离散系统的Z域分析法
合集下载
离散系统Z域分析
8.3.1 线性性质
若 则
f1 (n) F1 ( z ), f 2 (n) F2 ( z ) a1 f1 (n) a2 f 2 (n) a1F1 ( z ) a2 F2 ( z )
a1、a2为任意常数
电气与信息工程学部通信工程教研室
《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
t
•
则取样信号
f s (t ) f (t ) T (t ) f (t ) (t nT )
n
3T2TT
0 T 2T 3T
t
n
f (t ) (t nT )
n
f (nT ) (t nT )
电气与信息工程学部通信工程教研室
•
t
z e sT，T=1，则有 令复变量
F ( z)
n
f ( n) z n
电气与信息工程学部通信工程教研室
《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
8.1.1 Z变换的定义
2 、Z变换的由来——从拉式变换推演出Z变换
( f s(t ) f (t )T (t )
2、若f(n)为单边序列（因果序列），则
右移序列
f (n m) (n m) F ( z) z m
若 则
f1 (n) F1 ( z ), f 2 (n) F2 ( z ) a1 f1 (n) a2 f 2 (n) a1F1 ( z ) a2 F2 ( z )
a1、a2为任意常数
电气与信息工程学部通信工程教研室
《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
t
•
则取样信号
f s (t ) f (t ) T (t ) f (t ) (t nT )
n
3T2TT
0 T 2T 3T
t
n
f (t ) (t nT )
n
f (nT ) (t nT )
电气与信息工程学部通信工程教研室
•
t
z e sT，T=1，则有 令复变量
F ( z)
n
f ( n) z n
电气与信息工程学部通信工程教研室
《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
8.1.1 Z变换的定义
2 、Z变换的由来——从拉式变换推演出Z变换
( f s(t ) f (t )T (t )
2、若f(n)为单边序列（因果序列），则
右移序列
f (n m) (n m) F ( z) z m
第六章：离散系统的z域分析
为了简便,序列仍用f(k)表示:
f ( k ) = f ( k T ) = f (t )
t = kT
T为取样周期
二、 Z变换 Z变换的定义:
双边z变换:
F ( z) =
k =−∞
∑
∞
∞
f (k ) z − k
( k = 0, ±1, ±2,.....)
单边z变换:
F ( z ) = ∑ f [k ]z − k
山东科技大学精品课程
信号与系统
Signals&Systems
主讲人：郭银景
第六章 离散系统的z域分析
目录
6.1 z变换 6.2 z变换的性质 6.3 逆z变换 6.4 z域分析
§6.1 z 变换
一.
从拉普拉斯变换到Z变换
f s ( t ) = f ( t )δ T ( t ) = f ( t )
Im[z] Im[z] Im[z]
0
Re[z]
0
Re[z]
0
Re[z]
因果序列的收敛域 反因果序列的收敛域 双边序列的收敛域
§6.2
一、线性
z变换的性质
f1 ( k ) ↔ F1 ( z ), a1 < z < β1 ⎫ ⎪ ⎬ f 2 ( k ) ↔ F2 ( z ), a2 < z < β 2 ⎪ ⎭
f ( k ) = f ( k T ) = f (t )
t = kT
T为取样周期
二、 Z变换 Z变换的定义:
双边z变换:
F ( z) =
k =−∞
∑
∞
∞
f (k ) z − k
( k = 0, ±1, ±2,.....)
单边z变换:
F ( z ) = ∑ f [k ]z − k
山东科技大学精品课程
信号与系统
Signals&Systems
主讲人：郭银景
第六章 离散系统的z域分析
目录
6.1 z变换 6.2 z变换的性质 6.3 逆z变换 6.4 z域分析
§6.1 z 变换
一.
