精品2019高中物理 第二章 圆周运动 微型专题2 两类竖直面内的圆周运动学案 粤教版必修2

微型专题2 两类竖直面内的圆周运动一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型如图1所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例．图1(1)最低点运动学方程：F T1－mg ＝m v 12L所以F T1＝mg ＋m v 12L(2)最高点运动学方程：F T2＋mg ＝m v 22L所以F T2＝m v 22L－mg(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由F T2＋mg ＝mv 22L可知，当F T2＝0时，v 2最小，最小速度为v 2＝gL . 讨论：当v 2＝gL 时，拉力或压力为零． 当v 2>gL 时，小球受向下的拉力或压力． 当v 2<gL 时，小球不能到达最高点．例1 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图2所示，水的质量m ＝0.5 kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm.(g 取10 m/s 2)图2(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字) (2)若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小． 答案 (1)2.24 m/s (2)4 N解析 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．此时有：mg ＝m v 02l，则所求的最小速率为：v 0＝gl ≈2.24 m/s.(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为F N ，则由牛顿第二定律有：F N ＋mg ＝m v 2l，代入数据可得：F N ＝4 N.由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小：F N ′＝F N ＝4 N. 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型针对训练 (多选)如图3所示，用长为l 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )图3A ．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C ．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为glD ．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 答案 CD解析 小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A 错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则可以使绳子的拉力为零，B 错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，mg ＝mv 2l，v ＝gl ，C 正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，绳子的拉力一定大于小球的重力，故D 正确．二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型如图4所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球在重力和杆(管)的弹力作用下做圆周运动．图4(1)最高点的最小速度由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v ＝0，此时小球受到的支持力F N ＝mg .(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况①v >gL ，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或压力，mg ＋F ＝m v 2L ，所以F ＝m v 2L －mg ，F 随v 增大而增大．②v ＝gL ，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F ＝0，mg ＝m v 2L.③0<v <gL ，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，mg －F ＝m v 2L ，所以F ＝mg －m v 2L，F 随v 的增大而减小．例2 长L ＝0.5 m 的轻杆，其一端连接着一个零件A ，A 的质量m ＝2 kg.现让A 在竖直平面内绕O 点做匀速圆周运动，如图5所示．在A 通过最高点时，求下列两种情况下A 对杆的作用力大小(g ＝10 m/s 2)．图5(1)A 的速率为1 m/s ； (2)A 的速率为4 m/s. 答案 (1)16 N (2)44 N解析 以A 为研究对象，设其受到杆的拉力为F ，则有mg ＋F ＝m v 2L.(1)代入数据v 1＝1 m/s ，可得F ＝m (v 12L －g )＝2×(120.5－10) N ＝－16 N ，即A 受到杆的支持力为16 N ．根据牛顿第三定律可得A 对杆的作用力为压力，大小为16 N.(2)代入数据v 2＝4 m/s ，可得F ′＝m (v 22L －g )＝2×(420.5－10) N ＝44 N ，即A 受到杆的拉力为44 N ．根据牛顿第三定律可得A 对杆的作用力为拉力，大小为44 N.例3 (多选)如图6所示，半径为L 的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P 时的速度为v ，则( )图6A ．v 的最小值为gLB ．v 若增大，球所需的向心力也增大C ．当v 由gL 逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小D ．当v 由gL 逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大 答案 BD解析 由于小球在圆管中运动，在最高点速度可为零，A 错误；根据向心力公式有F ＝m v 2L，v 若增大，球所需的向心力一定增大，B 正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v ＝gL 时，圆管受力为零，故v 由gL 逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C 错误；v 由gL 逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D 正确． 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型1.