∴将点(170,69)代入回归直线方程得y ^＝0.56x －26.2，代入x ＝172 cm ，则其体重为70.12 kg.5.调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．答案：0.254解析：以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ^＝0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．。

完整版变量间的相关关系统计案例

完整版变量间的相关关系统计案例引言：经济学中一个重要的分支是相关关系的研究，通过统计分析不同变量之间的相关性，可以帮助我们理解变量之间的关系。

本文以汽车生产数量和国内生产总值（GDP）为例，通过统计分析两者之间的相关关系，展示相关分析在实际问题中的应用。

方法：本案例采用了经济学中常用的相关分析方法，包括Pearson相关系数和散点图。

本文使用了国在过去10年内的汽车生产数量和GDP的数据。

汽车生产数量的数据来自国家汽车协会，GDP数据来自国家统计局。

分析过程：1.数据收集和整理：将过去10年内的每年汽车生产数量和GDP数据整理成一个数据表格，便于后续分析。

2.描述统计分析：计算汽车生产数量和GDP的均值、标准差和极差等描述性统计量，以了解数据的整体情况。

3.散点图绘制：将每年的汽车生产数量和GDP数据绘制成散点图，横轴表示汽车生产数量，纵轴表示GDP，每个散点表示一个年份。

4.相关性分析：计算汽车生产数量和GDP之间的Pearson相关系数，该系数介于-1和1之间。

系数为正则表示两者正相关，系数为负则表示两者负相关，系数越接近于1或-1，则相关性越强。

结果：1.描述统计分析结果显示，过去10年内每年的汽车生产数量均值为X辆，标准差为X辆，极差为X辆；每年GDP的均值为X万元，标准差为X万元，极差为X万元。

2.散点图显示，汽车生产数量和GDP呈现出一定的正相关趋势。

随着汽车生产数量的增加，GDP也有相应增加的趋势。

3. 相关性分析结果显示，汽车生产数量和GDP之间的Pearson相关系数为X。

由于该系数为正数且接近于1，可以得出结论：汽车生产数量与GDP存在着强正相关关系。

讨论：本案例通过相关分析的方法，探讨了汽车生产数量与GDP之间的关系。

研究结果表明，两者之间存在着强正相关关系，即汽车生产数量的增加会促进GDP的增长。

可能的解释是汽车工业作为一个重要的制造业部门，对于经济的增长有着显著的贡献。

【精品课件】新教材一轮复习北师大版第10章第3讲变量间的相关关系、统计案例课件

求得回归方程^y＝0.67x＋54.9.
零件数 x(个) 10 20 30 40 50
加工时间 y(min) 62
75 81 89
现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为__6_8__.
第十章统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
[解析] 由－x ＝30，得－y ＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为 a，则 62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.
第十章统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
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5．(2019·高考全国Ⅰ卷)某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意不满意男顾客 40 10 女顾客 30 20
第十章统计、统计案例
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考点一
相关关系的判断——自主练透
(1)(2021·四川资阳模
拟)在一次对人体脂肪含量和年龄关
系的研究中，研究人员获得了一组样
本数据，并制作成如图所示的人体脂
肪含量与年龄关系的散点图．根据该
图，下列结论中正确的是 ( )
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第十章统计、统计案例
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积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作
为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计
20
20
20
算得xi＝60，yi＝1 200，

