【K12教育学习资料】[学习]2018-2019学年度九年级数学上册 第2章 简单事件的概率检测试题
推荐K12学习2018届九年级数学上册第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程一练习新版北师
《2.3 用公式法求解一元二次方程(一)》练习一、基础过关1．用公式法解方程4x2﹣12x=3所得的解正确的是（）A．x=B．x=C．x=D．x=2．关于方程x2﹣2=0的理解错误的是（）A．这个方程是一元二次方程B．方程的解是C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D．这个方程可以用公式法求解3．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0 C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=04．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定5．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=06．到2013底，我县已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校2011年发放给每个经济困难学生450元，2013年发放的金额为625元．设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．450（1+x）2=625 B．450（1+x）=625C．450（1+2x）=625 D．625（1+x）2=450二、综合训练7．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为．8．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为．9．根的判别式内容：△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程；△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程；此时方程的两个根为x1=x2= ．△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程．△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程．10．如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为．11．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．12．关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b 的值：b= ．三、拓展应用13．小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．请你举出反例说明小红的结论是错误的．14．如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的14．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的16，求道路的宽．15．已知a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的根．16．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．17．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）当通道宽a为10米时，花圃的面积= ；（2）通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3：5？如果可以，试求出此时通道的宽．18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案一、基础过关1．D解：方程整理得：4x2﹣12x﹣3=0，这里a=4，b=﹣12，c=﹣3，∵△=144+48=192，∴x==，故选：D．2．B解：A、这个方程是一元二次方程，正确；B、方程的解是x=±，错误；C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式，正确；D、这个方程可以用公式法求解，正确；故选：B．3．C解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x-1）（x-2）=18，故选C．4．B解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．5．B解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B．6．A．解：设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则2012年发放给每个经济困难学生450（1+x）元，2013年发放给每个经济困难学生450（1+x）2元，由题意，得：450（1+x）2=625．故选A．二、综合训练7．答案为：0解：∵x=（b2﹣4c＞0），∴x2+bx+c=（）2+b+c=++c===0．故答案为：0．8．答案为：（100-x）（80-x）=7644解：设道路的宽应为x米，由题意有（100-x）（80-x）=7644，故答案为：（100-x）（80-x）=76449．答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．解：△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根；此时方程的两个根为x1=x2=﹣．△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程无解．△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程有实数根．故答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．10．答案为：﹣1或2．解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，∴△=0，即4a2﹣4（a+2）=0，解得a=﹣1或2．故答案为：﹣1或2．11．答案为：x2-35x+34=0．解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20-20×2x-30x+2x•x=532，整理，得：x2-35x+34=0．故答案为：x2-35x+34=0．12．答案为3．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣8＞0，∴b＞2或b＜﹣2，∴b为3，4，5等等，∴b为3（答案不唯一）．故答案为3．三、拓展应用13．解：如方程x2+5x+6=0，（x+2）（x+3）=0，∴x1=﹣2，x2=﹣3，小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．则x==，x=2和x=3，这与上面的因式分解法求得的方程的解不一致，故小红的结论是错误的．14．解：设道路的宽为x米，则可列方程：x（12-4x）+x（20-4x）+16x2=16×20×12，即：x2+4x-5=0，解得：x1=l，x2=-5（舍去）．答：道路的宽为1米15．解：∵+|b+1|+（c+3）2=0，∴a=1，b=﹣1，c=﹣3，原方程为x2﹣x﹣3=0，这里a=1，b=﹣1，c=﹣3，∴x=．16．解：（1）根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0，得：1+m+m﹣2=0，解得：m=；（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．17．解：（1）由图可知，花圃的面积为：（40-2×10）（60-2×10）=800（平方米）．故答案为：800；（2）根据题意得：60×40-（40-2a）（60-2a）=38×60×40，解得：a1=5，a2=45（舍去）．答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3：5，此时通道的宽为5米．18．解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形．。
2018_2019学年度九年级数...
2018_2019学年度九年级数...第一篇：2018_2019学年度九年级数学上册第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程同步练习北师大版2.2 用配方法求解一元二次方程学校:___________姓名：___________班级：___________ 一．选择题（共10小题）1．一元二次方程x2﹣2=0的根是（）A．x=或x=﹣B．x=2或x=﹣2 C．x=﹣2D．x=2 2．方程（x+1）2=4的解是（）A．x1=﹣3，x2=3 B．x1=﹣3，x2=1 C．x1=﹣1，x2=1 D．x1=1，x2=3 3．已知2x2+3与2x2﹣4互为相反数，则x的值为（）A． B．± C．D．4．用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时，应将其变形为（）A．（x﹣）2= B．（x+）2=C．（x﹣）2=0 D．（x﹣）2=5．将一元二次方程x2﹣4x﹣6=0化成（x﹣a）2=b的形式，则b等于（）A．4 B．6 C．8D．10 6．把一元二次方程x2﹣4x+1=0，配成（x+p）2=q的形式，则p、q的值是（A．p=﹣2，q=5 B．p=﹣2，q=3 C．p=2，q=5 D．p=2，q=3 7．不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13总是（）A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数8．已知关于x的多项式﹣x2+mx+4的最大值为5，则m的值可能为（）A．1 B．2 C．4 D．5 9．若x2+y2+4x﹣6y+13=0，则式子x﹣y的值等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 10．对二次三项式x2﹣4x﹣1变形正确的是（）A．（x+2）2﹣5 B．（x+2）2+3 C．（x﹣2）2﹣5 D．（x﹣2）2+3二．填空题（共6小题）11．若（x﹣1）2=4，则x= ．12．如果关于x的方程bx2=2有实数解，那么b的取值范围是．13．方程x2+2x﹣1=0配方得到（x+m）2=2，则m= ．）14．把方程x2﹣3=2x用配方法化为（x+m）2=n的形式，则m=，n= ． 15．用配方法解一元二次方程x2+2x ﹣3=0 时，方程变形正确的是（填序号）①（x﹣1）2=2 ②（x+1）2=4 ③（x﹣1）2=1④（x+1）2=7． 16．若a为实数，则代数式a2 +4a﹣6的最小值为．三．解答题（共5小题）17．用直接开平方法解方程．（1）（2x ﹣）2=8（2）4x2﹣256=0；（3）（x﹣1）2=．18．配方法解方程．（1）x2+4x=﹣3；（2）2x2+x=0．19．根据要求，解答下列问题：（1）①方程x2﹣x﹣2=0的解为；②方程x2﹣2x﹣3=0的解为；③方程x2﹣3x﹣4=0的解为；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x ﹣10=0的解为；②请用配方法解方程x2﹣9x﹣10=0，以验证猜想结论的正确性．