(新教材)2020高中数学同步导学 人教B版 第二册：第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.3
(新教材)2020数学同步导学人教B第二册课件：第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.3
题型三 指数函数与对数函数图像间的关系
例 3 已知 lg a＋lg b＝0，函数 f(x)＝ax 与函数 g(x)＝－logbx 的图像可能是( )
【解析】 ∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，则 b＝1a，从而 g(x)＝－ logbx＝logax，故 g(x)与 f(x)＝ax 互为反函数，图像关于直线 y＝x 对 称．结合选项可知选 B.
a－ax∈(0，a)，所以值域是(－∞，1)．
②设 x1<x2<1，则 ax1<ax2<a，f(x2)－f(x1)＝loga(a－a x2 )－loga(a
－a
x1
)＝logaaa－－aa
x2 x1
<0，所以
f(x1)＞f(x2)，所以函数
f(x)为减函数．
(2)将方程整理得 2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，m 是指 数函数 y＝2x 的图像与直线 y＝－x＋3 交点 A 的横坐标，n 是对数 函数 y＝log2x 的图像与直线 y＝－x＋3 交点 B 的横坐标，由于函数 y＝2x 与 y＝log2x 互为反函数，所以它们的图像关于直线 y＝x 对称， 由题意可得出 A，B 两点也关于直线 y＝x 对称，于是可设 A，B 两
状元随笔 指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax，一个函数的
定义域是另一个函数的值域，而且它们的单调性相同．
知识点二 反函数 一般地，函数 y＝f(x)的反函数记作 y＝f－1(x)．值得注意的是， y＝f(x)的定义域与 y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与 y＝f－1(x) 的定义域相同．
【解析】 因为 f(x)＝2x＋2 是增函数，因此任意给定值域中的 一个值，只有唯一的 x 与之对应，所以 f(x)存在反函数．
2020学年新教材高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.3对数函数的性质与图像新人教B版必修第二册
4.2.3 对数函数的性质与图像课后篇巩固提升夯实基础1.(多选)给定函数:①y=x 12,②y=lo g 12(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上是减函数的序号有( ) A.① B.② C.③ D.④x 12在(0,1)上为增函数;y=lo g 12(x+1)在(0,1)内为减函数;y=|x-1|在(0,1)内为减函数;y=2x+1在(0,1)内为增函数.2.已知函数f (x )=1-2x ,若a=f (log 30.8),b=f [(12)13],c=f (2-12),则( ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b(x )=1-2x 在定义域上为减函数,由(12)13>(12)12=2-12,得b<c ,由log 30.8<0<2-12,得c<a.所以b<c<a.3.函数f (x )=2|log 2x |的图像大致是( )f (x )=2|log 2x |={x ,x ≥1,1x,0<x <1,故选C .4.若0<a<1,且函数f (x )=|log a x|,则下列各式中成立的是( ) A.f (2)>f (13)>f (14) B.f (14)>f (2)>f (13)C.f(13)>f(2)>f(14)D.f(14)>f(13)>f(2)0<a<1,所以函数f(x)=|log a x|在(0,1)内单调递减,所以f(14)>f(13)>f(12).又f(12)=|log x12|=|-log a2|=|log a2|=f(2),从而有f(14)>f(13)>f(2).故选D.5.以下四个数中最大的是()A.(ln 2)2B.ln(ln 2)C.ln √2D.ln 20<ln2<1,∴ln(ln2)<0,(ln2)2<ln2.又∵ln√2=12ln2<ln2,∴最大的数是ln2.6.下面结论中,不正确的是()A.若a>1,则函数y=a x与y=log a x在定义域内均为增函数B.函数y=log3(x2+1)在(0,+∞)内为增函数C.y=log a x2与y=2log a x表示同一函数D.若0<a<1,0<m<n<1,则一定有log a m>log a n>0A,若a>1,则函数y=a x与y=log a x在定义域内均为增函数,正确;对于B,因为y=log3t与t=x2+1在(0,+∞)内均为增函数,所以y=log3(x2+1)在(0,+∞)内为增函数,正确;对于C,y=log a x2的定义域为{x|x≠0},y=2log a x的定义域为{x|x>0},两函数定义域不同,不表示同一函数,错误;对于D,若0<a<1,0<m<n<1,则一定有log a m>log a n>0,正确.故选C.7.已知函数f (x )=log a x ,g (x )=b x的图像经过点14,2,则ab 的值为( )A.1B.2C.4D.8解析因为函数f (x )=log a x ,g (x )=b x的图像都经过点14,2,所以log a 14=2,x 14=2,解得a=12,b=16,则ab=8.8.设函数f (x )定义在实数集上,f (2-x )=f (x ),且当x ≥1时,f (x )=ln x ,则有( ) A.f (13)<f (2)<f (12) B.f (12)<f (2)<f (13) C.f (12)<f (13)<f (2) D.f (2)<f (12)<f (13)f (2-x )=f (x )得x=1是函数f (x )的图像的一条对称轴,又当x ≥1时,f (x )=ln x 单调递增,∴当x<1时,函数单调递减. ∴f (12)<f (13)<f (0).又由已知得f (2)=f (0),∴f (12)<f (13)<f (2).9.已知函数f (x )=log 2x-2log 2(x+c ),其中c>0.若对于任意的x ∈(0,+∞),都有f (x )≤1,则c 的取值范围是 ( )A.(0,14]B.[14,+∞)C.(0,18]D.[18,+∞)f (x )≤1,得log 2x-2log 2(x+c )≤1,整理得log 2(x+c )≥log 2√x2,所以x+c ≥√x 2,即c ≥-x+√22√x (x>0).令√x =t (t>0),则c ≥-t 2+√22t.令g (t )=-t 2+√22t ,其图像对称轴为直线t=√24.所以g (t )max =g (√24)=-(√24)2+√22×√24=18.则c ≥18.所以,若对于任意的x ∈(0,+∞),都有f (x )≤1,则c 的取值范围是[18,+∞).故选D . 10.若a>0,且a ≠1,则函数f (x )=√2log a (5x-10)+2恒过定点P 的坐标是 . (115,2)5x-10=1,解得x=115,所以函数f (x )恒过定点(115,2).11.函数f (x )=a x+log a (x+1)(a>0,且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为 .0<a<1时,y=a x和y=log a (x+1)在[0,1]上都是减函数;当a>1时,y=a x和y=log a (x+1)在[0,1]上都是增函数. 所以f (x )在[0,1]上的最大值与最小值之和为f (0)+f (1). 而f (0)+f (1)=(a 0+log a 1)+(a 1+log a 2)=a , 即1+log a 2=0,故a=12.12.函数f (x )的定义域是[-1,1],则函数f (lo g 12x )的定义域为 .答案12,2解析由题得-1≤log 12x ≤1,所以lo g 122≤log 12x ≤log 1212,12≤x ≤2,所以函数f (lo g 12x )的定义域为12,2.13.已知函数f (x )=√log 2(x -1)的定义域为A ,函数g (x )=(12)x(-1≤x ≤0)的值域为B. (1)求A ∩B ;(2)若C={y|y ≤a-1},且B ⊆C ,求a 的取值范围.由题意知,{x -1>0,log 2(x -1)≥0,解得x ≥2.∴A={x|x ≥2}.易知B={y|1≤y ≤2}, ∴A ∩B={2}.(2)由(1)知B={y|1≤y ≤2},若要使B ⊆C ,则有a-1≥2.所以a ≥3.能力提升1.作出函数y=|log 2(x+1)|+2的图像.:作y=log 2x 的图像,如图①.第二步:将y=log 2x 的图像沿x 轴向左平移1个单位长度,得y=log 2(x+1)的图像,如图②. 第三步:将y=log 2(x+1)在x 轴下方的图像作关于x 轴的对称变换,得y=|log 2(x+1)|的图像,如图③.第四步:将y=|log 2(x+1)|的图像沿y 轴方向向上平移2个单位长度,便得到所求函数的图像,如图④.2.已知函数y=log 2x4(log 16x 2-log 2√2)(2≤x ≤8). (1)令t=log 2x ,求y 关于t 的函数关系式及t 的范围;(2)求该函数的值域.因为2≤x ≤8,所以t ∈[1,3],则log 4x=12log 2x=12t. 因为y=log 2x 4(log 16x 2-log 2√2)(2≤x ≤8),所以y=(log 2x4)(log 4x -12)(2≤x ≤8). 所以y=(t-2)12t-12=12(t-2)(t-1)=12t 2-32t+1,t ∈[1,3]. (2)由(1)知y=12t 2-32t+1=12t-322-18,t ∈[1,3]. 当t ∈1,32时,函数单调递减,当t ∈32,3时,函数单调递增,所以当t=32时,y min =-18.因为当t=1时,y=0,当t=3时,y=12×32-32×3+1=1,所以y max =1. 所以函数y=log 2x 4(log 16x 2-log 2√2)(2≤x ≤8)的值域为-18,1.3.已知函数f (x )=log a [(1x-2)x +1]在区间[1,2]上的值恒为正,求实数a 的取值范围.当a>1时,只需(1x-2)x+1>1, 即(1x -2)x>0,∵1≤x ≤2,∴1x -2>0, 即a<12,这与a>1矛盾.(2)当0<a<1时,设g (x )=(1x -2)x+1(x ∈[1,2]),只需0<g (x )<1.①当a=12时,g (x )=1,f (x )=0,不合题意;②当0<a<12时,1x -2>0,g (x )是增函数,只要g (1)>0,且g (2)<1,解得12<a<1,与0<a<12矛盾;③当12<a<1时,1x -2<0,g (x )是减函数,只要g (2)>0,且g (1)<1,解得12<a<23.综上所述,a 的取值范围是(12,23).。
