2006年全国初中数学竞赛试题

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2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题

３ｏ＜关一函）＋（当≤ ２的大是．＜１于的次数＝ ÷１）１ ≤时最值设后，，一，
（）图１
Ａ．
Ｂ２ —１．ｋＴ
ｃ
．
１
Ｄｋ
．
１
４钟面上的１２这１． —１２个数字把圆周１２等分，以其中任意４个等分点为顶点作四边形，其中矩形的个数是
Ｐ
张，营业收入合计１０元．８则该商店３月份售出的ｃ种
贺卡至少有— — 张．
Ｏ
Ｂ
ｌ．２有一个英文单词由５个字母组成，如果将２６个英文字母ｎｂｃ …，按顺序依次对应０到２，，，）ｚ，５这２６个整数，那么这个单词中的５个字母对应的整数按从左到图２图３
／，９５４（）２２２４ｃ１４，６２：４－６．ｓ
５欧几里得，原本［．几何Ｍ］兰纪正，朱恩宽．西安：
陕西科学技术出版社，９０１９．
试题选登・・试题选璺・・试题选璺・・试题选璺・・试题选登・・试置选登・・试置选登・・试题选登・・试置选璺・・试置选璺・・试置遗璺・・置选璺试
码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有
Ａ１．５种Ｂ２．３种Ｃ２．８种Ｄ３．３种
（
）
二、空题（６填共小题，每小题６，分满分３分）６
７三个实数按从小到大排列为。：，．，，把其中每两个数作和得到三个数分别是１，７３，４１，３则２ — ＝

2006年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案

２００６年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案答案：２００７年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案答案：答案：２００８年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案答案：2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设1a =，则32312612a a a +--= （ AA.24.B. 25.C. 10.D. 12.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（ C ）A. B. 10.C.D.3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为（ C ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ B A.314. B. 37. C. 12. D. 47. 5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则s i n ∠CBE ＝（ D ） B. 23. C. 13. D.6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（ B ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是_____3-_______.2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为___DC3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=__1-____.4．已知,a b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有___7__对. 第二试一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.解（1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A(,0)x ，2B(,0)x ，则12x x b +=-，12x x c =.设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C ×OD ，则121x x c OA OB OD OC c c⨯====. 因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1).（2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-，即1c =-.又12AB x x =-===，所以1122ABC S AB OC =⋅==△，解得b =±.二．（本题满分25分）已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.N M AB解因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠.又因为C H ⊥AB ，所以CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠，因此CQ NC =.又F 是QN 的中点，所以C F ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=︒=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆. 又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上.同理可证，点E 在CH 的中垂线上.因此E F ⊥CH.又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB.三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=② .解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab+-+-+-++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++=，即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc-+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc-+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.90°.解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++= ③ 又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. 3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.90°.2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为（ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则（ C ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，12320092010a a a a a +++++= （ D ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = 19．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA PC ＝5，则PB ＝．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球. 第二试（A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线. 证明过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP. 又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC. 又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值. NC A（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积. 解点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-.（1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=. 所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩ 解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+.易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试（B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得 222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．（2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=，故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+．又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即 41)1(=-++mk p m ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m -++>，与②式矛盾.如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．综上所述，1=k ．。

2006年全国初中数学竞赛预选赛试题(含答案)

初中数学竞赛辅导资料（19）因式分解甲内容提要和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。

下面再介紹两种方法1．添项拆项。

是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x 4+x 2+1 ②a 3+b 3+c 3－3abc①分析：x 4+1若添上2x 2可配成完全平方公式解：x 4+x 2+1＝x 4+2x 2+1－x 2=(x 2+1)2－x 2=(x 2+1+x)(x 2+1－x) ②分析：a 3+b 3要配成（a+b ）3应添上两项3a 2b+3ab 2 解：a 3+b 3+c 3－3abc ＝a 3+3a 2b+3ab 2＋b 3+c 3－3abc －3a 2b －3ab 2 ＝（a+b ）3+c 3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c 2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a 2+b 2+c 2－ab －ac －bc)例2因式分解：①x 3－11x+20 ② a 5+a+1① 分析：把中项－11x 拆成－16x+5x 分别与x 5,20组成两组，则有公因式可提。

（注意这里16是完全平方数）② 解：x 3－11x+20＝x 3－16x+5x+20＝x （x 2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x －4)+5(x+4) =(x+4)(x 2－4x+5)③ 分析：添上－a 2 和a 2两项，分别与a 5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a 5+a+1＝a 5－a 2+a 2+a+1=a 2(a 3－1)+ a 2+a+1=a 2(a －1)( a 2+a+1)+ a 2+a+1= (a 2+a+1)(a 3－a 2+1)2．运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a 时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x －a ⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。

