圆锥曲线中的最值与定值问题

圆锥曲线中的最值与定值问题参考答案 一、 定义法

有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。

【例1】 已知抛物线x y 42

= ，定点A(3,1)，F 是抛物线的焦点 ，在抛物线上求一点 P ，使

|AP|+|PF|取最小值 ，并求出最小值

【解析】由点A 引准线的垂线，垂足Q ，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,

即为最小值.由⎩⎨⎧==1

42y x

y ，得P(41, 1)为所求的P 点.

若另取一点P ' ， 显然.|||||||||||PQ AP Q P P A F P P A +>''+'='+'

【跟踪训练】已知抛物线x y 22

=的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点）（2,3A . （1）求||||PF PA +的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标；

（2）求点P 到点）（1,2

1

-B 的距离与点P 到直线21-=x 的距离之和的最小值.

【解析】（1）易知点A 在抛物线内部，设抛物线上的点P 到其准线l 的距离为d ，由定义知，

d PA PF PA +=+||||||，当l PA ⊥时，d PA +||最小，最小值为2

7

)21

(3=--. 此时点P 的纵坐标为2，将其代入x y 22=，的2=x ，∴点P 的坐标为（2， 2）.

（2）由于点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，所以当且仅当B 、P 、F 三点共线时， 所求距离之和最小，据两点间距离公式得，最小值为2||=BF .

【例2】已知F 是椭圆45952

2

=+y x 的左焦点，P 是此椭圆上的一动点，）（1,1A 是一 定点. 求||2

3

||PF PA +

的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标. 【解析】易求得椭圆的离心率32=

e ，点A 在椭圆内部，由椭圆的第二定义，知||2

3

PF 恰为点P 到其准线的距离，过P 向其准线作垂线，垂足为Q ，当且仅当A 、P 、Q 共线时，

2

11129||||||23||=+=+=+PQ PA PF PA ，此时P （55

6-，1）. 【跟踪训练】已知）（3,2

11

A 为一定点，F 为双曲线127922=-y x 的右焦点，M 在双曲线右

支上移动，当||2

1

||MF AM +最小时，求M 点的坐标.

⋅ ⋅

⋅ )0,1

(F

⋅ ⋅ ）（1,3A

⋅

O

P Q

x

y

【解析】过M 作MP ⊥准线l 于点P ，则由第二定义知，

2|||

|==e MP MF ，∴||||2

1MP MF =，

∴||||||21||MP AM MF AM +=+≥| AP|，当且仅当A 、M 、P 三点共线时，||21||MF AM +最

小，此时点M 的坐标为（3,32）.

二、数形结合法

将圆锥曲线问题转化为平面几何问题，再利用平面几何知识，如对称点、三角形三边关系、平行间距离等求解

【例3】在直线l ：04=-+y x 上任取一点M ，经过点M 且以椭

圆

112

162

2=+y x 的焦点21F F 、为焦点作椭圆，问点M 在何处时，所作椭圆长轴最短，并求此椭圆方程.

【解析】设'1F 是1F 关于l 对称点 ， 可求出'1F 坐标 ，过21F F '

的直线方程与x-y+9=0联立得交点M 为所求。

解 ：由椭圆方程112

1622=+y x ，得)03()03(21，、，F F -， 设'1F 是1F 关于l 的对称点 ， 可求出'1F 坐标为(-9,6) ， 过21F F '

的直线方程:x+2y-3=0与x-y+9=0联立，得交点M(-5,4)， 即

过

M

的椭圆长轴最短。由 ,得

，

,

,

所求椭圆方程为136

452

2=+y x .

【跟踪训练】若B （x ，y )满足y y x （1422

=+≥0），求4

3--x y 的最大值、最小值. 【解析】设过点P （4， 3）的直线方程为3)4(+-=x k y ，即4

3

--=

x y k .数形结合， 由⎩⎨

⎧=+-+=.

44432

2y x k kx y 消去y 得04)43(4)43(8)41(2

22=--+-++k x k k x k ，由0=∆，得331-

=PB k ，又23=PA k ，∴4

3

--x y 的最大值为23，最小值为331-.

三、二次函数法

将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求解

【例4】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23

=

e ，已知点P （2

30，）到 这个椭圆上点的最远距离为7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P 的距离为7 的点的坐标.

【解析】设椭圆方程为12222=+b y a x （00>>b a ，），23==a c e ，22

43a c =. 由

2

2

2

c b a +=得b a 2=，故椭圆方程是1422

22=+b

y b x （0>b ），设),(y x M 是椭圆上任点，

则2

2

2

44y b x -=，∴4

9

3349344)2

3

(||2222222+--=+

-+-=-+=y y y y y b y x PM 22243)2

1(34b y b +++-=+，∵b -≤y ≤b （讨论21与],[b b -间的关系），若21

>b ，

则当21-=y 时，743||2

max =+=b PM ，所以1=b . 当2

10<

7)23(||2max =+=b PM . ∴723=+b . ∴2

37-=b 与21

∴所求椭圆方程为1422=+y x . ∵7||max =PM 时，2

1

-=y ，∴3±=x . 所以椭圆上

到P 点的距离为7的点有两个，坐标为（3，21-

），（3-，2

1

-）. 【跟踪训练】 过动直线p y x =+2与定直线a y x =-2的交点（其中]3,0(a p ∈）的等轴 双曲线系λ=-2

2

y x 中 ， 当p 为何值时，λ达到最大值与最小值？

【解析】由⎩⎨

⎧=+=-.

2,2p y x a y x , 得交点,)52,52(a

p a p Q -+，交点Q 坐标代入双曲线,

=-=2

2

y x λ]3

25)34(3[251)52()52(2

222a a p a p a p +--=--+，]3,0(a p ∈.

当34a p =

时，2max 3

1a =λ，又p <0≤a 3，∴p a <-34≤35a ，∴|34|a

p -≤

35a ； 当a p 3=时，0m in =λ.

四、参数法

利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。

【例5】、椭圆122

22=+b

y a x 的切线与两坐标轴分别交于B A 、两点 ， 求OAB ∆的最小面