(新教材)【人教B版】20版必修二4.4(数学)-第四章 指数函数、对数函数与幂函数
3.如果幂函数f(x)=xα 则α =( )
的图像经过点
(3, 1) 9
,
A.-2
B.2
C.-
D.
1
1
2
2
【解析】选A.幂函数f(x)=xα的图像经过点 则3α= ,解得α=-2.
(3, 1) 9
,
1
9
类型一 幂函数的概念
【典例】1.已知幂函数f(x)=xα 的图像过点
,
则式子4α 的值为 (
A.1
B.2
) C.
D.(
1 4
,
1) 2
1
1
2
4
2.(2019·南平高一检测)已知函数f(x)=(3-m)x2m-5 是幂函数,则f =________.
(1) 2
【思维·引】1.代入点的坐标,求出α后代入求值. 2.根据幂函数解析式的特征求出m,确定解析式后求值.
【解析】1.选B.因为幂函数f(x)=xα的图像过点 1 1 ,
【典例】(2019·娄底高一检测)已知a= ,b= ,
c=2 ,则 ( )
A.b<a<c C.b<c<a
1
B.a<b<c D.c<a<b
4
2
23
45
53
【思维·引】先对式子变形,再选取恰当的函数利用单 调性比较大小.
【解析】选A.因为a= 4 1 ,c= 1 , 由幂函数y= 的单调2性3 ,所16以3 a<c,253
【思维·引】1.根据各个函数的图像特征选取. 2.根据幂函数图像所在的象限判断.
【解析】1.选B.函数y=x-1在第一象限内单调递减,对 应的图像为c4;y=x对应的图像为一条过原点的直线,对 应的图像为c2;y=x2对应的图像为抛物线,对应的图像 应为c1;y= 在第一象限内的图像是c3,所以曲线 c1,c2,c3,c4的n依次为2,1, ,-1.
新教材 人教B版高中数学必修第二册 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 知识点考点及解题方法提炼汇总
第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数 (1)4.1.1实数指数幂及其运算 (1)4.1.2指数函数的性质与图像 (5)第1课时指数函数的性质与图像 (5)第2课时指数函数的性质与图像的应用 (9)4.2对数与对数函数 (13)4.2.1对数运算 (13)4.2.2对数运算法则 (17)4.2.3对数函数的性质与图像 (20)第1课时对数函数的性质与图像 (20)第2课时对数函数的性质与图像的应用 (23)4.3指数函数与对数函数的关系 (27)4.4幂函数 (30)4.5增长速度的比较 (35)4.6函数的应用(二) (38)4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0x＝__na__x＝__±na__0不存在根式(1)当na有意义时，na称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．(2)性质：①(na)n＝__a__；②na n＝⎩⎨⎧__a__，n为奇数，__|a|__，n为偶数.分数指数幂的意义正分数 指数幂 n 为正整数，na 有意义，且a ≠0时，规定a 1n ＝__na __正分数m n ，a m n ＝__(n a )m __＝na m负分数 指数幂 s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1a s __无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t 是一个确定的__实数__． 实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R ) (1)a r a s ＝__a r ＋s __． (2)(a r )s ＝__a rs __． (3)(ab )r ＝__a r b r __． 题型n 次方根的概念及相关问题 典例剖析典例1 (1)求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围； (2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号．[解析] (1)(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3) ＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎨⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]． (2)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．∴原式＝⎩⎨⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于na ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要n a 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号．根式与分数指数幂的互化 典例剖析典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15 ；a 34 ；a －23 ； (2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解．[解析] (1)a 15 ＝5a ；a 34 ＝4a 3；a －23 ＝1a 23 ＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63 ＝a 2；13a 2＝1a 23 ＝a －23 ．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．有理(实数)指数幂的运算法则的应用 典例剖析典例3 化简：(1)(5x －23 y 12 )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)；(2)0.064－13 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75；(3)32＋3×27－33；(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×(－14)×(－56)·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ．(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716．(3)32＋3×27－33 ＝32＋3×(33)－33 ＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12 ＋(2)1－3＋1＋3 ＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2 ＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14 ]＋2＝(2)14 ＋2＝2＋218 ．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． 易错警示 典例剖析典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12 ．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14 ．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1．[正解] ∵(－a ) 12 存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14＝(－a ) 14 ．4.1.2 指数函数的性质与图像第1课时 指数函数的性质与图像知识点 指数函数函数__y ＝a x __称为指数函数，其中a 是常数，a ＞0且a ≠1． 思考：(1)为什么指数函数的底数a ＞0，且a ≠1? (2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a ＝0，当x ＞0时，a x 恒等于0，没有研究的必要；当x ≤0时，a x 无意义．②如果a ＜0，例如f (x )＝(－4)x ，这时对于x ＝12，14，…，该函数无意义． ③如果a ＝1，则y ＝1x 是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1．(2)①a ＞0，且a ≠1，②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．指数函数的图像和性质0＜a ＜1a ＞1图像定义域 实数集R 值域 __(0，＋∞)__ 性质 过定点__(0,1)__ 是__减__函数是__增__函数思考：(1)对于指数函数y ＝2x，y ＝3x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，…，为什么一定过点(0,1)?(2)对于指数函数y x底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 ？ x ＜0？0＜a ＜1x ＞0 ？ x ＜0？提示：(1)当x ＝0时，a ＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)． (2)底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 y ＞1 x ＜0 0＜y ＜1 0＜a ＜1x ＞0 0＜y ＜1 x ＜0y ＞1题型指数函数的概念 典例剖析典例1 (1)函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则a 的值为__2__．(2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点(π，e)，则f (－π)＝__1e __． [分析] (1)根据指数函数解析式的特征列方程求解． (2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f (－π)． [解析] (1)由题意得a 2－3a ＋3＝1， 即(a －2)(a －1)＝0， 解得a ＝2或a ＝1(舍)．(2)设指数函数为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则e ＝a π，所以f (－π)＝a －π＝(a π)－1＝e －1＝1e ． 