2012高考总复习《走向清华北大》精品课件33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

值或最小值的问题叫做线性规划问题.
考点陪练
1.如图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示 的是( ) x y 1≤0 B. x 2 y 2≤0 x y 1≤0 D. x 2 y 2≥0 x y 1≥0 A. x 2 y 2≥0 x y 1≥0 C. x 2 y 2≤0
2.基本概念 (1)线性约束条件:由x,y(或方程)组成的不等式组,是关于x 与y的一次不等式(或等式). (2)目标函数:要求最大值或最小值的函数如z=2x+y,z=x2+y2.
(3)线性目标函数:关于x,y的一次函数.
(4)可行解:满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.
(5)可行域,由所有的可行解组成的集合叫做可行域. (6)最优解:使目标函数达到最大值或最小值的可行解叫最优 解. (7)线性规划问题:在线性约束条件下求线性目标函数的最大
1 指出x, y的取值范围; 2 平面区域内有多少个整点?
[分析](1)数形结合;(2)整点是指横､纵坐标均为整数的点.
[解](1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点 的集合.x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合, x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.
原料 甲 药剂 乙
A
B
2
5
5
4
药剂A､B至少各配一剂,且药剂A､B每剂售价分别为100元､200 元,现有原料甲20 kg,原料乙25 kg,那么可以获得的最大 销售额为( A.600元 ) B.700元
C.800元
D.900元
解析 : 设配制药剂A为x剂, 药剂B为y剂, 则有不等式组 2 x 5 y≤20, 5 x 4 y≤25, 成立,即求u 100x 200y在上述线性约 x≥1, y≥1, 束条件下的最大值.借助于线性规划图可得选C.
A规格
钢板类型
第一种钢板 第二种钢板 1 1
B规格
C规格
2 1
1 3
每张钢板的面积,第一种为1m2,第二种为2m2,今需要A,B,C三 种规格的成品各12､15､27块,问各截这两种钢板多少张,可 得到所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小. [分析]本题属第二种类型,是一道整点最优解问题,先用最优
第三十三讲二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
回归课本 1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平
面区域(半平面)不包括边界直线,不等式Ax+By+C≥0所表
示的平面区域(半平面)包括边界直线.
x≤y≤x 5 且x∈Z 2 ≤ x ≤ 3
当x=0时,0≤y≤5,有6个整点;
当x=-1时,1≤y≤4,有4个整点; 当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点;
∴平面区域内的整点共有2+4+6+8+10+12=42(个).
[反思感悟]本题主要考查不等式表示的平面区域､数列求和 及不等式的应用等基础知识,考查了数形结合的方法和逻 辑推理能力. (1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区
x y 5≥0 所以, 不等式组 x y≥0 表示的平面区域如图所示. x≤3 5 结合图中可行域得x ,3 , y [3,8]. 2
(2)由图形及不等式组知
当x=3时,-3≤y≤8,有12个整点; 当x=2时,-2≤y≤7,有10个整点; 当x=1时,-1≤y≤6,有8个整点;
zmin=4×(-3)-3×2=-18, zmax=4×(-1)-3×(-6)=14.
(2)设u=x2+y2,则u就是点(x,y)与原点距离的平方,由图可知
,B点到原点的距离最大,而当(x,y)在原点时,距离为 0.∴umax=(-1)2+(-6)2=37,umin=0.
[反思感悟]线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或 边界上取得,具体方法是:将目标函数的直线平行移动,最 先(或最后)通过的顶点便是.特别地,当表示线性目标函数 的直线与可行域的某边平行时,其最优解可能有无数个.
端点取不到,故z=2x-5y的取值范围是(-14,20),故选B.
答案:B
2 x y 6≥0, 5.(2010 安徽)设x, y满足约束条件 x 2 y 6≤0, 则目标函 y≥0, 数z x y的最大值是( ) A.3 B.4 C.6 D.8
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解析:不等式组表示的平面区域如图中所示的阴影部分.当 直线z=x+y过直线x+2y-6=0与x轴的交点(6,0)时,目标函数 z=x+y取得最大值6.
因经过点A的目标函数所确定的直线l为 : 4 7 x 5 y 34 , 5 令7x 5y 34, 经验证可得 : 在可行域中与此直线l距离最近的整点为B 2, 4 , 使 SB 7 2 4 5 34为最大.
[反思感悟]由于点A不是整点, 在可行域中寻找满足条件的 整点时, 不能以与A点的距离为依据, 应以与过点A的直线l 的距离为依据, 从图可知整点C 4,1 , 距点A最近, 然而SC 4 7 4 1 5 33, 而点C到l的距离dC 5 , 点B到l的距离为 74 4 d B 5 ,因此, 应舍C而取B.用数形结合的观点看, 直线l： 7x 74 t 5y t在y轴上的截距为 , l只有过可行域中与直线7 x 5 y 5 4 t 34 距离最近的点, 在y轴上的截距 才最大, 即t最大, 使 5 5 S 7x 5y达到最大值. 1
注意:(1)Ax+By+C>0(<0):表示直线l:Ax+By+C=0某一侧所有 点组成的平面区域,直线应画成虚线. (2)Ax+By+C≥0(≤0):表示直线l:Ax+By+C=0某一侧含边界直 线上的所有点组成的平面区域,直线l应画成实线.
x y 5≥0 【典例1】画出不等式组 x y≥0 表示的平面区域, 并 x≤3 回答下列问题 :
解的方法,求可行域和目标函数,然后在可行域上求满足条
件的整数解.
