离散系统的Z域分析法
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第七章离散时间信号与系统的Z域分析总结
当 z > a 时，这是无穷递缩等比级数。
1 z X ( z) = 此时， = 1 − az −1 z − a
z > a 收敛域：
0
j Im[ z ]
a
*收敛域一定在模最大的极点 所在的圆外。
Re[ z ]
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
13 /82
3.左边指数序列 x(n) = −b nu (−n − 1)
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
19 /82
M X ( z ) 通常， 可表成有理分式形式： b z −i ∑ i B( z ) = i =0N X ( z) = A( z ) 1 + ∑ ai z −i
z −n < ∞
n1 ≤ n ≤ n2 ;
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
7 /82
因此，当时，只要，则 n= z − n 1/ z n , ≥0 同样，当时，只要，则 n <= 0 z z ,
n −n
z≠0 z≠∞ z
z −n < ∞
−n
<∞
所以收敛域至少包含，也就是除 0< z <∞ “有限平面” z= (0, ∞) z 。 ∞外的开域，即所谓
9 /82
(3)左边序列
x(n), n ≤ n2 x ( n) = n > n2 0,
X ( z)
n = −∞
= x ( n) z ∑ ∑ x ( n) z
−n n = −∞
n2
1 z X ( z) = 此时， = 1 − az −1 z − a
z > a 收敛域：
0
j Im[ z ]
a
*收敛域一定在模最大的极点 所在的圆外。
Re[ z ]
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
13 /82
3.左边指数序列 x(n) = −b nu (−n − 1)
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
19 /82
M X ( z ) 通常， 可表成有理分式形式： b z −i ∑ i B( z ) = i =0N X ( z) = A( z ) 1 + ∑ ai z −i
z −n < ∞
n1 ≤ n ≤ n2 ;
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
7 /82
因此，当时，只要，则 n= z − n 1/ z n , ≥0 同样，当时，只要，则 n <= 0 z z ,
n −n
z≠0 z≠∞ z
z −n < ∞
−n
<∞
所以收敛域至少包含，也就是除 0< z <∞ “有限平面” z= (0, ∞) z 。 ∞外的开域，即所谓
9 /82
(3)左边序列
x(n), n ≤ n2 x ( n) = n > n2 0,
X ( z)
n = −∞
= x ( n) z ∑ ∑ x ( n) z
−n n = −∞
n2
第八章-Z变换与离散系统z域分析
第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。
2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。
♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。
数字信号处理实验离散系统的Z域分析
数字信号处理实验报告实验名称：离散系统的Z 域分析学号：姓名： 评语： 成绩： 一、实验目的1、掌握离散序列z 变换的计算方法。
2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。
3、掌握利用MATLAB 进行z 反变换的计算方法。
二、实验原理与计算方法1、z 变换离散序列x (n )的z 变换定义为：。
∑∞-∞=-=n n z n x Z X )()(在MATLAB 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。
其命令格式为：syms n; f=(1/2)^n+(1/3)^n;ztrans(f)2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h (n )来表示其输入与输出关系，即y (n )= x (n )* h (n )对该式两边取z 变换，得： Y (z )= X (z )· H (z )则： )()()(z X z Y z H =将H (z )定义为系统函数，它是单位抽样响应h (n )的z 变换，即∑∞-∞=-==n n z n h n h Z z H )()]([)(对于线性移不变系统，若n <0时，h (n )=0，则系统为因果系统；若，则系统稳∞<∑∞-∞=n n h |)(|定。
由于h (n )为因果序列，所以H (z )的收敛域为收敛圆外部区域，因此H (z )的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。
因为，若z =1时H (z )收敛，即∑∞-∞=-=n n z n h z H )()(，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。
∞<=∑∞-∞==n z n h z H |)(||)(1因此因果稳定系统应满足的条件为：，即系统函数H (z )的所有极点全部落在1,||<∞≤<ααz z 平面的单位圆之内。
3、MATLAB 中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法MATLAB 中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots ()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。
信号与系统第8章 离散时间系统的z域分析
零状态响应为
Yf
(z)
(1 z 1 z 2 ) 2 3z 1 z 2
1 1 z 1
1/ 6 0.5 5 / 6 1 z1 1 z1 1 0.5z1
yf [k] Z 1{Yf (z)}{1/ 6 0.5(1)k (5/ 6)(0.5)k}u[k]
y[k] yx[k] yf [k] {1/ 6 3.5(1)k (4 / 3)(0.5)k}u[k]
离散时间信号与系统的Z域分析
• 离散时间信号的Z域分析 • 离散时间系统的Z域分析 • 离散时间系统函数与系统特
性
离散时间信号的Z域分析
• 理想取样信号的拉普拉斯变换 • 单边Z变换定义 • 单边Z变换的收敛域 • 常用序列的Z变换 • 单边Z变换的性质 • Z反变换
