2019-2020年数学北师大必修四课件：第一章三角函数1.8
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北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》整合课件
-3-
本章整合
专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
知识建构
综合应用
真题放送
专题 1 三角函数图像的对称性问题
1. 正弦函数与余弦函数的图像具有轴对称性, y=sin x 图像的对 称轴方程为 x=k π+ 2 (������∈Z), y=cos x 图像的对称轴方程为 x=k π(k ∈ Z). 2. 函数 y=sin x, x∈R 的图像是中心对称图形, 并且有无穷多个对 称中心, 对称中心是图像与 x 轴的任一交点, 坐标为(k π,0)(k ∈Z);函数 y=cos x, x∈R 的图像的对称中心的坐标为 ������π + , 0 (������∈Z);函数 y=tan x 的图像的对称中心的坐标为 像不是轴对称图形.
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专题1 专题2 专题3 专题4 专题5
知识建构
综合应用
真题放送
特别注意:三角函数线是有向线段,在用字母表示这些线段时,要 注意它们的方向,分清起点和终点,书写顺序不能颠倒.三角函数线 的应用非常广泛,常用来比较三角函数值的大小、解三角方程、解 不等式、求函数的定义域等.
即
π 2x− 6
解设 A=2x − 6 , 则函数y=sin A 的图像的对称中心为(k π,0)(k ∈Z), = ������π(������∈Z), 所以 x=
π
������π π π π + (������∈Z). 对称轴方程为 2x− = + ������π(������∈Z), 2 12 6 2 π ������π 所以 x= 3 + 2 (������∈Z). π ������π π 所以 y=sin 2������- 的图像的对称中心为 + , 0 (������∈Z), 对 6 2 12 π ������π 称轴方程为 x= 3 + 2 (������∈Z).
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专题 1 三角函数图像的对称性问题
1. 正弦函数与余弦函数的图像具有轴对称性, y=sin x 图像的对 称轴方程为 x=k π+ 2 (������∈Z), y=cos x 图像的对称轴方程为 x=k π(k ∈ Z). 2. 函数 y=sin x, x∈R 的图像是中心对称图形, 并且有无穷多个对 称中心, 对称中心是图像与 x 轴的任一交点, 坐标为(k π,0)(k ∈Z);函数 y=cos x, x∈R 的图像的对称中心的坐标为 ������π + , 0 (������∈Z);函数 y=tan x 的图像的对称中心的坐标为 像不是轴对称图形.
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特别注意:三角函数线是有向线段,在用字母表示这些线段时,要 注意它们的方向,分清起点和终点,书写顺序不能颠倒.三角函数线 的应用非常广泛,常用来比较三角函数值的大小、解三角方程、解 不等式、求函数的定义域等.
即
π 2x− 6
解设 A=2x − 6 , 则函数y=sin A 的图像的对称中心为(k π,0)(k ∈Z), = ������π(������∈Z), 所以 x=
π
������π π π π + (������∈Z). 对称轴方程为 2x− = + ������π(������∈Z), 2 12 6 2 π ������π 所以 x= 3 + 2 (������∈Z). π ������π π 所以 y=sin 2������- 的图像的对称中心为 + , 0 (������∈Z), 对 6 2 12 π ������π 称轴方程为 x= 3 + 2 (������∈Z).
北师大版数学必修四：第一章《三角函数》章节归纳梳理ppt课件
2sin 2 sin 2sin cos cos 2sin 2 sin 2sin 1 cos 1 2sin 1 sin tan
若 17 ，
6 1 1 则 f ( 17 ) 17 6 tan( ) tan(3 ) 6 6 1 1 3. 3 tan 6 3
三角函数的图像
对三角函数的图像的几点认识 本章在必修一学习基本初等函数图像画法的基础上,进一 步学习了三角函数图像的画法，完善了函数图像的画法理论，
主要包括以下内容.
(1)描点法.用列表、描点、连线的方式研究未知函数的图像 特征. (2)利用性质画简图,对于熟悉的函数可直接根据特殊点、线 画简图.如“五点法”“三点二线法”等.
【审题指导】解答本题的关键是利用诱导公式和因式分解的 方法化简求值.
