2018年全国高考模拟文科数学分类汇编_三角函数和解三角形

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2018年全国3卷省份高考模拟理科数学分类汇编---三角函数

2018年全国3卷省份高考模拟理科数学分类汇编----三角函数 1.（云南玉溪模拟）已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）C A ．4- B ．4 C ．13-D ．132.（云南玉溪模拟）南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =.现有周长为))sin :sin :sin 11A B C =的ABC ∆，则其面积为（）AAB3.（云南玉溪模拟）若函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f π= ）DA ．函数()f x 的图象关于点(,0)4π对称B ．函数()f x 在[,]24ππ--上单调递增 C ．将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，可得函数2sin 2y x =的图象 D ．303()2f x dx π=⎰4. （昆明一中模拟）函数sin 4()(0,)62sin(2)2xf x x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦-的最大值是．解析：()sin 42sin 2cos 2sin 2π2cos 22sin(2)2x x x f x x x x ===-，由π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 得π20,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 2x ⎡∈⎢⎣⎦，所以()f x5.（昆明一中模拟）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若asinB bcosA =(I)求A ;(I)设函数()()2cos f x x x R =-∈,求()f B 的取值范围解：（1）由sin cos a B b A =及正弦定理得 sin sin sin cos A B B A =，因为在ABC △中，sin 0B ≠，所以sin cos A A =，即tan 1A =，所以π4A =；（2）因为2()cos cos f x x x x =-cos 2122x x +=-π1sin(2)62x =-- 所以π1()sin(2)62f B B =--由（1）知：3π4B C +=，所以3π04B <<，所以ππ4π2663B -<-<所以πsin(2)16B <-≤，即：1()2f B <≤所以()f B 的取值范围是12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦6.（西藏拉萨中学模拟）如果函数π()2sin()(3)4f x x ωω=+<的图象关于点(π4，0)成中心对称，那么函数()f x 的最小正周期是 DA ．π2B ．2π3C ．πD ．2π 7. （西藏拉萨中学模拟）在△ABC 中，3A π∠=，3BC =，6AB =，则C ∠= .8. （西藏拉萨中学模拟）将函数)(sin cos 3R x x x y ∈+=的图象向右平移 )0(>m m 个单位长度后，所得到的图象关于坐标原点对称，则 m 的最小值是（） CA.12π B. 6π C. 3πD. 65π9.(西藏拉萨中学模拟) 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知bac B C A -=-2cos cos 2cos（Ⅰ）求ACsin sin 的值；（Ⅱ）若cosB =41， b =2，求△ABC 的面积S ．解：（Ⅰ）由正弦定理设则===整理求得sin （A+B ）=2sin （B+C ）又A+B+C=π ∴sinC=2sinA ，即=2（Ⅱ）由余弦定理可知cosB==① 由（Ⅰ）可知==2② 再由b=2，①②联立求得c=2，a=1sinB==∴S=acsinB=．10. （西藏模拟）若，则（）BA ．B ．C ．D ．11. （西藏模拟）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（）C A ．B ．C ．D ．12.（西藏模拟）函数在的零点个数为________． 3 13.（黔东南模拟）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4=c ，则ABC ∆面积的最大值为 BA、B 、34 C 、32 D解析：由已知有222a b c ab +-=，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，由于(0,)C π∈，sin C =又22162a b ab ab ab ab =+-≥-=，则16ab ≤，11sin 1622ABC S ab C ∆=≤⨯=当且仅当4a b ==时等号成立.故选B .14. （贵阳市模拟）已知()23sin πα-=-,且,02πα⎛∈-⎫⎪⎝⎭，则()2tan πα-=（）AAB．C.．15. （贵阳市模拟）若函数()()0,06f x Asin x A πωω⎛⎫ ⎪>⎝⎭=->的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（） C1sin 3α=cos 2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC ∆2224a b c +-C =2π3π4π6π()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，A ．12 B ．14 D 16.（贵阳市模拟）在ABC ∆中，A B C 、、所对的边为 a b c 、、,2,3sinB sinA c ==,则ABC ∆面积的最大值为．317. （广西梧州市模拟）将函数()sin()f x x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图像向右平移6π个单位后，得到sin(2)6y x π=-的图像，则函数()f x 的单调增区间为（）AA ．[,],36k k k Z ππππ-+∈ B ．[,],63k k k Z ππππ-+∈ C. [,],44k k k Z ππππ-+∈ D ．2[,],63k k k Z ππππ++∈ 18. （广西梧州市模拟）已知tan()24x π+=-，则2sin 22cos x x += ．4519.（广西梧州市模拟）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos A B a b +=（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆，B 是钝角，求b 的最小值.解：（1）由已知得cos cos sin b A a B C +=，由正弦定理得sin cos cos sin sin 3B A B A BC +=，∴sin()sin A B B C +=，又在ABC ∆中，sin()sin 0A B C +=≠，∴sin B =，∴3B π=或23π.（2）由1sin 2ac B =sin B =得2ac =，又23B π=，2222cos b a c ac B =+-222226a c ac =++≥+=，当且仅当a c =时取等号，∴b20.（广西模拟）若角α 的终边经过点(1-，，则tan()3πα+=（）BA ．B ． 21.（广西模拟）我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设ABC △三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积公式”为S =若2sin 24sin a C A =，2(sin sin )()(27)sin a C B c b a A -+=-，则用“三斜求积公式”求得的S =（）DA B 22.（广西模拟）将函数sin 2cos2y x x =+的图象向左平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度后得到()f x 的图象，若()f x 在5()4ππ，上单调递减，则ϕ的取值范围为（）CA ．3()88ππ，B ．()42ππ， C.3[]88ππ， D ．[)42ππ，23. （云南模拟）已知函数f(x)=3sin xcos x+cos 2x+a.（1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间; （2）若f(x)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ上的最大值与最小值的和为23，求a 的值。