2006年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

GFE ABCD P2006年全国初中数学联赛试卷1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪. 刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )(A) 36 (B) 37 (C) 55 (D) 902、已知m ＝1＋2，n ＝1－2，且(7m 2－14m ＋a ) (3n 2－6n －7)＝8，则a 的值等于( )(A) －5 (B) 5 (C) －9 (D) 93、Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y ＝x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴. 若斜边上的高为h ，则( )(A) h ＜1 (B) h ＝1 (C) 1＜h ＜2 (D) h ＞24、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形，则至少要剪的刀数是( )(A) 2004 (B) 2005 (C) 2006 (D) 20075、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ，若QP ＝QO ，则QCQA的值为( )(A) 23－1 (B) 23 (C) 3＋2 (D) 3＋2二、填空题6、已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2006，c －a ＝2005. 若a ＜b ，则a ＋b ＋c 的最大值为___________.7、如图，面积为a b －c 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则 a －c b的值等于________.8、正五边形广场ABCDE 的周长为2000米. 甲、乙两分分别从A ，C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，那么出发后经过________分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.9、已知0＜a ＜1，且满足[a ＋1 30]＋[a ＋230]……＋[a ＋ 29 30]＝18 ([x ]表示不超过x 的最大整数)，则[10a ]的值等于__________.10、小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码. 小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是_________.三、解答题 11、已知x ＝b a，a 、b 为互质的正整数，且a ≤8，2－1＜x ＜3－1.(1)试写出一个满足条件x ； (2)求所有满足条件的x .12、设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧--=++=+54141622222a a bc a a c b 求a 的取值范围.13、如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B. 过点A做PB的平行线，交⊙O于点C. 连结PC，交⊙O于点E；连结AE，延长AE交PB于点K. 求证：PE •AC＝CE •KB14、有2006个都不等于119的正整数a1，a2，…，a2006排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求a1＋a2＋…＋a2006的最小值.参考答案（1）解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处．故选C ．（2）解：由已知可得m 2－2m ＝1，n 2－2n ＝1．又(7m 2－14m ＋a )(3n 2－6n －7)＝8，所以 (7＋a )(3－7)＝8，解得a ＝－9 故选C ．（3）解：设点A 的坐标为（a ，a 2），点C 的坐标为（c ，c 2）（|c|＜|a|），则点B 的坐标为（－a ，a 2），由勾股定理，得AC 2＝(c －a ) 2＋(c 2－a 2) 2，BC 2＝(c ＋a ) 2＋(c 2－a 2) 2， AC 2＋BC 2＝AB 2，所以 (a 2－c 2) 2＝a 2－c 2 .由于a 2＞c 2，所以a 2－c 2＝1，故斜边AB 上高h ＝a 2－c 2＝1 故选B ．（4）解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得(k ＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k ＋1)³360°．因为这(k ＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34³(62－2)³180°＝34³60³180°，其余多边形有(k ＋1)－34＝k －33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k －33)³180°．所以(k ＋1)³360°≥34³60³180°＋(k －33)³180°，解得k ≥2005．当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33³58个三角形．于是共剪了 58＋33＋33³58＝2005（刀）．故选B ．（5）解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO ＝m ，则QP ＝m ，QC ＝r ＋m ，QA ＝r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ²QC ＝QP ²QD 即 (r －m )(r ＋m )＝m ²QD ，所以 QD ＝r 2－m 2m ．连结DO ，由勾股定理，得QD 2＝DO 2＋QO 2，即 ( r 2－m 2 m )2＝r 2＋m 2 ，解得m ＝33r所以，QC QA ＝r ＋mr －m ＝3＋13－1＝3＋2 故选D ．（第7题图）ABCD GFE （6）解：由a ＋b ＝2006，c －a ＝2005，得a ＋b ＋c ＝a ＋4011．因为a ＋b ＝2006，a ＜b ，a 为整数，所以a 的最大值为1002．于是，a ＋b ＋c 的最大值为5013．（7）解：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则m 2＝43，由△ADG ∽△ABC ，可得x m＝32 m －x3 2m ，解得x ＝(23－3)m于是：x 2＝(23－3)m 2＝283－48，由题意，a ＝28，b ＝3, c ＝48，，所以 a －c b＝－20 3．（8）解：设甲走完x 条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x 米，乙走了46³400x 50＝368x 米．于是368(x －1)＋800－400(x －1)＞400，所以，12.5≤x ＜13.5．故x ＝13，此时 t ＝ 400³1350＝104．（9）解：因为0＜a ＋ 1 30 ＜a ＋230＜……＜a ＋29 30＜2，所以[a ＋130]，[a ＋230]，…，[a ＋ 29 30]等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以 [a ＋1 30]＋[a ＋230]……＋[a ＋11 30]＝0，[a ＋12 30]＋[a ＋13 30]……＋[a ＋29 30]＝1，所以 0＜a ＋ 11 30＜1 ，1≤a ＋12 30＜2．故18≤30a ＜19，于是6≤10a ＜ 19 3，所以 [10a ]＝6．（10）解：设原来电话号码的六位数为abcdef ，则经过两次升位后电话号码的八位数为 2a 8bcdef ．根据题意，有81³abcdef ＝2a 8bcdef ．记x ＝b ³104＋c ³103＋d ³102＋e ³10＋f ，于是81³a ³105＋81x ＝208³105＋a ³106＋x 解得x ＝1250³(208－71a ) ．因为0≤x ＜105，所以0≤1250³(208－71a )＜105，故128 71＜a ≤208 71．因为a 为整数，所以a ＝2．于是x ＝1250³(208－71³2)＝82500．所以，小明家原来的电话号码为282500．（11）解：（1）x＝12满足条件．（2）因为x＝ba，a，b为互质的正整数，且a≤8，所以2－1＜ba＜3－1，即(2－1)a＜b＜(3－1)a．当a＝1时，(2－1)³1＜b＜(3－1)³1，这样的正整数b不存在．当a＝2时，(2－1)³2＜b＜(3－1)³2，故b＝1，此时x＝12．当a＝3时，(2－1)³3＜b＜(3－1)³3，故b＝2，此时x＝23．当a＝4时，(2－1)³4＜b＜(3－1)³4，与a互质的正整数b不存在．当a＝5时，(2－1)³5＜b＜(3－1)³5，故b＝3，此时x＝35．当a＝6时，(2－1)³6＜b＜(3－1)³6，与a互质的正整数b不存在．当a＝7时，(2－1)³7＜b＜(3－1)³7，故b＝3，4，5此时x＝37，47，57．当a＝8时，(2－1)³8＜b＜(3－1)³8，故b＝5，此时x＝5 8 .所以，满足条件的所有分数为12，23，35，37，47，57，58.（12）解：由①－2³②得(b－c) 2＝24(a＋1)＞0，所以a＞－1．当a＞－1时，b2＋c2＝2a2＋16a＋14＝2(a＋1)(a＋7)＞0．又当a＝b时，由①，②得c2＝a2＋16a＋14，③ac＝a2－4a－5④将④两边平方，结合③得a2 ( a2＋16a＋14)＝(a2－4a－5) 2化简得24a3＋8a2－40a－25＝0，故(6a＋5)(4a2－2a－5)＝0，解得a＝－56，或a＝1±214．所以，a的取值范围为a＞－1且a≠－56，a≠1±214．（13）证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE ＝∠ACE ．又P A 是⊙O 所以∠KAP ＝∠ACE ，故∠KPE ＝∠KAP ，于是△KPE ∽△KAP ，所以KP KA ＝KE KP，即 KP 2＝KE ²KA ．由切割线定理得 KB 2＝KE ²KA 所以KP ＝KB ．因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是PE CE ＝KP AC 故 PE CE ＝KB AC，即 PE ²AC ＝CE ²KB（14）解：设10个学生为S 1，S 2，…，S 10 ，n 个课外小组G 1，G 2，…，G n ．首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为S 1，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设S 1恰好参加G 1，G 2，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与S 1没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n 个课外小组G 1，G 2，…，G n 的人数之和不小于3³10＝30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n 个课外小组G 1，G 2，…，G n 的人数不超过5n ，故5n ≥30，所以n ≥6．下面构造一个例子说明n ＝6是可以的．G 1＝｛S 1，S 2，S 3，S 4，S 5｝，G 2＝｛S 1，S 2，S 6，S 7，S 8｝，G 3＝｛S 1，S 3，S 6，S 9，S 10｝， G 4＝｛S 2，S 4，S 7，S 9，S 10｝，G 5＝｛S 3，S 5，S 7，S 8，S 9｝，G 6＝｛S 4，S 5，S 6，S 8，S 10｝．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．所以，n 的最小值为6．。