[解]设需截第一种钢板x张, 第二种钢板y张, 所用钢板面 x y≥12, 2 x y≥15, 积为zm 2 , 则 x 3 y≥27, 其中x, y为整数. x≥0, y≥0. 其中目标函数z x 2y, 作出可行域, 如图 作出一组平行直线x 2y t. x 3 y 27, 9 15 由 得A , . 2 2 x y 12,
4 x 3 y 20≤0 [探究]已知x, y满足 x 3 y 2≤0 , 求S 7x 5y的最大值. x, y N *
[解]满足条件的平面区域为四边形ADOE内部, 如图所示 作直线l0： 7x 5y 0的平行直线l： 7x 5y t, 当直线l经过A 4 x 3 y 20 0 时, S可取最大值由方程组 . , 可得A点坐标 x 3y 2 0 22 4 ( , ), 然而点A不是整数, A点坐标不能作为最优解. 5 5
类型三
线性规划的简单应用
解题准备:解线性规划应用题的步骤: (1)转化——设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问 题转化为数学上的线性规划问题.
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题.
【典例3】要将两种大小不同的钢板截成A,B,C三种规格,每 张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表. 规格类型
标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可
行域有公共点且纵截距最大或最小的直线;(3)求:通过解 方程求出最优解;(4)答:作出答案.
7 x 5 y 23≤0 【典例2】已知x､y满足条件 x 7 y 11≤0. 求 4 x y 10≥0
1 4x 3y的最大值和最小值; 2 x 2 y2的最大值和最小值.
)
解析 : 画出线性约束条件的可行域(如图).
y 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k. x x y 1 0, y 由 得A 1, 2 , k≥k OA ,即 ≥2. y2 x
答案:D
3.(2009·银川模拟)配置A､B两种药剂都需要甲､乙两种原料 ,用料要求如下表所示(单位:kg)
答案:C
类型一
二元一次不等式表示的平面区域
解题准备:确定二元一次不等式(组)表示的平面区域有两种 方法:一是用特殊点定区域,二是用B的符号与不等式的符 号定区域.
B 0, B 0, 即 及 表示直线Ax By Ax By C 0 Ax By C 0 C 0上方的区域. B 0, B 0, 及 表示直线Ax By C Ax By C 0 Ax By C 0 0下方的区域. 即B的符号及不等式的符号 同号在上 异号在下
图解法求解.
[分析]本题考查线性约束条件下目标函数的最值问题,用
[解]原不等式组表示的平面区域如图所示,其中A(4,1),B(1,-6),C(-3,2).
4 z 4 x , (1)设z=4x-3y,则 作一组斜率为 的平行线,由 3 3 3 图可知,当它经过C点时z值最小,当它经过B点时z值最 大. y
解析:图中两直线方程分别为x+y-1=0和x-2y+2=0.因为阴影 部分在x+y-1=0的右上方,x-2y+2=0的右下方,所以x+y1≥0,x-2y+2≥0. 答案:A
x y 1≤0, y 2.若实数x, y满足 x 0, 则 的取值范围是( x y≤2, A. 0, 2 B. 0, 2 C. 2, D. 2,
(2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有的点(x,y),使得 Ax+By+C值的符号相同,也就是位于同一半平面的点,其坐 标适合Ax+By+C>0;而位于另一半平面的点,其坐标适合 Ax+By+C<0.
(3)可以在直线Ax+By+C=0的某一侧任取一点,一般取特殊点
(x0,y0),从Ax0+By0+C的符号来判断Ax+By+C>0(或 Ax+By+C<0)所表示的区域.
答案:C
4.(2010·新课标全国)已知▱ABCD的三个顶点为A(1,2),B(3,4),C(4,-2),点(x,y)在▱ABCD的内部,则z=2x-5y 的取值范围是( A.(-14,16) ) B.(-14,20)
C.(-12,18)
D.(-12,20)
解析:由题可知,平行四边形ABCD的顶点D的坐标为(0,-4),点 (x,y)在平行四边形内部,如图,所以在D(0,-4)处目标函数 z=2x-5y取得最大值为20,在点B(3,4)处目标函数z=2x-5y 取得最小值为-14,由题知点(x,y)在平行四边形内部,所以
另外,此题在可行域中整点有 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2 ,4),(3,1),(3,2),(4,1)共12个.结合图形便知离直线
4 距离较近的点有 7 x 5 y 34 5
(1,5),(2,4),(3,2),(4,1),可以代入S=7x+5y进行验证,则 得点(2,4)为最优解,使S最大.
域点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公
共部分. (2)在封闭区域内找整点数目时,若数目较小时,可画网格逐 一数出;若数目较大,则可分x=m逐条分段统计.
类型二
由约束条件求目标函数的最值
解题准备:处理简单的线性规划问题,一般经历以下四个步骤 : (1)画:画出线性约束条件所表示的可行域;(2)移:在线性目