从拉普拉斯变换到Z变换
f s ( t ) = f ( t )δ T ( t ) = f ( t )
Im[z] Im[z] Im[z]
0
Re[z]
0
Re[z]
0
Re[z]
因果序列的收敛域 反因果序列的收敛域 双边序列的收敛域
§6.2
一、线性
z变换的性质
f1 ( k ) ↔ F1 ( z ), a1 < z < β1 ⎫ ⎪ ⎬ f 2 ( k ) ↔ F2 ( z ), a2 < z < β 2 ⎪ ⎭
第六章 离散系统的z域分析
f (k ± m) ← z ± m F ( z ) ROC = R f →
序列移位会使z变换在z=0或z=∞处的零极点 情况发生变化 如：
δ (k ) ← 1 →
0≤ z ≤∞ 0≤ z <∞
0< z ≤∞
δ ( k + m) ← z m →
δ ( k − m) ← z − m →
f (k )
−m k =0
m −1
f(k)是因果序列，单边 变换的移位 是因果序列， 是因果序列
右移：f ( k − m) ← z − m F ( z ) →
m −1 k =0
z
左移：f (k + m) ← z m [ F ( z ) − ∑ f (k ) z − k ] →
例：F(z)=1/(z−a) |z| > a 求f (k)。
↔ 1 z z z sin ω 0 ( − )= 2 jω 0 − jω 0 2 j z −e z − 2 z cos ω 0 + 1 z −e
| z | >1
z变换小结
z 变换收敛域的特点：
1）收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点， 有时可向外扩展到∞，只有f(k)=δ(k)的收敛域是整 个 z 平面。 2）在收敛域内没有极点，F(z)在收敛域内每一点上 都是解析函数。
|z|>|a|
5、k 域反转
序列移位会使z变换在z=0或z=∞处的零极点 情况发生变化 如：
δ (k ) ← 1 →
0≤ z ≤∞ 0≤ z <∞
0< z ≤∞
δ ( k + m) ← z m →
δ ( k − m) ← z − m →
f (k )
−m k =0
m −1
f(k)是因果序列，单边 变换的移位 是因果序列， 是因果序列
右移：f ( k − m) ← z − m F ( z ) →
m −1 k =0
z
左移：f (k + m) ← z m [ F ( z ) − ∑ f (k ) z − k ] →
例：F(z)=1/(z−a) |z| > a 求f (k)。
↔ 1 z z z sin ω 0 ( − )= 2 jω 0 − jω 0 2 j z −e z − 2 z cos ω 0 + 1 z −e
| z | >1
z变换小结
z 变换收敛域的特点：
1）收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点， 有时可向外扩展到∞，只有f(k)=δ(k)的收敛域是整 个 z 平面。 2）在收敛域内没有极点，F(z)在收敛域内每一点上 都是解析函数。
|z|>|a|
5、k 域反转
信号与系统-离散系统的z域分析
信号与系统
第六章
SIGNALS ＆ SYSTEMS
6.2 常用序列的Z变换
1. 单位冲激序列
k
k 0
k Z k k z 1
即
k 1
其收敛域为整个Z平面
信号与系统
第六章
SIGNALS ＆ SYSTEMS
2. 单位阶跃序列 k
信号与系统
第六章
SIGNALS ＆ SYSTEMS
3 求几类序列的收敛域
a. 有限长序列
非零有限值， k 1 k k 2 f k 其它 0
F z f k zk
k k 1
k2
对所有的z都满足 绝对可和吗？
当 k1 0 ，k2 0 时，收敛域为 0 z
s平面
s平面和Z平面的映射关系非一一对应的单值映射。
s平面
2 T
j
Im[z ]
z平面
0
Re [z ]
S平面每一宽度为 2 的带状部分都 T 对应一个z平面
信号与系统 二、z变换的收敛域 1.Z变换的收敛域
第六章
SIGNALS ＆ SYSTEMS
z变换是z的幂级数，F ( z )
k
先对 F z 展开，然后再乘以z。
z
根据给定的收敛域和各极点的关系确定其对应的是左 边序列还是右边序列。
离散系统的Z域分析
一、实验目的
1、掌握离散序列z 变换的计算方法。
2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。