(轻绳作用下物体的运动)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m ＝0.5 kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图7所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s ，则下列说法正确的是(g ＝10 m/s 2)( )图7A ．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B ．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C ．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D ．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案 B【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型2．(轨道约束下小球的运动)(多选)如图8所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动．圆环半径为R，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是( )图8A．小球对圆环的压力大小等于mgB．重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力C．小球的线速度大小等于gRD．小球的向心加速度大小等于g答案BCD解析因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，满足mg＝m v2R＝ma，即v＝gR，a＝g，选项B、C、D正确．【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型3.(球在管形轨道中的运动)(多选)如图9所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是( )图9A．小球通过最高点时的最小速度是RgB．小球通过最高点时的最小速度为零C．小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力答案BD解析小球通过最高点的最小速度为0，由于圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，即外侧管壁对小球一定有作用力，故B、D正确．【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型4.(轻杆作用下小球的运动)如图10所示，质量为m 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O 做圆周运动．当小球运动到最高点时，瞬时速度为v ＝12Lg ，L 是球心到O 点的距离，则球对杆的作用力是( )图10A.12mg 的拉力 B.12mg 的压力 C ．零 D.32mg 的压力 答案 B解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg ＝m v ′2L，解得：v ′＝gL ，而12gL <gL ，故杆对球是支持力，即mg －F N ＝m v 2L ，解得F N ＝12mg ，由牛顿第三定律，球对杆是压力，大小为12mg ，故选B.【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型一、选择题考点一 轻绳(过山车)模型1．长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v 0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点．则下列说法中正确的是( )A ．小球过最高点时速度为零B ．小球过最高点时速度大小为gLC ．小球开始运动时绳对小球的拉力为m v 02LD ．小球过最高点时绳对小球的拉力为mg 答案 B【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型2.如图1所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R ，人体重力为mg ，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )图1A ．0 B.gR C.2gR D.3gR 答案 C解析 由题意知F ＋mg ＝2mg ＝m v 2R，故速度大小v ＝2gR ，C 正确．【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型3．某飞行员的质量为m ，驾驶飞机在竖直面内以速率v 做匀速圆周运动，圆的半径为R ，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)( ) A ．mgB ．2mgC ．mg ＋mv 2RD.2mv2R答案 B解析 在最高点有：F 1＋mg ＝m v 2R ，解得：F 1＝m v 2R －mg ；在最低点有：F 2－mg ＝m v 2R ，解得：F 2＝mg ＋m v 2R.所以F 2－F 1＝2mg ，B 正确．【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型4．在游乐园乘坐如图2所示的过山车时，质量为m 的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，下列说法正确的是( )图2A ．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去B ．人在最高点时对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mgC ．人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等D ．人在最低点时对座位的压力大于mg 答案 D解析 过山车上人经最高点及最低点时，受力如图，在最高点，由mg ＋F N ＝mv 12R ，可得：F N ＝m (v 12R－g )① 在最低点，由F N ′－mg ＝m v 22R ，可得：F N ′＝m (v 22R＋g )②由支持力(等于压力)表达式分析知：当v 1较大时，在最高点无保险带也不会掉下，且还可能会对座位有压力，大小因v 1而定，所以A 、B 错误．最高点、最低点两处向心力大小不等，向心加速度大小也不等(变速率)，所以C 错误．由②式知最低点F N ′>mg ，根据牛顿第三定律得D 正确． 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“绳”模型 考点二 杆(管)模型5．长度为1 m 的轻杆OA 的A 端有一质量为2 kg 的小球，以O 点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，小球通过最高点时的速度为3 m/s ，g 取10 m/s 2，则此时小球将( )图3A ．受到18 N 的拉力B ．受到38 N 的支持力C ．受到2 N 的拉力D ．受到2 N 的支持力 答案 D解析 设此时轻杆拉力大小为F ，根据向心力公式有F ＋mg ＝m v 2r，代入数值可得F ＝－2 N ，表示小球受到2 N 的支持力，选项D 正确．