概率统计

练习三
从下面两式分析各表示什么包含关系。
1A B A 2A B A
解
1A B A 2A B A
, 说明A是B的子集， B A ，说明 是A的子集， A B B
。 。
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概率
对于一个随机事件A (除必然事件和不可能事件 外)来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。 我们希望知道的是事件在一次试验中发生的可能性。 用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这 个数P(A)就称为随机事件A的概率。 我们希望找到一个数来表示P(A)。
随机事件
试验E的样本空间S的子集称为试验的随机事件，简 称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样 本点出现时，称这一事件发生。
基本事件（简单事件）、复合事件
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。由两 个或两个以上样本点组成的集合，称为复合事件。
必然事件、不可能事件
样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集， 在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。 空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的 子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
事件间的关系
包含：A B或B A，称事件B包含事件A，即事件 A发生必然导致事件B发生。 相等： B且B A，即A B ，称事件A与事件B A n 相等。 A 和： B，表示A、B二事件中至少有一个发生； 1 Ak k 表示n个事件A1 ，A2 ， … ， An中至少有一个发生。 差：A－B，表示事件A发生，而事件B不发生。 n A 积： B ，也记作AB，表示A、B二事件都发生；1 Ak k 表示n个事件A1 ，A2 ，… ， An都发生。 互不相容(或互斥)：指AB＝ ，即事件A与事件B不能 同时发生；若n个事件A1 ，A2 ，… ， An的任意两个事件 不能同时发生，则称A1 ，A2 ，… ， An互不相容。 互为对立(互逆)：若 A B ＝S，且AB＝ ，则A与B 二事件互逆。有 A A S , AA 。
图示事件间的关系（Venn文图）
A
B
A
B
A
B
S
A
A
A
B
A
B
A
B
A B
AB
A－B
事件的运算
在进行运算时，经常要用到下述定律。设A，B，C 为事件，则有
交换律 A B B A, A B B A;
结合律 A B C A B C ,
分配律 A B C A B A C ,
频率
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试 验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。 比值nA ／n称为事件A发生的频率，并记成ƒn(A)。
例 考虑“抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币抛掷5次、50 次、500次，各做10遍。得到数据如下表所示(其中nH表示H发 生的频数，ƒn(H)表示H发生的频率)。 试验序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n= 5 nH 2 3 1 5 1 2 4 2 3 3 ƒn(H) 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6 nH 22 25 21 25 24 21 18 24 27 31 n= 50 ƒn(H) 0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48 0.54 0.62 n=500 nH 251 249 256 253 251 246 244 258 262 247 ƒn(H) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494
等可能概率模型（古典概型）
等可能概率模型是有限样本空间的一种特例。这种随机 现象具有下列两个特征： (1)在观察或试验中它的全部可能结果只有有限个，譬 如为 n个，记为e1，e2，…,en，而且这些事件是两两互不 相容的； (2)事件｛ei｝（i=1,2, …n)的发生或出现是等可能的， 即它们发生的概率都一样。 这类随机现象在概率论发展初期即被注意，许多最初的 概率论结果也是对它作出的，一般把这类随机现象的数学模 型称为古典概型。古典概型在概率论中占有相当重要的地位， 它具有简单、直观的特点，且应用广泛。
有限样本空间事件概率的定义
定义 和． 任何事件A的概率P(A)是A中各样本点的概率之 按照这个定义，显然有P(S)=1，0≤P(A)≤1。
离散样本空间
把上面做法推广到有可列个样本点的样本空间 是不难的，这种空间称为离散样本空间，但是当把 上面做法推广到不可列个样本点的场合，则会遇到 实质性的困难，对于这种一般场合的讨论，以后将 逐渐展开。
样本空间、样本点
随机试验的所有可能结果的集合称为样本空间。 试验的每—个可能结果称为样本点。记为S＝｛e｝。
例1： E1：抛一枚硬币，观察正面、反面了出现的情况。 S1：{H，T}； E２：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。 S2：{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}； E３：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 S3：{0，1，2，3}； E４：抛一颗骰子，观察出现的点数。 S4：｛1，2，3，4，5，6}； E５：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。 S5：{0，l，2，3，…}； E６：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 S6：｛t︱t≥0}； E７：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。 S7：{(x，y) ︱T0≤x≤y≤T1}，这里x示最低温度，y表示最高 温度，并设这一地区的温度不会小于To，也不会大于T1。
ABC ABC ABC
6) 这三个事件至少发生一个可以表示为：
A B C或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
练习一
化简下列格式：
1 A B A B 2 A B B C 3 A B A B A B
频率的基本性质
由定义，易见频率具有下述基本性质： ⑴ 0≤ ƒn(A)≤1; ⑵ ƒn(s)＝1; ⑶ 若A1 ，A2 ， … ， Ak是两两互不相容的事件，则 ƒn( A1∪A2∪…∪Ak )=ƒn ( A1)+ƒn (A2)+…+ƒn (Ak).
