第二十六章复习 二次函数 华东师大版

第二十六章复习 二次函数一、本章知识结构随堂笔记二、专题总结专题一 二次函数的各项系数与二次函数图象位置1．a 的正负决定抛物线开口方向，a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下． 2．a 的绝对值决定抛物线开口大小，|a|越大，抛物线开口越小．3．a 、b 同号，对称轴在y 轴左侧；a 、b 在异号，对称轴在y 轴右侧；b=0时，对称轴为y 轴．4．c ＞0时，抛物线与y 轴交点在x 轴上方；c=0时，抛物线过坐标原点；c ﹤O 时，抛物线与y 轴交点在x 轴下方．5．b 2-4ac ﹥0，抛物线与x 轴有两个交点；b 2-4ac=0，抛物线与x 轴有一个交点；b 2-4ac ﹤0，抛物线与x 轴无交点．【例1】 （2003，海淀）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图26-1所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞0，b ﹤O ，c ＞0 B ．a ﹤O ，b ﹤O ，c ＞0 C ．a ﹤O ，b ＞0，c ﹤O D ．a ﹤O ，b ＞0，c ＞0思维入门指导：由抛物线开口方向，对称轴位置，与y 轴交点位置来判断. 解：∵抛物线开口向下，∴a ﹤O. ∵对称轴在y 轴右侧，∴-ab2＞0．又a ﹤O ，∴b ＞0． ∵抛物线与y 轴交点在x 轴上方，∴c ＞0．∴选D ． 点拨：直接推导a 、b 、c 符号即可．【例2】 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图26-2所示，则下列5个代数式：ab ，ac ，a-b+c ，b 2-4ac ，2a+b 中，值大于0的个数有（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2思维入门指导：当x=-1时，y=a-b+c.解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0．∵对称轴在y 轴左侧，∴a ，b 同号．又a ＞0，∴b ＞0．∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ﹤O ．∴ab ＞0，ac ﹤0.∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞0. ∵对称轴x=-ab2=-1，∴b=2a ．∴2a+b ﹥0 当x=-1时，y=a-b+c ﹤0．∴选C ．点拨：a+b+c ，a-b+c 分别是x=l ，x=-1时，函数y =ax 2+bx+c （a ≠0）的函数值． 专题一强化练习1．满足a ﹤O ，b ＞0，c=0的函数y=ax 2+bx+c 的图象是图26-3中的（ ）2．在二次函数y=x 2+bx+c 中，若b+c=0，则它的图象一定经过点（ ） A ．（-1，-1） B ．（1，-1） C ．（-1，1） D ．（1，1） 3．若ac ﹤0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交点个数为（ ） A ．2个 B ．l 个 C ．0个 D ．无法确定 4．（2003，天津）已知，图26-4为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，则一次函数y=ax+bc 的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．（2002，山西）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图26-5所示，则关于x 的方程ax 2+bx+c-3=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实根 B ．有两个异号实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根6．（2002，哈尔滨）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图26-6所示，下列结论中：①abc ﹥0；②b=2a ；③a+b+c ＜0；④a-b+c ＞0．正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．l 个7．（2002，重庆）已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图象是图26-7中的（ ）8．