第5讲 函数的单调性与最值

[思路] (1)对抽象函数关系式中的x，y正确合理的赋值后，利用单调性的 定义证明；(2)利用函数的单调性求最值．
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[解答] (1)证明：任取x1<x2，由条件(1)得f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－ x1)＋f(x1)，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)，∵x2－x1>0，由条件(2)得f(x2－ x1)<0， ∴f(x2)<f(x1)，∴f(x)在R上单调递减． (2)在(1)中，令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，再令y＝－x 得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)， ∴f(－x)＝－f(x)，因此f(x)为奇函数， ∴f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1＋2)＝－f(1)－f(2)＝－f(1)－f(1)－f(1) ＝－3f(1)＝6，f(x)min＝f(3)＝－f(－3)＝－6.
②作差f(x1)－f(x2)；
③变形(通常是因式分解和配方)； ④判断符号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)；
⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间A上的单调性)．
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(5)函数单调性的简单性质 相同 ①奇函数在其关于原点对称区间上的单调性______； ②偶函数在其关于原点对称区间上的单调性______； 相反 ③在公共定义域内： 增函数 增函数f(x)＋增函数g(x)是________； 减函数 减函数f(x)＋减函数g(x)是________； 增函数 增函数f(x)－减函数g(x)是________； 减函数 减函数f(x)－增函数g(x)是________．
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第5讲
函数的单调性与最值
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1．函数的单调性及性质 (1)定义：一般地，在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任 意两数x1，x2∈A，当________时，都有________ __________，那么就 x1<x2 f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)) 增加 减少 说f(x)在区间A上是______的(______的)． 注意： ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间A内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有
[思路] (1)利用函数过定点以及a，b为正整数，求得a，b的值，从 而得到函数f(x)的解析式；(2)严格按照用定义证明单调性的步骤进行．
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[解答] (1)由函数 f(x)＝ax＋ 2 ，则(3－a)(b＋1)＝2. 1＋b 又 a、b 均为正整数，
2 (x≠－b)的图像过点(1,3)知 3＝a＋ x＋b
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[点评] 在运用复合法判断函数的单调性时，要注意：(1) 单调区间必须在定义域内；(2)要确定内层函数t＝g(x)的值域， 否则就无法确定f(t)的单调性(特别是当f(t)的单调区间是由几 个区间组成时)；(3)函数的单调区间不能用“∪”，只能用 “和”或“，”表示．比如下面的变式题．
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[答案]
C
[解析] 令 t＝logax，函数 t＝logax(0<a<1)在定义域内为
1 1 减函数，而函数 g(t)在 0，2为增函数，在2，＋∞上是
1 减函数，由 0<t＝logax< ，得 a<x<1，因此函数 g(x)＝ 2 f(logax)(0<a<1)在[ a，1]上为减函数．
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[点评] 用定义证明单调性必须走程序化的步骤，其关键 一步是对Δy作的变形，变形的目的是能够判断Δy的符号， 为此常作出：①多项式分解因式或配方；②分式通分后分子、 分母因式分解；③根式有理化；④幂、指、对数要用各自的 运算法则． 判断含有参数的函数的单调性，需注意对参数进行讨论以及 分类讨论的依据是什么，应根据具体的题目进行具体的分析， 比如下面的变式题．
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[点评] 已知函数的单调性求函数解析式中参数的取值 范围的基本方法有两个：(1)根据函数单调性的特点，若是 一次函数要注意考查一次项的系数，若是二次函数要注意 考查其对称轴等．(2)利用导数方法．
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[2010· 合 肥 模 拟 ] 函 数 f(x) ＝ 2x2－8ax＋3 x＜1 ， 在 x∈R 内单调递减，则 a logax x≥1 的取值范围是( 1 A. 0， 2 5 ，1 D. 8
x
是 R 上的单调递
A．(1，＋∞) C．(4,8)
B.4，8 D．(1,8)
[思路]各段函数在其定义域内都是增函数，并注意x＝1处时，两 段函数的函数值的大小关系
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[答案] B
[解析] 函数 f(x)在 R 上为增函数，则 y＝ax 在(1，＋∞)上为增
a a 函数， 函数 y＝ 4－2x＋2 在(－∞， 1]上为增函数， a≥4－2 且
最大值
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► 探究点1 判断、证明函数的单调性
例1 [ 2010·黄浦模拟] 已知a、b是正整数，函数f(x)＝ax＋ 2 (x≠－b)的图像经过点(1,3)． x＋b (1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在(－1,0]上的单调性，并用单调性定义证明 你的结论．
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2．函数的最值： 对于函数f(x)，假定其定义域为A，则 (1)若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，恒有 f(x)≥f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的________； 最小值 (2)若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，恒有 f(x)≤f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的________．
a>1， 4－a>0， 2 ＋2，因此 a a≥4－2＋2，
解得 4≤a<8.故选 B.
