高中数学必修四北师大版 6余弦函数的图像与性质课时作业含答案

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北师大版数学高一必修4课时作业：6余弦函数的图像_余弦函数的性质_Word版含解析

14．已知函数y＝－cos2x＋acosx－ a－的最大值为1，求a的值．
解析：y＝－cos2x＋acosx－ a－
＝－ 2＋－－ .
∵－1≤cosx≤1，于是
①当 <－1，即a<－2时，当cosx＝－1时，
ymax＝－ a－ .
由－ a－＝1，得a＝－ >－2(舍去)；
②当－1≤ ≤1，即－2≤a≤2时，
解析：由题意，知0≤cosx≤1，∴2kπ－ ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
答案： (k∈Z)
13．比较下列各组数的大小：
(1)cos 与cos ；
(2)sin194°与cos160°.
解析：(1)cos ＝cos ，
cos ＝cos ＝cos ，
∵0< < <π，
函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，
其中正确的有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析：如图所示为y＝cosx的图象．
可知三项描述均正确．
答案：D
2．函数y＝sin 是()
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：y＝sin
＝sin
＝－sin ＝－cos2 010x，
所以为偶函数．
答案：B
3．函数y＝cosx－2在x∈[－π，π]上的图像是()
北师大版数学高一必修4课时作业：6余弦函数的图像_余弦函数的性质_Word版含解析
课时作业6余弦函数的图像余弦函数的性质
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．对于余弦函数y＝cosx的图象，有以下三项描述：
(1)向左向右无限延伸；
(2)与x轴有无数多个交点；

高一数学北师大版必修4教师用书第1章 §6 余弦函数的图像与性质 Word版含解析

§余弦函数的图像与性质
余弦函数的图像
余弦函数的性质
．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像．
．会用五点法画出余弦函数在[π]上的图像．(重点)
．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理余弦函数的图像与性质
阅读教材～“思考交流”以上部分，完成下列问题．
．利用图像变换作余弦函数的图像，所以余弦函数＝的图像可以通过将正弦曲线＝向
因为＝＝
平移
左
个单位长度得到．如图--是余弦函数＝ (∈)的图像，叫作余弦曲线．
图--
．利用五点法作余弦函数的图像
画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数＝
()
[π])的图像上有五个关键点，为
∈
(
，
，
，可利用此五点画出
(π，)
，
，
(π，－)
余弦函数＝，∈的简图(如图--)．
图--
．余弦函数的性质
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()余弦函数＝的图像关于坐标原点对称．( ) ()余弦函数＝的图像可由＝的图像向右平移个单位得到．( ) ()在同一坐标系内，余弦函数＝与＝
的图像形状完全相同，只是位置不同．( ) ()正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间
．( )【解析】()错；余弦函数＝＝，即可看作是＝向左平移个单位得到的，因
而()错；()正确；正、余弦函数有相同的周期(都是π)，相同的最大值(都是)，相同的最小值(都是－)，也都有单调区间，但单调区间不同，因而()错．
【答案】()×()×()√()×。

2019-2020学年数学北师大版必修4学案： 1.6 余弦函数的图像与性质含解析

§6余弦函数的图像与性质Q错误!错误!现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性．例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；月亮圆缺变化的周期性,即朔——上弦-—望-—下弦——朔;潮汐变化的周期性，即海水在月球引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性；交变电流变化的周期性．如何用数学的方法来刻画这种变化规律呢？X错误!错误!1．余弦函数的图像(1）余弦函数y＝cos x的图像可以通过将正弦曲线y＝sin x__向左平移错误!个__单位长度得到．(2）余弦函数y＝cos x(x∈R）的图像叫作__余弦曲线__.图像如下：(3)用五点法作余弦函数的图像,余弦曲线上有五个点起关键作用,这五个点是__(0,1）__、__(错误!，0）__、__（π,－1）__、__（错误!π，0）__、__(2π，1）__.2．余弦函数的性质定义域__R__值域__［－1，1]__最值当x＝__2kπ__(k∈Z)时,y max＝__1__当x＝__（2k＋1)π__(k∈Z）时，y min＝__－1__周性期最小正周期是__2π__单调性递增区间__[2kπ－π，2kπ］__ (k∈Z）递减区间__［2kπ，2kπ＋π］__ (k∈Z)奇偶性__偶__函数，图像关于__y__轴对称对称性对称轴方程：__x＝kπ（k∈Z）__对称中心：__（kπ＋错误!，0)（k∈Z)__Y错误!错误!1．要得到函数f（x)＝sin x的图像，可以将g（x）＝cos x的图像( D )A．向左平移π个单位B．向右平移π个单位C．向左平移错误!个单位D．向右平移错误!个单位［解析] y＝sin x＝cos (错误!－x）＝cos （x－错误!)．故选D．2．函数y＝1－cos x的图像关于（ B ）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线x＝错误!对称[解析] 函数y＝1－cos x是偶函数，其图像关于y轴对称．3．函数y＝错误!是( A )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数［解析］定义域为R,f（－x)＝错误!＝错误!＝－f（x），则f(x）是奇函数．4．当x＝__(2k＋1)π(k∈Z)__时，y＝2－错误!cos x取得最大值__错误!__。

北师大版数学高一(北师大)必修4试题 1.6余弦函数的图像与性质

双基达标 (限时20分钟)1．函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2的值域是( )．A ．[0,1]B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析画出y ＝cos x ，x ∈[－π6，π2]的图像，从而得出y ∈[0,1]，故选A. 答案 A2．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，下列函数是增函数的是( )． A ．y ＝1sin x B ．y ＝－1cos x C ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x解析由正弦函数、余弦函数的单调性判断可知选D. 答案 D3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋52π的一个对称中心是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0 解析对称中心为曲线与x 轴的交点，将四个点带入验证，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0符合要求，故选B. 答案 B4．三个数cos 32，sin 110，－cos 74的大小关系是________．解析 sin 110＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110；－cos 74＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74，又π＞32＞π2－110＞π－74＞0，又y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 32＜sin 110＜－cos 74.答案 cos 32＜sin 110＜－cos 745．函数y ＝ 2 cos x ＋1的定义域是________．解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图像知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3，k ∈Z6．求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．解 y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－13.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14. ∴函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154.综合提高 (限时25分钟)7．要得到y ＝sin x 的图像，只需将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图像( )．A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，将此函数向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像．答案 D8．对于函数y ＝f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x ＜cos x ，下列命题中正确的是( )．A ．该函数的值域是[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数取得最大值1 C ．该函数是以π为最小正周期的周期函数 D ．当且仅当2k π＋π＜x ＜2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )＜0解析画图像可知，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，x ＝2k π或x ＝2k π＋π2时取最大值，T ＝2π，故选D. 答案 D9．y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析画出y ＝cos x 的图像，观察其单调性可知－π＜a ≤0. 答案 (－π，0]10．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．解析作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像，如图所示，由图像可知原方程有两个实数解．答案 211．求函数y ＝2cos x －3的单调递增区间．解由2cos x －3≥0，得cos x ≥32，即2k π－π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )，又y ＝cos x 的增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z ，∴函数y ＝2cos x －3的单调递增区间是[2k π－π6，2k π]，k ∈Z .12．(创新拓展)作出函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |的简图，并写出它的定义域、值域、最小正周期、递增区间、递减区间、奇偶性．解 f (x )＝⎩⎨⎧cos x ，sin x ≥cos x ，sin x ，sin x ＜cos x ，图像如图．函数的定义域为R ，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，最小正周期为2π，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π4＋2k π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π4＋2k π，其中k ∈Z ，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，－π2＋2k π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，π＋2k π，其中k ∈Z ，函数既不是奇函数，也不是偶函数．。

