人教A版高中数学必修第二册学案：8.6.1 8.6.2 第1课时 直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定

8．6 空间直线、平面的垂直 8．6.1 直线与直线垂直 8．6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定
问题导学
预习教材P146－P150的内容，思考以下问题： 1．异面直线所成的角的定义是什么？ 2．异面直线所成的角的范围是什么？ 3．异面直线垂直的定理是什么？ 4．直线与平面垂直的定义是什么？ 5．直线与平面垂直的判定定理是什么？
1．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a 与直线b 垂直，记作a ⊥b ．
(3)范围：设θ为异面直线a 与b 所成的角，则0°<θ≤90°.
■[名师点拨] 当两条直线a ，b 相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取
值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．
2．直线与平面垂直
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形
(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．
(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．
3．直线与平面垂直的判定定理
判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．()
(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()
(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()
答案：(1)×(2)×(3)√
直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是()
A．平行．垂直
C．在平面α内．无法确定
答案：D
已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则()
A．a∥α．a⊂α
C．a⊥α．a是α的斜线
答案：C
B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度
在正方体ABCD-A
数为________．
解析：连接AB1，B1C，因为AC∥A1C1，所以∠B1OC(或其补角)是异
面直线OB1与A1C1所成的角．
又因为AB1＝B1C，O为AC的中点，所以B1O⊥AC，
故∠B1OC＝90°，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.
答案：90°
异面直线所成的角
如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心．
求：(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
【解】(1)如图，因为CG∥BF.
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD 为平行四边形．
所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点，
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.
1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD 所成的角．
解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又
CD∥AB，
所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等
腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.
2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．
∥CG，因为M，N分
解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BF
别是BF，CG的中点，所以BM═∥NG，所以四边形BNGM是平行四边形，
所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠
AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以
∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°.
求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．
[提醒]求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.
如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，
E ，
F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成的角．
解：如图所示，取BD 的中点G ，连接EG ，FG .
因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ， 所以EG ∥CD ，GF ∥AB ， 且EG ＝12CD ，GF ＝1
2
AB .
所以∠GFE (或其补角)就是异面直线EF 与AB 所成的角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF . 所以∠EGF ＝90°.
所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE ＝45°， 即EF 与AB 所成的角为45°.
直线与平面垂直的定义
(1)直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能( ) A ．平行 ．相交 C ．异面
．垂直
(2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 【解析】 (1)因为直线l ⊥平面α，所以l 与α相交． 又因为m ⊂α，所以l 与m 相交或异面． 由直线与平面垂直的定义，可知l ⊥m . 故l 与m 不可能平行．
(2)对于A ，直线l ⊥m ，m 并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B ，因为l ⊥α，则l 垂直于α内任意一条直线，又l ∥m ，由异面直线所成角的定义知，m 与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m ⊥α，故B 正确；对于C ，也有可能是l ，m 异面；对于D ，l ，m 还可能相交或异面．
【答案】 (1)A (2)B
对线面垂直定义的理解
(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与
这个平面垂直．
(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.
下列命题中，正确的序号是________．
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．
解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．
答案：③④
直线与平面垂直的判定
如图，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于
点E，AF⊥PC于点F.
(1)求证：PC⊥平面AEF；
(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.
【证明】(1)因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC.
又AB⊥BC，P A∩AB＝A，
所以BC⊥平面P AB，AE⊂平面P AB，
所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，
所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，
所以AE⊥PC.
又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，
所以PC⊥平面AEF.
(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，
所以PC⊥AG，
同理CD⊥平面P AD，AG⊂平面P AD，
所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，
所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，
所以AG⊥PD.
1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.
证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ，
又P A ⊥平面ABCD ，
BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥P A ， 因为P A ∩AC ＝A ，
所以BD ⊥平面P AC ，又FH ⊂平面P AC ， 所以BD ⊥FH .
2．[变条件]若本例中P A ＝AD ，G 是PD 的中点，其他条件不变，求证：PC ⊥平面AFG . 证明：因为P A ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以DC ⊥P A ， 又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又P A ∩AD ＝A ， 所以DC ⊥平面P AD ，又AG ⊂平面P AD ， 所以AG ⊥DC ，
因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ， 所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ， 又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ， 所以PC ⊥平面AFG .
3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，
改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，P A ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD .
证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG . 因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点，
所以GF ═∥12CD ，又AE ═∥12CD ，所以GF ═∥AE ， 所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF . 因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ， 易知CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .
因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .
(1)线线垂直和线面垂直的相互转化
(2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
[提醒]要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．
如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，
M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明：(1)因为AB为⊙O的直径，
所以AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，所以P A⊥BM.
又因为P A∩AM＝A，所以BM⊥平面P AM.
又AN⊂平面P AM，所以BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，
所以AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.
又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
所以PB⊥平面ANQ.
又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.