（3）应用：关于x的方程的解为x1=﹣1，x2=n+1．20．已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求x2﹣6xy+9y2的值．21．请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5=x2+2•x•3+32﹣32+5=（x+3）2﹣4，∵（x+3）2≥0 ∴当x=﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．请根据上述方法，解答下列问题：（Ⅰ）x2+4x﹣1=x2+2•x•2+22﹣22﹣1=（x+a）2+b，则ab 的值是；（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．参考答案一．选择题（共10小题）1．A．2．B．3．A．4．D．5．D．6．B．7．A．8．B．9．C ．10．C．二．填空题（共6小题）11．x=3或x=﹣1．12．b＞0． 13．1． 14．﹣1、4． 15．②． 16．﹣10．三．解答题（共5小题）17．（1）开方得：2x﹣=±2，解得：x1=，x2=﹣；（2）方程变形得：x2=64，解得：x1=8，x2=﹣8；（3）方程变形得：（x﹣1）2=3，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x1=1﹣．18．（1）方程化为：x2+4x+4=﹣3+4，（x+2）2=l，x+2=±1，x=﹣2±1，∴x1=﹣l，x2=﹣3；4（2）方程化为：x2+x=0，x+x+=x+=±，x=﹣±，∴x1=0，x2=﹣．19．①方程x﹣x﹣2=0的解为 x1=﹣1，x2=2；②方程x﹣2x﹣3=0的解为x1=﹣1，x2=3；③方程x﹣3x﹣4=0的解为x1=﹣1，x2=4；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x ﹣10=0的解为x1=﹣1，x2=10；②x﹣9x﹣10=0，移项，得x2﹣9x=10，配方，得x2﹣9x+=10+，22222=，即（x﹣）2=开方，得x﹣=x1=﹣1，x2=10；（3）应用：关于x的方程x2﹣nx﹣（n+1）=0的解为x1=﹣1，x2=n+1．故答案为：x1=﹣1，x2=2；x1=﹣1，x2=3；x1=﹣1，x2=4；x1=﹣1，x2=10；x2﹣nx﹣（n+1）=0．20．解：x2+y2﹣4x+6y+13=0，x﹣4x+4+y+6y+9=0，（x﹣2）2+（y+3）2=0，解得：x=2，y=﹣3，x﹣6xy+9y=（x﹣3y）=[2﹣3×（﹣3）]=121．21．解：（Ⅰ）∵x+4x﹣1=x+2•x•2+2﹣2﹣1=（x+2）﹣5=（x+a）+b，∴a=2，b=﹣5，∴ab=2×（﹣5）=﹣10．故答案是：﹣10；（Ⅱ）证明：x+2∵（x+∴x+22222222222x+7=x+2x+（）﹣（2）+7=（x+2）+1．2）≥0，x+7的最小值是1，x+7的值都是正数；2∴无论x取何值，代数式x2+2（Ⅲ）2x2+kx+7=（∵（∴（x+x+x）+2•x•+（k）2﹣（k）2+7=（x+k）2﹣k2+7．k）2≥0，k）﹣k+7的最小值是﹣k+7，222∴﹣k2+7=2，解得k=±2 ．第二篇：《用配方法求解一元二次方程》教案《用配方法求解一元二次方程第1课时》教案教学目标：1．会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤．3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力．教学重点：运用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．教学难点：配方过程中，解一元二次方程的要点的理解．教学过程：解下列一元二次方程(1)x2=5(2)(x+2)2=5(3)(x+6)2=5(4)x2+12x+36=5解方程x2+12x-15=0解：x2+12x=15，(常数项移到右边)1212x2+12x+()2=15+()2(这里的二次项系数必须为1)22(x+6)2=51(整理)(x+6)=±51(运用两边开平方)因此方程x2+12x-15=0有两个根x1=51-6 x2=-51-6(不合题意应舍去)做一做“读一读”由学生阅读理解．课堂小结：本节课重点学习了配方法解一元二次方程．当方程形如(x+m)2=n(n≥0)时，可直接用开平方法求解比较简单，但两边同时开平方时，要注意取正负号，不要与求算术平方根混淆．用配方法解一元二次方程首先要注意将方程化成一般形式，如果二次项系数不为1，要先化二次项系数为1再开始配方，配方时应注意两边同时同上一次项系数一半的平方；最后整理出(x+m)2=n(n≥0)的形式，而后应用开平方求解．第三篇：九年级数学上册 2.2 用配方法求解一元二次方程教学设计1 (新版)北师大版第二章一元二次方程２．用配方法求解一元二次方程（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在初二上学期已经学习过开平方，知道一个正数有两个平方根，会利用开方求一个正数的两个平方根，并且也学习了完全平方公式。
【配套K12】2018-2019学年九年级数学上册 第二章 一元二次方程《一元二次方程及其解法(一)
一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—巩固练习【巩固练习】一、选择题1.方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ． 32．若2530ax ax -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集应是( )A ．12a > B ．a ＜-2 C ．a ＞-2 D ．a ＞-2且a≠0 3．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b+6的值为（ ）A ．9B ．3C ．0D ．﹣34．已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是( )A ．abB ．a bC ．a+bD ．a-b 5．若290x -=，则2563x x x -+-的值为（ ） A ．1 B ．-5 C ．1或-5 D ．06．对于形如x 的方程2()x m n +=，它的解的正确表达式是（ ）A ．用直接开平方法解得x =．当0n ≥时，x m =C ．当0n ≥时，x m =D ．当0n ≥时，x =二、填空题7．如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是 .8．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x+m 2﹣4=0的常数项为0，则m 的值等于 .9．已知x ＝1是一元二次方程20x mx n ++=的一个根，则222m mn n ++的值为________．10．(1)当k________时，关于x 的方程22(1)(1)10k x k x ---+=是一元二次方程；(2)当k________时，上述方程是一元一次方程． 11．已知a 是方程2104x x +-=的根，则354321a a a a a -+--的值为 ． 12．已知a 是关于x 的一元二次方程2201210x x -+=的一个根，则22201220111a a a -++的值为 ．三、解答题13．用直接开平方法解下列方程．(1)（x+1）2=4； (2) (2x-3)2=x 2．14．已知△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝6，x 为实数，且6a b +=，29x ab =-．(1)求x 的值；(2)若△ABC 的周长为10，求△ABC 的面积ABC S △．【答案与解析】一、选择题1．【答案】C ；【解析】∵方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根，∴（a+1）x+a+1=0，解得x=﹣1，当x=﹣1时，a=2，故选C ．2．【答案】D ；【解析】解不等式得a ＞-2，又由于a 为一元二次方程的二次项系数，所以a≠0．即a ＞-2且a≠0．3.【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，∴a×（﹣2）2+b×（﹣2）+6=0，化简，得2a ﹣b+3=0，∴2a﹣b=﹣3，∴6a﹣3b=﹣9，∴6a﹣3b+6=﹣9+6=﹣3，故答案为：D ．4. 【答案】D ；【解析】由方程根的定义知，把x a =-代入方程得20a ab a -+=，即(1)0a a b -+=，而0a ≠， ∴ 1a b -=-.5．【答案】B ；【解析】本题主要考查的是利用一元二次方程的解来探索使分式有意义的值．由290x -=，得3x =±， 由分式有意义，可得x ≠3，所以3x =-．当3x =-时，25653x x x -+=--，故选B ． 6．【答案】C ；【解析】因为当n 是负数时，在实数范围内开平方运算没有意义，当n 是非负数时，直接开平方得，解得x m =，故选C ．二、填空题7．【答案】p=-3,q=2；【解析】∵ x＝2是方程x 2+px+q ＝0的根，∴ 22+2p+q ＝0，即2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即p+q ＝-1 ②联立①，②得24,1,p q p q +=-⎧⎨+=-⎩ 解之得：3,2.p q =-⎧⎨=⎩8．【答案】m=-2；【解析】由题意得：m 2﹣4=0，解得：m=±2，∵m﹣2≠0，∴m≠2，∴m=﹣29．【答案】1；【解析】将x ＝1代入方程得m+n ＝-1，两边平方得m 2+2mn+n 2＝1.10．【答案】(1)≠±1 ； (2)＝-1.【解析】(1)k 2-1≠0，∴ k≠±1． (2)由k 2-1＝0，且k-1≠0，可得k ＝-1．11．【答案】20； 【解析】由题意可知2104a a +-=，从而得214a a +=，214a a =-． 于是23543232232111111444411()()()(1)44a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫------- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===+--+-+-- 255555544201111144444a a a a a a a a a ---====⎛⎫----- ⎪⎝⎭． 12.【答案】2011.【解析】因为a 是方程的根，所以2201210a a -+=，所以212012a a +=，220121a a =-， 所以22201220111a a a -++2012120121201112012a a a a a =--+=+-20122011a a a -==．三、解答题13.【答案与解析】解：(1)两边直接开平方得：x+1=±2，得x+1=2,x+1=-2,解得：x 1=1,x 2=-3．(2) 两边直接开平方得，得2x-3=±x，∴x 1=3,x 2=1．14.【答案与解析】解：（1）6a b =-代入29x ab =-中得22(3)0x b +-=，∵ 20x ≥，2(3)0b -≥， ∴ 0x =，3b =．（2）由（1）知3a b ==，∴ 1064c =-=，142ABC S =⨯=△。
推荐学习K122018-2019学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.1.
