初中数学因式分解常见的6种方法和7种应用
几种常见的因式分解方法
几种常见的因式分解方法因式分解是一种将一个多项式表达式表示为若干个因式的乘积的方法。
在代数学中非常重要，它是解多项式方程、简化代数式和求最大公因数的基本技巧之一、在这篇文章中，我将介绍几种常见的因式分解方法。
一、公因式提取法公因式提取法是最简单也是最常见的因式分解方法。
它的原理是将多项式的每一项提取出一个公因式，然后将剩余的部分合并起来。
例如，对于多项式3x^2-6x+9，可以提取出公因式3，得到3(x^2-2x+3)。
这种方法在解决一元多项式方程或简化代数式时非常有用。
二、配方法配方法是一种将一个二次三项式如ax^2 + bx + c转化为一个完全平方三项式的方法。
其基本思想是通过添加一个恰当的常数项，使得原来的多项式可以写成一个平方的形式。
例如，对于多项式x^2 + 5x + 6，可以通过添加1来转化为完全平方的形式(x + 2)(x + 3)。
三、和差平方根公式和差平方根公式是一种将一个二次二项式转化为一个平方根的形式的方法。
根据该公式，对于任意实数a和b，有a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2，以及 a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2、这个方法在处理二次方程或将一个完全平方差分解为两个一次因式时非常有用。
例如，对于多项式x^2 - 4，可以应用和差平方根公式得到(x + 2)(x - 2)。
四、分组法分组法是一种将一个多项式分成两组，并在每组中提取出一个公因式，然后再进行因式分解的方法。
它适用于多项式中有公共因式但不易通过公因式提取法处理的情况。
例如，对于多项式x^3-x^2+2x-2，可以将其分为两组，得到x^2(x-1)+2(x-1)，然后提取出公因式(x-1)，得到(x-1)(x^2+2)。
五、差的平方公式差的平方公式是一种将一个二次差的形式转化为一个平方形式的方法。
根据该公式，对于任意实数a和b，有a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
这个方法在处理二次差或将一个差分解为两个一次因式时非常有用。
初中数学解方程的因式分解法
初中数学解方程的因式分解法解方程是数学中常见的问题，通过找到方程的解可以解决实际生活中的许多问题。
在解方程的过程中，因式分解是一种十分有效的方法。
因式分解法可以将给定的方程转化为更简单的形式，从而更容易找到解。
本文将详细介绍初中数学解方程的因式分解法。
一、一元一次方程的因式分解法一元一次方程是指含有一个未知数的一次方程。
例如：2x + 3 = 9。
为了解这个方程，可以使用因式分解法进行求解。
首先，将方程的所有项都移到等号的一侧，得到2x - 6 = 0。
然后，将方程进行因式分解，即将方程的左侧进行因式分解。
在本例中，2x - 6可以因式分解为2(x - 3)。
因此，得到方程2(x - 3) = 0。
最后，根据零乘积法则，得知方程的解为x = 3。
二、一元二次方程的因式分解法一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程。
例如：x² - 5x + 6 = 0。
为了解这个方程，可以使用因式分解法进行求解。
首先，将方程的所有项都移到等号的一侧，得到x² - 5x + 6 = 0。
然后，观察方程的三个项，确定其是否可以进行因式分解。
在本例中，可以将x² - 5x + 6进行因式分解。
找出方程的两个因式，使其乘积等于6，而和等于-5。
在本例中，-2和-3是符合条件的因式。
因此，得到方程(x - 2)(x - 3) = 0。
最后，根据零乘积法则，得知方程的解为x = 2或x = 3。
三、方程组的因式分解法方程组是指同时包含多个方程的一组方程。
为了解这组方程，可以将其转化为一个整体的方程，再使用因式分解法进行求解。
例如，解方程组2x + y = 7x + 3y = 11首先，根据第一个方程，将y的表达式表示为y = 7 - 2x。
然后，将y的表达式代入第二个方程得到x + 3(7 - 2x) = 11。
接着，使用分配律和合并同类项得到x - 6x = -10，即-5x = -10。
最后，解得x = 2。
八年级数学因式分解12种常见方法整理
八年级数学因式分解12种常见方法整理1.提公因式法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
如，和的平方、差的平方3.分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)4.十字相乘法（经常使用）对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
7.换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
8.求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )9.图像法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )10.主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
11.利用特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
12.待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
专训1 因式分解的六种常见方法