2018届高考数学(理)热点题型：三角函数与解三角形(含答案)

三角函数与解三角形热点一三角函数的图象和性质注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝Asin (ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【例1】已知函数f(x)＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值. (1)解因为f(x)＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－ 3. 所以f(x)的最小正周期为2π.(2)解因为0≤x≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3. 【类题通法】求函数y ＝Asin (ωx＋φ)＋B 周期与最值的模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝Asin (ωx＋φ)＋h 或y ＝Acos (ωx＋φ)＋h 的形式；第二步：由T ＝2π|ω|求最小正周期；第三步：确定f(x)的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值；第五步：明确规范地表达结论.【对点训练】设函数f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx (ω＞0)，且y ＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值； (2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值. 解 (1)f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωxcos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx－π3. 因为y ＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω＞0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 设t ＝2x －π3，则函数f(x)可转化为y ＝－sin t. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤t ＝2x －π3≤ 8π3，如图所示，作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3 上的图象，由图象可知，当t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时，sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，故－1≤－sin t ≤32，因此－1≤f(x)＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32. 故f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 热点二解三角形高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.【例2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos Aa＋cos Bb＝sin Cc.(1)证明：sin Asin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tan B.(1)证明在△ABC中，根据正弦定理，可设asin A＝bsin B＝csin C＝k(k>0).则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.代入cos Aa＋cos Bb＝sin Cc中，有cos Aksin A＋cos Bksin B＝sin Cksin C，变形可得sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B). 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin Asin B＝sin C.(2)解由已知，b2＋c2－a2＝65bc，根据余弦定理，有cos A＝b2＋c2－a22bc＝35.所以sin A＝1－cos2A＝45 .由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，所以45sin B＝45cos B＋35sin B，故tan B＝sin Bcos B＝4.【类题通法】(1)①在等式中既有边长又有角的正余弦时，往往先联想正弦定理；②出现含有边长的平方及两边之积的等式，往往想到应用余弦定理.(2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.【对点训练】四边形ABCD的内角A与C互补，且AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求角C的大小和线段BD的长度；(2)求四边形ABCD的面积.解(1)设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝1＋4－x2 2×2×1，在△BCD中，由余弦定理，得cos C＝9＋4－x2 2×2×3，∵A＋C＝π，∴cos A＋cos C＝0.联立上式，解得x＝7，cos C＝1 2 .由于C∈(0，π).∴C＝π3，BD＝7.(2)∵A＋C＝π，C＝π3，∴sin A＝sin C＝32.又四边形ABCD的面积SABCD ＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·ADsin A＋12CB·CDsin C＝32×(1＋3)＝23，∴四边形ABCD的面积为2 3.热点三三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，求a＋c的范围.解(1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，∴(2a ＋c)cos B ＋bcos C ＝0，∴cos B(2sin A ＋sin C)＋sin Bcos C ＝0，∴2cos Bsin A ＋cos Bsin C ＋sin Bcos C ＝0.即2cos Bsin A ＝－sin(B ＋C)＝－sin A.∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12. ∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c)2－ac≥(a＋c)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c)2，当且仅当a ＝c 时取等号.∴(a ＋c)2≤4，故a ＋c≤2.又a ＋c>b ＝3，∴a ＋c∈(3，2].即a ＋c 的取值范围是(3，2].【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【对点训练】已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b，且y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图象，若y ＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间. 解 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x ＋ncos 2x.因为y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝msin π6＋ncos π6，－2＝msin 4π3＋ncos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y ＝g(x)得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x. 由2kπ－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z. 所以函数y ＝g(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.。