2.1.3 两条直线的平行与垂直[学业水平训练]1．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.解析：l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1，由一元二次方程根与系数的关系得k 1k 2＝－b 2，∴－b 2＝－1，得b ＝2.l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－3k －b ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－3)2－4×2·(－b )＝0，即b ＝－98. 答案：2 －982．设a ∈R ，如果直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行，那么a ＝________.解析：当a ＝0时，l 1：y ＝12，l 2：x ＋y ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ＝－1时，l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：x ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ≠0且a ≠－1时，l 1：y ＝－a 2x ＋12，l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1，由l 1∥l 2得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或13.如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1,1)，B (1,5)，C (－3,2)，则△ABC 的形状为________．解析：因为k AB ＝1－5－1－1＝－4－2＝2，k AC ＝1－2－1－－＝－12，所以k AB ·k AC ＝－1，且A 、B 、C 、D 4点不共点，所以AB ⊥AC ，即∠BAC ＝90°.所以△ABC是直角三角形．答案：直角三角形4．已知A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD ，其中正确的序号为________．解析：k AB ＝－4－26－－＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，且A 、B 、C 、D 4点不共线，所以AB ∥CD ，k AC ＝6－212－－＝14，k BD ＝12－－2－6＝－4， k BD ·k AC ＝－1，所以AC ⊥BD .答案：①④5．已知P (－2，m )，Q (m,4)，M (m ＋2,3)，N (1,1)，若直线PQ ∥直线MN ，则m ＝________. 解析：当m ＝－2时，直线PQ 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线PQ 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ≠－2且m ≠－1时，k PQ ＝4－m m －－＝4－m m ＋2， k MN ＝3－1m ＋2－1＝2m ＋1，因为直线PQ ∥直线MN ， 所以k PQ ＝k MN ，即4－m m ＋2＝2m ＋1，解得m ＝0或m ＝1.经检验m ＝0或m ＝1时直线MN ，PQ 都不重合．综上，m的值为0或1.答案：0或16．已知两条直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋c ＝0互相垂直，垂足为(1，b )，则a ＋c －b ＝________.解析：∵k 1k 2＝－1，∴a ＝10.∵垂足(1，b )在直线10x ＋4y －2＝0上，∴b ＝－2.将(1，－2)代入2x －5y ＋c ＝0得c ＝－12，故a ＋c －b ＝0.答案：07．(1)求与直线y ＝－2x ＋10平行，且在x 轴、y 轴上的截距之和为12的直线的方程；(2)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线的方程．解：(1)设所求直线的方程为y ＝－2x ＋λ，则它在y 轴上的截距为λ，在x 轴上的截距为12λ，则有λ＋12λ＝12， ∴λ＝8.故所求直线的方程为y ＝－2x ＋8，即2x ＋y －8＝0.(2)法一：由直线方程2x ＋3y ＋5＝0得直线的斜率是－23， ∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率也是－23. 根据点斜式，得所求直线的方程是y ＋4＝－23(x －1)， 即2x ＋3y ＋10＝0.法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，∵直线过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋b ＝0，解得b ＝10.故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0.8．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝6，∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．[高考水平训练]1．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，若存在点D ，使CD ⊥AB ，且BC ∥AD ，则点D 的坐标为________．解析：设点D 的坐标为(x ，y )．因为k AB ＝2－－2－1＝3，k CD ＝y x －3， 且CD ⊥AB ，所以k AB ·k CD ＝－1，即3×yx －3＝－1. ①因为k BC ＝2－02－3＝－2，k AD ＝y ＋1x －1， 且BC ∥AD ，所以k BC ＝k AD ，即－2＝y ＋1x －1， ② 由①②得x ＝0，y ＝1，所以点D 的坐标为(0,1)．答案：(0,1)2．△ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，则m 的值为________．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7； 若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.答案：－7或±2或33．已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值． 解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－－m －＝2－m ＋， k CD ＝3m ＋2－m 3－－m ＝m ＋m ＋3. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.4．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ＞0.试判断四边形OPQR 的形状．解：如图所示，由已知两个点的坐标得：k OP ＝t －01－0＝t ， k RQ ＝＋t －2－2t －－2t＝t ， k OR ＝2－0－2t －0＝－1t. k PQ ＝t －＋t 1－－2t ＝－1t， 所以k OP ＝k RQ ，k OR ＝k PQ ，所以OP ∥RQ ，OR ∥PQ ，所以四边形OPQR 是平行四边形；又k OP ·k OR ＝t ·(－1t)＝－1， 所以OP ⊥OR ，∠POR 是直角， 所以四边形OPQR 是矩形；过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ， RB ⊥x 轴，垂足为B ，那么由勾股定理得： OP 2＝OA 2＋AP 2＝1＋t 2.∴OP ＝1＋t 2，OR 2＝OB 2＋BR 2＝(－2t )2＋22＝4(1＋t 2)，∴OR ＝21＋t 2.∴OP ≠OR ，所以四边形OPQR 不是正方形， 综上可知，四边形OPQR 是矩形．。
2018-2019学年度数学九年级上第二章一元二次方程检测题含答案
第二章检测题(时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是( A )A ．3(x ＋1)2＝2(x ＋1) B.1x 2＋1x－2＝0 C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋2x ＝x 2－12．方程(x －2)(x ＋3)＝0的解是( D )A ．x ＝2B ．x ＝－3C ．x 1＝－2，x 2＝3D ．x 1＝2，x 2＝－33．若a 是方程2x 2－x －3＝0的一个解，则6a 2－3a 的值为( C )A ．3B ．－3C ．9D ．－94．用配方法解一元二次方程x 2－2x －3＝0时，方程变形正确的是( B )A ．(x －1)2＝2B ．(x －1)2＝4C ．(x －1)2＝1D ．(x －1)2＝75．下列一元二次方程中，没有实根的是( C )A ．x 2＋2x －3＝0B ．x 2＋x ＋14＝0 C ．x 2＋2x ＋1＝0 D ．－x 2＋3＝0 6．解方程(x ＋1)(x ＋3)＝5较为合适的方法是( C )A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法或配方法D ．分解因式法7．已知一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2＋x 1x 22的值为( A )A ．－3B ．3C ．－6D ．68．某县政府2013年投资0.5亿元用于保障性住房建设，计划到2015年投资保障性住房建设的资金为0.98亿元，如果从2013年到2015年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是( B )A ．30%B ．40%C ．50%D ．10%9．有一块长32 cm ，宽24 cm 的长方形纸片，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是( C )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm10．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为( C )A ．1 B. 2C ．4－2 2D ．32－4二、填空题(每小题3分，共18分)11．一元二次方程2x 2＋6x ＝9的二次项系数、一次项系数、常数项和为__－1__．12．方程(x ＋2)2＝x ＋2的解是__x 1＝－2，x 2＝－1__．13．若代数式4x 2－2x －5与2x 2＋1的值互为相反数，则x 的值是__1或－23__． 14．写一个你喜欢的实数k 的值__0(答案不唯一，只要满足k>－2且k ≠－1都行)__，使关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根．15．某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元．则这种药品的成本的年平均下降率为__10%__．16．如果正整数a 是一元二次方程x 2－5x ＋m ＝0 ①的一个根，－a 是一元二次方程x 2＋5x －m ＝0 ②的一个根，则a ＝__5__．三、解答题(共72分)17．(12分)解方程：(1)x 2－4x ＋2＝0; (2)x 2＋3x ＋2＝0；解：x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2 解：x 1＝－1，x 2＝－2(3)3x 2－7x ＋4＝0.解：x 1＝43，x 2＝118．(10分)如图，已知A ，B ，C 是数轴上异于原点O 的三个点，且点O 为AB 的中点，点B 为AC 的中点．若点B 对应的数是x ，点C 对应的数是x 2－3x ，求x 的值．解：由已知，点O 是AB 的中点，点B 对应的数是x ，∴点A 对应的实数为－x.∵点B 是AC的中点，点C 对应的数是x 2－3x ，∴(x 2－3x )－x ＝x －(－x )．整理，得x 2－6x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝6.∵点B 异于原点，故x ＝0舍去，∴x 的值为619．(8分)一元二次方程x 2－2x －54＝0的某个根，也是一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋94＝0的根，求k 的值．解：当x 2－2x －54＝0得(x －1)2＝94，解得x 1＝52，x 2＝－12.当x ＝52时，(52)2－52(k ＋2)＋94＝0，∴k ＝75.当x ＝－12时，(－12)2＋12(k ＋2)＋94＝0，∴k ＝－7.答：k 的值为75或－720．(10分)云南地震牵动全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的速度，第四天该单位能收到多少捐款？解：(1)10% (2)12 100×(1＋0.1)＝13 310(元)21．