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二次曲面【高等数学PPT课件】
（一）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1(
x
a,
y
b,
z
c)
椭球面与三个坐标面的交线：
x
2
a
2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
y
0
z2 c2
1,
z
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
z
o
o
y
y
y
x
x
x
（二）双曲面
第八节 二 次 曲 面
二次曲面的定义：
a11 x2 a22 y2 a33 z2 2a12 xy 2a23 yz
2a13 xz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌．
z
z
z
o
y
o
x oy x
y x
z x2 y2 y x2 z2
x y2 z2
(2)
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2
z（ p 与 q 同号）
pq
z
o x
z o x
y
z x>0x<0
o y
y x
x2 y2 z
pq
y>0
y<0
x2 y2 z
二次曲面3.4
2 2
顶点在yoz面上，开口向下.
双曲抛物面
x a
2 2
（马鞍面）
y b
2 2
z
z
截痕法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
y
0
椭圆抛物面与双曲抛物面都没有对称中心， 又称它们为无心二次曲面.
作业：P59 2、3、4、7 思考题：
o
y
椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面都有唯一 的对称中心，因此又称它们为中心二次曲面.
3、抛物面 抛物面分为椭圆抛物面和双曲抛物面. （1）椭圆抛物面
方程 z
x a
2 2
y b
2 2
所表示的曲面称为椭圆抛物面
椭圆抛物面关于xoz面和yoz面对称，从而关 于z 轴对称；z ≥0时，图形在xoy面的上方. （注： z x 2 y 2 也是椭圆抛物面，图形在
§3.4 二次曲面
一、基本内容
二次曲面的定义：三元二次方程
ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的平面截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考 察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了 解曲面的全貌．
2 2
当 z 1 变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
椭圆抛物面
x p
2 2
y q
2 2
2z
z
截痕法
用z = a截曲面 用y = b截曲面
顶点在yoz面上，开口向下.
双曲抛物面
x a
2 2
（马鞍面）
y b
2 2
z
z
截痕法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
y
0
椭圆抛物面与双曲抛物面都没有对称中心， 又称它们为无心二次曲面.
作业：P59 2、3、4、7 思考题：
o
y
椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面都有唯一 的对称中心，因此又称它们为中心二次曲面.
3、抛物面 抛物面分为椭圆抛物面和双曲抛物面. （1）椭圆抛物面
方程 z
x a
2 2
y b
2 2
所表示的曲面称为椭圆抛物面
椭圆抛物面关于xoz面和yoz面对称，从而关 于z 轴对称；z ≥0时，图形在xoy面的上方. （注： z x 2 y 2 也是椭圆抛物面，图形在
§3.4 二次曲面
一、基本内容
二次曲面的定义：三元二次方程
ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的平面截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考 察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了 解曲面的全貌．
2 2
当 z 1 变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
椭圆抛物面
x p
2 2
y q
2 2
2z
z
截痕法
用z = a截曲面 用y = b截曲面
高等数学 二次曲面
（3）用坐标面 yoz ( x = 0)， x = x1与曲面相截 ） 均可得抛物线. 均可得抛物线 时可类似讨论. 同理当 p < 0, q < 0 时可类似讨论
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系` 9
椭圆抛物面的图形如下： 椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p < 0, q < 0
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
19
思考题
x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 方程 表示怎样的曲线？ 表示怎样的曲线？ x = −3
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
20
思考题解答
2 2 − 4 y + z = 16 x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 ⇒ . x = −3 x = −3
表示双曲线. 表示双曲线.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
21
练 习 题
y2 + z2 − 2x = 0 一、求曲线 ，在 xoy 面上的投影曲线 z = 3 的方程， 的方程，并指出原曲线是什么曲线 . 画出方程所表示的曲面： 二、画出方程所表示的曲面： z x2 y2 1、 = + ； 3 4 9 2、16 x 2 + 4 y 2 − z 2 = 64 . 画出下列各曲面所围成的立体的图形： 三、画出下列各曲面所围成的立体的图形： y 1、 x = 0 , z = 0 , x = 1 , y = 2 , z = ； 4 2、 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x 2 + y 2 = R 2 , y 2 + z 2 = R 2 (在第一卦限内 在第一卦限内) (在第一卦限内) .
曲面及其方程、二次曲面-PPT
8
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
播放
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
播放
8-5-二次曲面
同理： 同理 ： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程 轴旋转一周的旋转曲面方程为 旋转曲面方程为
f y , ± x 2 + z 2 = 0.