【规范解答】f 2sin cos cos
2sin 2 sin( )
2sin cos cos
正弦、余弦、正切函数的诱导公式 对正弦、余弦、正切函数的诱导公式的理解
和应用
(1)理解方法：借助单位圆，根据角终边的对称性和三角函数 的定义理解. (2)记忆方法：奇变偶不变，符号看象限
(3)应用方法：用诱导公式一方面可化任意角为0°～90°的 角，另一方面可实现正弦与余弦之间的互化.因此在应用诱导 公式时，要根据题目的要求恰当选择公式.
4
小的θ 值是( (A)
3 4
) (B)
4
(C)
4
(D)
3 4
(2)已知角α 的终边与角-330°的终边关于原点对称，则其中 绝对值最小的角α 是_______. 【审题指导】(1)解答的关键是判断出θ与
北师大版必修4第一章 三角函数：三角函数的简单应用 三角函数的简单应用教学课件 (共21张PPT)
谢谢大家！
6:00 5.000 18:00 5.000
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底 与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆 多久？
y
6
4 2
O
3
6
9
12 15
18 21
24 24
x
解： （2）货船需要的安全水深 为 4+1.5=5.5 （米），所以 当y≥5.5时就可以进港. 令 2.5sin x 5 5.5 6 化简得 sin x 0.2 6 由计算器计算可得 x 0.2014, 或 x 0.2014 6 6 解得 xA 0.3848, xB 5.6152
x
11:00 3.754 23:00 3.754
时刻 水深 时刻 水深
0:00 5.000 12:00 5.000
1:00 6.250 13:00 6.250
2:00 7.165 14:00 7.165
3:00 7.500 15:00 7.500
4:00 7.165 16:00 7.165
5:00 6.250 17:00 6.250
y 6 4
2
O 3 6 9 12 15 18 21 24 x
时刻
水深 （米）
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
从数据和图象可以得出： A=2.5，h=5，T=12， 由T
北师版数学高一-必修4课件 第一章 三角函数
章末复习提升
36
题型四 三角函数的性质 三角函数的性质，重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的 定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此 基 础 上 掌 握 函 数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) ， y ＝ Acos(ωx ＋ φ) 及 y ＝ Atan(ωx＋φ)的相关性质.在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成 一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧.
章末复习提升
28
题型三 三角函数的图像及变换 三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函 数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数 图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观 察来讨论函数的有关性质.具体要求： (1)用“五点法”作 y＝Asin (ωx＋φ)的图像时，确定五个关
章末复习提升
20
4sin θcos θ－sin2 θ－3cos2θ
＝
sin2 θ＋cos2θ
＝4tantθa－ n2θta＋n21θ－3＝8－4＋4－1 3＝15.
章末复习提升
21
2＋tan θ
方法二 由已知
＝－4，解得 tan θ＝2.
1－tan θ
即csoins θθ＝2，∴sin θ＝2cos θ.
章末复习提升
5
4.三角函数的图像与性质 函数 y＝sin x
y＝cos x
图像
y＝tan x
章末复习提升
6
定义域
R
值域
[－1,1]
R
kπ－π2 ， kπ＋π2(k∈Z
[－1,1]
(－∞，＋∞)
章末复习提升
7
最值
x＝2kπ＋ π (k∈Z)时，x＝2kπ(k∈Z)时， 2
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质(2)课件1北师大版必修4
故
故函数的值域为[- ,2].
上的值域.
第十五页，共51页。
【方法技巧】函数y=Asin(ωx+φ)+b的值域(最值)的求解策略 (1)x∈R时:把“ωx+φ”视为一个整体(zhěngtǐ),结合函数y=Asinx+b中sinx的有界 性求其值域. (2)x∈[a,b]时:把“ωx+φ”视为一个整体(zhěngtǐ),先依据x∈[a,b],求出“ωx+φ”的 范围,在此基础上类比函数y=Asinx+b值域的求法,结合函数单调性或函数图像 求解.
