D10_2二重积分的计算

f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
O a
y c
y 1 ( x)
D
x 2 ( y)
x
bx
D1 D3
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X - 型域或Y - 型域 , 则
第二节 二重积分的计算法
第十章
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
*三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f ( x, y ) 0 y y 2 ( x) 且在D上连续时, 若D为 X - 型区域
O a y ( x)b x 1 2 ( x) b f ( x, y ) d y 则 f ( x, y ) d x d y d x 1 ( x ) D a y x 2 ( y) d 1 ( y ) x 2 ( y ) 若D为Y - 型区域 D : y c yd c ( y ) d 2 x O 则 f ( x , y ) d x d y x ( y)
10.3.7、计算二次积分
2 4 1 y 原式 2 x 2 2x
x
dx
=9.
=
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10.3.8、计算二次积分
10.3.9、计算二次积分
3 2 2y2 原式 x 1 3
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10.3.4、设f(x,y)为连续函数，交换二次积分
的积分次序。
解：原式= 10.3.5、设f(x,y)是连续函数，交换积分 的积分次序。
解：原式=
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10.3.6、计算二次积分
2 34 1 3 x x dx 1 dx 1 3 3 1 3
sin x d x
0
π
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
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例4. 交换下列积分顺序
I dx
0
2
x2 2 0
f ( x, y )d y
2 2 2
dx
8 x 2 0
f ( x, y )d y
解: 积分域由两部分组成:
y
x2 y2 8
2 0 y 8 x 2 0 y 1 x 2 D1 : , D2 : 2 1 2 2 x 2 2 y 0 x2 2 x D1 D2 将 D D1 D2 视为Y - 型区域 , 则
O
22 2
x
2y x 8 y D: 0 y2


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例2. 计算
y 2 y2 x 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y
所围成的闭区域. 则
D x yd , 其中D 是抛物线
及直线
y2 x y 2 D: 1 y 2
O 1
D
4 x
x yd d y
2
2
8 y 2 2y
I f ( x, y ) d x d y d y
D
0
f ( x, y )d x
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10.1.2、
设函数f(x,y)在x2+y2≤1上连续，使
成立的充分条件是 (A)f(－x,y)=f(x,y) f(x,－y)=－f(x,y) (B)f(－x,y)=f(x,y) f(x,－y)=f(x,y) (C)f(－x,y)=－f(x,y) f(x,－y)=－f(x,y) (D)f(－x,y)=－f(x,y) f(x,－y)=f(x,y)
D
2
y2
2
y x2

y2 2 1 2 x y 2 dy 2 y 1

1

y
xy d x
1 2 [ y ( y 2) 2 y 5 ] d y 2 1
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sin x d xd y, 其中D 是直线 例3. 计算 D x 所围成的闭区域. y y x 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, D xπ 因此取D 为X - 型域 : π x O 0 y x D: 0 xπ π sin x x sin x d xd y dx d y 0 D x 0 x
D2
2
D D D
1

D3
O
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x
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例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y x 解法1. 将D看作X - 型区域, 则 D : 1 x 2 y 2 x 2 yx 2 2 x 1 y I d x x yd y 1 2 x y d x 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 O 1 x2x 8 y x 2 解法2. 将D看作Y - 型区域, 则 D : 1 y 2 2 2 2 2 2 2 1 I d y x yd x x y d y 2 y 1 y 3 d y 9 2 1 1 2 y 1 y 8
B
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10.3.1、设f(x,y)是连续函数，交换二次积分
的积分次序。
原式=
f(x,y)dx.
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10.3.2、设f(x,y)是连续函数，交换二次积分
的积分次序。
原式=
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10.3.3、设f(x,y)是连续函数，交换积分 的积分次序。
解：原式=
c
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
x
D
1 ( y)
1
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说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,
则有
D f ( x, y) dx d y
d x
a b
2 ( x)
1 ( x)
d
y
y 2 ( x)