一类时滞Logistic方程周期正解的存在性

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一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性

第61卷第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023011一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性张敏,周文学,黎文博(兰州交通大学数理学院,兰州730070)摘要:用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理研究一致分数阶时滞微分方程边值问题D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0解的存在性与唯一性.在非线性项满足增长性条件和L i p s c h i t z 条件下,分别得到了该边值问题解的存在性与唯一性结果,并举例说明所得结果的适用性.关键词:一致分数阶导数;时滞;边值问题;L e r a y -S c h a u d e r 度理论;B a n a c h 压缩映射原理中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-1007-07E x i s t e n c e a n dU n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s f o rB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m s o fC o n f o r m a b l eF r ac t i o n a lD e l a y D i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s Z H A N G M i n ,Z HO U W e n x u e ,L IW e n b o(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g L e r a y -S c h a u d e rd e g r e et h e o r y a n d B a n a c h c o n t r a c t i o n m a p p i n g p r i n c i p l e ,w e s t u d i e dt h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o fs o l u t i o n sf o r b o u n d a r y va l u e p r ob l e m s o fc o n f o r m a b l e f r a c t i o n a lde l a y d if f e r e n t i a l e qu a t i o n s D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=0ìîíïïïï,w h e n t h en o n l i n e a r t e r ms a t i s f i e d t h e g r o w t hc o n d i t i o na n d t h eL i ps c h i t z c o n d i t i o n ,w eo b t a i n e d t h e r e s u l t s o f e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f s o l u t i o n f o r t h eb o u n d a r y v a l u e p r o b l e mr e s p e c t i v e l y ,a n d g a v e a ne x a m p l e t o i l l u s t r a t e t h e a p p l i c a b i l i t y of t h e o b t a i n e d r e s u l t s .K e y w o r d s :c o n f o r m a b l e f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ;d e l a y ;b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ;L e r a y -S c h a u d e r d e g r e e t h e o r y ;B a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i pl e 收稿日期:2023-01-04. 网络首发日期:2023-07-13.第一作者简介:张敏(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事分数阶微分方程的研究,E -m a i l :m z h a n g 20222022@126.c o m.通信作者简介:周文学(1976 ),男,汉族,博士,教授,从事非线性分析问题的研究,E -m a i l :w x z h o u 2006@126.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11961039;11801243)和兰州交通大学校青年科学基金(批准号:2017012).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s 2/d e t a i l /22.1340.o .20230713.1056.001.h t m l .Copyright ©博看网. All Rights Reserved.0 引言分数阶微分方程的边值问题是分数阶微分系统理论的重要课题.目前,对分数阶微分方程边值问题的研究已取得了丰富成果,其中最主要的是基于R i e m a n n -L i o u v i l l e 和C a p u t o 分数阶导数的定义[1-9].但这两种导数均不满足经典链式法则,并且这两种导数的某些性质使得分数阶导数的应用很困难.因此,K h a l i l 等[10]提出了一种新的分数阶导数和分数阶积分的定义,称为一致分数阶导数和积分.这种新的分数阶导数的定义可满足经典的分数阶导数不能满足的一些性质,如乘积法则㊁商法则㊁链式法则㊁罗尔定理和中值定理等,并且其在生物物理学㊁电容理论㊁控制理论和实验数据拟合等领域应用广泛[11-13].但对带有时滞的分数阶微分方程边值问题的研究目前报道较少[14-16].Y a n g 等[17]利用S c h a e f e r 不动点定理和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题cD α0+u (t )=f (t ,u (t ),u ᶄ(t )),u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)={正解的存在性,其中0<t <1,1<αɤ2,f :[0,1]ˑ[0,+ɕ)ˑℝң[0,+ɕ)是连续函数,c D α0+是α阶C a p u t o 分数阶导数.X u [18]利用B a n a c h 压缩映射原理㊁L e r a y -S c h a u d e r 度理论和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类分数阶微分方程边值问题cD q x (t )=f (t ,x (t )), t ɪ[0,1],x (1)=μʏ1x (s )d s , x ᶄ(0)+x ᶄ(1)={解的存在唯一性,其中1<q <2,f :[0,1]ˑX ңX 是连续函数,c D q 是q 阶C a p u t o 分数阶导数.基于上述研究,本文利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理考虑如下一类一致分数阶时滞微分方程边值问题:D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0(1)解的存在性与唯一性,其中1<βɤ2,τ>0,f :[0,1]ˑℝңℝ是连续函数,D β0+是阶数为β的一致分数阶导数.1 预备知识定义1[10] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶导数定义为D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε, t >0,(2)其中β是大于等于β的最小整数.式(2)右端极限存在,此时称函数f 是β阶可微的.特别地,当βɪ(1,2]时,D βf (t )=l i m εң0f ᶄ(t +εt 2-β)-f ᶄ(t )ε, t >0.(3) 注1 如果函数f 在(0,b )(b >0)上是β阶可微的,并且l i m t ң0+D βf (t )存在,则D βf (0)=l i m t ң0+D βf (t).注2 由一致分数阶导数定义可知,当β=1时,一致分数阶导数定义即为传统的一阶导数定义.引理1[10] 当βɪ(n ,n +1]并且f 在t >0处n +1阶可微时,有D βf (t )=t β⌉-βf(β⌉)(t ).(4) 证明:令k =εt β⌉-β,则ε=t β-β⌉k ,因此由定义1可得D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε=l i m k ң0t β⌉-βf (β⌉-1)(t +k )-f (β⌉-1)(t )k=t β⌉-βf (β⌉)(t ). 定义2[19]假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶积分定义为8001 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.I βf (t )=1n!ʏt 0(t -s )n s β-n -1f (s )d s .(5)特别地,当βɪ(1,2]时,I βf (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s )d s .引理2[19] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ连续,并且βɪ(n ,n +1],则有D βI βf (t )=f (t ).(6) 引理3[19]假设f :[0,ɕ)ңℝ是β阶可微函数,并且βɪ(n ,n +1],则有I βD βf (t )=f (t )+a 0+a 1t + +a nt n ,(7)其中a i ɪℝ,i =0,1,2, ,n .引理4 设函数f :[0,1]ˑℝңℝ是连续的,u (t )是边值问题(1)的解,则u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],(8)其中格林函数G (t ,s)为G (t ,s )=(1-s )(2-t )sβ-2,0ɤs ɤt ɤ1,(1-t )(2-s )sβ-2,0ɤt ɤs ɤ1{.(9) 证明:由引理3知,有u (t )=I β0+f (t ,u (t -τ))-a 0-a 1t =ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 0-a 1t ,(10)从而u ᶄ(t )=ʏts β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 1.根据u (0)+u ᶄ(0)=0,有a 0+a 1=0;(11)根据u (1)+u ᶄ(1)=0,有a 0+2a 1-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =0.(12)结合式(11),(12)可得a 0=-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s , a 1=ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s .(13)将式(13)代入式(10)可得u (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -t ʏ1(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏt 0(1-s )(2-t )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ1t(1-t )(2-s )sβ-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s . 引理5(A r z e l a -A s c o l i 定理)[20] 集合P ⊂C ([a ,b ])列紧的充分必要条件为:1)集合P 有界,即存在常数ψ,使得对∀u ɪP ,有u (t )ɤψ(∀t ɪ[a ,b ]);2)集合P 等度连续,即对∀ε>0,始终存在σ=σ(ε)>0,使得对于∀t 1,t 2ɪ[a ,b ],只要t 1-t 2<σ,即有u (t 1)-u (t 2)<ε(∀u ɪP ).2 主要结果设A 为C ([-τ,1],ℝ)按范数 u =m a x t ɪ[-τ,1]u (t )构成的B a n a c h 空间,在A 上定义一个算子Q ,Q u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0]{. 假设条件:(H 1)函数f ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),并且φɪC ([-τ,0],ℝ);9001 第5期张敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(H 2)存在常数α,B >0,使得∀(t ,u )ɪ[0,1]ˑℝ,有f (t ,u )ɤαu +B ;(H 3)存在函数η(t )ɪL 1/2([0,1],ℝ+),使得∀t ɪ[0,1],当任取u ,v ɪℝ时,有f (t ,u )-f (t ,v )ɤη(t )u -v ,其中 η =ʏ10η2(s )d ()s 1/2.为方便,引入记号:Λ1=β+2β(β-1),Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3),Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3),32<βɤ2.定理1 如果条件(H 1)和(H 2)成立,并且αɪ(0,Λ-11),则边值问题(1)至少存在一个解.证明:由函数G (t ,s ),f (s ,u (s -τ))的连续性可知算子Q 是连续的,并且易证Q (A )⊂A .设P 是A 中的一个有界集,则存在常数M >0,使得对任意的u ɪP ,有 u ɤM .下面利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明边值问题(1)正解的存在性,分以下3个步骤.1)证明算子Q (P )是一致有界的.对任意的u ɪP ,有Q u (t)=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t ,s )d s ɤ(αM +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt(t -s )s β-2d []s =(αM +B )β+1β(β-1)(1-t )+1β(β-1)㊃t éëêêùûúúβɤ(αM +B )β+1β(β-1)+1β(β-1éëêêùûúú)=(αM +B )Λ1,因此,算子Q (P )是一致有界的.2)证明算子Q (P )是等度连续的.对任意的u ɪP ,t 1,t 2ɪ[-τ,1]且t 1<t 2:①当0ɤt 1<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)=ʏ10G (t 2,s )f (s ,u (s -τ))d s -ʏ1G (t 1,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s ɤ (αM +B )ʏt 10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏt 2t 1G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏ1t 2G (t 2,s )-G (t 1,s )d []s = (αM +B )ʏt 10{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+[(t 2-s )s β-2-(t 1-s )s β-2]}d s + (αM +B )ʏt 2t 1{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+(t 2-s )s β-2}d s + (αM +B )ʏ1t 2[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]d s =(αM +B )ʏt 10(t 1-t 2)(2-s )s β-2d s +ʏt 10(t 2-t 1)s β-2d s +ʏt 2t 1(t 1-t 2)(2-s )s β-2d [s + ʏt 2t 1(t 2-s )s β-2d s +ʏ1t 2(t 1-t 2)(2-s )s β-2d ]s ɤ(αM +B )(t β2-t β1)-(β+1)(t 2-t 1)β(β-1); ②当-τɤt 1<t 2ɤ0时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤφ(t 2)-φ(t 1);③当-τɤt 1<0<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤQ u (t 2)-Q u (0)+Q u (0)-Q u (t 1)ɤʏ10G (t 2,s )-G (0,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )ʏ10G (t 2,s )d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ0101 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(αM +B )t β2β(β-1)+φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )t β2-t β1β(β-1)+φ(0)-φ(t 1). 在上面3种情形中,当t 1ңt 2时,总有Q u (t 2)-Q u (t 1)ң0,表明Q (P )是等度连续的.故由引理5可知,Q (P )是列紧的,从而算子Q :A ңA 是全连续的.3)利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明问题(1)正解的存在性.定义范数 φ [-τ,0]=m a x t ɪ[-τ,0]φ(s ).假设当γɪ[0,1],u ɪA 时,u =γQ u ,则u (t )=γQ u (t )ɤQ u (t)ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤʏ10G (t ,s )(αu +B )d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(αu +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt 0(t -s )s β-2d []s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(α u +B )Λ1,t ɪ[0,1], φ [-τ,0],t ɪ[-τ,0{],从而 u ɤB Λ11-αΛ1 φìîíïïïɤT .令ω=T +1,B ω={u ɪA : u <ω},则u ʂγQ u ,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].定义一个映射:F γ(u )=u -γQ u ,则F γ(u )=u -γQ u ʂ0,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].因此,由L e r a y -S c h a u d e r 度的同伦不变性,有d e g (F γ,B ω,θ)=d e g (I -γQ ,B ω,θ)=d e g (F 1,B ω,θ)=d e g (F 0,B ω,θ)=d e g (I ,B ω,θ)=1ʂθ.从而根据L e r a y -S c h a u d e r 度的可解性可知,方程F 1(u )=u -Q u =0在B ω上至少存在一个解,进而边值问题(1)至少有一个正解.证毕.定理2 如果条件(H 1)和(H 3)成立,并且 η (Λ2+Λ3)<1,则边值问题(1)存在唯一解.证明:假设s u p t ɪ[0,1]f (t ,0)=ζ<ɕ.定义B δ={u ɪA : u ɤδ}为A 中的有界闭球,并选择δȡζΛ11- η (Λ2+Λ3).下面利用B a n a c h 压缩映射原理证明边值问题(1)解的存在唯一性,分以下两个步骤.1)证明Q (B δ)⊂B δ.对任意的u ɪB δ,有Q u (t)ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s ɤʏt 0(t -s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s ɤ u ʏt(t -s )s β-2η(s )d s +ζʏt(t -s )s β-2d s +u (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s +ζʏ10(1-t )(2-s )s β-2d s ɤ u ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+ζβ(β-1)t β+ u (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d []s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤ1101 第5期张敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η t β-1/2+ζβ(β-1)t β+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η (1-t )+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤδ η (Λ2+Λ3)+ζΛ1,则 Q u ɤδ.表明算子Q 将B δ中的有界子集映为B δ中的有界子集,即Q (B δ)⊂B δ.2)证明算子Q 为压缩映射.对任意的u ,v ɪA :①当t ɪ[0,1]时,有Q u (t )-Qv (t )ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s ɤ u -v ʏt(t -s )s β-2η(s )d s + u -v (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s ɤu -v ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+u -v (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2ɤ1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ ηt β-1/2+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ η (1-t )ɤ η (Λ2+Λ3) u -v ; ②当t ɪ[-τ,0]时,有Q u (t )-Q v (t )=φ(t )-φ(t )=0.由①,②可得Q u -Q v [-τ,1]ɤ η (Λ2+Λ3) u -v [-τ,1]. 因为 η (Λ2+Λ3)<1,所以算子Q 为压缩映射.即由B a n a c h 压缩映射原理可知算子Q 存在唯一的不动点,故边值问题(1)存在唯一解.3 应用实例考虑下列一致分数阶时滞微分方程边值问题:D 7/40+u (t )=e -3t s i n 1/2t 5(2+t )2㊃u (t -τ)1+u (t -τ), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0,u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïïïï0(14)解的存在性与唯一性.证明:在边值问题(14)中,β=74,函数f (t ,u (t ))=e -3t s i n 1/2t 5(2+t)2㊃u 1+u 是连续的,满足条件(H 1);对任意的u ,v ɪℝ,t ɪ[0,1],有f (t ,u (t -τ))-f (t ,v (t -τ))ɤe -3t s i n 1/2t 5(2+t )2u -v ɤe -3t s i n 1/2t ㊃u -v .所以存在η(t )=e -3t s i n 1/2t ɪL 1/2([0,1],ℝ+),满足条件(H 3),且 η =0.1667.又因为Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ1.0328, Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ2.3944.所以 η (Λ2+Λ3)ʈ0.5713<1.因此根据定理2可知,边值问题(14)存在唯一解.2101 吉林大学学报(理学版)第61卷Copyright ©博看网. 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一类高维时滞微分方程正周期解的存在性