3因为x08由2知函数fx在02上是增加的在28上是减少的所以当x2时fx有最大值为当x8时fx有最小值为1故fx的值域为1类型二函数yasinx性质的综合应用典例已知函数fxasinxa00的图像在y轴上的截距为1它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为解题探究1怎样确定周期和a的值
1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像(tú xiànɡ)与性
误的是 ( )
A.图像C关于直线x=- 对称 B.图像C关于点 对称12
C.函数f(x)在区间
内是增加的
D.由y=3cos2x得图像向右平移(pínɡ yí) 个单位长度可以得到图像C
第二十七页，共51页。
【解析】选C.A,B经验证可知正确(zhèngquè),C中当 不是正弦函数的单调区间,错误; D中y=3cos2x得图像向右平移 5个单位长度可以得到y=3cos
12 因为 正确(zhèngquè).
第二十八页，共51页。
【补偿(bǔcháng)训练】已知函数f(x)=2sin
(ω>0)的最小正周期为
π.
(1)求函数f(x)的递增区间.
2019-2020年数学北师大必修四课件：第一章 三角函数 1.4.3-1.4.4
(������为奇数).
(方法二)原式=((--11))������������ssiinn������������+·((--11))���������c���soisn������������ = 2c(o-1s���)���������.
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟利用诱导公式化简三角函数式的步骤 利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
答案:(1) (2) (3)× (4)
探究一
探究二
探究三
探究四
正弦函数、余弦函数基本性质的应用
【例1】 已知函数y=-3sin x+1.
(1)求函数的定义域、值域、周期、单调区间;
(2)求函数在区间
-
π 6
,
2π 3
上的最值.
思路分析:可模仿函数y=sin x的有关性质来研究函数y=-3sin x+1
=
=
cos10°+ 1-sin210°
2cos10°
=2scions8100°°
=
cos10° 2cos10°
=
12.
探究一
探究二
探究三
探究四
(3)(方法一)当 n=2k,k∈Z 时,
原式=ssinin((���������+���+22���������π���π))+csoisn((���������-���-22���������π���π)) = co2s������. 当 n=2k+1,k∈Z 时,
口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练2求下列三角函数值:
数学北师大必修四课件：第一章 三角函数 1.8
+
π 5
,x∈R 的图像
像(向2)左要平得移到π5y个=单sin位2长������ 度+ π5即,可x∈得R到的. (图像,)只需将 y=sin 2x,x∈R 的图
(3)对于正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0),x∈R来说一
定有ymax=A+B,ymin=-A+B. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)√
������-
π 5
(3)横 3 (4)y=4sin x-3
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D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
一二三四
二、A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响
1.在函数y=Asin x(A>0)中,A决定了函数的值域以及函数的最大
§8 函数y=Asin(ωx+φ )的图像与性质
-1-
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课标阐释
思维脉络
1.掌握 y=sin x 与 y=Asin
x,y=sin ωx,y=sin(x+φ)(A>0 且 A≠1,ω>0 且 ω≠1,φ≠0)的 图像间的关系,会进行函 数图像的变换. 2.会用“五点法”作函数
y=Asin(ωx+φ)+b的图像.
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一二三四
【做一做 3】 把函数 y=sin x(x∈R)的图像上所有的点向左平移π3 个单位长度,再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐 标不变),得到的图像所表示的函数是( )
新版高中数学北师大版必修4课件：第一章三角函数 1.8.3
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知识梳理
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随堂演练
一二
(2)先伸缩后平移
①画函数 y=sin x(x∈[0,2π])的图像;
②将其横坐标变为原来的
1 ������
(纵坐标不变),
得到函数������
=
sin ������������的图像;
③将其纵坐标变为原来的 A 倍(横坐标不变),得到函数 y=Asin
ωx 的图像;
随堂演练
反思确定 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤:
(1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A=
������-������ , ������ = ������+������ ;
2
2
(2)求 ω,确定函数的周期 T,则 ω= 2π ;
������
(3)求 φ,常用方法有:①代入法;②五点法.
第3课时 函数y=Asin(ωx+φ )的图像
与性质习题课
-1-
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典例透析
随堂演练
1.掌握函数y=Asin(ωx+φ)图像的作法. 2.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的性质. 3.会利用y=Asin(ωx+φ)的图像、性质求解一些简单问题.