【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型6．(多选)如图4所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R .现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v 0，则下列说法中正确的是( )图4A ．若v 0＝gR ，则小球对管内壁无压力B ．若v 0>gR ，则小球对管内上壁有压力C ．若0 <v 0<gR ，则小球对管内下壁有压力D ．不论v 0多大，小球对管内下壁都有压力答案 ABC解析 在最高点，只有重力提供向心力时，由mg ＝m v 02R ，解得v 0＝gR ，因此小球对管内壁无压力，选项A 正确．若v 0＞gR ，则有mg ＋F N ＝m v 02R ，由牛顿第三定律知小球对管内上壁有压力，选项B 正确．若0＜v 0＜gR ，则有mg －F N ＝m v 02R，由牛顿第三定律知小球对管内下壁有压力，选项C 正确．综上分析，选项D 错误．【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型7．如图5所示，质量为m 的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R 的匀速圆周运动，已知重力加速度为g ，空气阻力不计，则( )图5A ．若盒子在最高点时，盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为2πR gB ．若盒子以周期πRg做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与O 点位于同一水平面位置时，小球对盒子左侧面的力为4mg C ．若盒子以角速度2gR做匀速圆周运动，则当盒子运动到最高点时，小球对盒子下面的力为3mg D ．盒子从最低点向最高点做匀速圆周运动的过程中，球处于超重状态；当盒子从最高点向最低点做匀速圆周运动的过程中，球处于失重状态 答案 A 解析 由mg ＝m4π2T 2R 可得，盒子运动周期T ＝2πR g ，A 正确．由F N1＝m 4π2T 21R ，T 1＝πRg，得F N1＝4mg ，由牛顿第三定律可知，小球对盒子右侧面的力为4mg ，B 错误．由F N2＋mg ＝m ω2R 得，小球以ω＝2gR做匀速圆周运动时，在最高点小球对盒子上面的力为3mg ，C 错误．盒子由最低点向最高点运动的过程中，小球的加速度先斜向上，后斜向下，故小球先超重后失重，D 错误． 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型8．(多选)如图6甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F ，小球在最高点的速度大小为v ，其F －v 2图象如图乙所示．则( )图6A ．小球的质量为aR bB ．当地的重力加速度大小为R bC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上 D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 答案 ACD解析 当小球受到的弹力F 方向向下时，F ＋mg ＝mv 2R ，解得F ＝m R v 2－mg ，当弹力F 方向向上时，mg －F ＝m v 2R ，解得F ＝mg －m v 2R ，对比F －v 2图象可知，b ＝gR ，a ＝mg ，联立解得g ＝b R ，m ＝aRb，A 正确，B 错误．v 2＝c 时，小球受到的弹力方向向下，则小球对杆的弹力方向向上，C 正确．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等，D 正确． 【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】竖直面内的“杆”模型 二、非选择题9．(杆作用下小球的运动)如图7所示，长为L ＝0.5 m 的轻杆OA 绕O 点在竖直平面内做匀速圆周运动，A 端连着一个质量m ＝2 kg 的小球，g 取10 m/s 2.图7(1)如果小球的速度为3 m/s ，求在最低点时杆对小球的拉力的大小． (2)如果在最高点杆对小球的支持力为4 N ，求杆旋转的角速度． 答案 (1)56 N (2)4 rad/s解析 (1)小球在最低点受力如图甲所示：合力等于向心力：F A －mg ＝m v 2L解得：F A ＝56 N.(2)小球在最高点受力如图乙所示：则：mg －F B ＝m ω2L解得：ω＝4 rad/s.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型10．(绳作用下物体的运动)在杂技节目“水流星”的表演中，碗的质量m 1＝0.1 kg ，内部盛水质量m 2＝0.4 kg ，拉碗的绳子长l ＝0.5 m ，使碗在竖直平面内做圆周运动，如果碗通过最高点的速度v 1＝9 m/s ，通过最低点的速度v 2＝10 m/s ，g ＝10 m/s 2，求碗在最高点时绳的拉力大小及水对碗的压力大小．答案 76 N 60.8 N解析 对水和碗：m ＝m 1＋m 2＝0.5 kg ，F T1＋mg ＝mv 12l ，F T1＝mv 12l －mg ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0.5×810.5－0.5×10N ＝76 N ，以水为研究对象，设最高点碗对水的压力为F 1，则F 1＋m 2g ＝m 2v 12l，解得F 1＝60.8 N ，根据牛顿第三定律可得水对碗的压力F 1′＝F 1＝60.8 N ，方向竖直向上．【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型11．(竖直面运动综合问题)如图8是小型电动打夯机的结构示意图，电动机带动质量为m ＝50 kg 的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O 匀速运动，重锤转动半径为R ＝0.5 m ．电动机连同打夯机底座的质量为M ＝25 kg ，重锤和转轴O 之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度g 取10 m/s 2.求：图8(1)重锤转动的角速度为多大时，才能使重锤通过最高点时打夯机底座刚好离开地面？(2)若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，打夯机对地面的压力为多大？答案 (1)30 rad/s (2)1 500 N解析 (1)当拉力大小等于电动机连同打夯机底座的重力时，才能使打夯机底座刚好离开地面：有：F T ＝Mg 对重锤有：mg ＋F T ＝m ω2R解得：ω＝(M ＋m )g mR＝30 rad/s. (2)在最低点，对重锤有：F T ′－mg ＝m ω2R则：F T′＝Mg＋2mg对打夯机有：F N＝F T′＋Mg＝2(M＋m)g＝1 500 N由牛顿第三定律得F N′＝F N＝1 500 N. 【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】圆周运动中的超重问题。