高中数学第一章余弦函数的图像余弦函数的性质课时分层作业含解析北师大版必修4

课时分层作业(七) 余弦函数的图像与性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．对余弦函数y ＝cos x 的图像，有如下描述：①向左向右无限延伸；②与y ＝sin x 的图像形状完全一样，只是位置不同；③与x 轴有无数多个交点；④关于y 轴对称．其中正确的描述有( )A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 D [由余弦函数的图像(图略)知①②③④均正确．] 2．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期是( ) A.2k π(k ∈Z ) B ．3π C ．π D ．2πC [∵函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致，由函数y ＝|cos x |的图像知其最小正周期为π， ∴y ＝|cos x |－1的最小正周期也是π，故选C.] 3．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π C [函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上y ＝|cos x |是减少的．]4．从函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像来看，对应于cos x ＝12的x 有( )A.1个值 B ．2个值 C ．3个值 D ．4个值B [由于函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝12有且只有两个交点，所以选B.]5．函数y ＝x 2cos x 的部分图像是( )A B C DA [设f (x )＝x 2cos x ，f (－x )＝(－x )2cos (－x )＝x 2cos x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故排除B ，D.当x ＝π4时，y ＝π216cos π4＝2π232＞0，故排除C.]二、填空题6．设P ，Q 分别是函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则P ＋2Q ＝________．－103[∵－1≤cos x ≤1， ∴y max ＝13×1－1＝－23，y min ＝13×(－1)－1＝－43，∴P ＋2Q ＝－23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－103.]7．比较大小：cos 15π8________sin π18.> [∵cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8，sin π18＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π18＝cos 4π9.而0<π8<4π9<π2，∴cos π8>cos 4π9，即cos 15π8>sin π18.]8．函数f (x )的定义域为[0，1]，则函数f (cos x )的定义域为______.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z ) [∵f (x )的定义域为[0，1]，∴0≤cosx ≤1，∴－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z .]三、解答题9．画出函数y ＝3＋2cos x 的简图．(1)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值； (2)讨论此函数的单调性． [解] 按五个关键点列表如下，(1)当cos x ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3＋2＝5，当cos x ＝－1，即x ∈{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }时，y min ＝3－2＝1.(2)令t ＝cos x ，则y ＝3＋2t ，因为函数y ＝3＋2t ，当t ∈R 时是增加的，所以当x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是增加的，y ＝3＋2cos x 也是增加的，当x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是减少的，y ＝3＋2cos x 也是减少的．10．求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝1－2cos x ； (2)y ＝lg (2cos x －3).[解] (1)由题意，得1－2cos x ≥0，所以cos x ≤12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z ).所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3，k ∈Z .因为－1≤cos x ≤1，所以－2≤－2cos x ≤2，所以－1≤1－2cos x ≤3，又y ＝1－2cos x ≥0，所以原函数的值域为[0，3].(2)由题意，得2cos x －3＞0，所以cos x ＞32，结合y ＝cos x 的图像(如图)可得：－π6＋2k π＜x ＜π6＋2k π(k ∈Z ).所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π6＋2k π＜x ＜π6＋2k π，k ∈Z .因为－1≤cos x ≤1，所以－2－3≤2cos x －3≤2－ 3. 因为y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数．所以y ＝lg (2cos x －3)的值域为(－∞，lg (2－3)).1．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0，2π]的大致图像为( )A B C DD [y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，故选D.]2．已知函数f (x )＝cos (x ＋φ)为奇函数，则φ的一个取值为( ) A.π4 B ．π3 C ．0 D ．π2D [当φ＝π2时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x ，其定义域为R ，且f (－x )＝－sin (－x )＝sin x ＝－f (x )，f (x )为奇函数．]3．若cos x ＝2m ＋3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，则m 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 [当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3时，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 由2m ＋3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1.]4．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin (2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6 [由题意可得两个函数图像有一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，又0≤φ≤π，解得φ＝π6.]5．已知函数y ＝12cos x －12|cos x |.(1)画出函数的图像；(2)由图像判断函数的奇偶性，周期性；(3)求出该函数的单调递减区间． [解] (1)y ＝12cos x －12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2（k ∈Z ），cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π（k ∈Z ）.函数图像如图所示：(2)由图像可知，函数图像关于y 轴对称，故该函数为偶函数，函数图像每隔2k π(k ∈Z )重新出现，故为周期函数． (3)该函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z ).。

高中数学北师大版必修四教学案第一章 §6 余弦函数的图像与性质 Word版含答案

[核心必知]
余弦函数的图像与性质
[问题思考]
．如何由＝，∈的图像得到＝，∈的图像？
提示：只需将＝，∈的图像向右平移个单位即可得到＝，∈的图像，并且方法不唯一．
．余弦函数在第一象限内是减函数吗？
提示：不是．余弦函数＝在[，]内是减函数，但不能说在第一象限是减函数，如°和°都是
第一象限的角，虽然°>°，但°＝，°＝.却有°< °.所以函数＝在第一象限内不是减函数．
．余弦函数是轴对称图形，不是中心对称图形，这句话对吗？
提示：不对．余弦函数与正弦函数一样既是轴对称图形，也是中心对称图形．它的对称轴有无数条，其方程是＝π(∈)；它的对称中心有无数个，其坐标为(π＋，)(∈)．
讲一讲
．画出函数＝－，∈[，π]的图像．
[尝试解答] 按五个关键点列表：
如图所示：
．画余弦函数的图像，与画正弦函数图像的方法一样，关键要确定五个点．这五个点的坐标
是(，)，，(π，－)，，(π，)．
．形如＝＋，∈[，π]的函数，也可由五点法画图像．
练一练
．用“五点法”画出＝＋(∈[，π])的图像．
解：()列表。

