2021年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标18任意角蝗制及任意角的三角函数
2021届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第一节任意角和蝗制及任意角的三角函数课件文北师大版2
[破题技法] 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问 题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
考点三 三角函数的定义
挖掘1 用三角函数的定义求值/ 互动探究
B.cos α<sin α<tan α
C.sin α<cos α<tan α
D.tan α<sin α<cos α
[解析] 如图所示,作出角α的正弦线MP,余弦线OM,正切线AT,观察可得, AT>OM>MP,故有sin α<cos α<tan α.
[答案] C
︵︵︵︵ (2)(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中AB,CD,EF,GH是圆 x2+y2=1 上的
(2)(2020·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧
长是( )
A.2
B.sin 2
2 C.sin 1
D.2 sin 1
[解析] 如图:∠AOB=2弧度,过O点作OC⊥AB于C,并延长OC交弧AB于D.则 ∠AOD=∠BOD=1弧度,且AC=12AB=1, 在Rt△AOC中,AO=sin∠ACAOC=sin1 1, 即r=sin1 1,从而弧AB的长为l=α·r=sin2 1. [答案] C
(2)根据α终边上P的坐标符号:正弦值与纵坐标同号,余弦值与横坐标同号;横
纵坐标同号,正切值为正;异号正切值为负.
考点四 三角函数线的应用
[例] (1)(2020·石家庄模拟)若-34π<α<-π2,从单位圆中的三角函数线观察sin α,
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第18讲任意角蝗制及任意角的三角函数课件
【例 1】 (1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合. (2)若角 θ 的终边与67π 角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3θ角的终边相同的角. (3)已知角 α 是第一象限角,试确定 2α,α2所在的象限.
解析
180 rad=___π___°____.
(4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l,圆心角大小为 α rad,半径为 r,则 l=____|_α_|_r___,扇形的面
积为 S=12lr=____12_|α_|·_r_2 __.
3.任意角的三角函数 (1)定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 sin α=
易错点 定义应用错误
• 错因分析:用三角函数的定义求三角函数值时,要注意点的位置或字 母正负的讨论.
• 【例1】 已知α角的终边过点P(3a,-4a)(a≠0),求α角的三个三角函 数值,
解析 根据任意角的三角函数的定义可得
r= 9a2+16a2= (5a)2=5|a|, 当 a<0 时,r=-5a,sin α=yr=45,cos α=xr=-35, tan α=yx=-43; 当 a>0 时,r=5a,sin α=yr=-45,cos α=xr=35, tan α=yx=-43.
d=2sin
l 2.
3.若 cos α=- 23,且角 α 的终边经过点 P(x,2),则 P 点的横坐标 x 是( D )
A.2 3
B.±2 3
C.-2 2
D.-2 3
解析 r= x2+22, 由题意得 x2x+22=- 23,解得 x=-2 3.
• 4.已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10. • (1)求弦AB所对的圆心角α的大小; • (2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3.1任意角和蝗制及任意角的三角函数课件理
板块二 典例探究·考向突破
考向 象限角及终边相同的角
例1
(1)[2017·潍
坊
模
拟
]
集
合
α
|kπ+π4≤α
≤kπ+π2,k∈Z
中的角所表示的范围
触类旁通 弧长和扇形面积的计算方法
(1)在弧 度制下,计算扇形的面 积和弧长比在角度制 下 更方便、简捷.
(2)从扇形面积出发,在弧度制下使问题转化为关于 α 的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.
(3)记住下列公式: ① l= αR ;② S= 12lR ; ③S=12 αR2.其 中 R 是扇形的半径,l 是弧长,α(0<α<2π)为圆心角,S 是扇 形面积.
(2)由题意得 l+2R=20, ∴l=20-2R(0<R<10). ∴S 扇=12l·R=12(20-2R)·R =(10-R)·R=-R2+10R=-(R-5)2+25. ∴当且仅当 R=5 时,S 有最大值 25. 此时 l=20-2×5=10,α=Rl =150=2 rad. ∴当 α=2 rad 时,扇形面积取最大值.
解得rl= =23, 或rl= =61, ,
∴α=rl=23或 α=rl=6.
(2)∵2r+l=8,∴S 扇=12lr=14l·2r≤14l+22r2=14×822= 4,当且仅当 2r=l,即 α=rl=2 时,扇形面积取得最大值, ∴r=2,∴弦长 AB=2sin1×2=4sin1.
跟踪训练 若角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sinα,cosα 和 tanα 的值.
数学复习:第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数
第三章三角函数、解三角形错误!错误!错误!1。
了解任意角的概念;了解弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知识点一角的概念的推广角的特点角的分类从运动的角度看角可分为______、______和______从终边位置来看可分为________和轴线角α与β角的终边相同β=______________(或α+k·2π,k∈Z)正角负角零角象限角α+k·360°,k∈Z1.若α是第二象限角,β是第三象限角,则角α,β的大小关系是________.解析:角α可以大于角β,也可以小于角β,但是不能等于角β.答案:不确定2.终边在直线y=x上的角的集合是________.解析:终边在直线y=x上,且在[0°,360°)内的角为45°,225°,写出与其终边相同的的角的集合,整合即得.答案:{α|α=k·180°+45°,k∈Z}知识点二弧度的概念与公式在半径为r的圆中:分类定义(公式)1弧度的角把长度等于______长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号1 rad表示角α的弧度数公式|α|=______(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°=______ rad②1 rad=________弧长公式弧长l=______扇形面积公式S=______=__________答案半径错误!错误!错误!°r|α| 错误!lr错误!r2|α|3.(必修④P10习题1.1A组第10题改编)单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为()A.10π B.9πC。
910π D。
错误!π解析:单位圆的半径r=1,200°的弧度数是200×错误!=错误!π,由弧度数的定义得109π=lr,所以l=109π。
答案:D4.已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是________.解析:设此扇形的半径为r,弧长为l,则错误!解得错误!或错误!从而α=错误!=错误!=4或α=错误!=错误!=1。
数学一轮复习第三章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数学案含解析
第三章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数[考纲解读]1。
了解任意角的概念及弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.(重点)2.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,并能熟练运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等.(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看,本讲内容属于基础考查范围.预测2021年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值.常以客观题形式考查,属中、低档试题.1.任意角的概念(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着错误!端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的分类(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于错误!半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0。
(2)公式3.任意角的三角函数定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sinα=错误!y,cosα=错误!x,tanα=错误!错误!.1.概念辨析(1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角.()(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()(3)不相等的角终边一定不相同.()(4)三角形的内角必是第一、第二象限角.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.小题热身(1)下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+45°(k∈Z)B.k·360°+错误!(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+5π4(k∈Z)答案C解析角度制与弧度制不能混用,排除A,B;因为错误!=2π+π4,所以与错误!终边相同的角可表示为k·360°+45°(k∈Z)或k·360°-315°等,故选C。
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.1任意角和蝗制及任意角的三角函数课件理
3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数
基础知识过关
[知识梳理] 1.任意角的概念 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着 端点 从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)角的分类
(3)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
题型 2 弧度制及扇形面积公式的应用
典例 已知一扇形的圆心角为 α,半径为 R,弧长为 l.
