Lukasiewicz三值命题逻辑在非均匀概率空间下命题的真度理论

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n值lukasiewicz命题逻辑系统中理论的相容度

n值lukasiewicz命题逻辑系统中理论的相容度Lukasiewicz命题逻辑系统的相容度定义了在这些信息系统中表示的概念。

它是一种在基本命题逻辑系统（PCS）中表示知识表示的可能方式。

Lukasiewicz命题逻辑系统中定义的和比较的相容性，涉及定义和比较具有不同程度的不同类型的表示：实例和概念。

PCS背后的思想是，它把概念的表示和实例的表示成为等效的，从而允许在一个系统中定义和比较它们。

PSC提供了一种范式，允许实例和概念在不同的情境中被彼此表达。

它也提供了实际的建议，以理解概念和实例的表示，以及它们之间的关系。

在Lukasiewicz命题逻辑系统中，概念的表达可以通过一定范围内的不同等级来表示。

表示概念的等级可以从单个实例到概念的完备描述，也就是“定义”模型。

另一方面，实例可以通过不同等级的表示来表示，如：命题逻辑中的“实例”模型，这是一种在概念表示中表明当实例属于概念时，它必须满足的条件。

在Lukasiewicz命题逻辑系统中，相容度旨在使概念和实例的表示成为一致的，从而为实现概念的表示提供有用的指导。

Lukasiewicz的概念相容度提供了一种架构，以允许用户在不同的命题逻辑系统中定义和测量概念的深度，以及实例的范围和准确性。

它可以被用来构建系统，这些系统可以使用更有力的能力来对概念和实例进行表示和分析。

Lukasiewicz命题逻辑系统中的相容度有助于确保用户在使用和理解表示层次概念时，有一致的方式来定义和表达它们。

它为使用统一的信息表示提供了坚实的基础，因此，它有助于构建数据的准确性和可靠性。

在面对不断增长的大数据时代，Lukasiewicz命题逻辑系统的相容性可以为大数据分析提供帮助，以抽取和识别有用的模式。

Lukasiewicz三值命题逻辑系统中公式的概率真度理论

ＣｍｕｎｅｎｇａｄＡｐｉｔｎ计算机工程与应用ｏｐ￣ｒＥ￣ｎｅｎｎｐｌａｉｓｃｏBiblioteka ２１，６６００４（）
３７
Ｌｋｓｗｃ三值命题逻辑系统中公式的概率真度理论ｕａｉｉｚｅ
关晓红，刘晓
ＧＵＡＮａ — ｎｇ，ＩＸｉｏｈｏＬＵＸｉｏａ
ＧＵＡＮａ－ｏｇ，Ｕａ．ｅｒｆｐｏａｉｔｒｔｅｒｅｉｋｓｅｃ－ａｕｄｌｇｃｓｓｅＣｏｕｅｇｎｅｉｇＸｉｏｈｎＬＩＸｉｏＴｈｏｙｏｒｂｂｌｙｔｕｈｄｇｅｎＬｕａｉｗｉｚ３ｖｌｅｏｉｙｔｍ．ｍｐｔｒＥｎｉｅｒｎｉ
ｎｓｌｅｏｔｉ［，】ｈｏｃｐｉｓｏｒｂｂｌｙｓｌｔｄｇｅｎｓｕｏｍｔｃｏｗｏｕａｒｄｆｅｙｏｉａｄｐｉｎ０ｌ．ｅｃｎｅｔｎｆｐｏａｉｔｉａｙｅｒｅａｄｐｅｄ — ｅｒｎｔｏｆｒｌａｅｅｎｄｂｏｔｎＴｏｉｍｉｒｉｉｍｓｉ
ｍｅｎｏｈｃｎｅｔｏｒｂｂｌｙｒｔｅｒｅｆｐｏｏｉｏｓＭｏｅｖｒｔｅｐｏａｉｔｏｉｔｃｐｃｉｕｌＩｉｒｖｄａｓｆｔｅｏｃｐｆｐｏａｉｔｔｈｄｇｅｏｒｐｓｔｎ．ｒｏｅ，ｒｂｂｌｙｌｇｃｍｅｒｓａｅｓｉｕｉｈｉｉｂｉ．ｓｐｏｅｔｔｈｔｔｉｐｃａｏｉａｅｏｎ．ｎｉａｒｖｄｏｓｅｆｔａｈｓｓａｅｈｓｎｓｌｔｄｐｉｔｅｔｃｎｐｏｉｅａｐｓｉｌｒｍｅｒｏｐｒｘｍａｅｒａｏｉｇｔｅｒ．ｏｈＴｂａｗｏｋｆｒａｐｏｉｔｅｓｎｎｈｏｙＫｅｒｓｐｏａｉｔａｕｅｐｏａｉｔｒｔｅｒｅｓｌｒｔｅｒｅｐｅｄ — ｔｃｉｏａｅｏｎｙｗｏｄ：ｒｂｂｌｙｍｅｓｒ；ｒｂｂｌｙｔｕｈｄｇｅ；ｉａｉｄｇｅ；ｓｕｏｍｅｒ；ｓｌｔｄｐｉｔｉｉｍｉｙｉ

【国家自然科学基金】_lukasiewicz系统_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730

2008年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词推荐指数真度 2 闭集 1 闭逻辑理论 1 逻辑系统■ 1 逻辑度量空间 1 近似推理 1 相容性 1 相容度 1 相似度 1 条件真度 1 数理逻辑 1 发散度 1 三值lukasiewicz命题逻辑 1
2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
2011年科研热词推荐指数模糊逻辑 2 lukasiewicz系统 2 计量逻辑学 1 紧致性定理 1 积分真度 1 真度 1 满足性定理 1 正则双stone代数 1 概率逻辑学基本定理 1 概率 1 极大相容理论 1 有限理论 1 度量空间 1 公理 1 不可靠度 1 γ -真度 1 γ -伪距离 1 rough集 1 rough逻辑 1 rough蕴涵 1 r0系统 1 lukasiewicz模糊命题逻辑 1 g(o)del系统 1
2013年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
科研热词 lukasiewicz命题逻辑随机逻辑度量空间随机真度随机发散度逻辑等价类计量逻辑学计数问题等价形式真度定义概率计量逻辑推理规则准析(合)取范式 shannon展开式 n值mcnaughton函数 borel型概率真度
科研热词非均匀概率空间逻辑系统nmg 逻辑系统'luk 紧致性等式稠密积分真度真度满足性模糊逻辑模糊赋值极大相容理论强蕴涵算子伪距离不等式 mv-代数 lukasiewicz三角模和三角余模 cantor空间
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