2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题参考答案

2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：D解：设这5个自然数从小到大排列依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 3=17．当这5个自然数中最大一个x 5的可能值最大时，其他3个自然数必取最小的可能值，x 1=0，x 2=1，x 4=18，此时x 5=24． 2．答案：C解：设小长方形的长、宽分别为x ，y ，则3 x = 4 y ，y x 34=． ∴334=⋅y y ．23=y ，x =2．∴ 长方形ABCD 的周长为19． 3．答案：A 解：k x k k y 1)1(+-=，∵ 0＜k ＜1，∴ kk k k k )1)(1(1-+=-＜0，该一次函数的值随x 的增大而减小，当1≤x ≤2时，最大值为k kk k =+-11．4．答案：C解：连结圆周上12个等分点，得6条直径，以其中任意两条为对角线的四边形即为矩形，共15个矩形． 5．答案：C解：将函数表达式变形，得122+=-x y xy ，24224=--x y xy ，25)12)(12(=--x y ．∵ x ，y 都是整数，∴ )12(),12(--x y 也是整数．∴ ⎩⎨⎧=-=-2512,112x y 或⎩⎨⎧-=--=-2512,112x y 或 ⎩⎨⎧=-=-112,2512x y 或 ⎩⎨⎧-=--=-112,2512x y 或 ⎩⎨⎧=-=-512,512x y 或⎩⎨⎧-=--=-.512,512x y 解得整点为（13，1），（-12，0），（1，13），（0，-12），（3，3），（-2，-2）． 6．答案：C解：（1）当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有1克，2克，6克，26克；（2）当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有3克，7克，8克，27克， 28克，32克；（3）当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以称量重物的克数有9克，29克，33克，34克；（4）当天平的一端放4个砝码时，可以称量重物的克数有35克．（5）当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以称量重物的克数有1克，4克，5克，20克，24克，25克；（6）当天平的一端放1个砝码，另一端放2个砝码时，可以称量重物的克数有3克，5克，7克，18克，19克，21克，22克，23克，25克，27克，30克，31克；（7）当天平的一端放1个砝码，另一端放3个砝码时，可以称量重物的克数有17 克，23克，31克，33克；（8）当天平的一端放2个砝码，另一端也放2个砝码时，可以称量重物的克数有19克，21克，29克．去掉重复的克数后，共有28种．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．答案：15解： 1421=+x x ，1731=+x x ，3332=+x x ， ∴ 32321=++x x x ，152=x ．8．答案：a 7解：连结OC ，OP ，则∠OCP =90°，∠COP =60°，OC = a∴ PC =a 3，PB =PC =a 3，P A =a 7． 9．答案：1-解：y =3)1(22-+x =⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+.0,3)1(2,0,3)1(222x x x x其图象如图，由图象可知，当x = 0时，y 最小为 -1．10．答案：26解：连结AP ，则PE +PC =PE +P A ，当点P 在AE 上时，其值最小，最小值为26102422=+．11．答案：20解：设A 、B 、C 三种贺卡售出的张数分别为x ，y ，z ，则 ⎩⎨⎧=++=++.1805.25.0,150z y x z y x消去y 得，305.15.0-=z x ．由0305.1≥-z ，得20≥z ．12．答案：right ，evght解：由题意得，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=+=++=+=+.9266,9265,20262,6264,152635544434322121k x x k x k x x k x k x x （54321,,,,k k k k k 为非负整数）．（第9题）由0≤54321,,,,x x x x x ≤25，可分析得出，123454,17,8,216,7,19.x x x x x =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩或或，三、解答题（共4题，满分54分） 13．(12分)解：（1）由条件得，在B 站有7人下车，∴ 19名旅客中有7位浙江人，即火车驶离上海时，车厢里有7个浙江人，12个上海人． ……………2分（2）在E 站有2人下车，即在D —E 途中有2个浙江人，5个上海人， ……………2分从而C —D 途中至少有2位浙江人，在D 站至少有2人下车， ……………2分 ∴ C 站后车厢里至少有9个人． ∵ 火车离开B 站时车厢里有12人，离开D 站时有7人， ∴ 在C 站至少有3人下车，即经过C 站后车厢里至多9人，故经过C 站后车厢里有9人，即在C 站有3人下车． ……………2分 ∴ B —C 途中车厢里还有3个浙江人，9个上海人． ……………2分在D 站有2人下车，C —D 途中车厢里还有2个浙江人，7个上海人．……………2分14．(12分)解：（1）如图1，连结PN ，则PN ∥AB ，且 AB PN 21=． ……………………2分∴ △ABF ∽△NPF ，2===PNABFN AF FP BF ． ∴ BF =2FP ． ……………………2分（2）如图2，取AF 的中点G ，连结MG ，则 MG ∥EF ，AG =GF =FN ． ……………………2分∴ S △NEF =41S △MNG ……………………2分 =41×32S △AMN ……………………2分 =41×32×41S △ABC =241S ． ……………2分 BACM N PE F（图1） BA CM N PE F（图2）G15．(15分)解：设,,,321x x x …2006,x 中有r 个－1、s 个1、t 个2，则⎩⎨⎧=++=++-.20064,2002t s r t s r ………………5分两式相加，得s ＋3t ＝1103，故0367t ≤≤． ………………2分∵ +++333231x x x …t s r x 832006++-=+ ………………2分=2006+t ． ………………2分∴ 200≤+++333231x x x (3)2006x +≤6×367+200=2402．当0,1103,903t s r ===时，+++333231x x x (3)2006x +取最小值200，………2分当367,2,536t s r ===时，+++333231x x x (3)2006x +取最大值2402．………2分16．(15分)解：（1）能到达点（3，5）和点（200，6）． ………………2分从（1，1）出发到（3，5）的路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）→（3，4）→（3，8）→（3，5）． ………………3分从（1，1）出发到（200，6）的路径为：（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6） →（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6） →（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）．……3分（2）不能到达点（12，60）和（200，5）． ………………2分理由如下：∵ a 和b 的公共奇约数=a 和2b 的公共奇约数=2a 和b 的公共奇约数， ∴ 由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．∵ 如果a ＞b ，a 和b 的最大公约数=（a －b ）和b 的最大公约数，如果a ＜b ，a 和b 的最大公约数=（b －a ）和b 的最大公约数， ∴ 由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．…………3分 ∵ 1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5．………………2分∴ 从（1,1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）．。