规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a ＞0，且a ≠1； ②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y ＝13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)． (2)利用已知条件求底数A ． (3)写出指数函数的解析式．指数函数的图像问题 典例剖析典例2 (1)函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图像可能是( D )(2)要得到函数y ＝23－x的图像，只需将函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像( A )A ．向右平移3个单位B ．向左平移3个单位C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位[分析] (1)要注意对a 进行讨论，分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论判断． (2)先对解析式变形，再进行判断． [解析] (1)函数y ＝x ＋a 单调递增． 由题意知a ＞0且a ≠1．当0＜a ＜1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于0且小于1； 当a ＞1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D ．(2)因为y ＝23－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x －3，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像向右平移3个单位得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3 ，即y ＝23－x 的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图像所过的定点．指数函数的定义域、值域问题 典例剖析典例3 (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值域为(1，＋∞)，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－2，－1)∪(1，2)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2)函数y ＝52x －1的定义域为__⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12__． [分析] (1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得． (2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．[解析] (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则底数a 2－1＞1，a 2＞2，所以|a |＞2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)要使函数y ＝52x －1有意义，则2x －1≥0，所以x ≥12.所以函数y ＝ 52x －1的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12． 规律方法：函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合． (2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 易错警示 典例剖析典例4 若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[错解] ∵函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴⎩⎨⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，∴a ＝3．故实数a 的值为3．[辨析] 误解中没有对a 进行分类讨论．[正解] 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，。
2020新教材高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.1对数运算4.2.2对数运算法则新人教B版必修第二册
4.2.1对数运算4.2.2对数运算法则课后篇巩固提升夯实基础1.若ln x-ln y=a,则ln-ln等于()A. B.a C. D.3a-ln=3-=3(ln x-ln2-ln y+ln2)=3(ln x-ln y)=3a.2.已知a>0,a≠1,x>y>0,n∈N+,下列各式:①(log a x)n=n log a x;②log a x=-log a;③=log a;④log a x;⑤log a x=log a;⑥log a x=lo x n;⑦.log a-=-log a-其中成立的有()A.3个B.4个C.5个D.6个②⑤⑥⑦正确.①式中n log a x=log a x n;③式中log a=log a x-log a y;④式中log a x=log a.3.(多选)已知函数f(x)=若f(a)=,则x的可能取值为()A.-1B.C.D.2a>0时,由log2a=,得a=,故C正确;当a≤ 时,由3a=,得a=-1,故A正确.4.如果关于lg x的方程lg2x+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根为lg x1,lg x2,那么x1x2的值为()A.lg 2·lg 3B.lg 2+lg 3C. D.-6由已知,得lg x1+lg x2=-(lg2+lg3)=-lg6=lg,又∵lg x1+lg x2=lg(x1x2),∴lg(x1x2)=lg.∴x1x2=.5.已知f(x5)=lg x,则f(2)等于()A.lg 2B.lg 32C.lgD.lg 2方法一)令x5=2,则x=,∴f(2)=lg lg2.(方法二)令x5=t,则x=,∴原函数可转化为f(t)=lg lg t,即f(x)=lg x,∴f(2)=lg2.6.若2a=3b=6,则=()A.2B.3C.D.12a=3b=6,∴a=log26,b=log36.∴=log62+log63=1.7.若3α=2,则log38-2log36用含a的代数式可表示为()A.a-2B.3a-(1+a)2C.5a-2D.3a-a23a=2,∴a=log32,log38-2log36=3log32-2(log33+log32)=log32-2=a-2.8.已知log32=a,则2log36+log30.5=.2=2log3(2×3)+log3=2(log32+log33)-log32=log32+2=a+2.9.log56·log67·log78·log89·log910=.=.10.若a=log43,则2a+2-a=,+1=.log312a=log43=log2,∴2a+2-a=-.∵=log34,1=log33,∴+1=log34+log33=log312.11.已知a,b,c为正数,且lg(ac)lg(bc)+1=0,则lg的取值范围是.-∞,-2]∪[2,+∞)lg c的一元二次方程有解问题进行处理.∵由题意,得(lg a+lg c)(lg b+lg c)+1=0,∴有(lg c)2+(lg a+lg b)lg c+lg a lg b+1=0.设lg c=t,则t2+(lg a+lg b)t+lg a lg b+1=0,t∈R,则关于t的方程t2+(lg a+lg b)t+lg a lg b+1=0有根,∴Δ=(lg a+lg b)2-4(lg a lg b+ )≥ .整理,得(lg a-lg b)2≥∴≥ .∴lg≥ 或lg≤-2,即lg的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).12.计算:log28+lg+ln-+(lg 5)2+lg 2lg 50.=3-3++2÷+(lg5)2+lg2(lg5+1)=+(lg5)2+(1-lg5)(1+lg5)=.能力提升1.设a>0,a≠1,x,y满足log a x+3log x a-log x y=3.(1)用log a x表示log a y;(2)当x取何值时log a y取得最小值?由题意得log a x+=3,∴=log a x+-3.∴log a y=(log a x)2-3log a x+3.(2)设log a x=t,t∈R,则有log a y=t2-3t+3=-(t∈R),∴当t=时,log a y取得最小值,此时log a x=,x=,即当x=时,log a y取得最小值.2.(1)已知5a=3,5b=4,求a,b,并用a,b表示log2512.(2)求值:2-(-π)0+log3.因为5a=3,5b=4,所以a=log53,b=log54.所以log2512=(log53+log54)=.(2)原式=-1+(-1)+2=-1-1+2=.3.甲、乙两人解关于x的方程log2x+b+c log x2=0,甲写错了常数b,得到两个根;乙写错了常数c 得到两个根,64.求这个方程真正的根.log2x+b+c·=0,即(log2x)2+b log2x+c=0.因为甲写错了常数b得到两个根,所以c=log2·log2=6.因为乙写错了常数c得到两个根,64,所以b=-=-5.故原方程为(log2x)2-5log2x+6=0.解得log2x=2或log2x=3.所以x=4或x=8,即方程真正的根为4,8.4.已知2y·log y4-2y-1=0,·log5x=-1,问是否存在一个正整数P,使P=-?2y·log y4-2y-1=0,∴2y-=0.又∵2y>0,∴log y4=.∴y=16.由·log5x=-1得=-log x5>0,∴log x=(log x5)2.∴log x5x=(log x5)2.∴2(log x5)2-log x5-1=0,即(2log x5+1)(log x5-1)=0,∴log x5=-或log x5=1.∵-log x5>0,∴log x5<0.∴log x5=1(舍去).∴log x5=-,即-=5.∴x=.∴=25.∴P=--=3.即存在正整数P=3,使P=-.。
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 对数运算法则
1 2 3 4
带有附加条件的代数式求值问题,需要对已知条件和所求式子进行化简转
化,原则上是化为同底的对数,以便利用对数的运算法则.要整体把握对数
式的结构特征,灵活运用指数式与对数式互化进行解题.