高中数学第1章 6余弦函数的图像与性质课时作业北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题

【成才之路】2015-2016学年高中数学第1章 6余弦函数的图像与性质课时作业北师大版必修4一、选择题1．函数y ＝cos x (0≤x ≤π3)的值域是( )A ．[－1,1]B ．[12，1]C ．[0，12]D ．[－1,0][答案] B[解析] ∵函数y ＝cos x 在[0，π3]上是减少的，∴函数的值域为[cos π3，cos0]，即[12，1]．2．在区间(0，π2)上，下列函数是增函数的是( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝－1cos xC ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x [答案] D[解析] 由正、余弦函数的单调性判断可知选D ． 3．函数y ＝sin(2x ＋52π)的一个对称中心是( )A ．(π8，0)B ．(π4，0)C ．(－π3，0)D ．(3π8，0)[答案] B[解析] 对称中心为曲线与x 轴的交点，将四个点带入验证，只有(π4，0)符合要求，故选B ．4．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图像为( )[答案] D[解析] y ＝cos x ＋|cos x |＝⎩⎨⎧2cos xx ∈[0，π2]∪[3π2，2π]0 x ∈[π2，3π2]，故选D ．5．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根[答案] C[解析] 在同一坐标系中作函数y ＝|x |及函数y ＝cos x 的图像，如图所示．发现有2个交点，所以方程|x |＝cos x 有2个根．6．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 [答案] B[解析] 由f (x ＋2)＝f (x )可知T ＝2，再f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cosπx －1，∴f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cosπx －1＝f (x )．二、填空题7．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上是增加的，则a 的取值X 围是______________． [答案] (－π，0][解析] ∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减函数， ∴只有－π<a ≤0时，满足已知条件，∴a ∈(－π，0]． 8．比较大小：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4710π________cos(－449π)． [答案] >[解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4710π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π＋310π＝－cos 310π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－449π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π＋π9＝－cosπ9，由y ＝cos x 在[0，π]上是单调递减的，所以cos 310π<cos π9，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4710>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－449π. 三、解答题9．若函数f (x )＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝1－a cos bx 的最值和周期．[解析] (1)当b >0时，若sin x ＝－1，f (x )max ＝32；若sin x ＝1，f (x )min ＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.此时b ＝1>0符合题意，所以y ＝1－12cos x .(2)当b ＝0时，f (x )＝a ，这与f (x )有最大值32，最小值－12矛盾，故b ＝0不成立．(3)当b <0时，显然有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，符合题意．所以y ＝1－12cos(－x )＝1－12cos x .综上可知，函数y ＝1－12cos x 的最大值为32，最小值为12，周期为2π.10．求下列函数的单调区间： (1)y ＝cos 12x ；(2)y ＝cos(x 3＋π4)．[解析] (1)由2k π－π≤12x ≤2k π，得4k π－2π≤x ≤4k π(k ∈Z )．又由2k π≤12x ≤2k π＋π，得4k π≤x ≤4k π＋2π(k ∈Z )．∴函数y ＝cos 12x 的递增区间为[4k π－2π，4k π](k ∈Z )，递减区间为[4k π，4k π＋2π](k ∈Z )．(2)令2k π－π≤x 3＋π4≤2k π，则6k π－15π4≤x ≤6k π－3π4(k ∈Z )，令2k π≤x 3＋π4≤2k π＋π，则6k π－3π4≤x ≤6k π＋9π4(k ∈Z )．∴函数y ＝cos(x 3＋π4)的递增区间是[6k π－15π4，6k π－3π4](k ∈Z )，递减区间是[6k π－3π4，6k π＋9π4](k ∈Z )．一、选择题1．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是( ) A ．cos0<cos 12<cos1<cos30°<cosπB ．cos0<cosπ<cos 12<cos30°<cos1C ．cos0>cos 12>cos1>cos30°>cosπD ．cos0>cos 12>cos30°>cos1>cosπ[答案] D [解析] 在[0，π2]上，0<12<π6<1，又余弦函数在[0，π2]上是减少的，所以cos0>cos 12>cos π6>cos1>0.又cos π<0，所以cos0>cos 12>cos π6>cos1>cos π.2．函数f (x )＝－x cos x 的部分图像是( )[答案] D[解析] 由f (x )＝－x cos x 是奇函数，可排除A ，C ．令x ＝π4，则f (π4)＝－π4cos π4＝－2π8<0.故答案选D ．二、填空题3．若cos x ＝2m －13m ＋2，且x ∈R ，则m 的取值X 围是________．[答案] (－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－15，＋∞ [解析] ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m －13m ＋2＝|cos x |≤1， ∴|2m －1|≤|3m ＋2|.∴(2m －1)2≤(3m ＋2)2.∴m ≤－3，或m ≥－15.∴m ∈(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－15，＋∞. 4．函数y ＝log 12 cos x 的递增区间是________． [答案] [2k π，2k π＋π2)(k ∈Z )[解析] 由题知cos x >0，x ∈(2k π－π2，2k π＋π2)，k ∈Z .又令t ＝cos x ，y ＝log 12 t ，则t ＝cos x 的减区间即为y ＝log 12 cos x 的增区间．∴x ∈[2k π，2k π＋π2)(k ∈Z )．三、解答题5．利用余弦函数的单调性，比较cos(－23π5)与cos(－17π4)的大小．[解析] cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4.因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数，所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)．6．求下列函数的定义域． (1)y ＝cossin x ；(2)y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)． [解析] (1)要使y ＝cos sin x 有意义，需有cos(sin x )≥0，又∵－1≤sin x ≤1，而y ＝cos x 在[－1,1]上满足cos x >0，∴x ∈R . ∴y ＝cossin x 的定义域为R .(2)要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2sin x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >12.由下图可得cos x ≤12的解集为{x |π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z }．sin x >12的解集为{x |π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z }．它们的交集为{x |π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z }，即为函数的定义域．7．函数f (x )＝12－a 4＋a cos x －cos 2x (0≤x ≤π2)的最大值为2，某某数a 的值．[解析] 令t ＝cos x ，由0≤x ≤π2，知0≤cos x ≤1，即t ∈[0,1]．所以原函数可以转化为y ＝－t 2＋at ＋12－a 4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a 24＋12－a4，t ∈[0,1]．(1)若a2≤0，即a ≤0时，当t ＝0时，y max ＝12－a4＝2，解得a ＝－6.(2)若0<a 2<1，即0<a <2时，当t ＝a2时，y max ＝a 24＋12－a 4＝2，解得a ＝3或a ＝－2，全舍去．(3)若a2≥1，即a ≥2时，当t ＝1时， y max ＝－1＋a ＋12－a 4＝2，解得a ＝103.综上所述，可知a ＝－6或103.。

北师大版数学高二必修四作业 1.6余弦函数的图像与性质

一、选择题1.函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0，2π]的大致图像为( )考点余弦函数的图像题点余弦函数的图像答案 D解析 y ＝cos x ＋|cos x |＝⎩⎨⎧2cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎦⎤3π2，2π，0，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，故选D.2.在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上，下列函数是增函数的是( ) A.y ＝1sin xB.y ＝－1cos xC.y ＝－sin xD.y ＝－cos x考点余弦函数的单调性题点余弦函数的单调性答案 D解析由正、余弦函数的单调性判断可知选D. 3.函数y ＝－2cos x ＋3的值域为( )A.[1，5]B.[－5，1]C.[－1，5]D.[－3，1] 考点余弦函数的值域题点余弦函数的值域答案 A4.下列函数中，最小正周期为2π的是( ) A.y ＝|cos x | B.y ＝cos|x | C.y ＝|sin x | D.y ＝sin|x | 考点余弦函数的周期性题点余弦函数的周期性答案 B5.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A.y ＝cos|2x | B.y ＝|sin x | C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x D.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x 考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案 D解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π.6.(2017·广州检测)如果函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω的值为( )A.3B.6C.12D.24考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案 B解析函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，所以T ＝2×π6＝π3，又2πω＝π3，解得ω＝6. 二、填空题 7.函数y ＝2－2cos x 的定义域为 .考点余弦函数的定义域题点余弦函数的定义域答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π4＋2k π≤x ≤7π4＋2k π，k ∈Z 解析要使函数有意义，则2－2cos x ≥0，即cos x ≤22，余弦函数的图像如图所示：∴π4＋2k π≤x ≤7π4＋2k π，k ∈Z ， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π4＋2k π≤x ≤7π4＋2k π，k ∈Z . 8.已知cos x ＝1－m2m ＋3有实根，则m 的取值范围为 .考点余弦函数的值域题点余弦函数的值域答案 (－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，＋∞ 解析 ∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤1－m2m ＋3≤1，且2m ＋3≠0，解得m ≥－23或m ≤－4.9.函数y ＝cos 2x ＋3cos x ＋2的最小值是 . 考点余弦函数的最值题点余弦函数的最值答案 0解析令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]，∴y ＝t 2＋3t ＋2＝⎝⎛⎭⎫t ＋322－14，当t ＝－1，即cos x ＝－1时，y min ＝0.10.对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图像关于直线x ＝54π＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是 .(请将所有正确命题的序号都填上) 考点正、余弦函数的图像与性质综合题点正、余弦函数的图像与性质综合答案 ③④解析画出f (x )在[0，2π]上的图像如图所示.由图像知，函数f (x )的最小正周期为2π，当x ＝π＋2k π(k ∈Z )和x ＝32π＋2k π(k ∈Z )时，该函数都取得最小值－1，故①②错误.由图像知，函数图像关于直线x ＝54π＋2k π(k ∈Z )对称，当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22，故③④正确.三、解答题11.求函数y ＝2－cos x3的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的取值集合.考点余弦函数的最值题点余弦函数的最值解令z ＝x3，∵－1≤cos z ≤1，∴1≤2－cos z ≤3，∴y ＝2－cos x3的最大值为3，最小值为1.当z ＝2k π，k ∈Z 时，cos z 取得最大值，2－cos z 取得最小值. 又z ＝x3，故x ＝6k π，k ∈Z .∴使函数y ＝2－cos x3取得最小值的x 的取值集合为{x |x ＝6k π，k ∈Z }；同理，使函数y ＝2－cos x3取得最大值的x 的取值集合为{x |x ＝6k π＋3π，k ∈Z }.12.已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的图像；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)求出这个函数的递增区间. 考点余弦函数图像和性质综合题点余弦函数图像和性质综合解 (1)y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎨⎧cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，0，x ∈⎝⎛⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，函数图像如图所示.(2)由图像知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π. (3)由图像知函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z ). 13.若不等式0≤－cos 2x ＋4cos x ＋a 2≤12对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围. 考点余弦函数的最值题点余弦函数最值的应用解设f (x )＝－cos 2x ＋4cos x ＋a 2＝－(cos x －2)2＋a 2＋4， ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝1时，f (x )max ＝3＋a 2≤12，① 当cos x ＝－1时，f (x )min ＝－5＋a 2≥0.②联立①②，得5≤a 2≤9，∴－3≤a ≤－5或5≤a ≤3. 即实数a 的取值范围是[－3，－5]∪[5，3]. 四、探究与拓展14.若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为 . 考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，ω>0，则π2＜ω＜2π.∴正整数ω的最大值为6.15.已知定义在R 上的奇函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增加的，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，△ABC 的内角A 满足f (cos A )≤0，求角A 的取值范围. 考点余弦函数的性质综合题点余弦函数的性质综合解 ①当0<A <π2时，cos A >0.由f (cos A )≤0＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (x )在(0，＋∞)上是增加的，得0<cos A ≤12，解得π3≤A <π2.②当π2<A <π时，cos A <0.∵f (x )为R 上的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上是增加的， ∴f (x )在(－∞，0)上是增加的， f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， ∴由f (cos A )≤0＝f ⎝⎛⎭⎫－12，得cos A ≤－12， ∴2π3≤A <π. ③当A ＝π2时，cos A ＝0，∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∴f (0)≤0成立.综上所述，角A 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π.。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.6余弦函数的图像与性质课时作业北师大版必修4