专训1 因式分解的六种常见方法名师点金：因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．提公因式法公因式是单项式的因式分解1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2分解因式，其中一个因式是－4x2y2，则另一个因式是( )A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1 C．3y－4x＋1 D．3y－4x2．【2015·广州】分解因式：2－6＝．3．把下列各式分解因式：(1)2x2－；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.公因式是多项式的因式分解4．把下列各式分解因式：(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.公式法直接用公式法5．把下列各式分解因式：(1)－16＋x4y4；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.先提公因式再用公式法6．把下列各式分解因式：(1)(x－1)＋b2(1－x)；(2)－3x7＋24x5－48x3.先局部再整体法7．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．先展开再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x(x＋4)＋4；(2)4x(y－x)－y2.分组分解法9．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学的因式分解：甲：x2－＋4x－4y＝(x2－)＋(4x－4y) (分成两组)＝x(x－y)＋4(x－y) (分别提公因式)＝(x－y)(x＋4). (再提公因式)乙：a2－b2－c2＋2＝a2－(b2＋c2－2) (分成两组)＝a2－(b－c)2(运用完全平方公式)＝(a＋b－c)(a－b＋c). (再用平方差公式)请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式：(1)m2－＋－；(2)x2－2＋y2－9.拆、添项法10．分解因式：x4＋.11．先阅读下面的材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法，其实分解因式的方法还有拆项法等．拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．请你仿照以上方法，分解因式：(1)x2－6x－7；(2)a2＋4－5b2.整体法“提”整体12．分解因式：a(x＋y－z)－b(z－x－y)－c(x－z＋y)．“当”整体13．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．“拆”整体14．分解因式：(c2＋d2)＋(a2＋b2)．“凑”整体15．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.换元法16．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.答案1．B 2.2m(x－3y)3．解：(1)2x2－＝x(2x－y)．(2)－4m4n＋16m3n－28m2n＝－4m2n(m2－4m＋7)．点拨：如果一个多项式第一项含有“－”号，一般要将“－”号一并提出，但要注意括号里面的各项要改变符号．4．解：(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．点拨：将多项式中的某些项变形时，要注意符号的变化．5．解：(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(＋2)(－2)．(2)原式＝(x2＋y2＋2)(x2＋y2－2)＝(x＋y)2(x－y)2.(3)原式＝(x2＋6x＋9)2＝[(x＋3)2]2＝(x＋3)4.点拨：因式分解必须分解到不能再分解为止，如第(2)题不能分解到(x2＋y2＋2)(x2＋y2－2)就结束了．6．解：(1)原式＝(x－1)－b2(x－1)＝(x－1)(1－b2)＝(x－1)(1＋b)(1－b)．(2)原式＝－3x3(x4－8x2＋16)＝－3x3(x2－4)2＝－3x3(x＋2)2(x－2)2.7．解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)·(x－3)＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)]＝(x＋3)(2x＋1)．点拨：解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后，发现有公因式可以提取，从而将原多项式因式分解．8．解：(1)原式＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2.(2)原式＝4－4x2－y2＝－(4x2－4＋y2)＝－(2x－y)2.点拨：通过观察发现此题不能直接分解因式，但运用整式乘法法则展开后，便可以运用公式法分解．9．解：(1)m2－＋－＝(m2－)＋(－)＝m(m－n)＋x(m－n)＝(m－n)(m＋x)．(2)x2－2＋y2－9＝(x2－2＋y2)－9＝(x－y)2－9＝(x－y＋3)(x－y－3)．10．解：原式＝x4＋x2＋－x2＝－x2＝(x2－x＋)．点拨：此题直接分解因式很困难，考虑到添加辅助项使其符合公式特征，因此将原式添上x2与－x 2两项后，便可通过分组使其符合平方差公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解．11．