波函数、薛定谔0612
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2 a 2
代入(10) ( x) n (11)式:
2 n sin x (12) (定态波函数) a a i Et 2 n n ( x) sin xe (13) a a n 1.2.3
2 2 nx 2 粒子出现 2 [ n ( x)] sin (15) 的几率： a a
2
X a
n (x)
4 ( x)
[ n ( x)]2
[ 4 ( x)]2
[ 3 ( x)]2
E4 E3 E2
3 ( x)
2 ( x)
1 ( x)
U 0
[ 2 ( x)]
2
E
m a
X E1 X a 0 a 0 注意：粒子在势阱中不同地点出现的几率不一 样，不同于经典物理学中的等几率分布。 以上分布可看作物质波在势阱中产生驻波 i Et 2 n n ( x) sin xe (13) a a
§19--8波函数 （Wave Function）
本节主要介绍描述微观粒子运动状态的波函数，及反映微 观粒子运动的薛定谔方程，并用此方程求解一维无限深势阱中 粒子的运动。
一、自由粒子的波函数 设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运 动（设沿X轴），其动量、能量保持恒定。
E const E 恒定
能量可看 成连续的
牛顿力学：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是 已知的，决定性的。
量子力学反映出：波函数不给出粒子在什么时刻一定到 达某点，只给出到达各点的统计分布；即只知道||2大的 地方粒子出现的可能性大，||2小的地方几率小。一个粒 子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的 （非决定性的）
说明： 波函数所代表的波是几率波。
0 A sin 0 B cos 0(7) 0 A sin ka B cos ka(8)
2mE k 2 (3)
2
U
n ( x) A sin xe a 由归一化条件:
故波函数:
i Et
(11)
a
m 0 E X a
nx 2 dx ( x)dx ( A sin ) dx 1 0 0 a a 2 2 A 1 A (12) a 2
其中 ( x) 0 e
i Px x
2、势场中的薛定谔方程 若粒子处在势场中，势能为U（x、t），总能量：
Px2 E U ( x.t ) 代入 2m
d ( x) 2mE 2 ( x) 0 2 dx d 2 ( x ) 2m 得： 2 ( E U ) ( x) 0 2 dx
结论：1）能量是量子化的，且无0值。 q a p / 2a 能量最小值： 波粒二象性的 h E1 0 E 0 必然结果！ 2 2 2ma 8ma 2）粒子在空间不同的地方出现 的几率是不同的。
2 2
2 n
2
2
i Et
2
2
2
2 2 nx [ n ( x)] sin (15) n 1.2.3 a a
e
i Et
称为振幅波函数 d 2 ( x) Px2 将振幅波函数对x求二阶导数： 2 ( x) 2 自由粒子非相对论条件下总 dx 动能： 2 d 2 ( x) 2mE Px 2 ( x) 0 E Ek 2 dx 2m 一维自由粒子的薛定谔方程
[ n ( x)]2
X a
1 [e 2a 右行波
i nx ( En t ) a
e
i nx ( En t ) a
]
左行波
n (x)
4 ( x)
3 ( x)
[ n ( x)]2
[ 4 ( x)]2
[ 3 ( x)]2
E4 E3
En ( n ) (14) 2 n 2ma
i ( Et Pr )
三、波函数的标准化条件 W 1、波函数的有限性 在空间是有限函数 (r .t )
dV 1
V
2、波函数是连续的
即在r 处的几率密度 (r )与r dr 处 几率密度 (r dr )只差一微量
U m
, x 0. x a U (x ) 0, 0 x a 此称无限深势阱
若是经典粒子，粒子如何运动？
0
E
a
E可取任意值，且各处出现的 几率一样
量子力学对粒子的分析：
0 xa ( x ) 2m 2 [ E U ( x)] ( x) 0(1) 2 x 2 ( x) 2m U ( x) 0 2 E ( x) 0(2) 2 x 令： 2 2mE d ( x) 2 2 k 2 (3) k ( x) 0(4) 2 dx
2 2 nx [ n ( x)] sin (15) a a 2 n (x) [ n ( x)] 2 [ 4 ( x)] 4 ( x)
2 2
E4
E3 E2 E1 0
3 ( x)
2 ( x)
1 ( x)
X a 0
[ 3 ( x)]2
[ 2 ( x)]
2
[ n ( x)]
[ n ( x)]2
n (x)
4 ( x)
[ n ( x)]2
[ 4 ( x)]2
[ 3 ( x)]2
E4 3 ( x) E3 E2
1 ( x)
U m 0 E
2 ( x)
[ 2 ( x)]2