．
Ｋｙｗｏｄｅｒｓ：ｈｇｅ— ｉｎｉｎ；ｐｓｔｅｐｒｄｃｓｌｔｎ；ＬｒｙＳｈｕｅｈｒａｉｅｐｉｃｐｅｅａｉｈｒｄｍｅｓｏｏｉｖｅｉｉｏｕｉｉｏｏｅａ —ｃａｄｒａｅｎｔｒｎｉｌ；ｄｌｙｖ
记］实数集，为非负实数集．考虑如下ｎ维时滞微分方程Ｒ为Ｒ＋
Ｘ（）＝Ａ（）（）＋（，（一７ｔ）ｔｔＸ￡，￡Ｘ解的存在性，其中
Ａ（）：ｄａ（ｌｔ，２ｔ，，，ｔ）ｔｉｇａ（）ａ（） … ａ（）
是对角矩阵函数，对任意的ｉ，，，，ａ∈Ｃ：，；对任意的ｔ：１２ … ｎ（Ｒ）且 ∈Ｒ，有都
ａ（＋Ｔ＝ａ（）ｔ）ｔ；
∈ＣＲ，）对任意的ｔ（， ∈曼，有都
ｒｔ）＝ｒｔ；（＋Ｔ（）
ｆｔＸ）（， ∈Ｃ（Ｒ×Ｒ，Ｒ）对任意的ｔ， ∈Ｒ，Ｘ∈Ｒ，有ｆｔ都（，，ｔ，））＝（＋ＴＸ．文献［］１应用锥不动点定理研究了标量方程
Ａｂｔａｔｓｒｃ：ＵｓｎｈｒｙＳｃａｄｒｎｎｉａｌｅｎｔｅｔｅａｔｏｒｖｄｔｅｅｉｔｎｅｏｏｉｖｅｉｄｉｉｇｔｅＬｅａ — ｈｕｅｏｌｎｅｒａｔｒａｉｖｈｕｈｒｐｏｅｈｘｓｅｃｆｐｓｔｅｐｒｏｃｉ
ｇ∈ＣＲ＋Ｒ＋，对任意的 ∈］＋均有０＜ｚ（ ≤Ｌ＜∞ ；（，）且Ｒ，ｕ ≤ｇ）／∈ＣＲ＋Ｒ＋；任意的＞０均有（，）对，

应用数学毕业论文选题题目

应用数学毕业论文选题题目应用数学，是利用数学方法解决实际问题的一门学科，在经济金融、工程科技等领域都有应用。

如何对应用数学专业的论文进行选题呢?下面小编给大家带来应用数学毕业论文选题题目推荐，希望能帮助到大家!最新应用数学论文题目1、当前高中数学教学中应用数学史知识的调查研究2、应用数学模型评价Ⅱ类错(牙合)功能矫治后软硬组织的改变3、高师院校数学与应用数学专业学生数学文化素养的现状调查与分析4、高师院校数学与应用数学专业学生数学认识信念的调查分析5、职业学校数学教师关于教学中应用数学史的调查研究6、高校高等数学教学培养学生数学应用能力的研究和实践7、浅谈线性变换的对角化问题8、中美高中数学教材的数学应用水平的比较研究9、高中物理教学培养学生应用数学能力的方法与实践10、地方高师职前教师教育课程体系的构建11、应用数学力学方法研究沥青路面结构特性12、高师生数学认识信念的调查研究13、注重问题发现培养学生学习数学和应用数学的能力14、应用数学模型研究宁夏围栏内甘草的分布格局和土壤水分对甘草生长发育的影响15、培养中专生应用数学意识的研究16、数学史在数学概念教学中的应用研究17、高等应用数学系列教程出版项目的进度管理研究18、数学建模思想在小学数学教学中的应用研究19、拉曼光谱的数学解析及其在定量分析中的应用20、数学形态学及其应用21、数学形态学在信号处理方面的应用研究22、波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用23、高中数学应用翻转课堂的实践研究24、中职数学教学中“学案导学”模式的应用研究25、初中数学教学中数学史应用开发研究26、基于MATLAB的数学实验系统的实现及应用27、信息技术在小学数学课堂教学中的应用研究28、数学形态学图象处理算法应用研究29、“学案导学”模式在中学数学教学中的应用研究30、波浪与建筑物作用的数学模型研究与应用31、模糊数学在膝关节骨性关节炎诊断和疗效评价中的应用32、非线性数学期望下的随机微分方程及其应用33、思维导图在小学六年级数学教学中的应用研究34、极限与极限思想在中学数学中的应用35、高中数学概念图教学的应用研究36、电子书包在小学数学学科教学中的应用研究37、《数学的发现》中的思想在中学数学教学的应用研究38、数形结合方法在高中数学教学中的应用39、高中数学教学中培养学生数学应用意识的实验研究40、高等数学方法在中学数学中的应用研究41、数学中的研究性学习42、经济问题中的概率统计模型及应用43、中学数学中的化归方法44、高斯分布的启示45、a2+b2≧2ab的变形推广及应用46、网络优化 7、泰勒公式及其应用47、浅谈中学数学中的反证法 9、数学选择题的利和弊48、浅谈计算机辅助数学教学 11、论研究性学习49、浅谈发展数学思维的学习方法50、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法51、数学教学中课堂提问的误区与对策52、中学数学教学中的创造性思维的培养53、浅谈数学教学中的“问题情境”54、市场经济中的蛛网模型55、中学数学教学设计前期分析的研究数学与应用数学专业毕业论文题目1、初中生利用数学解决实际问题的教学研究2、初中生应用题“懂而不会”现象的原因分析与对策研究3、高中物理教学培养学生应用数学能力的方法与实践4、数学与数学文化对人类文明发展的作用5、数学史在高中数列教学中的应用探究6、高中生数学应用意识与应用能力培养7、数学思想对高中解析几何学习影响的研究8、高职院校工科学生数学应用意识及其培养研究9、高中数学教学渗透物理知识现状的调查研究10、应用数学模型评价Ⅱ类错(牙合)功能矫治后软硬组织的改变11、初中数学应用意识和能力的研究12、新课标数学中考的发展趋势13、培养中职生数学应用意识的教学对策研究14、高中数学应用题教学的调查和研究15、高师院校数学与应用数学专业学生数学文化素养的现状调查与分析16、高师院校数学与应用数学专业学生数学认识信念的调查分析17、数学史在中职数学教学中的应用研究18、职业学校数学教师关于教学中应用数学史的调查研究19、初中数学教学中数学史应用开发研究20、数理经济学史研究21、高中数学课程价值取向研究22、科学个案研究与中国科学观的发展23、审计判断研究24、数学建模的认知机制及其教学策略研究25、钱伟长治学理念及教育思想初探26、力学期刊群的内外关系与学科结构27、高师院校数学教师多元化、分层次培养方案设计与研究28、数学实验的历史考察与理论研究29、日本中小学数学综合学习研究30、高中开展数学建模活动的实验研究31、新课程标准视野下的数学建模研究32、中等职业学校数学应用教学模式研究33、培养中专生应用数学意识的研究34、新课程在初中数学教学实施中的几点体会35、将数学建模融入高中日常教学的实践研究36、基于“三环节”模式的教学设计研究37、培养初中生数学应用能力的教学研究38、师范生的培养研究39、中美高中数学教材的数学应用水平的比较研究40、数学史在高中数学课堂教学中的应用研究高等数学论文题目1、将数学建模的思想融入高等数学的教学2、初等数学与高等数学教学衔接问题的研究3、高等数学自主学习的问题与对策研究4、高等数学分层教学方法的实践研究5、信息技术与高等数学课程整合的实践研究6、高校高等数学教学培养学生数学应用能力的研究和实践7、《高等数学》网络课程设计与开发8、数学史在高等数学教学中渗透的研究9、高等数学视角下的中学数学教学研究10、对话理念下的高等数学教师课堂提问11、高职机电类专业高等数学课程改革与实践12、高等数学方法在中学数学中的应用研究13、高等职业技术学院学生《高等数学》满意度研究14、高职院校高等数学课程教学改革的研究15、基于云计算技术的《高等数学》网络教学设计16、基于“翻转课堂”的文科高等数学教学设计研究17、高职院校高等数学课程内容的调查研究18、高职教育高等数学课程教学内容与教学方法改革的研究19、高等数学探究式教学模式及其评价分析20、高等数学“研究性教学”的研究21、周期函数的判定22、阶的估计与应用23、一致连续的判定与应用24、N-L公式的推广与应用25、对称函数的条件极值26、多元函数极值的一阶微分判别法及多元函数最值的极限形式27、非线性时滞Josephson方程的概周期解28、一类二阶非线性系统概周期解29、一类含有概周期强迫项的二阶非线性系统的概周期解30、一类广义时滞Logistic方程的全局吸引性31、一类方程概周期解和有界解的存在性32、一类脉冲系统的周期解33、利用数列的上下极限来计算数列的极限34、Cauchy中值定理的反问题35、微分中值定理中间点的性质36、递推数列上界的判定方法37、曲线积分中间点性质38、开区间内有不可导点的Dabox定理39、最短路径与改进型Dijkstra算法?40、映射一致连续性的判别方法?41、函数高阶微分的表达式42、映射的性质与可积性的关系43、函数列一致收敛性的判定方法44、可数集合的判定方法45、映射对聚点的影响46、谈《几何画板》在几何教学中的作用47、数学CAI课件制作和使用48、反例在数学论证中的应用49、线性方程组解的再讨论50、二元域上对合矩阵的性质51、二次整环中因子分解的讨论52、形式幂级数半环的同余与同态53、具有相同正解的线性方程组的讨论54、矩阵方程的正解、半正解55、陪同矩阵的性质及其应用56、线性递推数列线性空间及其应用57、广义正交变换与广义对称变换的性质58、初等变换与向量组的极大无关组59、Cramer法则的应用60、杨辉三角中的行列式的性质及计算。

时滞微分方程解的存在性

时滞微分方程解的存在性时滞方程更能反映真实的自然现象，关于Banach 空间中具有整数阶物质导数的时滞微分方程解的存在性的研究已有了不少，包括积分方程最优控制，边值问题，方法也都类似，但对于分数阶导数的方程的研究不多。