解：(1)x2－6x－7＝x2－6x＋9－16＝(x－3)2－42＝(x－3＋4)(x－3－4)＝(x＋1)(x－7)．(2)a2＋4－5b2＝a2＋4＋4b2－9b2＝(a＋2b)2－(3b)2＝(a＋2b＋3b)(a＋2b－3b)＝(a＋5b)(a－b)．12．解：原式＝a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)＝(x＋y－z)(a＋b－c)．13．解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.点拨：本题把x＋y这一整体“当”作完全平方公式中的字母a.14．解：原式＝2＋2＋2＋2＝(2＋2)＋(2＋2)＝(＋)＋(＋)＝(＋)(＋)．点拨：本题“拆”开原式中的两个整体，重新分组，可谓“柳暗花明”，出现转机．15．解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2＝(x＋y－5)(x－y＋1)．点拨：这里巧妙地把－5拆成4－9.“凑”成(x2－4x＋4)和(y2－6y＋9)两个整体，从而运用公式法分解因式．16．解：(1)设a2＋2a＝m，则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.(2)设b2－b＝n，则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1＝n2＋3n＋n＋3＋1＝n2＋4n＋4＝(n＋2)2＝(b2－b＋2)2.。
初中生因式分解
因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。
对于初中生来说，通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法：
1. 提公因式法：如果多项式的各项中都有公共的因子，可以提取出来，使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。
例如：ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法：将多项式的各项分成几组，每组提出公因子，再将提取公因子后的表达式进行合并。
例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法：利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。
例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法：利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。
例如：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法：适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解，其中a、b、c是常数。
例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法：通过添加和减去同一个数，将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。
例如：x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式：如立方和公式、立方差公式等，用于特定形式的多项式因式分解。
因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它不仅能够帮助简化多项式的表达，还是解决方程、不等式等问题的重要工具。
初中数学因式分解解法总结
练习寻找公因数
最大公因数 因式分解法 辗转相除法
互质 分解质因数法
02
分组分解法
Group decomposition method
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定义分组分解法
指通过将多项式分成两部分，再对每个部分利用公因式分解的方法，进行因式 分解。其中一个部分通常是多项式的第一项或最后一项，另一个部分则是剩下 的部分。例如，对于多项式4x^2+8x，可以将其分成4x(x+2)，然后再对前半 部分4x和后半部分(x+2)分别进行因式分解。 在使用定义分组分解法时，需要注意多项式的项数和因式分解的技巧。例如， 对于多项式x^3-8，可以先通过求根公式或立方差公式将其分解成(x2)(x^2+2x+4)，然后再利用分组分解法将x^2+2x+4分解成(x+2)^2-4，得到 最终的因式分解式为(x-2)(x+2)^2-4。
乘法公式
配方法求 解不等式 含参研究
Research on Solving Inequalities with Parameters by Pairing Method
1. 配方法求解不等式的步骤
根据不等式中的系数和常数进行配方，化简不等式 将不等式<=的形式统一为两个一次式的乘积<=的形式 求出每个一次式的解集 根据乘积的正负情况确定不等式的解集
例如：$ax^2+bx$，我们可以先提出公因式$x$得到$x(ax+b)$，再根据题 目中给出的系数 $a$ 和 $b$ 来决定是否要进一步拆分。若两数互质，则不 能再拆；若不互质，则继续拆，例如，当 $a$ 和 $b$ 都为偶数时，可以继 续提出 $2$ 作为公因式，得到 $2x(ax/2+b/2)$。这样能够使式子更加简 单明了。
因式分解的方法有哪些
因式分解的方法有哪些因式分解是数学中常用的计算方法，因式分解包括提公因式法、公式法、十字相乘法、待定系数法、换元法等。