(1)若 α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长 l; (2)已知扇形的周长为 10 cm,面积是 4 cm2,求扇形的 圆心角; (3)若扇形周长为 20 cm,当扇形的圆心角 α 为多少弧度 时,这个扇形的面积 B.M N
C.N M D.M∩N=∅
赋值法.
典例2 已知角 α=2kπ-π5(k∈Z),若角 θ 与角 α 终边 相同,则 y=|ssiinnθθ|+|ccoossθθ|+|ttaannθθ|的值为___-__1___.
值.
找 α 的终边,利用终边确定正负,再求
解析 如图,由题意知,角 α 的终边在第二象限,在 其上任取一点 P(x,y),则 y=-x,由三角函数的定义得 tanα =yx=-xx=-1.
(2)(2018·黄浦模拟)如图,已知扇形 OAB 和 OA1B1,A1 为 OA 的中点,若扇形 OA1B1 的面积为 1,则扇形 OAB 的面 积为___4_____.
2.教材衍化 (1)(必修 A4P9T5)直径为 4 的圆中,36°的圆心角所对的 弧长是( )
4π 2π π π A. 5 B. 5 C.3 D.2
解析 ∵36°=36×1π80 rad=π5 rad,∴36°的圆心角所 对的弧长为 l=π5×2=25π.故选 B.
高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3.1任意角和蝗制及任意角的三角函数课件理
同理角 α 终边上点 Q 的坐标为(x0,y0), 那么 sinα=y0,cosα=x0. ④α∈0,π2,则 tanα>α>sinα. ⑤α 为第一象限角,则 sinα+cosα>1. 答案:②④⑤
第十七页,共45页。
3
考点疑难突破
第十八页,共45页。
角的集合表示及象限(xiàngxiàn)角的判定
第十一页,共45页。
「基础小题练一练」
1.已知角 α 的终边与单位圆的交点 Px, 23,则 tanα 等于(
)
A. 3
B.± 3
3 C. 3
D.±
3 3
第十二页,共45页。
解析:由|OP|2=x2+34=1, 得 x=±12. 所以 tanα=yx= 23÷±12=± 3.故选 B. 答案:B
必修(bìxiū)部分
第三章 三角函数(sānjiǎhánshù)、解三角形
第一节 任意角和弧度(húdù)制及任意角 的三角函数
第一页,共45页。
栏
考情分析 1
目
(fēnxī)3 考点(kǎo Nhomakorabeadiǎn)
导
基础自主(zìzhǔ) 2
梳理
疑难突破
航
4 课时跟踪检测
第二页,共45页。
[学科素养] 借助直观图形感知事物的形态利用图形理解和解决熟悉问题,借助图形的性质和 变换(平移、对称、旋转)发现数学规律,探索解决实际问题或数学问题.
第四十页,共45页。
[自 主 演 练] 1.函数 y= -21-cosx的定义域为________. 解析:因为-21-cosx≥0, 所以 cosx≤-12, 作直线 x=-12交单位圆于 C,D 两点,连接 OC,OD, 如图,阴影部分为角 x 终边的范围,
高考一轮复习第3章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函
第一讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
知识梳理·双基自测
知识点一 角的有关概念
(1)从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角.
(2)从终边位置来看,角可分为象限角与轴线角.
(3)若β与α是终边相同的角,则β用α表示为β=2kπ+α,k∈Z.
知识点二 弧度制及弧长、扇形面积公式
知识点三 任意角的三角函数
(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sin α=y,cos α=x,tan α= (x≠0).
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是点(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线,余弦线和正切线.
[解析]由角α的终边过点P 得sin α=- ,所以sin(α+π)=-sin α= .
考点突破·互动探究
考点一 角的基本概念——自主练透
例1 (1)若角θ的终边与 角的终边相同,则在区间[0,2π)内终边与 角的终边相同的角为 , , .
(2)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=- x上,则角α的取值集合是( D )
考点三 三角函数的定义——多维探究
角度1 定义的直接应用
例3 (1)(2020·北京海淀期中)在平面直角坐标系xOy中,点A的纵坐标为2,点C在x轴的正半轴上.在△AOC中,若cos∠AOC=- ,则点A的横坐标为( A )
A.- B.
C.-3D.3
(2)若角θ的终边经过点P(- ,m)(m≠0)且sin θ= m,则cos θ的值为- .
所以 终边在第三象限,综上, 的终边在第一或三象限.故选A、C.
