19-20学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3.2.1单调性与最大小值第1课时函数的单调性应用案

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3.2.1函数的单调性与最大小值(第一课时)课件(人教版)

函数有着不同的对应关系 ,那么我们称这样的函数为分段函数
.
f1(x),x A1,
如y=f(x)= …f2(…x),,x A2, 是分段函数.
fn (x),x An
注意:分段函数表示的是一个函数.
3.2.1 单调性和最大（小）值情境导入
思考视察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律： ①随x的增大，y的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③ 函数图象是否具有某种对称性？
3.2.1 单调性和最大（小）值随堂练习
4、函数y=|x+2|在区间[-3,0]上( ) A.递减 B.递增 C.先递减后递增 D.先递增后递减
解：根据题意画出函数图像，易知选择C
3.2.1 单调性和最大（小）值随堂练习
5、.已知函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,那么下列不等式中成立的是( D ) A.f(4)>f(-π)>f(3) B.f(π)>f(4)>f(3) C.f(4)>f(3)>f(π) D.f(-3)>f(-π)>f(-4)
第三章函数概念与性质
3.2.1 单调性和最大（小）值教学目标
1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念； 2、掌握增（减）函数的证明和判别； 3、学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
2
3.2.1 单调性和最大（小）值重点难点重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。难点：单调性的证明和判别。
3.2.1 单调性和最大（小）值研探新知
知识点二减函数与单调递减
一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间 D⊆I ，如果 ∀x1,x2∈D , 当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2) 那么就称函数f(x)在区间D上单调递减；特别地，当函数 f(x)在它的定义域内最大（小）值随堂练习

新教材高中数学第三章函数的概念与性质单调性与最大小值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册

所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)．所以函数 f(x)＝x2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数． (2)设 x1，x2 是 R 上的任意两个实数，且 x1＜x2，则 x2－x1＞0，而 f(x2)－f(x1)＝(x32＋x2)－(x31＋x1) ＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21)＋(x2－x1) ＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21＋1) ＝(x2－x1)x2＋x212＋34x21＋1.
答案 C 解析 f(x)＝|x|的递增区间是[0，＋∞)，g(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1 的递增区间为(－∞，1]．
7．函数 f(x)＝x－2－x21，，x<x≥0 0，的单调区间为(
)
A．(－∞，0)，[0，＋∞) B．(－∞，0)
C．[0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
答案 A
解析函数 f(x)的大致图象如图所示．由图可知函数 f(x)的单调区间为 (－∞，0)，[0，＋∞)．
∴(－∞，－3]是 y＝－12 x2＋2x－3的单调递增区间．故所求函数的单调递减区间为[1，＋∞)．
9．已知函数 f(x)＝8＋2x－x2，g(x)＝f(2－x2)，试求 g(x)的单调区间．解令 u(x)＝2－x2，则 u(x)在(－∞，0]上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，且 u(0)＝2. f(x)＝8＋2x－x2＝－(x－1)2＋9 在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数．令－x2＋2＝1，则 x＝±1. ∴当 x∈(－∞，－1]时，u(x)为增函数，值域为(－∞，1]，且 f(x)在(－ ∞，1]上也为增函数． ∴g(x)在(－∞，－1]上为增函数．
4．(多选)下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )

高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1单调性与最大小值第1课时函数的单调性新人教A版必修1

函数f(x)=x的图象由左到右是上升的;函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的.
课前篇自主预习
一二
(2)如何利用函数解析式f(x)=x2来描述随着自变量x值的变化,函数值f(x)的变化情况?
提示:在(-∞,0]上,随着自变量x值的增大,函数值f(x)逐渐减小;在 (0,+∞)上,随着自变量x值的增大,函数值f(x)逐渐增大.
提示:可以.增函数的定义:由于当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),即都是相同的不等号“<”,步调一致;“当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2)”也是相同的不等号“>”,步调也一致.因此我们可以简称为:步调一致增函数.
课前篇自主预习
一二
2.填表增函数
减函数
定义
一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D⊆I:如果∀x1,x2∈D,
探究一
探究二
探究三思维辨析随堂演练
课堂篇探究学习
函数单调性的应用例3 已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)
3
与f 4 的大小.
分析:要比较两个函数值的大小,需先比较自变量的大小.
解:∵a2-a+1=
��-
1 2
2
+
3 4
≥
34,
∴3与
4
a2-a+1
(3)用x与f(x)的变化来描述当x在给定区间从小到大取值时,函数值依次增大?如果是函数值依次减小呢?
提示:在给定区间上,∀x1,x2,且x1<x2,则f(x1)<f(x2).在给定区间上,∀x1,x2且x1<x2,则f(x1)>f(x2).