可能是因为分数阶导数问题还没有被应用到更广泛的领域，或者是因为分数阶导数较整数阶研究更为困难。

一般研究微分方程是在实数空间内，为了使结果更具一般性，下面本文研究抽象空间中一般分数阶物质导数的方程解的存在性，从而得到一般性的结论。

为后文的工作做理论准备。

现有的研究分数阶导数的微分方程解的存在性的文章不多，事先查得的的一篇文章是研究整数阶的有时滞项的微分方程的解的存在性的。

由于分数阶导数和整数阶导数的性质有很大差异，研究整数阶导数方程的方法不能照搬到分数阶导数方程上，所以我们研究时加上了一条限制条件，即方程右端的非线性项的范数小于一个常数加上一个常数和解函数范数的乘积，之后用了皮卡迭代方法，得到一个函数序列，然后用数学归纳法证明此序列一致有界且等度连续，然后结合相关文献，就证明了上面得到的函数序列有弱收敛子列，最后证明弱收敛子列的极限函数就是方程的解。

从而证明了该方程解的存在性。

具体过程如下：令E 为Banach 空间,E*为其对偶空间并且E 0 =C([−h,0],E),上面的范数分别为:，* 和 0E ，0[,0]max ()t h E t ϕϕ∈-=，同时, 00(,){:},X X B y r y X y y r =∈-≤其中，X E =或0E ，(), 表示E 和E*中的元素的内积。

考虑如下Banach 空间分数阶微分方程的初值问题：00()(,),0,01,(2.0.1)t D u t f t u t u E ααψ⎧=≥<<⎪⎨=∈⎪⎩其中D α是Caputo 分数阶导数。

f:[0,+∞)×E 0→E 。

同时对于任意u ∈C([−h,0],E)函数0,0,t u E t ∈≥定义为成u t (s)=u(t+s),s ∈[−h,0]。

几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告

几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告时滞微分方程（Delay Differential Equations，DDE）是一种具有时滞项的微分方程，其解的振动性和正解存在性是研究时滞微分方程的重要问题之一。

本文将介绍几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的研究情况。

1. 时滞线性微分方程时滞线性微分方程是一种常见的时滞微分方程形式。

对于具有时滞项的线性微分方程，可以通过矩阵指数函数的方法得到其正解存在性，并进一步确定其解的振动性。

研究表明，当时滞项小于一定值时，时滞线性微分方程的解为渐近稳定的；当时滞项在一定范围内时，时滞线性微分方程的解会出现振荡；当时滞项超过一定值时，时滞线性微分方程的解将变得不稳定。

2. Michaelis-Menten型时滞微分方程Michaelis-Menten型时滞微分方程是一种具有广泛应用的时滞微分方程形式。

研究表明，在一定参数范围内，Michaelis-Menten型时滞微分方程的解存在且唯一，并且解的振动性是有限的。

此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大。

3. Hopfield型神经网络模型Hopfield型神经网络模型是模拟神经网络的常用模型之一，也是一种具有时滞项的微分方程。

研究表明，在一定条件下，Hopfield型神经网络模型的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。

此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于发散。

4. Logistic型时滞微分方程Logistic型时滞微分方程是一种描述种群生长和传染病传播的时滞微分方程形式。

研究表明，在一定参数范围内，Logistic型时滞微分方程的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。

此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大或消失。

综上所述，时滞微分方程的解的振动性和正解存在性受时滞项大小和模型参数等因素影响。

研究时滞微分方程解的振动性和正解存在性对于深入理解时滞微分方程模型的特性，有助于应用时滞微分方程模型解决实际问题。

一阶时滞微分方程周期解的存在性

ｌｔｏｓｏｔｉｄｕｄｅｏｓｕｔｏ．ｕｉｎｓｉｂａｎｅｎｒｓｍｅａｓｍｐｉｎｓＫｅｒｓ：ｗｅｋｌｎｉｇ；ｐｒｏｉｏｕｉｎ；ｃｔｃｌｐｏｎ．ｙｗｏｄａｉｋｎｅｉｄｃｓｌｔｏｉｒｉａｉｔ
ｔｔＩ（）＝一（（ —ｒ）ｉｓｄｅ，ｈｒｆ（Ｒ）ａｄｒ０，ｎｅｓｌｆｅｘｔｃｆｅｏｉＳ－－ “ ｔ）ｓｔｉｗｅｅｅＣＲ，ｎ＞ａｄａｎｗｒｕｔｒｈｉｅｅｏｐｒｄＯ厂ｕｄｅｔｅｓｎｏｉｃ
Ｖｏ１９Ｎｏ５．１．
Ｓｐ．ｅ２０１０
ｄｉ１．９９ｊｉｎ１７ｏ：０３６／．ｓ．６２—８１．０００．１ｓ５３２１．５０３
一
阶时滞微分方程周期解的存在性
张绍康
（昭通师范高等专科学校数学系，云南昭通６７０）５００
定义２设Ｅ是一个Ｈｌｅｔ间，ｃ，ｉｒ空ｂ曰ｃＥ．称Ａ，曰是弱环绕的，如果对Ｅ上满足 Ⅱ：ｓｐ ≤ ｎｕ，
ｂ＝ｉＩ０ｎ的弱对弱连续泛函，都存在｛ｆ， “ ｝ＣＥ及常
数ｃ得ｂ使ｏ≤ ｃ＜ ∞ ，（ｃ，（０，Ｉ）ｔ，Ｉ）ｔ．引理１８设Ｅ是一个可分的Ｈｉｅｔ间且它ｌｌｒ空ｂ
第１９卷第５期２１００年９月
云南民族大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｏＹｎａｎｖｒｔｏａｏａｔｓＮｔｒｌＳｉｃｓＥｉｏ）ｏｒａｆｕｎｎＵｉｅｓｙｆＮｔｎｌｉ（ａａｃｎｅｄｔｎｉｉｉｅｕｅｉ

一类二维时滞差分系统正周期解的存在性

０引言
众所周知，关于泛函微分方程正周期解存在性的研究是非常深入广泛的。最近，关于微分方程多
０ｉ）； ∈ｃｚ×Ｒ］，）＜ａ（＜１（［；关于第二个及第
三个变量是连续的，且
立，其中ｎ，＝１２。 ∈Ｚｉ，
’ Ｉｕ．ｉｇＬＡＯＨａｙｎ，ＸＵＸｉｇｙｎ，ＨＱ．ｈｕａ —ａｇＵｉｏｎｚ
（ａｇｉｎｔｕｅｏＥｕａｉＮａｃａｇｉｎｘ３０９ＣｉａＪｎｘＩｓｔｔｆｄｃｔｎ，ｎｈｎ，ａｇｉ０２，ｈ）ｉｉｏＪ３ｎ
第３第２期２卷２１年３月０１
Ｖ１２Ｎｏｏ．．３２Ｍａ．０１ｒ２１
井冈山大学学报（自然科学版）ＪｕｎｌｆｉｇａｇｈｎＵｎｖｒｉＮａｒｌｃｎｅｏｒａｏｎｇｎｓａｉｅｓｙ（ｔａｉｃ）ＪｔｕＳｅ
ＡｂｔａｔＢｍｐｏｉｇａｆｘｄｐｉｔｈｏｅｏｅｗｅｐｅｅｔｏｕｃｅｔｏｄｔｎｉｈｇａａｔｅｔｅｓｒｃ：ｙｅｌｙｎｅｏｎｅｒｍｉｃｎ，ｒｓｎｍｅｓｆｉｎｎｉｉｓｗｈｃｕｒｎｅｉｔｎｓｉｃｏｈ
＋Ｏ，）ｆ（，，）ＣＹ＝，ｎＹ成
下面引入一些概念和几个引理：
个周期解存在性的研究也备受关注，并取得了一些研究成１，］－１。刘利用Ｋａｎｓｌｉ不动点定理２０ｒｓｏｅｋｉｓ研究了时滞微分系统。）一（ｘｔ＋（ｘｔ（，ｆ（）１（＝ａｔ（ｆｔ（一ｆ …，（一ｆ）（）ｆ）），））

一类带有传输时滞方程的概周期解存在性及其指数稳定性

关键字：记忆神经网络方程、非线性脉冲、概周期解、指数稳定性概周期函数又称殆周期函数，是周期函数的一种推广，具有某种近似周期性的有界连续函数。

概周期函数是在研究周期函数某种性质的基础上进一步提出来的。

概周期函数具有指数型二分性法，既从第一近似观点出发，在原点附近的非线性系统（式中的特征根的实部不为零），与它的线性部分有相同的拓扑结构，原因在于后者具有指数型二分性。

对于线性部分为变系数的非线性系统，当它的线性部分是概周期系统且其特征指数不为零时，r.j.萨克和塞尔研究了a（t）和其外壳的性质，得到具有指数二分性的条件。

为了得到及证明我们的结论，我们首先把方程中的变量统一到一些矩阵当中，这样可以极大地方便以后的证明。

为了使后面结论的证明更加清晰，我们把命题分解为两个分命题加以证明：（1）证明概周期解的存在性及唯一性；（2）证明概周期解的指数稳定性。

接下来就是对这两个分命题的证明。

由于命题的证明非常复杂以及要用到大量的定理，为了使推理过程中更加具有说服力及严谨性，我们在参考大量论文的基础上，引用了9大定理推论，为之后的证明作好铺垫。

在计算过程中，我们发现计算非常复杂，过程非常麻烦。

首先体现在给出的方程中，我们可以看到方程的构成是非常复杂的。

其次，后面又要涉及到大量该复杂方程的计算。

所以在经过研究思考之后，我们决定引进矩阵来进行简化，即将很多的平行变量放在同一个矩阵里面，使得到的新方程变得简洁对称，整理所得的新方程为：在给出相关的定理及推论时，这些定理适合的方程具有普遍性，而不是只限定于我们要研究的方程，使得该计算方法更有适用性。

此普适方程为：下面给出命题（1）与命题（2）证明中的关键步骤：命题（1）：证明概周期解的存在性及唯一性。

如此就可以证明概周期解的存在性及唯一性。

命题（2）：证明概解的指数稳定性。

令如此就可以证明概周期解的指数稳定性。

综上所述，即可证明概周期解的存在性、唯一性及其指数稳定性。

该证明有简单易理解的特点。

一类时滞模型周期正解的存在性问题

２）ｎ）１兰（＝（ｚ）一（［
和
］
（３）
（４）
（）５
２￡＝ｚ￡［（）（）（）ｎ￡一∑ｂ￡（一）］ｌ）￡ｒ）（
以及乘积型Ｌｇｓｉ；程［１ｏｉｃｈｔ－１］
＝
［ｆ【一
ｉ＝１
维普资讯
第１卷第３９期
。。年。月
工程数学学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＥＮＧＩＮＥＥＮＧＡＴＨＥＭＡＴＩＲＩＭＣＳ
ｖ１９。。１Ｎ３．
Ａｇ。ｕ。
文章编号：０５３８（０２０ —０１０１０．０５２０）３０２ —５
一。Βιβλιοθήκη 非线性泛函分析中的一些理论与方法，拓扑度理论［，］不动点方法［迭合度理如１２，，
论ｌＪ都是研究周期解的重要工具，已有不少结果，文［３等并见４～８等。文［］用迭合度理］７利
］
基金项目ｏＱ９１墼日２０－－．作者简介：期：５５蒲志林（９３１年４６月生）男，，博士，副教授
：川省教育厅重点基金资助．四
维普资讯
２２
工
程数学
学
报
第１９卷
但是，外还有一些模型，红血球再生模型［，］另如６１２
散模型的稳定性和一致持久性，关于这一模型方程的周期解的存在性问题，未见有关的而尚结果。文以非线性锥映射拓扑度为工具，先建立了一般模型（）存在正周期解的条件，本首２并将所得结果应用于ＮｉｈｌｎＳｂｏｌｓ模型（）证明了在周期环境下，ｃｏｓｎＳｃｏｓ ’ ｌｉｏｗｆｅ８，Ｎｉｌ ’ ｈｏｂｏｌｓ型方程（）存在周期解。ｌｗｆｅ模ｉ８

