高中数学第一讲不等式和绝对值不等式第2节第2课时绝对值不等式的解法创新应用课件新人教A版选修4_5
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|x－2|＞1， |x－2|≤3，
x＜1或x＞3， 即 －1≤x≤5，
解得－1≤x＜1 或 3＜x≤5， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1 或 3＜x≤5}． 法二：原不等式可转化为：
x－2≥0， x－2＜0， ① 或② 1＜x－2≤3， 1＜－（x－2）≤3，
[问题思考]
1．|x|以及|x－a|± |x－b|表示的几何意义是什么？
提示：|x|的几何意义是数轴上表示数 x 的点到原 点 O 的距离； |x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数 x 的点 与表示数 a，b 的点的距离之和(差)．
2．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的 不等式的解集？
第2课时 绝对值不等式的解法
[核心必知]
1．含绝对值的不等式|x|＜a 与|x|＞a 的解法 不等式 a＞0 a＝0 ∅ {x∈R|x≠0} a＜0 ∅ R
|x|＜a {x|－a＜x＜a} |x|＞a {x|x＞a 或 x＜ －a}
2． |ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解 法 (1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； (2)|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c ．
(4)形如 a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式 此类问题的简单解法是利用等价命题法，即 a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b) ⇔a＜f(x)＜b 或－b＜f(x)＜－a. (5)形如|f(x)|＜f(x)，|f(x)|＞f(x)型不等式 此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即 |f(x)|＞f(x)⇔f(x)＜0， |f(x)|＜f(x)⇔f(x)∈∅.
由①得 3＜x≤5，由②得－1≤x＜1， 所以原不等式的解集是{x|－1≤x＜1 或 3＜x≤5}．
法三：原不等式的解集就是 1＜(x－2)2≤9 的解集，
2 （ x － 2 ） ≤9， －1≤x≤5， 即 解得 2 （x－2） ＞1， x＜1或x＞3，
∴－1≤x＜1 或 3＜x≤5. ∴原不等式的解集是{x|－1≤x＜1 或 3＜x≤5}． (2)由不等式|2x＋5|＞7＋x， 可得 2x＋5＞7＋x 或 2x＋5＜－(7＋x)， 整理得 x＞2 或 x＜－4. ∴原不等式的解集是{x|x＜－4 或 x＞2}．
提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．
解下列不等式：(1)1＜|x－2|≤3； (2)|2x＋5|＞7＋x； 1 1 (3) 2 ≤ . x －2 |x|
[ 精讲详析 ]
本题考查较简单的绝对值不等式的解
法．解答本题(1)可利用公式转化为 |ax＋b|＞c(c＞0)或|ax＋ b|＜c(c＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分 两种情况去掉绝对值符号， 还可用平方法转化为不含绝对值 的不等式． (2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式． (3)可分类讨论去掉分母和绝对值． (1)法一：原不等式等价于不等式组
解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
[精讲详析] 解答本题，可以采用零点分段法求解，也可 以转化为分段函数，借助函数图象求解． 法一：当 x≤－1 时，原不等式可以化为 －(x＋1)－(x－1)≥3， 3 解得：x≤－ . 2 当－1<x<1 时，原不等式可以化为 x＋1－(x－1)≥3，即 2≥3.不成立，无解．
3． |x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的 解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解．
(2)以绝对值的零点为分界点， 将数轴分为几个区间， 利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定 各个绝对值符号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符 号是解题关键． (3)构造函数，结合函数的图象求解．
(2)形如|f(x)|＜|g(x)|型不等式 此类问题的简单解法是利用平方法，即 |f(x)|＜|g(x)|⇔[f(x)]2＜[g(x)]2 ⇔[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＜0. (3)形如|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞g(x)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)， ②|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或 f(x)＜－g(x)(其中 g(x) 可正也可负)． 若此类问题用分类讨论法来解决， 就显得较复杂．
Hale Waihona Puke Baidu
1．(江苏高考)解不等式 x＋|2x－1|＜3.
2x－1≥0， 解：原不等式可化为 x＋（2x－1）＜3， 2x－1＜0， 1 4 1 或 解得 ≤x＜ 或－2＜x＜ . 2 3 2 x －（ 2 x － 1 ）＜ 3. 4 所以原不等式的解集是x|－2＜x＜3 .