山东专用2021新高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时作业19任意角和蝗制及任意角的三角函数
课时作业19 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题1.将-300°化为弧度为( B )A .-43πB .-53πC .-76πD .-74π解析:-300×π180=-53π.2.tan 8π3的值为( D )A .33B .-33C . 3D .- 3解析:tan 8π3=tan(2π+2π3)=tan 2π3=- 3.3.若sin θ<0且cos θ>0,则θ是( D ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角D .第四象限角解析:sin θ<0,即θ的终边位于x 轴下方,又cos θ>0,即θ的终边位于y 轴右侧,综上可知,θ是第四象限角,故选D .4.若角α的终边经过点(1,-3),则sin α=( B ) A .-12B .-32C .12D .32解析:∵α的终边经过点(1,-3),∴x =1,y =-3,r =2,∴sin α=y r =-32,故选B .5.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是( C ) A .2 B .sin2 C .2sin1D .2sin1解析:r =1sin1,l =θ·r =2·1sin1=2sin1,故选C .6.如图,在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边与单位圆交于点A ,点A 的纵坐标为45,则cos α的值为( D )A .45B .-45C .35D .-35解析:因为点A 的纵坐标y A =45,且点A 在第二象限,又因为圆O 为单位圆,所以A点横坐标x A =-35,由三角函数的定义可得cos α=-35.7.设α是第二象限角,P (x ,4)为其终边上的一点,且cos α=15x ,则tan α=( D )A .43B .34C .-34D .-43解析:因为α是第二象限角,所以cos α=15x <0,即x <0.又cos α=15x =x x 2+16,解得x=-3,所以tan α=4x =-43.8.点P (cos α,tan α)在第二象限是角α的终边在第三象限的( C ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:若点P (cos α,tan α)在第二象限,则⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0,tanα>0,可得α的终边在第三象限; 反之,若角α的终边在第三象限,有⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0,tanα>0,即点P (cos α,tan α)在第二象限, 故选项C 正确.9.(多选题)在平面直角坐标系xOy 中,角α以Ox 为始边,终边经过点P (-1,m )(m ≠0),则下列各式的值一定为负的是( AD )A .cos αB .sin α-cos αC .sin α·cos αD .sin αtanα解析:角α的终边经过点P (-1,m )(m ≠0),故角α在第二象限或第三象限,若角α在第二象限,则有sin α>0,cos α<0,tan α<0,则sin α-cos α>0,sin α·cos α<0,sin αtan α<0;若角α在第三象限,则有sin α<0,cos α<0,tan α>0,则sin α-cos α不能判断其正负,sin α·cos α>0,sin αtan α<0,综上所述,cos α<0,sin αtan α<0,故选AD . 10.在平面直角坐标系xOy 中,角α的始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆交点的横坐标为-32,则cos2α=( D ) A .-32B .32C .-12D .12解析:由题意知,cos α=-32,所以cos2α=2cos 2α-1=12.故选D . 11.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上一点A(2sin α,3),则cos α=( A )A .12B .-12C .32D .-32解析:由三角函数定义得tan α=32sin α,即sin αcos α=32sin α,得3cos α=2sin 2α=2(1-cos 2α),解得cos α=12或cos α=-2(舍去).故选A .12.角α的终边与直线y =3x 重合,且sin α<0,又P (m ,n)是角α终边上的一点,且|OP |=10(O 为坐标原点),则m -n =( A )A .2B .-2C .4D .-4解析:因为角α的终边与直线y =3x 重合,且sin α<0,所以角α的终边在第三象限.又P (m ,n )是角α终边上的一点,故m <0,n<0,又|OP |=10,所以⎩⎪⎨⎪⎧n =3m ,m 2+n 2=10,所以⎩⎪⎨⎪⎧m =-1,n =-3,故m -n =2.故选A .二、填空题13.(多填题)-2 017°角是第二象限角,与-2 017°角终边相同的最小正角是143°,最大负角是-217°.解析:因为-2 017°=-6×360°+143°,所以-2 017°角的终边与143°角的终边相同.所以-2 017°角是第二象限角,与-2 017°角终边相同的最小正角是143°.又143°-360°=-217°,故与-2 017°角终边相同的最大负角是-217°.14.若△ABC 的内角A ,B 满足sin A cos B <0,则△ABC 的形状是钝角三角形. 解析:∵A ,B 均为三角形的内角,∴sin A >0,又∵sin A cos B <0,∴cos B <0,∴B 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形. 15.已知点P (sin35°,cos35°)为角α终边上一点,若0°≤α<360°,则α=55°.解析:由题意知cos α=sin35°=cos55°,sin α=cos35°=sin55°,P 在第一象限,∴α=55°. 16.在平面直角坐标系xOy 中,角θ的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边过点(12,32),则cos(2θ+π3)=-1.解析:解法1:由题意,得cos θ=12,sin θ=32,则sin2θ=2sin θcos θ=32,cos2θ=2cos 2θ-1=-12,所以cos(2θ+π3)=cos2θcos π3-sin2θsin π3=-12×12-32×32=-1.解法2:由题意,得tan θ=3,θ为第一象限角,所以θ=2kπ+π3(k ∈Z ),所以2θ=4k π+2π3(k ∈Z ),则cos(2θ+π3)=cos(4k π+π)=-1.17.(2019·北京卷)如图,A ,B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点,∠APB 是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( B )A .4β+4cos βB .4β+4sin βC .2β+2cos βD .2β+2sin β解析:如图,设点O 为圆心,连接PO ,OA ,OB ,AB ,在劣弧AB ︵上取一点C ,则阴影部分面积为△ABP 和弓形ACB 的面积和.因为A ,B 是圆周上的定点,所以弓形ACB 的面积为定值,故当△ABP 的面积最大时,阴影部分面积最大.又AB 的长为定值,故当点P 为优弧AB ︵的中点时,点P 到弦AB 的距离最大,此时△ABP 面积最大,即当P 为优弧AB ︵的中点时,阴影部分面积最大.下面计算当P 为优弧AB ︵的中点时阴影部分的面积.因为∠APB 为锐角,且∠APB =β,所以∠AOB =2β,∠AOP =∠BOP =π-β,则阴影部分的面积S =S △AOP +S △BOP +S 扇形OAB =2×12×2×2sin(π-β)+12×22×2β=4β+4sin β,故选B .18.如图直角坐标系中,角α(0<α<π2),角β(-π2<β<0)的终边分别交单位圆于A ,B 两点,若B 点的纵坐标为-513,且满足S △AOB =34,则sin α2(3cos α2-sin α2)+12的值为( D )A .-513B .-1213C .513D .1213解析:因为sin β=-513>-12(-π2<β<0),所以-π6<β<0.又0<α<π2,S △AOB =12OA ·OB sin ∠AOB =12sin ∠AOB =34,所以∠AOB =π3,所以∠AOB =α-β=π3,即α=β+π3.sin α2(3cos α2-sin α2)+12=3sin α2cos α2-sin 2α2+12=32sin α+12cos α=sin(α+π6)=sin(β+π3+π6)=cos β=1213.故选D .。