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有限样本空间
我们先考虑只有有限个样本点的样本空间，这种样本空 间称为有限样本空间。这是最简单的样本空间，研究它有助 于深入研究更为复杂的样本空间。
A BA AB A
解
1 A B A B A B A A B B 2 A B B C A B B A B C 3 A B A B A B AA B AB
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本章小结 习题
概率论的基本概念
随机试验、样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型（古典概型） 几何概率 概率的一般定义 条件概率 独立性
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随机试验
随机试验是具有以下特征的试验：可以在相 同条件下重复进行；每次试验的结果不止一个， 但结果事先可以预知；每次试验前不能确定哪个 结果会出现。
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6) (2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6) (3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6) (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6) (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5) 把这30个结果作为样本点，则构成了样本空间。在这个问 题中，这些样本点是我们感兴趣的事件；但是我们也可以研究 下面另外一些事件： A：第一次摸出黑球； B：第二次摸出黑球； C：第一次及第二次都摸出黑球． 后面这些事件与前面那些事件的不同处在于这些事件是可 以分解的，例如为了A出现必须而且只须下列样本点之一出现： (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)
AB B AC BC B AC
练习二
解
1A B A B A 2 A B B A AB AB 3B A AB AB 1A B A B S A B A A
频率稳定性
大量实验证实，当重复试验的次数逐渐增大时，频率呈 现出稳定性，逐渐稳定于某个常数。
当够大时， ƒn(A )P(A)
由于事件发生的频率表示A发生的频繁程度。频率大， 事件A发生就频繁，这意味着A在一次试验中发生的可能性就 大。 当n增大时，频率在概率附近摆动。因此，每一个从独 立重复试验中测得的频率，都可以作为概率P(A)的近似值。
A AB B A A B A AA B A AB BB
证明下列等式：
2AB AB AB AB A B A B 3 AB AB AB AB
A B B A A B B A A B AB AB B A
例5： 1) A发生而B与C都不发生可以表示为：
ABC或A B C或A B C
2) A与B都发生而C不发生可以表示为：
ABC或AB C或AB ABC
3) 所有这三个事件都发生可以表示为：
ABC
4) 这三个事件恰好发生一个可以表示为：
ABC ABC ABC
5) 这三个事件恰好发生两个可以表示为：
例2： 在E２中事件A１：“第一次出现的是H”，即 A１＝{HHH，HHT，HTH，HTT}； 事件A２：“三次出现同一面”，即 A2＝{HHH，TTT}； 在E６中事件A3 ：“寿命小于1000小时”，即 A3＝｛t︱0≤t＜1000}； 在E７中事件A3：“最高温度和最低温度相差10摄氏度”，即 A7＝{(x，y) ︱y-x=10,T0≤x≤y≤T1}。 例3： 某袋中装有4只白球和2只黑球，我们考虑依次从中摸出两球所 可能出现的事件。若对球进行编号，4只白球分别编为1，2，3， 4号，2只黑球编为5，6号。如果用数对(i，j)表示第一次摸得 i号球，第二次摸得j号球，则可能出现的结果是