理想取样信号的拉普拉斯变换
fs (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
Re(z)
三、常用序列的Z变换
1) Z{ (k)} 1, z 0
2) 3)
Z{u(k)} 1 1 z
Z{aku(k)}
1 , 1
1 a
z
z
1
1 z
a
4)
Z{e
j0k
u(k
)}
1
e
1
j0
z
1
z z e j0
5)
Z{e-
j0k u (k
)}
1
1 e- j0
z
1
z z e- j0
z e j0 z e j0
解代数方程
二阶系统响应的z域求解
y[k] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 f [k] b1 f [k 1] k 0
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做Z变换，利用
离散系统Z变换分析法02
3.闭环 Z 传递函数的结构图1
闭环 Z 传递函数的结构图2
2.5.4 过渡过程特性
与连续系统用传递函数分析过渡过程类 似，可以用 Z传递函数来分析离散系统的过 渡过程特性。 • 分析离散系统的过渡过程特性的步骤： • • 1）Y（Z）=GC（Z）R（Z）
•
•
2）由Y(Z)求出y(kT)
例题12 例题12
2. 开环 Z 传递函数 • 线件离散系统的开环 Z传递函数 跟连续系统的开环传递函数具有类似 的特性。
串联环节的Z传递函数
例题9
z az , G2 ( z ) = , 设图2 − 10 a）中G1 ( z ) = （ − aT z −1 z −e 试求开环Z传递函数G ( z )。 z az 解：G ( z ) = G1 ( z )G2 ( z ) = z − 1 z − e − aT az 2 = ( z − 1)( z − e − aT )
（1）离散系统稳定的充要条件（时域） 设：系统差分方程
c(k ) + a1c(k − 1) + a2 c(k − 2) + L + an c(k − n) = b0 r (k ) + b1r (k − 1) + L + b0 r (k − m)
系统齐次方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c(k ) + a1c(k − 1) + a2 c(k − 2) + L + an c(k − n) = 0
−1 −1 −Ts
1 1 )( − )] s s+a
= 1(t ) − 1(t − T ) − e − at + e − a ( t −T ) 对y (t )采样，离散化后，得 y (kT ) = 1(kT ) − 1(kT − T ) − e −akT + e − a ( kT −T ) 则 HG ( z ) = Z [ y (kT )] z 1 z 1 1 − e − aT = − − − = − aT − aT z −1 z −1 z − e z−e z − e −aT
6.2.1离散LTI系统z域求解与分析 - 离散LTI系统z域求解与分析(精品文档)
稳定系统：系统对于任意一个有界输入，输出也有界。
LTI离散时间系统稳定的充分必要条件是：
单位样值响应h(n)是绝对可和的 h(n) 。
n
H(z)收敛域包含单位圆
信信号号处处理理与与系系统统
例1：已知系统函数 h(n) anu(n), H (z) z , | z || a |
第六章 离散时间信号与系统的z域分析
§6.1 z变换 §6.2 利用单边z变换求解LTI系统全响应 §6.3 离散时间系统的系统函数分析
信信号号处处理理与与系系统统
§6.2 利用单边z变换解LTI系统全响应
实际在前面学习z变换的性质时，已经给出了利用z变换 求解差分方程的简单实例，这里给出一般规律。
y(n) 1 u(n) 4(2)n u(n) 9 (3)n u(n) 3 u(n) 9 (3)n u(n)
2
2
4
信信号号4处处理理与与系系统统
第六章 离散时间信号与系统的z域分析
§6.1 z变换 §6.2 利用单边z变换求解LTI系统全响应 §6.3 离散时间系统的系统函数分析
k 0
k 0
系统函数
M
Y(z) X(z)
H (z)
k0 N
bkzk ak zk
k0
H (z) h(n)zn 其中 z re j 是一个复数。
n
信信号号处处理理与与系系统统
例1：LTI系统差分方程 y(n) 1 y(n 1) x(n) 1 x(n 1)
by(1) 1 bz1
yzi (n)
Yzs
(
z)
bz
Y 1 zs
第6章 离散时间系统的z域分析
1 | z | 1 2 | z | 2
例 求序列f (k ) cosh (2k ) (k )的z变换。
1 2k 由于 cosh ( k ) (e e 2 k ) 2 2 在单边指数序列a k ( k )的z变换中令a e 2 , 可得 z e (k ) , | z || e 2 | z e2 根据z变换的线性性质可得
f (k )
3
f ( k ) ( k ) 3
2
2
1
1 o 1 2
f ( k 1) 3 2
k
1 o 1 2
f ( k 1) ( k ) 3 2
1
k
1
1 o 1 2
f ( k 1)
k
1 o 1 2
f ( k 1) ( k )
3
k
3
2 1
1 o 1 2
k
1 o 1 2
k
(1)双边Z变换的移位 若 f (k ) F ( z )
k 0
该式称为单边Z变换。
将f ( k )的Z变换简记为Z [ f ( k )] ，象函数F ( z )的逆z变换 简记为Z
1
[ F ( z )] f ( k )与F ( z )两者间的关系简记为 ，
f (k ) F ( z )
在拉普拉斯变换分析中重点讨论了单边拉普拉斯 变换，这是由于在连续时间系统中，非因果信号 的应用较少。 对于离散系统，非因果信号也有一定的应用范围， 因此对单、双边z变换都进行讨论。
a
b
O
Re(z )
6.1.3 常见序列的Z变换
(k )
1
O
k
(k ) 1
第八章_离散时间系统的z域分析4_北京交通真题库_大学915916通信系统及原
z0
七阶极点
j Im[z]
z
1 3
一阶极点
Re[z]
z 0
27
§8.4 逆z变换
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn n
x(n) ZT 1[ X (z)] 1 X (z)zn1dz
2 j C
C是包围X(z)zn-1所有极点的逆时针闭合积分路线，一
般取z平面收敛域内以原点为中心的圆。
n0
n
an zn 1 bn zn
n0
n0
z a, z b
X (z) z 1 b za zb zz
za zb
25
jIm(z)
a
0
Re(z)
jIm(z)
a
0 b
Re(z)
图8.1序列单边Z变换的收敛域
图8.2序列双边Z变换的收敛域
当 z a时，X (z) z 当a z b时，X (z) z z
d s j
j
)
!