解三角形、数列2018年全国数学高考分类真题(含答案)

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．23．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=﹣3∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B．二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=﹣63．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，当n≥2时，S n=2a n﹣1+1，②，﹣1由①﹣②可得a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6==﹣63，故答案为：﹣63三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，则（b n﹣b n）a n=4n﹣1，+1﹣b n=（4n﹣1）•（）n﹣1，即有b n+1可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，b n=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，相减可得b n=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得b n=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==﹣2．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，a n=2n﹣1，当q=﹣2时，a n=（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n﹣1，或a n=（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，S n===，由S m=63，得S m==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n===2n﹣1，由S m=63，得S m=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．。

2018年高考数学(理)一轮复习文档第三章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．2．六组诱导公式简记口诀：把角统一表示为k π2±α(k ∈Z )的形式，奇变偶不变，符号看象限．1．辨明三个易误点(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin 23α＋cos 23α＝1，sinα2cosα2＝tan α2.(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 2．三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A.35 B ．－35C.45D ．－45D 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝35，所以sin α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.4．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________．由已知，θ在第三象限，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－（－45）2＝－35.－355.教材习题改编已知tan θ＝2，则sin θ·cos θ＝________． sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25. 25同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度： (1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦．(1)(2016·高考全国卷丙)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825C ．1D.1625(2)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22 B. 2 C ．－22D ．－ 2【解析】 (1)法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. (2)因为sin α＋2cos α＝3，所以(sin α＋2cos α)2＝3，所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3，所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，所以tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3，所以2tan 2α－22tan α＋1＝0，所以tan α＝22. 【答案】 (1)A (2)A同角三角函数关系式及变形公式的应用(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．角度一知弦求弦1．(2017·雅安模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0，π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B.13 C ．－23D ．－13C (sin θ＋cos θ)2＝169，所以1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23.又因为θ∈(0，π4)，sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ＝－23.角度二知弦求切2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43 B.34 C ．－34D ．±34B 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.角度三知切求弦3．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________．因为sin α＝2sin β，① tan α＝3tan β， tan 2α＝9tan 2β.②由①2÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③ 由①2＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝38，所以cos α＝±64. ±64诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________．(2)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，则sin （－α＋3π2）cos （3π2＋α）tan 2（π－α）cos （π2＋α）sin （π2－α）等于________．(3)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. (2)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，由题知cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2，所以α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.【答案】 (1)1 (2)54 (3)－23(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦，统一名． ②用诱导公式，统一角．③用因式分解将式子变形，化为最简．1．(2017·福建省毕业班质量检测)若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝( )A.2425 B.1225C ．－1225D ．－2425D 由sin(π2＋α)＝cos α＝－35，且α∈(π2，π)，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，选项D 正确．2．sin(－1 071°)si n 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＝________．原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin (3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.故填0.3．已知cos(π＋α)＝－12，求sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n ∈Z )．因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.——方程思想求解三角函数值已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________．