数学物理方法解析

c? 1
?
1 2πi
i?C
f (? )d?
?
1 2πi
i?C
f (z)dz
或
i?C f (z)dz ? 2πic?1
其中 C 为圆环域 R1 ?| z ? z0 |? R2 内的任一简单闭曲线，其中 f (z) 在此圆环域内解析 .由此可见，计算积分可转化为求被积函数
的罗朗展开式中 z?1 项的系数 c?1 .
1
z ? 2 z ? 1 1? (z ? 1) z ? 1 n?0
z?1
(0 ? z ? 1 ? 1)
例3
将函数
f (z) ?
(z?
1 2)( z ? 3)2
在 0 ? z ? 2 ? 1内展开成罗朗级数 .
??
? 【解】因在 0 ? z ? 2 ? 1内展开，所以展开的级数形式应为 cn (z ? 2)n . n ???
1 1? z
?
1? 1 2 1? z
，由于
z
? 1，从而
z 2
?
1，利用
2
1 ? 1 ? z ? z2 ? ????zn ? ??? 1? z
z ?1
可得
11 2 1? z
?
1 2
? ?1 ?
?
z 2
?
z2 22
?
????
zn 2n
?
?????, ?
2
z ?1 2
所以
f
(z)
?
(1?
z?
z2
?
??)??
第五节 孤立奇点的分类
一、定义：
若函数 f(z) 在某点z0不可导，而在 z0的任意邻域 内除z0外连续可导，则称 z0为f(z)的孤立奇点 ；
举例
若在 z0的无论多小的邻域内总可以找到 z0以外的
不可导点，则称 z0为f(z)的非孤立奇点 。
孤立奇点的例子
1 , e1/ z , z
1 1? z2
e z?1
z
?
1
?
?
1
e ?
z
z
?
1
? ? (1? z?1 ? z?2 ? )(1? z?1 ? (2! z)?2 ? )
? ? (1? 2 ? 5 ? ) z 2z2
故 c?1 ? ? 2 ，从而
1
? zez |z|? 2 1 ? z
dz
?
2πic?1
?
? 4πi
作业：p47 （新教材） (2)、 (4)、 (6)、 (10) 、(12)、(14)
1 2
??1 ? ?
z 2
?
z2 22
?
????? ? ?
1? 2
3 z? 4
7 z2 ? ??,?0 ? 8
z ?1
结果中不含 z 的负幂次项，原因在于 f (z) ?
1 在 z ? 1内是解
(z ? 1)(z ? 2)
析的.
(2) 由于1 ? z ? 2 ，从而 1 ? 1, z ? 1，所以
1
i? 例 计算积分
zez dz
|z|? 2 1 ? z
1
【解】函数 f ( z) ? zez 在1 ?| z |? ?? 内解析，而 1? z
| z |? 2 在此环域内，故可把函数在环域
1 ? z ? R（R ? 2) 内展开,注意到 | 1 |? 1 有 z
1
1
1
f ( z) ? zez ? 1? z
(z ? 1)(z ? 2)
解析的，将函数 f (z) 在这些区域内展开成罗朗级数 .
(1) 0 ? z ? 1; (2)1 ? z ? 2;
(3) 2 ? z ? ?? ; (4) 0 ? z ? 1 ? 1.
【解】(1)先把 f (z) 用部分分式来表示：
f (z)
?
1 z? 2
?
1 z?1
?
z2
f (z) ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 1
z? 2 z?1 2 1? z z 1? 1
2
z
?
????
1 znห้องสมุดไป่ตู้
?
1 zn?1
?????
1? z
1 2
?
z 4
?
z2 8
????,
1? z ? 2
(3)由于 z ? 2 ，所以 2 ? 1, 1 ? 2 ? 1，所以 z zz
f (z) ?
因为
1 ? 1 ?? 1 z ? 3 (z ? 2) ? 1 1? (z ? 2)
??
? ? ? ( z ? 2)n, z ? 2 ? 1 n? 0
而
? 1
(z ? 3)2
?
?
? ??
z
1 ?
3
?? ??
?
?? ??n?
0
(
z
?
2)
n
?? ??
? 1? 2(z ? 2) ????? n(z ? 2)n?1 ????, z ? 2 ? 1
1 非孤立奇点的例子 sin(1/ z)
? 1 , ? 1 , ? ,0,? , 1 , 1
? 2?
2? ?
二、孤立奇点邻域的Laurent 级数展开
在区域 0< |z-z0|<R 内的单值解析函数 f(z) 可展开成
?
? f (z) ? an (z ? z0 )n n? ?? ?
? 其中正幂部分 an (z ? z0 )n 是该级数的 解析部分 n? 0 ?? ? 负幂部分 an (z ? z0 )n 是该级数的 主要部分 n??1
1 z2
(1?
z?
z2 ? 2!
z3 ? 3!
z4 ? ??)?? 4!
1 z2
?
1? z
1? 2!
1 z? 3!
1 z2 ? 4!
两种方法相比，其繁简程度显而易见 . 因此，以后在
求函数的罗朗展开式时， 通常不用公式去求系数 cn ，而常
采用间接展开法 .
例 2 函数 f (z) ?
1
在下列圆环域内是处处
2 罗朗级数展开方法实例
罗朗级数展开定理给出了将一个在圆 环域内解析的函数展开成罗朗级数的一般
方法，即求出 cn 代入即可，这种方法称为
直接展开法. 但是，当函数复杂时，求 cn 往
往是很麻烦的.
例1
把函数
f (z) ?
ez z2
在以 z ?
0
为中心的圆环域 0 ? z ? ?? 内展开成罗朗级数.
【解】 直接法展开
利用公式计算 cn ，那么就有
i? cn
?
1 2πi
C
e?
? n?
3
d?
其中 C 为圆环域内的任意一条简单曲线 .
由于在给定圆环域内的解析函数是唯一的，所以常常
也可采用 间接展开法 ，即利用基本展开公式以及逐项求
导、逐项积分、代换方法等将函数展开成罗朗级数。 如
上例
ez z2
?
1? z? 2
1? z?1
1 z
? 1
1 ?
2
?
1 z
? 1
1 ?
1
?
1 z2
?
3 z3
?
7 z4
? ???
z
z
( z ? 2)
??
? (4) 由 0 ? z ? 1 ? 1可知，展开的级数形式应为 cn (z ? 1)n ，所以 n ???
? f (z) ? 1 ? 1 ? ?
1
?
1
?
? ? (z ? 1)n ?
所以
f (z) ?
1 z? 2
1 (z ? 3)2
? 1 ? 2 ? 3(z ? 2) ? ???? n(z ? 2)n?2 ? ??? z? 2
??
?? n(z ? 2)n?2 ,0 ? z ? 2 ? 1 n ?1
3 用级数展开法计算闭合环路积分
在罗朗展开式中的系数项中 . 令 n ? ?1 ，得到