2021版新高考数学一轮复习 课时规范练18 任意角、弧度制及任意角的三角函数 新人教A版.docx
基础巩固组1.(2019湖南衡阳三模)若sin α<0,则下列三角函数的值恒为负数的是()A.cos αB.tan αC.cosα2D.tanα22.(多选)已知x∈R,则下列等式恒成立的是()A.sin(-x)=sin xB.sin(3π2-α)=cos xC.cos(π2+α)=-sin x D.cos(x-π)=-cos xE.tan(x+π)=tan x3.(2019山东潍坊高三一模)在平面坐标系中,αα⏜,αα⏜,αα⏜,αα⏜是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边,若tan α<cos α<sin α,则P所在的圆弧是()A.αα⏜ B.αα⏜ C.αα⏜ D.αα⏜4.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k ·360°≤α≤120°+k ·360°,k ∈Z }D.{α|120°+k ·360°≤α≤315°+k ·360°,k ∈Z }5.已知角α的终边与单位圆x 2+y 2=1相交于点P12,y ,则sin (π2+α)=( ) A.1 B.12C.-√32D.-126.(2019山东莱西校级一模)已知角θ的终边经过点(2,-3),将角θ的终边顺时针旋转3π4后得到角β,则tan β=( )A.-15B.5C.15D.-57.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a 的取值范围是( ) A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]8.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x ≤0)上,则cos α-sinα= .9.函数f (α)=√2cos α-1的定义域为 .10.已知角α终边上一点P 与点A (-1,2)关于y 轴对称,角β的终边上一点Q 与点A 关于原点O 中心对称,则sin α+sin β= .11.角α的终边经过点(2,-1),则2sin α+3cos α的值为 .(2019山东烟台高三模拟)如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于点P、点Q,已知点P的坐标为(-35,4 5 ).(1)求3cosα+5sinαsinα-cosα的值;(2)若OP⊥OQ,求3sin β-4cos β的值.综合提升组13.(2019浙江杭州西湖区校级模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A为单位圆上一点,以x轴为始边,OA为终边的角为θθ≠kπ+π2,k∈Z,若将OA绕O点顺时针旋转3π2至OB,则点B的坐标为()A.(-cos θ,sin θ)B.(cos θ,-sin θ)C.(-sin θ,cos θ)D.(sin θ,-cos θ)(2019湖南怀化一模)已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从A点出发,P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q运动到点A时,点P也停止运动,连接OQ,OP(如图),则阴影部分面积S1,S2的大小关系是()A.S1=S2B.S1≤S2C.S1≥S2D.先S1<S2,再S1=S2,最后S1>S215.(2019吉林长春期末)意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰)之一的达·芬奇的经典之作——《蒙娜丽莎》举世闻名.画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷.某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C处作圆弧的切线,两条切线交于B点,测得如下数据:AB=6.9 cm,BC=7.1 cm,AC=12.6 cm,根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间()A.(π6,π4) B.(π4,π3)C.(π3,5π12) D.(5π12,π2)16.如图,在平面直角坐标系xOy中,钝角α的终边与单位圆交于点B,且点B的纵坐标为1213.若将点B沿单位圆逆时针旋转π2到达点A,则点A的坐标为.创新应用组17.(2019江苏无锡一模)如图,单位圆Q的圆心初始位置在点(0,1),圆上一点P的初始位置在原点,圆沿x轴正方向滚动.当点P第一次滚动到最高点时,点P的坐标为;当圆心Q位于点(3,1)时,点P的坐标为.18.(2019湖南湘潭模拟)已知在半径为6的圆O中,弦AB的长为6,(1)求弦AB所对圆心角α的大小;(2)求α所在的扇形的弧长l以及扇形的面积S.参考答案课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数1.D由sinα<0,得2kπ+π<α<2kπ+2π(k∈Z),因此kπ+π2<α2<kπ+π(k∈Z),即α2是第二或第四象限角,因此tanα2<0.故选D.2.CDE sin(-x)=-sin x,故A不成立;sin(3π2-α)=-cos x,故B不成立;cos(π2+α)=-sin x,故C成立;cos(x-π)=-cos x,故D成立;tan(x+π)=tan x,故E成立.故选CDE.3.C当点P在αα⏜或αα⏜上时,由三角函数线易知,sinα<tanα,不符合题意;当点P在αα⏜上时,tanα>0,sinα<0,不符合题意;进一步可验证,只有点P在αα⏜上时才满足条件.4.C 如题图,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k ·360°≤α≤120°+k ·360°,k ∈Z }.故选C .5.B ∵点P (12,α)在单位圆上,∴y=±√32,∴α=π3+2k π,k ∈Z 或α=-π3+2k π,k ∈Z .∴sin (π2+α)=cos α=cos ±π3+2k π=cos π3=12.故选B .6.A 根据角θ的终边经过点(2,-3),可得tan θ=-32.∵θ的终边按顺时针方向旋转3π4后,与角β的终边重合,∴tan β=tan (α-3π4)=tan α-tan3π41+tan αtan3π4=-32-(-1)1+(-32)×(-1)=-15.故选A .7.A 由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上,所以有{3α-9≤0,α+2>0,解得-2<a ≤3.8.15∵角α的始边与x 轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x ≤0)上,不妨令x=-3,则y=-4,∴r=5,∴cos α=αα=-35,sin α=αα=-45,则cos α-sin α=-35+45=15.9.[2απ-π3,2απ+π3](k ∈Z ) ∵2cos α-1≥0,∴cos α≥12.由三角函数线画出角α满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示).故α∈[2απ-π3,2απ+π3](k ∈Z ).10.0 ∵角α终边上一点P 与点A (-1,2)关于y 轴对称,∴P (1,2).∵角β的终边上一点Q 与点A 关于原点O 中心对称,∴Q (1,-2).由三角函数的定义可知sin α=√5,sin β=-√5,∴sin α+sin β=√5√5=0.11.4√55∵角α的终边经过点P (2,-1),∴|OP|=√5,则sin α=√5=-√55,cos α=√5=2√55,∴2sin α+3cos α=-2√55+6√55=4√55.12.解(1)由题意得cos α=-35,sin α=45,则3cos α+5sin αsin α-cos α=117.(2)由题意得α-β=π2,∴α=π2+β,∴cos α=-sin β,sin α=cos β,∴sin β=35,cos β=45,∴3sin β-4cos β=95−165=-75.13.C A 为单位圆上一点,以x 轴为始边,OA 为终边的角为θθ≠k π+π2,k ∈Z ,若将OA 绕O 点顺时针旋转3π2至OB ,则点B 的横坐标为cos (-3π2+α)=-sin θ,点B 的纵坐标为sin (-3π2+α)=cos θ,故点B 的坐标为(-sin θ,cos θ).故选C .14.A ∵直线l 与圆O 相切,∴OA ⊥AP ,∴S 扇形AOQ =12·αα⏜·r=12·αα⏜·OA ,S △AOP =12·OA ·AP ,∵αα⏜=AP ,∴S 扇形AOQ =S △AOP ,即S 扇形AOQ -S 扇形AOB =S △AOP -S 扇形AOB ,∴S 1=S 2.故选A .15.B 取AB=BC ≈7,设∠ABC=2θ,则sin α≈6.37=0.9∈(√32,√6+√24). ∴α∈(π3,3π8),2α∈(2π3,3π4).设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α.则α+2θ=π,∴α∈(π4,π3).故选B .16.(-1213,-513) 因为在平面直角坐标系xOy 中,钝角α的终边与单位圆交于B 点,且点B 的纵坐标为1213,故sin α=1213,cos α=-513,将点B 沿单位圆逆时针旋转π2到达A 点,点A 的坐标为cos (α+π2),sin (α+π2), 即A (-sin α,cos α),∴A -1213,-513.17.(π,2) (3-sin 3,1-cos 3) 作辅助线如图,当点P 第一次滚动到最高点时,点P 向右滚动了圆的半个周长π,因此点P 的坐标为(π,2); 当圆心Q 位于(3,1)时,αα⏜=3,此时圆心角为3,点P 的横坐标为3-sin(π-3)=3-sin3,纵坐标为1+cos(π-3)=1-cos3.18.解(1)根据题意,半径为6的圆O 中,弦AB 的长为6,则△AOB 为等边三角形,则∠AOB=π3,即α=π3.(2)根据题意,由(1)的结论,l=α×r=2π,S=12rl=6π.。