高考数学一轮复习第十章统计与统计案例10.3变量间的相关关系、统计案例学案理

§10.3 变量间的相关关系、统计案例考纲展示►1.会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程． 3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用． 4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．考点1 变量间的相关关系1.常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是________；与函数关系不同，________是一种非确定性关系．答案：相关关系相关关系2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为________，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为________．答案：正相关负相关对回归系数的理解：解释变量；预报变量．某工厂工人月工资y (元)依劳动产值x (万元)变化的回归直线方程为y ^＝900x ＋600，下列判断正确的是__________．①劳动产值为10 000元时，工资为500元； ②劳动产值提高10 000元时，工资提高1 500元； ③劳动产值提高10 000元时，工资提高900元； ④劳动产值为10 000元时，工资为900元．答案：③解析：回归系数b ^的意义为：解释变量每增加1个单位，预报变量平均增加b 个单位.[典题1] (1)下列四个散点图中，变量x 与y 之间具有负的线性相关关系的是( )A BC D[答案] D[解析] 观察散点图可知，只有D 选项的散点图表示的是变量x 与y 之间具有负的线性相关关系．(2)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ [答案] D[解析] 由回归方程y ^＝b ^x ＋a ^知，当b ^＞0时，y 与x 正相关，当b ^＜0时，y 与x 负相关，∴①④一定错误．[点石成金] 相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具备相关性．考点2 线性回归分析1.回归分析对具有________的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求________；(ⅲ)用回归直线方程作预报．答案：相关关系回归直线方程 2．回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在________附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．答案：一条直线3．回归直线方程的求法——最小二乘法设具有线性相关关系的两个变量x ，y 的一组观察值为(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，则回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数为：⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1nx i－x y i－y ∑i ＝1nx i－x2＝，a ^＝y －b ^x ，其中x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i ，(x ，y )称为样本点的________．答案：∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2中心4．相关系数当r ＞0时，表明两个变量________；当r ＜0时，表明两个变量________．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性________．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．答案：正相关负相关越强[教材习题改编]已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为__________．答案：y ^＝1.23x ＋0.08解析：设回归直线方程为y ^＝1.23x ＋a ^，因为回归直线必过样本点的中心(x ，y )，将点(4,5)代入回归直线方程得a ^＝0.08，所以所求方程为y ^＝1.23x ＋0.08.变量的相关关系：散点图；回归直线过(x ，y )．某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)有如下几组样本数据.x 3 4 5 6 y2.5344.50.7，那么当产量x ＝10吨时，估计相应的生产能耗为__________吨标准煤．答案：7.35解析：先求得x ＝4.5，y ＝3.5，由y ^＝0.7x ＋a ^过点(x ，y )，得a ^＝0.35，所以回归直线方程是y ^＝0.7x ＋0.35.当x ＝10吨时，y ^＝7＋0.35＝7.35(吨标准煤)．[典题2] (1)已知x ，y 的取值如下表，从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为y ^＝0.95x ＋a ^，则a ^＝( )x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7A.3.25 C ．2.2D ．0[答案] B[解析] 由已知得x ＝2，y ＝4.5，因为回归方程经过点(x ，y )，所以a ^＝4.5－0.95×2＝2.6.(2)由某种设备的使用年限x i (年)与所支出的维修费y i (万元)的数据资料算得如下结果，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112，∑i ＝15x i ＝20，∑i ＝15y i ＝25.①求所支出的维修费y 对使用年限x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； ②(ⅰ)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关； (ⅱ)当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少．附：在线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值．[解] ①∵∑i ＝15x i ＝20，∑i ＝15y i ＝25，∴x ＝15∑i ＝15x i ＝4，y ＝15∑i ＝15y i ＝5，∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝112－5×4×590－5×42＝1.2， a ^＝y －b ^x ＝5－1.2×4＝0.2.∴线性回归方程为y ^＝1.2x ＋0.2. ②(ⅰ)由①知，b ^＝1.2>0， ∴变量x 与y 之间是正相关．(ⅱ)由①知，当x ＝8时，y ^＝9.8，即使用年限为8年时，支出维修费约是9.8万元． [点石成金] 1.正确理解计算b ^，a ^的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．2．回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x ，y )．3．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份 2006 2008 2010 2012 2014 需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地2016年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：年份－2 010 －4 －2 0 2 4 需求量－257－21－111929对预处理后的数据，容易算得，x ＝0，y ＝3.2，b ^＝－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×3.2－42＋－22＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝3.2. 由上述计算结果知，所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2 010)＋a ^＝6.5(x －2 010)＋3.2，即y ^＝6.5×(x －2 010)＋260.2.(2)利用(1)中所求回归直线方程，可预测2016年的粮食需求量为6.5×(2 016－2 010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．考点3 独立性检验1.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．2．列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表：y1y2总计x1 a b a＋bx2 c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋dK2＝n ad－bc2a＋b a＋c b＋d c＋d(其中n＝________为样本容量)，则利用独立性检验判断表来判断“X与Y的关系”．答案：a＋b＋c＋d(1)[教材习题改编]为调查中学生的近视情况，测得某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，最有说服力的方法是________．(填序号)①回归分析；②期望与方差；③独立性检验；④概率．答案：③解析：“近视”与“性别”是两个分类变量，其是否有关，应该用独立性检验来判断．(2)[教材习题改编]在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得出“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，有下列四种说法：①100个吸烟者中至少有99人患有肺癌；②1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌；③在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；④在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有．其中正确说法的序号是________．答案：④对独立性检验的理解：K2的计算；对P(K2≥k0)的解释．[2017·湖南张家界模拟]某高校教“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业男1310女720 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到K2的观测值k＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844.因为k>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828 答案：5%解析：∵k>3.841，查临界值表，得P(K2≥3.841)＝0.05，故这种判断出错的可能性为5%.[典题3] (1)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：理科文科总计男131023女72027总计203050已知P2P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为________．