一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计

高校应用数学学报2010,25(2):134-140一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计郭志明(广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006)摘要:应用变分方法与无穷维空间Morse理论研究方程˙x=g(x(t−r)),得到上述微分差分方程以4r为周期的非常数周期解存在性的条件,并且给出其个数的下界.因此为研究含有时滞的微分系统周期解的存在性提供了一种新方法.关键词:时滞微分方程;周期解;Morse理论;非共振中图分类号:O176.3;O175.7文献标识码:A文章编号:1000-4424(2010)02-0134-07§1引言考虑一阶时滞微分方程˙x=g(x(t−r)),(1)其中r>0是常数,x∈R,g∈C1(R,R).本文的基本假设是(g)g是奇函数,并且当x→∞时,g′(x)的极限存在,记为g′(∞),其中g′(∞)是有限数.对方程(1)周期解的研究可以追溯到Jones,Nussbaum及Kaplan和Yorke的工作.早在1962年, Jones就应用不动点理论对一个具体的方程周期解存在性给出了一些结果[1].在[2]中,Nuss-baum利用喷射不动点方法研究了方程(1)的周期解,而Kaplan和Yorke在[3]中利用与之耦合的常微分方程方程组,得出了方程(1)的2π周期解的存在性.后来温立志,陈永劭,葛渭高等分别对该方程进行了研究[4-6].1998年,李继彬与何学中首次应用临界点理论研究方程(1)的周期解的存在性,相关文献可参阅[7-8]等.在[7-8]中,作者将方程(1)满足一定对称条件的周期解问题转化为一个相应的Hamilton系统的周期解问题,进而应用临界点理论研究相应Hamilton系统周期解的存在性.但是我们注意到,在一个特定的函数空间上,方程(1)是具有变分结构的微分系统.2005年,郭志明与庾建设[9]对方程(1)的周期解问题在一个特定的函数空间上直接建立变分框架,并应用收稿日期:2008-09-14基金项目:国家自然科学基金(10871053);广州市教育局科技计划项目(62006)郭志明:一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计135伪指标理论得到了向量形式的方程(1)的周期解的多重性.2006年,Fei[10-11]应用指标理论对方程(1)作了更细致的讨论,得到了重要的研究成果.Morse理论是临界点理论的重要组成部分,它在研究具有变分结构的微分系统周期解存在性及其个数估计方面有着非常广泛的应用.而且一般说来,应用Morse理论得到的周期解含有更丰富的信息,如临界点的Morse指标或临界值的估计等.2000年,Abbondandolo在文[12]中介绍了一种新的无穷维空间Morse理论.一般说来,Hilbert空间上的强不定泛函,其临界点的Morse指标为无穷大.对于这类泛函无法直接应用经典的Morse理论,往往需要将所考虑的泛函约化到某个有限维空间上去讨论.Abbondandolo对Hilbert空间的子空间定义了一种相对维数,同时对泛函的临界点定义新的Morse指标,即E+-Morse指标.这样就可以直接在无穷维空间上应用其建立的Morse理论研究临界点的存在性及其个数.需要指出的是,这种相对Morse指标早在1995年与1997年,Fei与Qiu已经作了类似的研究[13-14].本文的目的就是利用变分方法与Abbondandolo介绍的E+-Morse理论来研究方程(1)的非常数4r周期解的存在性及其个数估计.为简单起见,取r=π2.对一般情形可以通过一个时间变换τ=π2r t,将方程变为r=π2的情形.先对方程(1)建立适当的变分框架,将(1)的2π周期解转化为相应泛函的临界点,然后应用Abbondandolo的E+-Morse理论,研究方程(1)的非常数2π周期解的存在性及其个数.定义1.1方程(1)的2π周期解x(t)称为非共振的,如果线性化方程˙v(t+π2)=g′(x(t))v的所有2π周期解组成的空间是由˙x(t)张成的.定义1.2方程(1)称为在无穷远处是非共振的,如果线性方程˙v(t+π2)=g′(∞)v不存在非零的2π周期解.定义1.3记τ(0)=14(g′(0)+1),称τ(0)为方程(1)关于0的旋转数.同理τ(∞)=14(g′(∞)+1)称为方程(1)在无穷远处的旋转数.记n(2π)为方程(1)的2π非常数周期解的个数.定理1.1假设函数g∈C1(R,R)满足条件(g),方程(1)的所有2π周期解是非共振的,并且方程(1)在无穷远处也是非共振的.则方程(1)的2π非常数周期解的个数n(2π)满足：n(2π)≥|[τ(∞)]−[τ(0)]|.(2)其中[τ(∞)],[τ(0)]分别表示τ(∞),τ(0)的最大整数部分.注1由假设(g),g(0)=0.从而x=0是方程(1)的2π周期解.如果方程(1)的所有2π周期解是非共振的,则简单计算可知,对于任意的正整数k,g′(0)=(−1)k(2k−1).类似地,如果方程(1)在无穷远处是非共振的,则对于任意的正整数k,g′(∞)=(−1)k(2k−1).从而可以得到如下推论.推论1.1在定理1.1的假设下,当g′(0)<g′(∞)时,方程(1)至少存在#({k∈Z|g′(0)<4k−1<g′(∞)})个非常数的2π周期解.当g′(∞)<g′(0)时,方程(1)至少存在#({k∈Z|g′(∞)<4k−1<g′(0)})个非常数的2π周期解,其中#(A)表示集合A所含元素的个数,Z表示整数集.注2在定理1.1中,方程(1)的所有2π周期解是非共振的这一假设条件是技术性的,该条件意味着方程(1)的2π周期解对应作用泛函的非退化临界点.应用退化临界点的Morse理论可以避136高校应用数学学报第25卷第2期免这一假设条件[15].§2变分框架与引理L2(R/2πZ,R)表示R上以2π为周期的平方可积函数组成的空间,简记为L22π.H12(R/2πZ,R)表示L2(R/2πZ,R)中12阶导数平方可积的函数组成的空间,简记为H122π.设u(t)∈H12(R/2πZ,R),有Fourier展开式u(t)=1√2πa0+1√π+∞∑k=1(a k cos kt+b k sin kt),其中a0,a k,b k∈R,k=1,2,···,+∞.由H122π的定义,有a20++∞∑k=1(1+k)(a2k+b2k)<+∞.∀u(1),u(2)∈H122π,定义内积为⟨u,u′⟩=a(1)0a(2)0++∞∑k=1(1+k)(a(1)ka(2)k+b(1)kb(2)k).在此内积下,H122π是Hilbert空间.∀u∈H122π,其范数为∥u∥=[a20++∞∑k=1(1+k)(a2k+b2k)]1/2.设E={u∈H122π|u(t+π2)=−u(t−π2),∀t∈R},(3)则E为H122π中闭线性子空间,因而是Hilbert空间.定义E上的泛函B(u)=12∫2π˙u(t+π2)u(t)d t,∀u∈E.B(u)在E上是Frechet可微的,设B′(u)为B在u的Frechet导数,则∀ξ∈E,B′(u)ξ=∫2π˙u(t+π2)ξ(t)d t.定义E上的线性算子L为(Lu,ξ)E=B′(u)ξ=∫2π0˙u(t+π2)ξ(t)d t,∀u,ξ∈E,则L是E上的自共轭线性算子.事实上,∀u,ξ∈E,(Lu,ξ)E=B′(u)ξ=∫2π0˙u(t+π2)ξ(t)d t=−∫2πu(t+π2)˙ξ(t)d t=−∫5π2π2u(t)˙ξ(t−π2)d t=−∫2π0u(t)˙ξ(t−π2)d t=∫2πu(t)˙ξ(t+π2)d t=(u,Lξ)E.考虑定义在E上的泛函Φ(u)=∫2π0[12˙u(t+π2)u(t)−∫u(t)g(s)d s]d t.(4)由关于g的假设条件可知,泛函Φ的临界点对应于方程(1)的2π周期解.这样,我们就把寻求方程(1)的2π周期解转化为讨论(4)的临界点的存在性.下面概括Abbondandolo关于空间相对维数的一些概念及E+-Morse指标的有关结论而不加证明,详细讨论参见[12,16].设E为实的Hilbert空间,E正交分解为E=E+⊕E−,E+与E−均可以是E的无穷维子空间.定义2.1E的两个闭子空间V,V′称为是可公度的(commensurable),如果商投影V′→E/V及V→E/V′都是紧的.郭志明:一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计137可公度性是E 的闭子空间上的等价关系.定义义2.2设V 是E 中与E −可公度的闭子空间.V 的E +维数定义为E +-dim V =dim V ∩E +−codim(V +E +)=dim V ∩E +−dim V ⊥∩E −.由可公度性的定义,上述和式中两个被加项都是有限数.例如,如果Y 是有限维的子空间且Y ∩E −={0},则E +-dim(E −⊕Y )=dim Y ≥0；如果Y 是E −中有限余维的子空间,则E +-dim Y =−codim E −Y ≤0.设F 是定义在E 上二次连续可微的泛函,d 2F (u )表示F 在u 的二阶Frechet 导数,则d 2F (u )可以看作E 上有界线性的自共轭算子.假设u 是F 的临界点,即F ′(u )=0,如果d 2F (u )是可逆的,则称u 为F 的非退化临界点.定义2.3设u 为F 的非退化临界点,并且d 2F (u )的最大负特征子空间V −与E −是可公度的,则u 的E +-Morse 指标(记作E +-m (u ))定义为E +-m (u )=E +-m (u ;F )=E +-dim V −.∀u ∈E ,令u (t )=1√2πa 0+1√π+∞∑k =1(a k cos kt +b k sin kt ).由于u (t +π2)=−u (t −π2),直接计算可得a 0=0,a 2k =b 2k =0,k ∈N .因此u 可以表示为u (t )=+∞∑k =1(a k cos(2k −1)t +b k sin(2k −1)t ),∀t ∈R .令E k =span {cos(2k −1)t,sin(2k −1)t },则E =+∞⊕k =1E k .记E +=+∞⊕k =1E 2k ,E −=+∞⊕k =1E 2k −1,则E =E +⊕E −.考虑定义在E 上的泛函Φ(见(4)).由于g ∈C 1(R ,R ),Φ在E 上是二阶Frechet 可微的,且对于任意的u ∈E ,Φ′(u )ξ=∫2π0[˙u (t +π2)ξ(t )−g (u (t ))ξ(t )]d t,∀ξ∈E ;⟨d 2Φ(u )v,ξ⟩|E =∫2π0[˙v (t +π2)−g ′(u (t ))v (t )]ξ(t )d t,∀v,ξ∈E.定义2.4方程(1)的2π周期解x ∈E 称为在E 中是非共振的,如果线性化方程˙v (t +π)=g ′(x (t ))v 包含在E 中的所有2π周期解组成的空间是由˙x (t )张成的.定义2.5方程(1)称为在无穷远处是E 中非共振的,如果线性方程˙v (t +π2)=g ′(∞)v 在E 中不存在非零的2π周期解.由定理1.1的假设条件,0是泛函Φ在E 上的临界点,并且是非退化的.事实上,若∀ξ∈E ,⟨d 2Φ(0)v,ξ⟩|E =0.我们有˙v (t +π2)−g ′(0)v (t )=0,从而v =0.考虑E 上的有界自共轭算子d 2Φ(∞),d 2Φ(∞)定义为d 2⟨Φ(∞)v,ξ⟩|E =∫2π[˙v (t +r )−g ′(∞)v (t )]ξ(t )d t,∀v,ξ∈E.138高校应用数学学报第25卷第2期若d2Φ(∞)最大负特征子空间为V−∞,则d2Φ(∞)在无穷远处的E+-Morse指标定义为V−∞的E+维数,即E+-m(∞)=E+-dim V−∞.应用[16]中Theorem5.2.1的证明方法,可得如下引理.引理2.1假设函数g∈C1(R,R)满足条件(g),方程(1)的所有2π周期解在E中是非共振的,并且在无穷远处也是E中非共振的.则下面的Morse关系式成立λE+−m(0)+(1+λ)W(λ)=λE+−m(∞)+(1+λ)Q(λ).(5)其中W(λ),Q(λ)是具有非负系数的形式Laurent级数,并且设W(λ)=+∞∑l=−∞w lλl.若w l>0,则方程(1)存在w l个非常数的2π周期解.§3主要结论的证明定理1.1的证明将引理2.1中的Morse关系式改写为λE+−m(0)−λE+−m(∞)=(1+λ)B(λ).(6)设W(λ)=∑j w jλj,Q(λ)=∑jq jλj,B(λ)=∑jb jλj=∑j(q j−w j)λj.由于q j≥0,w j≥0,若b j<0,则w j=q j−b j≥−b j>0.记m(2π)为方程(1)在E中非常数2π周期解的个数.则n(2π)≥m(2π)=∑j w j≥−∑b j<0b j.记B−=−∑b j<0b j.下面我们计算B−.首先计算E+-m(0).令⟨d2Φ(0)v,ξ⟩|E=∫2π[˙v(t+π2)−g′(0)v(t)]ξ(t)d t,∀v,ξ∈E.d2Φ(0)的最大负特征子空间记为V−0.考虑特征值问题:˙v(t+π2)−g′(0)v=λv,v∈E.(7)容易求得,λ(0)k=(−1)k(2k−1)−g′(0),∀k=1,2,···.由于方程(1)的所有2π周期解在E中是非共振的,故∀k=1,2,···,λ(0)k=0.当g′(0)≥0时,λ(0)2k−1<0,k=1,2,···,并且当k≤[τ(0)]<14(g′(0)+1)时,λ(0)2k<0.k>[τ(0)]时,λ(0)2k>0.易知V−0=E−⊕E2⊕E4⊕···⊕E2[τ(0)].因此E+-m(0)=2[τ(0)].当g′(0)<0时,λ(0)2k >0,k=1,2,···,并且当k>−[τ(0)]时,λ(0)2k−1<0.k≤−[τ(0)]时,λ(0)2k−1>0.因此V−0=+∞⊕k=−[τ(0)]+1E2k−1.V−0在E−中的正交补空间为(V−0)⊥|E−=E1⊕E3⊕···⊕E−2[τ(0)]−1.郭志明:一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估计139从而E+-m(0)=2[τ(0)].同样,当g′(∞)>0时,E+-m(∞)=2[τ(∞)]；当g′(∞)<0时,E+-m(∞)=2[τ(∞)],其中,τ(∞)=14(g′(∞)+1).现考虑Morse关系式(6).不妨设g′(∞)>g′(0),g′(∞)≤g′(0)的情形可类似讨论.将Morse关系式改写为λ2[τ(0)]−λ2[τ(∞)]1+λ=B(λ).(8)则B(λ)=λ2[τ(0)]2([τ(∞)]−[τ(0)])−1∑i=0(−1)iλi.显然,B(λ)中,λ的奇次幂前的系数为−1,而偶次幂前的系数为+1.因此B(λ)中负系数的和B−为B−=[τ(∞)]−[τ(0)].(9)定理1.1证毕.推论1.1的证明当g′(0)<g′(∞)时,τ(0)<τ(∞),从而[τ(0)]≤[τ(∞)].根据定理1.1,方程(1)至少存在[τ(∞)]−[τ(0)]个2π周期解.不妨设[τ(0)]=j<j+1<···<j+l=[τ(∞)].记A={k∈N|g′(0)<4k−1<g′(∞)}.我们将证明#(A)=l.事实上∀p=1,2,···,l, [τ(0)]<j+p≤[τ(∞)].由于τ(0)与τ(∞)不能取整数,所以τ(0)<j+p<τ(∞).由τ(0)与τ(∞)的定义,g′(0)<4(j+p)−1<g′(∞).这说明,j+p∈A.因此,#(A)≥l.另一方面,∀k∈A,g′(0)<4k−1<g′(∞),即τ(0)<k<τ(∞).从而,[τ(0)]<k≤[τ(∞)].即存在p=1,2,···,l,使得k=l+p.因此,#(A)≤l.当g′(0)>g′(∞)时,可以类似地证明.推论1.1证毕.注3在[3]中,Kaplan与Yorke研究了方程˙x=−f(x(t−1))(10)以4为周期解的存在性.他们假设f是奇函数,并且limx→0f(x)x=α,limx→∞f(x)x=β.则当α<π2<β或β<π2<α时,方程(10)至少存在一个4周期解.作时间变量变换t=2πs,并令y(s)=x(2πs),则方程(10)变为y′(s)=−2πf(y(s−π2)).(11)令g=−2πf.应用推论1.1的结论,我们有推论3.1方程(10)存在m个以4为周期的周期解,其中m=#({k∈Z|α<π2(1−4k)<β}),或m=#({k∈Z|β<π2(1−4k)<α}).显然,推论3.1推广了[3]的结论.参考文献:[1]Jones G J.The existence of periodic solutions of f′(x)=−af(x−1)[1+f(x)][J].J MathAnal Appl,1962,5:435-450.140高校应用数学学报第25卷第2期[2]Nussbaum R D.Periodic solutions of some nonlinear autonomous functional diﬀerentialequations(II)[J].J Diﬀerential Equations,1973,14:368-394.[3]Kaplan J L,Yorke J A.Ordinary diﬀerential equations which yield periodic solution of delayequations[J].J Math Anal Appl,1974,48:314-324.[4]Wen Lizhi,Xia Huaxing.Existence of periodic solutions for diﬀerential diﬀerence equationswith two time lags[J].Scientia Sinica Ser A,1988,31:777-786.[5]Chen Yongshao.The existence of periodic solutions of the equation˙x(t)=−f(x(t),x(t−1))[J].J Math Anal Appl,1992,163:227-237.[6]葛渭高.微分差分方程x′(t)=f(x(t−1))简单周期解的个数[J].数学年刊A辑,1993,14:472-479.[7]Li Jibin,He Xuezhong.Multiple periodic solutions of diﬀerential delay equations created byasymptotically Hamiltonian systems[J].Nonlinear Analysis TMA,1998,31:45-54.[8]Li Jibin,He Xuezhong.Proof and generalization of Kaplan-Yorke’s conjecture on periodicsolution of diﬀerential delay equations[J].Science in China Ser A,1999,42:957-964.[9]Guo Zhiming,Yu Jianshe.Multiplicity results for periodic solutions to delay diﬀerentialequations via critical point theory[J].J Diﬀerential Equations,2005,218:15-35.[10]Fei Guihua.Multiple periodic solutions of diﬀerential delay equations via Hamiltonian sys-tems(I)[J].Nonlinear Analysis TMA,2006,65:25-39.[11]Fei Guihua.Multiple periodic solutions of diﬀerential delay equations via Hamiltonian sys-tems(II)[J].Nonlinear Analysis TMA,2006,65:40-58.[12]Abbondandolo A.Morse theory for asymptotically linear Hamiltonian systems[J].NonlinearAnalysis TMA,2000,39:997-1049.[13]Fei Guihua.Relative Morse index and its applications to Hamiltonian systems in the presenceof symmetries[J].J Diﬀerential Equations,1995,122:302-315.[14]Fei Guihua,Qiu Qingjiu.Periodic solutions asymptotically linear Hamiltonian systems[J].Chin Ann Math Ser B,1997,18:359-372.[15]Benci V.Estimate of the number of periodic solutions via the twist number[J].J DiﬀerentialEquations,1997,133:117-135.[16]Abbondandolo A.Morse theory for Hamiltonian systems[A].Research Notes in MathematicsSeries,425[C].London:Chapman&Hall/CRC,2001.Existence and estimate of the number of nontrivial periodic solutionsfor delay diﬀerential equationsGUO Zhi-ming(College of Math.and Info.Sci.,Guangzhou Univ.,Guangzhou510006,China)Abstract:In this paper,by using variational methods and inﬁnite dimensional Morse theory, a suﬃcient condition is obtained for the existence of multiple nontrivial4r-periodic solutions to the following delay diﬀerential equations˙x=g(x(t−r)).A lower bound of the number of periodic solutions is also given.As a consequence of this paper,a new method is introduced for investigating the periodic solutions of delay diﬀerential equations.Keywords:delay diﬀerential equations;periodic solutions;Morse theory;nonresonanceMR Subject Classiﬁcation:34K10。