成果验收·课堂达标检测
1.(多选题)已知a,b均为不等于1的正数,则下列选项中与logab相等的有
( AD )
1
A.lo g
1 2 3 4
3
1
3
10-1+ =1+ +1-1+ =2.
4
4
4
3
4
=
2
.
4.计算:(1)3log72-log79+2log7
3
2√2
;
(2)(lg 2)2+lg 2×lg 500+lg 125;
(3)[(1-log63)2+log62×log618]÷log64.
解
9
(1)原式=log78-log79+log7 =log78-log79+log79-log78=0.
ln
4.任何对数均可用自然对数表示,即 logab=
过关自诊
1.换底公式中底数c是特定数还是任意数?
提示 换底公式等号右边的“底数c”是不定的,它可以是任何一个不为1的
正数.
2.(多选题)下列等式正确的是(ABC )
ln4
A.log34=ln3
lg4
B.log34=lg3
1
C.log34=lo g 3
lg
B.lg
C.log √ √
D.log bn(n∈R 且 n≠0)
解析
1
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 本章总结提升
若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论正确的是(BCD)
A.x1+x2=-1
B.x3x4=1
C.1<x4<2
D.0<x1x2x3x4<1
解析 f(x)的大致图象如下:
由图易知 x1+x2=-2,-2<x1<-1.当 y=1 时,有|log2x|=1,即
∵-3<x<1,∴0<-(x+1)2+4≤4.
∵0<a<1,
∴loga[-(x+1)2+4]≥loga4.
1
2
-
由 loga4=-2,得 a =4,∴a=4 =
-2
1
.
2
÷
(1-2
)×
2
3
3
3
4 +2 ab +
(a>0,b>0).
1
1
1
1 1
1
1 1
3 (-8)
3
3 (-8)
3 3
3
3 3
解 原式= 1
1 1
1 × 1 1 × = -8 × ×
(23 )2 +233 +(3 )2
3 -23
3
=a b(a>0,b>0).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的最小值为-2,求a的值.
1- > 0,
解 (1)要使函数有意义,则有
+ 3 > 0,
解得-3<x<1,即函数f(x)的定义域为(-3,1).
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 实数指数幂及其运算
am
1
am
1
2
-
1
2 2
B.(a + ) =a+a-1
D.a0=1
解析 根据根式与有理指数幂的互化,可得 A,C 正确;由 a>0 可知 a0=1,故 D
正确;由
1
a>0,得(2
1 2 3 4
+
1
1
1
-2 )2=(2)2+22
·
-
1
1
- 2
2 +( 2 ) =a+a-1+2,故
B 错误,故选 B.
内
没有意义
.
(3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为
.而且正数的奇
数次方根是一个 正 数,负数的奇数次方根是一个 负 数.
3.根式的定义:当 n a有意义的时候, n a称为 根式
,n 称为 根指数 ,a 称
为 被开方数 .
4.根式的性质:
n
(1)( a)n= a .
n
n
(2)当 n 为奇数时, an = a ;当 n 为偶数时, an = |a| .
后运用相关的运算性质化简.
3
变式训练 23 化为根式形式为 9
3
2
为
3
4
解析
3
32
=
; · a· a(a>0)的分数指数幂表示
.
1
= 3=
3
32
3
2
3
3
4 .