已知反比例函数y=xk 的图象如图26-8所示，则二次函数y=2kx 2-x+k 2的图象大致为图26-9中的（ ）9．在同一坐标系中，函数y=ax 2+c 与y=xc（a ﹤c ）的图象可能是图26-10中的（ ）10．在同一坐标系中，函数y=ax 2与y=ax-1（a ≠0）的图象可能是图26-11中的（ ）11．如图26-12，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴是直线x=1．下面给出了4个结论：①a ﹤O ，b ＞0；②2a+b=0；③a+b+c ＞0；④4a+2b+c=0． 正确结论的序号是 .专题二 求二次函数的关系式【例1】 （1）已知抛物线经过A （1，-5），B （4，5），C （-2，5），求抛物线的关系式． （2）已知抛物线经过（0，1）顶点坐标为（1，3），求抛物线的关系式．（3）已知一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1=2，x 2=3，且抛物线y=ax 2+bx+c 经过（1，-6），求抛物线的关系式． 思维入门指导：（1）设一般式，列三元一次方程组；（2）设一般式或顶点式；（3）设一般式或两点式.（2）法一：因为抛物线的顶点为（1，3），所以设抛物线的关系式为y=a(x-1)2+3.把x=0，y=1代入上式，得1=a+3.∴a=-2. ∴y=-2(x-1)2+3=-2x 2+4x+1.∴y=-2x2+4x+1.∴y=-3x2+15x-18.法二：方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，即抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x1，0），（x2，0）.设抛物线的关系式为y=a(x-2)(x-3).把（1，-6）代入上式，得-6=a(1-2)(1-3).解得a=-3.∴y=-3(x-2)(x-3)=-3(x2-5x+6)=-3x2+15x-18.点拨：根据所给条件灵活选择不同的函数关系式．【例2】（1）把抛物线y=-2x2-4x-3向右平移2个单位，再向上平移4个单位，求所得抛物线的关系式；（2）把抛物线y=-2x2-4x-3绕其顶点旋转180°后关系式；（3）抛物线y=-2x2-4x-3关于x轴对称的抛物线的关系式；（4）抛物线y=ax2+bx+c与y=2x2-4x+1的形状相同，开口方向相反，顶点为（1，3），求该抛物线关系式．思维入门指导：（1）平移后开口方向，开口大小不变，形状不变，只是位置发生了变化；（2）旋转后开口方向相反，开口大小不变，二次项系数是原来的相反数，顶点不变；（3）关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；（4）可用顶点式求．解：（1）法一：把抛物线y=-2x2-4x-3向右平移2个单位，再向上平移4个单位所得抛物线的关系式为y=-2(x-2)2-4(x-2)-3+4=-2x2+8x-8-4x+8+1=-2x2+4x+1．法二：y=-2x2-4x-3=-2(x2+2x+1-1)-3=-2(x+1)2-1，顶点为（-1，-1），向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，顶点为（1，3），∴关系式y=-2（x-l）2+3=-2x2+4x+1.（2）抛物线y=-2x2-4x-3=-2(x2+2x+1-1)-3=-2(x+1)2-1顶点为（-1，-1），将其绕顶点旋转180°后，开口大小不变，方向相反，∴二次项系数为2．∴其关系式为y=2(x+1)2-1=2x2+4x+1．（3）抛物线y=-2x2-4x-3关于x轴对称的抛物线为-y=-2x2-4x-3，∴y=2x2+4x+3.（4）抛物线y=ax2+bx+c与y=2x2-4x+1的开口方向相反，形状相同.∴a=-2.又∵顶点为（1，3），∴其关系式为y=-2(x-1)2+3=-2x2+4x+1.点拨：抛物线经过平移，旋转后其形状不发生变化，即二次项系数|a|不变.专题二强化练习1．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2），它与x轴的一个交点的横坐标是-1，与y轴的交点的纵坐标是-4.求：（1）抛物线的关系式；（2）抛物线与x轴另一个交点的坐标．2．已知一个二次函数的图象经过（4，-3）、（2，1）、（-1，-8）三点，求这个二次函数的关系式．3．已知抛物线的顶点为（-l，-2），且通过（1，10），求这条抛物线的关系式．