(10分)小林准备进行如下操作试验：把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，”他的说法对吗？请说明理由．解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长为(10－x )cm.由题意，得x2＋(10－x )2＝58，即两个正方形的边长分别为3 cm ，7 cm.4×3＝12，4×7＝28，∴小林应把绳子剪成12 cm 和28 cm 的两段 (2)假设能围成．由(1)得x 2＋(10－x )2＝48.化简得x 2－10x ＋26＝0.∵Δ＝b 2－4ac ＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，∴此方程没有实数根，∴小峰的说法是对的22．(10分)某市电解金属锰厂从今年元月起安装了使用回收净化设备(安装时间不计)，这样既保护环境，又节省原料成本，据统计使用回收净化设备后1～x 月的利润的月平均值W (万元)满足W ＝10 x ＋90.请问多少个月后的利润和为1620万元？解：由题意得x (10x ＋90)＝1620，解得x 1＝9，x 2＝－18(舍去)，即9个月后利润和为1620万元23．(12分)为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．(1)筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？(2)经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20 000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a %(其中a >0)．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了109a %，求a 的值.解：(1)设用于购买书桌、书架等设施的为x 元，则购买书籍的有(30 000－x )元，根据题意得：30 000－x ≥3x ，解得：x ≤7 500.答：最多用7 500元购买书桌、书架等设施 (2)根据题意得：200(1＋a%)×150(1－109a%)＝20 000整理得：a 2＋10a －3 000＝0，解得：a ＝50或a ＝－60(舍去)，所以a 的值是50。
【配套K12】[学习]2018-2019学年度九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.1 一元二次
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_2.1_一元二次方程考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.在以下方程中，是一元二次方程的是（）A. B.C.D.2.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（）A. B.C. D.3.方程化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是（）A.，，B.，，C.，，D.，，4.下列方程是一元二次方程的是（）A.B.C. D.5.若是关于的方程的解，则的值为（）A. B. C. D.6.已知是一元二次方程的一个解，则的值为（）A. B. C. D.或7.关于的一元二次方程有一根为，则的值为（）A. B. C.或D.8.若、、分别表示方程中的二次项系数、一次项系数和常数项，则、、的值为（）A.，，B.，，C.，，D.，，9.九年级班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了本图书，如果设全组共有名同学，依题意，可列出的方程是（）A. B.C.D.10.若方程是关于的一元二次方程，则的值是（）A. B.C.或D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.方程转化为一元二次方程的一般形式是________．12.已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是________．13.以为解的一元二次方程是________．14.摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了张，若全组有名学生，则根据题意列出的方程是________．15.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地的面积为，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长，则可列方程________．16.方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是________．17.如果关于的一元二次方程有一根为，则的值是________．18.如果一个一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，且，，，那么这个一元二次方程是________．19.将方程化成一般形式后的二次项系数、一次项系数和常数项分别为________、________、________．20.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.若是关于的一元二次方程，求的值．22.已知是方程的一个根，求的值．23.已知关于的方程的一根为．求的值；求方程的另一根．24.是关于的方程的一个解，求的值．25.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式．一个矩形的长比宽多，面积是，矩形的长和宽各是多少？有一根长的铁丝，怎样用它围成一个面积为的矩形？参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？26.某学校为美化校园，准备在长米，宽米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有位同学各设计了一种方案，图纸分别如图、图和图所示（阴影部分为草坪）．请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．①甲方案设计图纸为图，设计草坪的总面积为平方米．②乙方案设计图纸为图，设计草坪的总面积为平方米．③丙方案设计图纸为图，设计草坪的总面积为平方米．答案1.C2.B3.C4.D5.C6.A7.B8.B9.B10.B11.12.13.（答案不唯一）14.15.16.17.18.19.20.21.解：根据题意，得，解得，．22.解：∵是方程的一个根，∴，∴．23.解：把代入，得．；原方程为，设方程的另一根为，则，解得，即方程的另一根为．24.解：∵是关于的方程的一个解，∴解得：．25.解：设宽为，依题意得，，化为一元二次方程的一般形式得，．设宽为，依题意得，，化为一元二次方程的一般形式得，．设有人参加聚会，依题意得，，化为一元二次方程的一般形式得，．26.解：①设道路的宽为米．依题意得：；②设道路的宽为米．依题意得：；③设道路的宽为米．依题意得：．。
K12推荐学习2018年秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的应用 第2课时
2.5 一元二次方程的应用第2课时图形面积问题知识点 1 面积问题图2－5－11．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图2－5－1)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )A．(x＋1)(x＋2)＝18B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18D．x2＋3x＋16＝02．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm3，则原正方形铁皮的边长为( )A．10 cm B．13 cm C．14 cm D．16 cm图2－5－23．如图2－5－2是一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长为8 m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18 m2.那么花边的宽为________m.4．如图2－5－3，利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．图2－5－35．如图2－5－4，要在一个长为10 m、宽为8 m的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这个花圃的宽度．图2－5－4知识点 2 动点问题6．教材练习第2题变式如图2－5－5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，图2－5－5BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始运动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q运动到点C后停止运动，点P也随之停止运动．经过几秒后，能使△PBQ的面积为15 cm2？( )A．2 s B．3 s C．4 s D．5 s7．如图2－5－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，其速度均为2 cm/s，几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半？图2－5－68．如图2－5－7，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米．图2－5－79．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝24 cm，BC＝16 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以4 cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动．它们同时出发，求几秒后，△PBQ的面积是△ABC面积的一半．10．2016·百色如图2－5－8，在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且矩形地面AOBC的面积为96 m2.(1)求矩形地面的长；(2)有规格为0.80 m×0.80 m和1.00 m×1.00 m的地板砖单价分别为55元/块和80元/块．若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？图2－5－811．如图2－5－9①，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为2x cm，则每个竖彩条的宽为3x cm.为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD.(1)结合以上分析完成填空：如图②：用含x的代数式表示：AB＝________cm；AD＝________cm；矩形ABCD的面积为________cm2.(2)列出方程并完成本题的解答．图2－5－9详解详析1．C [解析] 根据题意，可知剩余的长方形空地的长为(x－1)m，宽为(x－2)m，所以可列出方程为(x－1)(x－2)＝18，故选C.2． D [解析] 设原正方形铁皮的边长是x cm，则做成的没有盖的长方体盒子的长、宽均为(x－3×2)cm，高为3 cm，根据题意列方程得(x－3×2)×(x－3×2)×3＝300，解得x1＝16，x 2＝－4(不合题意，舍去)．即原正方形铁皮的边长是16 cm.故选D.3．1 [解析] 设花边的宽为x m ，则地毯的长为(8－2x )m ，宽为(5－2x )m ，根据题意列方程得(8－2x )(5－2x )＝18，解得x 1＝1，x 2＝5.5(不符合题意，舍去)．故花边的宽为1 m.4．解：设垂直于墙的一边长为x m ，则平行与墙的一边长为(58－2x )m. 依题意得x (58－2x )＝200， 解得x 1＝25，x 2＝4，58－2x 1＝8，58－2x 2＝50.答：矩形的长为25 m ，宽为8 m 或矩形的长为50 m ，宽为4 m. 5．解：设这个花圃的宽度为x m ，依题意，得 (10－2x )(8－x )＝10×8×(1－30%)， 解得x 1＝12(不合题意，舍去)，x 2＝1. 答：这个花圃的宽度为1 m.6．B [解析] 设经过t s 后，能使△PBQ 的面积为15 cm 2， 则BP ＝(8－t )cm ，BQ ＝2t cm ，由三角形的面积计算公式列方程得12×(8－t )×2t ＝15，解得t 1＝3，t 2＝5(当t ＝5时，BQ ＝10，不合题意，舍去)．故经过3 s 后，能使△PBQ 的面积为15 cm 2. 7．解：设t s 后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半，则可得此时PC ＝AC －AP ＝(12－2t )cm ，CQ ＝BC －BQ ＝(9－2t )cm ，∴△PCQ 的面积为12·PC ·CQ ＝12(12－2t )(9－2t )cm 2.