2021版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标18任意角蝗制及任意角的三角函数202105
2021版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标18任意角蝗制及任意角的三角函数202105072190[解密考纲]本考点要紧考查三角函数的概念、任意角和弧度制.通常以选择题、填空题的形式出现.安排在比较靠前的位置.一、选择题1.将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( C ) A .π3B .π6C .-π3D .-π6解析 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角.故A 项,B 项不正确,又因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的16,即为-16×2π=-π3,故选C .2.点P 从(1,0)动身,沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ,则点Q 的坐标为( A )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,-12 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-32D .⎝⎛⎭⎪⎫-32,12 解析 由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ,y )满足x =cos 2π3=-12,y =sin 2π3=32.3.已知角α的终边通过点(3a -9,a +2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a 的取值范畴是( A )A .(-2,3]B .(-2,3)C .[-2,3)D .[-2,3]解析 由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上,因此有⎩⎪⎨⎪⎧3a -9≤0,a +2>0,解得-2<a ≤3.4.(2020·福建三明模拟)设α是第二象限角,P (x,4)为其终边上的一点,且cos α=15x ,则sin α=( A ) A .45 B .-35C .35D .-45解析 因为r =x 2+42,cos α=15x =x x 2+42,得x =3或x =-3,又因为α是第二象限角,则x =-3,r =5,因此sin α=45,故选A .5.(2020·安徽合肥模拟)已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos 2θ=( B )A .-45B .-35C .35D .45解析 由题意知,tan θ=2,即sin θ=2cos θ,将其代入sin 2θ+cos 2θ=1中可得cos 2θ=15,故cos 2θ=2cos 2θ-1=-35,故选B .6.已知正角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3,cos 2π3,则角α的最小值为( D )A .5π6B .2π3C .5π3D .11π6解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3,cos 2π3=⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-12,∴角α为第四象限角,且sin α=-12,cosα=32,∴角α的最小值为11π6,故选D . 二、填空题7.在与2 010°终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为 -5π6 .解析 ∵2 010°=676π=12π-5π6,∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为-5π6.8.设角θ为第四象限角,同时角θ的终边与单位圆交于点P (x 0,y 0).若x 0+y 0=-13,则cos 2θ= -9. 解析 由三角函数的定义,得x 0=cos θ,y 0=sin θ.∵ cos θ+sin θ=-13,两边平方得sin 2θ=-89,∴cos 2θ=±1-sin 22θ=±179.∵θ为第四象限角,sin θ<0,cos θ>0,sin θ+cos θ<0,∴|sin θ|>|cos θ|,∴cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ<0,∴cos 2θ=-179. 9.设角α是第三象限角,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2=-sin α2,则角α2是第 四 象限角.解析 由α是第三象限角,知2k π+π<α<2k π+3π2(k ∈Z ),k π+π2<α2<k π+3π4(k ∈Z ),知α2是第二或第四象限角,再由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2=-sin α2,知sin α2≤0,因此α2只能是第四象限角.三、解答题10.已知角α终边上一点P ,点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4,且sin α<0,求cos α+2tan α的值.解析 设P (x ,y ),则依照题意,得|y ||x |=34.∵sin α<0,∴α的终边只可能在第三、四象限. ①若点P 位于第三象限,可设P (-4k ,-3k )(k >0),则r =x 2+y 2=5k ,从而cos α=x r =-45,tan α=y x =34,∴cos α+2tan α=710.②若点P 位于第四象限,可设P (4k ,-3k )(k >0), 则r =x 2+y 2=5k ,从而cos α=x r =45,tan α=y x =-34,∴cos α+2tan α=-710.综上所述,若点P 位于第三象限,则cos α+2tan α=710;若点P 位于第四象限,则cos α+2tan α=-710.11.已知扇形AOB 的周长为8.(1)若那个扇形的面积为3,求圆心角的大小;(2)求那个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB 的长. 解析 设扇形AOB 的半径为r ,弧长为l ,圆心角为α, (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r +l =8,12lr =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧r =3,l =2,或⎩⎪⎨⎪⎧r =1,l =6,∴α=l r =23或α=lr=6.(2)∵2r +l =8,∴S 扇=12lr =12r (8-2r )=r (4-r )=-(r -2)2+4≤4,当且仅当r =2,即α=lr=2时,扇形面积取得最大值4.∴弦长AB =2sin 1×2=4sin 1. 12.已知sin α<0,tan α>0. (1)求α角的集合;(2)确定α2的终边所在的象限;(3)试判定tan α2sin α2cos α2的符号.解析 (1)由sin α<0,知α的终边在第三、四象限或y 轴的负半轴上;由tan α>0,知α的终边在第一、三象限,故α的终边在第三象限,其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k +1π<α<2k π+3π2,k ∈Z .(2)由(2k +1)π<α<2k π+3π2,k ∈Z , 得k π+π2<α2<k π+3π4,k ∈Z ,故α2的终边在第二、四象限.(3)当α2在第二象限时,tan α2<0,sin α2>0,cos α2<0, 因此tan α2sin α2cos α2取正号; 当α2在第四象限时,tan α2<0,sin α2<0,cos α2>0, 因此tan α2sin α2cos α2也取正号.因此tan α2sin α2cos α2取正号.。