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典例透析
一二
一、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图像的画法
④将其图像沿 x 轴平移
������ ������
个单位长度得到函数������ = ������sin(������������ +
������)的图像;
2019-2020高中北师版数学必修4第1章 §9 三角函数的简单应用课件PPT
合作探究 提素养
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已知解析式求周期、最值 【例 1】 交流电的电压 E(单位：V)与时间 t(单位：s)的关系可 用 E＝220 3·sin100πt＋6π来表示，求： (1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
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又∵t＝－0时，ωt＋φ＝0，
∴100π·－3010＋φ＝0，即 φ＝π3， ∴I＝300sin100πt＋π3.
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求解析式的难点在于求 φ，可根据图像找出与正弦曲线对应点求 得.
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2．如图所示，某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足 函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)．
D．1.2 s
C [由图像知周期 T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要 0.8 s
往返一次．]
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2．求下列函数的周期：
(1)y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是 T＝________；
(2)y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是 T＝________；
(3)y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是 T＝________；
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时，y＝10，所以 10＝10sin π8×6＋φ＋20，所以 sin34π＋φ＝－1， 可令34π＋φ＝32π，所以 φ＝34π.
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三角函数模型的应用 (1)三角函数模型的应用 ①根据实际问题的图像求出函数解析式． ②将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． ③利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．
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(2)解答三角函数应用题的一般步骤
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高中数学第一章三角函数本章整合课件北师大必修4
D. (π, 0)
2π , ������ π +6
解析:∵T=2× 2 = π , ������ = ∴ω=2, ∴f (x)=12sin 2������
π 6
.
令 2x+ = ������π, ������∈Z, 则 x=− ∴f (x)图像的对称中心是
π
π ������ + π, ������∈Z, 12 2 π ������ - 12 + 2 π, 0 , ������∈Z,条射线绕其端点旋转所形成的图形叫作角 概念 正角:按逆时针方向旋转所成的角 零角:没有任何旋转的角 负角:按顺时针方向旋转所成的角 任意角 1 弧度的角:在以单位长为半径的圆中, 单位长度的弧所对的圆心角为 1 弧度的角 弧度制 1rad = 180 °,1° = π rad π 180 ������ 1 公式:| ������| = ,������ = ������������ ������ 2 终边相同的角的集合:{������|������ = 2������π + ������,������∈Z} ������ ������ ������ 三角函数的定义:sin ������ = ,cos������ = ,tan������ = ������ ������ ������ 三角函数 π 诱导公式:2������π + ������(������∈Z),- ������,π ± ������, ± ������,2π-������ 2
������π 2 π 2 π
, 0 (������∈Z), 但 y=tan x 的图
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
应用 1 求函数 y=sin 2������-
2019-2020年新版高中数学北师大版必修4课件：第一章三角函数 1.8.1
5
3
是
,周期是
,振幅是
,
初相是
.
答案: - 1 , 1
55
2π 1 − π
35
3
随堂演练
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12
2.四种变换画图方法
知识梳理
典例透析
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知识梳理
典例透析
12
【做一做 2】 填空:
(1)函数 y=sin
������ + π
4
的图像是由������ =
sin ������的图像向
平移
知识梳理
典例透析
随堂演练
12345
4 将函数 y=sin 2x 的图像向左平移������
0
<
������
<
π 2
个单位长度后,
得到函数������ = sin(2������ + 1)的图像, 则������的值是______.
解析:将函数 y=s in 2x 的图像向左平移������
0
<
������
3
3
6
6
答案:D
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题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
易错辨析
易错点 因弄错平移长度而致误
【例 4】 函数 y=sin
2������-
π 4
的图像是将������ =
sin ������的图像上的横坐标缩短为原来的 1 倍 , 再将所得各点
2
向
平移
个单位长度得到的.
错解:左 π
y=2sin 3������ + π + 1.
高中数学 第一章《三角函数》正弦函数的图象课件 北师大版必修4
1.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0， ]的简图
. . 2
1 o -1
π 2
y=sinx+2, x∈[0， ]
y
.