【解析】法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.又sin θcos θ＝－60169<0，所以sin θ>0，cos θ<0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.法二：同法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169. 齐次化切，得tan θtan 2 θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125.【答案】－125(1)本题利用方程思想法一：由sin θ＋cos θ、sin θcos θ的值构造一元二次方程，把sin θ与cos θ看作此方程的两根，即可求出sin θ与cos θ的值，便可求解．法二：利用三角函数的基本关系转化为关于tan θ的一元二次方程求解．(2)所谓方程思想就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A ．－25 B.25C.25或－25D ．－15A 因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，当α在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255cos α＝－55，所以sin αcos α＝－25；当α在第四象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255cos α＝55，所以sin αcos α＝－25，综上，sin αcosα＝－25，故选A.1．tan(－233π)的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33A A tan(－233π)＝tan(－8π＋π3)＝tan π3＝ 3.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.3．(2017·福建省毕业班质量检测)已知cos(α＋π2)＝13，则cos 2α的值等于( )A.79 B ．－79C.89D ．－89A 法一：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos α＝±223，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(±223)2－(－13)2＝79，故选A.法二：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×19＝79，故选A.4．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C.15D.25D 依题意得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 5．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5B 因为f (2 016)＝5.所以a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5，即a sin α＋b cos β＝1.所以f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在D 由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.7．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝________．原式＝cos αsin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 08．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________．因为tan A ＝23>0，所以A 为锐角，于是1＋tan 2A ＝1＋29＝119＝1cos 2A ，cos 2A ＝911，cos A ＝31111，sin A ＝tan A cos A ＝2211. 2211 9．sin 43π·cos 56π·tan(－43π)的值是________．原式＝sin(π＋π3)·cos(π－π6)·tan(－π－π3) ＝(－sin π3)·(－cos π6)·(－tan π3) ＝(－32)×(－32)×(－3)＝－334. －33410．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________． cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α，而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. －2311．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．(1)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以cos 2θ＝925.又π2<θ<π，所以cos θ＝－35.所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2 θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）· sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.13．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为() A ．－32 B.32C ．－34 D.34B 因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，所以cos α－sin α＝32. 14．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________．原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40° ＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40° ＝sin 50°－sin 40°si n 50°－sin 40° ＝1.115．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．(1)因为sin A ＋cos A ＝15，① 所以两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，所以sin A cos A ＝－1225. (2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75，② 所以由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43. 16．已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016的值． (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k ＋1）π－x ]＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ，k ∈Z )；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）]＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ＋1，k ∈Z )．综上得f (x )＝sin 2x . (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 21 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 016 ＝sin2π2 016＋cos 2π2 016＝1.。

2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—8

2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—8.三角函数、解三角形2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编7.三角函数、解三角形一、选择题2018年新课标Ⅰ文8题：已知函数$f(x)=2\cos x-\sin x+2$，则$f(x)$的最小正周期为$\pi$，最大值为3.2018年新课标Ⅰ文11题：已知角$\alpha$的顶点为坐标原点，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边上有两点$A(1,0)$，$B(2,b)$，且$\cos2\alpha=\frac{1}{5}$，则$a-b=\frac{1}{5}$。

2018年新课标Ⅱ文7题：在$\triangle ABC$中，$\cos C=\frac{5}{\sqrt{26}}$，$BC=1$，$AC=5$，则$AB=5\sqrt{2}$。

2018年新课标Ⅱ文10题：若$f(x)=\cos x-\sin x$在$[0,a]$是减函数，则$a$的最大值是$\frac{3\pi}{4}$。

2018年新课标Ⅲ文4题：若$\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{8}}$，则$\cos 2\alpha=-\frac{7}{8}$。