高中数学人教A版必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word

四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。

提高学生概括、推理的能力。

通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。

课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

通过练习。

新教材高中数学3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册

证明 ∀x1，x2∈R，且 x2>x1，则 x2－x1>0， ∵当 x>0 时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0， ∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)<0， ∴f(x)为减函数.
答案
题型四复合函数的单调性例 4 求函数 f(x)＝8－21x－x2的单调区间．
[证明] (1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知 x>0 时，0<f(x)<1，当 x＝0 时，f(0)＝1>0，当 x<0 时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝f－1 x>0. ∴∀x∈R，恒有 f(x)>0.
数(decreasing function)．
知识点三
单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____，__□0_4__区__间__D____叫做 y
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相反．

新教材2023年高中数学第3章函数的概念与性质 3

(3)利用(2)和条件 f13＝－1 可得 f(3)，求得 f(m)＝2，将不等式 f(x)－ f(x－2)≥2 化为 f(x)≥f(x－2)＋f(m)的形式结合条件即可得 f(x)≥f[m(x－ 2)]，再利用单调性脱去符号“f”即可求解．莫忘定义域的限制．
[解析] (1)令 x＝y＝1，得 f(1)＝2f(1)，故 f(1)＝0. (2)证明：令 y＝1x，得 f(1)＝f(x)＋f1x＝0，故 f1x＝－f(x)．任取 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝f(x2) ＋fx11＝fxx21. 由于xx21>1，故 fxx21>0，从而 f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
[解析] (1)任取 x1，x2∈[3，5]且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝xx11－＋12－xx22－＋12 ＝x1－1x2x＋1＋22－x2x＋2－21 x1＋2 ＝x1x2＋2x1－xx21－＋22－xx21＋x2－2 2x2＋x1＋2 ＝x13＋x21－xx2＋2 2
∵x1，x2∈[3，5]且x1<x2， ∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)， ∴函数 f(x)＝xx－＋12在 x∈[3，5]上为增函数．
学科素养
逻辑推理——抽象函数典例5 已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f(x·y)＝f(x)＋f(y)，对
任意x，y∈(0，＋∞)都成立．当x>1时， f(x)>0.
(1)求f(1)； (2)求证：f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果 f13＝－1，求满足不等式 f(x)－f(x－2)≥2 的 x 的取值范围．

3.2.1单调性与最大(小)值

概念学习
PART 2
知识点一增函数与减函数的定义
前提条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I
条件
∀x1，x2∈D，x1<x2
都有f(x1) < f(x2)
都有f(x1) > f(x2)
图示
结论
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
当函数f(x)在它的定义域上单调递当函数f(x)在它的定义域上单调递
高一数学
第1课时函数的单调性
y=f(x)
MATHEMATICS
MATHEMATICS
知识引入
概念学习
例题讲解
课堂练习
课后作业
本课任务
知识引入
PART 1
知识引入
y
y = x2
(2) y 随 x 的增大而增大
y y = x3
o
x
o
x
(1)（-3;∞）上随 x 的增大而增大
输入例子(注释)
输入例子辅助理解该概念。输入例子辅助理
解该概念。输入例子辅助理解该概念。
输入例子(注释)
输入例子辅助理解该概念。输入例子辅助理
解该概念。输入例子辅助理解该概念。
分组讨论
此处输入简短的分组说明
PART 4
分组讨论
概念讨论
概念深入学习与理解。
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2.若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围.
2x－3>0，
解
由题意可知，5x－6>0， 2x－3<5x－6，

