2020-2021学年北师大版高中数学必修五《一元二次不等式的应用》课时作业及解析

（新课标）最新北师大版高中数学必修五
课时作业19 一元二次不等式的应用
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分) 1．不等式1x <1
2的解集是( )
A ．(－∞，2)
B ．(2，＋∞)
C ．(0,2)
D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
【答案】 D
【解析】 由1x <12，得1x －12＝2－x
2x <0，即2x(2－x)<0，∴x>2或x<0.
2．不等式
x ＋5
x －1
2
≥2的解集是( )
A.⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3，12
B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤
－12，3 C.⎣⎢⎢⎡⎭
⎪⎪
⎫
12，1∪(1,3] D.⎣⎢⎢⎡⎭
⎪⎪
⎫－12，1∪(1,3] 【答案】 D 【解析】
x ＋5
x －1
2
≥2⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋5≥2
x －1
2
，
x －1≠0
⇔
⎩⎪⎨⎪⎧
－12≤x ≤3，
x ≠1，
∴x ∈⎣⎢⎢⎡⎭
⎪⎪
⎫－12，1∪(1,3]．
3．要使关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是( )
A ．－1<a<1
B ．a<－1或a>1
C ．－2<a<1
D ．a<－2或a>1
【答案】 C
【解析】 令f(x)＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2.由题意知，f(1)＝1＋a 2－1＋a －2＝a 2＋a －2＝(a －1)(a ＋2)<0, ∴－2<a<1.
4．关于x 的不等式ax －b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b
x －2
>0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(1,2)
D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 【答案】 A
【解析】 由已知，得a>0，且a ＝b ，∴ax ＋b x －2>0，即x ＋1
x －2>0.∴x<
－1或x>2，故选A.
5．若关于x 的方程9x ＋(4＋a)3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－8]
B ．(－∞，－8]∪[0，＋∞)
C ．(－∞，－4)
D ．[－8,4)
【答案】 A
【解析】 令3x ＝t ，t ∈(0，＋∞)，则t 2＋(4＋a)t ＋4＝0有正数解，设其解为t 1，t 2，
则t 1t 2＝4>0，
∴两根均正，即⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝4＋a 2
－16≥0，
－4＋a >0，
解得a ≤－8.
6．(2013·重庆文)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a>0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )
A.5
2 B.7
2 C.154 D.152
【答案】 A
【解析】 本题考查一元二次不等式，根与系数的关系． 由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1＋x 2＝2a x 1
·x 2
＝－8a
2
x 2
－x 1
＝15
⇒a ＝52或a ＝－5
2
(舍去)，故选A.
7．根据调查，某厂生产的一种产品n 月份的利润为f(n)万元(n ＝1,2，…，12)，其近似地满足
f(n)＝e
n 2
(13n －22－n 2)(e ＝2.718…)．
为了获得一年的最大利润，那么该产品每年只要生产( )
A ．11个月
B ．10个月
C ．9个月
D ．8个月
【答案】 D 【解析】 因为
f(n)＝e n
2
(13n －22－n 2)，若要获得一年的最大利
润，应使生产产品的月份都能盈利，则f(n)>0，所以n 2－13n ＋22<0，所以2<n<11.故只要从3月份开始生产到10月份，共生产8个月即可获得最大利润．解本题关键是由题意构造不等式．有人认为f(n)≥0也可保证得到利润的最大值．所以误选B.出现错误的原因在于未考虑2月份和11月份的利润均为0.
二、填空题(每小题5分，共20分) 8．不等式x －1
x ＋2>1的解集是________．
【答案】 {x|x<－2}
【解析】 x －1x ＋2>1⇔x －1x ＋2－x ＋2x ＋2>0⇔3
x ＋2<0⇔x ＋2<0⇔x<－2.