(山东专用)2021新高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧度制及任意角的
第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数课标要求考情分析1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.本节内容是后续学习三角函数其他知识的基础,三角函数的定义常与向量、三角恒等变换相结合,考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值.2.命题形式较单一,主要考查三角函数的定义,常以选择题、填空题的形式出现.知识点一 角的概念1.任意角:①定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形;②分类:角按旋转方向分为正角、负角和零角.2.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S ={β|β=k·360°+α,k ∈Z }.3.象限角:使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.知识点二 弧度制1.定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad 表示,读作弧度,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.2.角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°=π180rad,1 rad =⎝⎛⎭⎫180π°.3.扇形的弧长公式:l =|α|·r ,扇形的面积公式:S =12lr =12|α|·r 2.知识点三 任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ,y )时,则sin α=y ,cos α=x ,tan α=yx (x ≠0).三个三角函数的性质如下表:1.思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.( × )(2)锐角是第一象限角,反之亦然.( × )(3)将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是30°.( × ) (4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.( × ) 解析:根据任意角的概念知(1)(2)(3)(4)均是错误的. 2.小题热身(1)已知角α的终边过点P (-1,2),则sin α=( B ) A.55B.255 C .-55D .-255(2)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( C )A .2k π+45°(k ∈Z )B .k ·360°+94π(k ∈Z )C .k ·360°-315°(k ∈Z )D .k π+5π4(k ∈Z )(3)若sin θ·cos θ>0,sin θ+cos θ<0,则角θ是( C ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角D .第四象限角(4)已知扇形的圆心角为60°,其弧长为2π,则此扇形的面积为6π. (5)已知角α的终边在直线y =-x 上,且cos α<0,则tan α=-1. 解析:(1)因为|OP |=(-1)2+22=5(O 为坐标原点),所以sin α=25=255.(2)由定义知终边相同的角的表达式可能不相同.(3)由sin θ·cos θ>0得θ在第一或三象限,又sin θ+cos θ<0得θ在第三象限,C 正确. (4)设此扇形的半径为r ,由题意得π3r =2π,所以r =6,所以此扇形的面积为12×2π×6=6π.(5)如图,由题意知,角α的终边在第二象限,在其上任取一点P (x ,y ),则y =-x ,由三角函数的定义得tan α=y x =-xx=-1.考点一 角的表示【例1】 (1)若角α的顶点为坐标原点,始边在x 轴的非负半轴上,终边在直线y =-3x 上,则角α的所有取值的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α=2k π-π3,k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α=2k π+2π3,k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α=k π-2π3,k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α=k π-π3,k ∈Z (2)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π+π4≤α≤k π+π2,k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】 (1)因为直线y =-3x 的倾斜角是2π3,所以终边落在直线y =-3x 上的角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α=k π-π3,k ∈Z .故选D. (2)当k =2n (n ∈Z )时,2n π+π4≤α≤2n π+π2,此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样;当k =2n +1(n ∈Z )时,2n π+π+π4≤α≤2n π+π+π2,此时α表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样.故选C.【答案】 (1)D (2)C 方法技巧(1)角α(0≤α<2π)与角2k π+α(k ∈Z )的终边相同;(2)要求角β所在的象限,只需将角β表示成2k π+α(k ∈Z ,0≤α<2π)的形式,则角α所在的象限即为角β所在的象限.解析:M 中,x =k2·180°+45°=k ·90°+45°=45°·(2k +1),k ∈Z,2k +1是奇数;N 中,x =k 4·180°+45°=k ·45°+45°=45°·(k +1),k ∈Z ,k +1是整数.综上可知,必有M ⊆N . 2.若角α的终边在x 轴的上方,则α2是第一或三象限角.解析:∵角α的终边在x 轴的上方, ∴k ·360°<α<180°+k ·360°,k ∈Z , ∴k ·180°<α2<90°+k ·180°,k ∈Z .当k =2n (n ∈Z )时,有n ·360°<α2<90°+n ·360°,可知α2为第一象限角;有k =2n +1(n ∈Z )时,有n ·360°+180°<α2<270°+n ·360°,可知α2为第三象限角.考点二 扇形的弧长、面积公式【例2】 (1)3弧度=________度.(2)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角的弧度数是________. (3)已知扇形的周长是4 cm ,则扇形面积最大时,扇形的圆心角的弧度数是( ) A .2 B .1 C.12D .3【解析】 (1)3弧度=180π×3度=⎝⎛⎭⎫540π度.(2)设圆的半径为r ,则圆内接正方形的对角线长为2r , ∴正方形边长为2r ,∴圆心角的弧度数是2rr= 2. (3)设扇形的半径为R ,则弧长l =4-2R , ∴扇形面积S =12lR =R (2-R )=-R 2+2R =-(R -1)2+1,当R =1时,S 最大,此时l =2,扇形的圆心角为2弧度. 【答案】 (1)540π (2)2 (3)A方法技巧应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一《方田》[三三]:“今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?”译成现代汉语其意思为:有一块扇形的田,弧长30步,其所在圆的直径是16步,问这块田的面积是多少(平方步)?( A )A .120B .240C .360D .480解析:由题意可得:S =12×8×30=120(平方步).2.若圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数是 3. 解析:设圆的半径为R ,如图所示,OA =R ,OD =12R ,故AD =R 2-14R 2=32R ,因此AB =2AD =3R ,故该圆弧长度为3R ,所以该圆弧所对圆心角的弧度数为α=3RR= 3. 考点三 任意角的三角函数的定义命题方向1 三角函数的定义【例3】 (1)已知角θ=8π3,且角θ的终边经过点P (x,23),则x 的值为( )A .±2B .2C .-2D .-4(2)角θ的终边经过点P (4,y ),且sin θ=-35,则tan θ=( )A .-43B.43 C .