3、掌握利用MATLAB 进行z 反变换的计算方法。 二、实验原理与计算方法 1、z 变换
离散序列x (n )的z 变换定义为：∑∞
-∞
=-=
n n
z
n x Z X )()(。
在MATLAB 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。其命令格式为： syms n;
f=(1/2)^n+(1/3)^n; ztrans(f)
2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件
一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h (n )来表示其输入与输出
关系，即y (n )= x (n )* h (n )
对该式两边取z 变换，得： Y (z )= X (z )· H (z ) 则： )
()()(z X z Y z H =
将H (z )定义为系统函数，它是单位抽样响应h (n )的z 变换，即
∑∞
-∞
=-=
=n n
z
n h n h Z z H )()]([)(
对于线性移不变系统，若n <0时，h (n )=0，则系统为因果系统；若
∞<∑∞-∞
=n n h |)(|，则系统稳定。由于h (n )为因果序列，所以H (z )的收敛域为收敛圆
外部区域，因此H (z )的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。因为
∑∞
-∞=-=
n n
z
n h z H )()(，若z =1时H (z )收敛，即∞<=
∑∞
-∞
==n z n h z H |)(||)(1，则系统稳
信号与系统分析PPT电子教案-离散系统的z域分析_OK
2
x
k
1 2
k
k
，x
1
0,
y 1 2，求y k 。
解: 方程两边取z变换
Y z 1 z1Y z y 1 X z z1X z x 1 2
带入边界条件
Y z 1 z 1Y z 1 X z 1 z 1 0
26
2
整理为
Y
z
z
z
1
1
1 z
1
1
1
1
2
2z
3z 2
x(1) x(k 1) k0
且x(k 1) z X (z) x(0) x(1) lim zX (z) x(0)
z
31
终值定理
已知X z Z x k x k zk k0
lim x(k) lim(z 1)X (z)
k
z1
注意：当 k , x(k) 收敛，才可用终值定理。
（1）X(z)均为单极点
式中m<n
X(z) 可展开为：
z
X (z) A1 A2 .... AN
z z p1 z p2
z pN
N
X(z)
Ai z
i1 z pi
r k (k) z , | z || r |
z max( e j k , e j k ) 1
18
移序定理
右移位性质
x
k
1 2
k
k
，x
1
0,
y 1 2，求y k 。
解: 方程两边取z变换
Y z 1 z1Y z y 1 X z z1X z x 1 2
带入边界条件
Y z 1 z 1Y z 1 X z 1 z 1 0
26
2
整理为
Y
z
z
z
1
1
1 z
1
1
1
1
2
2z
3z 2
x(1) x(k 1) k0
且x(k 1) z X (z) x(0) x(1) lim zX (z) x(0)
z
31
终值定理
已知X z Z x k x k zk k0
lim x(k) lim(z 1)X (z)
k
z1
注意：当 k , x(k) 收敛，才可用终值定理。
（1）X(z)均为单极点
式中m<n
X(z) 可展开为：
z
X (z) A1 A2 .... AN
z z p1 z p2
z pN
N
X(z)
Ai z
i1 z pi
r k (k) z , | z || r |
z max( e j k , e j k ) 1
18
移序定理
右移位性质
离散系统的z域分析
k
F ( z)
k
f (k ) z
F ( z ) f (k ) z k
k 0
2
二、收敛域
对于任意给定的序列 f(k)，能使
F ( z)
收敛的所有 z 值之集合。即
k
f (k ) z k
满足
F ( z)
k
f (k ) z k 的区域。
k a k 0 f 3 (k ) k k 0 b
k
(a k ) z k
k 0
z b
z z b
z a
z za
z z F3 ( z ) z b z a
a z b
4
例4
3k f 4 (k ) 0
