高考数学二轮复习自主练透第5讲计数原理与二项式定理练习理新人教A版

第5讲 计数原理与二项式定理一、选择题1．在某夏令营活动中，教官给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年龄尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有( )A ．10种B ．40种C ．70种D ．80种解析：选B ．若Grace 不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C 15种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C 24种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有C 15C 24＝30种搜寻方案；若Grace 参加任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C 25种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C 25＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案，故选B ．2．(2019·合肥市第一次质量检测)若⎝⎛⎭⎪⎫ax －1x 6的展开式的常数项为60，则a 的值为( )A ．4B ．±4C ．2D ．±2解析：选D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(ax )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·a 6－r ·C r6·x 6－32r ，令6－32r ＝0，得r ＝4，则(－1)4·a 2·C 46＝60，解得a ＝±2，故选D ． 3．(2019·重庆市七校联合考试)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35解析：选C ．由多项式乘法知，若求⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6展开式中x 2的系数，只需求(1＋x )6展开式中x 2和x 4的系数．(1＋x )6展开式中含x 2和x 4的项分别是C 26x 2＝15x 2和C 46x 4＝15x 4，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数是30.故选C ．4．若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有( )A ．4种B ．8种解析：选B．将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C14种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C14×2＝8种站法，故选B．5．设(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1等于( )A．80 B．－80C．－160 D．－240解析：选D．因为(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，所以二项展开式中含x项的系数为C45×(－1)4×C55×(－2)5＋C55×(－1)5×C45×(－2)4＝－160－80＝－240，故选D．6．(2019·广州市综合检测(一))(2－x3)(x＋a)5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是( )A．5 B．10C．15 D．20解析：选A．在(2－x3)(x＋a)5中，令x＝1，得展开式的各项系数和为(1＋a)5＝32，解得a＝1，故(x＋1)5的展开式的通项T r＋1＝C r5x5－r.当r＝1时，得T2＝C15x4＝5x4，当r＝4时，得T5＝C45x＝5x，故(2－x3)(x＋1)5的展开式中x4的系数为2×5－5＝5，选A．7．(2019·柳州模拟)从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是( )A．72 B．70C．66 D．64解析：选D．从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C12·C17＋C17·C16＝56种选法，三个数相邻共有C18＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法，故选D．8．(2019·洛阳尖子生第二次联考)某校从甲、乙、丙等8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，则不同的选派方案有( )A．900种B．600种C．300种D．150种解析：选B．第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，不同的选派方案有C25×A44＝240(种)；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从乙和剩余的5名教师中选4名，不同的选派方案有C46×A44＝360(种)．所以不同的选派方案共有240＋360＝600(种)．故选B．9．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为( )A．39B．310解析：选D．对(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x ＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312，故选D．10．现有红色、蓝色和白色的运动鞋各一双，把三双鞋排列在鞋架上，仅有一双鞋相邻的排法总数是( )A．72 B．144C．240 D．288解析：选D．首先，选一双运动鞋，捆绑在一起看作一个整体，有C13A22＝6种选法，则现在共有5个位置，若这双鞋在左数第一个位置，共有C12A22A22＝8种情况，若这双鞋在左数第二个位置，则共有C14C12＝8种情况，若这双鞋在中间位置，则共有A22A22A22A22＝16种情况，左数第四个位置和第二个位置的情况一样，第五个位置和第一个位置的情况一样．所以把三双鞋排列在鞋架上，仅有一双鞋相邻的排法总数是6×(2×8＋2×8＋16)＝288.故选D．11．(一题多解)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )A．120种B．156种C．188种D．240种解析：选A．法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为A22A33，A22A33，C12A22A33，C13A22A33，C13A22A33，故总编排方案有A22A33＋A22A33＋C12A22A33＋C13A22A33＋C13A22A33＝120(种)．法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C14A22A33＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．12．(2019·河北省九校第二次联考)第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”“对象采访”“文稿编写”“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但2名女记者不参加“负重扛机”工作，则不同的安排方案数共有( ) A．150 B．126C．90 D．54解析：选B．根据题意，“负重扛机”可由1名男记者或2名男记者参加，当由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C13种方法，剩余2男2女记者可分为3组参加其余三项工作，共有C 24C 12A 22·A 33种方法，故由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C 13·C 24C 12A 22·A 33种方法；当由2名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余1男2女3名记者各参加一项工作，有C 23·A 33种方法．故满足题意的不同安排方案数共有C 13·C 24C 12A 22·A 33＋C 23·A 33＝108＋18＝126.故选B ．二、填空题13．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －45的展开式中，x 3的系数是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －45的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－4)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x r，r ＝0，1，2，3，4，5，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x r的展开式的通项T k ＋1＝C k rx r －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x k＝4k C k r x r －2k，k ＝0，1，…，r .令r －2k ＝3，当k ＝0时，r ＝3；当k ＝1时，r ＝5.所以x 3的系数为40×C 03×(－4)5－3×C 35＋4×C 15×(－4)0×C 55＝180.答案：180.14．(2019·福州市质量检测)(1＋ax )2(1－x )5的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a 的值为________．解析：设(1＋ax )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7，令x ＝1得0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7①，令x ＝－1得(1－a )225＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7②，②－①得：(1－a )225＝－2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)，又a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－64，所以(1－a )225＝128，解得a ＝3或a ＝－1(舍)．答案：315．(一题多解)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．解析：法一：从16张不同的卡片中任取3张，不同取法的种数为C 316，其中有2张红色卡片的不同取法的种数为C 24×C 112，其中3张卡片颜色相同的不同取法的种数为C 14×C 34，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为C 316－C 24×C 112－C 14×C 34＝472.法二：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选3张，若都不同色，则不同取法的种数为C 14×C 14×C 14＝64，若2张颜色相同，则不同取法的种数为C 23×C 12×C 24×C 14＝144.若红色卡片有1张，则剩余2张不同色时，不同取法的种数为C 14×C 23×C 14×C 14＝192，剩余2张同色时，不同取法的种数为C 14×C 13×C 24＝72，所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(种)．答案：47216．《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成A，B，C，D，E，F六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有________种．解析：因为任务A必须排在前三位，任务E，F必须排在一起，所以可把A的位置固定，E，F捆绑后分类讨论．当A在第一位时，有A44A22＝48(种)；当A在第二位时，第一位只能是B，C，D中的一个，E，F只能在A的后面，故有C13A33A22＝36(种)；当A在第三位时，分两种情况：①E，F在A之前，此时应有A22A33种，②E，F在A之后，此时应有A23A22A22种，故而A在第三位时有A22A33＋A23A22A22＝36(种)．综上，共有48＋36＋36＝120种不同的安排方案．答案：120。