4．已知二次函数y=x 2+px+q ，当x=21时，y 取得最小值-425，求p 、q 的值.5．已知对称轴是x=-1的抛物线经过点（1，4）和（-2，1），求这条抛物线的关系式．6．已知抛物线y=-101x 2-59x+c 经过点（2，-12），求函数最大值.7．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，经过（0，-1）和（3，5）两点，且顶点到x 轴的距离为3，求这个函数关系式8．如图26-13，正方形OABC 的顶点O 在坐标系原点，A 、C 分别在x 轴和y 轴上，若B 点的坐标为（4，4），D 为OA 的中点，求经过B 、D 、C 三点的抛物线的关系式.专题三 二次函数在生产、生活中的应用【例】 某隧道根据地质结构要求其横截面需建成抛物线拱形，计划路面水平宽度AB=12m ．根据施工需要，选取AB 的中点D 为支撑点，搭一个正三角形支架ADC ，C 点在抛物线上（如图26-14），过C 竖一根立柱CO ⊥AB 与O ．（1）求立柱CO 的高度；（2）以O 点为坐标原点，AB 所在的直线为横坐标轴，自己画出直角坐标系，写出A 、B 、C 三点的坐标；（坐标轴上的一个长度单位为1m ）（3）求经过A 、B 、C 三点的抛物线方程；（4）请帮施工技术人员计算该抛物线拱形的高． 思维入门指导：（1）AB=12m ，D 为AB 中点，则AD ＝6m ，△ADC 为等边三角形，CO 是AD 边上的高，可用勾股定理求OC ；（2）OA ＝3，OB=9；（3）可设一般式或两点式；（4）抛物线拱高即抛物线顶点的纵坐标．解：（1）AD=21AB=6，OA=OD=21AD=3，CD=AD=AC=6.在Rt △CDO 中，OC=3393622=-=-OD CD （m ）. （2）如图建立平面直角坐标系，则OA=3m ，OB=9m ，OC=33m. ∴A （-3，0），B （9，0），C （0，33）.（3）因为抛物线与x 轴交于A （-3，0），B （9，0），所以设该抛物线的关系式为y=a(x+3)(x-9).把（0，33）代入，得33=-27a. ∴a=-93. ∴y=-93(x 2-6x-27)=-93x 2+332x+33.(4)y=-93x 2+332x+33=-93(x 2-6x-27)=-93(x 2-6x+9-36) =-93(x-3)2+43. ∴该抛物线的拱高为43m.专题三强化练习1．今有一种农业生产中使用的喷灌设备，如图26-15所示．设水管AB 高出地面1．5米，在B 处有一个自动旋转的喷水头，喷出的水流呈抛物线状，喷头B 与水流最高点C 的连线与水平地面成45°角，水流的最高点C 比喷头B 高出2米．在所建的直角坐标系中，求水流的落地点D 到A 点的距离．2．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y 微克（1微克=10-3毫克）随时间x 小时的变化规律与某一个二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）相吻合，并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用2小时后每毫升血液中含药量为6微克；服用3小时后，每毫升血液中含药量为7．5微克．（1）试求出含药量y （微克）与服药时间x （小时）的函数关系式，并画出0≤x ≤8内的函数图象的示意图； （2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间是血液中含药量不为0的总时间）3．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，图26-16的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）.根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三个点的坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？4．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元.市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg.在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足1天时，按整天计算）.设销售单价为x 元，日均获利为y 元.