1
3
=
3
;
9
3
· · =
3
·
1
·2
新教材2020人教B版数学必修第二册教师用书：第4章 4.2.1 对数运算
4.2 对数与对数函数 4.2.1 对数运算1．对数的定义及相关概念 (1)对数的概念在表达式a b ＝N (a ＞0且a ≠1，N ∈(0，＋∞))中，当a 与N 确定之后，只有唯一的b 能满足这个式子，此时，幂指数b 称为以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中a 称为对数的底数，N 称为对数的真数．(2)对数恒等式＝N .(3)常用对数：以10为底的对数称为常用对数，并把log 10N 记为lg_N . (4)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.718 28…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把log e N 记为ln_N .思考：如何准确理解指数式与对数式的关系？ [提示] (1)指数式和对数式的关系如图所示：(2)指数式和对数式各部分的名称：2．对数的性质1．把对数式x ＝lg 2化为指数式为( ) A ．10x ＝2 B ．x 10＝2 C ．x 2＝10D ．2x ＝10A [根据指数式与对数式的互化可知x ＝lg 2化为指数式为10x ＝2.] 2．若log 8x ＝－23，则x 的值为( ) A.14 B ．4 C ．2D.12A [∵log 8x ＝－23，∴x ＝8-23＝2－2＝14，故选A.] 3．＝________.3 [由对数恒等式得，＝3.]4．若log 3(log 2x )＝0，则x 12＝________.2 [∵log 3(log 2x )＝0，∴log 2x ＝30＝1，∴x ＝2，即x 12＝2.]【例1】 。
(2)对数式log (x －2)(x ＋2)中实数x 的取值范围是______．[思路探究] 根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ (2)(2,3)∪(3，＋∞) [(1)由题意可知对数式lg(2x －1)中的真数大于0，即2x －1>0，解得x >12，所以x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －2>0，x －2≠1，解得x >2，且x ≠3，所以实数x 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．]根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式(组)，可求得对数式中字母的取值范围．1．对数式log (2x －3)(x －1)中实数x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪(2，＋∞) [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －3>0，2x －3≠1，解得x >32，且x ≠2，所以实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪(2，＋∞)．]【例2①log 216＝4；②log 3x ＝6；③43＝64；④3－2＝19；⑤lg 1 000＝3.(2)设a ＝log 310，b ＝log 37，求3a －b 的值．[思路探究] (1)根据a x ＝N ⇔log a N ＝x (a >0且a ≠1，N >0)求解；(2)由于a ，b 是对数，所以可考虑用指数式表示出a ，b ，再把它们代入式子中．[解] (1)①因为log 216＝4，所以24＝16. ②因为log3x ＝6，所以(3)6＝x .③因为43＝64，所以log 464＝3. ④因为3－2＝19，所以log 319＝－2. ⑤因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.(2)因为a ＝log 310，b ＝log 37，所以3a ＝10,3b ＝7. 则3a －b＝3a 3b ＝107.1．指数式与对数式互化的方法技巧(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．2．互化时应注意的问题(1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变．(2)对数式的书写要规范：底数a要写在符号“log”的右下角，真数正常表示．2．(1)将下列各等式化为相应的对数式或指数式．①10－3＝11 000；②ln 2＝x.(2)已知a>0且a≠1，log a2＝m，log a3＝n，求a2m＋n的值．[解](1)①因为10－3＝11 000，所以lg11 000＝－3.②因为ln 2＝x，所以e x＝2.(2)根据条件log a3＝n及对数的定义可得a n＝3，由log a2＝m及对数的定义可得a m＝2，所以a2m＋n＝a2m·a n＝(a m)2·a n＝22×3＝12.[1．是不是所有的实数都有对数？[提示]负数和0没有对数．2．根据对数的定义及对数与指数的关系，你能求出log a1，log a a分别等于什么吗？[提示]因为a0＝1，所以log a1＝0；因为a1＝a，所以log a a＝1.3．你能推出对数恒等式＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？[提示]因为a x＝N，所以x＝log a N，代入a x＝N可得a log a N＝N.【例3】(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x－e－x，则f(ln 6)＝()A．－ln 6＋6B．ln 6－6C．ln 6＋6 D．－ln 6－6(2)有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝100；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④[思路探究](1)根据奇偶性先将f(ln 6)化为－f(－ln 6)再代入求解．(2)根据对数的性质逐一判断即可．(1)C(2)C[(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(ln 6)＝－f(－ln 6)＝－(－ln 6－e ln 6)＝－(－ln 6－6)＝ln 6＋6.(2)因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝0，故①正确；因为ln e＝1，所以ln(ln e)＝0，故②正确；由10＝lg x，得1010＝x，故x≠100，故③错误；由e＝ln x，得e e＝x，故x≠e2，所以④错误．]1．利用对数性质求解的两类问题的解题方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c的值，再求log a(log b c)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．2．对数恒等式a log a N＝N的应用(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．(2)不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．(教师独具)1．本节课的重点是掌握对数的概念及性质、对数恒等式，难点是对数性质及对数恒等式的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握指数式与对数式的互化关系．(2)对数性质的应用．(3)对数恒等式的应用．3．本节课的易错点是弄错对数恒等式的适用条件.1．思考辨析(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)因为1a＝1，所以log11＝a.()(4)log(－2)(－2)＝1.()(1)×(2)×(3)×(4)×[(1)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×.log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(3)错；(4)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，真数应大于0，所以(4)错．]2．若3x＝2，则x等于()A．log23B．log32C．32D．23B[由指数式化为对数式可知x＝log32.]3．计算＝________.20＝22·2log25＝4×5＝20.]4．求下列各式中的x.(1)log2x＝－2 3；(2)log5(log2x)＝0.[解](1)x＝2-23＝⎝⎛⎭⎪⎫1223.(2)log2x＝1，x＝2.。
新教材2020人教B版数学必修第二册教师用书：第4章 指数函数、对数函数 幂函数 章末复习课
指数、对数的运算问题则，熟练掌握各种变形．如N 1b＝a，a b＝N，log a N＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．【例1】(1)若x log23＝1，则3x＋9x的值为()A．6B．3C.52 D.12(2)已知2a＝5b＝c ，1 a＋1b＝1，则c＝________.(1)A(2)10[(1)由x log23＝1得x＝log32,所以3x＋9x＝＝2＋4＝6.(2)由2a＝5b＝c，得a＝log2c，b＝log5c，1a＋1b＝1log2c＋1log5c＝log c2＋log c5＝log c10＝1，所以c＝10.]1．指数的运算(1)要注意化简的顺序，一般负指数先转化为正指数，根式先化为分数指数幂．(2)若出现分式，则要注意分子、分母因式分解，以达到约分的目的．(3)进行指数运算时，需要注意根式的两个重要结论以及运算性质的灵活应用．2．对数的运算(1)要注意公式应用过程中范围的变化前后要等价．(2)要注意对数的三个运算法则及对数恒等式、换底公式的灵活应用．(3)底数相同的对数式化简时常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成同底的对数的和(差)；②“收”：将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数．1．求值：(1)⎝⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎪⎫338-23＋(1.5)－2；(2)log2512·log45－log133－log24＋5log52.[解](1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝⎛⎭⎪⎫278-23＋⎝⎛⎭⎪⎫32-2＝3 2－1－⎝⎛⎭⎪⎫32-2＋⎝⎛⎭⎪⎫232＝32－1－49＋49＝12.(2)原式＝－12log52·12log25＋log33－2log22＋2＝－14＋1－2＋2＝34.函数图像与性质的应用是考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，熟记性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响．【例2】当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(1,2] D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12C[如图所示：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝log a x，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝log a x的下方即可，当0<a<1时显然不成立．