-34D.34【解析】 (1)由题意知tan θ=tan 8π3=tan(2π+2π3)=tan 2π3=tan(π-π3)=-tan π3=- 3.因为角θ的终边经过点P (x ,23),所以tan θ=23x .所以-3=23x,解得x =-2.故选C.(2)解法1:∵sin θ=-35,∴y y 2+16=-35,∴y =-3,∴tan θ=-34,故选C.解法2:由P (4,y )得角θ是第一或第四象限角或是终边在x 轴的正半轴上的角,∴cos θ>0.∵sin θ=-35,∴cos θ=1-sin 2θ=45,∴tan θ=sin θcos θ=-34,故选C.解法3:由P (4,y )得角θ是第一或第四象限或是终边在x 轴的正半轴上的角,∵sin θ=-35<0,∴角θ是第四象限角,∴tan θ<0,故排除选项B ,D ,又sin θ=-35>-22,不妨取-π4<θ<0,∴-1<tan θ<0,故选C.【答案】 (1)C (2)C命题方向2 三角函数的符号【例4】 (1)若sin αtan α<0,且cos αtan α<0,则角α是( )A .第一象限角B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角(2)若sin x <0,且sin(cos x )>0,则角x 是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角D .第四象限角【解析】 (1)由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,从而角α为第二或第三象限角.由cos αtan α<0可知cos α,tan α异号,从而角α为第三或第四象限角,故角α为第三象限角.(2)∵-1≤cos x ≤1,且sin(cos x )>0,∴0<cos x ≤1.又sin x <0,∴角x 为第四象限角,故选D.【答案】 (1)C (2)D 方法技巧1.根据三角函数的定义,求三角函数值(或参数的值)的方法(1)已知角α的终边上一点P (异于原点)的坐标,则可先求出点P 到原点的距离r ,然后用三角函数的定义求解.(2)已知角α的终边所在的直线方程,一般地,由于不确定终边所在的象限,故在终边上任取一个异于原点的点时应分类讨论.2.三角函数符号的判断(1)若已知角所在的象限,可以利用“一全正,二正弦,三正切,四余弦”进行判断.(2)若已知角的终边上的一点,可利用三角函数的定义表示出三角函数后判断符号.1.(方向2)下列结论中错误的是( C ) A .若0<α<π2,则sin α<tan αB .若α是第二象限角,则α2为第一或第三象限角C .若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0),则sin α=45D .若扇形的周长为6,半径为2,则其圆心角的大小为1弧度解析:由正弦函数、正切函数的图象可得当0<α<π2时,sin α<tan α,A 正确;若α是第二象限角,则2k π+π2<α<2k π+π,k ∈Z ,k π+π4<α2<k π+π2,k ∈Z ,α2为第一象限角或第三象限角,B正确;若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0),则sin α=4k5|k |=⎩⎨⎧45,k >0,-45,k <0,C 错误;若半径为2的扇形周长为6,则弧长为2,圆心角是1弧度,D 正确,故选C.2.(方向1)在平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边交单位圆O 于点P (a ,b ),且a +b =75,则ab =1225,cos ⎝⎛⎭⎫2α+π2=-2425. 解析:由题知sin α=b ,cos α=a .∵a +b =75,∴sin α+cos α=75.两边平方可得sin 2α+cos 2α+2sin αcos α=4925,∴1+2sin αcos α=4925,∴2sin αcos α=2425.∴sin αcos α=ab =1225,∴cos ⎝⎛⎭⎫2α+π2=-sin2α=-2sin αcos α=-2425.。
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第一讲蝗制及任意角的三角函数课件
1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所成的图形.
分按旋转方向不同分为正角、负角、零角W. (2)类按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内, 可构成一个集合 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
判断已知角是第几象限角.
(3)确定 kα,αk(k∈N*)的终边位置三步骤 ①用终边相同角的形式表示出角 α 的范围;
②再写出 kα 或αk的范围; ③然后根据 k 的可能取值讨论确定 kα 或αk的终边所在的位置. (4)终边在一条直线上的角之间相差 180°的整数倍;终边在互
相垂直的两条直线上的角之间相差 90°的整数倍.
3.任意角的三角函数 (1)定义:设角 α 终边与单位圆交于 P(x,y),则 sin α=y, cos α=x,tan α=yx(x≠0). 拓展:任意角的三角函数的定义(推广). 设 P(x,y)是角 α 终边上异于顶点的任一点,其到原点 O 的距 离为 r,则 sin α=yr,cos α=xr,tan α=xy(x≠0).
(2)已知角α的某三角函数值,求角α终边上一点 P 的坐标中的
参数值,可根据定义中的两个量列方程求参数值. (3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断 .已知一角的三
角函数值(sin α,cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角 终边所在的可能位置,二者的交集即为该角终边的位置,注意终 边在坐标轴上的特殊情况.
又由 y= 3x 得 x=-12,y=- 23,所以 cos α=x=-12,
因为点12,m在单位圆上,所以212+m2=1,解得 m=± 23,
所以
sin
2021届高考数学一轮基础过关训练18:任意角和弧度制及任意角的三角函数 - 副本 (1)
任意角和弧度制及任意角的三角函数1.若角α的终边经过点P (1,3),则cos α+tan α的值为( )A.1+232B.-1+32C.1+32D.-1+232 2.下列结论中错误的是( )A .若0<α<π2,则sin α<tan αB .若α是第二象限角,则α2为第一象限或第三象限角 C .若角α的终边过点P (3k ,4k )(k ≠0),则sin α=45D .若扇形的周长为6,半径为2,则其圆心角的大小为1弧度3.若角α与β的终边关于x 轴对称,则有( )4.下列选项中正确的是( )A .sin 300°>0B .cos(-305°)<0C .tan ⎝⎛⎭⎫-22π3>0D .sin 10<0 5.集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π+π4≤α≤k π+π2,k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )6.已知点P (sin x -cos x ,-3)在第三象限,则x 的可能区间是( )A.⎝⎛⎭⎫π2,πB.⎝⎛⎭⎫-π4,3π4 C.⎝⎛⎭⎫-π2,π2 D.⎝⎛⎭⎫-3π4,π4 7.已知角α=2k π-π5(k ∈Z ),若角θ与角α的终边相同,则y =sin θ|sin θ|+cos θ|cos θ|+tan θ|tan θ|的值为( )A .1B .-1C .3D .-38.若α=1 560°,角θ与α终边相同,且-360°<θ<360°,则θ=________.9.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α(0<α<π)的弧度数____.10.一扇形的圆心角为120°,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________.11.已知角α的终边上一点P (5a ,-12a )(a ∈R 且a ≠0),求sin α,cos α,tan α的值.12.已知1|sin α|=-1sin α,且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限;(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35,m ,且|OM |=1(O 为坐标原点),求m 的值及sin α的值.。
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2021年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标18任意角蝗
制及任意角的三角函数
[解密考纲]本考点主要考查三角函数的概念、任意角和弧度制.通常以选择题、填空题的形式呈现.安排在比较靠前的位置.