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(2)求函数y＝log0.7(x2－3x＋2)的单调区间．
[思路] 对于复合函数的单调性，要在定义域上结合“同增异减
”的判断方法进行分析
[解答] 函数 y＝log0.7(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪ (2，＋∞)．令 t＝x2－3x＋2，y＝log0.7t， 显然 y＝log0.7t 在(0，＋∞)上是单调递减的，而 t＝ x2－3x＋2 在(－∞，1)，(2，＋∞)上分别是单调递减和 单调递增的，根据复合函数的单调性的规则可知： 函数 y＝log0.7(x2－3x＋2)的单调递增区间为－∞，1， 单调递减区间为2，＋∞.
二次函数恒成立可考虑判别式Δ (2)g(x)仍是二次函数，
其单调性可依据抛物线的对称轴处理．
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[解答] （1）∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，即b＝a＋1.
又对任意实数x均有f(x)≥0成立，∴Δ＝b2－4a≤0恒成立，即(a－1)2≤0
恒成立，∴ a＝1，b＝2.
(2)由(1)可知 f(x)＝x2＋2x＋1， ∴g(x)＝x2＋(2－k)x＋1. ∵ g(x)在 x∈[－2,2]时是单调函数， k－2 k－2 或[－2,2] ∴[－2,2]－∞， ，＋∞. 2 2 k－2 k－2 ∴2≤ 或 ≤－2， 2 2 即实数 k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
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[点评] 根据题目所给的条件，往往需要探求函数有哪些 特殊的性质，如函数的单调性、奇偶性、周期性等，本题将 奇偶性与单调性有机结合起来，而函数的单调性是解决抽象 函数最值题的常见方法．
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a x>1 ， 例 3 (1)若 f(x)＝ a 4－ x＋2 x≤1 2 增函数，则实数 a 的取值范围为( )
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► 探究点3 与单调性有关参数问题
例4设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)． (1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求实数a、b的值； (2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求 实数k的取值范围．
[思路]
f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))．
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(2)如果函数y＝f(x)在某个区间A上是增加的或是减少的，就说函
数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间A叫做y＝f(x)的单调 区间．
(3)设复合函数y＝f[g(x)]，其中u＝g(x)．如果y＝f(u)和u＝g(x)
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► 探究点2 抽象函数与复合函数的单调性
例2已知定义在R上的函数f(x)满足：(1)对于任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝
f(x)＋f(y)；(2)当x>0时，f(x)<0且f(1)＝－2. (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
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函数 f(x)(x∈R)的图像如图 5－1 所示， 则函数 g(x) ＝f(logax)(0<a<1)的单调减区间是( )
1 A.0， 2 1 B．(－∞，0)∪ ，＋∞ 2
C．[ a，1] D．[ a， a＋1]
图5－1
[思路] 利用函数图像得到f(x)的单调性，并结合判断复合函数单调性 规则求解．
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判断函数f(x)＝x＋(a≠0)在区间上的单调性， 并加以证明．
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[解答] 当 a>0 时，函数在( a，＋∞)上是增函数，在(0， a)上是减函数，当 a<0 时，函数在(0，＋∞)上是增函数． x x －a ax1－x2 a a 1 2 证明：f(x2)－f(x1)＝x2＋ －x1－ ＝(x2－x1)＋ ＝(x2－x1) . x2 x1 x 1x 2 x1x2 当 a>0 时，若 a<x1<x2，则 x1x2>a， x x －a 1 2 ∴(x2－x1) >0， x 1x 2 即 f(x2)>f(x1)， 若 0＜x1<x2＜ a，则 0<x1x2<a， x x －a 1 2 ∴(x2－x1) <0，即 f(x2)<f(x1)． x 1x 2 所以函数在( a，＋∞)上是增函数，在(0， a)上是减函数； 当 a<0 时，∵0<x1<x2，∴x1x2>0， x x －a 1 2 又－a>0，∴(x2－x1) >0， x1x2 即 f(x2)>f(x1)， ∴函数在(0，＋∞)上是增函数．
Hale Waihona Puke Baidu
3－a＝1， a＝2， 故 3－a>0，b＋1≥2.于是，必有 即 b＋1＝2， b＝1.
所以 f(x)＝2x＋
2 (x≠－1)． x＋1
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2 (2)结论：f(x)＝2x＋ (x≠－1)在(－1,0]上是减函数． x＋1 证明：设 x1，x2 是(－1,0]内的任意两个不相等的实数，且 x1<x2. 2 2 2x2＋ 则 f(x1)－f(x2)＝2x1＋ － x2＋1 x1＋1 2x2－x1 ＝2(x1－x2)＋ x1＋1x2＋1 x2＋x11＋x2 ＝2(x1－x2)· . x1＋1x2＋1 又－1<x1≤0，－1<x2≤0，x1<x2，故 x1－x2<0,1＋x1>0,1＋x2>0，x2 ＋x1(1＋x2)<0. x2＋x11＋x2 于是，2(x1－x2)· >0， x1＋1x2＋1 即 f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)． 2 所以，函数 f(x)＝2x＋ (x≠－1)在(－1,0]上是减函数． x＋1
增 的单调性相同，那么y＝f[g(x)]是________函数；如果y＝f(u)和u＝ 减 g(x)的单调性相反，那么y＝f[g(x)]是____函数．
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(4)判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间A上的单调性的一般步骤： ①任取x1，x2∈A，且x1<x2；