逻辑系统G3在非均匀概率空间下命题的真度理论

学者从不同的角度提出了公式的程度化真确度的方法【３．献【还就格值逻辑的情形基于２］文４］公式的多种不同的被知值概念展开了知识状态的研究文献【，］５６中利用积分方法建立了公式
逻辑系统Ｇ在非均匀概率空间下命题的真度理论３
左卫兵
（华北水利水电学院，数学与信息科学学院，河南郑州４０１）５１０
摘要在离散概率测度空间下定义了三值逻辑ｇｒ测度，ｊ）并相应地定义了命题逻辑系统中公式的真度概
念在值辑（ｉ）度 ÷ ）度证了题辑统Ｇ中体式真值集０］；三逻１测和（．测下明命逻系３全公的度之在【．．．１
（１）Ｐ（）一ｑ，（ｏ）＜）．｛）．｛）一ｒ（ｔ佗一１２…）其中０≤Ｐ ‘ ．＋ｑ ‘ ．ｘ — ｎ：．．：＜１ｐ＋７一１令Ｘ
设为上的关于，２… 的无穷乘积测度，称为三值逻辑（，．）度．ｎ，Ｐｑｒ测
注文献【］ｌ中讨论的三值逻辑测度即为本文的三值逻辑（１测度，故本文是文献【】Ｏ．）１０
的推广．，当ｑ另＝０，三值逻辑（）度即退化为二值逻辑ｐ时弘ｑ测一测度【】１．２
一
设Ｓ＝｛１ｐ．｝，（是由Ｓ生成的（．型自由代数，这里 “一 ”与 “一 ”分别是ｐ，２… ，～一）元与二元运算，称ｓ中的元为原子命题（原子公式）称Ｆ（）中的元为命题（或，Ｓ或公式）．设

【国家自然科学基金】_lukasiewicz命题逻辑_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801

科研热词真度非均匀概率空间逻辑系统nmg 逻辑系统'luk 紧致性等式稠密积分真度满足性模糊逻辑极大相容理论导出函数函数f:{0,1/2,1}n→{0,1/2,1} 充要条件伪距离代数不等式三元三值lukasiewicz 命题逻辑l3* mv代数 mv lukasiewicz命题逻辑 cantor空间
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010辑度量空间真度函数相似度伪距离
推荐指数 1 1 1 1
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2011年科研热词推荐指数计量逻辑学 1 紧致性定理 1 满足性定理 1 概率逻辑学基本定理 1 概率 1 极大相容理论 1 度量空间 1 不可靠度 1 lukasiewicz模糊命题逻辑 1
2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8
科研热词推荐指数概率真度 1 极限定理 1 probability truth degree 1 lukasiewicz命题逻辑 1 lukasiewicz propositional logic 1 limit theorem 1 borel概率测度 1 borel probability measure 1
2008年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词推荐指数真度 2 闭集 1 闭逻辑理论 1 逻辑系统■ 1 逻辑度量空间 1 近似推理 1 相容性 1 相容度 1 相似度 1 条件真度 1 数理逻辑 1 发散度 1 三值lukasiewicz命题逻辑 1
2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

区间值模糊Lukasiewicz蕴涵的研究

区间值模糊Lukasiewicz蕴涵的研究杜浩翠;薛占熬;肖运花【摘要】The Lukasiewicz implication is a common and significant implication.Some operations are defined in the interval-valued fuzzy sets.＜I[0,1],≤＞ is proved bounded,distributive,completed and complemented lattice,and ＜I[0,1],∩,∪,c＞ is derivational algebras system by complemented lattice ＜I[0,1],≤＞.A new Lukasiewicz implication is reconstructed in the interval-valued fuzzy sets,and itsregularities,monotonicities and algebraic properties are discussed.%Lukasiewicz蕴涵是一个常用的重要蕴涵.在区间值模糊集合上给出了交并等几个运算的概念,证明了<I[0,1],≤>是有界格、分配格、完备格和有余格,其中,<I[0,1],∩,∪,c>是有余格<I[0,1],≤>诱导的代数系统.重新构造了一种区间值模糊Lukasiewicz蕴涵,讨论了该蕴涵的正则、单调和代数等重要性质.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2011(047)033【总页数】4页(P149-152)【关键词】区间值模糊集;Lukasiewicz蕴涵;模糊集;有余格【作者】杜浩翠;薛占熬;肖运花【作者单位】河南师范大学计算机与信息技术学院,河南新乡453007;河南师范大学计算机与信息技术学院,河南新乡453007;河南师范大学计算机与信息技术学院,河南新乡453007【正文语种】中文【中图分类】TP181 引言Lukasiewicz逻辑系统是一种较为具体且有用的多值逻辑系统，是人脑处理模糊信息的一种有效的方法，符合人类的思维推理过程，是逻辑学研究的热点[1-5]。

