数学奥林匹克高中训练题_128_

15x4 +
3)
.
故
y=
3x6 + 2x6 +
15x 2 + 15x 4 +
2 =
3
55+
co s 3 co s 3
23
, 3
2
.
10. 设椭圆方程为
x2 a2
+
y2 b2
=
1( a >
b>
0 ).
2010年第 4期
a = 2b,
则
4 a2
+
1 b2
=
1
a2 = 8, b2 = 2.
所
以,
椭
圆方
程为
2 009
且
ai = 1. 则
ai aj 的 最 大 值 是
i= 1
i&j, i| j
.
二、解答题 (共 56分 )
9. ( 16 分 ) 设 x
3x6 + 2x6 +
15x2 15x4
+ +
2的值域. 3
( 0, 1 ]. 求 函数 y =
10. ( 20分 ) 已知椭圆 的中心在原点, 焦
点在 x 轴上, 长轴长是短轴长的 2倍, 且经过
x2 8
+
y2 2
=
1.
如图 1, 因
为直线 l平行 于 OM, 且 在 y
轴 上 的截 距为
m, 又 kOM = 12,
所以, 直线 l 的
图1
方程为 y =
1 2
x
+
m.
由
y=
1 2
x
+
m,
x2 + y2 = 1
82
x2 + 2m x + 2m 2 - 4= 0.
设 A ( x1, y1 )、B ( x2, y2 ). 则 x1 + x2 = - 2m, x1 x2 = 2m 2 - 4.
2010年第 4期
11. ( 20分 )设数列 { an }满足
a1 =
1,
an + 1
=
an n
+
n an
(n
N+ ).
试求 [ a22 009 ] .
加试
一、( 40分 )已知 O 是 !ABC 的外心, 过
点 O 的直线分别交边 AB、AC 于点 M、N, 设
BN、CM 的中点分别为 S、R. 求证:
式等号成立.
二、9. 令 x = tan 2
0, 2 . 则
3
0,
3 2
,
cos 3
[ - 1, 1),
且
cos
=
11+
x2 x2
.
故 cos 3 = 4cos3 - 3cos
=
4( 1- x2 ) 3 ( 1+ x 2 ) 3
-
3( 1- x2 ) 1+ x2
=
1- 15x2 + 1+ 3x2 +
则实数 a 的值为
.
7. 设 a1, a2, , a10 是 2 000, 2 001, ,
2 009的一个排列, 记数列 { an }的前 n 项和为 Sn. 则排列 a1, a2, , a10满足 #Si ( 1∃ i∃10)
都不是 3的倍数 %的概率为
.
8. 设 ai ( i N+ , i∃2 009)是非负实数,
由
iA
ai
2=
iA
a2i +
2 ai aj i< j
∋ 1( |A | i
A
ai ) 2 +
2
i< j
ai aj ,
则
ai aj ∃
ai aj
i&j, i| j
i&j, i、j A
∃
1 2
1-
1 |A |
2
ai
iA
=
1 2
1-
1 |A |
∃151 .
当 ai = 111( i A ), aj = 0 ( j A )时, 上
40
中 等数 学
数学奥林匹克高中训练题 ( 128)
中图分类号: G 424. 79 文献标识码: A 文章编号: 1005 - 6416( 2010) 04 - 0040- 06
第一试
一、填空题 (每小题 8分, 共 64分 ) 1. 设 [ x ] 是不超过实数 x 的最大 整数, 对任意的 x R, 有 [ x ] + [ x + a] = [ 2x ] . 则 正实数 a 的所有可能取值组成的集合是
+
f ,( -
1) )
=
1
005.
4. 11 .
由已知得
c2 + a2 - b2 = a2 + b2 - c2
3
2
=
b2 +
c2 1
a2 =
a2 +
b2 + 6
c2
.
所以, a2 −b2 −c2 = 5−3−4.
由余弦定理得
cosA = 1 tan A = 11. 23
5. 2+ 5+ 21 . 三棱锥 P - ABC 的底面 ABC 是底边为 2、高为 2的等腰三角形; 正侧面 PBC 是底边
A
4 4
和
A
3 3
种.
因此, 事件 M 含基本事件数为
m = A 39A 44A 33.