∵△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半，△ABC 的面积＝12×12×9＝54(cm 2)，∴12(12－2t )(9－2t )＝27，解得t ＝9或t ＝1.5.∵0≤t ≤4.5， ∴t ＝1.5，则1.5 s 后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半． 8．设AB ＝x 米，则BC ＝(100－4x )米． 根据题意得x (100－4x )＝400，整理得x 2－25x ＋100＝0，解得x 1＝20，x 2＝5. 当AB ＝20米时，BC ＝20米，符合题意； 当AB ＝5米时，BC ＝80米>25米，故舍去． 答：羊圈的边长AB ，BC 都为20米．9．解：设x s 后，△PBQ 的面积是△ABC 面积的一半，则12(24－4x )(16－2x )×32＝12×12×24×16×32，解得x ＝2或x ＝12(舍去)． 答：2 s 后，△PBQ 的面积是△ABC 面积的一半．10．解： (1)设矩形地面的长为x m ，则宽为(20－x )m ，由题意，得x (20－x )＝96， 解得x 1＝12，x 2＝8(舍去)． 答：矩形地面的长为12 m.(2)需要规格为0.80 m×0.80 m 的地板砖96÷(0.8×0.8)＝150(块)， 则总费用为55×150＝8250(元)；需要规格为1.00 m×1.00 m 的地板砖96÷(1.0×1.0)＝96(块)， 则总费用为80×96＝7680(元)．∵7680＜8250，∴用规格为1.00 m×1.00 m 的地板砖费用较少．11． (1)(20－6x ) (30－4x ) (24x 2－260x ＋600)(2)根据题意，得24x 2－260x ＋600＝(1－13)×20×30，整理，得6x 2－65x ＋50＝0，解得x 1＝56，x 2＝10(不合题意，舍去)，则2x ＝53，3x ＝52.答：每个横、竖彩条的宽度分别为53 cm ，52 cm.。
2018-2019学年度九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的根与系数的关
2.5 一元二次方程的根与系数的关系一．选择题（共10小题）1．下列方程一定有实根的是（）A．x2﹣4x+3=0 B．x2﹣4x+5=0 C．y2﹣4y+c=0 D．y2﹣4y+12=02．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x=0 B．x2+4x﹣1=0 C．2x2﹣4x+3=0 D．3x2=5x﹣23．若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或14．不解方程，判别方程2x2﹣3x=3的根的情况（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个实数根 D．无实数根5．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，若k为非负整数，则k等于（）A．0 B．1 C．0，1 D．26．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B．C．D．7．关于x的一元二次方程x2+bx﹣1=0的判别式为（）A．1﹣b2B．b2﹣4 C．b2+4 D．b2+18．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣39．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．610．一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的两实数根的和与积分别是（）A．，﹣B．，C．﹣，﹣D．﹣，二．填空题（共6小题）11．对于方程3x2﹣5x+2=0，a= ，b= ，c= ，b2﹣4ac= ，此方程的解的情况是．12．关于x的方程x2﹣3x+m+1=0没有实数根，则m的取值范围为．13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+3=0有实数解，则m的取值范围为．14．设x1、x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6=0的两个根，且x1+x2=1，则x1= ，x2= ．15．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22= ．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+1﹣m=0的一个根为2，则另一个根是三．解答题（共4小题）17．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．18．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）当m为正整数时，求方程的根．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．20．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0（Ⅰ）求证：无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；（Ⅱ）若此方程的一个根为1，请求出方程的另一个根．参考答案一．选择题（共10小题）1．A．2．C．3．A．4．B．5．B．6．C．7．C．8．B．9．C．10．A．二．填空题（共6小题）11．3，﹣5，2，1，有两个不相等的实数根．12．m＞．13．m≤且m≠2．14．﹣2；3．15．16．3三．解答题（共4小题）17．（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．18．（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0．解得m＜2；（2）由（1）知，m＜2．有m为正整数，∴m=1，将m=1代入原方程，得x2﹣2x=0x（x﹣2）=0，解得x1=0，x2=2．19．（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，∵x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．20．（1）证明：x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0，△=[﹣（m+2）]2﹣4×1×（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∵不论m为何值，（m﹣2）2+4＞0，∴△＞0，∴无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；（2）解：把x=1代入方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0得：1﹣（m+2）+2m﹣1=0，解得：m=2，方程为x2﹣4x+3=0，设方程的另一个根为a，则a+1=4，解得：a=3，即方程的另一个根为3．。
2018-2019学年九年级数学上册 第二章 一元二次方程《一元二次方程的解法(三)--公式法,因式
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）；③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a -±=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=．【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m≠0，n≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=．∵ m≠0，解得x ＝1．(2)当m+n≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴ 24|6|2()n m m x m n -±==+， ∴ 11x =，25n m x m n-=+． 【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+=∵1,3,2,a m b m c =-=-=∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴ 3(1),2(1)m m x m -±+==- ∴ 122, 1.1x x m==-2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=，∴ 22130m m --=，∴ a＝1，b ＝-2，c ＝-13，∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴ (2)221b m a -±--==⨯212±==，∴ 11m =21m =【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-=∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥∴3322m m m x ±±== ∴122,.x m x m ==类型二、因式分解法解一元二次方程3．已知3是关于x 的方程x 2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ）A ．7B ．10C ．11D ．10或11【思路点拨】把x=3代入已知方程求得m 的值；然后通过因式分解法解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【答案】D【解析】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x 2﹣7x+12=0，解得x 1=3，x 2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，①当△ABC 的腰为4，底边为3时，则△ABC 的周长为4+4+3=11；②当△ABC 的腰为3，底边为4时，则△ABC 的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC 的周长为10或11．故选：D ．【总结升华】本题考查了一元二次方程的解，考查了解方程，也考查了三角形三边的关系． 举一反三：【变式】解方程（1）x 2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0．【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0∴x -3=0，x+1=0∴x 1=3,x 2=-1.（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x ）=0∴x -1=0，3x-1=0∴x 1=1,x 2=13.4．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值．【答案与解析】设22x y z +=，∴ z(z -2)＝3．整理得：2230z z --=，∴ (z -3)(z+1)＝0．∴ z 1＝3，z 2＝-1．∵ 220z x y =+>，∴ z＝-1(不合题意，舍去)∴ z＝3．即22x y +的值为3．【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。
【配套K12】[学习]2018-2019学年度九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.3 一元二次