2006年全国初中数学竞赛试题(含答案)

选择题1.C具体方法：19+4*9=552.C具体方法：不明3.B具体方法：因为平行，且左右对称，所以原点到三角形斜边与y轴的交点就是高h，所以有y=x, 又因为题目有y=x的平方，解方程组有x=1,x=o（舍去），所以斜边是2，h=1。

4.B具体方法：把4边形剪成62边形，要剪58次，而且剪出来的都是3角形，3角形要剪成62边形要59次，所以总共要剪58+59*33=20055.D具体方法：不明，不过可自己画一幅精确的图去量出来（迫不得已啊……）6. 5013具体方法：把已知的两式相加得b+c=4011,因此只需讨论a的最大值，因为a＜b ，所以容易知道a=1002所以最大值为1002+4011=50137.—20/3具体方法：因为正三角形面积为1，可求出3边的值，根据正三角形底边的正方形的边与底边的比值可以求出正方形的一边，接着求出正方形面积为28×根号3—48，因此可求出a=28,b=3,c=48,接着把它们分别代入就求得了8.104具体方法：先求出他们相隔400米时的时间，因为在这之前，他们不可能走在同一条线上，接着当他们相隔400时再向前拐弯，就一定是走在同一条线上，所以求出当他们相隔400米时，甲刚好走了12.5圈所以甲走了13圈时，就跟乙走在同一条线上，所以可求出时间为13×（400÷50）=104 9.6具体方法：根据题意得（1—11/30）＜a＜（1—12/30），求得0.6 ＜a＜0.633……，所以[10a]=610.282500具体方法：比较抽象麻烦，就不具体说明了，方法是用像根号的那个除法，就是小学2年级学的那种做除法的那种方法，一个个推出a,b,c,d,e,f.三` 11 (1)1/2 2/3 3/5 5/7 4/7 3/7 5/8。