Lukasiewicz区间值命题逻辑的a-真度理论

ｔｅｐｏａｉｔｓａｅｒｅｐｎｅｔｔｅｎｅｖｌａｕｄＯｎｈｓａｉ，ｈｆｉｉｔｒａ— ａｕｄｍｅｓｒｉｅｎｄ，ｎｔｅｈｒｂｂｌｙｐｃａｅｘａｄｄｏｈｉｔｒａ — ｌｅ．ｔｉｌｖｂｓｓｔｅｉｔｎｅｖｌｌｅｎｅｖａｕｅｓｄｆｅａｄｈｉｃｎｅｔｏｈｉｆｉｐｏｕｔｉｉｅｏｈｉｔｒａ — ａｕｄｐｏａｉｔｓａｅＴｅｏｃｐｆｔｅｏｃｐｆｔｅｎｎｔｒｄｃｓｇｖｎｎｔｅｎｅｌｖｌｅｒｂｂｌｙｐｃ．ｈｃｎｅｔｏｈｉｅｖｉ－ｒｔｄｇｅｓｓｎｒ ‘ ｔｕｈｅｒｅｉｉｔｏ
区分公式可靠程度的思想早在１５年就由ＲｓｒＴｒ９２ｏｓ和ｕ．ｅ
概念如Ｆ：
ｑｅｅｕｔ提出。王国俊教授于均匀概率的思想在二值命ｔ］。等基题逻辑中引入公式的真度理论，后来，俊等对Ｌｋｓ — 李ｕａｉｅｗｃｉｚ三值，ｕａｉｗｃ值和Ｇｏｅ值命题逻辑中的真度Ｌｋｓｉｅｚｄｌ理论进行了研究，文献［］而８是在非均匀概率空间下对二值逻
Ｅｍａ：ｕｚａａ＠１３ｏ — ｉｘｅｈｎｏ６．ｍｌｔ
ＸＵＥＺｈａ．ｏ。ＥＩＬｉｐｎＣＥＮｎ，ｔａ．ｅｒｆａｔｕｈｄｇｅｓｉＬｕａｉｗｉｚｉｔｒａ－ａｕｄｐｏｏｉｏａｏ。ｎａＷ－ｉｇ，Ｆｅｇｅ１Ｔｈｏｙｏ－ｒｔｅｒｅｎｋｓｅｃｎｅｖｌｖｌｅｒｐｓｎｌｌｇｉｔ

【国家自然科学基金】_条件真度_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801

2010年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
科研热词蕴涵算子公式的条件真度伴随对三角模算子 d-条件真度逻辑系统g3 近似推理浮游动物
推荐指数 2 2 2 2 2 1 1 1 1 模糊命题系统g(o)del和l* 1 小黄鱼 1 吕泗渔场 1 d-真度 1 d-条件逻辑度量空间 1 d-条件发散度 1 d-条件伪距离 1 d-发散度 1
科研热词真度条件真度马铃薯脆片逻辑系统脂肪质量分数真空油炸真空微波真度推理规则水分质量分数核酮糖1,5-二磷酸羧化酶冷胁迫光抑制光合作用佛手三值逻辑系统 r_0-命题逻辑系统 d-随机真度 d-条件逻辑伪距离 d-条件真度 d-条件相似度
推荐指数 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12
科研热词推荐指数条件真度 2 非正式隐性知识转移 1 非正式知识转移 1 隐性知识转移 1 近似理论 1 近似推理 1 知识转移模型 1 真度 1 相似度 1 数理逻辑 1 信息 1 三值lukasiewicz命题逻辑 1
2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
科研热词推荐指数近似推理 2 高羊茅 1 计量逻辑 1 草坪质量 1 育种 1 综合抗性 1 磁化率 1 真度 1 理论和谐度 1 沉积物 1 条件随机逻辑度量空间 1 条件随机真度 1 条件随机相似度 1 条件真度 1 条件实验 1 有机碳同位素 1 无性系 1 孢粉 1 子一代 1 地球化学 1 古气候 1 华南 1 二叠纪-三叠纪之交 1 sedimentary rock 1 organic carbon isotopes 1 conditional experiments 1

多值Lukasiewicz逻辑公式的范式表示和计数问题

注１：在定义１中并未用到逻辑连接词Ｖ与Ａ，其实它们都可以用－１与来表达．规定：ＡｖＢ与Ａ／＇，Ｂ分别是
—
＿ ÷ 曰与＿１
）的简写．｛Ｏ，１｝是映射，这里，｛０，１）是Ｂｏｏｌｅ代数．若ｖ是（＿，）型同态，即ｖ（ — ）＝一ｖ），ｖ
下面，我们给出Ｓｈａｎｎｏｎ展开式的推广形式．命题２．设．．，ｘ）为ｍ元Ｂｏｏｌｅ函数，约定０＝－－ａＸ．ｋ，１＝Ｘｋ（ｋ＝ｌ，２），则
ｆ（ｘｌ，Ｘ２，Ｘ３， … ，）＝Ｖ｛＾《＾ｆ（ａｔ，２，Ｘ３， … ，）：（ｌ，口２） ∈ ｛０，１））．
出的，所以并不复杂，但其想法是巧妙的．本文首先基于Ｓｈａｎｎｏｎ展开式简练地导出二值逻辑公式的析取范式和合取范式．然后，根据Ｓｈａｎｎｏｎ展开式的思想提出多值逻辑公式的准范式，并最终用于多值逻辑公式的计数问题．
定义６［１２］．设Ａ（ｐ１，．．．） ∈
．
，则分别当Ａ具有形式（Ｑｌｌ＾ …＾Ｑ１）ｖ …ｖ（Ｑｎ＾ …ｈａ）或（ＱｌｌＶ…ｖＱ１）＾ …ｔ
（ＱｌＶ…ｖＱ）时，称Ａ为析取范式或合取范式．这里，Ｑｏ＝ｐｊ或Ｑ旷＝（『＝１，．．．，ｓ；ｉ＝ｌ，．．．，ｆ）．

