最新高三教案-2018年高考第一轮复习9.2直线与平面平行 精品
高三数学一轮复习精品教案1：线面、面面平行的判定与性质教学设计
9.4直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言 符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)⎭⎪⎬⎪⎫l ∥a a ⊂αl ⊄α l ∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l ∥αl ⊂βα∩β＝b l ∥b 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫a ∥βb ∥βa ∩b ＝P a ⊂αb ⊂αα∥β 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b a ∥b1．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件． 2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．『试一试』1．下列说法中正确的是________(填序号)．①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l 和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l 平行的直线在α内．『解析』由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确；③错误，因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面．『答案』①②④2．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m . 其中正确命题的个数是________．『解析』易知①正确；②错误，l 与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例说明．『答案』21．转化与化归思想——平行问题中的转化关系2．判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．『练一练』1．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题 ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ②⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a其中正确的命题是________(填序号)．『解析』②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内． 『答案』②2．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件______时，有MN ∥平面B 1BDD 1.『解析』由平面HNF ∥平面B 1BDD 1知，当M 点满足在线段FH 上有MN ∥平面B 1BDD 1.『答案』M ∈线段FH考点一线面平行、面面平行的基本问题1．有互不相同的直线m ，n ，l 和平面α，β，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，l ∩α＝A ，A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若m ，n 是相交直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂α，n ∥β，则α∥β； ④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m . 其中真命题有________个．『解析』由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质知，存在直线l ′⊂α，m ′⊂α，使得l ∥l ′，m ∥m ′，∵m ，l 是异面直线，∴l ′与m ′是相交直线，又n ⊥l ，n ⊥m ，∴n ⊥l ′，n ⊥m ′，故n ⊥α，②是真命题；由线面平行的性质和判定知③是真命题；满足条件l ∥α，m ∥β，α∥β的直线m ，l 或相交或平行或异面，故④是假命题．『答案』32．(2014·济宁模拟)过三棱柱ABC A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1 平行的直线共有________条．『解析』过三棱柱ABC A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．『答案』6『备课札记』『类题通法』解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．考点二直线与平面平行的判定与性质『典例』 (2013·新课标卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C A 1DE 的体积． 『解』 (1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD . (2)因为ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D . 所以VC A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.『备课札记』在本例条件下，线段BC 1上是否存在一点M 使得DM ∥平面A 1ACC 1？ 解：存在．当M 为BC 1的中点时成立． 证明如下：连结DM ，在△ABC 1中， D ，M 分别为AB ，BC 1的中点 ∵DM 綊12AC 1，又DM ⊄平面A 1ACC 1AC 1⊂平面A 1ACC 1，∴DM ∥平面A 1ACC 1.『类题通法』证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线； (2)利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；(3)注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可． 『针对训练』如图，已知四棱锥P ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)求证：AM ＝CM ；(2)若N 是PC 的中点，求证：DN ∥平面AMC .证明：(1)∵在直角梯形ABCD 中，AD ＝DC ＝12AB ＝1，∴AC ＝2，BC ＝2，∴BC ⊥AC ，又P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥P A ，又P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC .在Rt △P AB 中，M 为PB 的中点，则AM ＝12PB ，在Rt △PBC 中，M 为PB 的中点， 则CM ＝12PB ，∴AM ＝CM .(2)如图，连结DB 交AC 于点F ， ∵DC 綊12AB ，∴DF ＝12FB .取PM 的中点G ，连结DG ，FM ， 则DG ∥FM ，又DG ⊄平面AMC ，FM ⊂平面AMC ， ∴DG ∥平面AMC .连结GN ，则GN ∥MC ，GN ⊄平面AMC ， MC ⊂平面AMC . ∴GN ∥平面AMC ， 又GN ∩DG ＝G ，∴平面DNG ∥平面AMC ， 又DN ⊂平面DNG ，∴DN ∥平面AMC .考点三平面与平面平行的判定与性质『典例』 (2013·陕西高考)如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心， A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面 A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD A 1B 1D 1的体积． 『解』 (1)证明：由题设知，BB 1綊DD 1， ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1. 又BD 平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B 平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ， ∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD A 1B 1D 1的高． 又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴VABD A 1B 1D 1＝S △ABD ×A 1O ＝1.『备课札记』『类题通法』判断面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．『针对训练』如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：(1)平面AD1E∥平面BGF；(2)D1E⊥AC.证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE.∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF；又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，∴D1E∥平面BGF.∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1；又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD1∥平面BGF.又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.(2)连结BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD.∵D1D⊥AC，D1D∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵D1E⊂平面BDD1B1，∴D1E⊥AC.『课堂练通考点』1．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是________．『解析』对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①不正确；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②不正确；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．『答案』02．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．『解析』对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．『答案』①④3．(2014·南京学情调研)已知α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线， 下列命题：(1)若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； (2)若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；(3)若α∩β＝n ，m ∥α，m ∥β，则m ∥n ； (4)若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n . 其中是真命题的是________(填序号)．『解析』对于(1)，由m ∥n ，n ∥α得m ∥α或m ⊂α，故(1)错误；根据空间中直线与平面的平行、垂直关系进行一一判断．『答案』(2)(3)(4)4.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．『解析』连结AM 并延长，交CD 于E ，连结BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .『答案』平面ABC、平面ABD5.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC.∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形．∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.。
高三数学一轮复习精品教案2：空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1.理解空间直线，平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理． 2．能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行 关系图形 语言符号 语言 a ∥ba ∥αα∥β相交 关系图形 语言符号 语言 a ∩b ＝Aa ∩α＝Aα∩β＝l 独有关系 图形 语言符号 语言a ，b 是异面直线a ⊂α3.异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：(0，π2』．4．平行公理平行于同一条直线的两条直线平行． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．(人教A 版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．『答案』 C2．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b ( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线『解析』 若c ∥b ，∵c ∥a ，∴a ∥b ，与a ，b 异面矛盾． ∴c ，b 不可能是平行直线． 『答案』 C3．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6『解析』 与AB 平行，CC 1相交的直线是CD 、C 1D 1；与CC 1平行、AB 相交的直线是BB 1，AA 1；与AB 、CC 1都相交的直线是BC ，故选C.『答案』 C4．(2013·宁波模拟)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交『解析』 由题意知，直线l 与平面α相交，则直线l 与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B 是正确的．『答案』 B图7－3－15．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．『解析』 如图，取CN 的中点K ，连接MK ，则MK 为△CDN 的中位线，所以MK ∥DN .所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角．连接A 1C 1，AM .设正方体棱长为4，则A 1K ＝（42）2＋32＝41，MK ＝12DN ＝1242＋22＝5，A 1M ＝42＋42＋22＝6，∴A 1M 2＋MK 2＝A 1K 2，∴∠A 1MK ＝90°. 『答案』 90°平面的基本性质图7－3－2如图7－3－2所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 『思路点拨』 (1)证明GH 綊BC 即可． (2)法一 证明D 点在EF 、CH 确定的平面内．法二 延长FE 、DC 分别与AB 交于M ，M ′，可证M 与M ′重合，从而FE 与DC 相交证得四点共面．『尝试解答』 (1)由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形． (2)法一 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知BE 綊GF ， ∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ， ∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．法二 如图所示，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M ′， ∵BE 綊12AF ，∴B 为MA 中点， ∵BC 綊12AD ，∴B 为M ′A 中点，∴M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)， ∴C 、D 、F 、E 四点共面．,1．解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应用．2．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共面，点共面两种情况，常用方法有：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．图7－3－3已知：空间四边形ABCD (如图7－3－3所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面；(2)三直线FH 、EG 、AC 共点．『证明』 (1)连接EF 、GH ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD .又∵CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ， ∴EF ∥GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， ∴M ∈EG ，∴FH 、EG 、AC 共点.