[答案]5%[解析]由K2≈4.844＞3.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%.(2)[2017·江西九江模拟]某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到如下所示的频数分布表.分数段[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100] 男39181569女64510132①估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；②规定80分以上为优分(含80分)，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.优分非优分总计男生女生总计100附表及公式：P (K 2≥k 0)0.100 0.050 0.010 0.001 k 02.7063.841 6.63510.828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.[解] ①x 男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5，x 女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5，从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关．②由频数分布表可知，在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得2×2列联表如下：优分非优分总计男生 15 45 60 女生 15 25 40 总计3070100可得K 2＝100×15×25－15×45260×40×30×70≈1.79，因为1.79<2.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”． [点石成金] 1.独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出K 2的值． 2．弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系，根据题目要求作出正确的回答.[2017·广西玉林、贵港联考]某市地铁即将于2015年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下；月收入 (单位：百元) [15， 25)[25， 35)[35， 45)[45， 55)[55， 65)[65， 75]赞成定价者人数 1 2 3 5 3 4认为价格偏高者人数4812521“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；(2)由以上统计数据填写下面的2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.月收入低于 55百元的人数月收入不低于 55百元的人数总计认为价格偏高者赞成定价者总计附：K 2＝a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d. P (K 2≥k 0)0.05 0.01 k 03.8416.635解：x 1＝20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×41＋2＋3＋5＋3＋4≈50.56.“认为价格偏高者”的月平均收入为x 2＝20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×14＋8＋12＋5＋2＋1＝38.75，∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x 1－x 2＝50.56－38.75＝11.81(百元)．(2)根据条件可得2×2列联表如下：月收入低于55百元的人数月收入不低于55百元的人数总计认为价格偏高者29332 赞成定价者11718 总计401050 K2＝50×7×29－3×11210×40×18×32≈6.27<6.635，∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.[方法技巧] 1.求回归方程，关键在于正确求出系数a^，b^，由于a^，b^的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为b^，常数项为a^，这与一次函数的习惯表示不同．)2．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程．[易错防范] 1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．2．独立性检验中统计量K2的观测值k的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错．真题演练集训1．[2015·福建卷]为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元) 6.27.58.08.59.8 根据上表可得回归直线方程y＝b x＋a，其中b＝0.76，a＝y－b x.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A．11.4万元 B．11.8万元C．12.0万元 D．12.2万元答案：B解析：由题意知，x＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x＝15时，y^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．2．[2016·新课标全国卷Ⅲ]下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑i＝17y i＝9.32，∑i＝17t i y i＝40.17,i＝17y i－y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r＝∑i＝1nt i－t y i－y∑i＝1nt i－t2∑i＝1ny i－y2，回归方程y^＝b^t＋a^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^＝∑i＝1nt i－t y i－y∑i＝1nt i－t2，a^＝y－b^t.解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据，得t ＝4，∑i ＝17(t i －t)2＝28，∑i ＝17y i －y2＝0.55，∑i ＝17 (t i －t)(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)，得b ^＝∑i ＝17t i －ty i －y∑i ＝17t i －t2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以，y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t . 将2016年对应的t ＝9代入回归方程，得 y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．3．[2015·新课标全国卷Ⅰ]某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y w∑i ＝18(x i∑i ＝18(w i∑i ＝18(x i －∑i ＝18(w i －－x )2－w )2x )(y i －y )w )(y i －y )46.65636.8289.81.61 469108.8表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18x i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋β u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1nu i －uv i －v∑i ＝1nu i －u2，α^＝v －β^u .解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18w i －wy i －y∑i ＝18w i －w2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．4．[2014·新课标全国卷Ⅱ]某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t2，a ^＝y －b ^t .解：(1)由所给数据计算得t ＝17×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑i ＝17(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑i ＝17(t i －t)(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑i ＝17t i －ty i －y∑i ＝17t i －t2＝1428＝0.5， a ^＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3.所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得 y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．课外拓展阅读统计案例问题的规范答题[典例] [2013·福建卷]某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？P (K 2≥k 0)0.100 0.050 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.828附：K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.[审题视角] 由频率分布直方图列举基本事件，结合古典概型，求概率．利用独立性检验公式计算K 2.[解] (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手总计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组15 25 40 总计3070100所以K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝100×15×25－15×45260×40×30×70＝2514≈1.79. 因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”． [答题模板] 第1步：由分层抽样计算两组工人的数目；第2步：由频率分布直方图计算两组不足60件的人数；第3步：列举5人抽取2人的基本事件数；第4步，由古典概型计算概率；第5步：统计生产能手与非生产能手，列2×2列联表；第6步：由公式计算K 2，确定答案．归纳总结(1)分层抽样比为100500＝15，故25周岁以上有300×15＝60(人)，25周岁以下的200×15＝40(人)，然后再根据频率计算“不足60件”的人数，并设定符号．(2)列2×2列联表时，其中的数字应先由频率分布直方图算出后再列表．。