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_2.3_一元二次方程根的判别式考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.下列一元二次方程中，没有实数解的方程是（）A. B.C. D.2.下列一元二次方程中没有实数根的是（）A. B.C. D.3.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定根的情况4.一元二次方程总有实数根，则应满足的条件是（）A. B. C. D.5.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根6.一元二次方程的根的情况是（）A.无实数根B.有两个实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定7.已知关于的一元二次方程，如果，，那么方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.必有一个根为8.关于的方程有实数解，那么的取值范围是（）A. B.C. D.且9.已知一元二次方程中，其中真命题有（）①若，则；②若方程两根为和，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根．A.个B.个C.个D.个10.关于的方程有实数根，则的取值范围是（）A. B.且C. D.且二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.若，则关于的一元二次方程根的情况是________．12.写一个你喜欢的实数的值________，使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．13.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．14.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________．15.关于的方程有实数根，则的取值范围是________．16.若，则关于的一元二次方程的根的情况是________．17.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是________．18.若一元二次方程有两个不相等的实数根，则________．19.关于的方程有实数根，的取值范围________．20.已知一元二次方程有两个相等的实数根，则________，________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.已知关于的方程．当取何值时，方程有两个不相等的实数根．为选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．22.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．23.已知关于的一元二次方程求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．24.已知：关于的方程有两个不相等的实数根．求实数的取值范围．取一个的负整数值，且求出这个一元二次方程的根．25.当满足什么条件时，关于的方程有两个不相等的实数根．26.已知关于的一元二次方程若方程有两个相等的实数根时，求的值．当方程没有实数根时，求出的最小正整数的值．答案1.B2.D3.B4.D5.A6.A7.A8.B9.C10.C11.无实数根12.13.14.15.16.没有实数根17.且18.19.20.21.解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，即：解得；∵，∴取，方程为，解得，．22.解：根据题意得，解得．23.证明：∵，∴不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．24.解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得；若是负整数，只能为；如果，原方程为，解得：，．25.解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴，∴，∴．26.解：根据题意得且，所以；根据题意得且，所以，所以的最小正整数的值为．。
【配套K12】2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.5一元二次方程的应用第1课时增长率问题
第2章一元二次方程2.5 一元二次方程的应用第1课时增长率问题和营销问题知识点 1 增长率问题1．某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，下列所列方程正确的是( ) A．180(1＋x%)＝300 B．180(1＋x%)2＝300C．180(1－x%)＝300 D．180(1－x%)2＝3002．2016·恩施州某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为( )A．8 B．20 C．36 D．183．某车间1月份生产产品7000个，3月份生产产品8470个，求该车间这两个月生产产品的月平均增长率．4．2017·巴中巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．知识点 2 营销问题5．某商店进了一批服装，进价为50元/件，按60元/件出售时，可销售800件；若单价每提高2元，则其销售量就减少40件，今商店计划获利12000元，则销售单价应定为________元/件．6．新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500元，经市场调研表明：当销售价定为每台2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天为5000元，每台冰箱的定价应为多少元？7．商场某种商品平均每天可销售30件，每件赢利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加________件，每件商品赢利________元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日赢利可达到2100元？8．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的产量增长率为x，那么x满足的方程是( )A．50(1＋x)2＝182B．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182C．50(1＋2x)＝182D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝1829．某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批良种西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了减少库存，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种良种西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天赢利200元，应将每千克良种西瓜的售价降低多少元？10．2017·眉山某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．经调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，则此批次蛋糕属于第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，则该烘焙店生产的是第几档次的产品？11．2017·南宁为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)．该阅览室2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．(1)求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；(2)已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人．如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，则a的值至少是多少？12．某汽车销售公司5月份销售某种型号的汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x之间的函数表达式；(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月的销售利润为25万元，那么该月需要售出多少辆汽车(注：销售利润＝销售价－进价)?1．B [解析] 当商品第一次提价x%时，其售价为180＋180x%＝180(1＋x%)；当商品第二次提价x%后，其售价为180(1＋x%)＋180(1＋x%)x%＝180(1＋x%)2，∴180(1＋x%)2＝300.故选B.2． B [解析] 根据题意，得100(1－x%)2＝100－36，解得x＝20或x＝180(不合题意，舍去)，故选B.3．解：设该车间这两个月生产产品的月平均增长率为x%，根据题意，得7000(1＋x%)2＝8470，∴(1＋x%)2＝1.21，即1＋x%＝± 1.21＝±1.1，∴x%＝0.1＝10%或x%＝－2.1(不合题意，舍去)．答：该车间这两个月生产产品的月平均增长率为10%.4．解：设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得5000(1－x)2＝4050，解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．答：平均每次下调的百分率为10%.5．70或806．解：设每台冰箱的定价为x元，依题意得(x－2500)(8＋2900－x50×4)＝5000，解得x1＝x2＝2750，经检验x1＝x2＝2750符合题意．答：每台冰箱的定价应为2750元．7．解：(1)2x(50－x)(2)由题意，得(50－x )(30＋2x )＝2100.化简得x 2－35x ＋300＝0.解得x 1＝15，x 2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，∴x ＝15不合题意，舍去，∴x ＝20.答：每件商品降价20元时，商场日赢利可达到2100元．8．B [解析] 50(1＋x )2 万个只表示六月份的产量，不包含四、五月份的产量，182万个是第二季度生产零件的总产量，包含四、五、六月份的产量．9．解：设每千克良种西瓜的售价降低x 元．由题意，得(3－x －2)(200＋40x 0.1)－24＝200， 解得x 1＝0.2，x 2＝0.3.∵该经营户想要减少库存，∴x ＝0.2不合题意，应舍去，∴x ＝0.3.答：应将每千克良种西瓜的售价降低0.3元．10．解：(1)由题意可知，生产的蛋糕每提高一个档次，该产品每件利润提高2元，14－102＝2，所以生产提高了两个档次，所以此批次蛋糕属于第三档次产品．(2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品，则每件利润为[10＋2(x －1)]元，每天的产量为[76－4(x －1)]件．根据题意，得[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝1080，整理，得x 2－16x ＋55＝0，解得x 1＝5，x 2＝11(不合题意，舍去)．答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．11．解：(1)设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x ，根据题意得7500(1＋x )2＝10800，即(1＋x )2＝1.44，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)．答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%.(2)10800×(1＋0.2)＝12960(本)，10800÷1350＝8(本)，12960÷1440＝9(本)，(9－8)÷8×100%＝12.5%.答：a 的值至少是12.5.12．解：(1)当0<x ≤5时，y ＝30；当5＜x ≤30时，y ＝－0.1x ＋30.5.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30（0<x ≤5且x 为整数），－0.1x ＋30.5（5<x ≤30且x 为整数）. (2)当0<x ≤5时，(32－30)×5＝10(万元)＜25万元，不合题意；当5＜x ≤30时，(32＋0.1x －30.5)x ＝25，即x 2＋15x －250＝0，解得x 1＝－25(舍去)，x 2＝10.答：该月需要售出10辆汽车．。
推荐K12学习2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.5一元二次方程的应用第2课时图形面积和