空间两条直线的位置关系图7－3－4(1)如图7－3－4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行(2)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)图7－3－5『思路点拨』(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MN ∥B1D1.(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异面直线的判定定理判定．『尝试解答』(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．『答案』(1)D(2)②④,1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．图7－3－6如图7－3－6所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．『解析』 由图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.『答案』 ③④异面直线所成的角图7－3－7(2012·上海高考改编题)如图7－3－7，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P —ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．『思路点拨』 (1)直接根据锥体的体积公式求解．(2)取PB 的中点，利用三角形的中位线平移BC 得到异面直线所成的角．(或其补角) 『尝试解答』 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.,1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． 2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是(0，π2』．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°『解析』 分别取AB 、AA 1、A 1C 1的中点D 、E 、F ，则BA 1∥DE ，AC 1∥EF . 所以异面直线BA 1与AC 1所成的角为∠DEF (或其补角)， 设AB ＝AC ＝AA 1＝2，则DE ＝EF ＝2，DF ＝6，由余弦定理得，∠DEF ＝120°. 『答案』 C两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．三个作用1.公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(4)由直线的直刻画平面的平．2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法．在判断线、面位置关系时，有时可以借助常见的几何体做出判断.思想方法之十三借助正方体判定线面位置关系(2012·四川高考)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行『解析』如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．『答案』C易错提示：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.防范措施：(1)对公理、定理的条件与结论要真正搞清楚，以便做到准确应用，类比得到的结论不一定正确，要想应用，必须证明．(2)点、线、面之间的位置关系可借助长方体为模型，以长方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．1．(2013·济南模拟)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面『解析』如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．『答案』B2．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．『解析』连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a ， 则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝（52a ）2＋（52a ）2－a 22·52a ·52a ＝35. 『答案』 35。
2018-2019年高三一轮：《直线、平面平行的判定及其性质》课件
1．直线与平面平行 (1)判定定理：
文字语言
如果平面□1 _外___的
判 一条直线和这个平 定 面内的一条直线平 定 行，那么这条直线 理 和这个平面平行(简
记为线线平行⇒线
面平行)。
图形语言
符号语言
□2 l⊄α
a⊂α ⇒l∥α a∥l
(2)性质定理： 文字语言
如果一条直线和 一个平面平行， 性 经过这条直线的 质 平面和这个平面 定 相交，那么这条
证明： (2)如图，连接DB交AC于点F， ∵DC綊12AB，∴DF＝12FB。
取PM的中点G，连接DG，FM，则DG∥FM， 又DG⊄平面AMC，FM⊂平面AMC，
∴DG∥平面AMC。 连接GN，则GN∥MC，GN⊄平面AMC， MC⊂平面AMC。 ∴GN∥平面AMC，又GN∩DG＝G， ∴平面DNG∥平面AMC， 又DN⊂平面DNG，∴DN∥平面AMC。
图形语言
符号语言
□6 a⊂α
b⊂α
a∩b＝P⇒α∥β
a∥β
b∥β
(2)两平面平行的性质定理： 文字语言
如果两平行平 面同时和第三 性
质 个平面□7
定 _相__交_，那么它
理 们的□8 _交__线_
平行
图形语言
符号语言
□9 α∥β
α∩γ＝a
⇒a∥b
β∩γ＝b
1个转化——三种平行关系间的转化
理 直线就和□3 交__线__
平行(简记线面平 行⇒线线平行)。
图形语言
符号语言
□4 a∥α
a⊂β ⇒a∥b α∩β＝b
2.平面与平面平行 (1)判定定理：
文字语言
如果一个平面内
2018年高三数学(理)一轮复习课件 直线、平面平行的判定与性质
解析
答案
第八章
知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
关闭
它们平行于平面 DC ,D1C1,A1B1 ABP
解析 答案
第八章
知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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1
2
3
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5
4.(教材习题改编P62TA3)在四面体ABCD中,M,N分别是平面 △ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是 .
关闭
如图,连接 AM 并延长交 CD 于 E,连接 BN 并延长交 CD 于 F,由重心性质可知,E,F 重合为一点,且该点为 CD 的中点 E,由
8.4 直线、平面平行的判定与性质
第八章
知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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1.直线与平面平行的判定与性质
判 定义 图形 条件 a∩α=⌀ a⊂α,b⊄α,a∥b 结论 a∥α b∥α 定 定理 性 质
a ∥α
a∥α,a⊂β,α∩β=b a ∥b
a∩α=⌀
第八章
知识梳理 双基自测
8.4
直线、平面平行的判定与性质
知识梳理 核心考点
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3.常用结论 (1)两个平面平行的有关结论 ①垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β. ②平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ. (2)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现 错误.
2018届高三数学第一轮复习《直线、平面平行的判定与性质》学案
直线、平面平行的判定与性质一、学习目标：1. 认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2. 能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题.二、学习重点：能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.三、学习难点：能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.四、学习过程：知识梳理：1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行。
(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行2.平面与平面平行：(1)平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
(2)判定定理与性质定理：语言表述图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线于另一个平面。
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的平行诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.()(2)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.()(3)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.()(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()2.若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列命题中，错误的是()A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；B.平行于同一个平面的两个平面平行；C.若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行；D.若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面；4.(2015·安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行；C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；5.(人教A必修2P56练习2改编)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.考点一线面平行的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面P AD.【训练1】如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB ＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积.考点二面面平行的判定与性质【例2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【训练2】如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.考点三平行关系中的探索性问题【例3】在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.。
高三数学一轮复习精品教案4：8.3 直线、平面平行的判定与性质教学设计
8.3 直线、平面平行的判定与性质『考纲要求』1．考查空间直线与平面平行，面面平行的判定及其性质．2．以解答题的形式考查线面的平行关系．3．考查空间中平行关系的探索性问题．『教学目标』1．熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程中叙述的步骤要完整，避免因条件书写不全而失分．2．学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”．『基础梳理』1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．2．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；(3)其他判定方法：α∥β；a⊂α⇒a∥β.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.4．两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.5．两个平面平行的性质定理(1)α∥β，a⊂α⇒a∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.6．与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.7.一个关系平行问题的转化关系：8.两个防范(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．『考向探究』考向一直线与平面平行的判定与性质『例1』如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．求证：PB∥平面ACM.『训练1』如图，若P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE.考向二平面与平面平行的判定与性质『例2』如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B；『训练2』如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.考向三线面平行中的探索问题『例3』如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．『训练3』如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题『问题研究』 高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几何知识，考查判定定理、性质定理等内容，难度为中低档题目.『解决方案』 利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其注意对正棱柱、正棱锥等特殊几何体性质的灵活运用，进行空间线面关系的相互转化. 『示例』如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°. (1)证明：AA 1⊥BD ； (2)证明：CC 1∥平面A 1BD .第(1)问转化为证明BD 垂直A 1A 所在平面；第(2)问在平面A 1BD 内寻找一条线与CC 1平行．『解答示范』 证明 (1)因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以D 1D ⊥BD .(1分)又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos 60°＝3AD 2，所以AD 2＋BD 2＝AB 2， 因此AD ⊥BD .(4分) 又AD ∩D 1D ＝D ， 所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊂平面ADD 1A 1， 故AA 1⊥BD .(6分)(2)如图，连结AC ，A 1C 1， 设AC ∩BD ＝E ，连结EA 1， 因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以EC ＝12AC .(8分)由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，(10分) 因此CC 1∥EA 1.又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.(12分)证明线面关系不能仅仅考虑线面关系的判定和性质，更要注意对几何体的几何特征的灵活应用．证明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理．另外根据几何体的数据，通过计算也可得到线线垂直的关系，所以要注意对几何体中的数据的正确利用．『试一试』如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体BDEF的体积．答案『例1』『审题视点』 连接MO ，证明PB ∥MO 即可．证明 连接BD ，MO .在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线． 『训练1』证明 取PC 的中点M ，连接ME 、MF ， 则FM ∥CD 且FM ＝12CD .又∵AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴FM AE ，即四边形AFME 是平行四边形． ∴AF ∥ME ，又∵AF ⊄平面PCE ，EM ⊂平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE . 『例2』『审题视点』 证明MN ∥A 1B ， MP ∥C 1B .证明 连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线， ∴MN ∥D 1C .又∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B .同理，MP ∥C 1B .而MN 与MP 相交，MN ，MP 在平面MNP 内，A 1B ，C 1B 在平面A 1C 1B 内．∴平面MNP ∥平面A 1C 1B .证明面面平行的方法有：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．『训练2』证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.『例3』『审题视点』取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥平面AB1C1即可．解存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．『训练3』解在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.证明如下：如图，取PD的中点E，连接NE，EC，AE，因为N，E分别为P A，PD的中点，所以NE 12AD.又在平行四边形ABCD中，CM 12AD.所以NE MC，即四边形MCEN是平行四边形．所以NM EC.又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.『试一试』『尝试解答』(1)证明设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连EG，GH，由于H为BC的中点，故GH 12AB.又EF 12AB，∴EF GH.∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH，而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB. (2)证明由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.(3)解∵EF⊥FB，∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF.∴BF为四面体BDEF的高．又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝ 2.V B－DEF＝13×12×1×2×2＝13.。