2 k 5 k 2, k 5
7、时域卷积定理：
max{ a,1} z
R x1 Z R x 2
f1 (k ) F1 ( z)
f 2 (k ) F2 ( z)
R y1 Z R y 2
f1 (k ) * f 2 (k ) F1 ( z) F2 ( z)
max( Rx1 , R y1 ) z min( Rx 2 , R y 2 )
Rx1 z Rx 2
z Rx 1 Rx 2 a
F ( z)
k
f (k ) z
F ( z ) f (k ) z k
k 0
2
二、收敛域
对于任意给定的序列 f(k)，能使
F ( z)
收敛的所有 z 值之集合。即
k
f (k ) z k
满足
F ( z)
k
f (k ) z k 的区域。
k a k 0 f 3 (k ) k k 0 b
k
(a k ) z k
k 0
z b
z z b
z a
z za
z z F3 ( z ) z b z a
a z b
4
例4
3k f 4 (k ) 0
2 k 5 k 2, k 5
7、时域卷积定理：
max{ a,1} z
R x1 Z R x 2
f1 (k ) F1 ( z)
f 2 (k ) F2 ( z)
R y1 Z R y 2
f1 (k ) * f 2 (k ) F1 ( z) F2 ( z)
max( Rx1 , R y1 ) z min( Rx 2 , R y 2 )
Rx1 z Rx 2
z Rx 1 Rx 2 a
信号与系统 第六章 离散时间系统的Z域分析
例
z 已知X ( z ) 2 , z 1.5 z 0.5
2
z 1, 求其逆z变换x n
z2 解：X ( z ) （一阶极点） z 1 z 0.5
在z 1和z 0.5处有一阶极点,可求得:
n 1 z Re s 2 z 1 z 0.5 z 1
z
s
1 则 X(z) x(n)= 2 j
Z1
n-1
C
X(z) z
n 1
dz
其中C是包围 X(z)z 所有极点 的逆时针闭合路线
二、求逆Z变换方法
逆Z变换
1)围线积分法：借助复变函数的留数定理
n 1 X(z) x(n)= Res X(z) z Z1 m z zm
第六章 离散系统的Z 域分析
本章的主要内容
z变换定义、典型序列的z变换 z变换的收敛域 逆z变换 z变换的基本性质 z变换与拉氏变换的关系 利用z变换解差分方程 离散系统的系统函数 序列的傅里叶变换
第一节 Z变换定义
一、Z变换定义
序列的Z变换：
设某序列为x(n)
2z z X ( z) z 1 z 0.5
z 1, 即x n 为因果序列
x n = 2-0.5n u n
第六节 z变换的基本性 质
第六章 离散系统的z域分析
第1-10页 10页
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
6.1 z 变 换
四、常用序列的z变换 常用序列的 变换 序 列 z 变 换
δ (k ) ↔ 1
z ε (k ) ↔ z −1 z k a ε (k ) ↔ z−a
收敛域
整个z 整个z平面
z > 1 z > a z > 1 z > 1
b k , k k f (k ) = b ε (−k − 1) + a ε (k ) = k a ,
6.1 z 变 换
k <0 k ≥0
解: 双边序列的 变换为： 双边序列的z变换为 变换为：
F ( z) =
k = −∞
∑
∞
f (k ) z − k
=
k = −∞
∑
−1
b k z −k +
第1-13页 13页
k=0 m−1
青岛科技大学信息科学技术学院
信号与系统 电子教案
6.2
z变换的性质 z变换的性质
f(k+1) ←→ zF(z) - f(0)z f(k+2) ←→ z2F(z) - f(0)z2 - f(1)z
f(k + m ←→zmF(z) − ∑f(k)z m−k )
k=0 m−1
离散系统的Z域分析
系统函数
例1： 6y(k) – 5y(k – 1) +y(k – 2)= f(k) y( –1)= - 6，y(– 2)= – 20，f(k) = 10cos(0.5k)(k)。求y(k)
Y (z)
5y(1) y(2) y(1)z1 6 5z1 z2
6
1 5z1
z 2
F(z)
Y
(z)
10z2 6z2 5z
k
k
f
k k 1 2
2 F1 e j
e jk d
Z 平面
f k 1
2
2 F1
e j
( e j )k d
z = e j
令 z = e j、d = z-1dz/j，有 F (z)