d
zs
j
(z
zi )s
X (z)
z
zzi
32
或X (z)
A0
M m1
1
Am zm
z
1
s j 1
Cj (1 zi z1) j
A0
M m1
Am z z zm
C1z z zi
C2 z2 (z zi )2
Cs (z
zs zi )s
Cs
1 zi z1
s
X
(
z
)
z
6
§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换
➢ 借助于抽样信号的拉氏变换引出。 ➢ 连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信号xs(t)
离散系统的Z域分析
z
k
cos(
0
k
)
k
z
z2 z2 z cos 2z2 2z cos 0
0
1
2
..........
k
sin 0k
k
z
2z2
z 2
sin 0 z cos 0
1 2
.........
k k
k
z (z )2k kk Nhomakorabea1
五、ZT & DTFT
求和收敛
设f(k)
为因果序列、则
F (e j ) f k e jk
Z eS Ts e e Ts jTs e j
k
F (z) f (k)zk k 0
e Ts
Ts
2 s
S 域中的一点→ → Z 域中的一点；Z 域中的一点→ → S 域中的无穷个点。
S 1 Ln z 1 Ln(e j ) 1 Ln j
Ts
Ts
Ts
Ts
三、收敛域: F (z) f k zk
ak (k) bk (k 1) z z ∣a∣< |z|< |b|
za zb
jIm[z]
|b|
|a|
o
Re[z]
四、常用 z 变换
(k+1) ←→z; (k-1) ←→z-1;……
(k) ←→1 (k) ←→z/(z-1) ←→ - (- k-1)
零、极 点分布
k k z k k 1
F(z)
K1 e j z
z e j
K1 e j z
z e j
若z> , f(k)=2K1kcos(k+)(k)，… …
(3) F(z)有重极点 推导记忆：
k
cos(
0
k
)
k
z
z2 z2 z cos 2z2 2z cos 0
0
1
2
..........
k
sin 0k
k
z
2z2
z 2
sin 0 z cos 0
1 2
.........
k k
k
z (z )2k kk Nhomakorabea1
五、ZT & DTFT
求和收敛
设f(k)
为因果序列、则
F (e j ) f k e jk
Z eS Ts e e Ts jTs e j
k
F (z) f (k)zk k 0
e Ts
Ts
2 s
S 域中的一点→ → Z 域中的一点；Z 域中的一点→ → S 域中的无穷个点。
S 1 Ln z 1 Ln(e j ) 1 Ln j
Ts
Ts
Ts
Ts
三、收敛域: F (z) f k zk
ak (k) bk (k 1) z z ∣a∣< |z|< |b|
za zb
jIm[z]
|b|
|a|
o
Re[z]
四、常用 z 变换
(k+1) ←→z; (k-1) ←→z-1;……
(k) ←→1 (k) ←→z/(z-1) ←→ - (- k-1)
零、极 点分布
k k z k k 1
F(z)
K1 e j z
z e j
K1 e j z
z e j
若z> , f(k)=2K1kcos(k+)(k)，… …
(3) F(z)有重极点 推导记忆：
第6章离散时间信号与系统的z域分析
2 双边ZT的移位特性p173
若 f [n] F(z), z : (a，b ) 则 f [n m] zmF(z), z : (a，b )
(m为整数)
5.时域反转特性p176
若 f [n] F (z), z : (a，b )
则：f [n] F (1), z : ( 1 ，1)
z
ab
3 序列指数加权（Z域尺度变换）特性 p174
证明： f1[n] f2[n] f1[n] f2[n]zn n
f1[k] f2[n k ]zn
n k
交换求和次序
f1[k ]
f
2[n
k
]z
k
k
n
当 z : (a2，b 2 ) f1[k]F2 (z)zk k
f1[k
]z
k
F2
(
z
)
k
当 z : (a1，b 1)F1(z)F2 (z)
z : (0.)