第2课时图形面积和几何问题素材一新课导入设计置疑导入归纳导入复习导入类比导入提起代数，人们自然就和方程联系起来，事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究．我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，有着优良的传统，并取得了重要成果．我国古代数学家研究过二次方程的解法，当时的解法虽然与现代的解法不同，但已与近代的解法相似．下面是我国南宋数学家杨辉1275年提出的一个问题：直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)．只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步．答：阔二十四步，长三十六步．这里，我们不谈杨辉的解法，你能用已学过的知识解决上面的问题吗？[说明与建议] 说明：在古代文献中有很多的方程应用型问题，题目内容来自生活，新颖有趣，有很高的数学价值和欣赏价值．通过本问题的引入，激起学生的学习兴趣．建议：引导学生积极思考问题，建立方程的思想．如图2－5－1，小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子．如果要求长方体盒子的底面积为81 cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？图2－5－1[说明与建议] 说明：通过生活中的实际问题的引入，让学生感觉到数学与生活的联系，激起学生学习的兴趣．建议：让学生体会数学来源于生活，又应用于生活，要求同学们能用一些所学的数学知识解决生活中的实际问题，体会到数学的应用价值，体会到方程是刻画现实世界的一个有效的工具．素材二教材母题挖掘51页例3如图2－5－2，一长为32 m，宽为20 m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化．若已知绿化面积为540 m2，求道路的宽．图2－5－2【模型建立】此类问题一般要利用“图形经过移动，它的面积不变”的道理，把纵、横的路平移到一起，利用面积的和差解决问题．有关面积问题的常见图形有如下几种：图2－5－3【变式变形】1．[兰州中考] 如图2－5－4，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路的宽为x米，则根据题意可列出方程为__(22－x)(17－x)＝300__．图2－5－4 图2－5－52.如图2－5－5，已知一边靠墙，另三边用木篱笆围成一个面积为130 m2的长方形花坛，木篱笆长为33 m，墙长为15 m，问花坛的两邻边长分别为多少米才能使木篱笆正好合适？[答案：垂直于墙的一边长为10 m，平行于墙的一边长为13 m]3．如图2－5－6，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少钱？[答案：700元]图2－5－6素材三考情考向分析[命题角度1] 列一元二次方程解决等积变形问题在列一元二次方程解决等积变形问题时，要抓住以下三个等量关系：①形状面积变化，周长不变；②容器形状改变，但容积不变；③原料体积＝成品体积，从而找出题中的等量关系，列出方程．例[襄阳中考] 用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为( B)A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝64[命题角度2] 列一元二次方程解决与几何图形面积相关的问题方程是我们利用数学知识解决实际问题时常用的一种数学模型，而构建方程解决问题的关键是找到等量关系，几何图形常用的数量关系往往和线段的长度、角的度数和图形的面积等因素不可分割．例如本课素材二[教材母题挖掘]．[命题角度3] 列一元二次方程解决存在性问题列一元二次方程解决存在性问题的一般步骤是：先假设问题存在或成立，然后根据题意列出方程求解．如果方程有解，就说明假设成立；如果方程无解，则说明假设不成立．例[淮安中考] 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式．(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解：(1)y ＝x(16－x)＝－x 2＋16x(0<x<16)．(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6，所以当x ＝10或x ＝6时，围成的养鸡场的面积为60平方米．(3)当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24<0，因此该方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．[命题角度4] 列一元二次方程解决运动型问题运动型问题一般需根据“路程＝速度×时间”求出图形中的相应边的长，再列等量关系解决问题，这类题目一般和函数问题、几何图形性质综合考查，题目综合性较强．例如课本P 53练习第2题．例 [泉州中考] 某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图2－5－7所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A 、B 以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动．甲运动的路程l(cm )与时间t(s )满足关系：l ＝12t 2＋32t (t≥0)，乙以4 cm /s 的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm .图2－5－7(1)甲运动4 s 后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？解：(1)当t ＝4 s 时，l ＝12t 2＋32t ＝8＋6＝14(cm )．答：甲运动4 s 后的路程是14 cm .(2)由图可知，甲、乙第一次相遇时走过的路程为半圆21 cm ，甲走过的路程为12t 2＋32t ，乙走过的路程为4t ，则12t 2＋32t ＋4t ＝21，解得t ＝3或t ＝－14(不合题意，舍去)．答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s ．(3)由图可知，甲、乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆：3×21＝63(cm )，则12t 2＋32t ＋4t ＝63，解得t ＝7或t ＝－18(不合题意，舍去)．答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s .素材四 教材习题答案1．如图，在长为100 m ，宽为80 m 的矩形地面上要修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化．若要使绿化面积为7644 m 2，则道路的宽应为多少米？解：设路宽为x m ，则： (100－x )(80－x )＝7644， 解得：x 1＝2.x 2＝178(舍)． 答：道路的宽为2米．2．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm.点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AC ，BC 向终点C 移动，它们的速度都是1 cm/s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．问点P ，Q 出发几秒后可使△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半？解：由题意得，PC ＝8－x ，QC ＝6－x ，则：(8－x )(6－x )＝6×8×12，解得：x 1＝2，x 2＝12(舍去)． P53习题2.5 1．某市政府为落实保障性住房政策，去年已投入3亿元资金，并规划投入资金逐年增加，明年将投入12亿元资金用于保障性住房建设．求这两年中投入资金的年平均增长率．解：设年平均增长率为x .则：3(1＋x )2＝12，解得：x ＝1或x ＝－3(舍)． 答：这两年中投入资金的年平均增长率为100%.2．某店只销售某种进价为40元/kg 的特产．已知该店按60元/kg 出售时，平均每天可售出100 kg ，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10 kg.若该店销售这种特产计划平均每天获利2240元．(1)每千克该种特产应降价多少元？(2)为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售？ 解：(1)设每千克降价x 元，由题意得， (10x ＋100)(20－x )＝2240， 解得：x 1＝4，x 2＝6.答：每千克降价6元或4元．(2)设应按原售价的x 折出售，由题意得，60×x10＝60－6，解得：x ＝9.答：应按原售价的9折出售．3．某单位准备将院内一块长30 m 、宽20 m 的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草，如图所示．要使种植花草的面积为532 m 2，那么小道进出口宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等．)解：设宽度为x 米，由题意得， (20－x )(30－2x )＝532， 解得：x 1＝1，x 2＝34(舍)． 答：小道进出口宽度应为1米．4．如图是某年8月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，求这9个数中的最大数．解：设最小的数为x ，则最大数为x ＋16，由题意得， x (x ＋16)＝192，∴x 1＝8，x 2＝－24(舍)，x ＋16＝24. 答：这9个数中的最大数为24.5．某旅行社在某地组织旅游团到北京旅游参观，每人的交通费、住宿费、门票费等费用共需3200元，如果把每人收费标准定为4600元，那么只有20人参加旅游团；高于4600元时，没有人参加；从4600元每降低100元，参加人数就增加10人．每人收费标准定为多少时，该旅行社从这个旅游团可获取利润64 000元？解：设应降低x 元，由题意得， (1400－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫20＋110x ＝64 000， 解得：x ＝600.答：应把收费标准定为4000元． 6．(古代数学问题)直田积八百六十四步， 只云长阔共六十步， 问长多阔几何．——摘自古代数学家杨辉的 《田亩比类乘除捷法》意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？解：设长为x 步，宽为(60－x )步，则： x (60－x )＝864，解得：x 1＝24，x 2＝36. 答：长为36步，宽为24步． 7．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝24 cm ，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 同时出发，分别沿边AD ，BC ，CB ，DA 移动，且当有一个点先到达所在边的另一个端点时，其他各点也随之停止移动．已知移动一段时间后，若BQ ＝x cm(x ≠0)，则AP ＝2x cm ，CM ＝3x cm ，DN ＝x 2cm.(1)当x 为何值时，P ，N 两点重合？(2)问Q ，M 两点能重合吗？若Q ，M 两点能重合，则求出相应的x 的值；若Q ，M 两点不能重合，请说明理由．(3)当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？解：(1)由题意得，x 2＋2x ＝24， 解得：x 1＝4，x 2＝－6(舍)．(2)假设Q ，M 两点能重合，由题意得，x ＋3x ＝24，解得：x ＝6.若x ＝6，则DN ＝x 2＝36， ∴Q ，M 两点不能重合．(3)当BQ ＝DN 且CM ＝PA 时，四边形PQMN 为平行四边形，此时不成立． 或当PN ＝QM 时，四边形PQMN 也为平行四边形．则：24－2x －x 2＝24－x －3x ， 解得x ＝2.素材五 图书增值练习专题一 一元二次方程在参数问题中的应用1．定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .上述记号叫做二阶行列式．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x －11－x x ＋1＝6，求x 的值．2．已知△ABC 的两边长是6、10.第三边长是方程x 2－12x ＋32＝0的根．求△ABC 的周长，并判断△ABC 的形状．3．已知关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12＝0，①求证：这个方程总有实根；②若等腰△ABC 的一边长a ＝4，另两边b 、c 恰好是这个方程 的两个根．求△ABC 的周长．专题二 一元二次方程在实际问题中的应用 4．用12 m 长的一根铁丝围成长方形．(1)如果长方形的面积为5 m 2，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？(2)能否围成面积是10 m 2的长方形？为什么？ (3)能围成的长方形的最大面积是多少？5．某商店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x )件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元，需要卖出多少商品？每件商品应售价多少元？专题三 一元二次方程在几何计算中的应用6．如图，四边形ABCD 是一边长为20的正方形，点E ，F 分别在边AB 、AD 上，若AE ＝2AF △CEF 的面积是176，求AF 的长．参考答案：1．分析：弄清二阶行列式的运算法则，依葫芦画瓢列出相应的等式．解：依题意得(x ＋1)2－(1－x )(x －1)＝6.即(x ＋1)2＋(x －1)2＝6， ∴2x 2＝4，∴x ＝± 2.2．解：方程x 2－12x ＋32＝0的根为x 1＝4，x 2＝8. 