第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1第2课时函数的最大小值

时，y最大值＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．
即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．
解实际应用题的四个步骤 1审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系. 2建模：建立数学模型，列出函数关系式. 3求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法一定注意自变量的取值范围. 4回归：数学问题回归实际问题，写出答案.
(2)由(1)知 f(x)在[2,4]上单调递增，所以 f(x)的最小值为 f(2)＝2×2＋2＋1 1＝35，最大值 f(4)＝2×4＋4＋1 1＝59.
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数 f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则 f(x)在区间[a，b] 上的最小(大)值是 f(a)，最大(小)值是 f(b)．
3．树立 1 种意识——数形结合通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识． 4．规避 2 个易错 (1)最值 M 一定是一个函数值，是值域中的一个元素． (2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．
1．函数 y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为( )
A．[0,3]
B．[－1,0]
() () ()
2．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－1,0 B．0,2 C．－1,2 D.12，2 C [由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.]
3．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)( )

新教材高中数学第三章函数的概念与性质32函数的基本性质321单调性与最大小值第1课时函数的单调性课件

函数．
题型 1 求函数的单调区间例1 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
方法归纳 1．求函数单调区间的方法
2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”“和”连接，不能用“∪”连接．
巩固训练1 画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间．
C. [－1，2]
D．[2，5]
答案：BD
解析：结合图象易知，函数f(x)在区间[－4，－1]、[2，5]上单调递减．
答案：A
(－∞，0)和(0，＋∞)
题型探究·课堂解透
解析：当x≥1时，f(x)是增函数，当x＜1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增
方法归纳 1．由函数解析式求参数
答案：A
第1课时函数的单调性
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标单调性． (3)会用定义证明函数的单调性．
教材要点要点一增函数与减函数的定义
条件结论
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果任意❶x1，
助学批注
批注❶ “任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般．批注❷ (1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念．
× √
×
×
2．(多选)如图是函数y＝f(x)的图象，则函数y＝f(x)在下列区间单调
递减的是( )
A．[－6，－4] B．[－4，－1]
x2∈I, 当x1＜x2时

新教材高中数学第3章函数概念与性质3.2.1单调性与最大(小)值课件

区间(1,3)内单调递增.( × )
(4)任何函数都有最大(小)值.( × )
(5)函数f(x)在区间[a,b]上的最值一定是f(a)(或f(b)).( × )
合作探究·释疑解惑
探究一证明函数的单调性

【例 1】求证:函数 f(x)= 在区间(0,+∞)内单调递减.

证明:设∀x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,
函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)
的单调区间.
3.做一做:下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递增的是(
A.y=-2x
B.y=(x-1)2

C.y=+
D.y=|x+2|
解析:y=-2x 在区间(0,+∞)内单调递减,A 错;
y=(x-1)2 在区间(0,+∞)内先减后增,B 错;
)
A.(-∞,4] B.(-∞,4)
C.[4,+∞) D.(4,+∞)
解析:若函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)内单调递增,则其图

象的对称轴应满足 ≤1 ,所以a≤4.
答案:A
(2)f(x)在R上单调递增;g(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间
(0,+∞)内单调递增;h(x)在区间(0,+∞)内单调递减.
2.填空:
最大值
最小值
一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足
条件 ∀x∈I,都有 f(x)≤M
∀x∈I,都有 f(x)≥M
∃x0∈I,使得 f(x0)=M
(3)函数f(x)的定义域为R,