2006年全国初中数学竞赛

B C （第2题） N2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．答案：D解：解方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.526,543a y a x 只需⎩⎨⎧>-<-;026,043a a 或⎩⎨⎧<->-.026,043a a 即a ＜34或a ＞3． 2．答案：B解：连结BE ，分别过E ，F 作A C 的平行线交BC 于点M 和N ，则EM =1，BM =3，MN =33134-=--．∴ 小三角形的周长是632=++MN MN MN cm ．3．答案：C解：能组成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、（4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七种．4．答案：D解：将抛物线C 再变回到抛物线A ：即将抛物线1)1(22-+=x y 向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线2)1(22--=x y ，而抛物线2)1(22--=x y 关于x 轴对称的抛物线是2)1(22+--=x y ．5．答案：A解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有4种不同的取法，故所求概率是3264=． 6．答案：A解：经实验或按下述方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是()121321+=++++k k k ，应停在第()p k k 7121-+格，这里p 是整数，且使0≤()p k k 7121-+≤6，分别取k =1，2，3，4，5，6，7，时，()p k k 7121-+=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋．若7＜k ≤10，设t k +=7（t =1，2，3）代入可得，()p k k 7121-+=()1217++t t m ，由此可知，停棋的情形与t k =时相同．故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．7．答案：B解：假设有整数根，不妨设它的根是2k 或2k +1（k 为整数），分别代入原方程得方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除A ；若a ，b ，c 分别取4，8，3则排除C ，D ．8．答案：C解：每个2×2小方格图形有4种不同的画法，而位置不同的2×2 小方格图形共有12个，故画出不同位置的L 形图案个数是12×4=48．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．答案：512 解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高(设为h )，则5h =3×4，h =512． 10．答案：35％或65％（答对一个给3分）解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35％或65％．11．答案：10解：不难验证，a 2=b 2+c 2．所以△ABC 是直角三角形，其中a 是斜边．b sin B +c sin C =a b b ⋅+ac c ⋅=a b c 22+=a a 2=a =10． 12．答案：00720031 解：方程组()⎩⎨⎧++=-+=k x k y k kx y 1,1的解为⎩⎨⎧-=-=.1,1y x 直线的交点是()1,1--．直线1y kx k =+-，1y k x k =++（）与x 轴的交点分别是（kk -1，0）、（1+-k k ，0）．11121+---⨯-⨯=k k k k S k =11121+-k k ．所以 1232006S S S S ++++ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-+-00721006214131312121121 =0072003100721121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯． 13．答案：22 解：连结DM 并延长交EF 于N ，则△ADM ≌△ENM ，∴FN =1，则FM 是等腰直角△DFN 的底边上的E (第8题)高，所以FM =22． 14．答案：463 解：设这个等腰三角形的腰为x ，底为y ，分为的两部分边长分别为n 和2n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+;22,2n y x n x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.2,22n y x n x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==;35,32n y n x 或⎪⎩⎪⎨⎧==.3,34n y n x ∵ 35322n n <⨯(此时不能构成三角形，舍去)，∴ 取⎪⎩⎪⎨⎧==,3,34n y n x 其中n 是3的倍数．三角形的面积2223663)6()34(321n n n n S =-⨯⨯=∆．对于23663n S =∆，当n ≥0时，∆S 随着n 的增大而增大，故当n =3时，463=∆S 取最小．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15．(12分)解：将b a 24+=代入210ab c +-=，得2b 2+4b +c 21-=0， ……………2分 ∴ 22622c b -±-=． …………………………………2分 ∵ b ，c 都是整数，∴ 只能取⎩⎨⎧==;1,011c b ⎩⎨⎧-==;1,022c b ⎩⎨⎧=-=;1,233c b ⎩⎨⎧-=-=1,244c b ，…4分相对应a 1=4，a 2=4，a 3=０，a 4=0．故所求a b c ++的值有4个：5，3，1-，3-． ……………………………4分16．(12分)解：设分配给甲店铺A 款式服装x 件(x 取整数，且5≤x ≤30)，则分配给甲店铺B 款式服装(30x -)件，分配给乙店铺A 款式服装(35－x )件，分配给乙店铺B 款式服装[25－(30x -)]= (x 5-)件，总毛利润(设为y 总)为：y 总=30x +40(30x -)+27(35x -)+36(x 5-)= x -+1 965．………………………4分乙店铺的毛利润(设为y 乙)应满足：y 乙=27(35x -)+36(x 5-)≥950，得x ≥9520．…………………………………3分对于y 总=x -+1 965，y 总随着x 的增大而减小，要使y 总最大，x 必须取最小值，又x ≥9520，故取x =21．即分配给甲店铺A ，B 两种款式服装分别为21件和9件，分配给乙店铺A ，B 两种款式服装分别为14件和16件，此时既保证了乙店铺获毛利润不小于950元，又保证了在此前提下王老板获取的总毛利润最大， ………………………………………3分其最大的总毛利润为：y 总最大=21-+1 965=1 944(元)．…………………………2分n -1 （第17题）17．(12分)解：(1) 一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数=(线段的长度÷圆的周长)圈．因此若不考虑⊙O 滚动经过n 个顶点的情况，则⊙O 自身恰好转动了一圈． ……………………………………………3分现证明，当⊙O 在某边的一端，滚动经过该端点(即顶点)时，⊙O 自身转动的角度恰好等于n 边形在这个顶点的一个外角．如图所示，设∠A 2 A 1 A n 为钝角，已知A n A 1是⊙O 的切线，⊙O 滚动经过端点A 1后到⊙O '的位置，此时A 1A 2是⊙O '的切线，因此OA 1⊥A n A 1，O 'A 1⊥A 1 A 2．当⊙O 转动至⊙O '时，则∠γ 就是⊙O 自身转动的角度．∵∠γ +∠β =90º，∠α+∠β =90º，∴∠γ =∠α ．即⊙O 滚动经过顶点A 1自身转动的角度恰好等于顶点A 1的一个外角． ………………………3分对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证．（注：只证明直角的情况，只给2分） ∵ 凸n 边形的外角和为360º，∴ ⊙O 滚动经过n 个顶点自身又转动了一圈．………………………………3分 ∴ ⊙O 自身转动了两圈．(2) ⊙O 自身转动的圈数是)1(+ab 圈． …………………………………………3分 18．(14分)解：(1) 该二次函数图象的顶点P 是在某条抛物线上． ……………………2分求该抛物线的函数表达式如下：利用配方，得y =(x +m +1)2m m 32--，顶点坐标是P (1--m ，m m 32--)．……………………2分方法一：分别取m =0，1-，1，得到三个顶点坐标是P 1(1-，0)、P 2(0，2)、 P 3(2-，4-)，过这三个顶点的二次函数的表达式是y =2x -+x +2． …………3分将顶点坐标P (1--m ，m m 32--)代入y =－x 2+x +2的左右两边，左边=m m 32--，右边=(-1--m )2+(1--m )+2=m m 32--，∴ 左边=右边．即无论m 取何值，顶点P 都在抛物线y =2x -+x +2上．即所求抛物线的函数表达式是y =2x -+x +2．…3分（注：如果没有“左边=右边”的证明，那么解法一最多只能得4分）方法二：令1--m =x ，将m =1--x 代入m m 32--，得(-1--x )2－3(1--x )=2x -+x +2．………………………………………………3分即所求抛物线的函数表达式是y =2x -+x +2上． ………………………………3分(2) 如果顶点P (1--m ，m m 32--)在直线y =x +1上，则m m 32--=1--m +1， …………………………………2分即m m 22-=． ∴ m =0或 m =2-．∴当直线y =x +1经过二次函数y =x 2+2(m +1)x m -+1图象的顶点P 时，m 的值是2-或0． ………………2分。