因式分解常见方法提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法、双十字相乘法、对称多项式等等。
1、一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。
3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
4、十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
5、双十字相乘法是一种因式分解方法。
对于型如Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。
这种方法运算过程较繁。
对于这问题，若采用“双十字相乘法”（主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。
6、一个多元多项式，如果把其中任何两个元互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。
x²+y²+z²，xy+yz+zx都是关于元x、y、z的对称多项式。
因式分解定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。
初中数学因式分解的常用方法
初中数学因式分解的常用方法因式分解是将一个数按照乘法拆分成几个因式相乘的形式，可以简化计算和解方程的过程。
在初中数学中，常见的因式分解方法有以下几种：1.提公因式法：提公因式法是最常见的一种因式分解方法，适用于多项式的各项有公因式的情况。
具体步骤如下：（1）找出多项式的各项的最大公因式；（2）将多项式中各项除以最大公因式得到的商作为新的因式；（3）将最大公因式与新的因式相乘，得到因式分解的结果。
2.公式法：公式法是指通过运用一些特定的公式，将数或多项式进行因式分解。
常见的公式有二次差、平方差、立方差等，具体使用公式的方法可参考相关的理论知识。
3.分组分解法：分组分解法是指将多项式进行分组后，再进行因式分解。
主要适用于多项式的各项无公因子时的情况。
具体步骤如下：（1）将多项式中的各项进行重新分组；（2）在每个组内找出公共因子；（3）将每个组内的公共因子提取出来，得到因式分解的结果。
4.平方差公式：平方差公式是指任意两个数的平方之差可以进行因式分解的公式。
常见的平方差公式有以下几个：（1）平方差公式1：a²-b²=(a+b)(a-b)（2）平方差公式2：a² + 2ab + b² = (a+b)²（3）平方差公式3：a² - 2ab + b² = (a-b)²5.立方差公式：立方差公式是指任意两个数的立方之差可以进行因式分解的公式。
常见的立方差公式有以下几个：（1）立方差公式1：a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)（2）立方差公式2：a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²)6.积因式之和法：积因式之和法是指将一个数a分解成两个因式的乘积之和。
常见的积因式之和公式有以下几个：（1）a² + ab = a(a+b)（2）a² - ab = a(a-b)（3）a² + 2ab + b² = (a+b)²（4）a² - 2ab + b² = (a-b)²以上是初中数学中常用的因式分解方法。
因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
分解因式的方法与技巧
分解因式的方法与技巧
因式分解是一种重要的数学技巧，用于将一个多项式分解成更简单的因式乘积。
我们可以使用以下方法和技巧来进行因式分解：
1. 提取公因式：首先，我们可以检查多项式中是否有公因式，然后将其提取出来。
这可以通过找到多项式中的最大公因式来实现。
2. 分组：有时候，我们可以对多项式进行分组，然后利用分组因式分解的方法来分解多项式。
这通常发生在四项多项式中。
3. 使用因式公式：对于一些特定的多项式形式，例如二次多项式或立方多项式，我们可以利用因式公式来进行因式分解。
4. 试除法：对于一些多项式，我们可以使用试除法来找到因式分解的结果。
这通常适用于高次多项式。
以上是因式分解的一些常用方法和技巧。
通过灵活运用这些方法，我们可以更轻松地进行因式分解，从而简化复杂的多项式表达式。
初中数学因式分解的几种经典技巧
初中数学因式分解的几种经典技巧因式分解是数学中常见的一种运算方法，它可以将一个复杂的算式进行简化，使得问题更易于解决。
初中数学中，因式分解是一个重要的内容，学好因式分解，对于解决其他数学问题也有一定的帮助。
下面是几种经典的因式分解技巧：1.合并同类项合并同类项是进行因式分解的第一步。
合并同类项就是将含有相同字母幂的项合并在一起。
例如：对于表达式3x+5x-2x，首先合并同类项得到6x-2x=4x。
2.提取公因式提取公因式是因式分解中常用的一种方法。
当一个多项式中的每一项都含有一个共同因子时，可以将这个共同因子提取出来。
例如：对于表达式3x + 6xy，可以提取公因式3x得到3x(1 + 2y)。
3.分解差的平方分解差的平方是一个常见的因式分解技巧。
它适用于形如a^2-b^2的表达式，可以分解为(a+b)(a-b)。
例如：对于表达式x^2-9，可以进行差的平方分解得到(x+3)(x-3)。
4.完全平方差公式完全平方差公式也是因式分解中常用的一种方法。
它适用于形如a^2 + 2ab + b^2或a^2 - 2ab + b^2的表达式，可以分解为(a + b)^2或(a- b)^2、例如：对于表达式x^2 + 4x + 4，可以进行完全平方差公式分解得到(x + 2)^25.平方差公式平方差公式是因式分解中的一种重要技巧。
它适用于形如a^2-b^2的表达式，可以分解为(a+b)(a-b)。