余弦函数的图像与性质一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·陕西高考)函数f(x)=cos的最小正周期是( )A. B.π C.2π D.4π【解题指南】直接利用正弦函数的周期公式T=,求出它的最小正周期即可.【解析】选B.由T===π,故B正确.2.(2014·济南高一检测)函数y=sin是( )A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数【解析】选B.因为y=sin=sin=sin=-sin=-cosx,所以函数是偶函数.3.(2014·天津高一检测)y=cosx,x∈的值域为( )A.[0,1]B.[-1,1]C. D.【解析】选A.由图像可知,当x=0时,y=cosx取最大值1,当x=-时,y=cosx取最小值0.【变式训练】函数y=2cosx+1取最小值时,自变量x的取值集合是.【解析】当cosx=-1时,2cosx+1取最小值-1,此时自变量x的取值集合为{x|x=2kπ+π,k∈Z}. 答案:{x|x=2kπ+π,k∈Z}4.(2014·包头高一检测)函数y=sin的( )A.最小正周期是2πB.图像关于y轴对称C.图像关于原点对称D.图像关于x轴对称【解析】选B.因为y=sin=sin=cos2x,所以函数是偶函数,图像关于y轴对称.5.(2014·银川高一检测)sinx>cosx在区间[0,2π]上x的取值范围为( )A. B.C. D.【解题指南】在同一坐标系中画出正、余弦函数的图像,再求解.【解析】选D.在同一坐标系中作出y=sinx与y=cosx的图像如图所示.由图知满足条件的区间为.6.(2014·西安高一检测)函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是( )A.4B.8C.2πD.4π【解析】选D.如图:由余弦函数的对称性可得,y=2cosx的图像在[0,2π]上与直线y=2围成封闭图形的面积和直线x=2π,y=2,x轴、y轴围成的矩形的面积相等,为S=4π,故选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·深圳高一检测)设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于.【解析】由题意可知,nT=(n∈N*),所以n·=(n∈N*),所以ω=6n(n∈N*),所以当n=1时,ω取得最小值6.答案:68.(2014·威海高一检测)函数y=lg(-2cosx)的定义域为.【解析】由-2cosx>0得cosx<,由余弦函数的图像可知,+2kπ<x<+2kπ,k∈Z.答案:9.(2013·南昌高一检测)已知0≤θ≤,且cosθ=a+1,则a的取值范围为.【解题指南】先求出cosθ的范围,进而求a的范围.【解析】0≤θ≤,所以cosθ∈.所以a+1∈,所以a∈.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.画出函数y=-3cosx+2的简图,根据图像讨论函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性. 【解析】按五个关键点列表、描点,画出图像如下函数y=-3cosx+2的性质见下表11.是否存在实数λ,使函数f(x)=2cos2x-4λcosx-1的最小值是-?若存在,求出所有的λ和对应的x值,若不存在,试说明理由.【解析】假设存在λ满足题意,则f(x)=2(cosx-λ)2-2λ2-1,因为0≤x≤,所以0≤cosx≤1,由f(x)的最小值为-,知(1)或(2)或(3)由(1)解得λ=,此时cosx=,x=.(2)无解.(3)无解.综上所述,存在实数λ,当λ=,x=时,f(x)的最小值是-.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2013·吉安高一检测)如果y=cosx是增加的且y=sinx是减少的,那么x的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.y=cosx在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的,在[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z)上是增加的,即在第一、二象限为减少的,第三、四象限为增加的;y=sinx在(k∈Z)上为增加的,在(k∈Z)上是减少的,即在第一、四象限为增加的,第二、三象限为减少的.综上,x的终边应落在第三象限.【变式训练】函数y=cos2x在下列哪个区间上是减少的( )A. B.C. D.【解析】选C.由2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),得kπ≤x≤kπ+(k∈Z),令k=0,可得0≤x≤,即在上函数y=cos2x是减少的.2.(2014·潍坊高一检测)函数y=cos的( )A.最小正周期为2πB.图像关于y轴对称C.图像关于原点对称D.图像关于x轴对称【解析】选C.y=cos=sin2x,所以函数y=cos为奇函数,图像关于原点对称. 3.定义在R上的偶函数f(x)满足f(π+x)=f(π-x),若x∈[0,π]时解析式为f(x)=cosx,则f(x)>0的解集是()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解析】选 B.由题意得f(x)的周期为2π,且为偶函数,因为x∈[0,π]时f(x)=cosx,所以x∈R 时,f(x)=cosx,由余弦函数的图像知B正确.4.(2014·青岛高一检测)若函数y=sin(π+x),y=cos(2π-x)都是单调递减的,则x的集合是( )A.B.C.D.【解析】选 A.因为y=sin(π+x)=-sinx,其单调减区间为(k∈Z),y=cos(2π-x)=cosx,其单调减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z),所以函数y=sin(π+x)与函数y=cos(2π-x)都是减少的时,x的集合为.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·沈阳高一检测)若函数f (x)=2cosωx+的最小正周期为T,且T∈(1,3),则正整数ω的最大值为.【解析】由T∈(1,3)知,1<<3,所以<ω<2π,所以正整数ω的最大值为6.答案:66.(2014·江苏高考)已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图像有一个横坐标为的交点,则φ的值是.【解题指南】关键利用条件“图像有一个横坐标为的交点”即得sin=cos.【解析】由题意得sin=cos=,又0≤φ<π,得+φ=,得φ=.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.f(x)是定义在[-2π,2π]上的偶函数,当x∈[0,π]时,y=f(x)=cosx;当x∈(π,2π]时,f(x)的图像是斜率为,在y轴上截距为-2的直线在相应区间上的部分.(1)求f(-2π),f的值.(2)求f(x)的解析式,并作出图像,写出其单调区间.【解析】(1)当x∈(π,2π]时,y=f(x)=x-2,又f(x)是偶函数,所以f(-2π)=f(2π)=2.又x∈[0,π]时,y=f(x)=cosx,所以f=f=.(2)y=f(x)=图像如图所示:单调增区间为[-π,0],(π,2π],单调减区间为[-2π,-π),[0,π].8.如图,函数y=2cos(ωx+θ)x∈R,ω>0,0≤θ≤的图像与y轴相交于点(0,),且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值.(2)已知点A,点P是该函数图像上一点,点Q(x0,y0)是PA的中点,当y0=,x0∈时,求x0的值.【解析】(1)将x=0,y=代入函数y=2cos(ωx+θ),得cosθ=,因为0≤θ≤,所以θ=. 由已知T=π,且ω>0,得ω===2.(2)因为点A,Q(x0,y0)是PA的中点,y0=,所以点P的坐标为.又因为点P在y=2cos的图像上,且≤x0≤π,所以cos=,且≤4x0-≤,从而得4x0-=或4x0-=,即x0=或x0=.。