f k zk
k
双边z变换对
f
(k)
1
2
j
F
z
z k 1dz
2、由L－T到Z－T
k 0
y自由 (k)、 y瞬态 (k)
y强迫 (k)、y稳态(k)
例 1 y (k) + 0.5y (k-1) = f (k) + 2 f (k-1) f (k) =2 cos(k/3), k≧0
求，系统零状态响应和稳态响应。
F(z)
2 z2
z2 z cos( / 3) 2z cos( / 3) 1
差分方程离散系统的z域分析法稳定性
14
四、零阶保持器
u( t )
u( t ) u( t )
4T
0 T 2T 3T
t
uh( t )
零阶 uh ( t )
保持器
0
4T
T 2T 3T
t
零阶保持器是一种按恒值规律外推的保持器，它将当前采样时 刻的值，保持到下一个采样时刻，即
nT t ( n 1 )T 时，uh( t ) u( nT )，n 0, 1, 2,
6
一、采样过程
f(t)
T ( t )
f (t )
f (t )
0
t
采样器
δT (t)
1
采样信号可看作是 f ( t经)脉冲
序列 调T (制t )后的结果：
0 T 2T
t
f ( t ) f ( t )T ( t )
f*(t)
为便于数学处理，将T ( t ) 表示为
幅值 的理想单位脉冲序列。
8
二、采样信号的数学表达式
理想单位脉冲序列
T ( t ) ( t - nT )
n0
采样信号为 f （ t） f ( t )T ( t ) f ( nT ) ( t - nT )
n0
采样信号的拉氏变换 F ( s ) L[ f ( t )] f ( nT )e-nTs
四、零阶保持器
u( t )
u( t ) u( t )
4T
0 T 2T 3T
t
uh( t )
零阶 uh ( t )
保持器
0
4T
T 2T 3T
t
零阶保持器是一种按恒值规律外推的保持器，它将当前采样时 刻的值，保持到下一个采样时刻，即
nT t ( n 1 )T 时，uh( t ) u( nT )，n 0, 1, 2,
6
一、采样过程
f(t)
T ( t )
f (t )
f (t )
0
t
采样器
δT (t)
1
采样信号可看作是 f ( t经)脉冲
序列 调T (制t )后的结果：
0 T 2T
t
f ( t ) f ( t )T ( t )
f*(t)
为便于数学处理，将T ( t ) 表示为
幅值 的理想单位脉冲序列。
8
二、采样信号的数学表达式
理想单位脉冲序列
T ( t ) ( t - nT )
n0
采样信号为 f （ t） f ( t )T ( t ) f ( nT ) ( t - nT )
n0
采样信号的拉氏变换 F ( s ) L[ f ( t )] f ( nT )e-nTs
离散信号与系统的 Z 域分析
第 六 章 离散信号与系统的 Z 域分析
引言
与线性连续系统的频域分析和复频域分析类似，线性离散系统的频域分析
是输入信号分解为基本信号e jΩk 之和,则系统的响应为基本信号的响应之和。这
种方法的数学描述是离散时间傅里叶变换和逆变换。 如果把复指数信号e jΩk 扩展
为复指数信号Z k ,Z=re jΩ ,并以Z
k 为基本信号， 把输入信号分解为基本信号Z k 之和， 则响应为基本信号Z k 的响应之和。这种方法的数学描述为Z 变换及其逆变换,这
种方法称为离散信号与系统的Z 域分析法.如果把离散信号看成连续时间信号的 抽样值序列，则Z 变换可由拉普拉斯变换引入.因此离散信号与系统的Z 域分析 和连续时间信号与系统的复频域分析有许多相似之处.通过Z 变换，离散时间信 号的卷积运算变成代算,离散时间系统的差分方程变成Z 域的代数方程,因此可 以比较方便的分析系统的响应。
Z 变换
从拉普拉斯变换到Z 变换
对连续信号f(t)进行理想抽样，即f（t）乘以单位冲击序列δT （t），T 为 抽样间隔，得到抽样信号为
f s （t）=f（t）δT （t）= =
对f
s
（t）取双边拉普拉斯变换，得
F s （s）=￡[f
s
（t）]=
令z=e sT , 则F
s
（s）=F(z) ,得
F（z）=
因为T为常数,所以通常用f(k)表示f(kT),于是变为
F(z)=
称为f(k)的双边Z变换,z为复变量。
z和s的关系为:
z=e sT
s=（1/T）㏑z
由复变函数理论,可以得到
f(k)= ∮
c
F(z)z k-1 dz
式(7.1-5)称为F(z)的双边Z逆变换(后面讨论).