新教材高中数学第三章函数的概念与性质单调性与最大小值第2课时函数的最大小值学案新人教A版必修第一册

第2课时函数的最大(小)值课程标准(1)理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(2)能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值．(3)能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点函数的最大值与最小值助学批注批注❶函数的最值与值域的关系：(1)函数的值域一定存在,函数的最值不一定存在．(2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素．(3)若函数的值域是开区间,则函数无最值；若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)任何函数都有最大(小)值．( )(2)如果一个函数有最大值,那么最大值是唯一的．( )(3)函数f(x)取最大值时,对应的x可能有无限多个．( )(4)如果f(x)的最大值、最小值分别为M,m,则f(x)的值域为[m,M].( )2．函数f(x)＝1x在[1,＋∞)上( )A．有最大值无最小值B.有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D.无最大值也无最小值3．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为( )A．3,5B．－3,5C.1,5D．－5,34．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1 利用函数的图象求函数的最值例1 已知函数f(x)＝{x2−x，0≤x≤22x−1，x＞2，求函数f(x)的最大值、最小值．方法归纳图象法求最值的一般步骤巩固训练1 若x∈R,f(x)是y＝2－x2,y＝x这两个函数中的较小者,则f(x)的最大值为( )A．2B．1C．－1D．无最大值题型 2 利用函数的单调性求最值.例2 已知函数f(x)＝2x+1x+1(1)判断函数在区间(－1,＋∞)上的单调性,并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．方法归纳函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．在区间[2,6]上的最大值和最小值．巩固训练2 求函数y＝2x−1题型 3 求二次函数的最值例3 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3,若x∈[0,2],求函数f(x)的最值．(2)求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t,t＋1]上的最小值g(t)．(3)已知函数f(x)＝x2－ax＋1,求f(x)在[0,1]上的最大值．方法归纳求二次函数最值问题的解题策略一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系,往往分三种情况：(1)定义域在对称轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴右侧．在讨论时可结合函数图象,便于分析、理解．巩固训练3 已知二次函数f(x)＝－x2＋2ax－a在区间[0,1]上有最大值2,求实数a的值．第2课时函数的最大(小)值新知初探·课前预习[教材要点]要点≤ ≥ f (x 0)＝M 纵坐标纵坐标[基础自测]1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．解析：函数f (x )＝1x 是反比例函数,当x ∈(0,＋∞)时,函数图象下降,所以在[1,＋∞)上f (x )单调递减,f (1)为f (x )在[1,＋∞)上的最大值,函数在[1,＋∞)上没有最小值．答案：A3．解析：因为f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2,2])是单调递减函数,所以当x ＝2时,函数的最小值为－3.当x ＝－2时,函数的最大值为5.答案：B4．解析：由图象知点(1,2)是最高点,点(－2,－1)是最低点, ∴y max ＝2,y min ＝－1. 答案：－1,2题型探究·课堂解透例1 解析：作出f (x )的图象如图：由图象可知,当x ＝2时,f (x )取最大值2；当x ＝12时,f (x )取最小值－14.所以f (x )的最大值为2,最小值为－14.巩固训练1 解析：在同一坐标系中,作出函数的图象(如图中的实线部分), 则f (x )max ＝f (1)＝1. 答案：B例2 解析：(1)f (x )在(－1,＋∞)上单调递增,证明如下：任取－1<x 1<x 2, 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1+1x 1+1−2x 2+1x 2+1＝x 1−x 2(x 1+1)(x 2+1),因为－1＜x 1＜x 2⇒x 1＋1＞0,x 2＋1＞0,x 1－x 2＜0, 所以f (x 1)－f (x 2)＜0⇒f (x 1)＜f (x 2), 所以f (x )在(－1,＋∞)上单调递增． (2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增, 所以f (x )的最小值为f (2)＝2×2+12+1＝53,最大值f (4)＝2×4+14+1＝95.巩固训练2 解析：设x 1,x 2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝2x1−1−2x 2−1＝2(x 2−x 1)(x1−1)(x 2−1)由于2<x 1<x 2<6, 得x 2－x 1>0,(x 1－1)(x 2－1)>0,于是f (x 1)－f (x 2)>0,f (x 1)>f (x 2) 所以,函数y ＝2x−1在区间[2,6]上单调递减．x ＝2时取最大值,最大值是2,在x ＝6时取最小值,最小值为25.例3 解析：(1)∵函数f (x )＝x 2－2x －3开口向上,对称轴x ＝1,∴f (x )在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,且f (0)＝f (2)．图1∴f (x )max ＝f (0)＝f (2)＝－3,f (x )min ＝f (1)＝－4. (2)当t ＋1<1,即t <0时,函数图象如图1所示,函数f (x )在区间[t ,t ＋1]上为减函数,所以最小值为g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t >1时,函数图象如图2所示,图2图3函数f (x )在区间[t ,t ＋1]上为增函数,所以最小值为g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.当t ≤1≤t ＋1,即0≤t ≤1时, 函数图象如图3所示,最小值为g (t )＝f (1)＝1,综上所述,g (t )＝{t 2+1，t <01，0≤t ≤1t 2−2t +2，t >1.(3)因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上,其对称轴为x ＝a2,当a 2≤12,即a ≤1时,f (x )的最大值为f (1)＝2－a ；当a 2>12,即a >1时,f (x )的最大值为f (0)＝1. 综上f (x )max ＝{2−a ，a ≤11，a >1.巩固训练3 解析：f(x)＝－(x－a)2＋a2－a,对称轴为x＝a.(1)当a<0时,f(x)在[0,1]上单调递减,∴f(0)＝2,即a＝－2.(2)当a>1时,f(x)在[0,1]上单调递增,∴f(1)＝2,即a＝3.(3)当0≤a≤1时,f(x)在[0,a]上单调递增,在[a,1]上单调递减, ∴f(a)＝2,即a2－a＝2,解得a＝2或a＝－1,与0≤a≤1矛盾．综上a＝－2或a＝3.。