(
)
第23页
e.g.6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程． 求生成的旋转曲面的方程．
第26页
8.5.4 锥面
给定空间一曲线C , 给定空间一点 A ， 过C 上每一点引过 A 的直线 l ， 这些直线组成的曲面称为锥面 这些直线组成的曲面称为锥面 最简单且最常用 最简单且最常用的例子 且最常用的例子： 的例子：正圆锥面
z 2 = x2 + y2 , x = 1 − y2 + z 2
( x − t )2 + ( y − t )2 + ( z − t )2 = t 2
思考： 思考：如果球面过M(-1,2,-5), 应该如何？ 应该如何？ 修改圆方程的形式， 修改圆方程的形式，也就是圆心的 三个坐标的正负号
第4页
8.5.2 柱面
准 线 定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 母 线
8-5 二次曲面
第1页
一、基本内容 二次曲面的定义： 二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面 实际上我们主要讨论没有交叉项的情形 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
2 y2 x2 + 2 = 1 , a b z = 0
线性代数之二次曲面PPT课件
的方向为z 轴的正向.取t 为参数,
t 0时, 点M位于A(a,0,0)处. 经过
时间t, 动点运动到Mt(x,y,z).
设M '为 M t在xoy面上的投影
M'(x, y,0)， AOM't
于是xyaacsoins((tt))
.
A
O。 M t
M'
x
y
27
xacos(t) 该曲线参数方程为:yasin(t)
8.4 空间中的曲面与曲线
曲面(曲线)方程: 1. 曲面(曲线)上的任一点的坐标都满足该
方程. 2. 坐标满足方程的点都在该曲面(曲线)上.
.
1
这一节我们主要研究： 1. 球面 2. 柱面 3. 旋转曲面
一 、 空 间 曲 线 的 一 般 方 程 4.空 间 曲 线 二 、 空 间 曲 线 的 参 数 方 程
zvt
称 此 曲 线 为 螺 旋 线
.
28
三、空间曲线在坐标面上的投影
投 影 曲 线设 C 是 一 条 空 间 曲 线 , 是 一 个 平 面 , 以 C 为 准 线 ,作 母 线 垂 直 与 的 柱 面 ,称 该 柱 面 与 平 面 的 交 线 为 C 在 平 面 上 的 投 影 曲 线 ,简 称 投 影 .
解：z不动，用 x2y2替代zky中的y得
z
zk x2 y2
即
x2 y2
z2 k2
0
o
圆锥面：直线L绕另一条与L相交的直
y
半 顶 角 ： 两 线直 旋线 转的 夹 一角 周 所（ 得0 的 旋转 面） x 2
.
16
.
17
例 求 双 曲 线 a x2 2b z2 2 1绕 x轴 旋 转 一 周 所 得 曲 面 的 方 程 y0
二次曲面的定义
截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
x a
z c
0
,
x a
z c
0
.
y b
y b
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
均可得双曲线.
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平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
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x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x2
a2
y2 b2
1,
z 0
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
z
o y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
a 2
c
2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
x2 a2
y2 b2
1
z 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
z z1
当 z1变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
z12
)
1
z z1
| z1 | c
同理与平面 x x1 和 y y1 的交线也是椭圆.
二次曲面
x2 a2
y2 a2
z2
x2 y2 a2 z2 圆锥面
二、小结 椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
思考题
方程
x2 4y2 z2
25
表示怎样的曲线？
x 3
思考题解答
x2 4y2 z2 x 3
25
4 y2 z2 x 3
16 .
表示平面 x = -3上的一条双曲线.
(2)
a b c,
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
（二）抛物面
1. 椭圆抛物面
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
用截痕法讨论：设 p 0, q 0 （1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
截得抛物线
x2
2
pz
y 0
x2 y2 z （ p 与 q 同号）
2 p 2q
与平面 y y1 的交线为抛物线.
x
2
2
p
z
y12 2q
y y1
它的轴平行于z 轴
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
（3）用坐标面 yoz ( x 0)，x x1与曲面相截
均可得抛物线.
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
z 0
z
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
o
y
x2 a2
第讲二次曲面-精品
在一般情况下，如果曲面S与方程
F(x,y,z)0 有下面的关系：
（1）
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程（1）；
（2）不在曲面S上的点的坐标都不，而曲面S就叫做方程（1）
的图形．
象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间
解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而
第8讲---二次曲面
一、曲面的方程 二、常见的曲面的方程: 三、一般二次曲面
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
学习目标
1．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲 面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面 上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及 其图形. 2．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其 图形.