故所求概率
P=
m N
=
510 .
8.
5 11
.
若 ai 与 aj ( i < j, i j ) 均不 为 0, 则将 ( ai, aj )调整为 ( ai + aj, 0)或 ( 0, ai + aj ) (这
中 等数 学
t1 + t2 + t3 = - 3,
t1 t2 + t2 t3 + t3 t1 = a- 9,
t1 t2 t3 = - ( 4a - 27). 代入 t31 + t32 + t33 - 3t1 t2 t3 = ( t1 + t2 + t3 ) [ ( t1 + t2 + t3 ) 2 -
3( t1 t2 + t2 t3 + t3 t1 ) ] , 得 3( 4a - 27) = - 3[ 9- 3( a- 9) ] .
15x4 - x6 3x 4 + x6
=
5-
4+ 30x2 + 6x6 1+ 3x 2 + 3x4 + x6
=
5-
2∀ 1
2 +
+ 15x2 + 3x 3x2 + 3x4 +
6
x6
=
5-
10∀5x6
3x6 + 15x2 + 2 + 15x4 + 15x2 +
5
=
5-
10∀ (
3x6
+
3x 6 + 15x 2 + 2 15x2 + 2) + ( 2x 6 +
从而, f ,( 1) = 1 005 ( - 3),
f ,( - 1) = 1 005 5.
2 010
又由 f (x ) = ak xk , 得
k= 0
2 010
f ,( x ) =
kak xk- 1 .
k=1
故 a1 + 3a3 + 5a5 + + 2 009a2 009
=
1 2
( f ,( 1)
2.
1+ 2
5,
1+
3.
设 t= x. 则 0∃t∃ 1+ a .
41
原方程化为
1+ a- t2 = a - t.
(
式 (两边平方并整理得
2t2 - 2at+ a2 - a - 1= 0.
)
由 = 4a2 - 8( a2 - a- 1) ∋0, 得
a2 - 2a- 2∃0.
解得 1- 3∃a∃1+ 3 .
∗
又由式 (得 a- t∋0.
结合式 )有 a2 - a- 1= 2t ( a- t) ∋0.
解得 a∋1+2 5或 a∃1-2 5 .
+
由式 ∗、+得 正实 数 a 的 取值 范 围是
1+ 2
5,
1+
3.
3. 1 005. 设 f ( x ) = ( 2+ x - 2x2 ) 1 005. 则 f ,( x ) = 1 005( 2+ x - 2x2 ) 1 004 ( 1- 4x ).
=
BC∀CA 2
=
CA∀1AB,
则 tan A =
.
5. 若一四面体 的三视图 ( 正视图、侧视
图、俯视图 )都是底边为 2、高为 2 的等腰三
角形, 则该几何体的表面积是
.
6. 若多项式 f ( x ) = x3 - 6x2 + ax + a 的
三个根 x1、x2、x3 满足 ( x1 - 3) 3 + ( x2 - 3) 3 + (x3 - 3) 3 = 0,
点 M ( 2, 1), 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的
截距为 m (m < 0), 设直线 l 交椭圆于两个不
同点 A、B. 求 !ABM 的内心 I 的横坐标.
注意到 m 6 - n2 = m 2 (m 4 - 1) = m 2 (m - 1) (m + 1) [ (m + 2) (m - 2) + 5] = m 2 (m - 1) (m + 1) (m + 2) (m - 2) +
SOR = BAC.
二、( 40 分 ) 已 知 a、b、c 都 是 正 数, 且
a+ b + c= 3. 求证:
2+
1 a2 +
b2 +
2+
1 b2 +
c2 +
2+
1 c2 +
a2 ∃
3 4
.
三、( 50分 )求所 有的正整 数 x、y, 使得
x
4
+ y4 (x +
+ y
x2 )2
y2是完
全平
方数
.
四、( 50分 )已知 n( n∋3)元集合 A 的一
些子集满足: 每个子集至少含 2个元素, 每两
个不同子集的交集至多含 2个元素, 记这些
子集的元素个数的立方和为 S. 问: 是否存在
不小于 3 的 正整 数 n, 使 S 的最 大 值等 于 2 009 的方幂? 说明你的理由.
