1.3函数综合(1) -教师版

高一数学寒假课程 函数综合（教师版） 9 / 9 高三数学课程

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1. 奇函数

函数()f x 关于原点对称，即()()f x f x -=-。若函数在0x =上有定义，令0x =，有()00f =

2. 偶函数

函数关于y 轴对称，即()()f x f x -=

3. 周期函数

()f x ：()()f x T f x +=，其中，0T ≠，是一个常数，可以有正负

4.函数对称性

①若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-，则函数关于轴x a =对称

①若函数()f x 满足()()f a x f a x +=--，则函数关于点(),0a 对称

①的变形有：()()2f a x f x +=-、()()2f a x f x -=等；①的变形有

()()0f a x f a x ++-=、()()2f a x f x +=--、()()2f a x f x -=-等

函数综合 知识梳理

例题解析

【例1】已知f（x）=，且g（x）=f（x）+有三个零点，则实数a的取值范围为（）

A．（，+∞）B．[1，+∞）C．（0，）D．（0，1]

【解答】解：令g（x）=0得f（x）=﹣，

作出f（x）=ln（1﹣x）与y=﹣的函数图象，

由图象可知f（x）与y=﹣在（﹣∞，0）上只有1个交点，

①g（x）=0在（﹣∞，0）上只有1个零点，

①f（x）=﹣在[0，+∞）上有2个零点，

即得到x 2﹣ax+=0在[0，+∞）上有两解，

解方程x2﹣ax+=0得x1=0，x2=a﹣，

①a﹣＞0，即a．

故选A．

【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．

【巩固练习】1、设函数f（x）=x2﹣2ax+15﹣2a的两个零点分别为x1，x2，且在区间

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（x1，x2）上恰好有两个正整数，则实数a的取值范围（，]．

【解答】解：令f （x ）=0，可得x 2 +15=2a（x+1），即=2a，

由题意可得方程=2a 有2个解x1，x2，

且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，

故函数y=的图象和直线y=2a有两个交点，

且这2个交点的横坐标分别为x1，x2．

再令x+1=t，则y==t+﹣2，

即m（t）=t+的图象和直线y=2a+2有两个交点，

且这2个交点的横坐标分别为t1，t2，

在区间（t1，t2）上恰有两个正整数，而这两个正整数应为4和5．

令t=5，则m（t）=，令t=3，则m（t）=，

①＜2a+2≤，求得＜a≤，

故符合条件的a的范围是：{a|＜a≤}．

故答案为：（，]．

【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，函数的图象，函数零点的定义，属于中档题．

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【例2】已知f（x）=|xe x|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t①R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是（）

A．B．C．D．

【解答】解：令y=xe x，则y'=（1+x）e x，由y'=0，得x=﹣1，

当x①（﹣∞，﹣1）时，y'＜0，函数y单调递减，

当x①（﹣1，+∞）时，y'＞0，函数y单调递增．作出y=xe x图象，

利用图象变换得f（x）=|xe x|图象（如图10），

令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m2﹣tm+1=0

两根分别在时（如图11），

满足g（x）=﹣1的x有4个，由，

解得．故选：B．

【巩固练习】2、已知函数f（x）=x++a，x①[a，+∞），其中a＞0，b①R，记m（a，b）为f（x）的最小值，则当m（a，b）=2时，b的取值范围为（）

A．b＞B．b＜C．b＞D．b＜

【解答】解：函数f（x）=x++a，x①[a，+∞），

导数f′（x）=1﹣，

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当b≤0时，f′（x）＞0，f（x）在x①[a，+∞）递增，可得f（a）取得最小值，

且为2a+，由题意可得2a+=2，a＞0，b≤0方程有解；

当b＞0时，由f′（x）=1﹣=0，可得x=（负的舍去），

当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，+∞）递增，可得f（a）为最小值，

且有2a+=2，a＞0，b＞0，方程有解；

当a＜时，f（x）在[a，）递减，在（，+∞）递增，

可得f（）为最小值，且有a+2=2，即a=2﹣2＞0，解得0＜b＜．

综上可得b 的取值范围是（﹣∞，）．

故选：D ．

【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用导数判断单调性，考查分类讨论思想方法，有解运算能力，属于中档题．

【例3】已知方程ln|x|﹣ax2+=0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．

【解答】解：由ln|x|﹣ax2+=0得ax2=ln|x|+，

①x≠0，

①方程等价为a=，

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设f（x）=，

则函数f（x）是偶函数，

当x＞0时，f（x）=，

则f′（x）===，

由f′（x）＞0得﹣2x（1+lnx）＞0，得1+lnx＜0，即lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数单调递增，

由f′（x）＜0得﹣2x（1+lnx）＜0，得1+lnx＞0，即lnx＞﹣1，得x＞，此时函数单调递减，

即当x＞0时，x=时，函数f（x）取得极大值

f（）==（﹣1+）e2=e2，

作出函数f（x）的图象如图：

要使a=，

有4个不同的交点，

则满足0＜a ＜e2，

故选：A

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，构造函数，研究函数的单调性高三数学课程

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