2006年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题

Ｉｚ＋３２ｙ：２
（）
Ａ＜＜Ｂ＜Ｃ口３Ｄｎ｛，＞．ｎ３．｛ｎ．．＜或口３＞
２一块含３。的直角三角板（图１，的斜边Ａ＝８ａ里面空心ＡＤＦ的各边与．０角如）它Ｂｅ，ｒＥ／ＡＣ的对应边平行，对应边的距离都是ｌｎ那么／ＤＦ的周长是ＸＢ且各ｃ，ｚｘＥ
Ａ．ｃ５ｍＢ．ｃ６ｍＣ，６３ａ（一√ ）ｎＤ．３３ａ（＋√ ）ｎ
（
）图１
（）
３将长为１ｄ的木棒截成长度为整数的三段，．５ｍ使它们构成一个三角形的三边，则不同的截
法有Ａ．５种Ｂ．６种Ｃ７种．Ｄ．８种
９已知直角三角形的两直角边长分别为３ｒ４ｍ，．ｅａ和ｃ那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为
— —
ａｎ．
１将一组数据按由小到大（由大到小）Ｏ．或的顺序排列，处于最中间位置的数（当数据的个数是奇数时）或最，
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荤２０年全国初中数学竞赛（辜０６浙江赛区）初赛试题塞ｌ
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武置选璺－￣１ｔ璺・・ｒ．・试题选璺・・试量选璺・试量选璺・试置选登・・・・试置选登・试量建璺・试置选璺一・・试置选璺－・试量选璺・・试量选璺・试量选璺・试量选叠・・
４作抛物线Ａ关于轴对称的抛物线Ｂ，．再将抛物线Ｂ向左平移２个单位，平移１单位，向上个得到的抛物线Ｃ的函数解析式是Ｙ（＋１，＝２ｘ）一１则抛物线Ａ所对应的函数表达式是

2006年全国初中数学竞赛试题及答案 (1)-推荐下载

面积为 1 的正三角形 ABC，其中 a，b，c 为整数，
且 b 不能被任何质数的平方整除，则 a c 的值 b
等于
．
．
8．正五边形广场 ABCDE 的周长为 2000 米．甲、乙两人分别从 A、C 两点同时
出发，沿 A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为 50 米/分，乙的
速度为 46 米/分．那么出发后经过
（B）37
（C）55
解：因为 4 和 9 的最小公倍数为 36，19＋36=55，所以第二次同时经过这两种设施的千
米数是在 55 千米处．
故选 C．
2．已知 m 1 2 ， n 1 2 ，且 (7m2 14m a)(3n2 6n 7) =8，则 a 的值
等于（）（A）－5 答：C．
BE
D
A
（第 7 题图）
分钟，甲、乙两人第一次行走在同一
a
29 30
18
，则
G
FC
10a的值等
（1）试写出一个满足条件的 x；（2）求所有满足条件的 x． 12．设 a ， b ， c 为互不相等的实数，且满足关系式
b2 c 2 2a 2 16a 14
bc a 2 4a 5
（C）2006
D
A
（D）90
（D）9
Q
P
（D）h>2
（D）2007
（第 5 题图）
O
C
B
（C） 3 2
（D） 3 2
二、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）
6．已知 a，b，c 为整数，且 a＋b=2006，c－a=2005．若 a<b，则 a＋b＋c 的最
大值为

2006年全国初中数学竞赛试题(含参考答案)

当我们按如下方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便34个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了
所以,满足条件的所有分数为 , , , , , , ．………………15分
12．设 , , 为互不相等的实数,且满足关系式
①
②
求a的取值范围．
解法一：由①－2×②得 ,所以a>－1．
当a>－1时, = ．………………10分
又当时,由①,②得 ,③
④
将④两边平方,结合③得
化简得 ,故 ,
解得 ,或．
1．在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）
（A）36（B）37（C）55（D）90
答：C．
解：因为4和9的最小公倍数为36,19＋36=55,所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处．
三、解答题（共4题,每小题15分,满分60分）
11．已知 , , 为互质的正整数（即 , 是正整数,且它们的最大公约数为1）,且 ≤8, ．
（1）试写出一个满足条件的x；
（2）求所有满足条件的x．
12．设 , , 为互不相等的实数,且满足关系式
①
②
求a的取值范围．
13．如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B．过点A作PB的平行线,交⊙O于点C．连结PC,交⊙O于点E；连结AE,并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．