Lukasiewicz命题逻辑系统中真度的等价定义及相关性质

（）＝
～
∑
（ｘｉ，２， …，。ｍ）ＥＬＷ
（
…，）；
其次，利用真度定义的等价形式简化了连接Ｌｕｋａｓｉｅｗｉｃｚｎ值命题逻辑系统和Ｌｕｋａｓｉｅｗｉｃｚ
连续值命题逻辑系统中真度理论的极限定理和一些重要性质的证明；第三，证明了真度性质：在Ｌｕｋａｓｉｅｗｉｃｚｎ值逻辑系统中，把命题公式中的原子命题与该原子命题的否定互换，公式的真度不变；第四，讨论了真度与推理规则之间的关ｉｅｗｉｃｚ命题逻辑系统中的公式真度理论进行了研究．首先，给出了Ｌｕｋａｓｉｅｗｉｃｚｎ值命题逻辑系统中一个更为直观的真度定义的等价形式；其次，利用真度定义的等价形式简化了连接Ｌｕｋａｓｉｅｗｉｃｚ礼值命题逻辑系统和Ｌｕｋａｓｉｅｗｉｃｚ连续值命题逻辑系统中真度理论的极限定理的证明；第三，得到了真度性质：在Ｌｕｋａｓｉｅｗｉｃｚ逻辑系统中，把命题公式中的原子命题与该原子命题的否定互换，公式的真度不变；第四，讨论了真度与推理规则之间的关系，给出了Ｌｕｋａｓｉｅｗｉｃｚ命题逻辑系统中真度与ＭＰ规则的精确关系式以及关于真度并推理规则的结果．

三值R0命题逻辑系统的条件真度理论

（（）Ｂ一ｎ△一（）一（ｉ）Ｂ＾△一），／）（）（一１１２即得
ｒＡ＾△）ｗＡＡ △－１）１２ＡＡ △ （／）Ｄ（：（１（）＋／￣（１２）一
为（，）的随机数序，６ＦＳ，ｒ（）Ｏ令Ｚ（ △ 一ｐ（Ｏ１中Ａ（）且Ｄ △ ＞，－Ａｌ）ＤＢＡ△一１）１２（（）＋／￣ＢＡ△一１２）Ｄ（（／）一ｒＢＡ△）于是由，，ｒ（ △ 为公式Ａ基于公式 △ 的条件随机ｏＡＩ）真度。
在计量逻辑学中，把逻辑概念程度化人手，出了公从给
式的真度概念ｒＡ）建立了计量逻辑学理论口］由于计（，。量逻辑学中，个原子公式的真度完全相等，就使得，每这如
文献标志码：Ａ
文章编号：０９１３（０１００５—３１０—０３２１）３３６０
定义１３设：Ｓ一Ｉ是映射，．Ｆ（）若满足
（Ａ）一（，（ＶＢ）口Ａ）Ｖ（Ａ）口Ａ一（Ｂ），
０引言
（ — Ａ｝Ｂ）（）｝（）一Ａ — Ｂ
则称７是Ｆ（）ＪＳ的一个赋值映射，ＶＡ∈Ｆ（，Ａ）Ｓ）（叫
果两个公式完全一致，么它们的真度也一定相等。这种做公式Ａ的赋值。Ｆｓ的赋值映射的全体记为ｎ。那（）把每个原子公式的真度等同看待的观点，然与现实世界显

n值 Lukasiewicz 命题逻辑系统中公式的矛盾度理论

本文在n值lukasiewicz命题逻辑系统中运用矛盾度的概念讨论公式矛盾度的部分重要性质给出了lukasiewicz命题逻辑系统中的矛盾度并推理规则并且讨论了矛盾度与推理规则之间的关系为建立和研究一个理论的发散度和相容度提供了另一种途径预备知识定义1p1p2其中rluk为lukasiewicz蕴含算子ln成为型代数称为值lukasiewicz命题逻辑系统ap1p2xm由运算符号x1x2xm连接而成其方式恰如ap1p2pm由连接将原子公式p1p2pm连接而成那样是公式a所诱导的函数在lukasiewiczn值命题逻辑系统中ap1p220141201基金项目国家自然科学基金项目11471007
２
西南师范大学学报（自然科学版）
ｈｔｔｐ：／／ｘｂｂｊｂ．ＳＷＬＩ．ｃｎ
第４０卷
（ｉ）Ａ是重言式当且仅当Ｖ（ｚ１，ｚ２，… ，ｚ）ＥＬ均有（ｚ，２，… ，．２７）一１；（ｉｉ）Ａ是矛盾式当且仅当Ｖ（，，… ，．２７）ＥＬ均有（ｚ，。，… ，ｚ）一０．
第４Ｏ卷第８期
Ｖｏ１．４０Ｎｏ．８
西南师范大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＣｈｉｎａＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
的部分重要性质，给出了Ｌｕｋａｓｉｅｗｉｃｚ命题逻辑系统中的矛盾度并推理规则，并且讨论了矛盾度与推理规则

n值Lukasiewicz命题逻辑中命题的α-矛盾理论

数理逻辑的特点在于符号化和形式化，它的精确的、式化的推理方法是人工智能学科及相关研形究中普遍采用的方法 … 并且在定理的自动证明ｊ、知识推理］、逻辑程序设计等多个领域得到了广泛的应用，而数值计算则远离形式不同的方法，将二者相融合的研究近年受到了广泛的关注，其实，早在２Ｏ世纪５０年代，ｅａａ的系列文章得到了Ｐｖｌｌ
给出了一般矛盾推理规则；并利用命题的０一矛盾ｔ
度进一步定义了命题间的一差异度及伪距离，为建立和研究一个理论厂的发散度与相容度提出了
另一种途径．
（）若对任意 ∈ ，总有（ ≥ ，则称Ａ２Ａ）为上的ｏ一重言式，其全体记为一（．若ｔＬ）
中图分类号：２１０１
收稿日期：０９—１２２０１— ０
文献标识码：Ａ
文章编号：０９— ９０２１）２一０９— ４１０４７（０００Ｏ１０
．
作者简介：张嵩高（９０一）男，１８，河南巩义人，中教二级．
．
张嵩高
（阳东方二中，洛河南洛阳４１０）７０３
摘
要：基于均匀概率空间的无穷乘积，ｎ值Ｌｋｓｗｃ命题逻辑中引入Ｏ一矛盾理论，给出了一般矛盾推理ｕａｉｉｅｚｔ
规则；利用命题的０一矛盾度定义了命题间的一差异度，ｔ进而导出命题集上的一种伪距离．关键词：矛盾度；０一矛盾度；ｔｔ０一差异度；距离伪

