九 几何

半年备考公务员五十讲之九——问君能有“几何”愁
几何题是公务员考试当中不可避免的类型。

我们周围的世界充满了形形色色的图形、立体，这些都与几何相关。

在公务员考试数量关系中，几何题的比重基本上维持在20%左右。

在地方考试当中，几何题的比重甚至会高于50%。

2004年浙江省公务员考试，15道数学运算题中，有8道题涉及几何问题。

在公务员考试中的几何仅涉及“欧几里得几何”，简称“欧式几何”。

因此我们从小学开始学习的与几何相关的定理、定律都可以直接使用，不需要进行更改。

特别强调的是，欧几里得几何与其余非欧氏几何的差别根源在于对于“平行公理”的不同观点。

几何问题说到底无非注重两方面，一方面是图形的位置、形状；另一方面是图形的数量关系，比如边长、面积等。

涉及的主要图形有圆、三角、方形等，这些属于平面图形；圆柱、圆锥、立方体等，这些属于立体图形。

下面通过一些例题来跟各位考生归纳一下近年公务员考试中出现的几何中需要了解的基本知识点。

例题1：（2003年浙江省公务员考试第24题）
如图，PA、PB与圆相切于A和B。

C是圆上的一点，若∠P＝80°则∠ACB＝（）
A.45°
B.50°
C.55°
D.60°
【答案】：B。

【新东方名师詹凯解析】：这道题涉及的几何知识较为偏僻，需要用到以下两条定律。

圆的圆周角是同弧对应的圆心角的一半。

四边形的内角和为360度。

如图，连接AB圆弧对应的圆心角，形成∠AOB。

在四边形AOBP中，四个内角的和为360度，其中∠OAP与∠OBP均为直角90度，而∠P＝80度是已知条件，由此可知，∠AOB＝100度。

又由于所求∠ACB是圆心角∠AOB对应的圆周角，因此它的值为圆心角∠AOB的一半，即50度。

例题2：（2002年国家公务员考试B类第12题）
三角形的内角和为180度，问六边形的内角和是多少度（）
A.720度
B.600度
C.480度
D.360度
【答案】：A。

【新东方名师詹凯解析】：在初中几何中，曾经学过“任意多边形的内角和公式”
对于任意n边形，其内角和为（n－2）×180度；对于任意n边形，其外角和为360度。

根据n边形内角和公式，可以直接求出其内角和为4×180＝720度。

例题3：（2002年国家公务员考试B类第7题）
把一个边长为4厘米的正方形铁丝框制成两个等周长的圆形铁丝框，铁丝的总长不变，则每个圆铁丝框的面积为（）平方厘米
A.16π
B.8π
C.
D.
【答案】：D。

【新东方名师詹凯解析】：边长为4厘米的正方形铁丝框，其周长为16厘米，因此制成的两个等周长的圆形铁丝框的周长均为8厘米。

圆的周长公式为：D=2πr
圆的面积公式为：S=πr2
由以上两个公式可以求出，这两个圆的半径均为厘米，将该半径值带入圆的面积公式当中可以求得这两个圆的面积均为平方厘米。

例题4：（2004年山东省公务员考试第10题）；（2008年国家公务员考试第49题）
用同样长的铁丝围成三角形、圆形、正方形、菱形、其中面积最大的是（）
A.正方形
B.菱形 C三角形 D圆形
【答案】：D。

相同表面积的四面体、六面体、正十二面体、正二十面体中，体积最大的是（）
A.四面体
B.六面体
C.正十二面体
D.正二十面体
【答案】：D。

【新东方名师詹凯解析】：本题需要用到几何基本定理。

在所有等周长的平面图形当中，越接近圆的图形，其面积越大；与之等效的说法是，在所有等面积的平面图形当中，越接近圆的图形，其周长越小。

在所有等表面积的立体当中，越接近球的立体，其体积越大；与之等效的说法是，在所有等体积的立体当中，越接近球的立体，其表面积越小。

例题5：（2005年北京市社会在职人员公务员考试第23题）
用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后垂到井水面，绳子超过井台9米，把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米，绳长为（）米
A.12
B.29
C.36
D.42
【答案】：D。