高三数学一轮复习精品教案2：线面、面面平行的判定与性质教学设计
第四节 直线、平面平行的判定及其性质考纲传真1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题.1．直线与平面平行的判定(1)定义：直线与平面没有公共点，则称直线平行于平面． (2)判定定理：若a ⊂α，b ⊄α，a ∥b ，则b ∥α. 2．直线与平面平行的性质定理 若a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ，则a ∥b . 3．面面平行的判定与性质 判定性质图形条件 α∩β＝∅a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α α∥β，α∩γ＝a ， β∩γ＝b α∥β，a ⊂β 结论α∥βα∥βa ∥ba ∥α4.与垂直相关的平行的判定(1)a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ；(2)a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β．1．(人教A版教材习题改编)若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是() A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内可能存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α没有公共点『解析』直线a与α不平行，则直线a在α内或与α相交，当直线a在平面α内时，在α内存在与a平行的直线，B正确．『答案』B2．若直线m⊂平面α，则条件甲：直线l∥α，是条件乙：l∥m的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件『解析』∵l∥α时，l与m并不一定平行，而l∥m时，l与α也不一定平行，有可能l⊂α，∴条件甲是条件乙的既不充分也不必要条件．『答案』D3．空间中，下列命题正确的是()A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β『解析』根据面面平行和线面平行的定义知，选D.『答案』D4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．『解析』如图所示，连接BD交AC于F，连接EF则EF是△BDD1的中位线，∴EF ∥BD1，又EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD 1∥平面ACE . 『答案』 平行图7－4－15．(2013·福州模拟)如图7－4－1，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．『解析』 由于在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.『答案』2直线与平面平行的判定与性质图7－4－2(2012·辽宁高考)如图7－4－2，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)求三棱锥A ′－MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)『思路点拨』 (1)法一：证明MN ∥AC ′；法二：取A ′B ′的中点P ，证平面MPN ∥平面A ′ACC ′.(2)转化法：根据S △A ′MC ＝S △BMC 得V N —A ′MC ＝12V N —A ′BC ，从而V A ′—MNC ＝12V A ′—NBC .『尝试解答』(1)法一连接AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC—A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，如图，因为M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′.(2)连接BN，由题意知，A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面B′BCC′，即A′N⊥平面NBC，故V A′—MNC＝V N—A′MC＝13S△A′MC×h，又S△A′MC＝12S△A′BC，所以V A′—MNC＝V N—A′MC＝12V N—A′BC＝12V A′—NBC＝12×13×S△NBC×A′N，因为∠BAC＝90°，BA＝AC＝2，所以BC＝B′C′＝2，S△NBC＝12BC×BB′＝12×2×1＝1，A′N＝12B′C′＝1，所以V A′—MNC＝V N—A′MC＝12×13×S△NBC×A′N＝16.,1．判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用常用反证法定义；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．2．利用判定定理判定直线与平面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．图7－4－3如图7－4－3，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.『证明』如图，连接AC交BD于O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM，则有AP∥平面BMD.∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，∴AP∥GH.平面与平面平行的判定与性质图7－4－4如图7－4－4，已知α∥β，异面直线AB 、CD 和平面α、β分别交于A 、B 、C 、D 四点，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：(1)E 、F 、G 、H 共面； (2)平面EFGH ∥平面α.『思路点拨』 (1)证明四边形EFGH 为平行四边形即可；(2)利用面面平行的判定定理，转化为线面平行来证明．『尝试解答』 (1)∵E 、H 分别是AB 、DA 的中点， ∴EH 綊12BD .同理，FG 綊12BD ，∴FG 綊EH .∴四边形EFGH 是平行四边形， ∴E 、F 、G 、H 共面．(2)平面ABD 和平面α有一个公共点A ， 设两平面交于过点A 的直线AD ′. ∵α∥β，∴AD ′∥BD .又∵BD ∥EH ，∴EH ∥BD ∥AD ′. ∴EH ∥平面α，同理，EF ∥平面α， 又EH ∩EF ＝E ，EH ⊂平面EFGH ， EF ⊂平面EFGH ，∴平面EFGH ∥平面α.,1．解答本题(2)的关键是设出平面ABD 与平面α的交线，然后使用面面平行的性质证明．2．判定面面平行的方法 (1)利用定义：(常用反证法) (2)利用面面平行的判定定理；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行；(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．图7－4－5如图7－4－5所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D.『证明』如图所示，连接A1C交AC1于点E，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以E是A1C的中点，连接ED，因为A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，所以A1B∥ED.因为E是A1C的中点，所以D是BC的中点．又因为D1是B1C1的中点，所以BD1∥C1D，A1D1∥AD.又A1D1∩BD1＝D1，C1D∩AD＝D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.线面、面面平行的综合应用图7－4－6如图7－4－6所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ，F为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .『思路点拨』 (1)通过线面垂直证明线线垂直；(2)先确定点N 的位置，再进行证明，点N 的位置的确定要根据线面平行的条件进行探索．『尝试解答』 (1)∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ， 则AE ⊥BC .又∵BF ⊥平面ACE ，∴AE ⊥BF ， ∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)在△ABE 中，过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE .∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， ∴MG ∥平面ADE .同理，GN ∥平面ADE .又∵GN ∩MG ＝G ， ∴平面MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE .∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．,1．解决本题的关键是过M 作出与平面DAE 平行的辅助平面MNG ，通过面面平行证明线面平行．2．通过线面、面面平行的判定与性质，可实现线线、线面、面面平行的转化． 3．解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法．图7－4－7如图7－4－7所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝63a，试在AB上找一点F，使EF∥平面P AD.『解』在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，∴四边形FEGA为平行四边形，∴FE∥AG.又AG⊂平面P AD，FE⊄平面P AD，∴EF∥平面P AD.∴F即为所求的点．又P A⊥面ABCD，∴P A⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥面P AB.∴PB⊥BC.∴PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋P A2.设P A＝x则PC＝2a2＋x2，由PB·BC＝BE·PC得：a2＋x2·a＝2a2＋x2·63a，∴x＝a，即P A＝a，∴PC＝3a.又CE＝a2－（63a）2＝33a，∴PE PC ＝23，∴GE CD ＝PE PC ＝23， 即GE ＝23CD ＝23a ，∴AF ＝23a .一种关系平行问题的转化关系：两个防范1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．2．线面平行的性质定理的符号语言为：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b ，三个条件缺一不可．从近两年高考看，直线与平面，平面与平面平行是高考考查的热点．题型全面，试题难度中等，考查线线、线面、面面平行的相互转化，并且考查空间想象能力以及逻辑思维能力．预测2014年高考仍将以线面平行的判定为主要考查点，解题时不但要熟练运用平行的判定和性质，而且要注意解题的规范化．规范解答之十 线面平行问题的证明方法)图7－4－8(12分)(2012·山东高考)如图7－4－8，几何体E －ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.『规范解答』(1)如图(1)，取BD的中点O，连接CO，EO.(1)由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，4分因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.6分(2)如图(2)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.(2)因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.8分又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.10分又MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.12分『解题程序』第一步：取BD的中点O，连接CO，EO，证明BD⊥平面EOC；第二步：根据线面垂直的性质证明BD⊥EO，从而证明BE＝DE；第三步：取AB的中点N，作出辅助平面DMN；第四步：证明MN∥平面BEC；第五步：证明DN∥平面BEC；第六步：根据面面平行的判定定理下结论．易错提示：(1)第(1)小题作不出辅助线EO，CO，无法求解．(2)第(2)小题不能作出辅助平面DMN，无法求解．防范措施：(1)所求与已知中，均有线段相等，即出现等腰三角形共底边问题，此种情况下，一般取底边的中点作辅助线．(2)证明线面平行，通常有两种方法，要么用线线平行，要么用面面平行，条件中出现中点，一般考虑作出三角形的中位线．1．(2013·潍坊模拟)已知三条直线a，b，c和平面β，则下列推论中正确的是() A．若a∥b，b⊂β，则a∥βB．a∥β，b∥β，则a∥bC．若a⊂β，b∥β，a，b共面，则a∥bD．a⊥c，b⊥c，则a∥b『解析』对于A，可能有a⊂β，故A错；对于B，a与b可能平行、相交或异面，故B错；对于D，a与b可能平行，相交或异面；对于C，根据线面平行的性质定理知，C正确．『答案』C图7－4－92．(2013·杭州模拟)在如图7－4－9所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，EF ∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.『证明』因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，所以△ABC ∽△EFG ，由于AB ＝2EF ，因此，BC ＝2FG ，连接AF ，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝12BC ， 因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM ∥F A .又F A ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ， 所以GM ∥平面ABFE .。
高考数学理一轮复习 9-2直线和平面平行、平面和 平面平行 精品课件
语言和符号语言进行相互转化和相互翻译，使三者之间相辅相
1.直线与平面的三种位置关系
位置关系 直线a在 平面α内 有无数个公共 点 a⊂α 直线a在平面α外
直线a与平面α 直线a与平面α 相交 平行
有且只有一个 公共点 a∩α＝A 没有公共点 a∥α
公共点
符号表示
图形表示
2.直线与平面平行的判定与性质． (1)判定方法
①用定义
3．平面与平面的两种位置关系
2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低
维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”， 再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反， 但也要注意，转化的方向总是受题目的具体条件而定，决不 可过于“模式”化．
3．解决有关平行问题时，也可以注意使用以下结论；
(1)经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行；
同理在平面α内存在直线c使m∥c，∴c∥b.