北师大版高中数学必修四同步课时作业：1-6余弦函数的图像与性质.docx_5282

高中数学学习材料马鸣风萧萧 *整理制作§6余弦函数的图像与性质6．1 余弦函数的图像6． 2余弦函数的性质课时目标 1．能用描点法作出余弦函数的图像，了解余弦函数的图像与正弦函数的图像之间的联系． 2．能借助余弦函数图像理解和记忆余弦函数的性质．1．余弦函数y＝cos x( x∈R )的图像叫作 __________． y＝ cos x， x∈[0,2π]的图像上起关键作用的五个点为________，________________ ，__________ ，______________，________．2．余弦函数的性质函数y＝ cos x定义域R值域[ － 1,1]奇偶性偶函数周期性以 ________为周期 (k∈Z， k≠ 0)，________为最小正周期单调性当 x∈ ________________ 时，递增；当 x∈ ________________ 时，递减．最大值与当 x＝ ______________时，最大值为 ____；最小值当 x＝ ________________ 时，最小值为 ____．3．余弦函数的对称中心是余弦曲线与x 轴的交点，这些交点的坐标为________________________________________________________________________ ，余弦曲线的对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点，对称轴的方程为______________，此时余弦值取得最大值或最小值．一、选择题1．若 y＝ sin x 是减函数， y＝ cos x 是增函数，那么角x 在 ()A ．第一象限B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限－ cos x的单调递增区间是 ()2．函数 y＝ 2A ． [2k π＋π，2k π＋2π] (k ∈ Z )B ．[ k π＋π， k π＋ 2π] (k ∈ Z )πC ． 2k π， 2k π＋2 (k ∈ Z )D ． [2k π， 2k π＋π] (k ∈ Z )3．下列不等式正确的是()15 14π <cosπA ． cos 89B ．cos 515 <cos ° 530 °C ．cos － 23π<cos －17π5 4D ． cos(－ 120 °)>cos 330 ° 4．在 (0,2 π)内使 sin x>|cos x|的 x 的取值范围是 ( )π 3ππ π 5π 3π ，B ．， ∪ 4，A ．4 44 2 2π π5π 7π C ． 4，2D ． 4，4 5．下列函数中，最小正周期为 2π的是 ( ) A ． y ＝ |cos x| B ． y ＝ cos|x| C ．y ＝ |sin x| D ． y ＝ sin|x|6．下列函数中，周期为π ππ，且在 [ ， ] 上为减函数的是 ()4 2π A ． y ＝ sin(2 x ＋ 2)πC ．y ＝ sin(x ＋ 2) πB ． y ＝ cos(2x ＋ 2)πD ．y ＝ cos(x ＋ 2)二、填空题7．函数 y ＝ 2cos x ＋ 1的定义域是 ________________ ．8．方程 x 2－ cos x ＝ 0 的实数解的个数是 ________．9．设 0≤ x ≤ 2π，且 |cos x － sin x|＝ sin x － cos x ，则 x 的取值范围为 ________．三、解答题10．求函数 f(x)＝ cos x ＋ lg(8 x － x 2)的定义域．2π 2π11． (1)求函数 y ＝ 3cos x － 4cos x ＋ 1，x ∈ 3，3的值域；(2)已知函数 y ＝ acos 2x ＋ π＋ 3， x ∈ 0，π的最大值为 4，求实数 a 的值．3 2能力提升12．已知奇函数 f(x)在 [ － 1,0]上为单调递减函数，又 α、β为锐角三角形两内角，则 ( )A ． f(cos α)>f(cos β)B ． f(sin α)> f(sin β)C ．f(sin α)>f(cos β)D ． f(sin α)<f(cos β)13．已知 y ＝ lg cos 2x ． (1) 求它的定义域、值域； (2) 讨论它的奇偶性； (3) 讨论它的周期性；(4) 讨论它的单调性．1．求函数 y ＝ cos(ωx＋ φ) (ω>0)单调区间的方法是：把 ωx＋ φ看成一个整体，由 2k π－π≤ ωx＋ φ≤ 2k π(k ∈ Z )解出 x 的范围，所得区间即为增区间，由 2k π≤ ωx＋ φ≤2k π＋ π (k ∈ Z )解出 x 的范围，所得区间即为减区间．若 ω<0，先利用诱导公式把 ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法将 y 表示成以 sin x 或 cos x 为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定 y 的范围．§6 余弦函数的图像与性质6．1 余弦函数的图像 6． 2 余弦函数的性质答案知识梳理π31．余弦曲线(0,1) (2，0) ( π，－ 1) (2π， 0) (2 π，1) ．π2 π[2 k π－π， k π ∈Z ) [2k π，k π＋π∈Z )2 2k2 ](k2](kπ2k π(k ∈ Z ) 1 2k π＋ π(k ∈Z ) － 1 3． (k π＋ 2， 0)(k ∈ Z )x ＝ k π(k ∈ Z ) 作业设计1． C2． D u[ 令 u ＝－ cos x ，则 y ＝ 2 ，∵ y ＝ 2u 在 u ∈ (－ ∞ ，＋ ∞ )上是增函数．∴ y ＝ 2－cos x 的增区间，即 u ＝－ cos x 的增区间，即 u ＝cos x 的减区间 [2k π，2k π＋ π] (k ∈ Z )． ]3． C [ y ＝ cos x 在[ π， 2π]上单调递增，故 1514 π；y ＝ cos x 在 [360，°540 °]上单cos8 π >cos9调递减，故 cos 515 °>cos 530 °；又 cos(－ 120°)<0 ，cos 330 °>0，故 cos(－120°)<cos330 °，由上知排除 A ，B ，D ．由 y ＝ cos x 在 [ － 5π，－ 4π]上单调递增，故 cos － 23 175 π<cos － 4 π．故选 C ．]4．A [∵ sin x>|cos x|，∴ sin x>0，∴ x ∈ (0， π)，在同一坐标系中画出 y ＝ sin x ， x ∈ (0， π)与 y ＝ |cos x|， x ∈ (0， π)的图像，观察图像易得π 3 x ∈ 4，4π． ]5． B [ 画出 y ＝ sin|x |的图像，易知． D 不是周期函数， A 、 C 周期为 π， B 中 y ＝ cos|x | ＝ c os x ．T ＝ 2π． ]6． A [ 因为函数的周期为 π，所以排除 C 、 D ．又因为ππ π B 不符．只有函数 π y ＝ cos(2x ＋ )＝－ sin 2x 在 [ ， 2 ]上为增函数，故y ＝ sin(2x ＋ )的周 2 4 2 π π A ． ]期为 π，且在 [ ， 2 ]上为减函数．故选4 2 27． 2k π－ 3π， 2k π＋3π， k ∈ Z解析 2cos x ＋ 1≥ 0， cos x ≥ － 1，22 2π 结合图像知 x ∈ 2k π－ 3π， 2k π＋3 ， k ∈ Z ．8． 2解析作函数 y ＝cos x 与 y ＝ x 2的图像，如图所示，由图像，可知原方程有两个实数解．π 5π 9．， 44解析由题意知 sin x － cos x ≥ 0，即 cos x ≤ sin x ，在同一坐标系画出 y ＝ sin x ，x ∈ [0,2π]与 y ＝ cos x ， x ∈[0,2π]的图像，如图所示：π 5观察图像知 x ∈ [ 4， 4π]．10．解 8x － x 2>0 0<x<8由，得．cos x ≥0 cos x ≥ 0 画出 y ＝cos x ， x ∈ [0,3π]的图像，如图所示．π3π 5π结合图像可得： x ∈ 0， 2 ∪ 2 ， 2 ． 11．解∵ x ∈从而当2cos x －2 21． (1)y ＝ 3cos x － 4cos x ＋ 1＝ 33 － π 2π1， 1 ．3，，∴ cos x ∈ －3 3 2 2cos x ＝－ 1，即 x ＝ 2π3 时， y max ＝ 15；241π1．当 cos x ＝，即 x ＝时， y min ＝－4 23∴函数值域为－1， 15 ．4 4 π 4ππ ，∴ 2x ＋π (2)∵ x ∈ 0， 2 3∈ 3， 3 ， π1∴－ 1≤ cos 2x ＋ 3 ≤2．当 a>0， cosπ＝ 1时， y 取得最大值12x ＋ 3 22a ＋ 3，1∴ 2a ＋ 3＝ 4，∴ a ＝ 2．π当 a<0， cos 2x ＋ 3 ＝－ 1 时， y 取得最大值－ a ＋ 3， ∴－ a ＋ 3＝ 4，∴ a ＝－ 1．综上可知，实数 a 的值为 2 或－ 1．π π π 12． D[∵ α＋ β>2，∴ 2>α>2－ β>0，π∴ sin α>sin－ β，即 sin α>cos β2∴－ 1<－ sin α<－cos β<0，∵ f(x)在[ － 1,0]上单调递减， ∴ f(－ sin α)>f( －cos β)∴－ f(sin α)>－ f(cos β)，∴ f(sin α)<f(cos β)． ]13．解 (1) 要使函数 f(x)＝ lg cos 2x 有意义，则 cos 2x>0 ，π π 即－ 2＋ 2k π<2x<2＋ 2k π， k ∈ Z ， π π－＋ k π<x< ＋ k π， k ∈Z ，4 4∴函数的定义域为ππx|－＋kπ<x< ＋ kπ， k∈Z．4 4由于在定义域内0<cos 2x≤ 1，∴ lg cos 2x≤ 0，∴函数的值域为(－∞， 0]．(2)∵ f(－ x)＝ lg cos[2 ·(－x)]＝ lg cos 2x＝f(x)，∴函数是偶函数．(3)∵ cos 2x 的周期为π，即 cos 2(x＋π)＝ cos 2x．∴f(x＋π)＝lg cos 2(x＋π)＝lg cos 2x＝ f( x)．∴函数的周期为π．(4)y＝ lg u 是增函数．π当 x∈ －＋ kπ， kπ ( k∈Z ) 时， u＝ cos 2x 是增函数；4π当 x∈ kπ，4＋ kπ (k∈Z )时， u＝cos 2x 是减函数．π因此，函数y＝ lg cos 2x 在－＋kπ， kπ (k∈Z)上是增函数；在4是减函数．πkπ，4＋kπ(k∈Z ) 上。