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
上面我们看到,不含z的方程x2+y2=R2在空间直 角坐标系中表示圆柱面,它的母线平行于z轴,它的准线 是xOy面上的圆x2+y2=R2．
一般地,只含x、y,而缺z的方程F(x,y)=0,在空 间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面,其准线 是xOy面上的曲线C:F(x,y)=0.
给定 yoz 面上曲线 C: f(y,z)0
若点 M 1 (0 ,y 1 ,z1 ) C ,则有 f(y1,z1)0
z C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M(x,y,z),则有 zz1 , x2y2y 1
故旋转曲面方程为
M(x,y,z)
M1(0,y1,z1)
o
y
x
f( x2y2,z)0
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
例如,方程y2=2x表示母线平行于z轴的柱 面,它的准线是xOy面上的抛物线y2=2x ，该柱面叫做抛物柱面(如图所示）。
高等数学7.9 二次曲面
x2 y2 2 1, a2 b 2 2 2 (c z1 ) (c z12 ) 2 c c2 z z1.
这是平面zz 1内的椭圆，
其中心在z轴上．
以平面yy1(| y1| b)， 或xx1(| x1| a)去截椭球 面，分别可得与上述类 似的结果．
椭球面与平面的交线： 椭球面与三个坐标面的交线分别为 x2 y2 y2 z2 x2 z 2 2 2 1, 2 2 1, 2 2 1, a b b c a c z 0; x 0; y 0. 这些交线都是椭圆．
椭球面与平面zz 1(| z 1|<c)的交线
截痕是圆
x 2 y 2 2 pz1 , z z1.
双曲抛物面： 由方程
x2 y2 z (p与q同号) 2 p 2q
所表示的曲面叫做双曲抛物面或鞍形曲面．
三、双曲面
单叶双曲面：
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 所表示的曲面叫做单叶双曲面． a b c
§7．9 二次曲面
一、椭球面
二次曲面、截痕法 椭球面、椭球面与平面的交线、 特殊的椭球面
二、抛物面
椭圆抛物面、椭圆抛物面与平面的交线 旋转抛物面、双曲抛物面
三、双曲面
单叶双曲面、单叶双曲面与平面的交线 双叶双曲面
一、椭球面
二次曲面：
我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．
截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 的形状，然后加以综合，从而了解曲面的立体形状．这种方法 叫做截痕法．
二、抛物面
x2 y2 z (p q>0) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面． 由方程 2 p 2q
这是平面zz 1内的椭圆，
其中心在z轴上．
以平面yy1(| y1| b)， 或xx1(| x1| a)去截椭球 面，分别可得与上述类 似的结果．
椭球面与平面的交线： 椭球面与三个坐标面的交线分别为 x2 y2 y2 z2 x2 z 2 2 2 1, 2 2 1, 2 2 1, a b b c a c z 0; x 0; y 0. 这些交线都是椭圆．
椭球面与平面zz 1(| z 1|<c)的交线
截痕是圆
x 2 y 2 2 pz1 , z z1.
双曲抛物面： 由方程
x2 y2 z (p与q同号) 2 p 2q
所表示的曲面叫做双曲抛物面或鞍形曲面．
三、双曲面
单叶双曲面：
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 所表示的曲面叫做单叶双曲面． a b c
§7．9 二次曲面
一、椭球面
二次曲面、截痕法 椭球面、椭球面与平面的交线、 特殊的椭球面
二、抛物面
椭圆抛物面、椭圆抛物面与平面的交线 旋转抛物面、双曲抛物面
三、双曲面
单叶双曲面、单叶双曲面与平面的交线 双叶双曲面
一、椭球面
二次曲面：
我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．
截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 的形状，然后加以综合，从而了解曲面的立体形状．这种方法 叫做截痕法．
二、抛物面
x2 y2 z (p q>0) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面． 由方程 2 p 2q
7-8二次曲面M-PPT精选文档
（熟知这几个常见曲面的特性）
2 2 2 思考题 方程 x 4y z 25 表示怎样的曲线？ 3 x
思考题解答
2 2 4 y z 16 x 4y z 25 . 3 3 x x
2
2
2
表示双曲线.
第八节 二 次 曲 面
一、基本内容 二、小结 思考题
一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截， 考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
2 2 2 2 方程可写为 x y z a .