2006年全国初中数学联赛试题及解答

2006年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1.已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、EF 、GH 、CD 、DA 的中点，用S,P 分别表示四边形的面积和周长；S 1,P 1分别表示四边形的面积和周长.设,1S S K =,11P P K =则下面关于K 、K 1的说法中，正确的是（）. A. K 、K 1均为常值 B. K 为常值，K 1不为常值C. K 1为常值，K 不为常值D. K 、K 1均不为常值2.已知m 为实数，且sin α、cos α是关于x 的方程 3x 2-mx +1=0的两根.则sin 4α+cos 4α的值为（）.A. 29B. 13C. 79D. 13.关于x 的方程a x x =−|1|2仅有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是（）. a A. a > 0 B. a ≥4 C. 2<a <4 D. 0<a <44. 设b > 0，，则实数a 、b 、c 的大小关系是（）.,0222=+−c ab a 2a bc >A.b>c> a B. c >a >b C. a >b >c D. b >a >c5. a 、b 为有理数，且满足等式 324163++⋅=+b a ,则a +b 的值为（）.A. 2B. 4C. 6D. 86.将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，，40，60，80，100，104，….则这列数中的笫158个数为（）.A. 2000B. 2004C. 2008D. 2012二、填空题（每小题7分，共28分）1.函数的图像与x 轴交点的横坐标之和等于________. 2008||20062+−=x x y2.在等腰Rt ΔABC 中，AC=BC=1,M 是BC 的中点，CE ⊥AM 于点E ，交AB 于点F .则S ΔMBF =________.3.使16)8(422+−++x x 取最小值的实数x 的值为________.4.在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点坐标分别为O (0,0)，A (100,0)，B (100,100)，C (0,100). 若正方形OABC 内部（边界及顶点除外）一格点P 满足： S ΔPO A ·S ΔPBC = S ΔPAB ·S ΔPOC , 就称格点为“好点”.则正方形内部好点的个数为_______.(注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.)第二试(A)一、（20分）已知关于x 的一元二次方程无相异两实根.则满足条件的有序正整数组（a ，b ）有多少组?0)994()32(2222=++++++b a x b a x二、（25分）如图，D 为等腰ΔABC 底边BC 的中点，E 、F 分别为AC 及其延长线上的点.已知∠EDF =90º，ED = DF =1，AD =5，求线段BC 的长.三、（25分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O 1分别为ΔCEF 、ΔABE 的外心.求证：（1）O 、E 、O 1三点共线；（2）∠OBD =21∠ABC .第二试（B）一、（20分）同A 卷第一题.二、（25分）同A 卷第二题.三、（25分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O 1分别为ΔCEF 、ΔABE 的外心.（1）求证：O 、E 、O 1三点共线；（2）若21∠ABC =70º，求∠OBD 的度数.第二试（C）一、（20分）同A 卷第二题.二、（25分）同B 卷第三题.三、（25分）设p 为正整数，且p ≥2.在平面直角坐标系中，点A (0,p )和点B (p ,0)的连线段通过p-1个格点， C 1 (1, p −1)，…， C i (i ,p −i )，…，C p −1 (p −1,1). 证明：（1）若p 为质数，则在原点(0，0)与点C i (i ，p −i ) 的连线段OC i （i =1，2，…，p −1）上除端点外无其他格点；（2）若在原点O (0，0)与点C i (i ，p −i )的连线段OC i （i =1，2，…，p −1）上除端点外无其他格点，则p 为质数.2006年全国初中数学联赛答案第一试一、选择题1.B如图，易知 S ΔAEH =41S ΔABD , S ΔCFG=41S ΔCBD ，于是 S ΔAEH + S ΔCFG = 41S ABCD , 同理，故S ΔBEF + S ΔDHG = 41S ABCD ,故S ΔEFGH = 21S ABCD 即 k =2为常值. 又易知，P 1=AC +BD,特别地，若取邻边长分别为1、2的矩形，则k 1=;53 再取邻边长分别为1、的矩形，则k 1=,104故k 不是常值. 2. C 由根与系数的关系知 sin α·cos α =31 ，则有sin 4α+cos 4α = (sin 2α+cos 2α)2 -2(sin α·cos α)2 = ,97 3. D当a<0时，无解；当a=0时，x=0; 不合题意；当a >0时，原方程化为a x x ±=−12整理得 x 2-ax+a=0（1）或x 2+ax-a=0（2）因为方程（2）的判别式⊿2=a 2+4a>0, 即方程（2）有两个不同实根。

2006年“信利杯”全国初中数学竞赛(广西赛区)含答案竞赛园地

2006年“信利杯”全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号内，不填、多填或错填得零分。

）1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪。

刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）（A）36 （B）37 （C）55 （D）902、已知m=1+2，n=1—2，且（7m2—14m+a）（3n2—6n—7）=8，则a的值等于（）（A）—5 （B）5 （C）—9 （D）93、RtΔABC的三个顶点A、B、C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x 轴。

若斜边上的高为h，则（）（A）h＜1 （B）h=1 （C）1＜h＜2 （D）h＞24、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 Array5、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，GFE DCBA连结DP ，DP 交AC 于点Q ，若QP=QO ，则QAQC 的值为（）（A ）23—1 （B ）23 （C ）3+2 （D ）3+2 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6、已知a 、b 、c 为整数，且a+b=2006，c —a=2005。

若a ＜b ，则a+b+c 的最大值为7、如图，面积为a b —c 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a 、b 、c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bc a -的值等于8、正五边形广场ABCDE 的周长为2000米。