北师大版数学必修4课时作业6余弦函数的图像余弦函数的性质 Word版含解析

课时作业余弦函数的图像余弦函数的性质基础巩固(分钟，分)
一、选择题(每小题分，共分)
．对于余弦函数＝的图象，有以下三项描述：
()向左向右无限延伸；
()与轴有无数多个交点；
()与＝的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
．个．个
．个．个
解析：如图所示为＝的图象．
可知三项描述均正确．
答案：
．函数＝)π－))是( )
．奇函数
．偶函数
．非奇非偶函数
．既是奇函数又是偶函数
解析：＝)π－))
＝))＋π))
＝－))＝－，
所以为偶函数．
答案：
．函数＝－在∈[－π，π]上的图像是( )
解析：把＝，∈[－π，π]的图像向下平移个单位长度即可．答案：
．若()＝在[－，－]上是增加的，则()在[，]上是( )
．奇函数．偶函数
的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为
画出函数＝＋的简图．
求使此函数取得最大值、最小值的自变量的集合并分别写出最大值讨论此函数的单调性．。

2020-2021学年高中数学第一章三角函数 6 余弦函数的图像与性质课时作业（含解析）北师大版

第一章三角函数[课时作业] [A 组基础巩固]1．函数y ＝－x cos x 的部分图像是( )解析：∵y ＝－x cos x 是奇函数，∴图像应关于原点对称，故排除A 、C 两项．又x ∈(0，π2)时，y＝－x cos x ＜0，故选D. 答案：D2．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图像和直线y ＝12的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2＝sin x2. ∵x ∈[0,2π]，∴x2∈[0，π]，取关键点列表如下：x 0 π 2π x 2 0 π2 π sin x 210 ∴y ＝sin x 2，x ∈[0,2π]的图像如图．由图可知y ＝sin x 2，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝12有两个交点．答案：C3．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是( ) A ．cos 0＜cos 12＜cos 1＜cos 30°＜cos πB ．cos 0＜cos π＜cos 12＜cos 30°＜cos 1C ．cos 0＞cos 12＞cos 1＞cos 30° ＞cos πD ．cos 0＞cos 12＞cos 30°＞cos 1＞cos π解析：在[0，π2]上，0＜12＜π6＜1，又余弦函数在[0，π2]上是减少的，所以cos 0＞cos 12＞cos π6＞cos 1＞0.又cos π＜0，所以cos 0＞cos 12＞cos π6＞cos 1＞cos π.答案：D4．设M 和m 分别是函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )A.23 B ．－23C ．－43D ．－2解析：需根据y ＝cos x 的性质(或图像)确定M 、m .由y ＝13cos x －1，可知y max ＝M ＝13－1＝－23，y min ＝m ＝－13－1＝－43.所以M ＋m ＝－2.答案：D5．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x ＜cos x ，下列命题中正确的是( )A ．该函数的值域是[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，函数取得最大值1C ．当且仅当x ＝2k π－π2(k ∈Z)时，函数取得最大值－1D ．当且仅当2k π＋π＜x ＜2k π＋3π2(k ∈Z)时，f (x )＜0解析：画出函数f (x )的图像(图略)，由图像容易看出：该函数的值域是⎣⎡⎦⎤－22，1；当且仅当x ＝2k π＋π2或x ＝2k π，k ∈Z 时，函数取得最大值1；当且仅当x ＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，函数取得最小值－22；当且仅当2k π＋π＜x ＜2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )＜0，可知A ，B ，C 不正确，故选D. 答案：D6．函数y ＝|cos x |的最小正周期是________．解析：画出y ＝cos x 的图像，把位于x 轴下方的图像关于x 轴翻折后，可得到y ＝|cos x |的图像，可知周期为π. 答案：π7．函数f (x )＝lg(1＋2cos x )的定义域是________．解析：由条件知1＋2cos x ＞0，即1≥cos x ＞－12，解得2k π－2π3＜x ＜2k π＋2π3，k ∈Z.从而定义域为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，2π3＋2k π(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，2π3＋2k π(k ∈Z) 8．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．解析：作出函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像，如图所示，由图像可知原方程有两个实数解．答案：29．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2－cos x ；(2)f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ·b ≠0)．解析：(1)∵x ∈R ，又f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)∵x ∈R ，又f (－x )＝a sin(－x )＋b cos(－x ) ＝－a sin x ＋b cos x ，∴f (－x )≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )， ∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． 10．求函数y ＝cos 2x －3cos x ＋2的值域．解析：y ＝cos 2x －3cos x ＋2＝(cos x －32)2－14.∵－1≤cos x ≤1，y 关于cos x 是单调递减的， ∴当cos x ＝－1时，y max ＝(－1)2－3×(－1)＋2＝6；当cos x ＝1时，y min ＝1－3×1＋2＝0.故此函数的值域是[0,6]．[B 组能力提升]1．函数y ＝ln cos x (－π2＜x ＜π2)的图像是( )解析：∵－π2＜x ＜π2，∴0＜cos x ＜1，ln cos x ＜0，图像应在x 轴下方．答案：A2．在(0,2π)内使sin x ＞|cos x |成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4解析：∵sin x ＞|cos x |，∴sin x ＞0，∴x ∈(0，π)．在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图像，如图．观察图像易得使sin x ＞|cos x |成立的x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，故选A. 答案：A3．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，x ∈[0,2π]，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，sin x ≥cos x ，sin x ，sin x ＜cos x .作出区间[0,2π]内f (x )的图像，如图．由f (x )的图像可得f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 4．若cos x ＝1－m 2m ＋3，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，则m 的取值范围是________．解析：由y ＝cos x 的图像可知，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3时y ＝cos x 的值域为⎣⎡⎦⎤12，1，所以12≤1－m2m ＋3≤1，解之得－23≤m ≤－14.答案：[－23，－14]5．求下列函数的最大值和最小值： (1)y ＝3－2cos(x ＋π)； (2)y ＝cos x －2cos x －1.解析：(1)∵y ＝3－2cos(x ＋π)＝3＋2cos x ， ∴－1≤cos x ≤1，∴3－2≤y ≤3＋2，即1≤y ≤5， ∴y max ＝5，y min ＝1.(2)解法一 (利用分子常数化)：∵y ＝cos x －2cos x －1＝cos x －1－1cos x －1＝1＋11－cos x ，∴当cos x ＝－1时，y min ＝1＋12＝32，无最大值．解法二 (利用函数有界性)：由y ＝cos x －2cos x －1，得cos x ＝y －2y －1.又∵－1≤cos x ≤1，∴|y －2y －1|≤1，∴|y －2|≤|y －1|， ∴y 2－4y ＋4≤y 2－2y ＋1，∴2y ≥3，∴y ≥32，∴y min ＝32，无最大值，此时，cos x ＝－1.∴y min ＝32.6．阅读如图所示的流程图．若记y ＝f (x )， (1)写出y ＝f (x )的解析式，并求函数的值域； (2)若x 0满足f (x 0)＜0，且f (f (x 0))＝1，求x 0.解析：(1)f (x )＝⎩⎨⎧x 2(x ≤0)2cos x (0＜x ＜π)x 3(x ≥π)当x ≤0时，f (x )＝x 2∈[0，＋∞)；当0＜x ＜π时f (x )＝2cos x ∈(－2,2)；当x ≥π时f (x )＝x 3∈[π3，＋∞)．综上可知：函数f (x )的值域为(－2，＋∞)． (2)∵f (x 0)＜0，∴f (f (x 0))＝[f (x 0)]2＝1，∴f (x 0)＝－1， ∴f (x 0)＝2cos x 0＝－1， ∴cos x 0＝－12.又由f (x 0)＜0知π2＜x 0＜π，∴x 0＝2π3.。