（1）求y 关于x 的二次函数关系式，注明x 的取值范围；（2）将（1）中所求出的一次函数配成y=a(x+ab 2)2+a b ac 442的形式，写出顶点坐标，指出单价定为多少时，日均获利最多？最多是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利最多？多多少？5．某商业公司为指出某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和成本进行了调整，结果如下：每件商品的售价M （元）与时间t （月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图26-17（1）），每件商品的成本Q （元）与时间t （月）的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示．如图（26-17（2））（说明：图中每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本）.请你根据图象提供的信息回答：（1）每件商品在3月份出售时的利润（利润=售价-成本）是多少元？（2）求图（2）中表示的每件商品的成本Q （元）与时间t （月）之间的函数关系式；（3）你能求出三月份七月份每件商品的利润W （元）与时间t （月）之间的函数关系式吗（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围）？若该公司共有此种商品30000件，准备在一个月内全部售完，请你计算一下至少要获利多少元？三、中考突破 （一）中考信息在近几年的中考中，加强了对二次函数的图象、性质、求关系式的考查，在2003年和2004年的中考中，各地对应用函数知识解决生活中的问题及二次函数与方程、几何的综合运用考查较多，中考中的压轴题多与二次函数相结合．（二）中考典题【例1】 （2003，梅州，10分）如图26-18是我市一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点A 和A 1，点B 和点B 1；分别关于y 轴对称，隧道拱形部分BCB 1为一段抛物线，最高点C 离路面AA 1的距离为8米，点B 离路面AA 1的距离为6米，隧道的宽AA 1为16米．（1）求隧道拱抛物线BCB 1的关系式；（2）现有一大型货运汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，它能否安全通过这个隧道？说明理由．思维入门指导：（1）由已知条件知该抛物线顶点C 坐标为（0，8），B 点坐标为（-8，6），B 1点坐标为（8，6），用待定系数法求出BCB 1的关系式；（2）假设大型货运汔车从隧道中部通过，货车宽为4m ，即求x=2时，看y 的值是否大于7m.解：（1）由题设知抛物线顶点C （0，8），且过B （-8，6），B 1（8，6），所以设抛物线BCB 1的关系式为y=ax 2+8.把B 1（8，6）代入，得6=64a+8.解得a=-321.∴y=-321x 2+8.当x=2时，y=-321×4+8=787﹥7米，∴该货车能安全通过这个隧道.点拨：当y=7时，若求出x ＞2也能判断汽车能安全通过这个隧道．（三）学科内综合题【例2】 （2003，上海，10分）卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1：11000的比例图上，跨度AB=5cm ，拱高OC=0.9cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图26-19①，在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系如图26-19②．（1）求出图②上以这一部分抛物线为图象的函数关系式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM=0．45cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长．（备用数据：2≈1.4，计算结果精确到1米） 思维入门指导：（1）由题意知，抛物线顶点为（0，0．9），且过A （-2．5，0），B （2．5，0）.（2）求DE 的长，可求出D 、E 的横坐标，D 、E 的纵坐标与M 点纵坐标相等，为0．45，将y=0．45代入（1）中函数关系式即可求出D 、E 横坐标．解：（1）由题意知，抛物线顶点C 的坐标为（0，0．9），所以设抛物线关系式为y=ax 2+0.9.把B （-2．5，0）代入上式，得0=6．25a+0.9．