例如：对于表达式x^2-4，可以进行平方差公式分解得到(x+2)(x-2)。
6.立方和公式立方和公式是因式分解中的一种技巧，它适用于形如a^3 + b^3的表达式，可以分解为(a + b)(a^2 - ab + b^2)。
例如：对于表达式x^3 + 8，可以进行立方和公式分解得到(x + 2)(x^2 - 2x + 4)。
7.立方差公式立方差公式是因式分解中的一种技巧，它适用于形如a^3 - b^3的表达式，可以分解为(a - b)(a^2 + ab + b^2)。
因式分解的7种方法和4种思路
因式分解的7种方法和4种思路因式分解是数学中一个基本且重要的概念，它是将一个多项式或者表达式，通过分解成若干个因子的乘积的形式来表示。
因式分解涉及到多种方法和思路，并且在不同的数学问题中有着不同的应用。
下面将介绍七种常见的因式分解方法和四种思路。
一、七种因式分解方法：1.公因式提取法：该方法适用于多个项有公因子的情况。
例如：2xy + 4x + 6y 可以提取 x，得到 x(2y+4) + 6y，再可以继续提取2，得到2(x(y+2)+3y)2.完全平方差公式：如果一个多项式可以表示成两个平方数之差的形式，那么就可以使用完全平方差公式进行因式分解。
例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)3.公式法：公式法是运用数学中的一些特殊公式进行因式分解的方法。
例如：a^2 ±2ab+b^2 = (a±b)^2a^3 ± b^3 = (a±b)(a^2∓ab+b^2)4.分组法：分组法适用于多项式中存在一些特殊的关系。
例如：ab + ac + bd + cd，我们可以通过分组成 (ab+ac) + (bd+cd)，然后再提取公因式，变成a(b+c) + d(b+c)，最后变成 (a+d)(b+c)。
5.提取平方根法：如果一个多项式的各项是可以开平方的，那么就可以使用提取平方根的方法进行因式分解。
例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^26.分解差的平方：如果一个多项式是两个平方之差的形式，那么可以使用分解差的平方的方法。
例如：a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)7.组合法：组合法是将一个多项式中的项进行组合，寻找其中的特殊关系，然后进行因式分解。
例如：a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3，可以将其分组为(a^3 + b^3) + 3ab(a + b)，再使用公式法进行因式分解。
二、四种因式分解思路：1.提取公因子的思路：当一个多项式中的几个项具有公因子时，可以使用公因子提取法将公因子提取出来，从而进行因式分解。
初中数学因式分解的常用方法概览
初中阶段因式分解的常用方法（例题详解）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-写出结果．三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
初二数学因式分解方法详解
初二数学因式分解方法详解因式分解是数学中的一项重要概念，它在解决各种数学问题中都起到了至关重要的作用。
初中数学阶段，因式分解也是一个必须掌握的基本功。
本文将详细介绍初二数学中的因式分解方法，旨在帮助同学们更好地理解和运用。
一、整式基础在学习因式分解之前，我们首先需要了解整式的概念。
整式是指包含了常数、变量和各种运算符号（如加减乘除）的表达式。
常见的整式有单项式、多项式和代数式。
单项式是只包含一个项的整式，如3x、-5y^2等；多项式是包含多个项的整式，如2x^2+3xy-4，7a^3-2b^2-6c 等；代数式是指由单项式和多项式通过加减乘除运算得到的整式。
二、提公因式法提公因式法是因式分解中常用的一种方法。
当多项式的每一项都有公共的因子时，可以运用提公因式法进行因式分解。
先来看一个具体的例子：将多项式4x^2-6xy+8xz的各项提取公因式。
首先观察这些项，发现它们都含有公因子2，所以我们可以先提取公因式2。
将原多项式写为：2(2x^2-3xy+4xz)。
接下来，我们观察括号内的部分2x^2-3xy+4xz，发现其中所有的项都含有公因子x，所以再次提取公因子x，得到：2x(x-1.5y+2z)。
至此，我们已经将原多项式完全因式分解为：2x(x-1.5y+2z)。
通过以上步骤，我们可以发现提公因式法的关键是观察多项式的各项之间是否存在公共因子，并将其提取出来。
三、分组分解法分组分解法是解决多项式因式分解的一种有效方法。
当多项式含有四项或更多项时，且项之间没有明显的公因子，可以考虑通过分组的方式进行因式分解。
例如：将多项式x^3+3x^2+2x+6进行因式分解。
首先，我们将多项式按照两两一组进行分组，得到：(x^3+2x)+(3x^2+6)。
接下来，我们观察每一组中的两项，发现它们都可以提取公因子，所以我们可以继续进行提取。
将每一组中的两项分别提取公因子，得到：x(x^2+2)+(3(x^2+2))。
初中数学因式分解的常用方法及常出的32个习题陷阱
初中数学因式分解的常用方法及常出的32个习题陷阱初中数学中，因式分解是一个非常重要的内容，因为它不仅是理解代数式的基础，还在后续学习中有很多的应用。
在这篇文章中，我们将介绍初中数学中因式分解的常用方法以及解题的32个难点。
一、因式分解的常用方法1. 公因式提取法公因式提取法是指将一个代数式中所有项的公共因子提取出来，变成一个公因式和剩下的部分的积的形式。
如：24a+12ab可以写成12a(2+b)。
2. 分组分解法分组分解法是指将一个代数式按照特定的规则进行分组再进表达，一般用于在特殊条件下的因式分解。