又c⊄β，∴c∥β.又c⊂α，α∩β＝l， ∴c∥l.因此m∥l. 证法二：如图(2)，取基向量a、b、c作为基底，在直线 m上取向量m≠0，
由m∥α知m＝xb＋yc，由m∥β知m＝λa＋μ c.
由空间向量基本定理知λ＝0，x＝0，μ＝y. ∴m＝μ c，即m∥c.因此m∥l.
证 明 ： 证 法 一 ： ∵ 截 面 EFGH 为 平 行 四 边 形 ， ∴EH∥FG.
根据直线与平面平行的判定定理知：EH∥平面BCD.
最新高三教案-第67课时----直线与平面平行 精品
课题：直线与平面平行 ●知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.●点击双基1.设有平面α、β和直线m 、n ，则m ∥α的一个充分条件是 A.α⊥β且m ⊥β B.α∩β=n 且m ∥n C.m ∥n 且n ∥α D.α∥β且m β2.（2004年北京，3）设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA.①②B.②③C.③④D.①④3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定4.（文）设平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS =8，BS =9，CD =34，①当S 在α、β之间时，SC =_____________，②当S 不在α、β之间时，SC =_____________.5.在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.ABCD MN ..●典例剖析 【例1】 如下图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB 且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE .A B CDMP FN特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.【例2】 如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E =C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .A DB B D111E FG N 评述：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行. 【例3】 已知正四棱锥P —ABCD 的底面边长及侧棱长均为13，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.（1）求证：直线MN ∥平面PBC ； （2）求直线MN 与平面ABCD 所成的角.B C D EO MN P思考讨论证线面平行，一般是转化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角.本题若直接求MN 与平面ABCD 所成的角，计算困难，而平移转化为PE 与平面ABCD 所成的角则计算容易.可见平移是求线线角、线面角的重要方法.●闯关训练夯实基础1.两条直线a 、b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是 A.a ∥α B.a 与α相交 C.a 与α不相交 D.a α2.a 、b 是两条异面直线，A 是不在a 、b 上的点，则下列结论成立的是 A.过A 有且只有一个平面平行于a 、b B.过A 至少有一个平面平行于a 、b C.过A 有无数个平面平行于a 、b D.过A 且平行a 、b 的平面可能不存在3.（2004年全国Ⅰ，16）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号）A4.已知Rt △ABC 的直角顶点C 在平面α内，斜边AB ∥α，AB =26，AC 、45°和30°角，则AB 到平面α的距离为__________.5.如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A 有BE ⊥PC 于E ，且BE =36a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD .6.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PD 求证：直线MN ∥平面PBC .A培养能力7.已知l 是过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点的平面AB 1D 1与下底面（1）求证：D 1B 1∥l ；（2）若AB =a ，求l 与D 1间的距离.A探究创新8.如下图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=21AB ，点E 、M 分别为过点A 1、B 、M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N .A （1）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1；（2）求二面角B —A 1N —B 1的正切值；（3）设截面A 1BMN 把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V 1的值.9. 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB =CC 1=a ，BC =b .AA 1（1）设E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：A 1C 1⊥AB ；（3）求点B 1到平面ABC 1的距离.。
9.2-直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
【课题】9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解两条直线的位置关系；（2）掌握异面直线的概念与画法，直线与直线平行的判定与性质；直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定与性质；平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质．【教学难点】异面直线的想象与理解．【教学设计】本节结合正方体模型，通过观察实验，发现两条直线的位置关系除了相交与平行外，在空间还有既不相交也不平行，不同在任何一个平面的位置关系．由此引出了异面直线的概念．通过画两条异面直线培养学生的画图、识图能力，逐步建立空间的立体观念．空间两条直线的位置关系既是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的开始，又是学习后两种位置关系的基础．因此，要让学生树立考虑问题要着眼于空间，克服只在一个平面考虑问题的习惯．通过观察教室里面墙与墙的交线，引出平行直线的性质，在此基础上，提出问题“空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角的度数存在着什么关系？请通过演示进行说明．”这样安排知识的顺序，有利于学生理解和掌握所学知识．要防止学生误认为“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的所有的直线”，教学时可通过观察正方体模型和课件的演示来纠正学生的这个错误认识．平面与平面的位置关系是通过观察教室中的墙壁与地面、天花板与地面而引入的．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质*创设情境 兴趣导入观察图9−13所示的正方体，可以发现：棱11A B 与AD 所在的直线，既不相交又不平行，它们不同在任何一个平面．图9−13观察教室中的物体，你能否抽象出这种位置关系的两条直线？介绍质疑 引导分析了解 思考启发 学生思考 02*动脑思考 探索新知在同一个平面的直线，叫做共面直线，平行或相交的两条直线都是共面直线．不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线.图9－13所示的正方体中，直线11A B 与直线AD 就是两条异面直线．这样，空间两条直线就有三种位置关系：平行、相交、异面．将两支铅笔平放到桌面上(如图9−14)，抬起一支铅笔的一端（如D 端），发现此时两支铅笔所在的直线异面．图9 −14（请画出实物图）受实验的启发，我们可以利用平面做衬托，画出表示两条异面直线的图形（如图9 −15）．讲解 说明引领思考理解带领 学生 分析桌子 BA C D两支铅笔(1) (2)图9−15利用铅笔和书本，演示图9−15（2）的异面直线位置关系．分析仔细 分析 关键 语句记忆5*创设情境 兴趣导入我们知道，平面平行于同一条直线的两条直线一定平行．那么空间中平行于同一条直线的两条直线是否一定平行呢？观察教室相邻两面墙的交线（如图9−16）．发现：1AA ∥1BB ，1CC ∥1BB ，并且有1AA ∥1CC ．质疑 引导 分析思考启发 学生思考7 *动脑思考 探索新知由上述观察及大量类似的事实中，归纳出平行线的性质：平行于同一条直线的两条直线平行．我们经常利用这个性质来判断两条直线平行． 【想一想】空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角的度数存在着什么关系？请通过演示进行说明．讲解 说明引领 分析思考理解带领 学生 分析10*创设情境 兴趣导入将平面 的四边形ABCD 的两条边AD 与DC ，沿着对角线AC 向上折起，将点D 折叠到1D 的位置(如图9−17)．此时A 、B 、C 、1D 四个点不在同一个平面．质疑带领图9−16图9−17引领分析思考学生分析13*动脑思考探索新知这时的四边形AB C1D叫做空间四边形．【想一想】折叠过程中，哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化？讲解说明理解带领学生分析15*巩固知识典型例题例1 已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点（如图9−18）．判断四边形EFGH 是否为平行四边形？解联结BD．因为E、H分别为AB、DA的中点，所以EH为ABD∆的中位线．于是//EH BD且12EH BD=．同理可得//FG BD且12FG BD=．因此//EH FG且EH FG=．故四边形EFGH是平行四边形．说明强调引领讲解说明观察思考主动求解通过例题进一步领会20*运用知识强化练习1．结合教室及室的物品，举出空间两条直线平行的例子.2．把一矩形的纸对折两次，然后打开（如第2题图），说明为什么这些折痕是互相平行的？提问巡视指导思考解答及时了解学生知识掌握情况22*创设情境兴趣导入图9−18将铅笔放在桌面上，此时铅笔与桌面有无数多个公共点；抬起铅笔的一端，此时铅笔与桌面只有1个公共点；把铅笔放到文具盒(文具盒在桌面上)上面，铅笔与桌面就没有公共点了．质疑思考引导学生分析25*动脑思考探索新知在9.1中，我们曾经介绍，直线l与平面α有无穷多个公共点时，直线l在平面α，其图形如图9−19（1）所示．如果一条直线与一个平面只有一个公共点，那么就称这条直线与这个平面相交，画直线与平面相交的图形时，要把直线延伸到平行四边形外（如图9−19（2））.如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行. 直线l与平面α平行，记作l∥α.画直线与平面平行的图形时，要把直线画在平行四边形外，并与平行四边形的一边平行（如图9−19（3））．（1）（2）（3）这样，直线与平面的位置关系有三种：直线在平面、直线与平面相交、直线与平面平行．直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平面外．讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果30*创设情境兴趣导入在桌面上放一白纸，在白纸上画出两条平行直线，沿着其中的一条直线将纸折起（如图9−20）．观察发现：在折起的各个位置上，另一条直线始终与桌面保持平行．图9−20 质疑思考引导学生分析lαlααl1为了叙述简便起见，将线段1DD 所在的直线，直接写作直线1DD ，本章教材中都采用这种表述方法．32*动脑思考 探索新知从大量实验中归纳出判定直线与平面平行的方法:如果平面外的一条直线与平面的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.讲解 说明理解 记忆 带领 学生 分析35 *巩固知识 典型例题例2 如图9−21，长方体1111ABCD A B C D -中,直线1DD 1平行于平面11BCC B 吗？为什么？图9−21解 在长方体1111ABCD A B C D -中，因为四边形11DCC D 边是长方形，所以DD 1∥CC 1，又因为CC 1在平面BCC 1B 1，DD 1在平面BCC 1B 1外，因此直线1DD 平行于平面11BCC B ．说明 强调 引领讲解 说明观察 思考主动 求解通过例题进一步领会识 点40 *创设情境 兴趣导入将铅笔放到与桌面平行的位置上， 用矩形硬纸片的面紧贴铅笔，矩形硬纸片的一边紧贴桌面（如图9−22），观察铅笔及硬纸片与桌面的交线，发现它们是平行的．图9−22（请画出实物图） 质疑 引导分析思考启发 学生思考42*动脑思考 探索新知从大量的实验与观察中，归纳出直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平铅笔面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行. 如图9−23所示，设直线l 为平面α与平面β的交线，直线m 在平面β且m α∥，则m l ∥．图9-23讲解 说明引领 分析思考理解带领 学生 分析45*巩固知识 典型例题例 3 在如图9−24所示的一块木料中，已知BC ∥平面1111A B C D ，BC ∥11B C ，要经过平面11A C 的一点P 与棱BC 将木料锯开，应当怎样画线？分析 设点P 和棱BC 确定的平面α，则EF 是α与平面1111A B C D 的交线，由于BC ∥平面1111A B C D ，故EF ∥BC ，11B C BC ∥．所以11EF B C ∥．