(2)双曲面
1). 单叶双曲面 2 2 2 x y z 1 方程 2 2 2 a b c 所确定的曲面称为单叶双曲面． x
z
o
y
x2 y2 z2 2 1 特别地，当 a b 时， 曲面 2 a c
为单叶旋转双曲面．
2). 双叶双曲面
x y z 1 方程 2 2 2 a b c双曲面． x
2 2 2 x y z 特别地当 a b 时， 曲面 2 1 2 a c
o
y
为双叶旋转双曲面．
(3)抛物面
1). 椭圆抛物面 方程
z
x2 y2 z （ p与 q 同号） 2 p 2q
x
所确定的曲面称为椭圆抛物面．
x2 y2 特 别 地 当 p q 时 ， 曲 面 z 2p
o
y
为旋转抛物面．
2). 双曲抛物面 （马鞍面）
z
x2 y2 方程 z 2 p 2q
2 2 2 思考题 方程 x 4y z 25 表示怎样的曲线？ 3 x
思考题解答
2 2 4 y z 16 x 4y z 25 . 3 3 x x
2
2
2
表示双曲线.
第八节 二 次 曲 面
一、基本内容 二、小结 思考题
一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截， 考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
2 2 2 2 方程可写为 x y z a .
(2)双曲面
1). 单叶双曲面 2 2 2 x y z 1 方程 2 2 2 a b c 所确定的曲面称为单叶双曲面． x
z
o
y
x2 y2 z2 2 1 特别地，当 a b 时， 曲面 2 a c
为单叶旋转双曲面．
2). 双叶双曲面
x y z 1 方程 2 2 2 a b c双曲面． x
2 2 2 x y z 特别地当 a b 时， 曲面 2 1 2 a c
o
y
为双叶旋转双曲面．
(3)抛物面
1). 椭圆抛物面 方程
z
x2 y2 z （ p与 q 同号） 2 p 2q
x
所确定的曲面称为椭圆抛物面．
x2 y2 特 别 地 当 p q 时 ， 曲 面 z 2p
o
y
为旋转抛物面．
2). 双曲抛物面 （马鞍面）
z
x2 y2 方程 z 2 p 2q
《I二次曲面介绍》PPT课件_OK
z' 1 (x'2- 2x') 1 y'2-2
2
2
O' =O
= 1 (x' - 2)2 1 y'2 -3.
2
2
这仍不是标准方程，它在新的坐标系中
所表示的曲面仍不显然.
e1
e2'
e2
e1'
18
z' = 1 (x' - 2)2 1 y'2 -3. 这是从[O', e1' , e2' , e3' ]到[O'', e1'', e2'' , e3'' ]
x 0.
椭圆抛物面可以看成是一个顶点x在两条抛物线上的
椭圆运动产生。
y
13
5 双曲抛物面（马鞍面）
z
x2 a2
y2 b2
所表示的曲面.
对称性：对称于 xz, yz
平面和 z轴.
z
用z = h截曲面得
到
x2 a2
y2 b2
h,
z h.
用y = 0截曲面得到
x2 a2z,
y 0.
用x = k截曲面得到
y
2
b2 (z
k2 a2
)
x k
x
0
y
双曲抛物面可以看成是顶点在 14 一条抛物线上的抛物线运动产生。
椭圆抛物面，双曲抛物面没有对称中心，所以叫做
无心二次曲面
z z
x y
0
0
.
y
x
椭圆抛物面
双曲抛物面 15
§3 二次方程的化简
二次曲面：三元二次方程所表示的曲面.
2019年六节常见二次曲面.ppt
第六节 常见的二次曲面
一、椭球面
二、单叶双曲面
三、双叶双曲面 四、二次锥面
五、椭圆抛物面 六、双曲抛物面
称二次方程表示的曲面为二次曲面.
截痕法 用三组平行于坐标面的平面截割所给曲面，然 后由截痕曲线的几何特性分析曲面的几何特性的方法 称为截痕法.
一、椭球面
方程
x2 a2
y2 b2
Байду номын сангаас
z2 c2
1
(2)
a2 b2 c2
所确定的曲面称为单叶双曲面.
三、椭圆抛物面
方程 x2 y 2 z ( p, q同号)
(5)
2 p 2q
所确定的曲面为椭圆抛物面.
若p>0，q>0.利用截痕法可作出其图形.
0，即截痕缩为一
点.当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
z=|h|(|h|>c)不相交.
因此椭球面介于 c z c 的范围内.
同理，用Oxz面截所给曲面的截痕为椭圆
x2 a2
z2 c2
1,
y 0.