解得a=-12518. ∴函数关系式为y=-12518x 2+109（-2.5≤x ≤2.5）. （2）∵DE ∥AB ，∴D 、M 、E 的纵坐标相等，都为209.把y=209代入y=-12518x 2+109，得x 1=452.x 2=-245.∴D 点坐标为（-245，209），E 点坐标为（209,245）. ∴DE=245245 =225.∴卢浦大桥拱内实际桥长为225×11000×0.01=2752≈385（米）. 点拨：求DE 的长即求出D 、E 两点坐标.（四）学科间综合题【例3】 （2001，青海）如图26-20所示，在斜坡A 处立一旗杆AB （旗杆与水平面垂直），一小球从斜坡O 点抛出，小球擦旗杆顶B 而过，落地时撞击斜坡的落点为C.已知A 点与O 点的距离为25m ，旗杆AB 高为3m ，C 点的垂直高度为3.5m ，C 点与O 点的水平距离为7米，以O 为坐标原点，水平方向与竖直方向分别为x 轴与y 轴，建立直角坐标系．（1）求小球经过的抛物线的关系式；（小球直径忽略不计）（2）H 为小球所能达到的最高点，求OH 与水平线O x 之间夹角的正切值． 思维入门指导：（1）O 点坐标为（0，0），C 点坐标（7，3．5）因此只要求出B 点坐标即可，可过C 作x 轴垂线，并延长BA 与x 轴相交，利用平行线分线段成比例即可求出B 点坐标；（2）求出顶点H 的坐标即可．解：（1）过C 作CE ⊥x 轴于E ，延长BA 交x 轴于F ，则OE=7，CE=3．5．∴OC=.52744972=+∵AF ∥CE ，∴AF:27=25：257. ∴AF=21.又OF ：7=25：257，OF=1，∴B 的坐标为（1，3.5）.设抛物线关系式为y=ax 2+bx+c.把O （0，0），B （1，3.5），C （7，3.5）代入上式，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.5.3749,5.3,0c b a c b a c解这个方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.0,4,21c b a ∴抛物线的关系式为y=-21x 2+4x （0≤x ≤7）.（2）过H 作HM ⊥x 轴于M ，y=-21x 2+4x=-21(x 2-8x+16-16)=-21(x-4)2+8.即顶点H 的坐标为（4，8），即MH=8，OM=4.∴tan ∠HOM=48=2. 点拨：求抛物线关系式关键是确定B 点坐标，可与相似三角形相联系；求OH 与x 轴夹角即求出抛物线顶点纵坐标与横坐标绝对值的比.（五）应用与创新题【例4】 （2003，台州）如图26-21所示，已知抛物线的顶点为D （0，81）.且经过点A （1，817）. （1）求这条抛物线的关系式；（2）点F 是坐标原点O 关于该抛物线顶点D 的对称点，坐标为F （0，41），我们可以用以下方法求线段FA 的长度. 过点A 作AA 1⊥x 轴，过点F 作x 轴的平行线，交AA 1于A 2，则FA 2=1，A 2A=41817-=815，在Rt △AFA 2中，AF=817)815(122=+.已知抛物线上另一点B 的横坐标为2，求线段BF 的长； （3）若点P 是抛物线上在第一象限内任意一点，试探究线段PF 的长度与点P 的纵坐标的大小关系，并证明你的猜想.思维入门指导：（1）已知抛物线顶点及一点，易求关系式；（2）先告诉我们如何求AF 两点距离，然后我们可仿照告诉的方法求BF 的长；（3）在（1）（2）的基础上，可设P （x ，y ），则把x 用y 表示出来即可.解：（1）∵抛物线顶点为D （0，81），所以设该抛物线的关系式为y=ax 2+81，把A （1，817）代入，得.81817+=a ∴a=2.∴抛物线的函数关系式为y=2x 2+81. （2）当x=2时，y=2×4+81=865，即B （2，865）.如图26-22，过B 作BB 1⊥x 轴于B 1，过F 作x 轴平行线交BB 1于B 2，则B 2F=2，BB 2=86341865=-，在Rt △BFB 2中，BF=865)863(222=+. （3）设P 点坐标为（x ，y ），则PF=22)41(-+y x .又∵y=2x 2+81，∴2x 2=y-81，x 2=21y-161. ∴PF=y y y y y y ===+-+-221612116121，即该抛物线上任意一点P 到点F 的距离等于这一点的纵坐标.点拨：解题时应认真体验AF 的求法，在此基础上求BF 、PF 的长度.（六）开放与探究题【例5】 （2004，武汉，10分）已知二次函数y=ax 2-(b+1)x-3a 的图象经过点P （4，10），交x 轴于A （x 1，0）B （x 2，0）两点（x 1﹤x 2），交y 轴负半轴于C 点，且满足3AO=OB.