如：4a²-12ab+9b²可以分为（2a）²-2×2a×3b+（3b）²，然后用(a-b)²=a²-2ab+b²得到（2a-3b）²。
3. 平方法平方差公式可以用于因式分解，公式为：a²-b²=(a+b)(a-b)。
如：a²-25可以写成(a+5)(a-5)。
4. 公式法在初中数学中，有一些常用公式，如二次公式、高斯定理等，这些公式在因式分解中也可以起到帮助作用。
如：x²-y²可以用公式(x+y)(x-y)表示。
二、32个习题陷阱1.习题一：将5x²+10xy+4y²分解。
（答案：(x+2y)(5x+2y)）难点：很多学生容易忽略+4y²这项，就没有括在括号里，直接公因式提取或分组分解，结果变成(x+2y)5(x+2y)，这个式子明显有误。
2.习题二：将x²+10xy+16y²分解。
（答案：(x+4y)(x+4y)）难点：这个题如果直接公因式提取或分组分解会很困难，事实上，这个题可以通过列方程、用辗转相除法来解决，但需要一定的运算技巧。
3.习题三：将3x²-12x+9分解。
（答案：3(x-1)(x-3)）难点：这个题目会引起很多同学的困惑，因为-12x这个项和常数项9很相似，容易认为是“平方差”，从而想到用(a-b)²=a²-2ab+b²这个公式来解，但其实这个式子不适用于这个题目。
因式分解初中数学配方法(一)
因式分解是初中数学中的一项重要内容，是解决代数式问题的关键步骤。
在因式分解初中数学配方法中，有多种方法可以使用。
下面将详细介绍各种方法及其应用。
1. 提取公因式提取公因式是因式分解中最基本的方法之一。
当代数式中含有公因式时，可以将其提取出来，然后对剩余部分进行因式分解。
例如，对于代数式6x + 12，可以提取公因式6，得到6(x+2)。
这样，就完成了因式分解。
2. 分组配方法当代数式中含有四项以上，并且不能直接提取公因式时，可以考虑使用分组配方法。
这种方法的关键是将代数式中的项进行分组，然后再对各组进行因式分解。
例如，对于代数式x^2 + 2xy + 3x + 6y，可以先将前两项分组得到x(x+2y) + 3(x+2y)，然后提取公因式得到(x+2y)(x+3)。
3. 公式法公式法是因式分解中的一种高效方法，适用于一些特定的代数式。
常见的公式包括平方差公式、完全平方公式、二次差公式等。
例如，对于代数式x^2 - 4，可以使用平方差公式进行因式分解，得到(x+2)(x-2)。
4. 分解因式法分解因式法是一种将代数式进行因式分解的通用方法。
它适用于各种类型的代数式，但需要对代数式进行分解因式的思考和分析。
例如，对于代数式x^2 - y^2，可以将其分解为(x+y)(x-y)。
5. 特殊技巧在因式分解中，还有一些特殊的技巧可以使用。
例如，利用“差分平方法”、“奇偶性”等特殊性质进行因式分解。
这些技巧可以帮助我们更快更准确地完成因式分解。
例如，对于代数式x^4 - 1，可以利用差分平方法得到(x^2+1)(x+1)(x-1)。
通过以上介绍，我们可以看到因式分解初中数学配方法的多样性和灵活性。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行因式分解，以便更好地解决问题。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地掌握因式分解的方法，提高数学解题能力。
因式分解初中数学知识点之因式分解的方法与应用
因式分解初中数学知识点之因式分解的方法与应用因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它在代数运算中具有广泛的应用。
因式分解的核心思想是将一个多项式拆解成一系列乘积的形式，以便于进一步研究和计算。
本文将介绍因式分解的方法及其应用。
一、因式分解的基本方法因式分解有多种方法，我们将重点介绍以下五种常用的因式分解方法：1. 公因式提取法公因式提取法是最基本的因式分解方法。
它基于一个数学原理：如果一个多项式的各项都有相同的因子，那么这个公因式可以从多项式中提取出来。
例如，对于多项式6x + 9y，我们可以提取公因式3，得到3(2x + 3y)。
2. 分组分解法分组分解法常用于四项以上的多项式因式分解。
它的基本思路是将多项式中的项进行分组，找出每个组内的公因式，然后通过提取公因式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2 + 4xy + 4y^2 + 2x + 6y，我们可以将其分组为 (x^2 + 4xy + 4y^2) + (2x + 6y)，进而分别提取公因式得到 (x + 2y)^2 + 2(x + 3y)。
3. 公式法公式法是一种通过运用特定的公式进行因式分解的方法。
其中，最常用的公式包括二次差、二次和、二次平方差、立方差等。
例如，对于多项式x^2 - 4y^2，我们可以运用差平方公式(x - 2y)(x + 2y)进行因式分解。
4. 定积分法定积分法是一种对多项式进行因式分解的高级方法。
它基于一个数学概念：多项式在某一区间上的定积分等于这一区间上的导函数的原函数的差。
通过对多项式进行定积分，我们可以得到多项式的因式分解式。
例如，对于多项式x^3 - 2x^2 + x - 2，我们可以对其进行定积分，得到(x - 1)(x - 2)^2。
5. 根与系数定理根与系数定理是一种通过根和系数的关系进行因式分解的方法。
它利用多项式根与系数之间的特定关系，通过找到多项式的根来进一步进行因式分解。
例如，对于二次多项式x^2 - 5x + 6，我们可以使用根与系数定理得出它的因式分解式为(x - 2)(x - 3)。
初中数学因式分解的方法和技巧
