20100106复变函数B期末试题A解答

一、 判断题（2×7=14分）： 1. （W ）sin

z 是一个有界函数.

2. （W ）若函数f (z ) 的实部和虚部在z 0处可微满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析.

3. （R ）若)(lim 0

z f z z →存在且有限，则z 0是f (z )的可去奇点.

4. （R ）设函数

)(z f 在复平面上解析，若它有界，则必)(z f 为常数.

5. （R ）若0z 是)(z f 的极点，则∞=→)(lim 0

z f z

z .

6. （R ）若

)(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内一小弧段上相等，则D z z g z f ∈≡),()(.

7. （R ）如果函数()f z 在1z ≤内解析，则11m ax{()}m ax{()}.z z f z f z ≤== 二、 单项选择题(本大题共3×4＝12分)

1. 下列结论不正确的是 A .

A. 函数)(z f 在扩充复平面内的孤立奇点（包括无穷远点）的留数之和为零；

B. 函数)(z f “在区域D 内解析” 与“在区域D 内积分与路径无关” 等价；

C. 如果)(z f 在闭曲线C 围成的闭区域D 上除极点外解析，则)(z f 在D 上只有有限个奇点；

D. 函数iv u z f +=)(在区域D 内解析的充要条件是在D 内v 是u 的共轭调和函数. 2. 方程0142

5

8

=-+-z z z 在|z|<1内根的个数为 C . （A ） 8； （B ）1； （C ） 5； （D ）0. 3. 已知i

z i z w 312312-

+++-

=将区域{}

1,11<>+=z z z D 保角地映射成区域 C .

A. 3

arg 0π

<

3

2arg 3ππ

<

C. 3

arg 3

2π

π-

<<-

w ； D. 0arg 3

<<-

w π

.

4. 设C 为正向圆周11=-z ,那么⎰+-C

z z dz

3

3)

1()1(的值是 A A.

i 8

3π； B

i 4

3π-

； C.

i

4

3π ； D. i 83π-

三、填空题（本大题共3×6＝18分）

1. 函数

2

1

z

在2z =-处的泰勒展开式为

∑∞

=-++=

1

1

2

2

)

2(2

1

n n n z n

z

．

2. 设函数

()2

371

,

C

f

z d z

ζ

ζζζ++=-⎰ C ：

2

||π

=

z ，

则

i

i f ππ26

12

)1('+

=-.

3. 当=

a

0.5 时，函数x y i y x a z f arctan

)ln()(2

2+-=在区域

>x 内解析.

4. 函数

z

e z

f z sin )(11

-=

在扩充复平面上的所有奇点是∞,,1πk ，它们的奇点类型

分别是 本性奇点，一阶级点，非孤立奇点（极点要指出其级）.

5. i

i

-的主值为)

22

(

ππ

k e

+.

6. i dz e z

z

z z

π3

212

1

3

⎰

==

+ .

四、 计算题（本大题共6×3＝18分）

1. 设C 为正向圆周|z|=1，求I=dz

ze

c

z

⎰2

1

.

1]0),([Re =∴z f s

()i z f s i dz ze

c

z

ππ2]0),([Re 22

1

＝因此，=⎰

2. 利用留数计算积分)

0()

(3sin 0

2

2

>+⎰

+∞

a dx a x x x 的值.

a

e

I 32

-=

π

.

3.利用留数求积分 )10(,cos 21202

<<+-⎰a a

a d π

θθ

的值.

.

12)

)(1(cos 212

1

||20

2

a

a z az dz i a

a d z -=

--=+-⎰

⎰

=πθθ

π

,||0,1!2111)(4

21

2

∞<<⎪⎭

⎫

⎝⎛+++==z z z z ze

z f z