高三数学(文)一轮复习课件：10.3变量间的相关关系、统计案例

(3)独立性检验独立性假设来确定是利用随机变量、_____________ 否一定有把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．
4/17/2018
1．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用方法中，最为精确的是（） A.三维柱形图 B.二维条形图 C.等高条形图 D.独立性检验
y1 y2 总计
x1
x2 总计
a
c a＋c
b
d b＋d
a＋b
c＋d a＋b＋c＋d
4/17/2018
nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d ，其中构造一个随机变量K2＝_______________________
n＝______________ a＋b＋c＋d 为样本容量．
【解析】据相关指数的定义可知，相关指数R2的值越大，
残差平方和越小，即模型的拟合效果越好.
【答案】 A
4/17/2018
3.有关线性回归的方法，不正确的是 ( ) A.相关关系的两个变量是非确定关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度 C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D.散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强
4/17/2018
2.回归方程（1）最小二乘法求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. （2）回归方程 ˆ bx a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据方程 y （x1,y1），（x2,y2），…，（xn,yn）的回归方程，其中 a,b 是待定参数.
10.3 变量间的相关关系、统计案例
1.两个变量的线性相关（1）正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. （2）负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关.

2018高三数学(理)一轮复习课件：10-4变量间的相关关系统计案例

��=1
��
��
∑
2 ��2 ��
, �� = �� − �� ,它主要用来估计和预测取值,从而获得对
^
^
这两个变量之间整体关系的了解.求回归方程的方法是最小二乘法, 即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小.
,它主要用于相关量的显著性检验,以衡量
2
它们之间的线性相关程度.当r>0时表示两个变量正相关,当r<0 时表示两个变量负相关.|r|越接近1,表明两个变量的线性相关性越强 ;当|r|接近0时,表明两个变量间几乎不存在线性相关性 .
知识梳理知识梳理双基自测
-7-
1 2 3 4 5
5.独立性检验 (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别 , 像这类变量称为分类变量. (2)列联表:列出两个分类变量的频数表 ,称为列联表.假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 2×2列联表
^
^
^
^ ^
^ ^ ^ 由 �� =-0.1x+1 知 y 与 x 负相关,又 �� 与 z 正相关,故 z 与 x 负相关.
关闭
D.x 与�� 负相关,x 与 z 正相关
^
关闭
A
解析答案
知识梳理知识梳理双基自测
-11-
1 2 3 4 5
3.(2016河南焦作二模)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
-5-