6.1.3 双边z变换的性质 p172
1 线性特性p172
若 f1[n] F1(z), z : (a1，b 1)
f2[n] F2 (z), z : (a2，b 2 )
则 c1 f1[n] c2 f2[n] c1F1(z) c2F2 (z), z : 公共部分
其中c，c 为常数 12
Z 1 F (z) 1 F (z)zn1dz f [n], z : (a， )
2j c
6.3.2 单边ZT的性质 p181
除具双边ZT的全部性质外，还具有如下性质： 1、序列乘线性加权（Z域微分）特性p181
若：f [n] F (z), z : (a， )
则：nf [n] zF / (z), z : (a， )
差分方程离散系统的z域分析法稳定性
A/D：模拟信号→数字信号，图中还包括 连续信号→离散信号的采样过程
D/A：数字信号→模拟信号，图中还包括 离散信号→连续信号的保持过程 计算机
r
e
数字
控制器
u(t) 执行
D/A
机构
受控 y(t)对象A/D Nhomakorabea测量
计算机控制系统原理图
4
计算机控制系统的主要特点
修改控制器结构及参数很方便（改变控制程序）； 便于实现各种先进控制，能完成复杂的控制任务； 控制精度高，抗干扰能力强，能有效抑制噪声； 有显示、报警等多种功能。 有利于实现“智能化”、“网络化”、“管控一体 化”、多级分布式控制等；
表示为为便于数学处理将2t2t实际上被保持器抵消了该系数在有保持器的系统中率特性系统的传递函不影响离散信号的频系数相差一个变换的角度看两者只脉冲为时刻的单位幅值时刻的单位幅值脉冲表示ntsst二采样信号的数学表达式变换即得到z变换是离散信号拉氏变换的有理式表达形式个采样时刻的取值的系数为信号在第n10仿真实验
z-n的系数为信号在第n个采样时刻的取值
Z变换只表达了连续函数在采样时刻的特性，不包含采样 时刻之间的信息。
对f(t) 采样后的 f (t) 是唯一的，但 f (t) 所对应的 f(t) 不 唯一； f (t) 与 F(z) 之间的变换是唯一的。
19
S平面与Z平面的对应关系：
根据Z变换定义，有 z eTs
而 uh( t ) 1( t ) - 1( t - T )
U( s ) ,
Uh(
s
)
1
- e-Ts s
零阶保持器实际的传递函数为
Gh (
s
)
信号与系统chapter 7离散时间信号与系统的Z域分析
由此可见，位移特性Z域表达式中包含了系统的起始条 件，把时域差分方程转换为Z域代数方程，因此，可以方便 求出Z域的零输入响应和两状态响应。
式（7.3）又称为左移序性质，与拉普拉斯变换的时域 微分特性相当。式（7.4）又称右移序性质，与拉普拉斯变 换的时域积分特性相当。
进一步，对于因果序列 x ( n ) , x ( 1 ) 0 ,x ( 2 ) 0 , ,则
Z [nx(n)u(n)]zdd zn∞ 0znx(n)zdd zX(z)
求下列序列的Z变换。
(1) n 2 u ( n )
n(n 1)
(2)
u(n)
解：(1 )Z[n2 u(n)] zd d z 2zz 1 zd d z2 zd d z zz 1
dz
z2 z
z [
]
, z 1
zlnz1 1ln1 zzlnzz1,z1
（2）因为
Z1
u(n 1) , z 1 z 1
根据Z域积分特性，可得
∞1
X(z)
x 1dx∞
1
z dxln ,z1
2
z x1
z x(x1 )
z1
§ 6. 卷积和定理
若 x1(n)u(n) ZX 1(z),z Rx;x2(n)u(n) ZX2(z),z Rx，则 ：
第七章 离散时间信号与系统的Z域分析
7.1引言 7.2 Z 变换 7.3 Z 变换的性质 7.4 反变换 7.5离散时间系统的 Z 域分析 7.6离散时间系统的系统函数与系统特性 7.7离散时间系统的模拟
7.1 引 言
按照与连续时间信号与系统相同的分析方法，本章将
讨论离散时间信号与系统的 z 域分析。
§ 4. Z域微分特性
离散信号与系统的 Z 域分析
第 六 章 离散信号与系统的 Z 域分析引言与线性连续系统的频域分析和复频域分析类似，线性离散系统的频域分析是输入信号分解为基本信号e jΩk 之和,则系统的响应为基本信号的响应之和。