新教材高中数学第三章函数概念与性质单调性与最大小值课件新人教A版必修第一册

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 或fxx11－－fx2x2>0.对减函数的判断，对任意 x1<x2，都有 f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 或 fxx11－－fx2x2<0.
3.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y＝ .如果有最值, 则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是 f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a). 4.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y＝f(x)的草图,然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处取得.
（3）区间A一定是连续的,如果中间有断裂,则无法称作单调递增或者单调递减.如图示的函数.
单调性的定义
函数单调性定义的等价形式(对于任意的
)：
【1】
在D上为增函数；
【2】
在D上为减函数；
【3】
在D上为增函数；
【4】
在D上为减函数.
即自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为增函数；自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为减函数；
反之,函数在区间端点处无定义时,书写单调区间时就不能包括端点.
单调性的应用【例题1】根据定义,研究函数
的单调性.
【解】函数 ,
的定义域是R,对于任意的
且
由
知
,所以：
①当
时,

新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1单调性与最大小值2学案含解析新人教A版必修第一册

学习资料新教材高中数学第三章函数的概念与性质 3.2.1单调性与最大小值2学案含解析新人教A版必修第一册班级：科目：3．2。

1 单调性与最大(小）值(2)内容标准学科素养1.理解函数的最大(最小）值及几何意义．直观想象逻辑推理、数学运算2。

利用单调性求最值、比较大小、解不等式.授课提示：对应学生用书第39页［教材提炼］知识点函数的最值预习教材思考问题（1)函数f(x）＝x2图象的最低点的纵坐标是多少？（2）函数f(x）＝－x2图象的最高点的纵坐标是多少？知识梳理最大值最小值条件一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I,都有f(x)≤M f（x）≥M存在x0∈I，使得f(x0）＝M结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f（x)的最小值几何意义f(x）图象上最高点的纵坐标f（x)图象上最低点的纵坐标[自主检测］1．函数f(x)＝－2x＋1(x∈［－2,2］）的最小、最大值分别为(）A．3、5B．－3、5C．1、5 D．－5、3答案：B2．函数f（x)在[－2，＋∞）上的图象如图所示,则此函数的最大、最小值分别为()A．3、0 B．3、1C．3、无最小值D．3、－2答案：C3．函数y＝2x2＋2,x∈N*的最小值是________．答案：4授课提示：对应学生用书第40页探究一利用图象法求函数的最值［例1］已知函数f（x）＝错误!求函数f(x）的最大值、最小值．［解析］作出f(x)的图象如图:由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝错误!时，f（x)取最小值为－错误!. 所以f(x)的最大值为2，最小值为－错误!.用图象法求最值的三个步骤已知函数f(x）＝错误!（x∈[2,6］)，求函数的最大值和最小值．解析：由函数f(x）＝错误!(x∈［2，6])的图象（如图所示）可知，函数f（x）＝错误!在区间［2,6]上单调递减．所以，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值．y max＝f(2）＝2，y min＝f（6)＝错误!。