新培优同步北师大数学必修四练习：第一章 §6 余弦函数的图像与性质含解析

§6余弦函数的图像与性质课时过关·能力提升1.要得到函数f(x)=sin x的图像,可以将g(x)=cos x的图像()A.向左平移π个单位长度B.向右平移π个单位长度C.向左平移π2个单位长度D.向右平移π2个单位长度答案:D2.函数y=-x cos x的部分图像是下图中的()解析:因为函数y=-x cos x是奇函数,图像关于原点对称,所以排除选项A,C;当x∈(0,π2)时,y=-x cos x<0,所以排除选项B.故选D.答案:D3.已知函数f(x)=cos|x|+π2(x∈R),则下列叙述错误的是()A.f(x)的最大值与最小值之和等于πB.f(x)是偶函数C.f(x)在[4,7]上是增加的D.f(x)的图像关于点(π2,π2)成中心对称解析:由题意,得f(x)=cos|x|+π2的最大值为1+π2,最小值为-1+π2,最大值与最小值之和为π,A项正确;B项中,f(x)是偶函数,正确;对于C项,f(x)在[π,2π]上是增加的,在[2π,3π]上是减少的,而π<4<2π,2π<7<3π,故C项说法错误;当x=π2时,f(x)=0+π2=π2,f(x)的图像关于点(π2,π2)成中心对称,正确.故选C.答案:C4.cos 110°,sin 10°,-cos 50°的大小关系为()A.cos 110°>sin 10°>-cos 50°B.cos 110°>-cos 50°>sin 10°C.sin 10°>-cos 50°>cos 110°D.sin 10°>cos 110°>-cos 50°解析:sin 10°=cos 80°,-cos 50°=cos(180°-50°)=cos 130°.因为函数y=cos x在[0°,180°]上是减少的,所以cos 80°>cos 110°>cos 130°,即sin 10°>cos 110°>-cos 50°.答案:D5.给出下列函数:①y=x-x3;②y=x sin x+cos x;③y=sin x cos x;④y=2x+2-x.其中偶函数的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:由定义易判断②④为偶函数,①③为奇函数.答案:B6.在[0,2π]范围内,使sin x≥|cos x|成立的x的取值范围为()A.[π4,3π4] B.[π4,5π4] C.[5π4,7π4] D.[π4,π2]解析:在同一平面直角坐标系中,画出函数y=sin x,x∈[0,2π]与函数y=|cos x|,x∈[0,2π]的图像,如图所示,则当sin x≥|cos x|时,π4≤x≤3π4.答案:A7.若函数y=cos x在区间[-π,a]上是增加的,则a的取值范围为.解析:∵y=cos x在[-π,0]上是增加的,∴-π<a≤0.答案:(-π,0]8.已知函数f(x)={x2,x<0,4cosx,0≤x<π2,则不等式f(x)>2的解集是_________________.解析:当x<0时,f(x)=x2,由x2>2,得x<−√2;当0≤x<π2时,f(x)=4cos x,由4cos x>2,得cosx>12,解得0≤x<π3.综上,不等式f(x)>2的解集是(-∞,−√2)∪[0,π3).答案:(-∞,−√2)∪[0,π3)9.已知函数y=-cos x的图像C1与函数y=sin x的图像C2,则下列说法不正确的是.(填序号)①C 1与C 2关于x 轴对称;②C 1与C 2关于直线x=−π4对称;③C 1与C 2关于直线x =3π4对称.解析:在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像(图略),通过观察图像可知①不正确,②③正确.答案:①10.已知函数f (x )=a-b cos x 的最大值是32,最小值是−12,求函数g(x)=−4asin 3bx 的最大值.解:∵函数f (x )的最大值是32,最小值是−12,∴当b>0时,{a +b =32,a -b =-12,解得{a =12,b =1;当b<0时,{a -b =32,a +b =-12,解得{a =12,b=-1.故g (x )=-2sin 3x 或g (x )=2sin 3x.上述两种情况下,g (x )的最大值均为2.11.已知方程cos x-cos 2x+1+a=0在区间[-π3,0]上有实数解,求实数a 的取值范围.解:∵x ∈[-π3,0],∴12≤cos x ≤1.由cos x-cos 2x+1+a=0,得cos 2x-cos x=a+1,∴(cosx -12)2=a +54.令y =(cosx -12)2,则0≤y≤14,∴0≤a+54≤14,∴−54≤a≤-1,∴实数a的取值范围是[-54,-1].12.★求下列函数的定义域.(1)y=√;(2)y=lg(2sin x-1)+√1-2cosx.解:(1)要使函数有意义,只需sin(cos x)≥0.∵cos x∈[-1,1],且sin(cos x)≥0,∴cos x∈[0,1].∴y=√sin(cosx)的定义域为{x|2kπ-π2≤x≤2kπ+π2,k∈Z}.(2)依题意,得{2sinx-1>0,1-2cosx≥0,即{sinx>12,cosx≤12,{2kπ+π6<x<2kπ+5π6(k∈Z),2kπ+π3≤x≤2kπ+5π3(k∈Z),解得2kπ+π3≤x<2kπ+5π6(k∈Z).故所求函数的定义域为[2kπ+π3,2kπ+5π6)(k∈Z).。