2018年新课标Ⅲ文6题：函数$f(x)=\frac{\tan x}{1+\tan^2 x}$的最小正周期为$\pi$。

2018年新课标Ⅲ文11题：triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$。

若$\triangle ABC$的面积为$4$，则$\cosC=\frac{3}{4}$。

2017年新课标Ⅰ文11题：triangle ABC$的内角$A$、$B$、$C$的对边分别为$a$、$b$、$c$。

已知$\sin B+\sin A(\sin C-\cos C)=\frac{3}{2}$，$a=2$，$c=2$，则$C=\frac{\pi}{3}$。

解三角形、数列2018全国数学高考分类真题[含答案解析]

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．23．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=﹣3∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B．二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=﹣63．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，=2a n﹣1+1，②，当n≥2时，S n﹣1由①﹣②可得a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6==﹣63，故答案为：﹣63三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，则（b n﹣b n）a n=4n﹣1，+1﹣b n=（4n﹣1）•（）n﹣1，即有b n+1可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，b n=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，相减可得b n=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得b n=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==﹣2．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，a n=2n﹣1，当q=﹣2时，a n=（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n﹣1，或a n=（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，S n===，由S m=63，得S m==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n===2n﹣1，由S m=63，得S m=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．。

2018版高考一轮总复习数学文科模拟演练第3章三角函数解三角形35和答案

(时间：40分钟)1．已知△ABC 的内角A 满足sin2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝( )A ．153B ．－153C ．52D ．－53答案 A解析因为sin2A ＝2sin A cos A >0，A 为△ABC 的内角，所以A 是锐角．所以sin A ＋cos A >0，又因为(sin A ＋cos A )2＝1＋sin2A ＝53，所以sin A ＋cos A ＝153.2．已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，则tan2α的值为( )A ．45B ．－237C ．247D ．－247答案 D解析 sin α＝35，cos α＝－45，则tan α＝－34，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53B ．－19C ．19D ．53答案 B解析由诱导公式，得cos(π－2α)＝－cos2α. 因为cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×49＝19，所以cos(π－2α)＝－19.4．函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A ．π2 B ．π C ．3π2D ．2π答案 B 解析∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π，故选B.5．已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A ．22B ． 2C ．－22D ．－ 2答案 A解析 ∵sin α＋2cos α＝3，∴(sin α＋2cos α)2＝3. ∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3，∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，∴tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3，∴2tan 2α－22tan α＋1＝0，∴tan α＝22，故选A. 6．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．答案π3解析因为y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以函数y ＝sin x －3cos x的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到．7．计算：2sin50°－3sin20°cos20°＝________.答案 1解析原式＝2sin 30°＋20° －3sin20°cos20°＝2sin30°cos20°＋2cos30°sin20°－3sin20°cos20°＝co s20°＋3sin20°－3sin20°cos20°＝1.8．已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.答案2 1解析 ∵2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin ( 2x ＋π4)＋1，∴A ＝2，b ＝1.9．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求f (x )的最大值及最小值．解 (1)f (x )＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x ＝cos2x －sin2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π≤2x ＋π4≤2k π，k ∈Z ，得k π－58π≤x ≤k π－π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－58π，k π－18π(k ∈Z )．由2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z . 得k π－18π≤x ≤k π＋38π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－18π，k π＋38π(k ∈Z )．(3)因为0≤x ≤π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，－2≤f (x )≤1.所以当x ＝0时，f (x )有最大值为1，当x ＝38π时，f (x )有最小值为－ 2.10．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．解 (1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cosπ4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210. 因此，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. (时间：20分钟)11．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A ．35B ．45C ．74D ．34答案 D解析因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos2θ<0，sin θ>0.因为sin2θ＝378，所以cos2θ＝－1－sin 22θ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫3782＝－18. 又因为cos2θ＝1－2sin 2θ，所以sin θ＝1－cos2θ2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝34. 12．若tan α＝34，α是第三象限角，则1－tan α21＋tanα2＝( )A ．－12B ．12C ．2D ．－2答案 D解析由tan α＝34，α是第三象限角，得sin α＝－35，cos α＝－45，所以1－tan α21＋tanα2＝cos α2－sin α2cosα2＋sinα2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2＝1－sin αcos α＝85－45＝－2.13．已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.答案－43解析因为θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43.14．已知函数f (x )＝cos x ·sin (x ＋π3 )－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x－3cos 2x ＋34 ＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即函数f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，14.所以函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.。