新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)

新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大（小）值第2课时函数的最大（小）值课后课时精练新人教A 版必修第一册A 级：“四基”巩固训练一、选择题 1．已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，则函数的最大值为( ) A ．0.4 B ．1 C ．2 D ．2.5 答案 C解析 ∵函数f (x )＝2x －1在[2,6]上单调递减，∴f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2. 2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1)，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对答案 A解析当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10，当－1≤x <1时，6≤x ＋7＜8.∴f (x )min ＝f (－1)＝6，f (x )max ＝f (2)＝10.故选A.3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，2] D ．[1,2]答案 D解析由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2知，当x ＝1时，y 的最小值为2，当y ＝3时，x 2－2x ＋3＝3，解得x ＝0或x ＝2.由y ＝x 2－2x ＋3的图象知，当m ∈[1,2]时，能保证y 的最大值为3，最小值为2.4．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)答案 C解析令f (x )＝－x 2＋2x ，则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1.又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min＝f (0)＝f (2)＝0.∴a <0.5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ，所以函数f (x )图象的对称轴为x ＝2.又因为函数图象开口向下，所以f (x )在[0,1]上单调递增．又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2，即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.二、填空题6．设函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上单调递减，在区间[－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．答案 f (－2) f (6)解析函数y ＝f (x )在[－4,6]上的图象的变化趋势大致如图所示，观察可知f (x )min ＝f (－2)．又由题意可知f (－4)<f (6)，故f (x )max ＝f (6)．7．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________.答案 4解析因为f (x )＝1x 在[1，b ]上单调递减，所以f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，所以b ＝4.8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为______(m)．答案 20解析设矩形花园的宽为y m ，则x40＝40－y 40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20时，面积最大．三、解答题9．求下列函数的最值．(1)函数y ＝x ＋x －1(x ≥1)的最小值； (2)函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的最大值．解 (1)解法一：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1，所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1.故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.解法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1(x ≥1)均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1(x ≥1)为增函数，所以当x ＝1时y 取得最小值，即y min ＝1.(2)y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1＝2(x 2－x ＋1)＋1x 2－x ＋1＝2＋1x 2－x ＋1＝2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34. 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以2<2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≤2＋43＝103.故函数的最大值为103.10．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0,1]上单调递增，∴g (a )＝f (0)＝1a；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0,1]上单调递减，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.B 级：“四能”提升训练1．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上单调递减； (2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．解 (1)证明：∀x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0，所以f (x 2－x 1)<0. 又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )在R 上单调递减． (2)由(1)可知f (x )在R 上单调递减，所以f (x )在[－3,3]上也单调递减，所以f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.2．某公司生产某种产品投入固定资金20万元，以后生产x 万件产品需再投入可变资金a (x 2－1)万元，收入为R (x )万元，其中R (x )＝160x －3.8x 2－1480.2.已知当生产10万件产品时，投入生产资金可达到39.8万元．(1)判断生产每件产品所需可变资金函数的单调性；(2)求计划生产多少件产品时，利润最大？最大利润是多少万元？解 (1)生产x 万件产品所投入资金共有y ＝20＋a (x 2－1)万元，当x ＝10时，y ＝39.8，解得a ＝0.2. 生产每件产品所需可变资金函数为f (x )＝110000×a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝110000×0.2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝110000×0.2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1－110000×0.2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2＝110000×0.2(x 1－x 2)－110000×0.2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝110000×0.2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x 1－x 2)＋x 1－x 2x 1x 2＝110000×0.2(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以110000×0.2(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1x 2>0，故生产每件产品所需可变资金函数f (x )＝110000×0.2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 为单调递增函数．(2)设利润为L (x )万元，则L (x )＝R (x )－20－0.2(x 2－1)＝160x －3.8x 2－1480.2－20－0.2(x 2－1)＝160x －4x 2－1500＝－4(x －20)2＋100，所以当生产20万件产品时利润最大，最大利润为100万元．。