北师大版高中数学必修四学余弦函数的图像与性质课后训练

"【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 1.6余弦函数的图像与性质课后训练北师大版必修4 "1．函数y ＝2cos x ＋12的值域是( )． A ．[－1,1] B ．[－2,2]C ．35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．R 2．函数3cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递减区间是( )． A ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) B ．511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) 3．在同一平面直角坐标系中，函数3cos 22x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(x ∈[0,2π])的图像和直线1=2y 的交点个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．44．如果x ∈[0,2π]，则函数y =的定义域为( )．A ．[0，π]B ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[π，2π] 5．方程log 2x ＝cos x 的实根个数是( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个6．设p ＝cos 3，q ＝cos 4，r ＝cos 5，则p ，q ，r 的大小关系是( )．A ．p ＞q ＞rB ．q ＞p ＞rC ． r ＞q ＞pD ．r ＞p ＞q7．(1)函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围为________．(2)函数y ＝4cos 2x ＋4cos x －2的值域是__________．8．判断下列函数的奇偶性．(1) y =(2) y x =．9．求函数32cos 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，x ∈,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值及取得相应最值时x 的值．10．设a ，b 为常数，f (x )＝(a －3)sin x ＋b ，g (x )＝a ＋b cos x ，且f (x )为偶函数．(1)求a 的值；(2)若g (x )的最小值为－1，且sin b ＞0，求b 的值．参考答案1答案：C2答案：D3答案：C4答案：C5答案：B6答案：C7答案：(1)(－π，0] (2)[－3,6] 8答案：(1)偶函数(2)偶函数9答案：6x π=时，y 取最小值12x π=时，y 取最大值4 10答案：(1)3 (2)－4。

余弦函数的图像与性质课时练习-北师大版高中数学必修4

课时练习（八）余弦函数的图像与性质一、基本能力达标1．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：选A 可代入验证，对A 项x ＝π4时f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＝cos 0＝1，故x ＝π4是它的一条对称轴．同理得B 、C 、D 项都不符合，选A.2．函数y ＝－2cos x ＋3的值域为( ) A ．[1,5] B ．[－5,1] C ．[－1,5]D ．[－3,1]解析：选A ∵－1≤cos x ≤1， ∴1≤－2cos x ＋3≤5，即值域为[1,5]．3．函数y ＝cos x －2在x ∈[－π，π]上的图像是( )解析：选A 把y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图像向下平移2个单位长度即可． 4．若f (x )＝cos x 在[－b ，－a ]上是增加的，则f (x )在[a ，b ]上是( ) A ．先增加后减少 B ．先减少后增加 C ．减少的 D ．增加的解析：选C f (x )＝cos x 是偶函数，偶函数在对称的区间上单调性相反． 5．函数y ＝|cos x |的一个单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π解析：选C 作出函数y ＝|cos x |的图像，由图像可知A 、B 都不是单调区间，D 为单调递增区间，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2为单调递减区间，故选C. 6．方程x 2＝cos x 的实数解的个数为________．解析：作出函数y ＝x 2与y ＝cos x 的图像(如图)，由图像可知y ＝x 2与y ＝cos x 的图像有两个交点， ∴方程x 2＝cos x 有两个解．答案： 27．比较大小：cos 15π8________cos 14π9.解析：∵cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8，cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9，而0<π8<4π9<π2，又y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减少的，∴cos π8>cos 4π9，即cos 15π8>cos 14π9.答案：>8．函数y ＝cos(－x )，x ∈[0,2π]的单调递减区间为________．解析：y ＝cos(－x )＝cos x ，当x ∈[0,2π]时，其单调递减区间为[0，π]．答案：[0，π]9．画出函数y ＝1＋|cos x |，x ∈[0,2π]的图像．解：列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝cos x10 －1 0 1 y ＝1＋|cos x | 21212描点画图(如图所示)．10．求函数y ＝2－cos x3的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x 的取值集合．解：令z ＝x3，∵－1≤cos z ≤1，∴1≤2－cos z ≤3，∴y ＝2－cos x3的最大值为3，最小值为1.当z ＝2k π，k ∈Z 时，cos z 取得最大值，2－cos z 取得最小值．又z ＝x3，故x ＝6k π，k ∈Z.当z ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，cos z 取得最小值，2－cos z 取得最大值；又z ＝x3，故x ＝(6k ＋3)π，k ∈Z.综上，该函数取得最大值3时，x ＝(6k ＋3)π，k ∈Z ；该函数取得最小值为1时，x ＝6k π，k ∈Z.二、综合能力提升1．下列函数中，最小正周期为2π的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin|x |解析：选B 由y ＝sin|x |的图像，易知选项D 不是周期函数．选项A 、C 的最小正周期均为π.B 中y ＝cos|x |＝cos x ，最小正周期为2π.2．下列函数中，最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2解析：选A 因为函数的最小正周期为π，所以排除C 、D.又y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合题意．只有函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数．故选A. 3．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x | C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |解析：选A作出函数f (x )＝|cos 2x |的图象如图所示．由图象可知f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增．同理可得f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，f (x )＝cos|x |的周期为2π.f (x )＝sin|x |不是周期函数，故选A.4．在(0,2π)内使sin x ＞|cos x |成立的实数x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤5π4，3π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫5π4，7π4 解析：选A ∵sin x ＞|cos x |，∴sin x ＞0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图像，观察图像易得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.5．函数ƒ(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则ƒ(π)＝________.解析：由已知2πω＝2π3得ω＝3，∴ƒ(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3，∴ƒ(π)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π－π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－3cos π3＝－32. 答案：－326．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3.答案：2k π＋π，k ∈Z7．若函数f (x )＝a －b cos x (b ＞0)的最大值为32，最小值为－12，求函数g (x )＝－4a cos bx的最大值、最小值和最小正周期．解：∵f (x )＝a －b cos x (b ＞0)， ∴f (x )max ＝a ＋b ＝32，f (x )min ＝a －b ＝－12.联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.∴g (x )＝－4a cos bx ＝－2cos x ，∴g (x )max ＝2，g (x )min ＝－2，最小正周期T ＝2π.8．已知sin 2x ＋cos 2x ＝1，函数f (x )＝－12－a 4＋a cos x ＋sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的最大值为2，求实数a 的值．解：由题意得f (x )＝－12－a 4＋a cos x ＋1－cos 2x＝－cos 2x ＋a cos x ＋12－a 4＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 2－a ＋24. ∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1.(1)若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2，则当cos x ＝a2时，函数f (x )可取得最大值，此时f (x )max ＝a 2－a ＋24.由a 2－a ＋24＝2，得a ＝3或a ＝－2，均不符合0≤a ≤2.(2)若a2＜0，即a ＜0，则当cos x ＝0时，函数f (x )可取得最大值，此时f (x )max ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22＋a 2－a ＋24＝－a ＋24.由－a ＋24＝2，得a ＝－6.(3)若a2＞1，即a ＞2，则当cos x ＝1时，函数f (x )可取得最大值，此时f (x )max ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 22＋a 2－a ＋24＝3a －24.由3a －24＝2，得a ＝103.综上所述，实数a 的值为－6或103.。

高中数学必修四北师大版 6余弦函数的图像与性质 课时作业 含答案

北师大版数学高一必修4课时作业：6余弦函数的图像_余弦函数的性质_Word版含解析

高一数学北师大版必修4教师用书第1章 §6 余弦函数的图像与性质 Word版含解析

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