初中数学因式分解的方法和技巧因式分解法主要方式有这些：1.运用公式法，即把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式;2.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解;必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(一)运用公式法我们晓得整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式水解因式。
于是存有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用以把某些多项式水解因式。
这种水解因式的方法叫作运用公式法。
(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子： a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等同于这两个数的和与这两个数的高的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时，各项如果存有公因式应先加公因式，再进一步水解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)全然平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加之(或者乘以)这两个数的积的2倍，等同于这两个数的和(或者高)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫做全然平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③存有一项就是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
(4)全然平方公式中的a、b可以则表示单项式，也可以则表示多项式。
这里只要将多项式看作一个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(五)分组水解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分为两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能够分别用抽取公因式的方法分别水解因式.原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m+ n)=(m +n)?(a +b).这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.(六)加公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)展开因式分解必须特别注意：1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数内积的多次尝试，通常步骤：① 列举常数项分解成两个因数的积各种可能将情况;②尝试其中的哪两个因数的和恰好等同于一次项系数.3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式.。
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因式分解的六种方法及其应用
因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．
方法一提公因式法
题型1 公因式是单项式的因式分解
1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是()
A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1
C．3y－4x＋1 D．3y－4x
【解析】B
2．分解因式：2mx－6my＝__________．
【解析】2m(x－3y)
3．把下列各式分解因式：
(1)2x2－xy；
(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.
【解析】(1)原式＝x(2x－y)．(2)原式＝－4m2n(m2－4m＋7)．
题型2公因式是多项式的因式分解
4．把下列各式分解因式：
(1)a(b－c)＋c－b；
(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.
【解析】(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．
(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．
方法二公式法
题型1直接用公式法
5．把下列各式分解因式：
(1)－16＋x4y4；
(2)(x2＋y2)2－4x2y2；
(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
【解析】(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．
(2)原式＝(x 2＋y 2＋2xy )(x 2＋y 2－2xy )＝(x ＋y )2(x －y )2.
(3)原式＝(x 2＋6x ＋9)2＝[(x ＋3)2]2＝(x ＋3)4.
题型2 先提再套法
6．把下列各式分解因式：
(1)(x －1)＋b 2(1－x )；(2)－3x 7＋24x 5－48x 3.
【解析】(1)原式＝(x －1)－b 2(x －1)＝(x －1)(1－b 2)＝(x －1)(1＋b )(1－b )．
(2)原式＝－3x 3(x 4－8x 2＋16)＝－3x 3(x 2－4)2＝－3x 3(x ＋2)2(x －2)2.