解 画线的方法是：在平面1111A B C D ，过点P 作直线11B C 的平行线EF ，分别交直线11A B 及直线11D C 与点E 、F ，连接EB 和FC ．说明 强调 引领讲解 说明观察 思考主动求解通过例题进一步领会48*运用知识 强化练习1．试举出一个直线和平面平行的例子．2．请在黑板上画一条直线与地面平行，并说出所画的直线与地面平行的理由．3．如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线是不是和这个平面所有的直线都平行？4．说明长方体的上底面各条边与下底面平行的理由．提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况50*创设情境 兴趣导入教室中的墙壁与地面相交于一条直线，而天花板与地面，没有公共点．质疑思考 引导 学生 分析52 *动脑思考 探索新知如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平图9−24行．平面α与平面β平行，记做α∥β．画两个互相平行平面的图形时，要使两个平行四边形的对应边分别平行（如图9−25）．这样，空间两个平面就有两种位置关系：平行与相交． 讲解 说明 引领 分析思考理解带领 学生 分析55*创设情境 兴趣导入进行乒乓球或台球比赛时，必需要保证台面与地面平行．技术人员利用水准器来进行检测．水准器的玻璃管装有水，管的水柱相当于一条直线，水准器的水泡在中央，表示水准器所在的直线与地平面平行．把水准器在平板上交叉放置两次（如图9−26），如果两次检测，水准器的水泡都在中央，就表示台面与地面平行，可以进行比赛，否则就需要进行调整．图9−26质疑思考引导 学生 分析57*动脑思考 探索新知实例中，技术人员使用的方法就是我们常用的判定平面与平面平行的方法：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 【想一想】如果一个平面的一条直线平行于另一个平面的一条直线 , 那么这两个平面是否一定平行讲解 说明思考理解带领 学生 分析60*巩固知识 典型例题例 4 设平面α的两条相交直线m ，n 分别平行于另一个平面β的两条直线k ，l （如图9−27），试判断平面α，说明 强调观察思考 通过例题图9−25 αβ图9−27Amnβαklβ是否平行？解 因为m 在β外、l 在β，且m ∥l ，所以 直线m ∥平面β．同理可得 直线n ∥平面β．由于m 、n 是平面α两条相交直线，故可以判断α∥β． 引领讲解 说明主动 求解 进一步领会65*创设情境 兴趣导入将一本书放在与桌面平行的位置，用作业本靠紧书一边，绕着这条边移动作业本，观察作业本和书的交线与作业本和桌面的交线之间的关系（如图9−28）．图9−28（请画出实物图） 质疑 思考 引导 学生 分析70*动脑思考 探索新知由大量的观察和实验得到两个平面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行．如图9−29所示，如果αβ∥，平面γ与α、β都相交，交线分别为m 、n ，那么m ∥n ．讲解 说明引领 分析思考理解带领 学生 分析75*运用知识 强化练习1．画出下列各图形：（1）两个水平放置的互相平行的平面． （2）两个竖直放置的互相平行的平面． （3）与两个平行的平面相交的平面．2.如图所示，//αβ，M 在α与β同侧，过M 作直线a 与b ，a 分别与α、β相交于A 、B ，b 分别与、β相交于C 、D ．⑴ 判断直线AC 与直线BD 是否平行；提问思考及时 了解桌子 书放到不同位置的本图9−29【教师教学后记】图9-28你处理一下页脚没了容太多了时间没分我觉得你得分两个教案word版本.。
2018年高考理科数学第一轮复习教案44-直线、平面平行的判定及其性质
第四节直线、平面平行的判定及其性质平行的判定与性质(1)理解空间直线和平面位置关系的定义．(2)了解直线和平面的位置关系．(3)掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，两个平面平行的判定定理和性质定理．知识点一直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件与平面无公共点a⊂α_，b⊄α_，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，_α∩β＝b结论,a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b易误提醒(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．(2)一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．[自测练习]1．若直线a 不平行于平面α，则下列结论正确的是( )A ．α内的所有直线都与直线a 异面B ．α内可能存在与a 平行的直线C ．α内的直线都与a 相交D ．直线a 与平面α没有公共点解析：直线a 与α不平行，则直线a 在α内或与α相交，当直线a 在平面α内时，在α内存在与a 平行的直线，B 正确．答案：B2．对于直线m ，n 和平面α，若n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m ∥n 时，m ⊂α或m ∥α，当m ∥α时，m 与n 可能平行也可能为异面直线．答案：D知识点二 平面与平面平行的判定与性质判定 性质 定义定理 图形条件 ,α∩β＝∅ ⎩⎪⎨⎪⎧ a ⊂β，b ⊂βa ∩b ＝P a ∥α，b ∥α⎩⎪⎨⎪⎧ α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⎩⎪⎨⎪⎧ α∥βa ⊂β 结论α∥β ,α∥β a ∥b a ∥α易误提醒 (1)如果一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行，则这两个平面相交或平行．(2)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终可转化为“线线平行”问题．必记结论平面与平面平行的几个有用性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．[自测练习]3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若m∥n，m⊂α，则n∥αB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β解析：直线n可能在平面α内，A错误；两平面可相交，此时直线m，n 均与交线平行即可，B错误；两平面可相交，C错误；因为m∥n，m⊥α，所以n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，D正确．故选D.答案：D4．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR 的位置关系是()A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合解析：如图，分别取另三条棱的中点A，B，C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.答案：C考点一直线与平面平行的判定与性质|1．(2016·阜阳一中模拟)过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A．4条B．6条C．8条D．12条解析：如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N，P，Q分别为相应棱的中点，容易证明平面EFGH，平面MNPQ均与平面BDD1B1平行．平面EFGH和平面MNPQ中分别有6条直线(相应四边形的四条边和两条对角线)满足要求，故共有12条直线符合要求．答案：D，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱C 1C ，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1(填上正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)．解析：当点M 在线段FH 上时，MN ∥平面B 1BDD 1.答案：点M 与点H 重合(或点M 在线段FH 上)3.(2015·高考北京卷)如图，在三棱锥V -ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ；(2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ；(3)求三棱锥V -ABC 的体积．解：(1)证明：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM ∥VB .又因为VB ⊄平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB .所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1，所以S △VAB ＝3，又因为OC ⊥平面VAB ，所以V C -VAB ＝13OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥V -ABC 的体积与三棱锥C -VAB 的体积相等，所以三棱锥V-ABC的体积为3 3.判断或证明线面平行的常用三种方法(1)利用线面平行的定义(常用反证法)．(2)利用线面平行的判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面与已知平面相交找它们的交线．(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．考点二面面平行的判定与性质|如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．(1)求证：平面BDGH∥平面AEF；(2)求多面体ABCDEF的体积．[解](1)证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF 的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.设AC与BD的交点为O，连接OH，如图，在△ACF中，因为O，H分别是AC，CF的中点，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.(2)因为AC⊥平面BDEF，又易知AO＝2，S矩形BDEF＝3×22＝62，所以四棱锥A-BDEF的体积V1＝13·AO·S矩形BDEF＝4.同理可得四棱锥C-BDEF的体积V2＝4.所以多面体ABCDEF的体积V＝V1＋V2＝8.证明面面平行的五种常用方法(1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．1．如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF ∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC，因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.考点三线面平行中的探索性问题|(2015·枣庄模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[解]法一：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1，下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1，∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.法二：假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1如图，取BB1的中点F，连接DF、EF，则DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.线面平行的探索性问题(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．2．四棱锥P -ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝63a，试在AB上找一点F，使EF∥平面P AD.解：在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，在AB上取点F ，使AF ＝EG ， ∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ，∴四边形FEGA 为平行四边形，∴FE ∥AG . 又AG ⊂平面P AD ，FE ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .∴F 即为所求的点．又P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ，∴BC ⊥面P AB .∴PB ⊥BC .∴PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋P A 2.设P A ＝x 则PC ＝2a 2＋x 2，由PB ·BC ＝BE ·PC 得：a 2＋x 2·a ＝2a 2＋x 2·63a ， ∴x ＝a ，即P A ＝a ，∴PC ＝3a ，PB ＝2a .∴PE 2＝PB 2－BE 2＝2a 2－23a 2∴PE ＝233a ，∴PE PC ＝233a 3a ＝23， 即EG ＝23a ，∴AF ＝23a ，故在AB 上取AF ＝23AB ，连接EF 即可使EF ∥平面P AD .【典例】 如图，ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.[思维点拨](1)利用判定定理及中位线性质证明．(2)抓住线线、线面、面面平行的转化关系证明．[证明](1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.