一类具有分布时滞的p-Laplacian中立型泛函微分方程周期解的存在性

．
２存在常数ｒ）Ｉ＞０ｒ，２＞０ｍ＞０和ｄ≥ ０，得，使
（）。“ ≤ ｇ／ ≤ ｒｌＩ，／＞ｄｉｒＩｌ（，）ｕＶＩｌ；，
（ｉｇＨ＞０（ｕ（，ｉ）ｕ（）或ｇＩ１）＜０，１Ｊ；）ＶＩ＞ｄ１，
３存在常数ｓ＞０使得），
【（）Ｉ＋ｄ２一＋６］）一ｔＪ
Ｄ＝
【’）卢ｚ＞［二ｔＩ＋ｄ＜… （＋Ｉ） ’ ｒ卢。】ｍ。（Ｊ．Ｊ
４）卜歹条件之一成立：Ｕ
ｃ＝・ｐ，ｉ一旦』，ｎ
其，ｆ．中＝１
、Ｘ２Ｉ
再将方程（）改为下列形式２
ｒＡ。（）＝（ｚｔ）＝ｌ（）（ｘ）ｔ（）ｔ
（）ｔ
㈤：－）（）ｃ（一）厂（（ｃ））『）ｇ０
．
）ｅ）（＋
其中，＋一：１得出￡１（）：（（）（）是方程（）的一个周期解，．￡，￡）３则。ｔ是方程（）的一个（）２
ｃｎ中立型泛函微分方程ｌａ
（，（一￡ｏ）十（）￡＋（ｆｓｍｓ＝（（￡ｃ一９（ｇｆ＋）（）ｅ），）（））（ｄ）
（１）
的周期解的存在性问题，Ｐ＞在２的条件下，用重合度理论获得了方程（）少存在一个周期解的充分利１至
从而推广和改进了文献［］的相关结果．５
１准备知识

中北大学毕业设计题目

职称或学位
类型论文或设计
备注
一类非线性特征值问题正解的存在性带导数项的非齐次边值问题正解的存在性一类时滞微分方程边值问题正解的存在性一类半正边值问题正解的存在性非线性p-laplacian型方程组边值问题正解的存在性凸函数在不等式证明等方面的应用研究一类分数阶微分方程解法的研究和讨论分数阶控制系统的研究分析一类网络控制系统的研究几个矩阵函数的计算及其在控制系统方面的应用一类非线性方程边值问题的几何方法线性整数与分数阶微分方程的微分算子方法研究和讨论线性与非线性扩散方程的解法讨论和应用疾病流行的潜伏期、患病期估计微分方程模型的参数估计统计方法来研究手足口病的传播反应扩散模型的线性稳定性分析吉林牛布鲁氏病动力学的研究与分析媒体宣传效应对传染病传播的影响 SIR”对逼近”传染病模型的Markov过程建模及分析网络下的产品推荐系统建模与分析一类高阶微分方程的解的全局结构变分方法在一类时标动力学方程中的应用一类非线性非局部问题的变号解一类减算子的不动点定理及其应用一类时标上半正动力学方程的正解存在性
教授教授教授教授教授教授教授教授教授教授讲师讲师讲师讲师讲师讲师讲师讲师讲师讲师讲师讲师讲师助教助教助教助教助教助教讲师讲师讲师
类型论文或设计论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文论文
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变时滞脉冲Logistic型方程周期正解的存在性

假设上面的方程是周期的，即存在Ｔ＞０和ｇ ∈Ｎ使得ｒｆ）（，ｔ）（， ∈Ｒ，（＋＝ｒｆＫ（＋Ｔ：ｆｔ））
ｔ＋ｋｇ
＋。
（）（）周期序列，即存在正整数ｇ使得Ｈ２是
＝，
且＞一１ｋ＝１２… ；，，，
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第２Ｏ卷第２期２００８年６月
湖南文理学院学报（然科学版）自
ＪｕｎｌｆｎｎＵｉｅｓｙｏｒｓｎｃｎｅＮａｕａｃｎｅＥｉｏ）ｏｒａａｎｖｒｉＡｔａｄＳｉｃ（ｔｒｌｉｃｄｔｎｏＨｕｔｆｅＳｅｉ
．
本文在一种特殊形式的脉冲扰动下，运用Ｋ．集压缩算子抽象连续性原理考虑更为一般的具有脉冲效应的变时滞周期Ｌｇｓｃ型方程ｏｉｉｔ
引理１】【假设条件（）（３６Ｈ１Ｈ）一成立，则式（）２１和（）的所有解在［Ｏ）有定义且在［，）都为正的．一，上ＯＯＯ上Ｏ
对方程（）（）变换：ｕｔ＝Ｉ（１和２作（ｎｙｔ）），则方程
变为：
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第２期
杨秋鸿，张锐锋，冯春华变时滞脉冲Ｌｇｓｃ型方程周期正解的存在性ｏｉｉｔ
１９
，＝（一（ “ －ｉ）‘ 一（ｒ）ａ）‘ ￣ｂｔ“ ｆｆｔ）ｅ（ｅ
ｙ＝ＯＯ＞０Ｓ一，】 ∈Ｃ（Ｄ，（）（），），Ｅ［Ｄ，（［，】）一Ｒ

一类中立型积分微分方程概周期解的存在性和唯一性

２１
周期解的存在唯一性定理，我们也推广了相关文献的主要结果．
１主要结果
定义１－：设 “Ｒ［ｓ７］：一尺关于ｔ是连续的，若对任意的占０ｊ＝（＞使得任一长为ｚ＞，ｆｆ）０，的区间上至少含有一个ｏ＝）ｒ（使得对任意ｔＲ都有 ∈
（）】Ａ（）＋ｃ（，）ｓ＋Ｐ（（一丁（））＋ｂｔｆ）＝ｆ（）ｓ（）ｆ￡￡）（）
，
周期解的存在性和唯一性问题．由于周期函数是概周期函数的特例，因而讨论微分方程的概周期解具有更
（＝（ｔ＋ｆ（，ｘｓｄ＋ｔ（— ｔ）＋（ｔＡ（！ｔ）（）ｓｇ（，ｔ（）ｂｔ）））Ｃｓｒ）） …
ｆ
（＝（，（）（）！∞ （，ｘｓｄ＋，ｔｒｔ）＋（ｔＡｔｔｔ＋ｆｔ）（）ｓｇ（ — ））ｂｔ））ｓＣｔ（（）
Ｉ（＋一（ｌｔ） “ｆｕ）
成立，则称ｕｔ关于ｔ（）是概周期的．定义２侧：设 ∈Ｒ，ｔ是ｎ×ｎ连续矩阵，性系统Ｑ（）线
（）＝Ｑ（）（）ｔｔｘｔ（）２
在Ｒ满足指数型二分性是指存在常数ｋ０＞＞，０及投影Ｐ使系统（）２的基本解矩阵Ｘｔ满足（）
（．１河池学院
［摘
要］考虑具连续时滞和离散时滞的中立型积分微分方程
二￡（（）Ａｔ』）ｓＰ（ｑ￡）６）ｄ）蓍（￡】（）（ｓ（ｄ（ｔ＇）＋（（＋【ｑ一）＝ｍ（＋，），－ｉ）￡（