.
.
3π 2
2
x
12
y sinx, x [0,2π]
2.用五点法画出y=sinx-1, x∈[0， ]的简图
2 y
1 o -1.
y sinx, x [0,2π]
5.1 从单位圆看正弦函数的性质
sin α= v y 1
函数y=sinx 正弦函数y=sinx有以下性 质： （1）定义域：R （2）值域：[-1，1] （3）是周期函数，最小z 正周期是 2
2 （4）在[ 0， ]上的单 调性是：
P(u,v)
o α M 1 x
-1
-1
3
5.2 正弦函数的图象
-
8
5.2 正弦函数的图象
4.五点作图法
y
1-
图象的最高点 ( 与x轴的交点
6
2
,1)
(0,0) ( ,0) (2 ,0)
-1
o
-1 -
2
3
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
2
x
-
-
-
-
7
5.2 正弦函数的图象
3.正弦曲线
y
1-
6
2019年高中数学(北师大)新设计必修四课件：第一章 三角函数 本章整合
象限角和轴线角
象限角:终边落在第几象限就是第几象限角
轴线角:终边在������轴上 :������ = ������π(������∈ Z),终边在 ������轴上:������ = ������π + (������∈Z)
������ ������
π 2
三角函数
������ ������ ������ ������ 三角函数 π 诱导公式: 2������π + ������(������∈Z),-������,π ± ������, ± ������,2π-������ 2
2π |������| π 2 π 2 3π ,2π 2 π 2
奇偶性:当������ = ������π(������ ∈Z)时,为奇函数; 当������ = ������π + (������∈Z)时 ,为偶函数 单调性:有递增和递减区间 对称性:�����π-������ 2 -������ (������∈Z) ,0 (������∈Z),对称轴 ������ = ������ ������
sin ������
cos ������ 4
=.
3
(2)①由已知得 sin(π+θ)= 于是 -cos θ=- , 从而 cos θ= .
3 1 3
2 2 3 1 3
2 2 3
,cos(π+θ)=- ,
1
②由 ①知 tan(π+θ)=
=-2 2,
即 tan θ=-2 2. 因此 ,tan(θ- 3π)=tan θ=-2 2.
终边相同的角的集合:{ ������ |������ = 2������π + ������,������∈Z }
2019_2020学年高中数学第1章三角函数3弧度制课件北师大版必修4
2．－72°化为弧度是( )
A．－3π
B．－25π
C．－56π
D．－57π
B [－72°＝－72×18π0＝－25π.]
3．－2132π 化为角度为________． －345° [－2132π＝－2132π×18π0°＝－345°.]
4．设集合 M＝αα＝k2π－π3，k∈Z
2．弧长公式与扇形面积公式
已知 r 为扇形所在圆的半径，n 为圆心角的度数，α 为圆心角的
弧度数．
角度制
弧度制
弧长公式
l＝|1n8|π0r
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝|n3|6π0r2
S＝12l·r＝_12_|α__|r_2
思考 2：扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ [提示] 设扇形的半径为 r，弧长为 l，α 为其圆心角，则 S＝12lr， l＝αr.
1．将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－151π. [解] (1)20°＝20×1π80 rad＝9π rad.
(2)－15°＝－15×1π80 rad＝－1π2 rad.
7 (3)12π
rad＝172×180°＝105°.
(4)－151π rad＝－151×180°＝－396°.
，N＝{α|－π＜α＜π}，则 M∩N
＝________.
－56π，－π3，π6，23π [由－π＜k2π－π3＜π，得－43＜k＜83.因为 k∈
Z，所以 k＝－1,0,1,2，所以 M∩N＝－56π，－π3，π6，23π.]
5．在扇形中，已知半径为 8，弧长为 12，则圆心角是________ 弧度，扇形面积是________．
[解] 设扇形的半径为 R，弧长为 l， 则 2R＋l＝4，∴l＝4－2R， 根据扇形面积公式 S＝12lR， 得 1＝12(4－2R)·R，∴R＝1， ∴l＝2，∴α＝Rl ＝21＝2， 即扇形的圆心角为 2 rad.
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