[方法点评](1)三种平行间的转化关系(2)对较复杂的综合问题往往需要反复运用线面平行的判定定理和性质定理来进行证明，有如下方法：线线平行→找过直线的平面→线面平行→找出或作出经过直线且与平面相交的平面，从而找出交线→线线平行 [跟踪练习] (2016·咸阳模拟)如图所示，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(1)求四棱锥O -ABCD 的体积；(2)证明：直线MN ∥平面OCD .解：(1)∵OA ⊥底面ABCD ，∴OA 是四棱锥O -ABCD 的高．∵四棱锥O -ABCD的底面是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，∴底面面积S 菱形ABCD ＝22.∵OA ＝2，∴体积V O -ABCD ＝23.(2)证明：取OB 的中点E ，连接ME ，NE .∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD .又∵NE ∥OC ，∵ME ∩EN ＝E ，CD ∩OC ＝C ，∴平面MNE ∥平面OCD .∵MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面OCD .A 组 考点能力演练1．(2016·台州模拟)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α∥βC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β解析：垂直于同一直线的两平面平行，故选C.答案：C2．若a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的为()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若α∥a，β∥a，则α∥βC．若a⊥α，b⊥α，则a∥bD．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ解析：对于A，空间中平行于同一个平面的两直线可能异面、相交或平行，故A错误；对于B，空间中平行于同一条直线的两平面平行或相交，故B错误；对于C，空间中垂直于同一个平面的两条直线平行，故C正确；对于D，空间中垂直于同一个平面的两平面相交或平行，故D错误．答案：C3．已知l，m，n是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若直线m，n与平面α所成的角相等，则m∥n；③存在异面直线m，n，使得m∥α，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：对于①，m也可能在α内，①错误；对于②，直线m，n也可能相交或异面，②错误；对于③，命题成立；对于④，∵l∥γ，l⊂α，α∩γ＝n，∴l ∥n，同理l∥m，∴m∥n，④正确．综上可知③④正确，故选B.答案：B4．设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：对于A，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以A是α∥β的一个必要条件；同理，B也是α∥β的一个必要条件；易知C是一个必要条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以D是α∥β的一个充分条件．答案：D，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条解析：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF 平行．答案：D6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，下列结论中正确的是________(只填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD 1∥DC 1；④AD 1∥平面BDC 1.解析：由四边形ABC 1D 1是平行四边形可知AD 1∥BC 1，故①正确；根据线面平行与面面平行的判定定理可知，②④正确；AD 1与DC 1是异面直线，故③错．答案：①②④7．在三棱锥S -ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．解析：取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12SB ＝452. 答案：452，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是________．解析：取B 1C 1中点M ，则A 1M ∥AE ；取BB 1中点N ，则MN ∥EF ，∴平面A 1MN ∥平面AEF .若A 1P ∥平面AEF ，只需P ∈MN ，则P 位于MN 中点时，A 1P最短；当P 位于M 或N 时，A 1P 最长．不难求得A 1P 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论． 解：取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知可知O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC .所以直线DE ∥平面A 1MC ，即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .10.(2016·成都模拟)如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1＝AB ＝2.(1)求证：AB 1∥平面BC 1D ；(2)设BC ＝3，求四棱锥B -DAA 1C 1的体积．解：(1)证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，如图所示．∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1.∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.(2)∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C.∵平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C.∵AB＝AA1＝2，BC＝3，AB⊥BC，∴在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝4＋9＝13，∴BE＝AB·BCAC＝613，∴四棱锥B-AA1C1D的体积V＝13×12(A1C1＋AD)·AA1·BE＝16×3213×2×613＝3.B组高考题型专练1．(2014·高考安徽卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．解：(1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面ABCD 内，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.2．(2015·高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ；(2)BC 1⊥AB 1.证明：(1)由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC .又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ，所以DE ∥平面AA 1C 1C .(2)因为棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1.又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC . 因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C . 因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.。
2018年高考数学文一轮复习资料 专题40 直线、平面平行
1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题．1．直线与平面平行的判定与性质2.面面平行的判定与性质高频考点一 直线与平面平行的判定与性质例1、如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面P AD.【变式探究】如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．即G是PB的中点，且GH＝12BC＝4.由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2²GK＝4＋82³3＝18.【变式探究】(1)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD ＝60°，E为PD的中点，AB＝1，求证：CE∥平面P AB；(2)如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形．∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角．又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四边形EFGH为矩形．高频考点二平面与平面平行的判定与性质例2、如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.【方法技巧】证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．【变式探究】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.∴平面EFG∥平面BDD1B1.高频考点三平行关系的综合应用例4、如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？【感悟提升】利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．【变式探究】如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝63a，试在AB上找一点F，使EF∥平面P AD.∴PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋P A2. 设P A＝x则PC＝2a2＋x2，由PB²BC＝BE²PC得：a2＋x2²a＝2a2＋x2²63a，∴x＝a，即P A＝a，∴PC＝3a.又CE＝a2－63a2＝33a，∴PE PC ＝23，∴GE CD ＝PE PC ＝23， 即GE ＝23CD ＝23a ，∴AF ＝23a .即AF ＝23AB .故点F 是AB 上靠近B 点的一个三等分点．1.【2016高考山东文数】（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB .（I ）已知AB =BC ，AE =EC .求证：AC ⊥FB ；（II ）已知G ,H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC . 【答案】（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析.因为⊂FB 平面BDEF ，所以FB AC ⊥. （Ⅱ）设FC 的中点为I ，连HI GI ,.在CEF △中，因为G 是CE 的中点，所以EF GI //， 又DB EF //，所以DB GI //.在CFB △中，因为H 是FB 的中点，所以BC HI //， 又I HI GI = ，所以平面//GHI 平面ABC ， 因为⊂GH 平面GHI ，所以//GH 平面ABC . 2.【2016高考天津文数】(本小题满分13分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF||AB ，AB=2，BC=EF=1，DE=3，∠BAD=60º，G 为BC 的中点.(Ⅰ)求证：//FG 平面BED ； (Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ； (Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）65（Ⅱ）证明：在ABD △中，1,2,60AD AB BAD ==∠=°，由余弦定理可得3=BD ，进而得90ADB ∠=°，即AD BD ⊥，又因为平面⊥AED 平面⊂BD ABCD ,平面ABCD ，平面 AED 平面AD ABCD =，所以⊥BD 平面AED .又因为⊂BD 平面BED ，所以，平面⊥BED 平面AED .（Ⅲ）解：因为AB EF //，所以直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所成的角.过点A 作DE AH ⊥于点H ，连接BH ，又平面 BED 平面ED AED =，由（Ⅱ）知⊥AH 平面BED ，所以直线AB 与平面BED 所成的角即为ABH ∠.在ADE △中，6,3,1===AE DE AD ，由余弦定理得32cos =∠ADE ，所以35sin =∠ADE ，因此，35sin =∠⋅=ADE AD AH ，在Rt AHB △中，65sin ==∠AB AH ABH ，所以，直线EF 与平面BED 所成角的正弦值为65. 1.【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m 【答案】A2.【2015高考浙江，文18】（本题满分15分）如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11ABC 90AB AC 2,AA 4,A ∠==== ，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点. （1）证明：11D A BC A ⊥平面；（2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.