Lukasiewicz命题逻辑系统中真度的等价定义及相关性质

Lukasiewicz命题逻辑系统中真度的等价定义及相关性质周建仁;吴洪博【摘要】对Lukasiewicz命题逻辑系统中的公式真度理论进行了研究.首先,给出了Lukasiewiczn值命题逻辑系统中一个更为直观的真度定义的等价形式;其次,利用真度定义的等价形式简化了连接Lukasiewiczn值命题逻辑系统和Lukasiewicz连续值命题逻辑系统中真度理论的极限定理的证明;第三,得到了真度性质:在Lukasiewicz逻辑系统中,把命题公式中的原子命题与该原子命题的否定互换,公式的真度不变;第四,讨论了真度与推理规则之间的关系,给出了Lukasiewicz命题逻辑系统中真度与MP规则的精确关系式以及关于真度并推理规则的结果.%The theory of truth degrees in the Lukasiewicz proposition logic system is investigated in this paper.Firstly,an intuitionistic equivalent form of the definition of truth degrees in the Lukasiewicz n-valued proposition logic system is given; Secondly,the proofs of the limit theorem that connect the theory of truth degrees of Lukasiewicz n-valued proposition logic system and Lukasiewicz continuity-valued is simplified through the equivalent form of definition;Thirdly,it is proved that the truth degree of a formula keeps invariability when an exchange takes place among its atomic formula and the negation; Fourthly,the relationship between inference rules and truth degrees is discussed.A precise equation about MP rule and truth degrees is obtained,and the consequence about the union inference rule of truth degrees is also obtained in Lukasiewicz proposition logic system.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2013(030)004【总页数】11页(P580-590)【关键词】计量逻辑学;Lukasiewicz命题逻辑;真度定义;等价形式;推理规则【作者】周建仁;吴洪博【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,西安710062;陕西师范大学数学与信息科学学院,西安710062【正文语种】中文【中图分类】O141.11 引言数理逻辑的特点在于符号化和形式化，它以精确的、形式化的推理方法为显著特征，这种方法与数值计算有明显的不同．随着人工智能的发展和模糊推理的研究，形式推理与数值计算相融合的方法近年来受到了广泛的关注．20世纪70年代，Pavelka在系列文章[1]中用“指派真值”来反映逻辑公式真实度的做法就反映了数理逻辑概念的程度化思想，其中几乎所有的概念都已数值化了．这种方法一方面为经典命题逻辑的推广，但另一方面又是逻辑推理的代数演算．21世纪初王国俊教授首先提出了赋值格为[0,1]的模糊命题逻辑公式的积分真度理论[2]，接着又在经典二值命题逻辑和n值命题逻辑中引进了公式真度理论[3,4]，得到了联系n值命题逻辑公式的真度和赋值格为[0,1]的模糊命题逻辑公式的积分真度的极限定理[4]．在多值逻辑系统公式真度概念的基础上，提出了公式间的相似度与伪距离的概念，逻辑理论的发散度与相容度概念，研究了逻辑度量空间的基本性质，建立了形式推理与数值计算相融合的计量逻辑学[5,6]，给出了几种近似推理模式，成为模糊命题逻辑系统中近似推理的有力工具．近年来，国内一部分学者在这个方向做了进一步研究，得到了相应的一系列结论[7-14]．本文对命题逻辑系统中的公式真度理论进行了再研究．首先，给出了一个更为直观的真度定义的等价形式：在L ukasiewiczn值命题逻辑系统中，设A=A(p1,p2,···,pm)∈F(S)含有m个原子公式p1,p2,···,pm，(x1,x2,···,xm)是公式A 所诱导的函数，则有其次，利用真度定义的等价形式简化了连接 Lukasiewiczn值命题逻辑系统和Lukasiewicz连续值命题逻辑系统中真度理论的极限定理和一些重要性质的证明；第三，证明了真度性质：在 Lukasiewiczn值逻辑系统中，把命题公式中的原子命题与该原子命题的否定互换，公式的真度不变；第四，讨论了真度与推理规则之间的关系．特别地，给出了 Lukasiewicz命题逻辑系统中真度与MP规则的精确关系式以及关于真度推理规则的结果：若τ(A→C)≥α,τ(B→C)≥β，则τ(A∨B→C)≥α+β−1．2 预备知识首先记定义2.1[2,15]设S={p1,p2,···},¬,∨,→分别是S上的一元、二元和二元运算，F(S)是由S生成的(¬,∨,→)型自由代数，则称F(S)中的元为命题公式或公式，称S中的元为原子公式．定义2.2[2,15] 设A=A(p1,p2,···,pm)∈F(S)，则A对应一个m元函数A．在L ukasiewiczn值逻辑系统中，A:Lmn→ Ln；在L ukasiewicz连续值逻辑系统中，A:[0,1]m→ [0,1]．这里A(x1,x2,···,xm)是由运算符号¬,∨,→把x1,x2,···,xm连接而成，其方式恰如A=A(p1,p2,···,pm)由连接词¬,∨,→将原子公式p1,p2,···,pm连接而成那样．称A是公式A所诱导的函数．定义2.3[15](真度的原始定义形式) 设A=A(p1,p2,···,pm)∈F(S)是含有m个原子公式p1,p2,···,pm的命题公式，A(x1,x2,···,xm)是公式A所诱导的函数．在L ukasiewiczn值命题逻辑系统中，令其中|E|表示集合E中元素的个数，称τn(A)为公式A的真度．定义2.4[2,15] 设A=A(p1,p2,···,pm)∈F(S)是含有m个原子公式p1,p2,···,pm的命题公式，A(x1,x2,···,xm)是公式A所诱导的函数．