【新东方名师詹凯解析】：本题需要区分“折三折”与“对折三次”两种折绳方式。

为了解决这类问题，笔者在此对于两种折绳方式进行比较。

所谓“折n折”是指，折完绳子之后共有n段，每段绳长为原先绳长的。

所谓“对折n次”是指，折完绳子之后共有2n段，每段绳长为原先绳长的。

另外此题在求解时需要注意，虽然题目叙述条件是“用一根绳子测井台到井水面的深度”，但是最后的问题是求绳子的长度。

这是这类问题最常用的陷阱问题。

绳子折三折之后绳长变为全长的1/3 ；对折之后变为全长的 1/2。

假设绳长为L，根据题意可得
解得，L＝42米。

例题6：（2004年上海市公务员考试第20题）
三条边均为正整数，且最长边为11的三角形有（）个
A.21
B.23
C.25
D.36
【答案】：D。

【新东方名师詹凯解析】：遇到这类问题，在考场上最佳的解决办法就是“枚举法”。

关于“枚举法”的概念和方法，在“专题一计算题，类型（十）整除性质”中已有详细介绍，此处不再赘述。

而本题还需要利用一条三角形的最基本定理。

三角形任意两边长度之和大于第三边的长度，任意两边长度之差的绝对值小于第三边的长度。

如果三角形有一条边长为1，那么除去最长为11的边，另一条边只能长11，这样才符合题目“最长边为11”这个条件。

有一条边长为1的三角形只有1个。

如果有一条边长为2，那么除去最长为11的边，另一条边长可以为11或者10。

有一条边长为2的三角形有2个。

如果有一条边长为3，那么除去最长为11的边，另一条边长可以为11、10、9。

有一条边长为3的三角形有3个。

如果有一条边长为4，那么除去最长为11的边，另一条边长可以为11、10、9、8。

有一条边长为4的三角形有4个。

如果有一条边长为5，那么除去最长为11的边，另一条边长可以为11、10、9、8、7。

有一条边长为5的三角形有5个。

如果有一条边长为6，那么除去最长为11的边，另一条边长可以为11、10、9、8、7、6。

有一条边长为6的三角形有6个。

从边长为7开始，就不能这样计算了。

因为边长为6、7、11的三角形与边长为7、6、11的三角形是同一个三角形，所以我们只需要计算另一条边长不小于7的三角形的个数。

如果有一条边长为7，那么除去最长为11的边，另一条边长可以为7、8、9、10、11。

有一条边长为7的三角形有5个。

这样的三角形与之前的三角形不会重复。

如果有一条边长为8，那么除去最长为11的边，另一条边长可以为8、9、10、11。

有一条边长为7的三角形有4个。

如果有一条边长为9，那么除去最长为11的边，另一条边长可以为9、10、11。

有一条边长为7的三角形有3个。

如果有一条边长为10，那么除去最长为11的边，另一条边长可以为10、11。

有一条边长为7的三角形有2个。

需要注意的是，三条边都为11的正三角形还没有计算在内，因此也应当计算上1个这样的正三角形。

将上述三角形的个数加起来，恰好为36个。

例题7：（2006年浙江省公务员考试第44题）
从平面a外一点P引与a相交的直线，使得P点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数一定不可能是（）
A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条
【答案】：C。

【新东方名师詹凯解析】：这道题的难度比较大。

它考察的是考生立体几何的基本内容，同时题目的问法比较特殊，所问的是“不可能是”，这样给考生造成了一定的困难。

需要借助空间立体图形来说明问题。

在解本题之前，需要明确一项基本定理——
从空间一点到某平面的最短距离是由该点引向该平面的垂直距离。

以下将利用图示来说明A、B、D三种可能性。

（1）若该点到平面的距离大于1，根据定理，此时从P发出的任何一条直线与平面a 的交点到P的距离都会大于1，因此不存在符合条件的直线。

A选项可能。

（2）若该点到平面的距离恰好等于1，根据定理，有且仅有一条由P发出的直线与平面a的交点到P的距离为1，这条直线恰好是由P发出的垂至于平面a的直线。

B选项可能。

（3）若该点到平面的距离小于1，根据定理，由P发出的垂至于平面a的直线与a的交点到P的距离小于1，因此凡是由P发出的与平面a的交点在一适当圆上的所有直线与a 的交点（这些交点恰好组成这个圆）到P的距离都为1，这时符合条件的直线就有无数多条。

D选项可能。

例题8：（2003年国家公务员考试B类第15题）
一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为20厘米、8厘米和2厘米，现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来，要求从纸上剪下的部分不得用作贴补，请问这张纸的大小可能是下列哪一个（）
A.长25厘米、宽17厘米
B.长26厘米、宽14厘米
C.长24厘米、宽21厘米
D.长24厘米、宽14厘米
【答案】：C。

【新东方名师詹凯解析】：初看这道题感觉非常困难，因为题目中要求“从纸上剪下的部分不得用作贴补”，使得考生不得不从剪切策略入手来考虑，如果这样做就恰恰陷入了这道题所布置的陷阱里面。

因为从最简单的方面来考虑，要使得这张纸能完全包裹这个长方体的六个面，需要满足的条件至少是这张纸的面积不小于长方体的表面积。

长方体的表面积公式为：S=2（ab+bc+ca）
长方体的体积公式为：V=abc
其中，a、b、c分别为该长方体三条边的长度。

该长方体形状的盒子的表面积为
2×[（20×8）＋（20×2）＋（8×2）]＝432平方厘米
题目四个选项所给出的四张纸的面积依次为
25×17＝425平方厘米
26×14＝364平方厘米
24×21＝504平方厘米
24×14＝336平方厘米
可见，只有C选项中的长24厘米，宽21厘米这张纸的面积不小于长方体的表面积，只有用它进行裁减，才可能完全包裹该长方体形状的盒子。

例题9：（2003年国家公务员考试B类第12题）
一家冷饮店，过去用圆柱形的纸杯子装汽水，每杯卖2元钱，一天能卖100杯。

现在改用同样底面积和高度的圆锥形纸杯子装，每杯只卖1元钱。

如果该店每天卖汽水的总量不变，那么现在每天的销售额是过去的多少（）
A.50％
B.100％
C.150％
D.200％
【答案】：C。

【新东方名师詹凯解析】：本题考查的是同底同高的圆柱与圆锥的体积关系。

底面积相同、高相同的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。

以前每天的冷饮销售额是2×100＝200元。

改为圆锥形杯子之后，每天要卖出的冷饮总体积不变，那么杯数就变为以前的3倍，即现在每天卖出冷饮300杯。

因此现在的每天的销售额为1×300＝300元。

因此现在每天的销售额是过去的300/200＝150％。

以上通过九道例题，向各位考生展示了近年公务员考试当中会运用到的基本几何定理，其中一些内容反复考察过。

这些基本定理其实在中学学习当中曾经遇见过，但是已经有近十年的时间没有“摸”过，因此略显生疏。

几何在生活中不断展现在面前，希望各位考生平时能够在不经意间随时想起各种各样的几何基本定理以及关系式，逐渐对以前学过的知识熟悉起来，利用“零散”时间来进行备考。