当a>1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝log a x的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤log a2.∴log a2≥1，∴1<a≤2，故选C.]1．指数函数、对数函数及幂函数性质的对比(1)指数函数与对数函数的图像与性质都与底数a 的取值密切相关，而幂函数的图像与性质与指数α密切相关．底数相同的指数函数、对数函数互为反函数，其单调性相同．(2)指数函数图像过定点(0,1)，对数函数图像过定点(1,0)，幂函数图像过定点(1,1)，并且在指数α>0时过(0,0)，(1,1)．2．含有对数式的函数最值的求法含有对数式的函数最值问题，首先考虑函数的定义域，在函数定义域的制约之下，利用换元法将问题转化为一个函数在一个区间上的最值问题．提醒：研究函数的性质应树立定义域优先的原则．2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫12x .(1)画出函数f (x )的图像；(2)根据图像写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．[解] (1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像，利用偶函数的图像关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图像．(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．数的大小比较问题最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较．【例3】(1)已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．b＞c＞a D．c＞b＞a(2)设a＝log132，b＝log123，c＝⎝⎛⎭⎪⎫130.3，则()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜c(1)C(2)D[(1)∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.3＞20＝1,0＜c＝0.30.2＜0.30＝1，∴b＞c＞a.故选C.(2)∵a＝log132＜0，b＝log123＜0，log132＞log133，log133＞log123，c＝⎝⎛⎭⎪⎫130.3＞0.∴b＜a＜c.故选D.]1．数(式)的大小比较及常用的方法比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用．常用的方法有单调性法、图像法、中间量法、作差法、作商法等．2．数的大小比较常用的技巧(1)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(2)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．3．已知0＜a＜1，x＝log a2＋log a3，y＝12log a5，z＝log a21－log a3，则()A．x＞y＞z B．z＞y＞xC．y＞x＞z D．z＞x＞yC[依题意，得x＝log a6，y＝log a5，z＝log a7.又0＜a＜1，5＜6＜7，因此有log a5＞log a6＞log a7，即y＞x＞z.]分类讨论思想类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图像和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现．【例4】已知函数为偶函数，且f(3)<f(5)．(1)求m的值，并确定f(x)的解+析式；(2)若g(x)＝log a[f(x)－ax](a>0，且a≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a的取值范围．[思路探究](1)结合f(3)<f(5)，与函数f(x)的奇偶性，分类讨论确定m的值及f(x)的解+析式．(2)由g(x)为增函数，结合a讨论，求出a的取值范围．[解](1)由f(3)<f(5)，得∴<1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35.∵y＝⎝⎛⎭⎪⎫35x为减函数，∴－2m2＋m＋3>0，解得－1<m<32.∵m∈N，∴m＝0或1.综上，m＝1，此时f(x)＝x2.(2)由(1)知，当x∈[2,3]时，g(x)＝log a(x2－ax)．①当0<a<1时，y＝log a u在其定义域内单调递减，要使g(x)在[2,3]上单调递增，则需u(x)＝x2－ax在[2,3]上单调递减，且u(x)>0.∴⎩⎨⎧a2≥3，u(3)＝32－3a>0，无解；②当a>1时，y＝log a u在其定义域内单调递增，要使g(x)在[2,3]上单调递增，则需u(x)＝x2－ax在[2,3]上单调递增，且u(x)>0.∴⎩⎨⎧a2≤2，u(2)＝22－2a>0，解得a<2.∴实数a的取值范围为(1,2)．分类讨论思想在指数函数和对数函数中的应用(1)原理：底数大于1时，指数函数与对数函数均是增函数；底数大于0小于1时，指数函数与对数函数均是减函数．(2)步骤：①确定底数的大小；②根据底数的大小，依据单调性及定义域列出不等式(组)；③解所列出的不等式(组)求得参数的范围．4．设a>0且a≠1，若P＝log a(a3＋1)，Q＝log a(a2＋1)，试比较P、Q的大小．[解]当0<a<1时，有a3<a2，即a3＋1<a2＋1.又当0<a<1时，y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，∴log a(a3＋1)>log a(a2＋1)，即P>Q；当a>1时，有a3>a2，即a3＋1>a2＋1.又当a>1时，y＝log a x在(0，＋∞)上单调递增，∴log a(a3＋1)>log a(a2＋1)，即P>Q.综上可得P>Q.函数与方程思想【例5】|lg x|() A．a<1 B．a>1C．a≤1 D．a≥1B[若函数f(x)＝10|lg x|－a有两个零点，则10|lg x |－a ＝0有两个实数根，即10|lg x |＝a 有两个实数根，转化为函数y ＝10|lg x |与y ＝a 图像有两个不同的交点，为此只要画出y ＝10|lgx |的图像即可．当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x ＝x ；当0<x <1时，lg x <0，y ＝10|lg x |＝10－lg x ＝1x ，所以y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥1，1x ，0<x <1.这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出，如图．依题意，得a >1.]1．函数与方程的关系(1)函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题． (2)方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．(3)通过函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的． 2．应用函数思想的几种常见题型 (1)遇到变量，构造函数关系解题．(2)有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析．(3)含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系．5．若关于x 的方程|x －2|(x ＋1)－m ＝0至少有两个实数根，则实数m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，94 [若关于x 的方程|x －2|(x ＋1)－m ＝0至少有两个实数根，则|x －2|(x＋1)＝m 至少有两个实数根，即函数y ＝|x －2|(x ＋1)与y ＝m 的图像至少有两个交点．当x ≥2时，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，当x <2时，即x －2<0时， y ＝－(x －2)(x ＋1) ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出，如图．依题意，得0≤m ≤94.]。
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 指数函数的性质与图象
基础落实•必备知识全过关
知识点1 指数函数的概念
1.一般地,函数y=ax称为指数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.
2.指数函数的特征:
(1)底数a>0且a≠1;
(2)指数幂的系数是1.
名师点睛 根据指数函数的定义,只有形如 y=ax(a>0 且 a≠1)的函数才叫指
数函数,如 y=3·2 ,y=(a
在(-∞,+∞)上是增函数
在(-∞,+∞)上是减函数
非奇非偶函数
x
2.一般地,指数函数 y=a
1 x
和 y=(a ) (a>0 且 a≠1)的图像关于 y 轴对称,且它们在
R 上的单调性相反.
名师点睛 1.画指数函数y=ax(a>0且a≠1)的简单图象时,需找三个关键点:
(1,a),(0,1),(-1, 1 ).
点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)即为所求.
变式训练2若函数y=ax+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点,则该定点坐标
为
.
答案 (0,2)
解析 因为函数y=ax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(0,1),所以函数y=ax+1(a>0
且a≠1)的图象恒过定点(0,2).
∴c>b>a.
4.已知函数f(x)=ax-1的图象经过点(2,4),其中a>0且a≠1.
(1)求实数a的值;
(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域;
(3)解不等式f(x2)<f(2x+3).
解 (1)∵函数f(x)=ax-1的图象经过点(2,4),∴4=a2-1,∴a=4.
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.2.1 对数运算
2
D.4 =x
)
知识点2 对数的基本性质
1.对数与指数的关系(a>0且a≠1,N>0)
指数表达式ab=N与对数表达式b=logaN实际上表示的是同一数量关系,如
果把对数表达式中的b代入指数表达式,则可得 a a = N ;
类似地,如果把指数表达式中的N代入对数表达式,则有logaab=b.
第四章
4.2.1 对数运算
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
课标要求
1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.
2.掌握指数式与对数式的互化,能够应用对数的定义和性质解方程.
3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.
基础落实•必备知识全过关
C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞)
答案 C
解析 要使对数式log(a-2)(5-a)有意义,
-2 > 0,
则 5- > 0,解得 a∈(2,3)∪(3,5),故选 C.
-2 ≠ 1,
)
2.已知15ln x=25,则x=
答案 elo g 15 25
解析 因为 15ln x=25,
所以 log1515ln x=log1525,
所以 ln x=log1525,x=elo g 15 25 .
.