时滞Nicholson飞蝇方程的正概周期解的不存在性、存在性和唯一性

去描述澳大利亚绿头苍蝇的数量并且与文献『中的实验数据相２］吻合，这里（）ｔｔ是时刻绿头苍蝇的数量，口是每头苍蝇的日产卵数的最大值．是苍蝇以最大速度繁殖的数量，每天的成年死亡率，是
Ａ
是辈次．方程（．）１被称为Ｎｃｏｏ１ｉｌｎ飞蝇模型。ｈｓ在许多生物与生态动力系统中环境的变化起着至关重要的作用．然而、自然问题中周期或在概周期现象是很普遍的。去考虑Ｎｃｏｏ飞蝇模型的一般形式是ｉｌｎｈｓ
一
这里ｄｆ，（（）３０和￡／（）都是定义在吼 ’ 上的连续概周期函数，＞，Ａｘ≤ ；／０ｘ在常微分和泛函微分方程的定性理论分析中．究周期解和概周期解研（）２对于任意的 ∈ ｐ满足 “ ｅ ≤卢ｅｌ（）０卢ｌ￡＞ ≤ 】（＝ｌ＞，ｌ（）的存在性问题已经变成了一个热点，并且其在物理科学中有显著地作Ｏ，）对于任意０ｔ１存在＝（＞使得Ａ（）１ｒｔｘ＜＜，￡）Ｏ，ｔ ≥（＋１Ａ。ｘ）用。大多数研究周期解的一般方式是Ｍａｈｎ延拓定理、ｃａｄｒ动ｗｉＳｈｕｅ不则Ａ被称为ｅ凹算子。一点定理、ｒｕｅ不动点定理和Ｋｒｓｏｅｓｉ锥不动点定理（ｆ一ＢｏＷｒａｎｓｌｉｋ见９定义２Ｐ是一个立体，： —Ｐ．７ＡＰ。对于任意的ｘ０Ｏｔｌ如果＞，＜＜，ｌ１但是所有这些理论都是被一些压缩条件控制，３）。然而，紧性会带来Ａ（）ｔｘ，Ａ是强次线性的。ｔ＞Ａ则称￣其他的制约。另外，概周期是周期的一般化，已经失去了周期的一些好引理２１Ｐ是一个立体，＞．ｅ０和：Ｐ，严＋如果Ａ是强次线性的，的性质例如无论在常微分系统还是泛函微分系统中，若周期系统的则Ａ是ｅ凹的。一解是有界的．则这个解一定是周期解但是这个性质对于概周期系统为了方便，我们定义一些概念。就是错误的（４）见［。因此去发现概周期解存在的充分条件，比周期１要Ａ（，）Ｉ（：（）ｃ吼吼，（）Ｐ吼＝ｘｔｘｔＥ（，）是一个概周期函数｝）。解困难主要的原因是紧性条件不适用于概周期方程族．出于这个原ｘＡ（，＿１ｔ＝ｐ（Ｉ５Ｓｌ）ｓｘ）则Ａ（吼）是一个以ｔｌ（Ｉ）因．大多数被紧性条件控制的方式都不能去用来解决概周期问题。例ＹｅＰ，）ｇ（（Ｕｕ￡，Ｐ，＋ ∈ ｒ９如．可以通过Ａｚｌ－ｃｌ引理证明以下的引理对于周期系统是正确ｒｅａＡｓｏｉ为范数的完备空间。Ｖ（ ∈ （，）令ｉｍｉ）１＝ａ￡。ｉ）Ａ孵ｔＰ，。（￣ｍｘ（＝ｔ１。）的．是对于概周期系统是错误的。但引理１（）（；是一个周期函数族，．１ｃｃ吼吼）其周期ＴＯ若存＞，引理２Ｐ．２是一个定义在实数完备空间上的正规锥，一：

一类高阶非线性中立时滞微分方程不可数个有界正解的存在性

辽宁师范大学硕士学位论文一类高阶非线性中立时滞微分方程不可数个有界正解的存在性姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***2012-04一类高阶非线性中立时滞微分方程不可数个有界正解的存在性作者：于虹学位授予单位：辽宁师范大学引用本文格式：于虹一类高阶非线性中立时滞微分方程不可数个有界正解的存在性[学位论文]硕士 2012河南大学硕士学位论文基于改进遗传算法的模糊聚类研究及应用姓名：朱长江申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：申石磊2011-05摘要在基于目标函数的聚类算法中，模糊C-均值聚类算法的理论最为完善、应用最为广泛。

从理论上说，它通过迭代的爬山技术来寻找问题的最优解，是一种局部搜索算法。

因此它有一个明显的缺点，就是容易受初始值的影响而陷入局部极小值。

遗传算法是一种应用广泛的全局优化算法，它具有简单、通用、抗噪能力强等特点，是一种与求解问题不相关的算法模式。

正是由于遗传算法的这些优点能够解决模糊C-均值聚类算法对初始化敏感的问题。

因此，把模糊C-均值聚类算法与遗传算法配合起来使用，既可以发挥模糊C-均值聚类算法的局部搜索能力又充分照顾了遗传算法的全局寻优能力，从而提高混合算法的收敛速度并更好地解决聚类问题。

通过阅读大量文献资料，并对模糊聚类算法、遗传算法以及其他相关算法的理解吸收和研究，本文提出了一种基于改进遗传算法的模糊C-均值聚类算法。

论文的主要工作如下：(1) 基本遗传算法的改进。

在遗传算法中根据各个个体到当前最优种子的距离把种群划分成优势种群、次优种群两部分，并分别采用不同的遗传进化策略对两种群分别进行进化。

在选择策略方面，采用了精英保留和轮盘赌混合策略，且与以往不同的是让精英个体参与下一代遗传操作，从而保证了算法的收敛性，确保了遗传进化的稳定性，抑制无效解的扩散，提高了对聚类中心的搜索效率。