这种方法的数学描述是离散时间傅里叶变换和逆变换。
如果把复指数信号e jΩk 扩展为复指数信号Z k ,Z=re jΩ ,并以Zk 为基本信号， 把输入信号分解为基本信号Z k 之和， 则响应为基本信号Z k 的响应之和。
这种方法的数学描述为Z 变换及其逆变换,这种方法称为离散信号与系统的Z 域分析法.如果把离散信号看成连续时间信号的 抽样值序列，则Z 变换可由拉普拉斯变换引入.因此离散信号与系统的Z 域分析 和连续时间信号与系统的复频域分析有许多相似之处.通过Z 变换，离散时间信 号的卷积运算变成代算,离散时间系统的差分方程变成Z 域的代数方程,因此可 以比较方便的分析系统的响应。
Z 变换从拉普拉斯变换到Z 变换对连续信号f(t)进行理想抽样，即f（t）乘以单位冲击序列δT （t），T 为 抽样间隔，得到抽样信号为f s （t）=f（t）δT （t）= =对fs（t）取双边拉普拉斯变换，得F s （s）=￡[fs（t）]=令z=e sT , 则Fs（s）=F(z) ,得F（z）=因为T为常数,所以通常用f(k)表示f(kT),于是变为F(z)=称为f(k)的双边Z变换,z为复变量。
z和s的关系为:z=e sTs=（1/T）㏑z由复变函数理论,可以得到f(k)= ∮cF(z)z k-1 dz式(7.1-5)称为F(z)的双边Z逆变换(后面讨论).双边Z变换的定义和收敛域§双边 Z 变换的定义对于离散序列f(k)(k=0,±1,±2,┄),函数(z的幂级数)F(z)=称为f(k)的双边Z变换,记为F(z)=Z[f(k)].F(z)又称为f(k)的象函数,f(k)又 称为F(z)的原函数.为了表示方便,f(k)与F(z)之间的对应关系可表示为 f(k) F(z)§双边 Z 变换的收敛域f(k)的双边Z变换为一无穷级数,因此存在级数是否收敛的问题.只有当 (7.1-6)式的级数收敛,F(z)才存在.F(z)存在或级数收敛的充分条件是 ∞在f(k)给定的条件下,式(7.1-6)级数是否收敛取决于z的取值.在z复平面上, 使级数收敛的z取值区域称为F(Z)的收敛域。
第8章 z变换离散时间系统的z变换分析
1 z Z[u( n)] u( n)z z -1 1 z z 1 n 0 n 0
-n -n
收敛域 为 z >1
3. 斜变序列
间接求 解方法 已知 两边对(z -1)求导
两边乘(z -1)
∴
同理，两边再求导，得
…
4. 指数序列
x(n) a n u(n)
运用留数定理来进行运算。又称为留数法，即
f (n) Res[F ( z )z n1 ]z pm
m
略！
二、幂级数展开法（长除法）
F ( z ) f (n)z n f (0) f (1)z 1 f ( 2)z -2
n 0
！
一般为变量z的有理分式，可用长除法，
例
s = 2，
例题 解
求x(n) = ?
∴
∴
见P60~61，表8-2、8-3、8-4（逆z变换表） 作业：P103，8-5 （1）（2）
8.5 z变换的基本性质
一、线性 若 x(n) ←→ X(z) y(n) ←→ Y(z)
则
Rx1 < |z| < Rx2 Ry1 < |z| < Ry2
ax(n) + by(n) ←→ aX(z) + bY(z)
F ( z ) f (0) f (1) z 1 f (2) z 2
所以
f (0) 0, f (1) 1, f (2) 0, f (3) 3, f (4) 4,
重点！
三、部分分式展开法
一般Z变换式是有理函数
以下研究因果序列的逆变换，即
X(z) （|z|>R） ← Z → x(n)
对于N阶LTI离散系统的差分方程:
-n -n
收敛域 为 z >1
3. 斜变序列
间接求 解方法 已知 两边对(z -1)求导
两边乘(z -1)
∴
同理，两边再求导，得
…
4. 指数序列
x(n) a n u(n)
运用留数定理来进行运算。又称为留数法，即
f (n) Res[F ( z )z n1 ]z pm
m
略！
二、幂级数展开法（长除法）
F ( z ) f (n)z n f (0) f (1)z 1 f ( 2)z -2
n 0
！
一般为变量z的有理分式，可用长除法，
例
s = 2，
例题 解
求x(n) = ?