题型3 先局部再整体法
7．分解因式：(x ＋3)(x ＋4)＋(x 2－9)．
【解析】原式＝(x ＋3)(x ＋4)＋(x ＋3)·(x －3)＝(x ＋3)[(x ＋4)＋(x －3)]＝(x ＋3)(2x ＋1)． 题型4 先展开再分解法
8．把下列各式分解因式：
(1)x (x ＋4)＋4；(2)4x (y －x )－y 2.
【解析】(1)原式＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2.
(2)原式＝4xy －4x 2－y 2＝－(4x 2－4xy ＋y 2)＝－(2x －y )2.
方法三 分组分解法
9．把下列各式分解因式：
(1)m 2－mn ＋mx －nx ；(2)4－x 2＋2xy －y 2.
【解析】(1)原式＝(m 2－mn )＋(mx －nx )＝m (m －n )＋x (m －n )＝(m －n )(m ＋x )．
(2)原式＝4－(x 2－2xy ＋y 2)＝22－(x －y )2＝(2＋x －y )(2－x ＋y )．
方法四 拆、添项法
10．分解因式：x 4＋14
. 【解析】原式＝x 4＋x 2＋14－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋122
－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋x ＋12(x 2－x ＋12
)． 方法五 整体法
题型1 “提”整体
11．分解因式：a (x ＋y －z )－b (z －x －y )－c (x －z ＋y )．
【解析】原式＝a (x ＋y －z )＋b (x ＋y －z )－c (x ＋y －z )
＝(x ＋y －z )(a ＋b －c )．
题型2 “当”整体
12．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．
【解析】原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.
题型3“拆”整体
13．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．
【解析】原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)
＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)＝(bc＋ad)(ac＋bd)．
题型4“凑”整体
14．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.
【解析】原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2
＝(x＋y－5)(x－y＋1)．
方法六换元法
15．分解因式：
(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.
【解析】(1)设a2＋2a＝m，
则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1
＝(m＋1)2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.
(2)设b2－b＝n，
则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1＝n2＋3n＋n＋3＋1＝n2＋4n＋4
＝(n＋2)2＝(b2－b＋2)2.
因式分解的7种应用
因式分解是整式的恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．
应用一用于简便计算
1．利用简便方法计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.
【解析】23×2.718＋59×2.718＋18×2.718
＝(23＋59＋18)×2.718
＝100×2.718
＝271.8.
2．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.
【解析】2 0162－4 034×2 016＋2 0172
＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.
应用二用于化简求值
3．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.
求下列各式的值：(1)xy；(2)x2y－2xy2.
【解析】(1)∵x－2y＝3，∴x2－4xy＋4y2＝9，
∴(x2－2xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)＝11－9，即2xy＝2，∴xy＝1.
(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.
应用三用于判断整除
4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？【解析】所得的差一定能被9整除．理由如下：
不妨设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字是a，且a>b，b不为0，则这个
两位数是10a＋b，将十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a，则这两个两位数
中，较大的数减较小的数的差是(10a＋b)－(10b＋a)＝9a－9b＝9(a－b)，所以所得
的差一定能被9整除．
应用四用于判断三角形的形状
5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，判断△ABC形状．【解析】∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0.
即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0.
又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，
即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．
应用五用于比较大小
6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，试比较A与B的大小．
【解析】B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)(a－3)．
因为a＞2，所以a＋3＞0，
从而当2＜a＜3时，a－3＜0，所以A＞B；
当a＝3时，a－3＝0，所以A＝B；
当a＞3时，a－3＞0，所以A＜B.
应用六 用于解方程(组)
7．已知大正方形的周长比小正方形的周长多96 cm ，大正方形的面积比小正方形的面积多960 cm 2.请你求这两个正方形的边长．
【解析】设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960，② 由①得x －y ＝24，③；由②得(x ＋y )(x －y )＝960，④
把③代入④得x ＋y ＝40，⑤；由③⑤得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝8. 故大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm.
应用七 用于探究规律
8．观察下列各式：
12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，…. 你发现了什么规律？请用含有字母n (n 为正整数)的等式表示出来，并说明理由．
【解析】规律：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)＋1]2.
理由如下：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1
＝[n (n ＋1)]2＋2n (n ＋1)＋1＝[n (n ＋1)＋1]2.。