在L ukasiewicz连续值命题逻辑系统中，令称τ∞(A)为公式A的真度．3 公式真度定义的等价形式定理3.1(真度的等价定义形式) 在L ukasiewiczn值命题逻辑系统中，设A=A(p1,p2,···,pm)∈ F(S)是含有m个原子公式p1,p2,···,pm的命题公式，A(x1,x2,···,xm)是公式A所诱导的函数，则有证明结合定义2.3知，只需证明设其中i∈ {0,1,···,n − 1}，那么，当i/=j时，Ei∩ Ej= ∅，且由于，对任意的i∈ {0,1,···,n−1}，有所以从而即所以结合真度的原始定义2.3，得4 极限定理及证明极限定理是计量逻辑学中的一个重要定理．极限定理将有限值逻辑系统中的公式真度和连续值逻辑系统中的公式真度有机地联系为一体，完美的体现了真度理论的和谐性． Lukasiewiczn值逻辑系统中的极限定理在文献[4]中通过构造阶梯函数的方法给予了证明，本文中我们通过真度的等价定义形式给出其简化证明．定理4.1[4,15]在Lukasiewiczn值逻辑系统中和Lukasiewicz连续值逻辑系统中，设A=A(p1,p2,···,pm)∈F(S)是含有m个原子公式p1,p2,···,pm的命题公式，则证明 n等分区间[0,1]得到n个小区间则立方体[0,1]m被分成nm个体积为的小立方体．当i=0,···,n−2时，∈)，当i=n−1时，∈ [,1]，所以每个点(x1,x2,···,xm)∈ 属于且仅属于一个小立方体．在L ukasiewicz连续值逻辑系统中公式A所诱导的函数A(x1,x2,···,xm)是连续的，因而在[0,1]m上是黎曼可积的，应用定积分的定义得5 真度相关性质及证明命题5.1[15] 在L ukasiewiczn值命题逻辑系统中，设A,B∈F(S)，则：(i) A为重言式当且仅当τn(A)=1；A为矛盾式当且仅当τn(A)=0;(ii) 若A≈B，则τn(A)=τn(B);(iii) τn(A∨B)=τn(A)+τn(B)−τn(A∧B);(iv) τn(¬A)=1 − τn(A);(v) 若|=A→B，则τn(A)≤ τn(B).证明 (i) A为重言式，当且仅当对任意的(x1,x2,···,xm)∈,A(x1,x2,···,xm)=1，当且仅当同样可证A为矛盾式，当且仅当τn(A)=0．(ii) 在L ukasiewiczn值命题逻辑系统中，设A∈F(S),pi∈S，则A∧(pi→pi)≈A，因此当A≈B时，不妨设A,B含有相同的原子公式p1,p2,···,pm．由于A≈B，当且仅当A=B，所以根据定理3.1知，τn(A)=τn(B)．(iii) 根据(ii)，不妨设A,B含有相同的原子公式p1,p2,···,pm．在 Lukasiewiczn值命题逻辑系统中，由于对任意的a,b∈Ln,a∨b=a+b−(a∧b)，所以即因此结合真度定义的等价形式，得(iv) 在 Lukasiewiczn值命题逻辑系统中，对任意的(x1,x2,···,xm)∈，则因此再结合真度定义的等价形式，得(v) 根据(ii)，不妨设A,B含有相同的原子公式p1,p2,···,pm．由于|=A →B，因此，对任意的(x1,x2,···,xm)∈ ,()(x1,x2,···,xm)=1，即对任意的(x1,x2,···,xm)∈ ,(→)(x1,x2,···,xm)=1．因此，对任意的(x1,x2,···,xm)∈A(x1,x2,···,xm)≤(x1,x2,···,xm)．结合真度定义的等价形式，得命题5.2 在L ukasiewiczn值逻辑系统中，设s∈ Z+−{1},A1,A2,···,As∈F(S)，则证明对s用数学归纳法证明．当s=2时，根据命题5.1(iii)知结论成立．假设那么根据数学归纳原理知结论对于s∈Z+−{1}成立．命题5.3 在Lukasiewiczn值逻辑系统中，把命题公式中的原子命题换成它的否定，公式的真度不变．证明设A=A(p1,p2,···,pm)∈ F(S)是含有m个原子公式p1,p2,···,pm的命题公式．把A中的原子命题pi换成¬pi，公式A变成公式B，即因此，对任意的(x1,···,xi−1,1 − xi,xi+1,···,xm)∈ ，则令映射ϕ:→，满足由于Ln中的元素关于对称，因此ϕ:→为一一对应的映射．所以因此根据真度定义的等价形式，得由此进一步可得，把公式A中所含原子公式p1,p2,···,pm的部分公式分别换成它的否定，公式A的真度不变．推论5.1 在 Lukasiewiczn值逻辑系统中，把命题公式中的原子命题与该原子命题的否定互换，公式的真度不变．证明在 Lukasiewiczn值逻辑系统中，对任意的A∈F(S),A≈¬¬A．特别地，对原子命题pi,pi≈¬¬pi．根据命题5.3和命题5.1(ii)知推论成立．6 推理规则与真度的关系定理6.1 在 Lukasiewiczn值命题逻辑系统中，设A,B∈F(S)，则证明根据命题5.1(ii)，不妨设A,B含有相同的原子公式p1,p2,···,pm．因为对任意的a,b∈Ln,a→b=(a∧b)−a+1．所以对任意的(x1,x2,···,xm)∈Lmn，则因此两边同除以nm，根据定理3.1，得推论6.1(真度MP规则) 在 Lukasiewiczn值命题逻辑系统中，设A,B∈F(S)．1) τn(A → B)+τn(A)≤ τn(B)+1.2) 若τn(A)≥α,τn(A→B)≥β，则τn(B)≥α+β−1.证明 1) 在 Lukasiewiczn值命题逻辑系统中，|=A∧B→ B，由命题5.1(v)，得τn(B)≥τn(A∧B)，再结合定理6.1，得2) 由1)，得定理6.2 在 Lukasiewiczn值命题逻辑系统中，设A,B,C∈F(S)，则证明首先，根据推论6.1，得其次，在 Lukasiewiczn值命题逻辑系统中，|=(B→C)→((A→B)→(A→C))，根据命题5.1(v)，得综合以上两方面得推论6.2(真度HS规则) 在 Lukasiewiczn值命题逻辑系统中，设A,B,C∈F(S)．若τn(A→B)≥α,τn(B →C)≥β，则τn(A→C)≥α+β−1.证明由定理6.2直接可得．定理6.3 在 Lukasiewiczn值命题逻辑系统中，设A,B,C∈F(S)，则证明在 Lukasiewiczn值命题逻辑系统中，A→(B∧C)≈(A→B)∧(A→C)，根据命题5.1(ii)，得再结合命题4.1(iii)，得推论6.3(真度交推理规则) 在 Lukasiewiczn值命题逻辑系统中，设A,B,C∈F(S)．若τn(A→B)≥α,τn(A→C)≥β，则τn(A→B∧C)≥α+β−1.证明在 Lukasiewiczn值命题逻辑系统中，τn((A→ B)∨(A → C))≤ 1．再若τn(A→B)≥α,τn(A→C)≥β，结合定理6.3，得定理6.4 在 Lukasiewiczn值命题逻辑系统中，设A,B,C∈F(S)，则证明在 Lukasiewiczn值命题逻辑系统中，(A∨B)→C≈(A→C)∧(B→C)，根据命题5.1(ii)，得再结合命题5.1(iii)，得推论6.4[14](真度并推理规则) 在 Lukasiewiczn值命题逻辑系统中，设A,B,C∈F(S)．