2006年“信利杯”全国初中数学竞赛

一
１在高速公路上，３ｋ处开始，隔．从ｍ每
４ｋ经过一个限速标志牌，ｍ并且从１ｍ处０ｋ
部分，沿一条不过任何顶点的直线将其再
剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中
开始，每隔９ｋ经过一个速度监控仪．某ｍ若汽车刚好在１ｍ处第一次同时经过这两种９ｋ
米数是（
（３Ａ）６
）．
（）７Ｂ３（５ｃ）５（９Ｄ）０
２已知ｍ＝ｌ４，＝ｌ４，．＋２／ｔ＇一２且（ｍ４７一１ｍ＋口）３ｔ—６（２ｎ一７＝８ｒ）．
（２Ｏ４（）０Ｃ２Ｏ６（）０Ａ）ＯＢ２０５（）ＯＤ２０７
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２Ｏ年第７期Ｏ６
２０年“ ０６信利杯＂全国初中数学竞赛
一
、
选择题（每小题６，３）分共Ｏ分
４一个正方形纸片，剪刀沿一条不过．用任何顶点的直线将其剪成两部分；出其中拿
因＝．＝．．＝．为＝Ａ号于ＵＳ是Ｓ
所以，ＴＰ＝Ｓ＝１Ａ ÷ ．
因为ｓ是△ ＡＣ的重心．Ｂ则ｓＲｓ＝． ④
显Ｑ＝１Ｑ专ｙ然．８＝．ｓ
由于Ｕ是加和Ｓ＇公共中点．以．７的所四边形ｇＱＳＴ是平行四边形，有且
求ｎ的取值范围．１．图３Ｐ为ｏ３如，Ｏ外一点，点Ｐ作ｏ的过Ｏ

2006年全国初中数学联合竞赛试卷

2006年全国初中数学联合竞赛试卷（辽宁）第一试（4月9日上午8:30-9:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，用S、P分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、P1分别表示四边形EFGH的面积和周长．设K = SS1，K1 =PP1，则下面关于K、K1的说法正确的是（）．A.K、K1均为常值B.K为常值，K1不为常值C.K不为常值,K1为常值D.K、K1均不为常值2.已知m为实数，且sinα、cosα是关于x的方程3x2 –mx + 1= 0的两根，则sin4α+ cos4α的值为（）．A.29B.13C.79D.13.关于x的方程|x2x–1|=a仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（）．A.a > 0B.a ≥4C.2 < a < 4D.0 < a < 44.设b>0，a2 -2ab + c2 = 0，bc > a2，则实数a、b、c的大小关系是（）．A.b > c >aB.c> a > bC.a > b > cD.b > a > c5.设a、b为有理数，且满足等式a + b 3 = 6 ⋅1 + 4 + 2 3 ，则a + b 的值为（）．A.2B.4C.6D.86.将满足条件“至少出现一个数字0，且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，……，则这列数中的第158个数为（）．A.2000B.2004C.2008D.2012二、填空题（本题满分28分,每小题7分）1.函数y= x2-2006|x|+ 2008的图象与x轴交点的横坐标之和等于__________．2.在等腰Rt△ABC中，AC = BC =1，M是BC的中点，CE⊥AM于E交AB于F，则S⊿MBF = __________.3.使x2 + 4 + (8 - x)2 + 16 取最小值的实数x的值为__________.4.在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(100,0)，B(100,100)，C(0,100)．若正方形OABC内部（边界及顶点除外）一格点P满足：S⊿POA ⋅ S⊿PBC = S⊿P AB⋅S⊿POC，就称格点P为“好点”，则正方形OABC内部“好点”的个数为__________.（注：所谓“格点”，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．）2006年全国初中数学联合竞赛试卷(辽宁）第二试(4月9日上午10:00-11:30)一、(本题满分20分)已知关于x的一元二次方程x2 +2(a + 2b + 3)x+(a2 + 4b2 + 99)= 0无相异两实根，则满足条件的有序正整数组(a,b)有多少组？二、(本题满分25分)如图，D为等腰△ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点．又已知∠EDF = 90°，ED = DF = 1，AD = 5．求线段BC的长．三、(本题满分25分)在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC及DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心． (1)求证：O、E、O1三点共线；(2)求证：若∠ABC = 70°，求∠OBD的度数．参考答案：选择题：BCDABC填空题：1. 0 2. 112 3.38 4. 197解答题：1. 16 2. 107 3. (1) 证明相似三角形的对应角相等；（2）35°.FEDCBA．1OOFEDCBA。

2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛

（）．（）Ａ有整数根
图１
（５Ａ）（） √ Ｃ６一３
（）Ｂ６（３ √ Ｄ）＋３
３将长为１ｍ的木棒截成长度为整数．５ｄ
（）Ｂ没有整数根
的三段，使它们构成一个三角形的三边．则不同的截法有（）．种（５Ａ）（）Ｂ６（）ｃ７（）Ｄ８４作抛物线Ｃ关于轴对称的抛物线．Ｃ，：再将抛物线Ｃ向左平移２个单位，：向上平移１个单位，得到的抛物线Ｃ的函数解析式是Ｙ２＋１一１则抛物线Ｃ所对应＝（）．，
（导。３（。导Ａ＜＜）Ｂ＜）（。３ｃ＞）（。导。３Ｄ＜或＞）
２一个含３￣的直．０角角三角板（图１示）如所，它的斜边ＡＢ＝８ｌ里面ｎｃ，空心 △ ＤＦ的各边与Ｅ △ ＡＣ的对应边平行，Ｂ且各对应边距离都是１ｃ．ｍ那么，ＤＦ的周长是 △ Ｅ
（）ｃ没有有理数根（）Ｄ没有实数根８图３的阴影部分是．由３个小方格组成的，我们称这样的图案为形．那
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中等数学
均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据Ａ。２Ａ一ＡＡ … 。的夕、｝的中位数．现有一组数据共有１００个数，其中侧（圆和边相切）作有１个数在中位数和平均数之间．５如果这组无滑动的滚动一周数据的中位数和平均数都不在这１００个数回到原来的位置．中，那么，这组数据中小于平均数的数据占这（）当ｏ和１０１００个数据的百分比是— — ．凸／边形的周长相／，１． △ ＡＣ中，、、１在Ｂ口ｂＣ分别是Ａ等时，明：０自、证ｏＣ的对边．已知身转动了两圈；