第8章 离散系统的z域分析
换如下图。
时延单元的z 时延单元的z域模拟
二阶系统：
y(n) − 0.9y(n −1) + 0.2y(n − 2) = f (n) − f (n −1)
在零状态下，有
Y(z) − 0.9z−1Y(z) + 0.2z−2Y(z) = F(z) − z−1F(z)
改写为：
Y(z) = 0.9z−1Y(z) − 0.2z−2Y(z) + F(z) − z−1F(z)
得方程
3z (1− 2.5z + z )Y(z) − 2.5y(−1) + z y(−1) + y(−2) = z −1
−1 −2 −1
3z 2.5y(−1) − z y(−1) − y(−2) z −1 Y(z) = + 1− 42 +42 43 24 −1 z−4 4 .5z 4 1− 24 −1 +42 .52 z3 z4 − 1 4 4 4 1 4 Y (z) Y (z) zi zs (零 输入 应 函 ) 响 象 数 (零 态 应 函 ) 状 响 象 数
∞
工程中序列f 工程中序列f(n)从n=0开始，即： =0开始 开始，
F(z) = ∑ f (n)z−n
n=0
∞
—单边z变换 单边z
z变换收敛的充分必要条件： 变换收敛的充分必要条件：
f (n)z−n < ∞ ∑
时延单元的z 时延单元的z域模拟
二阶系统：
y(n) − 0.9y(n −1) + 0.2y(n − 2) = f (n) − f (n −1)
在零状态下，有
Y(z) − 0.9z−1Y(z) + 0.2z−2Y(z) = F(z) − z−1F(z)
改写为：
Y(z) = 0.9z−1Y(z) − 0.2z−2Y(z) + F(z) − z−1F(z)
得方程
3z (1− 2.5z + z )Y(z) − 2.5y(−1) + z y(−1) + y(−2) = z −1
−1 −2 −1
3z 2.5y(−1) − z y(−1) − y(−2) z −1 Y(z) = + 1− 42 +42 43 24 −1 z−4 4 .5z 4 1− 24 −1 +42 .52 z3 z4 − 1 4 4 4 1 4 Y (z) Y (z) zi zs (零 输入 应 函 ) 响 象 数 (零 态 应 函 ) 状 响 象 数
∞
工程中序列f 工程中序列f(n)从n=0开始，即： =0开始 开始，
F(z) = ∑ f (n)z−n
n=0
∞
—单边z变换 单边z
z变换收敛的充分必要条件： 变换收敛的充分必要条件：
f (n)z−n < ∞ ∑
北京理工大学信号与系统实验报告6离散时间系统的z域分析
北京理工大学信号与系统实验报告6-离散时间系统的z域分析
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
实验6 离散时间系统的z 域分析
（综合型实验）
一、 实验目的
1） 掌握z 变换及其反变换的定义,并掌握ＭAT ＬＡＢ实现方法。 2） 学习和掌握离散时间系统系统函数的定义及z 域分析方法。
3） 掌握系统零极点的定义,加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、 实验原理与方法 1. z 变换
序列(n)x 的z 变换定义为(z)(n)z
n
n X x +∞
-=-∞
=
∑ (1）
Z 反变换定义为11(n)(z)z 2n r
x X dz j
π-=
⎰
(2）
MA ＴＬA Ｂ中可采用符号数学工具箱z ｔrans 函数和ｉz ｔｒans 函数计算z 变换和z 反变换： Z=ztran ｓ（Ｆ）求符号表达式Ｆ的z 变换。 Ｆ=iztra ｎｓ（Z)求符号表达式Z 的ｚ 反变换 2. 离散时间系统的系统函数
离散时间系统的系统函数H(z)定义为单位抽样响应ｈ(n)的z 变换
(z)(n)z
n
n H h +∞
-=-∞
=
∑ (３）
此外连续时间系统的系统函数还可由系统输入与输出信号z 变换之比得到
(z)(z)/X(z)H Y = (4)
由(4）式描述的离散时间系统的系统时间函数可以表示为
101101...(z)...M
M N
N b b z b z H a a z a z
----+++=+++ (5） 3. 离散时间系统的零极点分析
第五章 离散信号与系统的z域分析
k 0 1 a, b 为正实数，求其收敛域。 k 0 f (k ) z f (k ) z k k