当 x≥1 时，原不等式可以化为 3 x＋1＋x－1≥3.所以 x≥ . 2 综上，可知原不等式的解集为
3 3 x|x≤－ 或x≥ . 2 2
(3)①当 x2－2＜0 且 x≠0，即当－ 2＜x＜ 2， 且 x≠0 时，原不等式显然成立． ②当 x －2＞0
2
|x|＞ 2， 时，原不等式与不等式组 2 x －2≥|x|
等价，x2－2≥|x|，即|x|2－|x|－2≥0， ∴|x|≥2，∴不等式组的解为|x|≥2， 即 x≤－2 或 x≥2. ∴原不等式的解集为 (－∞，－2]∪(－ 2，0)∪(0， 2)∪[2，＋∞)．
绝对值不等式的常见类型及其解法： (1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①当 a＞0 时，|f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a. |f(x)|＞a⇔f(x)＞a 或 f(x)＜－a； ②当 a＝0 时，|f(x)|＜a 无解． |f(x)|＞a⇔f(x)≠0； ③当 a＜0 时，|f(x)|＜a 无解． |f(x)|＞a⇔f(x)有意义．
x＜1或x＞3， 即 －1≤x≤5，
解得－1≤x＜1 或 3＜x≤5， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1 或 3＜x≤5}． 法二：原不等式可转化为：
x－2≥0， x－2＜0， ① 或② 1＜x－2≤3， 1＜－（x－2）≤3，
[问题思考]
1．|x|以及|x－a|± |x－b|表示的几何意义是什么？
提示：|x|的几何意义是数轴上表示数 x 的点到原 点 O 的距离； |x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数 x 的点 与表示数 a，b 的点的距离之和(差)．
2．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的 不等式的解集？
第2课时 绝对值不等式的解法
[核心必知]
1．含绝对值的不等式|x|＜a 与|x|＞a 的解法 不等式 a＞0 a＝0 ∅ {x∈R|x≠0} a＜0 ∅ R
|x|＜a {x|－a＜x＜a} |x|＞a {x|x＞a 或 x＜ －a}
2． |ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解 法 (1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； (2)|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c ．
(4)形如 a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式 此类问题的简单解法是利用等价命题法，即 a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b) ⇔a＜f(x)＜b 或－b＜f(x)＜－a. (5)形如|f(x)|＜f(x)，|f(x)|＞f(x)型不等式 此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即 |f(x)|＞f(x)⇔f(x)＜0， |f(x)|＜f(x)⇔f(x)∈∅.
由①得 3＜x≤5，由②得－1≤x＜1， 所以原不等式的解集是{x|－1≤x＜1 或 3＜x≤5}．
法三：原不等式的解集就是 1＜(x－2)2≤9 的解集，
2 （ x － 2 ） ≤9， －1≤x≤5， 即 解得 2 （x－2） ＞1， x＜1或x＞3，
∴－1≤x＜1 或 3＜x≤5. ∴原不等式的解集是{x|－1≤x＜1 或 3＜x≤5}． (2)由不等式|2x＋5|＞7＋x， 可得 2x＋5＞7＋x 或 2x＋5＜－(7＋x)， 整理得 x＞2 或 x＜－4. ∴原不等式的解集是{x|x＜－4 或 x＞2}．
提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．
解下列不等式：(1)1＜|x－2|≤3； (2)|2x＋5|＞7＋x； 1 1 (3) 2 ≤ . x －2 |x|
[ 精讲详析 ]
本题考查较简单的绝对值不等式的解
法．解答本题(1)可利用公式转化为 |ax＋b|＞c(c＞0)或|ax＋ b|＜c(c＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分 两种情况去掉绝对值符号， 还可用平方法转化为不含绝对值 的不等式． (2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式． (3)可分类讨论去掉分母和绝对值． (1)法一：原不等式等价于不等式组
解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
[精讲详析] 解答本题，可以采用零点分段法求解，也可 以转化为分段函数，借助函数图象求解． 法一：当 x≤－1 时，原不等式可以化为 －(x＋1)－(x－1)≥3， 3 解得：x≤－ . 2 当－1<x<1 时，原不等式可以化为 x＋1－(x－1)≥3，即 2≥3.不成立，无解．
3． |x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的 解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解．
(2)以绝对值的零点为分界点， 将数轴分为几个区间， 利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定 各个绝对值符号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符 号是解题关键． (3)构造函数，结合函数的图象求解．
(2)形如|f(x)|＜|g(x)|型不等式 此类问题的简单解法是利用平方法，即 |f(x)|＜|g(x)|⇔[f(x)]2＜[g(x)]2 ⇔[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＜0. (3)形如|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞g(x)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)， ②|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或 f(x)＜－g(x)(其中 g(x) 可正也可负)． 若此类问题用分类讨论法来解决， 就显得较复杂．
Hale Waihona Puke Baidu
1．(江苏高考)解不等式 x＋|2x－1|＜3.
2x－1≥0， 解：原不等式可化为 x＋（2x－1）＜3， 2x－1＜0， 1 4 1 或 解得 ≤x＜ 或－2＜x＜ . 2 3 2 x －（ 2 x － 1 ）＜ 3. 4 所以原不等式的解集是x|－2＜x＜3 .
当 x≥1 时，原不等式可以化为 3 x＋1＋x－1≥3.所以 x≥ . 2 综上，可知原不等式的解集为
3 3 x|x≤－ 或x≥ . 2 2
(3)①当 x2－2＜0 且 x≠0，即当－ 2＜x＜ 2， 且 x≠0 时，原不等式显然成立． ②当 x －2＞0
2
|x|＞ 2， 时，原不等式与不等式组 2 x －2≥|x|
等价，x2－2≥|x|，即|x|2－|x|－2≥0， ∴|x|≥2，∴不等式组的解为|x|≥2， 即 x≤－2 或 x≥2. ∴原不等式的解集为 (－∞，－2]∪(－ 2，0)∪(0， 2)∪[2，＋∞)．
绝对值不等式的常见类型及其解法： (1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①当 a＞0 时，|f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a. |f(x)|＞a⇔f(x)＞a 或 f(x)＜－a； ②当 a＝0 时，|f(x)|＜a 无解． |f(x)|＞a⇔f(x)≠0； ③当 a＜0 时，|f(x)|＜a 无解． |f(x)|＞a⇔f(x)有意义．