高三数学一轮复习 10-3变量间的相关关系、统计案例学案

探究类型三：独立性检验
例4．（2010年新课标）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
总计
总计
若要推断的论述为Hl:X与Y有关系，可以按如下步骤判断结论Hl成立的可能性：根据观测数据计算由公式所给出的检验随机变量的观测值k，并且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，利用以下数据来确定“X与Y有关系”的可信程度，
如果，就有_______的把握认为“ 与有关系”;
如果，就有99%的把握认为“ 与有关系”;
月平均气温x（℃）
17
13
33
40
55
9．春节期间，某市物价部门对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
通过分析，发现销售量 y与商品的价格x具有相关关系，则销售量y关于商品的价格x的回归直线方程为_____________________。
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
( D)以上说法都不对
2．已知x与y之间的一组数据如右表：则x与y的线性回归直线必过点
（A）（2，2）（B）（1.5，0）（C）（1,2）（D）（1.5,4）

高三数学一轮精品复习学案：第十章统计、统计案例

高三数学一轮精品复习学案：第十章统计、统计案例【知识特点】1.统计中所学的内容是数理统计中最基本的问题，通过这些内容主要来介绍相关的统计思想和方法，了解一些有关统计学的基本知识，并能够应用几个基本概念、基本公式来处理实际生活中的一些基本问题。

2.统计案例为新课标中新增内容，主要是通过案例体会运用统计方法解决实际问题的思想和方法。

增加了统计和统计案例后，使得高中数学的整个体系更加完善了，有利于开阔数学视野，丰富数学思想和方法。

【重点关注】1.从对新课标高考试题的分析可以发现,主要考查抽样方法、各种统计图表、样本数字特征等。

对这部分的考查主要以选择题和填空题的形式出现。

2.统计案例中的独立性检验和回归分析也会逐步在高考题中出现,难度不会太大,多数情况下是考查两种统计分析方法的简单知识,以选择题和填空题为主。

【地位与作用】《全国新课程标准高考数学考试大纲》中对考生能力要求明确界定为空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识等六个方面，其中数据处理能力是首次提出的一个能力要求，这定义为：会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断。

数据处理能力主要依据统计（高考考试大纲对知识点要求如下表所示）或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题，对统计的要求已提升到能力的高度。

统计的思想方法广泛应用于自然科学和社会科学的研究中，统计的语言不仅是数学的语言，也是各学科经常引用的大众语言，统计知识是作为一个新时期公民所比备的知识。

统计学就是应用科学的方法收集、整理、分析、描述所要研究的数据资料，然后根据所得到的结果，进行推断或决策的一门实用性很强的科学。

统计这部分内容，在高中数学新课程中，主要分布在必修3第二章（约16课时）与选修2—3第三章（约9课时）。

相对于高中学生的认知水平和生活经历还相对不是很高，所以它只能属于非重点内容，所出的相关题目一般来说都相对比较简单。

高考数学一轮复习第10章统计、统计案例第3讲变量相关关系与统计案例课件

12/11/2021
2．回归方程与回归分析 (1)线性相关关系与回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在 04 ___一__条__直__线____附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程 ①最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到回归直线的 05 __距__离___ __的__平__方__和___最小的方法叫做最小二乘法． ②回归方程：方程y^＝b^ x＋a^ 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a^ ，b^ 是待定数．
12/11/2021
1．相关关系与函数关系的异同共同点：二者都是指两个变量间的关系；不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系，而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．从散点图看相关性正相关：样本点分布在从左下角到右上角的区域内；负相关：样本点分布在从左上角到右下角的区域内． 3．回归直线y^＝b^ x＋a^ 必过样本点的中心．
解析答案
2．(2019·湖南衡阳联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A，B 两个变
量的线性相关性做了试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差
平方和 m，如下表：
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现的 A，B 两变量有更强的线性相关性( )
列联表．参照附表，能得到的正确结论是( )
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20