X E1 X a 0 a 0 以上分布可看作物质波在势阱中产生驻波 i Et 2 n n ( x) sin xe (13) a a
例 求一个能量为E、动量为P的自由粒子的几率 i 密度。 ( Et Pr ) 解： 波函数为 0 e
(的共轭复数) const 且与位置 无关。在全空间粒子出现的几率一样
2 0
0e
i ( Et Pr )
0e
统计解释：某时刻空间某体元dv中出现粒子的几 率正比于该地点波函数模的平方和体积元乘积：
dW dV
2
通常比例系数取1:
dW dV dV
2
( 为共轭复数)
即粒子在空间出现的几率：
dW 2 dV
微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。
2
如果粒子是在三维空间中运动，则上式可推广为：
其中 2 2 为拉普拉斯算符 2 x y z
2 2 2 2
2 2 2 2m 2 ( E U ) 0 2 2 2 x y z 2m 2 2 ( E U ) 0 为定态薛定谔方程
1、自由粒子的Schrö ding方程 设有一作匀速直线运动的自由粒子沿X轴运动. （非相对论条件下讨论）
设有一作匀速直线运动的自由粒子沿X轴运动。
E.P不变与恒定,其波函数为：
0e
i ( Et Px x )
( x) e
i Et
0e
i Px x
3、波函数是单值的 粒子在空间出现的几率只可能是一个值 4、满足归一化条件 （归一化条件）
W dV 1
因为粒子在全空间出现是必然事件
四、薛定谔方程 薛定谔方程是量子力学 的基本方程，把这个方程 用于微观粒子，比如氢原子系统，从理论上计算 出氢原子的能量、氢原子光谱的波长和强度、激 发态寿命等，其理论结果与实验非常一致
2m 2 ( E U ) 0
2
若定态薛定谔方程已解出为： 则粒子的波函数：
( x. y.z )
i Et
注意：1）定态波函数为一空间坐标函数 (r ) 与一时间函数 f (t ) 的乘积。
2）对于定态，除能量E有确定值外，其几 率分布也不随时间变化。
2 i Et
( x. y.z ) ( x. y.z )e
2 (r t ) ( x. y.z )e
( x. y.z )
2
五、薛定谔方程应用举例 1、一维势阱
许多情况，粒子束缚 在一个很小空间（束 缚态）。
+
+
+
对此我们提出一个理想模型，粒子限制在一个具有理想 反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由运动但在匣壁处受 到强烈的反射，越出需无限大能量
2 2
பைடு நூலகம்
2
2
2 ( x)
1 ( x)
[ 2 ( x)]2
E2
m
[ n ( x)]2
X E1 X a 0 a 0 当n时回到了经典情况。 2 2 E En 1 En (2n 1) 2 2ma a E a 10
0 E
X a
10 m 3.76(2n 1)eV 1mm 3.76(2n 1) 1014 eV 16 3.76(2n 1) 10 eV 1m
能量公式： 由式（3）、式（9）
2
2mE n 2 n k 2 ( ) k (9) a a 2 2 2 En ( n ) (14) n 1.2.3 2 2ma
2mE k 2 (3)
2
2 ( n) E n ( x) n sin xe (14) (13) n 1.2.3 2 2ma a a
2
0 a 粒子无法越过势阱故只须考虑 0<x<a区间的波函数： x 0.x a 粒子满足一维定态薛定谔方程： U (x) 0
2m 2 ( E U ) 0
2
U E m
d ( x)
2
其解的形式：
dx
2
k ( x)
2
2mE 0 (4) k 2 (3)
ikx ikx
0 A sin 0 B cos 0(7) 0 A sin ka B cos ka(8)
( x) A sin kx B cos kx(5)' ' '
由(7)式: B=0 由(8)式:
A sin ka 0 n sin ka 0 ka n k (9) a 代入式(5)’’’ n 1.2.3 n ( x) A sin x(10) n 1.2.3 a i Et n 故波函数: ( x ) A sin xe (11) a
波的传播方向为实物粒子的运动方向
二、波函数的统计解释（波恩Born） 代表什么？其物理意义？以电子的单缝衍射说明： 1、电子的单缝衍射：
U 粒子的观点 极大值
波动的观点
较多电子到达 波强度大， 02或 2大 极小值 较少电子到达 波强度小， 02或 2小 2 2 统一地看：粒子出现的几率正比于 0 或 中间值 介于二者之间 波强介于二者之间
h
P const
h p
恒定
X
从波动观点看来：这种波只能是单色平面波
其波函 数为：
常写成 复数：
x E 0Cos 2 ( t ) h h/ p 1 0Cos[ ( Et px)]
0Cos 2 (t
x
)
0 e
i ( Et Px )
2
代入式（5）’’’
( x) Ce De (5)' ( x) A cos( kx )(5)' ' ( x) A sin kx B cos kx(5)' ' ' 由边界条件： 0, U ( 0 ) , ( 0 ) 0 …(6) x x a, U ( a ) , ( a ) 0