1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是()
A．a⊥b，且a与b相交
B．a⊥b，且a与b不相交
C．a⊥b
D．a与b不一定垂直
解析：选C.过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()
A．平面DD1C1C．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1．平面A1DB
解析：选B.因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.
3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线()
A．相交且垂直．不相交也不垂直
C．相交不垂直．不相交但垂直
解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们
共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，
所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD
＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD.
4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC 所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．
解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°.
答案：60°
[A基础达标]
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()
A．α∥β，且m⊂α．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n⊂β．m⊥n，且n∥β
解析：选B.A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.
2．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是()
A．b⊥β．b∥β
C．b⊂β．b⊂β或b∥β
解析：选A.因为a⊥α，a∥b，所以b⊥α.又α∥β，所以b⊥β.
3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()
解析：选D.对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选D.
4.如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC
的形状为()
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析：选B.由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，
又AC⊥PC，PC∩PB＝P，
所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上．
6.如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是
______．
解析：连接AD1，则AD1∥BC1.
所以∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正
方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，
所以∠CAD1＝60°，
即AC与BC1所成的角为60°.
答案：60°
7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有__________________；
(2)与AP垂直的直线有__________________．
解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.
(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，
AC∩PC＝C，所以BC⊥平面P AC，因为AP⊂平面P AC，所以BC⊥AP.
答案：(1)AB，AC，BC(2)BC
8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，P A⊥平面ABCD，
且P A＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．解析：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥QD.
若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，P A∩PQ＝P，
则有QD⊥平面P AQ，从而QD⊥AQ.
在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.
所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.
答案：2
B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是
9.如图，在直三棱柱ABC-A
BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.
证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以AD⊥BC.①
又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.②
由①②得AD⊥平面BB1C1C.
由点E 在棱BB 1上运动，得C 1E ⊂平面BB 1C 1C ， 所以AD ⊥C 1E .
10．如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点，求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．
解：取AC 的中点F ，连接EF ，BF ， 在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，
所以EF ∥CD ，
所以∠BEF (或其补角)即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角． 在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ， 所以AB ＝AC ＝1，
在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝1
2，
所以BE ＝
5
2
. 在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝1
2，
所以EF ＝
2
2
. 在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，所以BF ＝5
2.
在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2
452＝10
10
，
所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为
1010
. [B 能力提升]
11．已知异面直线a 与b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角都是30°的直线有且仅有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
解析：选B.过空间一点P ，作a ′∥a ，b ′∥b .由a ′、b ′两交线确定平面α，a ′与b ′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a ′、b ′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a ′、b ′成30°的角，即与a 、b 成30°的角且过点P 的直线有两条．
在a ′、b ′相交另一个130°的角部分内不存在与a ′、b ′成30°角的直线．故应选B. 12．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )
A.15
B.56
C.55
D.22
解析：选C.如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD
2
＋DD 21＝2，
DM ＝AD 2
＋⎝⎛⎭⎫
12AB 2
＝
52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝1
2DB 1＝
5
2
，于是在△DMO 中，由余弦定理，得 cos ∠MOD ＝
12
＋⎝⎛⎭⎫522－
⎝⎛⎭
⎫5222×1×
52
＝
55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为5
5
，故选C.
13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，在折起过程中，下列结论正确的有( )
①ED ⊥平面ACD ；②CD ⊥平面BED ；③BD ⊥平面ACD ；④AD ⊥平面BED . A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
解析：选A.因为在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点， 所以在折起过程中，D 点在平面ABCE 上的投影如图．
因为DE与AC所成角不能为直角，
所以DE不会垂直于平面ACD，故①错误；
只有D点投影位于Q2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，
才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面AECB，
故CD与平面BED不垂直，故②错误；
BD与AC所成角不能为直角，
所以BD不能垂直于平面ACD，故③错误；
因为AD⊥ED，并且在折起过程中，有AD⊥BD，
所以存在一个位置使AD⊥BE，
所以在折起过程中有AD⊥平面BED，故④正确．故选A.
14．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF＝4且EF∥AB，EF⊥FB.
(1)求证：GH∥平面EAD；
(2)求证：FG⊥平面ABCD.
证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.
因为EF∥AB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MG∥EF.
因为H为EF的中点，EF＝4，AB＝2，
所以EH＝AB＝MG，所以四边形EMGH为平行四边形，所以GH∥EM，
又因为GH⊄平面EAD，EM⊂平面EAD，
所以GH∥平面EAD.
(2)因为EF⊥FB，EF∥AB，所以AB⊥FB.
在正方形ABCD中，AB⊥BC，所以AB⊥平面FBC.
又FG⊂平面FBC，所以AB⊥FG.
在正三角形FBC中，FG⊥BC，所以FG⊥平面ABCD.
[C拓展探究]
15．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD 上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE∥BC.
又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB.
(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.
因为DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.
而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE.
所以A1F⊥BE.
B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：
(3)线段A
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，
则PQ∥BC.
又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEQP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，
所以A1C⊥平面DEQP.即A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。