【答案】(1)略；(2)8因为BC AE ⊥，所以BC ⊥平面1AA DE . 所以11,BC A F A F ⊥⊥平面11BB C C .所以1A BF ∠为直线1A B 与平面11BB C C 所成角的平面角.由2,90AB AC CAB ==∠=，得EA EB =由AE ⊥平面1A BC ，得1114,A A A B A E ==.由1114,90DE BB DA EA DA E ====∠=，得12A F =.所以1sin A BF ∠=1．（2014²安徽卷）如图15，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，且AD ＝2BC .过A 1，C ，D 三点的平面记为α，BB 1与α的交点为Q .图15(1)证明：Q 为BB 1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA 1＝4，CD ＝2，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小．所以BQ BB 1＝BQ AA 1＝BC AD ＝12，即Q 为BB 1的中点．方法二：如图2所示，以D 为原点，DA ，DD 1→分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系．设∠CDA ＝θ，BC ＝a ，则AD ＝2a .因为S四边形ABCD＝a＋2a2²2sin θ＝6，2．（2014²北京卷）如图13，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；(2)若P A⊥底面ABCDE，且P A＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6.设点H 的坐标为(u ，v ，w )．因为点H 在棱PC 上，所以可设PH →＝λPC →(0<λ<1)．即(u ，v ，w －2)＝λ(2，1，－2)，所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ. 因为n 是平面ABF 的一个法向量， 所以n ²AH →＝0，即(0，－1，1)²(2λ，λ，2－2λ)＝0，解得λ＝23，所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，23，23. 所以PH ＝⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫－432＝2.3．（2014²湖北卷）如图14，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ .(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．图14方法二(向量方法)：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．图③BC 1→＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)． (1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1，0，1)， 因为BC 1→＝(－2，0，2)， 所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →²n ＝0，FP →²n ＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)． 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则m ²n ＝(λ－2，2－λ，1)²(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22. 故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 4．（2014²新课标全国卷Ⅱ）如图13，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D AE C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E ACD 的体积．图135．（2014²山东卷）如图13所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．图13(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．17．解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB＝2CD，所以AB∥DC，又M是AB的中点，(2)方法一：连接AC，MC.由(1)知，CD∥AM且CD＝AM，所以四边形AMCD为平行四边形，所以BC＝AD＝MC.由题意∠ABC＝∠DAB＝60°，所以△MBC为正三角形，因此AB＝2BC＝2，CA＝3，因此CA⊥CB.设C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.所以A (3，0，0)，B (0，1，0)，D 1(0，0，3)． 因此M ⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0.设平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ²D 1C 1→＝0，n ²MD 1→＝0，得⎩⎨⎧3x －y ＝0，3x ＋y －2 3z ＝0，可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3， 1)． 又CD 1→＝(0，0，3)为平面ABCD 的一个法向量． 因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1→²n |CD 1→||n |＝55，所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55.1．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是() A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面答案 D解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．2．对于平面α和共面的直线m，n，下列命题中为真命题的是( )A．若m，n与平面α所成的角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n 答案 D3．设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β C ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 答案 B解析 l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A 项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B 项正确；由l ⊥α，l ∥β可知α⊥β，故C 项错；由α⊥β，l ∥α可知l 与β可能平行，也可能l ⊂β，也可能相交，故D 项错．故选B.4．给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m .γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案 C解析 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l 、m ；②中l 与m 也可能异面；③中⎩⎪⎨⎪⎧l ∥γl ⊂αα∩γ＝n⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确．5．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )A．①③B．①④C．②③D．②④答案 B6．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连接AE，BE.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.7．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是________．(填命题的序号)答案①③8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M∈线段FH解析因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M 与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)9.如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.10.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，。
高考数学(文科,大纲)一轮复习配套课件：9.2直线与平面平行、平面与平面平行(A、B)
§9.2直线与平面平行、平面与平面平行（A、B）本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考考点探究讲练互动教材回顾夯实双基基础梳理1.直线与平面的三种位置关系2.直线与平面平行的判定与性质（1）直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定，除用定义外，主要是用判定定理，此外还用到其他特殊位置关系的性质定理.①（定义）如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.②（判定定理）如果鑒生一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.用符号语言表示，即bua, a//b=^a//a .③如果平面外的两条平行直线中有一条和平面平行，那么另一条也和这个平面平行.④如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.⑤一个平面和不在这个平面内的一条直线都垂直于另一个平面，那么这条直线平行于这个平面.⑵直线和平面平行的性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.用符号语言表示为:a//a9 au卩,aC\p=b^a//b3・平面与平面的两种位置关系4.两个平面平行的判定与性质(1)两平面平行的判定①如果两个平面没有公茲區，那么这两个平面互相平行;②如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 即：a//a9 b//a9 a, bup，aQb =A=>a // p.③垂直于同一直线的两平面平行,即/丄a,④平行于同一平面的两个平面互相平行.即°〃八p // y=^a // p.⑵两平面平行的性质①如果两个平面平行，那么，其中一个平面内的直线_平行于另一个平面.即a//ft9 a(za=^a//fl②如果两个平行平面同时和第三个平面丿I变那么它们的交线平行.艮卩a〃“，«Ay=a, 0帥=bn____________ •〃“③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.即a//p, I丄问丄久思考探究1.若直线“平行于平面G内的无数条直线，是否一定有“〃0?提示：不一定，a有可能在平面Q内.2.若平面。
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9.2 直线与平面平行●知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.●点击双基1.设有平面α、β和直线m 、n ，则m ∥α的一个充分条件是 A.α⊥β且m ⊥β B.α∩β=n 且m ∥n C.m ∥n 且n ∥α D.α∥β且m β答案：D2.（2004年北京，3）设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA.①②B.②③C.③④D.①④解析：①②显然正确.③中m 与n 可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交. 答案：A3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定 解析：设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β， 过直线a 作与α、β都相交的平面γ， 记α∩γ=b ，β∩γ=c ， 则a ∥b 且a ∥c ， ∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l .α答案：C 4.（文）设平面α∥平面β，A 、C 与CD 交于点S ，且AS =8，BS =9，CD =34，①当S 在α、βS 不在α、β之间时，SC =_____________.解析：∵AC ∥BD ，∴△SAC ∽△答案：①16 ②272（理）设D 是线段BC 上的点，BC ∥平面α，从平面α外一定点A （A 与BC 分居平面两侧）作AB 、AD 、AC 分别交平面α于E 、F 、G 三点，BC =a ，AD =b ，DF =c ，则EG =_____________.解析：解法类同于上题.答案：bacab - 5.在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.AB C D MN ..解析：连结AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB ，因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .答案：平面ABC 、平面ABD●典例剖析【例1】 如下图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB 且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE .AC DF证法一：过M 作MP ⊥BC ，NQ ⊥PQ .