（1）求二次函数关系式.（2）在二次函数图象上是否存在点M ，使锐角∠MCO ﹥∠ACO ？若存在，请你求出M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由.思维入门指导：（1）抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴-3a ﹤0，a ﹥0.又x 1x 2=-3﹤0，∴x 1x 2异号.（2）结合图象分析.解：（1）∵抛物线与y 轴的负半轴交于点C ，所以-3a ﹤0，∴a ﹥0，抛物线开口向上.又∵x 1x 2=33-=-aa﹤0，∴x 1，x 2异号.又∵x 1﹤x 2，∴x 1﹤0，x 2﹥0，即A 点在原点左侧，B 点在原点右侧.又∵3OA=OB ，∴x 2=-3x 1.又∵x 1x 2=-3，∴x 12=1.∴x 1=1或x 1=-1.∵x 1﹤0，∴x 1=-1，x 2=3，即A （-1，0），B （3，0）.∴⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-.103)1(416,131a b a ab 解得⎩⎨⎧==.3,2b a ∴y=2x 2-4x-6.（2）存在点M ，使∠MCO ﹥∠ACO.作A 点关于y 轴的对称点A ′，则A ′（1，0）设直线A ′C 的关系式为y=kx+b.把A ′（1，0），C （0，-6）代入y=kx+b ，得⎩⎨⎧=+-=.0,6b k b 解得⎩⎨⎧=-=.6,6k b∴y=6x-b ，则抛物线y=2x 2-4x-6与直线A ′C 的交点为⎩⎨⎧-=--=.66,6422x y x x y解这两个方程，得⎩⎨⎧-==;6,011y x ⎩⎨⎧==.24,522y x即直线A ′C 与抛物线的交点为（0，-6）、（5，24）. 当y=-6时，2x 2-4x-6=-6，x 1=0，x 2=2.∴符合题意的x 的取值范围为-1﹤x ﹤0或2﹤x ﹤5.点拨：注意∠MCO 为锐角，当x=2时，∠MCO 为直角；当2﹤x ﹤5时，∠MCO 才是锐角. 四、思想规律方法总结1．待定系数法：如求二次函数关系式.2．数形结合法：研究二次函数图象与性质，用图象法解一元二次方程，一元二次不等式. 3．分类讨论思想：如研究二次函数性质.4．由特殊到一般：由研究y=ax 2的图象性质类比得出y=ax 2+bx+c 的图象性质. 5．转化的思想：如把实际问题中的最值转化为求二次函数的最值.参考答案一、1．y=ax 2+bx+c （a ≠0）；y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数且a ≠0） 2．一条抛物线；轴；抛物线；对称轴3．（1）上；低点；直线x=-a b 2；（-a b 2，a b ac 442-）；﹥-a b 2；﹤-ab2；小；a b ac 442-（2）下；高；﹤-a b 2；﹥-a b 2；-ab2；大；a b ac 442-4．y=ax 2+bx+c+h ；y=ax 2+bx+c-h ；y=a(x+h)2+b(x+h)+c ；y=a(x-h)2+b(x-h)+c5．（1）y=ax 2+bx+c （a ≠0）；（2）y=a(x-h)2+k （(h ，k)为抛物线顶点）；（3）y=a(x-x 1)(x-x 2)（x 1，x 2为抛物线与x 轴两交点的横坐标） 二、专题一强化练习1．C 点拨：∵a ﹤0，b ﹥0，∴对称轴在y 轴右侧.∵c=0，∴抛物线过坐标原点.2．D 点拨：∵b+c=0，∴b=-c ，y=ax 2-cx+c.当x=-1时，y=1+c+c=2c+1；当x=1时，y=1+b+c=1.∴过（1，1）点. 3．A 点拨：ac ﹤0，∴a ≠0，b 2-4ac ﹥0，∴抛物线与x 轴有两个交点. 4．B 点拨：∵抛物线开口向上，∴a ﹥0.∵对称轴在y 轴左侧，∴b ﹥0. ∵与y 轴交点在x 轴下方，∴c ﹤0.∴一次函数y=ax+bc 的图象过一、三、四象限.5．C 点拨：由图象知，抛物线顶点纵坐标为3，∴原图象向下平移3个单位得到y=ax 2+bx+c-3.∴方程ax 2+bx+c-3=0有两个相等的实数根.6．A 点拨：由图象知，a ﹤0，b ﹤0，c ﹥0.当x=1时，y=a+b+c ﹤0；当x=-1时，y=a-b+c ﹥0.对称轴-ab2=-1，∴b=2a. 7．C 点拨：由y=ax+c 过一、二、四象限得a ﹤0，c ﹥0；抛物线y=ax 2+bx+c 开口向下，与y 轴交点（0，c ）在x 轴上方，得a ﹤0，c ﹥0；抛物线与直线交于同一点（0，c ）.8．