k k 0
k
解： F ( z )
k
f (k ) z k
f (k ) z m 1
k
k
1
bk z k a k z k
第五章 离散信号与系统的z域分析
z变换 z变换的性质 z反变换及单边z变换与拉普拉斯变换的关系 离散系统的z变换分析法
离散系统函数H(z)与系统特性
离散系统的z域模拟框图和信号流图
5.1 z变换
一、 从拉氏变换到z变换 t ) T (t ) f s (t ) f (
f s (t ) f (t ) T (t )
a k 例 ： f (k ) 0
解：
k 0 k 0
a 为正实数，求其收敛域。
1 k 欲使 lim k ak lim k (aZ ) 1 k k
须满足： az
1
1
即
z a
0 0
Im Z
则收敛域为： z a
a
Re Z
a k 例 ： f (k ) k b
z zz ( a ) ak z 1 zaa z
k k
Im Z
离散系统的Z域分析
（1）求系统函数H(z)； （2）求系统的单位样值响应h(n)；
y(n)
f(n) + Σ
D
D
-
-2
1
离散时间信号与系统的Z域分析
解：（1）由框图得
y(n) f (n) 2y(n 1) y(n 2)
即 y(n) 2y(n 1) y(n 2) f (n)
故
H (z)
1
2
z
1
1
z
2
z2
z2 2z 1
（2）由于
H (z) z2 z[ z ] z[ 1 1 ]
z2 2z 1 (z 1)2
(z 1)2 z 1
故 h(n) (n 1)(1)nU (n)
离散时间信号与系统的Z域分析
例3 如图所示离散系统，当输入f (n) (2)nU (n)
求其零状态响应 y f (n)
1
f(n)+ +
离散时间信号与系统的Z域分析
信号与系统分析
y1(n) D
2
+
6 _
y(n)
解： 由框图得
y1(n) f (n) 2 y1(n 1)
y(n) y1(n) 6 y1(n 1)
离散时间信号与系统的Z域分析
在零状态下，取Z变换得
Y1(z) F (z) 2z1Y1(z)
Yf (z) Y1(z) 6z1Y1(z)
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6 页
2.描 LTI系 述 统的 分 程 : 差 方 为 y(k + 2) + 3y(k + 1 + 2y(k) = f (k + 1 + 3 f (k) ) ) 励为 (k) = ε (k) f 激 始状 1 yzi (1 = 1 yzi (2) = 3 态) ) , 初 2) y(1 = 1 y(2) = 3 ) , 求: 系 的 统 全响 , 系 应 统函 ,画 框 . 数 出 图
4、系统函数
N(z) H(z) = D(z) Yzs (z) = H(z) ⋅ X(z)
系统函数描述系统本身属性,与激励和初始状态无关 系统函数描述系统本身属性 与激励和初始状态无关. 与激励和初始状态无关 求解思路: 求解思路 差分方程 代数方程
Z反变换 反变换
h(k) ↔ H(z)
求解Y(z) 求解
X
第
二.系统框图的z域分析法
基本思路: 基本思路 时域框图 z域框图 域框图 z域代数方程 域代数方程 Yzs(z)
7 页
yzs(k)
x(k) ⇒ X (z) yzs (k) ⇒ Yzs (z) 延迟单元 x(k)
x(k)ε (k) ↔ X(z) x(k −1)ε (k) ↔ z−1X(z) + x(−1)
y(k)
X
Байду номын сангаас
第 5 页
优点: 优点:
•差分方程经 变换→代数方程； 差分方程经z变换 代数方程； 差分方程经 变换→ •将时域卷积→z域乘积； 将时域卷积→ 域乘积； 将时域卷积 域乘积 •部分分式展开后求解z逆变换较容易； 部分分式展开后求解z 部分分式展开后求解 逆变换较容易； •z变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0 变换过程自动引入了系统初始状态 的条件） 可同时求出零输入和零状态响应。 的条件）,可同时求出零输入和零状态响应。 ， 注意：z域求解系统只需 －状态[y(-1)，y(-2), …,] 注意： 域求解系统只需0 状态 域求解系统只需 时域求解系统要递推出0 状态确定待定系数。 时域求解系统要递推出 ＋状态确定待定系数。
