西城区高三上学期数学文科试题及答案

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷

高三数学（文科） 2015.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

1．设集合1,0,1,2{}A -=，2{|}B x x x =>，则集合A B =（ ）

（A ）{1,0,1}-

（B ）{1,2}-

（C ）{0,1,2}

（D ）{1,1,2}-

3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =

，sin B =

，则（ ） （A ）3

A π= （

B ）6

A π=

（C

）sin 3

A =

（D ）2sin 3

A =

4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

2．设命题p ：2log 0,2x x x ∀>>，则p ⌝为（ ） （A ）2log 0,2x x x ∀>< （B ）2log 0,2x x x ∃>≤ （C ）2log 0,2x x x ∃>< （D ）2log 0,2x x x ∃>≥

5．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天

13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（ ） （A ）13 （B ）34 （C ）58 （D ）4

5

8. 如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA

分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BE

x AB

=，则（ ） （A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =的最大值为8

（C ）函数()y f x =在2

(0,)3上单调递减

（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =-

7． 设抛物线2:4W y x =的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：

1x =-的距离为d ，则有（ ）

（A ）2||d AB ≥ （B ）2||d AB = （C ）2||d AB ≤ （D ）2||d AB <

A B

E C

D G

H F

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数i

1i

z =+，则||z =______.

10．设平面向量,a b 满足||3=a ，||2=b ，3⋅=-a b ，那么,a b 的夹角θ=____.

11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____.

12．设12,F F 为双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，且直线2y x =为双曲线C 的一

条渐近线，点P 为C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为_____.

13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.

14. 设函数3||, 1,

()log , 1.

x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤

（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；

（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___.

侧(左)视图

正(主)视图

俯视图

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

已知函数2π

()12sin ()4

f x x =--

，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）判断函数()f x 在区间ππ

[,]66

-上是否为增函数？并说明理由.

16．（本小题满分13分）

已知数列{}n a 满足25a =，且其前n 项和2n S pn n =-． （Ⅰ）求p 的值和数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n b 为等比数列，公比为p ，且其前n 项和n T 满足55T S <，求1b 的取值范围．

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABC D ，90BAD ∠=，BC AD //，且

122A A AD BC ===，1AB =. 点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .

（Ⅰ）求证：1A F ∥平面1

BCE ； （Ⅱ）求证： AC ⊥平面11CDD C ；

（Ⅲ）写出三棱锥11B A EF -体积的取值范围. （结论不要求证明）

B C

A 1 D 1

D

A B 1

C 1 E F