D 点拨：由y=xk的图象知，k ﹤0，∴y=2kx 2-x+k 2的图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，与y 轴交于正半轴. 9．A 点拨：若抛物线开口向上，即a ﹥0，则c ﹥0.∴C 、D 均错.若抛物线开口向下，即a ﹤0.由A 、B 可知c ﹥0，则双曲线只可能在第一、三象限.10．B 点拨：若y=ax 2开口向上，则a ﹥0.∴y=ax-1过一、三、四象限.若y=ax 2开口向下，则a ﹤0，∴y=ax-1过二、三、四象限. 11．①②③④ 专题二强化练习1．解：（1）设抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c.把（1，2），（-1，0），（0，-4）代入，得⎪⎩⎪⎨⎧-==+-=++.4,0,2c c b a c b a 解这个方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-===.4,1,5c b a ∴抛物线的关系式为y=5x 2+x-4.（2）当y=0时，5x 2+x-4=0，∴x 1=-1，x 2=54.∴与x 轴另一个交点为（54，0）. 2．解：设这个二次函数关系式为y=ax 2+bx+c.把（4，-3），（2，1）（-1，-8）代入，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=++.8,124,3416c b a c b a c b a 解这个方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.3,4,1c b a ∴二次函数关系式为y=-x 2+4x-3.3．解：∵抛物线顶点为（-1，-2），∴设关系式为y=a(x+1)2-2.把（1，10）代入，得10=4a-2.解得a=3.∴函数关系式为y=3(x+1)2-2=3x 2+6x+1.4．解法一：由题意，知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-.42544,2122p q p 解这个方程组，得⎩⎨⎧-=-=.6,1q p 解法二：设二次函数关系式为y=(x-21)2-425=x 2-x+41-425=x 2-x-6，∴p=-1，q=-6.5．解：∵抛物线对称轴为直线x=-1，∴设y=a(x+1)2+k.把（1，4），（-2，1）代入，得⎩⎨⎧+=+=.1,44k a k a 解这个方程组，得⎩⎨⎧==.0,1k a ∴抛物线的关系式为y=x 2+2x+1.点拨：也可设y=ax 2+bx+c ，列方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++-=-.124,4,12c b a c b a a b再解这个方程组.6．解：把（2，-12）代入y=-101x 2-59x+c ，得-12=-101×4-59×2+c.解得c=-8.∴y=-101x 2-59x-8=-101(x 2+18x+81-81)-8=-101(x+8)2+8.1-8=-101(x+8)2+0.1.∵a=-101﹤0，∴y 有最大值.当x=-9时，y最大值=0.1.点拨：也可用顶点坐标公式求二次函数最大值.7．解：顶点到x 轴距离为3，即顶点纵坐标绝对值为3，可分两种情况.（1）当顶点纵坐标为3时，由题意，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=++-= ③　② ①.344,539,12ab ac c b a c 把①代入②、③，得⎩⎨⎧-==+　⑤　④.16,232a b b a由④得b=2-3a.代入⑤，得4-12a+9a 2=-16a ，9a 2+4a+4=0. ∵∆=16-4×9×4﹤0，∴此方程无实根.∴顶点不能在x 轴上方.（2）当顶点纵坐标为-3时，由题意，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=++-=.344,539,12ab ac c b a c 解这个方程组，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===;1,34,92111c b a ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.1,4,2222c b a∴函数关系式为y=134922-+x x 或y=2x 2-4x-1. 点拨：顶点到x 轴的距离为3，即顶点纵坐标为3或-3.8．解：∵D 为OA 中点，∴D 点坐标为（2，0），即抛物线过点D （2，0），B （4，4），C （0，4）.