9．已知集合A ＝{x|x 2－5x －6≤0}，集合B ＝{x|x>a}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．
【答案】 (－∞，6)
【解析】 A ＝{x|－1≤x ≤6}，B ＝{x|x>a}，且A ∩B ≠∅，∴a<6. 10．已知关于x 的不等式ax －1
x ＋1
<0的解集是(－∞，－1)∪
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－12，＋∞，则a ＝________.
【答案】 － 2
【解析】 由于不等式ax －1
x ＋1
<0的解集是(－∞，－1)∪
⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫－12，＋∞，故－12应是ax －1＝0的根．∴a ＝－2. 11．关于x 的方程x 2－(m ＋3)x ＋m 2＝0有两个不相等的正根，则m 的取值范围是________．
【答案】 (－1,0)∪(0,3)
【解析】 设x 1，x 2是方程的两根，则由题意知x 1≠x 2，且x 1>0，x 2>0，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ>0，
x 1
＋x 2
>0，x 1x 2
>0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋3
2
－4m 2>0，
m ＋3>0，m 2
>0，
解得－1<m<0或0<m<3.
三、解答题(共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
12．(18分)解下列不等式： (1)2
x <x ＋1； (2)x 2－2|x|－15≥0； (3)x 3－3x 2＋x ＋1<0.
【解析】 (1)2x <x ＋1⇔x ＋1－2x >0⇔x 2＋x －2
x
>0⇔x(x ＋2)(x －1)>0
⇔－2<x<0或x>1.∴原不等式的解集为{x|－2<x<0或x>1}．
(2)x2－2|x|－15≥0⇔|x|2－2|x|－15≥0⇔(|x|－5)(|x|＋3)≥0⇔|x|≥5⇔x≥5或x≤－5.∴原不等式的解集为{x|x≥5或x≤－5}．
(3)x3－3x2＋x＋1<0化为(x－1)(x2－2x－1)<0化为(x－1)(x－1－2)(x－1＋2)<0，
∴x<1－2或1<x<1＋ 2.∴原不等式的解集为{x|x<1－2或1<x<1＋2}．
13．(13分)已知a<1，解关于x的不等式
ax
x－2
>1.
【解析】原不等式可化为
a－1x＋2
x－2
>0，
因为a<1，所以a－1<0.
故原不等式化为
x＋
2
a－1
x－2
<0，
∴
⎝
⎛
⎭
⎪
⎪
⎫
x＋
2
a－1
(x－2)<0.
当0<a<1时，原不等式的解集为
⎩⎪
⎨
⎪⎧
⎭⎪
⎬
⎪⎫
x|2<x<
2
1－a
；
当a＝0时，原不等式的解集为∅；
当a<0时，原不等式的解集为
⎩⎪
⎨
⎪⎧
⎭⎪
⎬
⎪⎫
x|
2
1－a
<x<2.
14．(14分)某种商品，现在定价p 元，每月卖出n 件，设定价上涨x 成，每月卖出数量减少y 成，每月售货总金额变成现在的z 倍．
(1)用x 和y 表示z.
(2)设y ＝kx(0<k<1)，利用k 表示当每月售货总金额最大时x 的值； (3)若y ＝2
3x ，求使每月售货总金额有所增加的x 值的范围．
【解析】 (1)按现在的定价上涨x 成时，上涨后的定价为p(1＋x
10)
元，每月卖出数量为n(1－y
10
)件；
每月售货总金额是npz 元， 因而npz ＝p(1＋x 10)·n(1－y
10)，
所以z ＝
10＋x
10－y
100
.
(2)在y ＝kx 的条件下， z ＝1100·{100＋251－k
2
k
－k ·[x －51－k k
]2
}，
由于0<k<1，所以51－k
k >0，
所以使z 值最大的x 值是x ＝51－k
k
.
(3)当y ＝2
3
x 时，z ＝
10＋x
10－23
x
100
，
要使每月售货总金额有所增加，即z>1，
应有(10＋x)·(10－2
3x)>100，即x(x －5)<0，所以0<x<5，
所以所求x 的范围是(0,5)．。