∵MP ∥AB ，NQ ∥AB ，∴MP ∥NQ .又NQ =22 BN =22CM =MP ，∴∴MN ∥PQ ，PQ ⊂平面BCE .而MN ⊄平面BCE ， ∴MN ∥平面BCE .证法二：过M 作MG ∥BC ，交AB 于点G （如下图），连结NG .A CDF ∵MG ∥BC ，BC ⊂平面BCE ， MG ⊄平面BCE ， ∴MG ∥平面BCE . 又GA BG =MA CM =NFBN，∴GN ∥AF ∥BE ，同样可证明GN ∥平面BCE . 又面MG ∩NG =G ，∴平面MNG ∥平面BCE .又MN 平面MNG .∴MN ∥平面BCE . 特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.【例2】 如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E =C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .A DBC 1111EFG证法一：分别过E 、F 作EM ⊥AB .∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC . ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1.∴EM ∥FN .又B 1E =C 1F ，∴EM =FN .故四边形MNFE 是平行四边形.∴EF ∥MN .又MN 在平面ABCD 中， ∴EF ∥平面ABCD .证法二：过E 作EG ∥AB 交BB 1于点G ，连结GF ，则A B E B 11=BB GB 11. ∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ，∴B C F C 11=BB GB 11. ∴FG ∥B 1C 1∥BC .又∵EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ，∴平面EFG ∥平面ABCD .而EF 在平面EFG 中， ∴EF ∥平面ABCD .评述：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行.【例3】 已知正四棱锥P —ABCD 的底面边长及侧棱长均为13，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.CMP（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求直线MN 与平面ABCD 所成的角.（1）证明：∵P —ABCD 是正四棱锥，∴ABCD 是正方形.连结AN 并延长交BC 于点E ，连结PE .∵AD ∥BC ，∴EN ∶AN =BN ∶ND . 又∵BN ∶ND =PM ∶MA ， ∴EN ∶AN =PM ∶MA . ∴MN ∥PE .又∵PE 在平面PBC 内，∴MN ∥平面PBC .（2）解：由（1）知MN ∥PE ，∴MN 与平面ABCD 所成的角就是PE 与平面ABCD 所成的角.设点P 在底面ABCD 上的射影为O ，连结OE ，则∠PEO 为PE 与平面ABCD 所成的角.由正棱锥的性质知PO =22OB PB -=2213. 由（1）知，BE ∶AD =BN ∶ND =5∶8，∴BE =865.在△PEB 中，∠PBE =60°，PB =13，BE =865，根据余弦定理，得PE =891.在Rt △POE 中，PO =2213，PE =891，∴sin ∠PEO =PEPO =724.故MN 与平面ABCD 所成的角为arcsin 724.思考讨论证线面平行，一般是转化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角.本题若直接求MN 与平面ABCD 所成的角，计算困难，而平移转化为PE 与平面ABCD 所成的角则计算容易.可见平移是求线线角、线面角的重要方法.●闯关训练 夯实基础1.两条直线a 、b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是 A.a ∥α B.a 与α相交 C.a 与α不相交 D.a α 答案：C2.a 、b 是两条异面直线，A 是不在a 、b 上的点，则下列结论成立的是 A.过A 有且只有一个平面平行于a 、b B.过A 至少有一个平面平行于a 、b C.过A 有无数个平面平行于a 、b D.过A 且平行a 、b 的平面可能不存在 解析：过点A 可作直线a ′∥a ，b ′∥b ， 则a ′∩b ′=A .∴a ′、b ′可确定一个平面，记为α. 如果a ⊄α，b ⊄α，则a ∥α，b ∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在. 答案：D3.（2004年全国Ⅰ，16）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号） 解析：A 1D 与BC 1在平面ABCD 上的射影互相平行； AB 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相垂直；DD 1与BC 1在平面ABCD 上的射影是一条直线及其外一点.A1答案：①②④4.已知Rt △ABC 的直角顶点C，AC 、BC 分别和平面α成45°和30°角，则AB 到平面α解析：分别过A 、B 向平面α引垂线AA ′、BB ′，垂足分别为A ′、B ′.B '设AA ′=BB ′=x ，则AC 2=（45sin x）2=2x 2，BC 2=（30sin x）2=4x 2.又AC 2+BC 2=AB 2，∴6x 2=（26）2，x =2.答案：25.如下图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE =36a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD . B 解：在面PCD 内作EG ⊥PD 于G ∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD .∴CD ∥EG .又AB ∥CD ，∴EG ∥AB .若有EF ∥平面P AD ，则EF ∥AG ，∴四边形AFEG 为平行四边形，得EG =AF .∵CE =22)36(a a -=33a ，△PBC 为直角三角形，∴BC 2=CE ·CP ⇒CP =3a ，AB AF =CD EG =PCPE=aaa 3333-=32.故得AF ∶FB =2∶1时，EF ∥平面P AD .6.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PD 上的点，且MB AM =NPDN，求证：直线MN ∥平面PBC . A分析：要证直线MN ∥平面PBC ，MN 所在的某个平面∥平面PBC .证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点=NP DN =MBAM= MB MB AB -=MBMBDC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC .证法二：过N 作NQ ∥AD 交P A 于点Q ，连结QM ，∵MB AM =NP DN =QPAQ ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .证法三：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连结RB ，依题意有AB BM =PD PN =DCNR，∴=，=+ + =.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC .培养能力7.已知l 是过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点的平面AB 1D 1与下底面ABCD 所在平面的交线，（1）求证：D 1B 1∥l ；（2）若AB =a ，求l 与D 1间的距离.A C 1（1）证明：A D CG1l ∵D 1B 1∥BD ，∴D 1B 1∥平面ABCD .又平面ABCD ∩平面AD 1B 1=l ， ∴D 1B 1∥l .（2）解：∵D 1D ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 内，由D 作DG ⊥l 于G ，连结D 1G ，则D 1G ⊥l ，D 1G 的长即等于点D 1与l 间的距离.∵l ∥D 1B 1∥BD ，∴∠DAG =45°.∴DG =22a ，D 1G =212D D DG +=2221a a +=26a .探究创新8.如下图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=21AB ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1、B 、M三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N .A C 1（1）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1；（2）求二面角B —A 1N —B 1（3）设截面A 1BMN 2（V 1＜V 2），求V 1∶V 2的值.（1）证明：设A 1B 1的中点为F ，连结EF 、FC1.∵E 为A 1B 的中点，∴EF21B 1B . A P又C 1M21B 1B ，∴EF MC 1.∴四边形EMC 1F 为平行四边形.∴EM ∥FC 1.∵EM ⊄平面A 1B 1C 1D FC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴EM ∥平面A 1B 1C 1D 1.（2）解：作B 1H ⊥A 1N 于H ，连结BH . ∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴BH ⊥A 1N .∴∠BHB 1为二面角B —A 1N —B 1的平面角.∵EM ∥平面A 1B 1C 1D 1，EM ⊂平面A 1BMN ，平面A 1BMN ∩平面A 1B 1C 1D 1=A 1N ， ∴EM ∥A 1N .又∵EM ∥FC 1，∴A 1N ∥FC 1.又∵A 1F ∥NC 1，∴四边形A 1FC 1N 是平行四边形.∴NC 1=A 1F . 设AA 1=a ，则A 1B 1=2a ，D 1N =a . 在Rt △A 1D 1N 中，A 1N =21211N D D A +=5 a ， ∴sin ∠A 1ND 1=N A D A 111=52. 在Rt △A 1B 1H 中，B 1H =A 1B 1sin ∠HA 1B 1=2a ·52=54 a .在Rt △BB 1H 中， tan ∠BHB 1=HB BB 11=aa 54=45. （3）解：延长A 1N 与B 1C 1交于P ，则P ∈平面A 1BMN ，且P ∈平面BB 1C 1C . 又∵平面A 1BMN ∩平面BB 1C 1C =BM ，∴P ∈BM ，即直线A 1N 、B 1C 1、BM 交于一点P . 又∵平面MNC 1∥平面BA 1B 1，∴几何体MNC 1—BA 1B 1为棱台.（没有以上这段证明，不扣分）∵S 11BB A ∆=21·2a ·a =a 2， S 1MNC ∆=21·a ·21a =41a 2，棱台MNC 1—BA 1B 1的高为B 1C 1=2a ， V 1=31·2a ·（a 2+2241a a ⋅+41a 2）=67 a 3，∴V 2=2a ·2a ·a －67a 3=617 a 3.∴21V V =177. ●思悟小结1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为直线在平面外.2.辅助线（面）是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）.●教师下载中心教学点睛1.必须使学生理解并掌握直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理及性质定理；结合本课时题目，使学生掌握解证线面平行的基本方法.2.证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行.拓展题例【例1】 如下图，设a 、b 是异面直线，AB 是a 、b 的公垂线，过AB 的中点O 作平面α与a 、b 分别平行，M 、N 分别是a 、b 上的任意两点，MN 与α交于点P ，求证：P 是MN 的中点.B N ab证明：连结AN ，交平面α于点Q ∵b ∥α，b ⊂平面ABN ，平面∴b ∥OQ .又O 为AB 的中点，∴Q 为AN 的中点. ∵a ∥α，a ⊂平面AMN且平面AMN ∩α=PQ ， ∴a ∥PQ .∴P 为MN 的中点. 评述：本题重点考查直线与平面平行的性质.【例2】 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB =CC 1=a ，BC =b.A A C C 11（1）设E 、F 分别为AB 1、BC 1（2）求证：A 1C 1⊥AB ； （3）求点B 1到平面ABC 1的距离.（1）证明：∵E 、F 分别为AB 1、BC 1∴EF ∥A 1C 1.∵A 1C 1∥AC ，∴EF ∥AC ∴EF ∥平面ABC .（2）证明：∵AB =CC 1，∴AB =BB 1.又三棱柱为直三棱柱，∴四边形ABB 1A 1为正方形.连结A 1B ，则A 1B ⊥AB 1.又∵AB 1⊥BC 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1. ∴AB 1⊥A 1C 1.又A 1C 1⊥AA 1，∴A 1C 1⊥平面A 1ABB 1. ∴A 1C 1⊥AB .（3）解：∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1∥平面ABC 1.∴A 1到平面ABC 1的距离等于B 1到平面ABC 1的距离. 过A 1作A 1G ⊥AC 1于点G ，∵AB ⊥平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1G .从而A 1G ⊥平面ABC 1，故A 1G 即为所求的距离，即A 1G =ba 22ab .评述：本题（3）也可用等体积变换法求解.。