代入(10) ( x) n (11)式:
2 n sin x (12) (定态波函数) a a i Et 2 n n ( x) sin xe (13) a a n 1.2.3
2 2 nx 2 粒子出现 2 [ n ( x)] sin (15) 的几率： a a
2
X a
n (x)
4 ( x)
[ n ( x)]2
[ 4 ( x)]2
[ 3 ( x)]2
E4 E3 E2
3 ( x)
2 ( x)
1 ( x)
U 0
[ 2 ( x)]
2
E
m a
X E1 X a 0 a 0 注意：粒子在势阱中不同地点出现的几率不一 样，不同于经典物理学中的等几率分布。 以上分布可看作物质波在势阱中产生驻波 i Et 2 n n ( x) sin xe (13) a a
§19--8波函数 （Wave Function）
本节主要介绍描述微观粒子运动状态的波函数，及反映微 观粒子运动的薛定谔方程，并用此方程求解一维无限深势阱中 粒子的运动。
一、自由粒子的波函数 设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运 动（设沿X轴），其动量、能量保持恒定。
E const E 恒定
能量可看 成连续的
牛顿力学：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是 已知的，决定性的。
量子力学反映出：波函数不给出粒子在什么时刻一定到 达某点，只给出到达各点的统计分布；即只知道||2大的 地方粒子出现的可能性大，||2小的地方几率小。一个粒 子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的 （非决定性的）
说明： 波函数所代表的波是几率波。
0 A sin 0 B cos 0(7) 0 A sin ka B cos ka(8)
2mE k 2 (3)
2
U
n ( x) A sin xe a 由归一化条件:
故波函数:
i Et
(11)
a
m 0 E X a
nx 2 dx ( x)dx ( A sin ) dx 1 0 0 a a 2 2 A 1 A (12) a 2
其中 ( x) 0 e
i Px x
2、势场中的薛定谔方程 若粒子处在势场中，势能为U（x、t），总能量：
Px2 E U ( x.t ) 代入 2m
d ( x) 2mE 2 ( x) 0 2 dx d 2 ( x ) 2m 得： 2 ( E U ) ( x) 0 2 dx
结论：1）能量是量子化的，且无0值。 q a p / 2a 能量最小值： 波粒二象性的 h E1 0 E 0 必然结果！ 2 2 2ma 8ma 2）粒子在空间不同的地方出现 的几率是不同的。
2 2
2 n
2
2
i Et
2
2
2
2 2 nx [ n ( x)] sin (15) n 1.2.3 a a
e
i Et
称为振幅波函数 d 2 ( x) Px2 将振幅波函数对x求二阶导数： 2 ( x) 2 自由粒子非相对论条件下总 dx 动能： 2 d 2 ( x) 2mE Px 2 ( x) 0 E Ek 2 dx 2m 一维自由粒子的薛定谔方程
[ n ( x)]2
X a
1 [e 2a 右行波
i nx ( En t ) a
e
i nx ( En t ) a
]
左行波
n (x)
4 ( x)
3 ( x)
[ n ( x)]2
[ 4 ( x)]2
[ 3 ( x)]2
E4 E3
En ( n ) (14) 2 n 2ma
i ( Et Pr )
三、波函数的标准化条件 W 1、波函数的有限性 在空间是有限函数 (r .t )
dV 1
V
2、波函数是连续的
即在r 处的几率密度 (r )与r dr 处 几率密度 (r dr )只差一微量
U m
, x 0. x a U (x ) 0, 0 x a 此称无限深势阱
若是经典粒子，粒子如何运动？
0
E
a
E可取任意值，且各处出现的 几率一样
量子力学对粒子的分析：
0 xa ( x ) 2m 2 [ E U ( x)] ( x) 0(1) 2 x 2 ( x) 2m U ( x) 0 2 E ( x) 0(2) 2 x 令： 2 2mE d ( x) 2 2 k 2 (3) k ( x) 0(4) 2 dx
2 2 nx [ n ( x)] sin (15) a a 2 n (x) [ n ( x)] 2 [ 4 ( x)] 4 ( x)
2 2
E4
E3 E2 E1 0
3 ( x)
2 ( x)
1 ( x)
X a 0
[ 3 ( x)]2
[ 2 ( x)]
2
[ n ( x)]
[ n ( x)]2
n (x)
4 ( x)
[ n ( x)]2
[ 4 ( x)]2
[ 3 ( x)]2
E4 3 ( x) E3 E2
1 ( x)
U m 0 E
2 ( x)
[ 2 ( x)]2
X E1 X a 0 a 0 以上分布可看作物质波在势阱中产生驻波 i Et 2 n n ( x) sin xe (13) a a