若τn(A→C)≥α,τn(B →C)≥β，则τn((A∨B)→C)≥α+β−1.证明在 Lukasiewiczn值命题逻辑系统中，τn((A → C)∨(B → C))≤ 1．再若τn(A→C)≥α,τn(B →C)≥β，结合定理6.4，得注：根据极限定理4.1，在 Lukasiewicz连续值命题逻辑系统中可得到与命题5.1至命题5.3，以及定理6.1至定理6.4，推论6.1至推论6.4类似的结论．参考文献：[1]Pavelka J.On fuzzy logic:I,II,III[J].Zeitschr f Math Logik u Grundlagen d Math,1979,25(27-29):45-52,119-134,447-464[2]王国俊.非经典数理逻辑与近似推理[M].北京：科学出版社，2000 Wang G J.Theory of Non-classical Mathematical logic and Approximate Reasoning[M].Beijing:Science Press,2000[3]王国俊，傅丽，宋建社.二值命题逻辑中的真度理论[J].中国科学(A辑)，2001,31(11):830-837 Wang G J,Fu L,Song J S.Theory of truth degree in two-valued propositional logic[J].Science in China(Series A),2001,31(11):830-837[4]王国俊，李壁镜. Lukasiewiczn值命题逻辑中公式的真度理论和极限定理[J].中国科学(E辑)，2005,35(6):561-569 Wang G J,Li B J.Theory of truth degree of proposition in Lukasiewicz n-valued propositional logic and limit theorem[J].Science in China(Series E),2005,35(6):561-569[5]王国俊.计量逻辑学(I)[J].工程数学学报，2006,23(2):191-215 Wang GJ.Quantitative logic(I)[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2006,23(2):191-215[6]Wang G J,Zhou H J.Quantitative logic[J].InformationSciences,2009,179(3):226-247[7]李骏，黎锁平，夏亚锋. Lukasiewiczn值命题逻辑中命题的真度理论[J].数学学报，2004,47(4):769-780 Li J,Li S P,Xia Y F.Theory of truth degree of proposition in Lukasiewicz n-valued propositional logic[J].Acta Mathematica Sinica,2004,47(4):769-780[8]李骏，王国俊.n值 Lukasiewicz命题逻辑中命题的α-真度理论[J].计算机工程与应用，2006,31:16-18 Li J,Wang G J.Theory of α-truth degrees in n-valued Lukasiewicz propositional logic[J].Computer Engineering and Applications,2006,31:16-18[9]李骏，王国俊.逻辑系统Ln中的命题真度理论[J].中国科学(E辑)，2006,36(6):631-643 Li J,Wang G J.Truth degrees theory of formulas in logic system Ln[J].Science in China(Series E),2006,36(6):631-643[10]韩邦合，李永明.计量逻辑学中的近似推理[J].模糊系统与数学，2010,24(5):1-7 Han B H,Li Y M.Approximate reasoning in quantitative logic[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2010,24(5):1-7[11]刘华文，王国俊，张诚一.几种逻辑系统中的近似推理[J].山东大学学报(理学版)，2007,42(7):77-86 Liu H W,Wang G J,Zhang C Y.Approximate reasoning in several logic systems[J].Journal of Shangdong University(Natrural Science Edition),2007,42(7):77-86[12]王国俊，周红军.MV代数的度量化研究及其在 Lucasiewicz命题逻辑中的应用[J].数学学报，2009,52(3):501-513 Wang G J,Zhou H J.Metrization on MV-algebra and application in Lukasiewicz propositional logic[J].Acta Mathematica Sinica,2009,52(3):501-513[13]吴洪博.命题逻辑系统L∗n中公式关于有限理论的∑Γ-真度理论[J].模糊系统与数学，2008,22(4):1-7 Wu H B.The the ory of∑Γ-fuzzy truth degree relent to f i nite theory in propositional logic system L∗n[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2008,22(4):1-7[14]吴洪博，陈景林.L∗系统的半对偶形式系统SL∗[J].陕西师范大学学报(自然科学版)，2001,29(4):4-8 Wu H B,Chen J L.Semidual formal deductive system SL∗ for the system L∗∗[J].Journal of Shaanxi Normal University(Natrural Science Edition),2001,29(4):4-8[15]王国俊.数理逻辑引论与归结原理[M].北京：科学出版社，2006 Wang GJ.Introduction to Mathmatical Logic and ResolutionPrinciple[M].Beijing:Science Press,2006。