一、选择题
1.将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( C )
A .π
3
B .
π6
C .-π
3
D .-π6
解析 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角.故A 项,B 项不正确,又因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的1
6
,
即为-16×2π=-π
3
,故选C .
2.点P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动2π
3弧长到达点Q ,则点Q 的坐标为
( A )
A .⎝ ⎛⎭⎪⎫
-12,32
B .⎝ ⎛
⎭⎪⎫-
32,-12 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫
-12
,-32
D .⎝
⎛⎭
⎪⎫-
32,12 解析 由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ,y )满足x =cos 2π3=-12,y =sin 2π
3=
3
2.
3.已知角α的终边经过点(3a -9,a +2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a 的取值范围是( A )
A .(-2,3]
B .(-2,3)
C .[-2,3)
D .[-2,3]
解析 由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上,
所以有⎩⎨
⎧
3a -9≤0,a +2>0,
解得-2<a ≤3.
4.(xx·福建三明模拟)设α是第二象限角,P (x,4)为其终边上的一点,且cos α=1
5
x ,则sin α=( A ) A .4
5
B .-35
C .3
5
D .-45
解析 因为r =x 2+42
,cos α=15x =x x 2+42
,得x =3或x =-3,又因为α是第二象限角,则x =-3,r =5,所以sin α=4
5
,故选A .
5.(xx·安徽合肥模拟)已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos 2θ=( B )
A .-4
5
B .-35
C .3
5
D .45
解析 由题意知,tan θ=2,即sin θ=2cos θ,将其代入sin 2θ+cos 2θ=1
中可得cos 2θ=15,故cos 2θ=2cos 2
θ-1=-35
,故选B .
6.已知正角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π
3,cos 2π3,则角α的最小值为
( D )
A .5π
6 B .
2π3 C .5π
3
D .
11π
6
解析 ∵⎝
⎛⎭⎪⎫sin 2π3,cos 2π3=⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2,-12,∴角α为第四象限角,且sin α=-12,cos α=
32,∴角α的最小值为11π
6
,故选D . 二、填空题
7.在与2 010°终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为 -5π6 .
解析 ∵2 010°=676π=12π-5π
6
,
∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为-5π
6
.
8.设角θ为第四象限角,并且角θ的终边与单位圆交于点P (x 0,y 0).若x 0+y 0
=-13,则cos 2θ= -9
.
解析 由三角函数的定义,得x 0=cos θ,y 0=sin θ.∵ cos θ+sin θ=-13,
两边平方得sin 2θ=-89,∴cos 2θ=±1-sin 22θ=±17
9.∵θ为第四象限角,
sin θ<0,cos θ>0,sin θ+cos θ<0,∴|sin θ|>|cos θ|,∴cos 2θ=cos 2 θ
-sin 2 θ<0,∴cos 2θ=-
179
. 9.设角α是第三象限角,且⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
sin α2=-sin α2,则角α
2是第 四 象限角.
解析 由α是第三象限角,知2k π+π<α<2k π+
3π2(k ∈Z ),k π+π2<α
2
<k π+3π4(k ∈Z ),知α2是第二或第四象限角,再由⎪⎪⎪⎪⎪⎪
sin α2=-sin α2,知sin α2≤0,所以
α2只能是第四象限角.
三、解答题
10.已知角α终边上一点P ,点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4,且sin α<0,求cos α+2tan α的值.
解析 设P (x ,y ),则根据题意,得|y ||x |=3
4.
∵sin α<0,∴α的终边只可能在第三、四象限. ①若点P 位于第三象限,可设P (-4k ,-3k )(k >0),
则r =x 2+y 2=5k ,从而cos α=x r =-45,tan α=y x =3
4
,
∴cos α+2tan α=7
10
.
②若点P 位于第四象限,可设P (4k ,-3k )(k >0), 则r =x 2+y 2=5k ,
从而cos α=x r =45,tan α=y x =-3
4
,
∴cos α+2tan α=-7
10
.
综上所述,若点P 位于第三象限,则cos α+2tan α=7
10;
若点P 位于第四象限,则cos α+2tan α=-7
10.
11.已知扇形AOB 的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小;
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB 的长. 解析 设扇形AOB 的半径为r ,弧长为l ,圆心角为α, (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
2r +l =8,1
2
lr =3,解得⎩⎨
⎧
r =3,
l =2,
或⎩⎨
⎧
r =1,l =6,
∴α=l r =23或α=l
r
=6.
(2)∵2r +l =8,∴S 扇=12lr =12
r (8-2r )=r (4-r )=-(r -2)2+4≤4,当且仅当r
=2,即α=l
r
=2时,扇形面积取得最大值4.
∴弦长AB =2sin 1×2=4sin 1. 12.已知sin α<0,tan α>0. (1)求α角的集合;
(2)确定α
2
的终边所在的象限;
(3)试判断tan α2sin α2cos α
2的符号.
解析 (1)由sin α<0,知α的终边在第三、四象限或y 轴的负半轴上;由tan
α>0,知α的终边在第一、三象限,
故α的终边在第三象限,其集合为
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫α|2k +1π<α<2k π+
3π2,k ∈Z . (2)由(2k +1)π<α<2k π+
3π
2
,k ∈Z , 得k π+π2<α2<k π+3π4,k ∈Z ,故α
2
的终边在第二、四象限.
(3)当α2在第二象限时,tan α2<0,sin α2>0,cos α
2
<0, 所以tan α2sin α2cos α
2
取正号; 当α2在第四象限时,tan α2<0,sin α2<0,cos α
2
>0, 所以tan α2sin α2cos α
2
也取正号.
因此tan α2sin α2cos α
2
取正号.。