2014届高考数学一轮复习教学案变量间的相关关系统计案例

变量间的相关关系__统计案例[知识能否忆起]一、变量间的相关关系1．常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．2．从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．二、两个变量的线性相关1．从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．2．回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .3．通过求Q ＝∑i ＝1n(y i －bx i －a )2的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．4．相关系数＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2，当r ＞0时，表明两个变量正相关；当r ＜0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．三、独立性检验1．2×2列联表：假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．2．用K 2的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H 0，若K 2值较大，就拒绝H 0，即拒绝事件A 与B 无关．3．当K 2＞3.841时，则有95%的把握说事件A 与B 有关；当K 2＞6.635时，则有99%的把握说事件A 与B 有关；当K 2＞2.706时，则有90%的把握说事件A 与B 有关．[小题能否全取]1．(教材习题改编)观察下列各图形其中两个变量x 、y 具有相关关系的图是( ) A ．①② B ．①④ C ．③④D ．②③解析：选C 由散点图知③④具有相关关系．2．(教材习题改编)已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为y ^＝－3＋bx ，若∑i ＝110x i ＝17，∑i ＝110y i ＝4，则b 的值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－1解析：选A 依题意知，x ＝1710＝1.7，y ＝410＝0.4，而直线y ^＝－3＋bx 一定经过点(x ，y )，所以－3＋b ×1.7＝0.4，解得b ＝2.3．在一次对性别与说谎是否相关的调查中，得到如下数据：根据表中数据，得到如下结论中正确的一项是( ) A ．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关 B ．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关 C ．在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关 D ．在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关解析：选D 由于K 2＝30×(6×9－7×8)213×17×14×16≈0.0024，由于K 2很小，因此，在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关．故选D.4．某考察团对全国10大城市的居民人均工资收入x (万元/年)与居民人均消费y (万元/年)进行统计调查，发现y 与x 具有相关关系，且y 对x 的回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均消费为7.675(万元/年)，估计该城市人均消费占人均工资收入的百分比约为________．解析：因为当y ^＝7.675时，x ＝7.675－1.5620.66≈9.262，则7.6759.262≈0.829≈83%. 答案：83%5．已知x ，y 之间的数据如表所示，则回归直线过点________.解析：x ＝3，y ＝2.5，∴样本点中心为(3,2.5)，回归直线过样本点中心．答案：(3,2.5)1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．2．由回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．3．使用K 2统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据都要大于5，在选取样本容量时一定要注意．典题导入[例1] (2012·新课标全国卷)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12D ．1[自主解答] 因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1.[答案] D由题悟法1．相关关系的判断方法一是利用散点图直观判断，二是利用相关系数作出判断． 2．对于由散点图作出相关性判断时，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性．3．由相关系数r 判断时|r |越趋近于1相关性越强．以题试法1.已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为( )A.y ^＝1.5x ＋2 B.y ^＝－1.5x ＋2 C.y ^＝1.5x －2 D.y ^＝－1.5x －2解析：选B 设回归方程为y ^＝bx ＋a .由散点图可知变量x 、y 之间负相关，回归直线在y 轴上的截距为正数，所以b ＜0，a ＞0，因此其回归直线方程可能为y ^＝－1.5x ＋2.典题导入[例2] (2012·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ^＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －－b x －；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[自主解答] (1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20⎝⎛⎭⎫x －3342＋361.25. 当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．由题悟法1．最小二乘法估计的一般步骤： (1)作出散点图，判断是否线性相关； (2)如果是，则用公式求a ^，b ^，写出回归方程； (3)根据方程进行估计．2．回归直线方程必过定点(x ，y )．以题试法2．(2012·长春模拟)已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ，则a ＝( ) A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65D ．1.80解析：选B 依题意得，x ＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y ＝16×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25；又直线y ^＝0.95x ＋a 必过中心点(x ，y )，即点(4,5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a ，由此解得a ＝1.45.典题导入[例3] (2012·湖南衡阳第二次联考)衡阳市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”．参考公式与临界值表：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )[自主解答] (1)列联表如下：(2)根据列联表中的数据，得到K 2＝110×(10×30－20×50)260×50×30×80≈7.486＜10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．由题悟法1．独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋d )(a ＋c )(b ＋d )计算K 2的值；(3)查表比较K 2与临界值的大小关系，作统计判断．2．在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．以题试法3．(2012·嘉兴联考)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K 2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________．解析：由K 2＝4.844＞3.841.故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%. 答案：5%。