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法: y(k) =y zi (k) + yzs (k) yzs (k) = h(k) ∗ x(k) 时域方法: 时域方法 •z变换方法: 变换方法: 变换方法 Yzs (z) = H(z) ⋅ X(z)
(1+ a1Z + aN Z )Y(z) +Y1(z) = (b0 + b1Z +L+bmZ )X(z) D(z)Y(z) = N(z)X(z) −Y (z) X 1
设x(k)为因果序列，则
第
2、z域全响应
只与激励 有关
只与初始 状态有关
4 页
N(z) Y1(z) Y(z) = X (z) − =Yzs (z) +Yzi (z) D(z) D(z) 3、z逆变换 y(k) = yzs (k) + yzi (k)
X
第
例题
1.作 5 10题 描 LTI系 的 分 程 : 业－ ： 述 统 差 方 为 y(k) −3y(k −1) + 2y(k − 2) = x(k −1) − 2x(k − 2) 初 状 y(−2) =1 y(−1) =1: 激 为 (k) = ε (k)求: 始 态 , 励 f 1)系 的 zi (k), yzs (k), y(k),2)系 函 ， 画 系 框 统 y 统 数3 ） 出 统 图 4 如 始 件 y(0) =1 y(1) = 0如 求 ？ ） 初 条 为 , 何 解
X
第
求解过程:
1、将差分方程变换到z域
3 页
y(k) + a1 y(k −1) + L+ aN y(k − N) = b0 x(k) + b1x(k −1) + L+ bmx(k − m) y(−1), y(−2), Ly(−N) : 初值 y(k −1)ε (k) ↔ z −1Y(z) + y(−1) y(k − 2)ε (k) ↔ z−2Y( z) + z−1 y(−1) + y(− 2) −1 −N −k y(k − N)ε (k) ↔ z Y(z) + ∑ y(k)z k=−N
X(z)
D z-1
X(k-1)
z-1X(z)
X
注意:z域框图只能求系统零状态响应 注意 域框图只能求系统零状态响应
第
例题
1.求如图系统的单位响应 求如图系统的单位响应h(k)和单位阶跃响应 和单位阶跃响应g(k) 求如图系统的单位响应 和单位阶跃响应
8 页
2. 知 阶 散 统 初 条 为 zi (0) = 2, yzi (1) =1 已 二 离 系 的 始 件 y , 当 入 (k) = ε (k)时 输 f , 1 5 k k 输 全 应 (k) =[ + 4⋅ 2 − ⋅ 3 ]ε (k), 出 响 y 2 2 求 差 方 .， 画 系 框 。 此 分 程 并 出 统 图
Y(z) + a1[Z −1Y(z) + y(−1)]+L+ aN [Z −NY(z) + Z −( N−1)Y(−1) +L+ y(−N)] = b0 X(z) + b1[Z −1 X( z) + x(−1)]+L+ bm[Z−m X(z) + Z−(m−1) x(−1) +L+ x(−m)]
−1 −N −1 −m
X
第
例题
3.一 LTI离 系 具 非 初 状 ,当 入 1(k) = δ (k)时 个 散 统 有 零 始 态 输 f , 1k 系 全 应 : y1(k) = 2( ) ε (k) 统 响 为 4 1k 在 同 始 件 ,当 入 2 (k) = ( ) ε (k)时 相 初 条 下 输 f , 2 1k 1k 系 全 应 : y2 (k) =[( ) + ( ) ]ε (k) 统 响 为 4 2 求 统 h(k), H(z), 系 差 方 ， 画 系 框 系 的 统 分 程 并 出 统 图
9 页
X
第 1 页
第四节 离散系统的z域分析法
差分方程的z变换求解法 差分方程的 变换求解法 系统框图的z变换求解法 系统框图的 变换求解法
X
第
一．应用z变换求解差分方程 应用 变换求解差分方程
2 页
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。 描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分 方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。