设抛物线的关系式为y=a(x-2)2.把（0，4）代入，得4=4a ，∴a=1.∴y=(x-2)2=x 2-4x+4.专题三强化练习1．解：由题意知，CM=2米，又∠CBM=45°，∴CM=BM=2米，OB=1.5米.∴MN=1.5米. ∴CN=3.5米.即该抛物线顶点C （2，3.5），B （0，1.5）.∴设抛物线关系式为y=a(x-2)2+3.5.把（0，1.5）代入，得1.5=4a+3.5.∴a=-21.∴抛物线y=-21(x-2)2+3.5=-21x 2+2x+1.5. 当y=0时，-21x 2+2x+23=0，x 2-4x-3=0，∴x 1=2+7，x 2=2-7（不合题意，舍去）.∴点D 到A 的距离为（2+7）米.点拨：解题关键是利用几何知识确定顶点C 的坐标.2．解：（1）把x=0，y=0；x=2，y=6；x=3，y=7.5代入y=ax 2+bx+c ，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.5.739,624,0c b a c b a c解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.0,4,21c b a∴函数关系式为y=-21x 2+4x. 函数图象：y=-21x 2+4x=-21（x 2-8x+16-16）=-21（x-4）2+8，顶点为（4，8）对称轴为直线x=4，示意图如图D26-1.（2）∵a=-21﹤0，∴y 有最大值.当x=4时，y 最大值为8.即服药4小时后，每毫升血液中含药量最大，为每毫升血液中含药量8微克. （3）当y=0时，-21x 2+4x=0.解这个方程，得x 1=0，x 2=8.由图象可知，当0﹤x ﹤8时血液中含药量不为0，∴有效时间为8小时.3．解：（1）由图象知抛物线过（0，0），（4，0），顶点为（2，-2）.设抛物线关系式为S=a(t-2)2-2.把t=0，S=0代入，得0=4a-2，∴a=21.∴S=21(t-2)2-2=21t 2-2t.（2）当S=30万时，即21t 2-2t=30，t 2-4t-60=0，∴t 1=10，t 2=-4（不合题意，舍去）.即10月末，公司累积利润可达30万元. （3）当t=S 时，S=21×64-2×8=32-16=16（万元）； 当t=7时，S=21×49-2×7=10.5（万元）. 即前7个月积累利润为10.5（万元），前8个月累积利润为16万元. ∴第8个月的利润等于这个月末的累积利润减去上个月末的累积利润.4．解：（1）若销售单价为x 元，则每千克降低（70-x ）元，日均多售出2（70-x ）kg ，日均销售量为[60+2（70-x ）]kg ，每千克获利为（x-30）元.由题意，得y=(x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x 2+260x-6500（30≤x ≤70）.（2）2=-2(x-65)2+1950，顶点坐标为（65，1950）.经观察知，当单价为65元时，日均获利最多，最多为1950元. （3）当日均获利最多时单价为65元，日均销售60+2（70-65）=70（kg ），那么获总利为1950×707000=195000（元）.当销售单价最高时单价为70元，日均销售60kg ，将这种化工原料全部售完需117607000≈（天）.那么获总利为（70-30）×7000-117×500=221500（元）.因为221500﹥195000，且221500-195000=26500元，所以销售单价最高时获总利较多，且多获利26500元.5．解：（1）三月份每件商品的售价为6元，成本为1元，所以每件商品在3月份出售时的利润为6-1=5（元）.（2）由图象知，抛物线过点（3，1）顶点为（6，4），所以设函数关系式为Q=a(t-6)2+4.把（3，1）代入，得1=a(3-6)2+4.解得a=-31. ∴Q=-31(t-6)2+4=-31t 2+4t-8，其中t=3，4，5，6，7. （3）由图（1）知，直线过（3，6），（6，8），设M=kt+b.∴⎩⎨⎧+=+=.68,36b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.4,32b k ∴M=32t+4，其中t=3，4，5，6，7. W=M-Q=32t+4-（-31t 2+4t-8）=31t 2-310t+12=31(t 2-10t+25-25)+12=31(t-5)2+311.∴当t=5时，W 最小，W 最小值=311元.所以30000件商品一个月内售完，至少获利311×30000=110000元.。