数学建模(路灯)

数学模型实验论文

路灯安置优化问题

一、摘要：

现代社会，经济不断发展人民生活水平不断提高，国家采取了一系列的措施让人民生活得更舒适，而在路上安装路灯就是其中一项重要的举措。这里我从一盏灯的照明情况的分析出发，研究怎样合理的设计路灯的度和路灯之间的间距才能满足人们的需求。首先分析路灯照明的特性，然后建立一盏灯时面积使最大的模型及两盏灯时时路灯间距最大的模型，在此基础上建立一排路灯及两排路灯的数学模型，分析两种情况何时须灯数最少即最节约能源，其中由实际情况和生活经验来看，两排灯时交错分布照明是比较均匀的，所以在两排灯时考虑灯交错分布的情况。

关键词:

照明强度、路灯设计、路灯高度、间距的优化

二、问题的提出：

目前大多数公共场所都安装了路灯，路灯的高度和路灯之间的间距一般是依靠经验进行设置的，并没有从优化的角度进行考虑。在能源日益减少的今天，我们应该考虑怎样尽可能的节约能源，并且作为路段整体设计的一部分路灯的安排也直接影响到社会公共环境。经过对我校校园内几条道路的路灯设计的观察，对校园整体室外照明有了一定的了解。在调查时A路正在安装路灯，为获取数据的方便取该路段为研究对象。

三、背景知识：

1．光强度：光源在一定范围内发出可见光辐射强弱的物理量。以光源在某一方向上单位立体角辐射的能量来量度。（单位：坎德拉）

2．照度：单位面积上得到的光通量。（单位：勒克司）

3．通量：人眼所能感觉到的光辐射的功率。单位时间光辐射的能 和相对视见率的乘积。（单位：流明）

4．对于眼睛最敏感的 波长的黄绿光来说，1流明相当于1/685瓦特。一般常见或需要的照度：晴朗夏天室外背荫处得照度为1000-10000流明。

5．为保证在该路段上处处都能有满足正常活动需要的照明强度，取照度的最小值为 ，即为13700流明。

6．照度定律：点光源O 预备照明平面中心A 的距离为h 时，平面上A 点的照度。

符号规定：

p 为 O 点的光强度，a 为平面的法线方向与光源到A 点的连线之间的夹角,h 为光源的高度，l 为光源到A 点的距离。

四、模型的假设：

1. 假设高度和间距的优化问题为简化模型设路灯的额定功率为定值（注：数据来源 A 路的路灯标签额定功率为220伏，额定电流为10安，所以取额定功率）。

m 7105.5-⨯2/20m w

2.在考虑一排路灯的情况时，假设为完全规范的，即处处等宽。即宽度为 5米。（数据来源：实地测量A路的宽度）

3.据相关物理知识，照明强度直接影响可见度，只有照明强度不低于某定值c。时，才能认为物体可见。在这里假设所有物体均匀的。

4.路长的计算：所考虑路段路的两侧均铺有花砖，所以用砖的块数乘以每块砖的边长在乘灯数减1来计算路长，经观测灯的间距大致相同，仅有少数有些差别，取平均值为64块砖。路长：

L=64*0.29*14=260米。

5.假设通过路灯的额定电压为220V，电流为10A 。

参量变量：

路灯的高度 h ；

路灯的功率 p ；

使物体可见的最低照明强度为13700明朗；

路灯的间距 l ；

路的宽度 d=5米；

路长 L=260米；

r为灯到点A的距离；

五、组建模型：

一. 一盏路灯的优化问题:

由物理学知识可知，被光线照射的物体的亮度依赖于它与光源之间的距离平方的倒数和光线的投射角度。则路灯到某点A 的照明强度为 ：2322⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

h r ph c

（其中p 为灯的功率，h 为灯的高度，r 为灯到点A 的距离）。 地面上物体可见的区域为：

023

22c h r ph ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 只有时0c p h ≤有解时，且2320h c ph r -≤⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ 的区域物体可见，物体可见区域的面积为以O 为圆心，以2320h c ph -⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ 为半径的圆，其面积为： 2r s π= = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-2320h c ph π 对s 关于h 求导可得04271*c p h =

时，面积达最大值，可求得路灯得最优高度。 h=

04271c p 其中 p=2200w ,可得最优高度h 为4.60米。

二 . 两盏路灯间距最小的的优化问题:

主要考虑当高度为何值时，两灯的距离可达最小值；

如图，A 点的照度在路面的各点中最小，所以l 和 h 的只需满足2322249223222412⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=

h d l ph h d l ph c 即可。

用求解Maple 程序如下：

> fsolve({(1./4*l^2+25+h^2)^3=(220*h)^2,h=5},{l,h}); > fsolve({(1./4*l^2+25+h^2)^3=(220*h)^2,h=5.5},{l,h}); > fsolve({(1./4*l^2+25+h^2)^3=(220*h)^2,h=6},{l,h}); > fsolve({(1./4*l^2+25+h^2)^3=(220*h)^2,h=6.5},{l,h});

R

> fsolve({(1./4*l^2+25+h^2)^3=(220*h)^2,h=7},{l,h}); > fsolve({(1./4*l^2+25+h^2)^3=(220*h)^2,h=6.4},{l,h}); > fsolve({(1./4*l^2+25+h^2)^3=(220*h)^2,h=6.6},{l,h}); >

h=6.5 时 l 最大为15. 5米

三 . 一排路灯的优化问题:

优化目的是确定路灯高度h 和路灯之间的距离l ，使得路灯之间的距离最大。

1.求最大路灯间距：

由上图可知,路灯l 和m 之间的路段，与中点Q 相对的R 点的照明强度最小，并且计算该点照明强度时，只需考虑路灯K,L,M,N 对其的影响，其他较远的路灯对其的影响可忽略。

R 点的照明强度为：

2322412161223224121692⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++++=

h d l ph h d l ph c