∴
∴
见P60~61，表8-2、8-3、8-4（逆z变换表） 作业：P103，8-5 （1）（2）
8.5 z变换的基本性质
一、线性 若 x(n) ←→ X(z) y(n) ←→ Y(z)
则
Rx1 < |z| < Rx2 Ry1 < |z| < Ry2
ax(n) + by(n) ←→ aX(z) + bY(z)
F ( z ) f (0) f (1) z 1 f (2) z 2
所以
f (0) 0, f (1) 1, f (2) 0, f (3) 3, f (4) 4,
重点！
三、部分分式展开法
一般Z变换式是有理函数
以下研究因果序列的逆变换，即
X(z) （|z|>R） ← Z → x(n)
对于N阶LTI离散系统的差分方程:
第六章离散系统的Z域分析
z z F (z) （ a z b ） za zb
a z 当 1且 1即a z b 收敛 z b
j Im [z ]
b
0
a
Re [ z ]
5
由上可知 （1） z变换的收敛域与f(k) 与z值的范围有关，两 个不同的序列由于收敛域不同可能对应于同一个z 变换，为了单值的确定z变换对应的序列，在给出 序列的z变换式的同时，必须明确其收敛域。
m
n m
f (n)z
1
n m
f (n)z
n
1
n
]
]
14
z f ( k m ) ( k ) f ( k m )z
k 0
k
z
m
f (k m )z
k 0
( k m )
z
m
z [ f ( n)z
n 0
m m 1 n 0
据定义
zkf ( k )
k 1
z ( kz
k
d k d z z f (k ) z F ( z ) dz k dz
时域序列线性加权的z变换为原序列象函数微 20 分后乘以（z）
kf (k )z dz ) f ( k ) z [ dz
k k
k
k
] f (k )
推广：
m
d m k f ( k ) ( z ) F ( z ) ( 1 z 2 ) dz
d m ( z ) F ( z )表示对F ( z )求导并乘以 ( z )共m次 dz
z 例4、 若 已 知 z[ ( k )] ,求 斜 变 序 列 k ( k )的z变 换 z 1
第五章 离散信号与系统的z域分析
2
6、正弦序列
1 z z e j kT e j kT cos kT (k ) (k ) F ( z ) jT 2 2 z e z e jT
1 z 2 2 z cos T z ( z cos T ) 2 z 2 2 z cos T 1 2 z 2 z cos T 1
k 0
k 0
(k )
k 0
1 (z
z ( k ) ( k )z k 1 (z 1 ) 0 0 (z 1 )1 0 (z 1 ) 2 1
1 (z ) 0 (z 1 )1 0 (z 1 ) 2 1
a k 例 ： f (k ) 0
解：
k 0 k 0
a 为正实数，求其收敛域。
1 k 欲使 lim k ak lim k (aZ ) 1 k k
须满足： az
1
1
即
z a
0 0
Im Z
则收敛域为： z a
a
Re Z
a k 例 ： f (k ) k b
第五章 离散信号与系统的z域分析
z变换 z变换的性质 z反变换及单边z变换与拉普拉斯变换的关系 离散系统的z变换分析法
离散系统函数H(z)与系统特性
离散系统的z域模拟框图和信号流图
5.1 z变换
一、 从拉氏变换到z变换 t ) T (t ) f s (t ) f (
f s (t ) f (t ) T (t )
位圆以内，若在单位圆上则必 须是单极点。
则 f () lim f ( k ) lim( z 1) F ( z )
6、正弦序列
1 z z e j kT e j kT cos kT (k ) (k ) F ( z ) jT 2 2 z e z e jT
1 z 2 2 z cos T z ( z cos T ) 2 z 2 2 z cos T 1 2 z 2 z cos T 1
k 0
k 0
(k )
k 0
1 (z
z ( k ) ( k )z k 1 (z 1 ) 0 0 (z 1 )1 0 (z 1 ) 2 1
1 (z ) 0 (z 1 )1 0 (z 1 ) 2 1
a k 例 ： f (k ) 0
解：
k 0 k 0
a 为正实数，求其收敛域。
1 k 欲使 lim k ak lim k (aZ ) 1 k k
须满足： az
1
1
即
z a
0 0
Im Z
则收敛域为： z a
a
Re Z
a k 例 ： f (k ) k b
第五章 离散信号与系统的z域分析
z变换 z变换的性质 z反变换及单边z变换与拉普拉斯变换的关系 离散系统的z变换分析法
离散系统函数H(z)与系统特性
离散系统的z域模拟框图和信号流图
5.1 z变换
一、 从拉氏变换到z变换 t ) T (t ) f s (t ) f (
f s (t ) f (t ) T (t )
位圆以内，若在单位圆上则必 须是单极点。
则 f () lim f ( k ) lim( z 1) F ( z )
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X(z)
D z-1
X(k-1)
z-1X(z)
X
注意:z域框图只能求系统零状态响应 注意 域框图只能求系统零状态响应
第
例题
1.求如图系统的单位响应 求如图系统的单位响应h(k)和单位阶跃响应 和单位阶跃响应g(k) 求如图系统的单位响应 和单位阶跃响应
8 页
2. 知 阶 散 统 初 条 为 zi (0) = 2, yzi (1) =1 已 二 离 系 的 始 件 y , 当 入 (k) = ε (k)时 输 f , 1 5 k k 输 全 应 (k) =[ + 4⋅ 2 − ⋅ 3 ]ε (k), 出 响 y 2 2 求 差 方 .， 画 系 框 。 此 分 程 并 出 统 图