用平行于Oxz面的平
面y=h截所给曲面，截痕
为椭圆
x2 a2
(1)
所确定的曲面称为椭球面.
用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆
x2 a2
y2 b2
1,
z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 a2
y2 b2
1
h2 c2 ,
z h.
当h=±c时，截痕为
x2 a2
y2 b2
一、椭球面
二、单叶双曲面
三、双叶双曲面 四、二次锥面
五、椭圆抛物面 六、双曲抛物面
称二次方程表示的曲面为二次曲面.
截痕法 用三组平行于坐标面的平面截割所给曲面，然 后由截痕曲线的几何特性分析曲面的几何特性的方法 称为截痕法.
一、椭球面
方程
x2 a2
y2 b2
Байду номын сангаас
z2 c2
1
(2)
a2 b2 c2
所确定的曲面称为单叶双曲面.
三、椭圆抛物面
方程 x2 y 2 z ( p, q同号)
(5)
2 p 2q
所确定的曲面为椭圆抛物面.
若p>0，q>0.利用截痕法可作出其图形.
0，即截痕缩为一
点.当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
z=|h|(|h|>c)不相交.
因此椭球面介于 c z c 的范围内.
同理，用Oxz面截所给曲面的截痕为椭圆
x2 a2
z2 c2
1,
y 0.
用平行于Oxz面的平
面y=h截所给曲面，截痕
为椭圆
x2 a2
(1)
所确定的曲面称为椭球面.
用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆
x2 a2
y2 b2
1,
z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 a2
y2 b2
1
h2 c2 ,
z h.
当h=±c时，截痕为
x2 a2
y2 b2
高等数学课件D853二次曲面
(3) 截痕:与 z z1 ( z1 c)的交线为
椭圆：
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
也为椭圆.
的截痕
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c时为球面.
11/24/2019
高等数学课件
若p a2 0, q b2 0
x2 ay2 (bz 1 )2 2b
1 4b2
是单叶双曲面;
11/24/2019
高等数学课件
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例2 设空间曲面由双参数
x a(u )
y
b(u
)
u, R, a,b 0
z 2u
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
11/24/2019
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1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
当q 0, p 0时，
若p 0 z x2 py2 是椭圆抛物面;
若p 0 z x2 py2 是双曲抛物面;
当p 0, q 0时，
若q a2 0
x2
(az
1 )2 2a
九节二次曲面-PPT课件
单叶双曲面图形
z
o x
y
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面
o x
y
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z轴相合.
与平面 y y y b )的交线为双曲线. 1( 1
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y a c 轴上. y y 1
2 2 实轴与 x 轴平行, ( 1 ) y b , 1
虚轴与 z 轴平行.
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c k ) 2 (c k ) 2 c c z k | k |c 当k由0变到c时,椭圆由大变小, 最后缩成一点。
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
虚轴与 x 轴平行.
2 2 ( 2 ) y b , 实轴与 z 轴平行, 1
,b ,0 ) 的直线. ( 3 ) y b , 截痕为一对相交于点 (0 1
x z 0 , a c y b ( 4 ) y b , 1
x z 0 . a c y b
( x 0 ) （3）用坐标面 yoz ，x=k 与曲面相截
均可得抛物线. 同理当 p 时可类似讨论. 0 ,q 0
椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p 0 , q 0
p 0 , q 0
q 特殊地：当 p 时，方程变为
x y z 2p 2p
旋转而成的）
第九节 二次曲面 一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面. 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
z
o x
y
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面
o x
y
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z轴相合.
与平面 y y y b )的交线为双曲线. 1( 1
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y a c 轴上. y y 1
2 2 实轴与 x 轴平行, ( 1 ) y b , 1
虚轴与 z 轴平行.
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c k ) 2 (c k ) 2 c c z k | k |c 当k由0变到c时,椭圆由大变小, 最后缩成一点。
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
虚轴与 x 轴平行.
2 2 ( 2 ) y b , 实轴与 z 轴平行, 1
,b ,0 ) 的直线. ( 3 ) y b , 截痕为一对相交于点 (0 1
x z 0 , a c y b ( 4 ) y b , 1
x z 0 . a c y b
( x 0 ) （3）用坐标面 yoz ，x=k 与曲面相截
均可得抛物线. 同理当 p 时可类似讨论. 0 ,q 0
椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p 0 , q 0
p 0 , q 0
q 特殊地：当 p 时，方程变为
x y z 2p 2p
旋转而成的）
第九节 二次曲面 一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面. 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
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