交叉变异方面，优势种群主要以交叉为主，次优种群以变异为主，保证了种群的平均适应度和种群的多样性。

具有不确定奇性的Liénard方程周期正解的存在性

2021,41A (3):686-701数学物理学报http: // a ct a 具有不确定奇性的Lienard 方程周期正解的存在性鲁世平**周诗乐余星辰收稿日期：2020-05-06;修订日期：2020-08-21E-mail: ********************; *******************; ********************基金项目：国家留学基金(201908320531)和江苏省研究生科研创新项目(SJKY19_0957)Supported by the China Scholarship Council Project(201908320531) and the Project of Inno vation in Scientific Research for Graduate Students of Jiangsu Province(SJKY19_0957)*通讯作者(南京信息工程大学数学与统计学院南京210044)摘要：该文讨论了下述具有奇性的Lienard 方程X (t ) + /(x )X -甲(t)X (t ) + 弓；?”)= 0周期正解的存在性，其中/ : (0, +x ) t R 为连续函数，且允许其在原点处具有奇性，函数 az e L (［0,T ］,R )都是 T -周期的，“ 6 (0, +x ), 5 e (0,1］为常数.函数 a (t )“(t )在［0,T ］上可变号•利用重合度拓展定理证明了上述方程至少存在一个T -周期正解.关键词：周期解；奇性；拓展定理；重合度理论.MR(2010)主题分类：34B16; 34K13; 34C25 中图分类号：0175.2 文献标识码：A 文章编号：1003-3998(2021)03-686-161引言奇性微分方程来源于物理学、力学、生物学等领域，例如专著［1］给出了很多奇性微分方程在不同学科领域中的应用事例.1987年，Lazer 和Solimini 在文献［2］中研究了奇性方程x 〃土 X - = p (t ) (门)周期问题，利用截断函数以及Schauder 不动点定理，他们得到了方程(1.1)周期解存在的充要条件.受此影响，越来越多的学者投身于具有吸引型或排斥型奇性的二阶微分方程周期解的研究，参见文献［3-15］.近年来，我们注意到具有不确定奇性的二阶微分方程x 〃沪鶉(1.2)的周期解问题受到了学者们的广泛关注［5-19］，其中0是常数，a 是可变号的T -周期函数.在这种情况下，当a (t ) > 0时，方程(1.2)具有排斥型奇性；而当a (t ) < 0时，方程(1.2)具有吸引型奇性.此外，当函数a 在某些子区间恒等于零时，方程的奇性项就消失No.3鲁世平等：具有不确定奇性的Lienard方程周期正解的存在性687了.因此，方程(1.2)的恢复力项磐在x=0处的奇性被称为是不确定型的.此类方程常被用来描述许多重要的物理运动(例如在分子动力学中，用于模拟原子粒子之间的相互作用［20-211；在通讯技术中，可描述导波在光纤中的传播［22］).相较于a(t)恒大于零或恒小于零的情形，方程(1.2)的动力学性质更加复杂.文献［18］表明了集合刀0={x E C t:x"(t)入a(t)x"(t)，入E(0,1],x(t)>0,t E[0,T]}在C t中不存在先验正下界和先验上界.在文献［23］中，作者研究了方程x"(t)+f(x(t))x'(t)+^(t)x(t)a(t)x"(t)(1.3)的周期解问题，其中/:(0,+Q-R是一个连续函数且允许其在x=0处有奇性，函数a用E L(［0,T］,R)为T-周期的，“E(0,十8)是一个常数.在0>0和a>0的情况下，作者证明了存在常数Y0>0,M>0和M i>0使得Y o<u(t)<M,maxt e[0,T]|u z(t)|<M i,V u E刀i.(1.4)此处S1={x E C T:x"(t)+入f(x(t))x'(t)—入0(t)x(t)+入;:；)=0,入E(0,1］,x(t)>0,t E［0,T］}.(1.5)从(1.4)式可知，集合D既有先验正下界，又有先验上界，这与文献［18］的情形完全不同.受上述文献的启发，本文将继续研究具有不确定奇性的Lienard方程x〃(t)+f(x(t))x'(t)—0(t)x<5(t)+=0(1-6)周期解的存在性，其中f"以及a与方程(1.3)中的相同,d E(0,1］为常数.本文的理论证明主要依赖于周期正解的先验界估计和重合度拓展定理.与文献［23］所研究的方程(1.3)类似，本文仍然假设0>0,a>0.不同的是，方程(1.6)中0(t)x,導前的符号与方程(1.3)中的正好相反.然而，这一细微的改变却使得含有参数入的方程簇x"(t)+入f(x(t))x'(t)—入0(t)x$(t)+=0,入E(0,1］,(1.7)其所有可能的T-周期正解在C1空间上缺少形如(1.4)的先验界估计.众所周知，形如(1.4)式的先验估计在应用重合度拓展定理时是至关重要的［24］.为了克服方程簇(1.7)的T-周期正解先验估计的困难，我们首先在Banach空间C|中定义一个开子集V(见(3.5)式),并给出方程簇(1.7)在集合V中的所有可能T-周期正解的先验界估计.这与文献［23］中在整个空间C1中估计S i的先验界有着本质的区别.本文的主要结论展示了函数f在原点处的奇性对方程簇(1.7)的T-周期正解先验界影响的信息.在流体力学中，Rayleigh-Plesset方程p(RR〃+|(R)2)=［P v—P g(t)］+P g o(R—寻—聲(1.8)688数学物理学报Vol.41A用于模拟浸没在流体中的半径为丘的球形气泡，在周期声场％作用下的振荡.方程(1.8)中的各项参数的物理意义参见文献[14].通过变量代换R=u5(参见文献[14]),并取k=3,方程(1.8)可改写为x"+孚X-5只—W)]x5+J_(5S-5P g0R o)=0,(1.9)x52p x5I2p丿，'丿其中P g&L([0,T],R)是一个T-周期函数.显然，方程(1.9)是方程(1.6)的一种特殊形式.利用本文中的一些结果，我们得到了方程(1.8)存在T-周期正解的充分必要条件(详见定理3.4),该定理推广了已有的研究结果(如文献[12，定理4.4]).2预备定理本文中，令C t={x G C(R,R):x(t+T)=x(t),V t G R},其范数定义为||x||g= max|x(t)|;C T={x G C1(R,R):x(t+T)=x(t),V t G R},其范数定义为||x||C r= te[0,r]max{||x||g,||x'||g}.对任意给定的T-周期函数y G L([0,T],R),y+(t)和y_(t)分别表示max{y(t),0}和—min{y(t),0}.此外，y=T y(s)d s.显然，我们有y(t)=y+(t)—y_(t),对任意的t G R,且y=歼-y-.弓|理2.1[9]令u G[0,3]t R为任意一个满足u(0)=u(T)的绝对连续函数.那么、2T f T2max u(t)—min u(t))<—|u z(s)|2d s.te[0,T]、te[Q,T]、丿丿-4J o设X和丫为Banach空间，算子L:D(L)c X t Y是线性的，这里D(L)表示算子L 的定义域.如果Im L是Y的一个闭子集，且dim ker L=codim Im L<则称L是指标为零的Fredholm算子.此外，如果L:D(L)c X t Y是一个指标为零的Fredholm算子，那么存在连续映射P:X t ker L和Q:Y t Y满足Im P=ker L,ker Q=Im L,X=ker L©ker P 以及Y=Im L©Im Q.由ker L n(D(L)n ker P)={0},可知 L p:=L|D(L)n k e r p t Im L是可逆的.用K”表示L p的逆映射.假设0C X是一丫有界开集，吏们称连续算子N:乔t Y在集合◎上是L-紧的，如果映射K p(I-Q)N:0t X,QN:0t Y都是紧的.弓|理2.2[24]令X和Y为两个实Banach空间.假设L:D(L)C X t Y是一个指标为零的Fredholm算子，N:0t Y在◎上是L-紧的，这里0是X的一个有界开集.如果以下条件都成立：(1) Lx=入Nx,V x G d0n D(L),入G(0,1);(2) Nx G Im L,V x G d0n ker L;(3) Brouwer度deg(nQN,0n KerL,0)=0.其中，n:Im L t ker L是一个同构映射，那么方程Lx=Nx在0上至少有一个解.为了研究方程(1.6)T-周期正解的存在性，我们列出以下假设.(H i)a(t)<0,a.e.t G J；a(t)>0,a.e.t G[0,T]\J,其中J C[0,T]是一个闭集*(H2)0〉h(d)E严2，其中，d G(0,1]与方程(1.6)中的d相同，h(d)d G(0,1) d=1.No.3鲁世平等：具有不确定奇性的Lienard 方程周期正解的存在性689现在我们将方程(1.6)嵌入下述方程簇x"(t ) + 入f (x (t ))x ' (t )—入0(t )x " (t ) + 入a (t ) x "(t )=0,入 E (0, 1).(2.1)并且我们给出以下定义D = {xE C 1 : x 〃 + 入f (x )x '—入0(t )x $ + = 0,入 E (0,1); x (t ) > 0, V t E [0,T ]}, (2.2)G (x )竽d s,(2.3)3主要结果定理3.1假设a > 0以及(H i ), (H 2)成立.如果存在常数- 1£ E 何(0)71 E GAG ))门(0,(0)"十 \使得且sup G (x ) <x E [A (e ),+x )( // r )inf (G (x )-----)> supG (x )+ T0+,xE (0d ] ' x " ) x G [A (e )； + x )(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)这里，A (£) = e (壬石+吟)為,G (x )由(2.3)式所定义，那么方程(1.6)至少存在一个T - 周期正解.证令V = {x E C y : x (t ) > 0, t E [0, T ]; x (t ) > £, t E J }, (3.5)其中，J C ［0, T ］由(H i )醴义.显然，V c C i 是一个开集.若u E V n D ,此处D 由(2.2)式所定义，我们有u E V 且u 是方程(2.1)的一个T -周期正解，即u "(t ) + f (u (t ))u Z (t )—入0(t )u " (t ) + u M (t )0.(3.6)在(3.6)式的两端同时除以加，再对其在区间［0,T ］上积分，我们得到u"(t )u 〃(t )f (u (t ))u u (t ) u 〃(t )d t —入0(t )d t + 入—0.(3.7)我们可以从(3.7)式推出豁d t 〉0,u $(t ) _f (u (t ))u '(t ) dt u $(t )0,a (t ) u ^+6 (t )d t,(3.8)(3.9)由于T0〉厂丿690数学物理学报Vol.41A 即根据假设(H i ),得到/ -4|L d t + [ 耳二d t < T0. J u -+d (t ) 丿[Q ,T ]\J u -+d (t )-屮-/ 上黒d t +「"+67、d t < T0.结合(3.5)式，从上式我们可以推出「上+冥d t < [ a ；6t)d t + T0 £+ £“+6 0 丿 :=A (£).根据(3.1)式中的假设£ G (0, (f)為)，我们有u (g ) > A (e ) > £.(3.11)另一方面，对于u , —定存在t i ,t 2 G R 使得0 < t 2 - t i < T , u (t i )叫⑴以及呗2)=邸异◎根据(3.11)式’我们有A (e ) < u (t i ).结合(3.3)式得到G (u (t i )) 0,我们可以从上式推出a (s ) u -+〃 (s )d s = 0.&+ 、p 十6吃2f a (s ) 严2G (u (t 2)) < G (u (t i )) - y u -+6(s )d s + / 0(s )d s< Bq + [ d s + [0+ (s )d s Y i・te[0;T]接下来，我们将证明存在两个正的常数M i,M2,使得(3.13)max u(t)—M i,max|u'(t)|—M2.(3.14)tE[0,T]''—te[0;T]z—事实上，对(3.6)式在区间[0,T]上积分，可得r0(t)u6(t)d t j：船血即/°+⑴""(t)d t=/0—(t)u"(t)d t十/吕需比对上式的左端运用积分中值定理，结合(3.13)式，我们可以找到一个常数&E[0,T]使得u"(&)T0+-||u||X缶#d t<||u||X T0—十牛,由此得u'(&)-0+||u||X+寻.此外，根据引理2.1和(3.15)式，我们有(3.15)这等价于不等式||u||2-l u(&)+2(3.16)u"(t)7sf dt在(3.6)式两端同时乘以u,再对其在区间[0,T]上积分，结合(3.13)式，我们有[|u'(t)|2d t=—^[0(t)u i+"(t)d t+X[u(t)a(t)d t丿0丿0丿0r T—入/0—(t)u i+"(t)d t+入|u丿0-T0—||u||^+Ta+|u]X7692数学物理学报Vol.41A 即|u u (t )|2d t )w - ||u ||XF T 2(0—)2 +2 |u |X .\丿0将(3.17)式代入(3.16)式中，我们得到以下不等式||u ||X - 0+ + (字)'0+ [||u ||期T 2(0—)1 +)2|u |X 「-至 + (琴)'0+ T 各(0—)2||u ||严+ (琴)'丑(07i 2 0 2 0 \下面我们将分两种情况来估计集合V 中方程(2.1)的T -周期正解u 的先验上界.(1) d = 1.从(3.18)式可知(]—T0+(0—)2(3.17)a +A 、― ,/1 + 6)62 |u |X .(3.18)a +)|u |x -至 + 孚王(竽)2 ||u ||X .20 07i 20 \ Y i 丿由假设(H 2),我们有0 > 0和空运住(3.19)u |X < 1.因此，我们从(3.19)式可推出20<壽(专)2+(氏)2:20,(3.20)此处，p = 1 —空住.(2) d E (0,1).由于 0i > 0使得< 1以及2 < 1,从(3.18)式我们很容易地知道，存在常数||u ||x < max {00, 0i } := M i .若u 在t i E [0,T ]处达到最大值，那么u '(t i )=0•因此，从(3.6)式可知(3.21)u '(t )=入f (u (s ))u '(s ) + 0(s )u " (s )—d s, V t E [t i , 11 + T ].由此得(' t 1+T ('|u u (t )| -入|F (u (t )) — F (u (t i ))| + 入 / |0(s )|u 〃(s )d s + 入 /丿 t i Jti<2 max “ |F (u )| + M i T 回+ ¥ := m 2,Y i <u<M i Y iF 舄d s 其中尸的定义由(2.3)式给出.因此，我们有max |u '(t )| — M 2. tE [0,T ]「' " 一(3.22)定义 X = C T ,Y = L ([0, T ],R )以及L : D (L ) c X — Y,Lx = x ".此处，D (L ) = {x E X : x E L ([0,T ], R )}, ker L = R , Im L = {y E Y :尺 y (t )d t = 0}.容易验证L 是指标为零的Fredholm 算子.此外，我们定义如下两个连续映射Y 1厂P : X — ker L,Px = x (0); Q : Y — ^^, Q® = T J y (s )ds.No.3鲁世平等：具有不确定奇性的Lienard 方程周期正解的存在性693显然，我们有 ker L = ImP, ker Q = Im L .令 L p = L |D (L )n ker p t Im L ,则 L p 拥有逆映射 L -i : Im L t D (L ) n ker P .定义K p : Im L t D (L ) n ker P, K p = L —i .通过简单的计算，我们有(K p y )(t ){(t — T )s ' T 丿,0 < s <t < T ; +, 0 < t<s < T.(3.23)定义V i = {x G 电:Y i < x (t ) < max {M i + 1, (t) "^ } := m i , V t G [0, T ]; ||x '||g < M 2 + 1 := m3, 0 = V n V i ,N : 0 t Y, (Nx )(t ) = -f (x (t ))x '(t ) + 0(t )x 6(t ) - x J (t ).(3.24)结合(3.23)已3.24)式，我们可以证明算子K p (I - Q )N 和QN 在集合0上是相对紧的. 因此，咗 ◎上是L -紧的•此外，由(3.2)式可型Y i >£，再根据V, V i 的定义，二我们可知(dv n V i ) = 0.更进一步地，我们从d 0 c (dv n 玩)u (V n dv i )可以推出d 0 c V n dv i . 根据这个包含关系，我们可以总结出引理2.2中的条件(1)成立.事实上，若其不成立，则存在A q G (0,1)以及x q G d 0使得L x q = A q N x q .根据d 0 c V n dV i ,我们可得x q g v n dV i ,因此，下式成立x q G V.(3.25)但是由(3.13), (3.21)和(3.22)式，可知Y i < x °(t ) < m i , V t G [0, T ]; ||x z ||g < m 2.再次依据匕白狡义，我们可知x q / dM,这与(3.25)式矛盾.如果x G (V n dV i ) n ker L ,那么x (t )三Y i 或x (t )三m i .据此，我们有QNm i QN y i + 0(t )Yi) d t = — + Y i 0,+ 0(t )m ：) d t =------“ + m i 0./ m?注意到在(3.2)式中我们假设Y i G (0, (|)E)，结合m i 的定义，可知QN (y i ) < 0, QN (m i ) > 0.694数学物理学报Vol.41A因此，我们有QNx=0,V x G d0n ker L.(3.26)此外，下式也成立deg{nQN,0n ker L,0}=0,(3.27)其中n:R T R,n(x)=x.由(3.26)和(3.27)式，我们得到引理2.2中的条件(2),⑶都成立.利用引理2.2,我们很容易知道方程(1.6)至少存在一个T-周期正解.I 下面的定理3.2和定理3.3分别针又寸0(t)>0,a.e.t G[0,T]和a(t)>0, a.e.t G[0,T]的情形，给出与方程(1.6)T-周期正解存在性相关的结论.定理3.2假设(H i)成立，0(t)>0,a.e.t G[0,T]且0>0.则下述命题成立：命题1a>0是方程(1.6)存在T-周期正解的必要条件.命题2若a>0,sup F(x)<十〜且存在常数xE[A(£),+g)-172G(£,a(£))n(0,(0—)"十\(3.28)使得inf(F(x)—T&+)>sup F(x),(3.29)xE(Q，Y2]'x“丿x e[A(£),+g)其中，F的定义由(2.3)式给出，常数£,A(£)与定理3.1中一致.那么方程(1.6)至少存在一个T-周期正解.命题3若a>0,inf F(x)>-x,且存在常数x E[A(£),+x)了3G(£,a(£))n(0,(0—)"),(3.30)使得sup(F(x))<i nf F(x),(3・31)xE(Q,Y3]'x'xE[A(e)?+g)那么方程(1.6)至少存在一个T-周期正解.证(命题1的证明)设方程(1.6)存在一个T-周期正解y,则y"(t)+/(y(t))y，(t)一0(t)y6(t)+=0.(3.32)y-(t)在(3.32)式两端同时乘以y-,并对其在区间[0,T]上积分，得到fT fT fT fT/y''(t)y"(t)d t+/f(y(t))y'(t)y"(t)d t-/0(t)y-+6(t)d t+/a(t)d t=0.丿Q丿Q丿Q丿Q根据jQ y"(t)y-(t)d t<0和jQ f(y(t))y z(t)y-(t)d t=0,可知r T r T/0(t)y-+6(t)d t<a(t)d t=Ta,J q J q结合假设0(t)>0,a.e.t G[0,T]且0>0,从上式我们可推出a>0.No.3鲁世平等：具有不确定奇性的Lienard 方程周期正解的存在性695少题2的证明)由于条件(H i )成立，且a > 0,我们仍用(3.5)式定义集合V .假设 u E V 且u 为(2.1)式的一个T -周期正解，则u "(t ) + Xf (u (t ))u U (t )—入0(t )u " (t ) + u ^(t ) = 0.(3.33)类似于(3.11)式的证明，可以得到存在常数E ［0,T ］,使得u (g )〉A (£) > £.(3.34)另一方面，容易验证存在t 3,t 4 E R 满足0 < t 4 — t 3 — T, u (t 3) = max u (t ), u (t 4) = min u (t ).— t E [0,T] ' ' tE [0,T ](3.35)根据(3.34)式得到A (£) - u (t 3)< +8,由此可推出F (u (t 3)) — sup F (x ) := B i .x E [A (e ), + x )对(3.33)式在区间［t 3,t 4］上积分，可得F (u (t 4)) = F (u (t 3)) + / 0(s )u 〃 (s )d s — / a ^) 丿 t 3 Jt?，、‘d s t 3 u "(s )—B i + [ 0(s )u "(s )d s — [ Q(s)、d s.J 0 J t 3t 3 u "(s )(3.36)此外，对(3.33)式在区间［0,T ］上积分，可得0 u "(s )将上式代入(3.36)式，我们有F (u (t 4)) 72. tE [0,T ](3.37)在(3.33)式两端同时乘以u -,且对其在区间［0,T ］积分，再根据不等式u"(t )u -(t )d t < 0,我们可以得到0(t )u -+6 (t )d t < Ta.由积分中值定理，得到存在常数n o G ［0,T ］,使得u (n o ) < (f)丹.(3.38)结合引理2.1和(3.38)式，我们得到||u ||g < (a 、為 + f J |u ，(s )|2d s 、2.再次在(3.33)式两端乘以u ,并对其在区间［0,T ］上积分，可得］|u z (t )|2d t =—入/ 0(t )u i +6 (t )d t + 入/ 坯?；；)d t.(3.39)根据条件0(t ) > 0 a.e. t G ［0,T ］以及(3.37)式，我们可以从上式推出|u z (t )|2d t <(t )u (t )u -(t )d t < ||u ||g Ta +Y 2将(3.39)式代入上式，可得f|u ，(t )|2d t < ［( 0 产 + 琴(八 u®2d s ) 2 ］号这意味着存在一个常数P 3 > 0,使得< P 3.因此，从(3.39)式可以推得||u ||g < (0)為 + 半卩3 := M 3.(3.40)至此，我们已经证明了(3.37)和(3.40)式成立.剩下部分的证明与定理3.1中的证明相同.(命题3的证明)命题2和3的证明十分相似，唯一的不同点在于方程(2.1)所有可能 T -周期正解的先验下界的估计.类似地，我们可以证明(3.34)式成立，且存在常数t 3,t 4 G R 满足(3.35)式.因此，我们有F (u (t 3)) >inf F (x ) := B 2.x E [A (£), + x)另一方面，对(3.33)式在区间&,t 4)进行积分，可以得到F (u (t 4))〉F (u (t 3))—a +(s ) u "(s )d s +a —(s ) u "(s )d s 〉B 2〉B 2Sf ds Ta + u "(t 4)即F (u (t 4)) + 命〉B结合条件(3.31),我们得到min u (t ) = u (t 4) > 73.te [0;T ]证毕.推论3.1设a > 0,且下述关系式成立lim F (x ) < +8,(3.41)x —(3.42)那么方程(1.6)至少存在一个T -周期正解.证显然，由(3.41)和(3.42)式，得到 sup F (x ) < +8, (3.28)和(3.29)式都成x E [A (e ), + x )立.因此，该推论的结论可由定理3.2中的命题2直接得到. I类似地，运用定理3.2中的命题3,我们可以得到下述推论.推论3.2设a > 0,且下述关系式成立lim F (x ) > —8,x —lim XT 0+—oo,那么方程(1.6)至少存在一个T -周期正解.定理3.3假设a (t )〉0, a.e. t E [0, T ]且a > 0.则下述命题成立: 命题1 0 > 0是方程(1.6)存在T -周期正解的必要条件.命题2若(出)成立， sup G (x ) < +8,且存在常数xe [( f )為,+x )74 E (0,(0)1(3.43)使得inf G (x ) >xE (0,Y 4]supG (x ) + T0+,xE [( f )丹,+x )那么方程(1.6)至少存在一个T -周期正解”(3.44)命题3若条件(出)成立， infG (x ) > -x ,且存在常数x e ［( a )為，+g )- 1Y 5 G (0, (0)冲),使得sup G (x ) <xE (Q ,Y 5]in fG (x ) - T0+,xe [( a) e ，+g)那么方程(1.6)至少存在一个T -周期正解.证(命题1的证明)设方程(1.6)存在一个T -周期正解c ,则c"(t ) + f (c (t ))c '(t ) — 0(t )c 6 (t ) += 0.在(3.47)式两端同时乘以c ,并对其在区间［0,T ］上积分，得a (t ) c -+6 (t )d t < T0.(3.45)(3.46)(3.47)(3.48)根据假设a (t ) > 0 a.e. t G [0, T ]且a > 0,从(3.48)式可知0 > 0.(命题2的证明)鉴于该证明类似于定理3.2中的命题2的证明，我们在此只给出方程(2.1)所有可能T -周期正解的先验下界的估计.假设u 是方程(2.1)的一个T -周期正解，则u "(t ) + Af (u (t ))u '(t )—入0(t )u "(t ) + 护；)=0. 在(3.49)式两端同时除以u ,并对其在区间[0,T ]上积分，我们有「« d t < T0,J q u -+6(t ) - X (3.49)(3.50)应用积分中值定理，结合假设a (t ) > 0, a.e. t G ［0, T ］,从(3.50)式，我们可以推出，存在常数n i G ［0,T ］使得u (n i ) > (0产.易知存在常数 t 5,t 6 G R 满足 0 < t 6 - t 5 < T , u (t 5) = max u (t ),以及 u (t 6)= min u (t ).因 te [Q ,T ] te [Q ,T ]此，由(3.51)式可知(3.51)(0)"十§ < u (t 5) < +x ,由此得到G (u (t ^)) 74. tE [0,T] ' '(3.52)由于命题3的证明与命题2的证明完全类似，我们在此处略去.推论3.3假设(H 2)成立，a (t )〉0, a.e. t E [0, T ]且a > 0.若下述关系式成立lim G (x ) < +8,(3.53)lim G (x ) = +8.XT 0+(3.54)那么方程(1.6)至少存在一个T -周期正解.证由(3.53)式知 sup G (x ) < +8.再根据(3.54)式知，存在一个常数74 E (0, (a )為)，使得(3.44)式成立.运用定理3.3中的命题2,我们可以直接得到结论.I推论3.4假设(H 2)成立，a (t )〉0, a.e. t E [0, T ]且a > 0.若下述关系式成立lim G (x ) = —8.XT 0+(3.55)(3.56)那么方程(1.6)至少存在一个T -周期正解.证由方程(3.55)知 inf G (x ) > —8,再根据(3.56)式知，存在常数75 E (0, (a )為)，使得(3.46)式成立.运用定理3.3中的命题3,我们可以直接得到结论.推论3.5假设d E (0,1), a (t )〉0, a.e. t E [0, T ]且a > 0.若下述关系式成立lim G (x ) > —8(< + 8),则0 > 0是方程(1.6)存在T -周期正解的充要条件.证必要性的证明类似于定理3.3中的命题1的证明.由0 > 0且d E (0,1),易知假设 (H 2)成立•因此，由推论3.4(或3.3)可证明充分性. I接下来证明Rayleigh-Plesset 方程(1.9)的T -周期正解的存在性.弓|理3.1[出定理3.4]假设卩" < 石,且S< 帘.若v > 2p [PM - P v ] +，则Rayleigh- Plesset 方程(1.9)至少存在一个T -周期正解.弓|理3.2[12,定理心4]假设P … >P X , 2pS > P g o R 0,如果ess inf (3.57)则Rayleigh-Plesset 方程(1.9)至少存在一个T -周期正解.易知方程(1.9)是方程(1.6)的特殊形式，其中f (x )=马,0(t ) = 5[P v 护t)], a (t )三(5S —x 5 P巴叮°), “ = d = 5•显然，G (x ) = J,爭d s = 4v ln x,x E (0, + 8),则有 lim G (x ) = —8, p x t 0+且lim G (x ) = +8•因此，由推论3.5,我们可以得到以下结论.x —+X定理3.4假设S>零0.则Rayleigh-Plesset方程(1.9)至少存在一个T-周期正解的充分必要条件为P v>P g.注3.1由于方程(1.6)中的Lienard项f(x)x，的系数f(x)允许其在x=0具有奇性，且0(t)和a(t)在[0,T]上都可变号，因此本文完善了文献[15-19]和[23]中的研究工作.此外，条件(3.4),(3.29)和(3.31)在估计方程(1.7)周期解的先验正下界过程中，起着至关重要的作用.所以f(x)在x=0处的奇性有助于方程周期解的存在.注3.2由引理3.1可知，由于文献[13]中定理3.4的条件为P…P g,S>第許.故定理3.4与文献[13]中的定理3.4的条件完全不同.此外，通过比较引理3.2和定理3.4,我们发现定理3.4不需要条件(3.57)满足.由此可知定理3.4改进了已知结果(如文献[12，定理4.4]).参考文献[1]Torres P J.Mathematical Models with Singularities:A Zoo of Singular Creatures.Paris:Atlantis Press,2015[2]Lazer A C,Solimini S.On periodic solutions of nonlinear 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theorem;Coincidence degree principle.MR(2010)Subject Classification:34B16;34K13;34C25。