例 求一个能量为E、动量为P的自由粒子的几率 i 密度。 ( Et Pr ) 解： 波函数为 0 e
(的共轭复数) const 且与位置 无关。在全空间粒子出现的几率一样
2 0
0e
i ( Et Pr )
0e
统计解释：某时刻空间某体元dv中出现粒子的几 率正比于该地点波函数模的平方和体积元乘积：
dW dV
2
通常比例系数取1:
dW dV dV
2
( 为共轭复数)
即粒子在空间出现的几率：
dW 2 dV
微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。
2
如果粒子是在三维空间中运动，则上式可推广为：
其中 2 2 为拉普拉斯算符 2 x y z
2 2 2 2
2 2 2 2m 2 ( E U ) 0 2 2 2 x y z 2m 2 2 ( E U ) 0 为定态薛定谔方程
1、自由粒子的Schrö ding方程 设有一作匀速直线运动的自由粒子沿X轴运动. （非相对论条件下讨论）
设有一作匀速直线运动的自由粒子沿X轴运动。
E.P不变与恒定,其波函数为：
0e
i ( Et Px x )
( x) e
i Et
0e
i Px x
3、波函数是单值的 粒子在空间出现的几率只可能是一个值 4、满足归一化条件 （归一化条件）
W dV 1
因为粒子在全空间出现是必然事件
四、薛定谔方程 薛定谔方程是量子力学 的基本方程，把这个方程 用于微观粒子，比如氢原子系统，从理论上计算 出氢原子的能量、氢原子光谱的波长和强度、激 发态寿命等，其理论结果与实验非常一致
2m 2 ( E U ) 0
2
若定态薛定谔方程已解出为： 则粒子的波函数：
( x. y.z )
i Et
注意：1）定态波函数为一空间坐标函数 (r ) 与一时间函数 f (t ) 的乘积。
2）对于定态，除能量E有确定值外，其几 率分布也不随时间变化。
2 i Et
( x. y.z ) ( x. y.z )e
2 (r t ) ( x. y.z )e
( x. y.z )
2
五、薛定谔方程应用举例 1、一维势阱
许多情况，粒子束缚 在一个很小空间（束 缚态）。
+
+
+
对此我们提出一个理想模型，粒子限制在一个具有理想 反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由运动但在匣壁处受 到强烈的反射，越出需无限大能量
2 2
பைடு நூலகம்
2
2
2 ( x)
1 ( x)
[ 2 ( x)]2
E2
m
[ n ( x)]2
X E1 X a 0 a 0 当n时回到了经典情况。 2 2 E En 1 En (2n 1) 2 2ma a E a 10
0 E
X a
10 m 3.76(2n 1)eV 1mm 3.76(2n 1) 1014 eV 16 3.76(2n 1) 10 eV 1m
能量公式： 由式（3）、式（9）
2
2mE n 2 n k 2 ( ) k (9) a a 2 2 2 En ( n ) (14) n 1.2.3 2 2ma
2mE k 2 (3)
2
2 ( n) E n ( x) n sin xe (14) (13) n 1.2.3 2 2ma a a
2
0 a 粒子无法越过势阱故只须考虑 0<x<a区间的波函数： x 0.x a 粒子满足一维定态薛定谔方程： U (x) 0
2m 2 ( E U ) 0
2
U E m
d ( x)
2
其解的形式：
dx
2
k ( x)
2
2mE 0 (4) k 2 (3)
ikx ikx
0 A sin 0 B cos 0(7) 0 A sin ka B cos ka(8)
( x) A sin kx B cos kx(5)' ' '
由(7)式: B=0 由(8)式:
A sin ka 0 n sin ka 0 ka n k (9) a 代入式(5)’’’ n 1.2.3 n ( x) A sin x(10) n 1.2.3 a i Et n 故波函数: ( x ) A sin xe (11) a
波的传播方向为实物粒子的运动方向
二、波函数的统计解释（波恩Born） 代表什么？其物理意义？以电子的单缝衍射说明： 1、电子的单缝衍射：
U 粒子的观点 极大值
波动的观点
较多电子到达 波强度大， 02或 2大 极小值 较少电子到达 波强度小， 02或 2小 2 2 统一地看：粒子出现的几率正比于 0 或 中间值 介于二者之间 波强介于二者之间
h
P const
h p
恒定
X
从波动观点看来：这种波只能是单色平面波
其波函 数为：
常写成 复数：
x E 0Cos 2 ( t ) h h/ p 1 0Cos[ ( Et px)]
0Cos 2 (t
x
)
0 e
i ( Et Px )
2
代入式（5）’’’
( x) Ce De (5)' ( x) A cos( kx )(5)' ' ( x) A sin kx B cos kx(5)' ' ' 由边界条件： 0, U ( 0 ) , ( 0 ) 0 …(6) x x a, U ( a ) , ( a ) 0