3.若loga2=m,loga3=n(a>0且a≠1),则a2m+n=
答案 12
解析 因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3.
所以a2m+n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12.
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 函数的应用(二)
所以2035年我国城镇常住人口数为10.82亿.故选A.
知识点2 解决函数应用题的基本思想和解题步骤
函数模型的应用,一方面是利用已知函数模型解决问题;另一方面是建立恰
当的函数模型,并利用该函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测.
等措施,预计使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后,该林区
的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的解析式,并写出此函数的定义域.
解 由题意,得:经过1年后,木材蓄积量y1=200(1+5%)=200×1.05,
经过2年后,木材蓄积量y2=200×1.05×(1+5%)=200×1.052,
第四章
4.6 函数的应用(二)
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
课标阐释
1.在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
2.能建立函数模型解决实际问题.
3.体会如何借助函数刻画实际问题,感悟数学模型中参数的现实意义.
基础落实•必备知识全过关
润.(利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金)
解 (1)由题易得生产 A 芯片的毛收入为
y1=4 (x>0).将(1,1),(4,2)代入 y2=kxa,
= 1,
= 1,
1 所以,生产 B 芯片的毛收入为 y2=√(x>0).
得
解得
= 2,
× 4 = 2,
(2)由4
20 000=lg 2+lg 104
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 4.4 幂函数
(2)∵f(2x-1)<f(2-x),
∴f(|2x-1|)<f(|2-x|),
∴|2x-1|<|2-x|,即(2x-1)2<(2-x)2,
解得-1<x<1,∴x∈(-1,1).
1 2 3 4
解析
9
∵n∈N,n>9,∴0<<1.
∴函数的定义域为 R,且在第一象限内是增函数,故可排除 B,D.又
函数,故选 C.
9
y=|x| 是偶
成果验收·课堂达标检测
1.幂函数的图象过点(2,4),则它的单调递增区间是( B )
A.(2,+∞)
B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞)
D.(-∞,0)
解析 设f(x)=xα(α为常数),由2α=4,得α=2,
①幂函数的图象均过点(1,1);②幂函数的图象均在两个象限内出现;③幂函
数在第四象限内可以有图象;④对于幂函数y=xα,当α>0时,幂函数在第一象
限内为增函数;⑤任意两个幂函数的图象最多有两个交点.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 对于幂函数y=xα,当x=1时,y=1,所以幂函数的图象均过点(1,1),故①正
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
1.通过实例,了解幂函数的概念.
课程标准
1
2
2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1, y= 的图象,了解它们的变化情
况及简单性质并归纳幂函数的图象.
3.能运用幂函数的图象与性质解决相关问题.
基础落实·必备知识全过关
①是幂函数;
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 对数函数的性质与图象
【例2】(1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(
)
A.(-∞,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.(0,1)
D.[0,1]
(2)已知函数 f(x)=2log 1 x 的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域
是
2
.
答案 (1)A (2)[
2
,
2
2]
解析 (1)由题意得x2-x>0,解得x>1或x<0,故函数的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).
第四章
4.2.3 对数函数的性质与图象
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
课标要求
1.通过具体实例,了解对数函数的概念.
2.能用描点法或借助ห้องสมุดไป่ตู้算工具画出具体对数函数的图象,直观了解对数函
数的模型所刻画的数量关系.
3.熟练掌握对数函数y=logax的图象与性质.
2.(1)下列函数中,在区间(0,+∞)内不是增函数的是(
)
A.y=5x
B.y=lg x+2
C.y=x2+1
D.y=log 1 x
2
(2)函数f(x)=loga(x-2)-2x(a>0且a≠1)的图象必经过定点
答案 (1)D
(2)(3,-6)
.
重难探究•能力素养全提升
探究点一 对数函数的概念
【例1】(1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx,则m=
质
非奇非偶函数
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第四章指数函数、对数函数与幂函数 指数函数及其性质的应用
变式探究 本例(1)中函数改为 y=3
2 -2+3
,求其单调区间.
解 同例(1)的解法,得 u(x)在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.又 y=3u
在 R 上为增函数,∴函数 y=3
为(-∞,1].
2 -2+3
的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间
是
(2)解方程:2
.
2 +1
=
1
.
4
(1)答案
1
- ,+
4
∞
+ 1, ≤ 0,
1
解析 ∵f(x)=
f(x)+f - 2 >1,
2 , > 0,
即f
1
2
>1-f(x),通过图象变换,在同一平面
直角坐标系中画出 y=f
1
2
与 y=1-f(x)的图象,
如图所示.由数形结合可知,
t=1 时取等号),
2
y=4 +1的值域为
1
0, 2
.
,
探究点二 解指数方程或不等式
【例2】(1)解方程22x+2+3×2x-1=0.
(2)已知
1 2+1
2
<
1 3-2
,求实数
2
a 的取值范围.
解 (1)方程可化为4×(2x)2+3×2x-1=0.
令t=2x(t>0),则4t2+3t-1=0,
2
(2)设 g(x)=x +2(a-1)x+2,指数函数 h(x)=
1
人教B版高中同步学案数学必修二精品课件 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 对数函数图象与性质的应用
.
3
答案
5
2
<<
41
或
16
>
13
2
解析 因为函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递减,所以
可将 f(log 1 (2x-5))>f(log38)化为|log 1 (2x-5)|>|log38|,即 log3(2x-5)>log38 或
又 y=log 1 x 是区间(0,+∞)上的减函数,
2
故所求函数的单调递增区间是(-∞,-6),单调递减区间是(2,+∞).
(2)令t=log0.4x,且t=log0.4x在区间(0,+∞)上单调递减.易知y=t2-2t+2=(t-1)2+1
在区间[1,+∞)上单调递增,在区间(-∞,1]上单调递减,由t=log0.4x≥1,得
- + 5 > 0,
1
解得2<x<5.
又函数 y=log2x 在区间(0,+∞)上是增函数,
所以 2x-1<-x+5,解得 x<2.综上可得,满足要求的 x 的取值集合为
1
| 2
<<2 .
2
(2)loga5<1,即
2
loga5<logaa,
当 a>1 时,函数 y=logax 在定义域内是增函数,
是要坚持“定义域优先”的原则.
变式训练3求下列函数的单调区间:
(1)y=log 1 (x2+4x-12);
2
(2)y=(log0.4x)2-2log0.4x+2.
2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.5增长速度的比较课件新人教B版必修第二册
x）－f（x0）＝ Δx
2（x0＋Δ Δ
xx）－2x0＝2，故选
D.