几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性

理学硕士学位论文几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性肖嘉慧哈尔滨理工大学2011年3月国内图书分类号：O177.9理学硕士学位论文几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性硕士研究生：肖嘉慧导师：姚慧丽申请学位级别：理学硕士学科、专业：基础数学所在单位：应用科学学院答辩日期：2011年3月授予学位单位：哈尔滨理工大学Classified Index: O177.9Dissertation for the Master Degree in ScienceThe Existence and Uniqueness of Almost Periodic Type Solutions for Several Classes of DifferentialEquationsCandidate：Xiao JiahuiSupervisor：Yao HuiliAcademic Degree Applied for：Master of Natural Science Specialty：Fundamental MathematicsDate of Oral Examination：March, 2011University：Harbin University of Scienceand Technology哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文《几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性》，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。

据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。

对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。

本声明的法律结果将完全由本人承担。

作者签名：日期：年月日哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书《几类微分方程的概周期型解的存在性和唯一性》系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。

一类时滞周期模型正周期解的存在性

一类时滞周期模型正周期解的存在性
刘兴元
【期刊名称】《湖南理工学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2005(18)4
【摘要】研究时滞周期模型x'(t)+a·v(t)x(t)xn(t-τ(t))/θn+xn(t-τ(t))=λ(t)其中m、n是正整数,v(t),λ(t)是正周期函数,周期为ω,τ(t)为非负ω周期函数,获得方程存在
一个正周期解的充分条件,推广改进了已有结果[Saker,
Comput.Math.Appl.2002(44)623-632].并举例说明了定理的应用.
【总页数】4页(P15-18)
【作者】刘兴元
【作者单位】邵阳学院,数学系,湖南,邵阳,422000
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类具有时滞的细胞繁殖模型的正周期解的存在性 [J], 周刚;时宝;盖明久;杨树
杰
2.一类时滞种群竞争模型正周期解的存在性 [J], 刘心歌;唐效兰;唐美兰;刘心笔
3.讨论一类有状态依赖时滞和连续时滞积分微分方程系统正周期解的存在性 [J],
任芳
4.一类带脉冲和时滞的宿主——大寄生物模型正周期解的存在性 [J], 李贞阳;杨必裕;龙瑶
5.一类非自治时滞半比率依赖捕食模型的正周期解的存在性 [J], 刘艳;秦丽华;樊小琳
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时滞周期Logistic方程的周期解的稳定性

时滞周期Logistic方程的周期解的稳定性
傅一平;周笠
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2001(021)003
【摘要】该文应用周期解的线性化稳定性的Floquet理论研究了一类含时滞的周期Logistic方程的周期解的稳定性.
【总页数】8页(P303-310)
【作者】傅一平;周笠
【作者单位】华南理工大学应用数学系;华中理工大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.多时滞Logistic差分方程正周期解的存在性 [J], 刘智钢;凡爱平
2.一类具多时滞的Logistic型方程持久性和概周期解的存在性 [J], 施春玲;王丹红
3.具有无穷时滞的时滞微分方程概周期解的唯一性与稳定性 [J], 朱焕然
4.具有时滞的周期Logistic方程的持续性与周期解 [J], 桂占吉;陈兰荪
5.无穷时滞Logistic方程的概周期解存在定理 [J], 徐建华
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