Lukasiewicz逻辑值上下文无关语言的代数刻画

Lukasiewicz逻辑值上下文无关语言的代数刻画韩召伟;韩召莹【摘要】提出了基于Lukasiewicz逻辑的下推自动机(l-VPDA)的概念,从代数角度研究了此类自动机的性质,同时建立此类自动机的代数刻画,即利用模糊状态构造,证明了任意以终状态方式接受模糊语言的l-VPDA与状态转移为经典函数且具有l值模糊终状态的l-VPDA间的相互等价性;并证明任意以空栈方式接受模糊语言的f.VPDA与状态转移除一步转移为模糊的以外,其余都是经典函数的l-VPDA是相互等价的;详细研究了l-值模糊上下文无关语言的代数和层次刻画,以及对于正则运算的封闭性.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2011(047)003【总页数】5页(P47-50,119)【关键词】Lukasiewicz逻辑;l值下推自动机;l值模糊上下文无关语言;代数刻画【作者】韩召伟;韩召莹【作者单位】陕西师范大学,数学与信息科学学院,西安,710062;陕西师范大学,计算机科学学院,西安,710062;西安石油大学,理学院,西安,710065【正文语种】中文【中图分类】TP301.1;O153.1形式语言在计算机理论科学研究中占有重要的地位，经典的形式语言是一种精确定义的语言，对于描述机器语言起到了重要作用[1-3]。

但在处理自然语言尤其是人类使用的语言时，形式语言对于人类使用语言的模糊性的描述能力明显不够。

为此，1965年，Zadeh L A[4-5]等人提出了模糊语言的概念；1969年，Wee W G利用模糊集的方法研究自动机理论[6-7]。

模糊自动机为计算理论提供了一种研究和处理包含模糊性自然语言的有力工具，关于模糊自动机和模糊语言的研究已有很多[8-13]。

文献[10]开始了模糊自动机的代数研究，随后Asveld P R J[11，14-16]等人详细地研究了模糊自动机的代数性质。

下推自动机和上下文无关文法作为计算理论中两类重要的数学模型，不仅是计算机科学的理论基础，为现代计算理论提供可靠的形式理论，而且与神经网络、数学模型等领域密切相关，在汇编语言、编译语言、算法设计、硬件设计、模型检测和人工智能等方面有重要的应用[1-3]。

命题公式的随机真度与推理规则

命题公式的随机真度与推理规则李修清【摘要】Using the randomization method of valuation set, the concept of randomized truth degree of formulas is intro-duced into n-valued Lukasiewicz propositional logic system. It gives a randomized truth degree’s calculation formula, and researchs its properties. The MP rule, HS rule and meet inference rules of randomized truth degree are proved.%在n值Lukasiewicz命题逻辑系统中，引入命题随机真度的概念，给出了随机真度的一个计算公式，研究了命题随机真度的若干性质。

证明了命题逻辑的分离规则、三段论规则以及交推理规则在n值Lukasiewicz命题逻辑系统中成立。

【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2015(000)019【总页数】5页(P66-70)【关键词】命题逻辑;随机真度;推理规则【作者】李修清【作者单位】桂林航天工业学院理学部，广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】O141.11 引言如何将数值计算的思想融入到数理逻辑中来，使以符号化为特点的数理逻辑和以数值求解以及误差估计为特点的数值计算联系起来，从而扩大数理逻辑研究和应用范围，是国内外许多学者长期探讨的课题。

早在20世纪50 年代，Rosser 和Turquette 提出了用“指派真值”来反映逻辑公式和逻辑推理的真确度的方法，20 世纪70 年代以来将概率论方法引入数理逻辑的思想已逐步兴起，目前已有“概率逻辑学”专著出版[1]。

90 年代以来数理逻辑程度化的研究得到了进一步的发展，取得了许多成果，王国俊教授基于均匀概率思想首先提出了命题逻辑系统中公式的真度概念和逻辑度量空间理论，形成了计量逻辑学[2-6]，它是将数理逻辑与数值计算联系起来的一个新的研究分支，使命题逻辑系统的程度化思想得以实现，但同时也存在随机性不足的缺点。

三值Lukasiewicz逻辑系统L3中命题的条件真度

三值Lukasiewicz逻辑系统L3中命题的条件真度
胡江山
【期刊名称】《重庆文理学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(028)001
【摘要】基于条件概率的思想,在三值Lukasiewicz逻辑系统中引入了条件真度的概念,并讨论了所定义的条件真度的性质及相应的推理规则.
【总页数】3页(P32-34)
【作者】胡江山
【作者单位】潍坊学院,数学与信息科学学院,山东,潍坊,261061;山东大学,数学学院,山东,济南,250100
【正文语种】中文
【中图分类】O141.1
【相关文献】
1.三值Lukasiewicz逻辑系统L<sub>3</sub>中命题的条件真度 [J], 胡江山;;
2.几个三值命题逻辑系统中命题的条件真度 [J], 隋云云
3.Lukasiewicz n值命题逻辑系统中公式的一般真度和形式推演结论的不可靠度估计 [J], 张家录;吴霞
4.n值Lukasiewicz命题逻辑系统中公式的绝对真度理论 [J], 李骏;李建生;周艳
5.三值Lukasiewicz逻辑中命题的条件真度理论 [J], 郭秀敏;高荣荣;王国俊
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近年来中古逻辑史方面若干研究结果的简述

作者：吴允会
出版物刊名：哲学研究
页码： 137-142页
主题词：数理逻辑;逻辑史;命题演算;中世纪;多值逻辑;德摩根;三值逻辑;命题组合;逻辑理论;
逻辑学家
摘要： <正> 一近年来波兰数理逻辑学者卢卡西维奇(Lukasiewicz)以及其他一些人在欧洲中古逻辑史方面整理出一些有趣的结果。

他们发现六世纪时波底乌斯(Boethius)的逻辑著作中包含着与现代数理逻辑中的命题演算类似的理论。

十二世纪至十五世纪时,这种关于命题组合的逻辑理论又曾得到发展。

数理逻辑中的若干结果实际上已经为中世纪的逻辑学家所发现。

例如所谓“德摩根法则”在中世纪的逻辑书中即可以找到。

又如多值逻辑的概念原来以为是卢卡西维奇在1920年创始的,但近年发现,中世纪时奥坎(Ockham)即已提出过三值逻辑的概念。