2023年高考数学(理科)一轮复习——变量间的相关关系与统计案例

(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…， (xn，yn)，其中___(_x－_，__－y_)__称为样本点的中心. (3)相关系数当r>0时，表明两个变量___正__相__关___；当r<0时，表明两个变量__负__相__关____. r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性__越__强____.
索引
角度2 非线性回归方程及应用
例2 (2022·郑州调研)人类已经进入大数据时代.目前，数据量级已经从TB(1 TB ＝1 024 GB)级别跃升到PB(1 PB＝1 024 TB)，EB(1 EB＝1 024 PB)乃至ZB(1 ZB＝1 024 EB)级别.国际数据公司(IDC)研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49 ZB，2009年数据量为0.8 ZB，2010年增长到1.2 ZB，2011年数据量更是高达1.82 ZB.下表是国际数据公司(IDC)研究的全球近6年每年产生的数据量(单位：ZB)及相关统计量的值：
(1)“ 名师出高徒 ” 可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关
系.( √ ) (2)通过回归直线方程y^＝b^x＋a^可以估计预报变量的取值和变化趋势.( √ ) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.( √ ) (4)事件 X，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的 K2 的观测值越大.( √ )
索引
4.(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度 x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发

第十章统计与概率10-3变量间的相关关系与统计案例

(3)利用回归直线方程对总体进行估计 ^ ^ ^ 若回归直线方程为y＝bx＋a，则在x＝x0处的估计值： ^0＝bx0＋a. ^ y ^ (4)线性相关强度的检验：对于变量x与y随机取到的n对数据(xi，yi)，用y与x间 x y xi－－yi－－
i＝1 n
的相关系数r＝ x y xi－－2· yi－－2
i＝1 4 ^
所以，由最小二乘法确定的回归直线方程的系数为：

(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为： 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．

(2010·山东枣庄模考)某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 18 13 10 －1 气温(℃)

疱疹面积不疱疹面积小合计小于 2 于70mm 70mm2 注射药物 A a＝ b＝
注射药物 nad－bc2 c＝ d＝ 2 附：χ ＝ B a＋bc＋da＋cb＋d 合计
n＝

[解析]
(1)
可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数． (2)表3：疱疹面积疱疹面积不合计小于小于 70mm2 70mm2 100 注射药物A a＝70 b＝30 100 注射药物B c＝35 d＝65 105 95 合计 n＝200
关关系，这条直线叫做回归直线．数为：

(2)回归直线方程的求法——最小二乘法．
n n y x y xiyi－n x · xi－－yi－－ i＝1 i＝1 ^ ＝ b＝ n n 2 2 x xi －n x xi－－2 i＝1 i＝1 a＝－－b x ^ y ^ 1 n 1 n 其中－＝ x i，－＝ y i，( －，－ )称作样本点的中 x y x y n i＝1 n i＝1 心． ^ ^ a ， b 表示由观察值用最小二乘法求得的a，b的估计值，叫回归系数．

2016届高三数学一轮复习课件：10.3变量间的相关关系、统计案例

A.
【答案】 A
10/55//22002211
高考总复习·数学(文科) 第十六页，编辑于星期五：二十点七分。
单单第击十击章此此处处编编辑辑书眉单母.tif母版版标标题题样样L式O式GO
• 单击【变此式训处练编】辑1.下母面是版水稻文产量本与施样化肥式量的一组观测数据：
– 第施化二肥级量:15 20 25 30 35 40 45
3．回归分析
• 单击(一1)种定此常义用：处方对法编具．有辑___相母__关__版关__系_文的两本个变样量式进行统计分析的
– 第(和2)b随二为机模级误型差的：_线_未_性__回知__归参__模数_，型_用_y_＝称eb为x＋随a机＋误e差表．示，其中a
• 第三级
– 第四级 » 第五级
10/55//22002211
高考总复习·数学(文科) 第四页，编辑于星期五：二十点七分。
单单第击十击章此此处处编编辑辑书眉单母.tif母版版标标题题样样L式O式GO (4)相关系数
• 单击此处编n辑母版文本样式
– 第二级
xi－ x yi－ y
i＝1
• 第三级 n
n
– 第四级 xi－ x 2 yi－ y 2
i＝1
i＝1
①r＝__»__第__五__级____________________；
4
4
则 a＝ y - x b＝40－(－2)×10＝60，故 yˆ ＝－2x＋60.
当 x＝－5 时， yˆ ＝－2×(－5)＋60＝70.
【答案】70
10/55//22002211
高考总复习·数学(文科) 第十四页，编辑于星期五：二十点七分。
单单第击十击章此此处处编编辑辑书眉单母.tif母版版标标题题样样L式O式GO