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法: y(k) =y zi (k) + yzs (k) yzs (k) = h(k) ∗ x(k) 时域方法: 时域方法 •z变换方法: 变换方法: 变换方法 Yzs (z) = H(z) ⋅ X(z)
X
第
二.系统框图的z域分析法
基本思路: 基本思路 时域框图 z域框图 域框图 z域代数方程 域代数方程 Yzs(z)
7 页
yzs(k)
x(k) ⇒ X (z) yzs (k) ⇒ Yzs (z) 延迟单元 x(k)
x(k)ε (k) ↔ X(z) x(k −1)ε (k) ↔ z−1X(z) + x(−1)
y(k)
X
第 5 页
优点: 优点:
•差分方程经 变换→代数方程； 差分方程经z变换 代数方程； 差分方程经 变换→ •将时域卷积→z域乘积； 将时域卷积→ 域乘积； 将时域卷积 域乘积 •部分分式展开后求解z逆变换较容易； 部分分式展开后求解z 部分分式展开后求解 逆变换较容易； •z变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0 变换过程自动引入了系统初始状态 的条件） 可同时求出零输入和零状态响应。 的条件）,可同时求出零输入和零状态响应。 ， 注意：z域求解系统只需 －状态[y(-1)，y(-2), …,] 注意： 域求解系统只需0 状态 域求解系统只需 时域求解系统要递推出0 状态确定待定系数。 时域求解系统要递推出 ＋状态确定待定系数。
Y(z) + a1[Z −1Y(z) + y(−1)]+L+ aN [Z −NY(z) + Z −( N−1)Y(−1) +L+ y(−N)] = b0 X(z) + b1[Z −1 X( z) + x(−1)]+L+ bm[Z−m X(z) + Z−(m−1) x(−1) +L+ x(−m)]
−1 −N −1 −m
X
第
例题
1.作 5 10题 描 LTI系 的 分 程 : 业－ ： 述 统 差 方 为 y(k) −3y(k −1) + 2y(k − 2) = x(k −1) − 2x(k − 2) 初 状 y(−2) =1 y(−1) =1: 激 为 (k) = ε (k)求: 始 态 , 励 f 1)系 的 zi (k), yzs (k), y(k),2)系 函 ， 画 系 框 统 y 统 数3 ） 出 统 图 4 如 始 件 y(0) =1 y(1) = 0如 求 ？ ） 初 条 为 , 何 解
(1+ a1Z + aN Z )Y(z) +Y1(z) = (b0 + b1Z +L+bmZ )X(z) D(z)Y(z) = N(z)X(z) −Y (z) X 1
设x(k)为因果序列，则
第
2、z域全响应
只与激励 有关
只与初始 状态有关
4 页
N(z) Y1(z) Y(z) = X (z) − =Yzs (z) +Yzi (z) D(z) D(z) 3、z逆变换 y(k) = yzs (k) + yzi (k)
X
第
求解过程:
1、将差分方程变换到z域
3 页
y(k) + a1 y(k −1) + L+ aN y(k − N) = b0 x(k) + b1x(k −1) + L+ bmx(k − m) y(−1), y(−2), Ly(−N) : 初值 y(k −1)ε (k) ↔ z −1Y(z) + y(−1) y(k − 2)ε (k) ↔ z−2Y( z) + z−1 y(−1) + y(− 2) −1 −N −k y(k − N)ε (k) ↔ z Y(z) + ∑ y(k)z k=−N
9 页
X
X
第
例题
3.一 LTI离 系 具 非 初 状 ,当 入 1(k) = δ (k)时 个 散 统 有 零 始 态 输 f , 1k 系 全 应 : y1(k) = 2( ) ε (k) 统 响 为 4 1k 在 同 始 件 ,当 入 2 (k) = ( ) ε (k)时 相 初 条 下 输 f , 2 1k 1k 系 全 应 : y2 (k) =[( ) + ( ) ]ε (k) 统 响 为 4 2 求 统 h(k), H(z), 系 差 方 ， 画 系 框 系 的 统 分 程 并 出 统 图
4、系统函数
N(z) H(z) = D(z) Yzs (z) = H(z) ⋅ X(z)
系统函数描述系统本身属性,与激励和初始状态无关 系统函数描述系统本身属性 与激励和初始状态无关. 与激励和初始状态无关 求解思路: 求解思路 差分方程 代数方程
Z反变换 反变换
h(k) ↔ H(z)
求解Y(z) 求解
第 1 页
第四节 离散系统的z域分析法
差分方程的z变换求解法 差分方程的 变换求解法 系统框图的z变换求解法 系统框图的 变换求解法
X
ห้องสมุดไป่ตู้ 第
一．应用z变换求解差分方程 应用 变换求解差分方程
2 页
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。 描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分 方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。
6 页
2.描 LTI系 述 统的 分 程 : 差 方 为 y(k + 2) + 3y(k + 1 + 2y(k) = f (k + 1 + 3 f (k) ) ) 励为 (k) = ε (k) f 激 始状 1 yzi (1 = 1 yzi (2) = 3 态) ) , 初 2) y(1 = 1 y(2) = 3 ) , 求: 系 的 统 全响 , 系 应 统函 ,画 框 . 数 出 图
D z-1
X(k-1)
z-1X(z)
X
注意:z域框图只能求系统零状态响应 注意 域框图只能求系统零状态响应
第
例题
1.求如图系统的单位响应 求如图系统的单位响应h(k)和单位阶跃响应 和单位阶跃响应g(k) 求如图系统的单位响应 和单位阶跃响应
8 页