参 考答 案
第一试
为 2、高为 5的等腰三角形; 其余两个侧面都
是底边为 5、高为 251的非等腰三角形. 故该 四面体表面积是
42
S=
1 2
2
2+
1 2
2
5+ 2
1 2
5
21 5
= 2+ 5+ 21.
6. - 9. 由题设知
g ( t ) = f ( t + 3) = ( t + 3) 3 - 6( t+ 3) 2 + a( t+ 3) + a = t3 + 3t2 + ( a- 9) t+ 4a- 27 的三个根 t1、t2、t3 满足 t31 + t32 + t33 = 0. 又由根与系数的关系得
解得 a = - 9.
7.
1 50
.
设 2 000, 2 001, , 2 009的一个排列为
一个基本事件 M. 则基本事件总数为 N = A1100.
下面计算所求事件 M 含的基本事件数.
( 1)首项 不能是 3的 倍数, 除 首项以外
各项均可是
3 的倍数,
从而,
3 的倍数有
A
3 9
种排法;
( 2)去掉 3的倍数后, 考虑模 3余 2、余 1
一、1.
1 2
.
令 x=
1 2
.则
来自百度文库1 2
+
a
=1
a
12,
3 2
.
又对任意的 x
0,
1 2
, 总有
[ x + a ] = 0 x + a < 1, 即 a< 1- x 恒成立.
所以,
a
∃
1 2
.
故
a=
1 2
.
又当 a =
1 2
时,
对任意的
x
R, 都有
[ x ] + [ x + a ] = [ 2x ] .
. 2. 若关于 x 的方程
1+ a- x - a + x = 0
有实数解, 则正实数 a 的取值范围是
.
2 010
3. 设 ( 2 + x - 2x2 ) 1 005 =
ak xk . 则
k= 0
a1 + 3a3 + 5a5 + + 2 009a2 009
=
.
4. 在 !ABC 中, 若
AB∀BC 3
设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1、k2. 则
k1
=
y1 x1 -
1 2,
k2 =
y2 x2 -
由与 ai 或 aj 的下标具有整除关系的数之和
的大小而定 ), 此时, 对应的值
ai aj 不会
i& j, i| j
减小. 继续这样的操作, 直至非 0数对应的下
标之间均有整除关系.
设这些数全体为集合 A. 则 ai = 1, iA
且当 A = { 2k |k = 0, 1, , 10}时, |A |max = 11.
5[ (m - 2) + 2] m (m - 1) (m + 1)
= (m - 2) (m - 1)m (m + 1) (m + 2)m +
5(m - 2) (m - 1)m (m + 1) +
10(m - 1)m (m + 1). 则 (m - 2) (m - 1)m (m + 1) (m + 2)是 五个连续整数之积, 是 1 2 3 4 5= 120 的倍数; (m - 2) (m - 1) m (m + 1)是四个连 续整数之 积, 是 1 2 3 4 = 24 的倍 数; (m - 1)m (m + 1)是三 个连 续整 数之 积, 是 1 2 3= 6的倍数.
故 5(m - 2) (m - 1)m (m + 1)是 120的 倍数, 10(m - 1)m (m + 1)是 60的倍数.
从而, m 6 - m 2 是 60的倍数. 故 ( n+ 1) 6 - ( n + 1) 2、n6 - n2、( n - 1) 6 - ( n- 1) 2 均为 60的倍数. 于是, [ ( n + 1) 6 - ( n + 1) 2 ] + ( n6 - n2 ) + [ ( n - 1) 6 - ( n - 1) 2 ] 能被 60整除, 即 ( n + 1) 6 + n6 + ( n- 1) 6 - 3n2 - 2 能被 60整除. (李 明 安徽省五河县第三中学, 233300, 陈正田 安徽省五河县双庙职业中 学, 233300)
的数的位置 (用 ai 模 3的余数代替 ai ): 当 a1 = 1时, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 1, 此
时, 含 1的项比含 2的项多, 这与已知矛盾;
当 a1 = 2时, a2 = 2, a3 = 1, 足题设要求.
此时, 满
综上, 模 3余 2、余 1的数的位置唯一确
定,
它们的各自排法分别有