2018版高考数学大一轮复习第十章统计与统计案例103变量间的相关关系统计案例课件文北师大版

√
×
考点自测
1.(2015·湖北)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是
A.x与y正相关，x与z负相关
B.x与y正相关，x与z正相关 C.x与y负相关，x与z负相关
答案
解析
D.x与y负相关，x与z正相关
因为y＝－0.1x＋1，－0.1<0，所以x与y负相关. 又y与z正相关，故可设z＝by＋a(b>0)，所以z＝－0.1bx＋b＋a，－0.1b<0，所以x与z负相关.故选C.
a ＝___y ___b_x____.
3.回归分析
(1)定义：对具有
的两个变相量关进关行系统计分析的一种常用方法.
(2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，(
)称为样本点的中心.
x，y
(3)相关系数
①r＝
n
∑ xi－ x yi－ y
i＝1
关于年宣传费 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
解答
由散点图可以判断，y＝c＋d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型.
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
解答
令 w＝ x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于
8
i＝1
d＝
wi－ w
利用统计量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. 当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联.

数学(理)一轮复习第十章统计与统计案例第讲变量间的相关关系、统计案例

第3讲变量间的相关关系、统计案例)1．变量间的相关关系常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．2．两个变量的线性相关(1）从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．（2)从散点图上看,点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关,点分布在左上角到右下角的区域内,两个变量的相关关系为负相关．（3）回归方程为错误!＝错误!x＋错误!，其中错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!．（4）相关系数当r〉0时,表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常｜r｜大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性．3．独立性检验（1）2×2列联表:假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为｛x1，x2}和{y1,y2｝，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：y1y2总计x1a b a＋b x2c d c＋d总计a＋cb＋d a＋b＋c＋d(2）K2统计量K2＝错误!(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量）．1．辨明三个易误点(1)回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上,实质上回归直线必过（x，y)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．(2)利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值）．（3)虽然任何一组不完全相同的数据都可以求出回归直线方程，但只有具有线性相关关系的一组数据才能得到有意义的回归直线方程,求出的方程才具有实际价值．2．求回归方程的方法求解回归方程的关键是确定回归系数错误!，错误!，因求解错误!的公式计算量太大，一般题目中给出相关的量，如x，错误!，错误!x错误!，错误! x i y i等,便可直接代入求解．充分利用回归直线过样本中心点（错误!，错误!)，即有错误!＝错误!错误!＋错误!，可确定错误!.1．有关线性回归的说法，不正确的是（)A．具有相关关系的两个变量是非确定性关系B．散点图能直观地反映数据的相关程度C．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D．散点图中的点越集中，两个变量的线性相关性越强D2．某商品销售量y(件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归直线方程可能是（)A。

2020高三数学(人教版)一轮复习变量的相关性与统计案例

变量的相关性与统计案例
线性回线方程与回归分析
(1)线性回线方程 ①最小二乘法:求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距__离__的__平__方__和__最小的方法叫作最小二乘法.
②线性回归方程:方程 y=bx+a 是两个具有线性相关关系
的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方
当 r<0 时,表明两个变量负相关. |r|越接近 1,表明两个变量之间的线性相关程度越高; |r|越接近 0,表明两个变量之间的线性相关程度越低.
当 r=0 时,称两个变量线性不相关 .
1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是(
)
(A)正方体的棱长与体积
(B)单位面积的产量为常数时,土地面积与总产量
程,其中 a,b 是待定数.

n
n
(xi x)( yi y)
xi yi nx y
bˆ i1 n

aˆ

y

( xi
i 1
bˆx.

x)2
i1 n
xi2

2
nx
,
i 1
(2)回归分析 ①定义:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
总计
a+b c+d n=a+b+c+d
(2)χ2的大小与变量A、B关联程度
①当χ2≤2.706时,可认为变量A,B是没有关联的 ;
②当χ2>2.706时,有90%的把握判定变量A,B有关联;
③当χ2>3.841时,有95%的把握判定变量A,B有关联;
④当χ2>6.635时,有99%的把握判定变量A,B有关联. (3)独立性检验的一般步骤