2. 知 阶 散 统 初 条 为 zi (0) = 2, yzi (1) =1 已 二 离 系 的 始 件 y , 当 入 (k) = ε (k)时 输 f , 1 5 k k 输 全 应 (k) =[ + 4⋅ 2 − ⋅ 3 ]ε (k), 出 响 y 2 2 求 差 方 .， 画 系 框 。 此 分 程 并 出 统 图
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法: y(k) =y zi (k) + yzs (k) yzs (k) = h(k) ∗ x(k) 时域方法: 时域方法 •z变换方法: 变换方法: 变换方法 Yzs (z) = H(z) ⋅ X(z)
X
第
二.系统框图的z域分析法
基本思路: 基本思路 时域框图 z域框图 域框图 z域代数方程 域代数方程 Yzs(z)
7 页
yzs(k)
x(k) ⇒ X (z) yzs (k) ⇒ Yzs (z) 延迟单元 x(k)
x(k)ε (k) ↔ X(z) x(k −1)ε (k) ↔ z−1X(z) + x(−1)
y(k)
X
第 5 页
优点: 优点:
•差分方程经 变换→代数方程； 差分方程经z变换 代数方程； 差分方程经 变换→ •将时域卷积→z域乘积； 将时域卷积→ 域乘积； 将时域卷积 域乘积 •部分分式展开后求解z逆变换较容易； 部分分式展开后求解z 部分分式展开后求解 逆变换较容易； •z变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0 变换过程自动引入了系统初始状态 的条件） 可同时求出零输入和零状态响应。 的条件）,可同时求出零输入和零状态响应。 ， 注意：z域求解系统只需 －状态[y(-1)，y(-2), …,] 注意： 域求解系统只需0 状态 域求解系统只需 时域求解系统要递推出0 状态确定待定系数。 时域求解系统要递推出 ＋状态确定待定系数。
Y(z) + a1[Z −1Y(z) + y(−1)]+L+ aN [Z −NY(z) + Z −( N−1)Y(−1) +L+ y(−N)] = b0 X(z) + b1[Z −1 X( z) + x(−1)]+L+ bm[Z−m X(z) + Z−(m−1) x(−1) +L+ x(−m)]
−1 −N −1 −m
X
第
例题
1.作 5 10题 描 LTI系 的 分 程 : 业－ ： 述 统 差 方 为 y(k) −3y(k −1) + 2y(k − 2) = x(k −1) − 2x(k − 2) 初 状 y(−2) =1 y(−1) =1: 激 为 (k) = ε (k)求: 始 态 , 励 f 1)系 的 zi (k), yzs (k), y(k),2)系 函 ， 画 系 框 统 y 统 数3 ） 出 统 图 4 如 始 件 y(0) =1 y(1) = 0如 求 ？ ） 初 条 为 , 何 解
(1+ a1Z + aN Z )Y(z) +Y1(z) = (b0 + b1Z +L+bmZ )X(z) D(z)Y(z) = N(z)X(z) −Y (z) X 1
设x(k)为因果序列，则
第
2、z域全响应
只与激励 有关
只与初始 状态有关
4 页
N(z) Y1(z) Y(z) = X (z) − =Yzs (z) +Yzi (z) D(z) D(z) 3、z逆变换 y(k) = yzs (k) + yzi (k)
X
第
求解过程:
1、将差分方程变换到z域
3 页
y(k) + a1 y(k −1) + L+ aN y(k − N) = b0 x(k) + b1x(k −1) + L+ bmx(k − m) y(−1), y(−2), Ly(−N) : 初值 y(k −1)ε (k) ↔ z −1Y(z) + y(−1) y(k − 2)ε (k) ↔ z−2Y( z) + z−1 y(−1) + y(− 2) −1 −N −k y(k − N)ε (k) ↔ z Y(z) + ∑ y(k)z k=−N
9 页
X
X
第
例题
3.一 LTI离 系 具 非 初 状 ,当 入 1(k) = δ (k)时 个 散 统 有 零 始 态 输 f , 1k 系 全 应 : y1(k) = 2( ) ε (k) 统 响 为 4 1k 在 同 始 件 ,当 入 2 (k) = ( ) ε (k)时 相 初 条 下 输 f , 2 1k 1k 系 全 应 : y2 (k) =[( ) + ( ) ]ε (k) 统 响 为 4 2 求 统 h(k), H(z), 系 差 方 ， 画 系 框 系 的 统 分 程 并 出 统 图
4、系统函数
N(z) H(z) = D(z) Yzs (z) = H(z) ⋅ X(z)
系统函数描述系统本身属性,与激励和初始状态无关 系统函数描述系统本身属性 与激励和初始状态无关. 与激励和初始状态无关 求解思路: 求解思路 差分方程 代数方程
Z反变换 反变换
h(k) ↔ H(z)
求解Y(z) 求解
第 1 页
第四节 离散系统的z域分析法
差分方程的z变换求解法 差分方程的 变换求解法 系统框图的z变换求解法 系统框图的 变换求解法
X
ห้องสมุดไป่ตู้ 第
一．应用z变换求解差分方程 应用 变换求解差分方程
2 页
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。 描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分 方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。
6 页
2.描 LTI系 述 统的 分 程 : 差 方 为 y(k + 2) + 3y(k + 1 + 2y(k) = f (k + 1 + 3 f (k) ) ) 励为 (k) = ε (k) f 激 始状 1 yzi (1 = 1 yzi (2) = 3 态) ) , 初 2) y(1 = 1 y(2) = 3 ) , 求: 系 的 统 全响 , 系 应 统函 ,画 框 . 数 出 图