2．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是( )
A．y＝x2
B．y＝log2x
C．y＝2x
D．y＝2x
答案：D
3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24
0.51 1 2.02 3.98 8.02
解析：由图像知，0～t0 范围：－v 甲＝－v 乙＝st00； t0～t1 范围：－v 甲＝st21－－st00，－v 乙＝st11－ －st00. 因为 s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0，所以－v 甲＞－v 乙．所以③正确． 答案：③
函数模型增长差异的比较
甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方 向运动，其路程 fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间 x(x≥0)的函数关 系式分别为 f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)， 有以下结论：
2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进 行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米 空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比， 药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为 y＝ 116t－a(a 为常数)，如图所示， 根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式为________． (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下 时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少要经过 ________小时后，学生才能回到教室．
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第二册课件：章末整合第四章 指数函数、对数函数与幂函数
章末复习课
章末整合
要点回顾 专题突破
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
要点回顾
返回导航
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
网络构建
数学（必修·第二册 RJB）
返回导航
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
核心归纳 1．指数函数的图像和性质
单调性 (－∞，0)增 (0，＋∞)减
增
奇偶性 偶
非奇非偶
减
非奇非偶
增
奇
(－∞，0)减 偶
[0，＋∞)增
返回导航
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
返回导航
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
数学（必修·第二册 RJB）
结合以上常见的幂函数，可得y＝xα(a∈R)的性质如下： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有意义，并且图像都通过点(1,1)． (2)如果α＞0，则幂函数的图像过原点，并在区间[0，＋∞)上为增函 数． (3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限 内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于＋ ∞时，图像在x轴上方无限地逼近x轴． (4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函 数．
返回导航
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4．幂函数的图像和性质 下表是一些常见的幂函数的性质：
函数 y＝x0 y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域 {x|x≠0}
R
R
R {x|x≠0}
值域 {1} R {y|y≥0}
R {y|y≠0}
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题型三 指数函数与对数函数图像间的关系
例 3 已知 lg a＋lg b＝0，函数 f(x)＝ax 与函数 g(x)＝－logbx 的图像可能是( )
【解析】 ∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，则 b＝1a，从而 g(x)＝－ logbx＝logax，故 g(x)与 f(x)＝ax 互为反函数，图像关于直线 y＝x 对 称．结合选项可知选 B.
【答案】 B 1.由 lg a＋lg b＝0 得 ab＝1. 2.fx与 yx互为反函数.
状元随笔 指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax，一个函数的
定义域是另一个函数的值域，而且它们的单调性相同．
知识点二 反函数 一般地，函数 y＝f(x)的反函数记作 y＝f－1(x)．值得注意的是， y＝f(x)的定义域与 y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与 y＝f－1(x) 的定义域相同．
1．函数 f(x)＝log4x 与 g(x)＝22x 的图像( ) A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 y＝x 对称
解析：∵g(x)＝22x＝4x，∴函数 f(x)＝log4x 与 g(x)＝22x 互为反 函数，它们的图像关于直线 y＝x 对称．
答案：D
2．若函数 y＝log2x＋2 的反函数的定义域为(3，＋∞)，则此函 数的定义域为________．
解析：函数 y＝log2x＋2 的反函数的定义域为(3，＋∞)，即这 个函数的值域为(3，＋∞)，
∴log2x＋2>3，即 log2x>1，∴x>2. 则此函数的定义域为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)
题型一 求函数的反函数[教材 P31 例 2] 例 1 判断 f(x)＝2x＋2 的反函数是否存在，如果不存在，说明 理由；如果存在，写出反函数 f－1(x)的解析式，并在同一直角坐标 系中作出 f(x)与 f－1(x)的函数图像．
解析：(1)由 y＝2x＋3 得 x＝12y－32，
所以函数 y＝2x＋3 的反函数是 y＝12x－32.
(2)y＝log
2 3
x
的底数是23，它的反函数是指数函数
y＝23x.
(3)y＝23x－1 的值域是(－1，＋∞)，所以它的反函数为函数 y
＝log 2 (x＋1)(x>－1)． 3
(4)因为 y＝0.2x＋1，所以 y－1＝0.2x，x＝log0.2(y－1)，即 y＝ log0.2(x－1)，
因为函数 y＝0.2x＋1(x≤1)的值域是{y|y≥1.2}，所以 y＝log0.2(x －1)的定义域为{x|x≥1.2}，即函数 y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是 y
＝log0.2(x－1)(x≥1.2)． 1.函数在定义域内的值域．
【解析】 因为 f(x)＝2x＋2 是增函数，因此任意给定值域中的 一个值，只有唯一的 x 与之对应，所以 f(x)存在反函数．
令 y＝2x＋2，对调其中的 x 和 y 得 x＝2y＋2，解得
y＝12x－1，
因此 f－1(x)＝12x－1. f(x)与 f－1(x)的函数图像如图所示． 1．判断函数是否单调． 2．求出 x. 3．推导出 f －1(x)的解析式．
方法归纳
求给定解析式的函数的反函数的步骤 (1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域； (2)从 y＝f(x)中解出 x； (3)x，y 互换并注明反函数的定义域．
跟踪训练 1 求下列函数的反函数． (1)y＝2x＋3；
(2)y＝log 2 x； 3
(3)y＝23x－1； (4)y＝0.2x＋1(x≤1)．
由①②解得ab＝ ＝31， .
解法二：∵y＝ax＋b 的图像过点(1,4)，∴a＋b＝4.① 又∵y＝ax＋b 的反函数图像过点(2,0)， ∴点(0,2)在原函数 y＝ax＋b 的图像上， ∴a0＋b＝2.②
联立①②得ab＝ ＝31， . 函数与反函数性质解题 互为反函数的图像关于直线 y＝x 对称是反函数的重要性质， 由此可得互为反函数图像上任一成对的相应点也关于 y＝x 对称， 所以若点 (a，b)在函数 y＝f(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数 y＝f－1(x)的图像上.
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ax＋b(a>0 且 a≠1)的图像过点 (1,7)，其反函数 f－1(x)的图像过点(4,0)，求 f(x)的表达式．
状元随笔
1．y＝f(x)与 y＝f －1(x)的图像关于直线 y＝x 对称． 2．如果 y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数 y＝f －1(x)一定存 在．此时，如果 y＝f(x)是增函数，则 y＝f －1(x)也是增函数；如果 y＝f(x)是减函数，则 y＝f －1(x)也是减函数．
[基础自测]
2．求 x. 3．解出 f －1(x)
题型二 反函数性质的应用 例 2 已知函数 y＝ax＋b 的图像过点(1,4)，其反函数的图像过 点(2,0)，求 a，b 的值．
【解析】 解法一：∵y＝ax＋b 的图像过点(1,4)， ∴a＋b＝4，① 由 y＝ax＋b 得 ax＝y－b， ∴x＝loga(y－b)，交换 x，y 得 y＝loga(x－b)， 将点(2,0)代入 y＝loga(x－b)得 loga(2－b)＝0， ∴2－b＝1.②
最新课程标准： 1.了解反函数的定义． 2.了解指数函数与对数函数互为反函数.
知识点一 指数函数与对数函数的性质
函数 定义域
指数函数 y＝ax R
对数函数 y＝logax ___(_0_，__＋__∞__) _
值域
(_0_，__＋__∞__)
R
单调性 0<a<1 时，为_减__函__数___；a>1 时，为_增__函__数___