当x ＝4时，4＋6＝10.∴4,6,10不能组成三角形．当x ＝8时，6＋8＞10，又∵62＋82＝102.∴该三角形为直角三角形，周长为24.3．解：①Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×4⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12＝4k 2＋4k ＋1－16k ＋8＝4k 2－12k ＋9＝(2k －3)2≥0， ∴该方程总有实根．②若等腰△ABC 的腰长为4.则b ，c 两数中有一个为腰长4.设b ＝4，依题意得42－4(2k ＋1)＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k －12＝0，解得k ＝52.由根与系数的关系得b ＋c ＝2k ＋1，∴4＋c ＝6，c ＝2.此时△ABC 三边分别为4,4,2.周长为10； 若a ＝4为等腰△ABC 的底边，则b ＝c . 此时方程有两个相等的实数根．∴Δ＝(2k －3)2＝0， ∴2k ＝3，k ＝32，∴b ＋c ＝2k ＋1＝4，∴b ＝c ＝2.但2＋2＝4，不能构成三角形，舍去．∴△ABC 的周长是10. 4．解：(1)设长为x m ，则宽为(6－x )m.依题意有 x (6－x )＝5，解得x 1＝1(舍去)，x 2＝5. ∴长为5 m ．宽为(6－5)＝1( m)．(2)依题意x (6－x )＝10，化简得x 2－6x ＋10＝0.∵Δ＝62－4×10＜0，∴方程无解．∴不能围成面积是10 m 2的长方形．(3)S 矩形＝x (6－x )＝－x 2＋6x ＝－x 2＋6x －9＋9＝－(x 2－6x ＋9)＋9＝－(x －3)2＋9.当x ＝3时，S 最大值＝9 m 2.5．解：依题意得(x －21)(350－10x )＝400，化简得x 2－56x ＋775＝0，解得x 1＝31，x 2＝25.当x ＝31元时，此时单件加价(31－21)＝10元．而21×20%＝4.2元， ∵10＞4.2，∴x 1＝31不合题意，舍去．当x ＝25元时，此时单件商品加价(25－21)＝4元． ∵4＜4.2，∴符合题意．当x ＝25元时，可卖出(350－10x )＝100件. 答：可卖出100元，每件售价为25元． [归纳总结] 在利润问题中： ①单件利润＝售价－进价②总利润＝单件利润×销售数量这两个关系式要熟记，解出结果后还要注意检验结果与实际问题是否相符．6．分析：利用已知条件，想方设法用代数式表示△CEF 的面积，从而列方程求解．解：设AF ＝x .则EA ＝2x ，FD ＝(20－x )，BE ＝(20－2x )． ∴S △CEF ＝S 正方形ABCD －(S △AFE ＋S △CFD ＋S △CBE )＝400－12[x ×2x ＋20×(20－2x )＋20×(20－x )]＝400－12[－60x ＋800＋2x 2]＝400＋30x －400－x 2＝－x 2＋30x .由已知得－x 2＋30x ＝176，∴x 2－30x ＋176＝0. 解得x 1＝22，x 2＝8.当x ＝22时．AE ＝2x ＝44＞20(不合题意，舍去)． ∴AF 的长为8.【方法规律】求不规则的图形面积时，常转化为求多个规则图形面积之差(和)，从而利用起看似根本无用的已知条件求解．素材六 数学素养提升列一元二次方程解决阅读理解问题阅读理解问题是给出一些材料，让学生在阅读的基础上理解材料中所提供的定义、公式、思想方法及解题技巧等知识，用于解决后面的问题.因此，在用一元二次方程解决阅读理解问题时要注意：①认真阅读材料，留心知识情景、数据、关键词句；②全面分析，理解材料的基本原理；③对相关信息进行归纳，加工提炼，进而构建方程模型来解答. 例.（2014•凉山州）实验与探究：三角形点阵中前n 行的点数计算下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n 行有n 个点…．容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和.你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果用实验的方法，由上而下地逐行相加其点数，虽然你能发现1+2+3+······+23+24=300，得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需要花费较多时间，能否更简捷地得出结果呢？我们先探究三角点阵中前 n 行的点数和与 n 的数量关系.前 n 行的点数和是1+2+3+···+（n+2）+（n-1）+n 。
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第二章简单的事件概率
考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1.下面每个语句中，都给出了两件可能发生的事情，其中发生的机会相同的是（）
A.两次掷骰子，掷出的数的和大于与掷出的数的和不大于
B.掷骰子掷出的数是偶数与掷出的数是奇数
C.最后一节课是数学与最后一节课不是数学
D.冬天里下雪和夏天里下雪
2.如图表示三个袋中分别装进只有颜色不同的个球，从中摸出一个，请你按照摸到红球的可能性由大到小排列．序号排列正确的是（）
A.①②③
B.①③②
C.②③①
D.②①③
3.以下说法合理的是（）
A.小明在次抛图钉的试验中发现次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B.抛掷一枚普通的正方体骰子，出现的概率是的意思是每次就有次掷得
C.某彩票的中奖机会是，那么如果买张彩票一定有张中奖
D.在一次课堂上进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为
和
4.若从一个袋子里摸到红球的概率，则下列说法中正确的是（）
A.摸次一定不会摸到红球
B.摸次一定能摸到红球
C.摸次有可能摸到红球
D.摸次一定能摸到次红球
5.有分别写数字、、、、的五张卡片，除数字不同外其它均相同，从中任意抽取一张，那么抽到的数是奇数的概率是（）
A. B. C. D.
6.一只盒子中有红球个，白球个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的关系是（）
A. B.
C. D.，
7.一袋苹果和雪梨共个，任选个，若选中苹果的概率是，则苹果有（）个．
A. B. C. D.
8.一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．位同学进行摸球游戏，每位同学摸次（摸出球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为，，，，，则估计盒中红球和白球的个数是（）
A.红球比白球多
B.白球比红球多
C.红球，白球一样多
D.无法估计
9.同时投掷两枚普通的正方体骰子，所得两个点数之和大于的概率是（）
A. B. C. D.
10.如图所示，小明、小刚利用两个转盘进行游戏；规则为小明将两个转盘各转一次，如配成紫色（红与蓝）得分，否则小刚得分，此规则对小明和小刚（）
A.公平
B.对小明有利
C.对小刚有利
D.不可预测
二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
11.请写出一个发生的可能性小于的随机事件：________．
12.某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，前两次的结果都是正面朝上，则他第三次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为________．
13.从，，，…，这个自然数中任取一个数，则它是的倍数的概率是________．
14.在一个袋子里装有个球，其中个红球，个黄球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，充分搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一球，是红球的概率是________．
15.某单位工会组织内部抽奖活动，共准备了张奖券，设特等奖个，一等奖个，二等奖个，三等奖个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则一张奖券中一等奖或二等奖的概率是________．
16.口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率依次为，和，则袋中蓝球的数目是________个．
17.掷一枚六面体骰子，向上的一面的点数为偶数的概率为________．
18.某学习小组中共有名同学，其中男生有人、现在要从这名同学中抽调两名同学去参加数学知识竞赛，抽调的两名同学都是男生的概率是________．
19.一个口袋中装了三个球，其中两个是红球，另外一个是白球，若从口袋中随机地摸出两球，假如两球是同一色，则规定甲胜，假如两球不是同一色，则规定乙胜，你认为甲、乙两人谁获胜的机会大？
答：________．
20.在一只不透明的袋中装有红球、白球若干个，这些球除颜色外形状大小均相同．八
班同学进行了“探究从袋中摸出红球的概率”的数学活动，下表是同学们收集整理的试验结果：
试验次数
摸到红球的次数
根据表格，假如你去摸球一次，摸得红球的概率大约是________（结果精确到）．
三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）
21.根据你的经验，下列事件发生的可能性哪个大哪个小？根据你的想法，把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列________．
从装有个红球和个黄球的袋子中摸出的个球恰好是红球；
一副去掉大、小王的扑克牌中，随意抽取张，抽到的牌是红桃；
水中捞月；
太阳从东方升起；
随手翻一下日历，翻到的刚好是周二．
22.在一个不透明的袋中装有个黄球，个黑球和个红球，它们除颜色外其他都相同．
将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
现在再将若干个红球放入袋中，与原来的个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一
个球是红球的概率是，请求出后来放入袋中的红球的个数．
23.某商场举行促销活动，规定“购物满元赠送一张摇奖券”．在张奖券中，只有
张可获奖，小明抽了两次就抽出其中一个奖，他对大家说：“这次抽奖的中奖率是．”你同意他的说法吗？为什么？
24.为丰富学生的校园文化生活，振兴中学举办了一次学生才艺比赛，三个年级都有男、女各一名选手进入决赛，初一年级选手编号为男号、女号，初二年级选手编号为男号、女号，初三年级选手编号为男号、女号．比赛规则是男、女各一名选手组成搭档展示才艺．
用列举法说明所有可能出现搭档的结果；
求同一年级男、女选手组成搭档的概率；
求高年级男选手与低年级女选手组成搭档的概率．
25.一个不透明的袋子里装着个黄球，个黑球和个红球，他们除了颜色外完全相同．
小明和小颖玩摸球游戏，规定每人摸球一次再将球放回为依次游戏，若摸到黑球则小明
获胜，摸到黄球则小颖获胜，这个游戏公平吗？说说你的理由．
现在裁判向袋子中放入若干个红球，大量重复试验后，发现小明获胜的频率稳定在
附近，问裁判放入了多少个红球？
26.在班上组织的“元旦迎新晚会”中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘平均分成份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，若指针指到偶数，则小丽去；若指针指到奇数，则小芳去．
指针指到偶数的概率是多少？指针指到奇数的概率是多少？
这个游戏对双方公平吗？为什么？
若游戏不公平，请你修改转盘中的数字，使得游戏对双方公平．
答案
1.B
2.C
3.D
4.C
5.C
6.B
7.B
8.A
9.A
10.A
11.掷一个骰子，向上一面的点数为（答案不惟一）
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.乙
20.
21.．
22.解：∵共个球，有个黄球，
∴（黄球）；设有个红球，根据题意得：，
解得：．
故后来放入袋中的红球有个．
23.解：不同意他的说法．
因为张奖券中，只有张可获奖，中奖的概率为，小明抽了两次就抽
出其中一个奖，只能说明他两次抽奖的中奖的频率．
24.解：可能出现搭档的结果有男号、女号，男号、女号，男号、女号，男号、女号，男号、女号，男号、女号，男号、女号，男号、女号，男号、女号，
共种情况；在中同一年级男、女选手组成搭档有种情况，故其概率为；在中高年级男选手与低年级女选手组成搭档有种情况，故其概率为．
25.解：不公平，
∵袋子中共有个小球，从中摸出一个小球，是黑球的概率为，
从中摸出一个小球，是黄球的概率为，
∴这个游戏不公平；设裁判向袋子中放入了个红球，
根据题意可得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
∴裁判放入了个红球．
26.解：∵共分成份，数字分别为：，，，，，；
∴指针指到偶数的概率是：；指针指到奇数的概率是：；不公平．
∵（小芳去）（小丽去），
∴不公平；将其中的一个修改为即可．。