2018年全国高考模拟文科数学分类总汇编_三角函数和解三角形

2018年全国高考模拟文科数学分类汇编——三角函数和解三角形一、选择题1. 10．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足：（1）f （x ）+f （2﹣x ）=0，（2）f （x ﹣2）=f （﹣x ），（3）在[﹣1，1]上表达式为f （x ）=，则函数f （x ）与函数g （x ）=的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为（） A ．5B ．6C ．7D ．82. 11．（5分）已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f （x ）的图象（） A ．关于直线x=对称 B ．关于直线x=对称 C ．关于点（，0）对称 D ．关于点（，0）对称3. 4．若tanθ+=4，则sin2θ=（）A ．B ．C ．D ．4. 7.将函数()2sin 13f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则图象()y g x =的一个对称中心为 A ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.,13π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭5. 7．（5分）若将函数f （x ）=sin （2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g （x ）的图象，则函数g （x ）的单调递增区间为（）A ．[kπ﹣，kπ+]（k ∈Z ）B ．[kπ+，kπ+]（k ∈Z ）C ．[kπ﹣，kπ﹣]（k ∈Z ）D ．[kπ﹣，kπ+]（k ∈Z ）6. 11．函数()[]()cos ,x f x xe x ππ=∈-的图象大致是7. 8. 已知函数，则下列结论中正确的是A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于点对称C. 由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D. 函数在区间上单调递增8. 9. 函数，则函数的导数的图象是（）A. B. C. ． D.9. 8．（5分）已知函数y=Asin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜，x ∈R ）的图象如图所示，则该函数的单调减区间是（）A ．[2+16k ，10+16k]（k ∈Z ）B ．[6+16k ，14+16k]（k ∈Z ）C ．[﹣2+16k ，6+16k]（k ∈Z ）D ．[﹣6+16k ，2+16k]（k ∈Z ）10. 8．已知曲线1215:sin ,:cos 26C y x C y x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，则下列说确的是 A ．把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2C C.把曲线1C 向右平移3π个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线2C D ．把曲线1C 向右平移6π个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线2C 11. 10．函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭(其中e 为自然对数的底数)图象的大致形状是12. 9．已知曲线12:2cos ,:2cos2C y x C y x x =-，则下面结论正确的是 A ．把1C 各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线C 2B ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移至3π个单位长度，得到曲线C 2C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线C 2D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线C 213. 11．现有四个函数①sin y x x =⋅ ②cos y x x =⋅ ③cos y x x =⋅ ④2xy x =⋅的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①14. 6.已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，则 A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移3π个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D ．函数()f x 在区间()0,π上单调递增 15. 7．函数()()1cos 0f x x x x x x ππ⎛⎫=--≤≤≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为16. 11．已知函数2()2ln ||f x x x =-与()sin()g x x ωϕ=+有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数()g x =（）A ．πsin π2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．πsin π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．πsin 2x ⎛⎫+π ⎪⎝⎭D ．πsin 2π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭17. 3．已知1sin()3απ+=-，则tan 2απ⎛⎫- ⎪⎝⎭值为（）A ．22B ．22-C ．24D ．22±18. 5.为了得到函数2sin(3)4y x π=+的图象,只需把函数2sin3y x =的图象上所有的点（） A. 向左平移4π个单位 B. 向左平移12π个单位C. 向右平移4π个单位 D. 向右平移12π个单位 19. 6.已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示,则)(x f 的解析式是（） A. ()sin(3)3f x x π=+ B. ()sin(2)3f x x π=+C. ()sin()3f x x π=+ D. ()sin(2)6f x x π=+ 二、填空题1. 14．（5分）已知函数f （x ）=2sin （ϖx+φ）对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），则|f （）|= ．2. 15．设△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=4，A=，B=，则△ABC 的面积S= ．三、解答题1. 17．（10分）已知点，Q （cosx ，sinx ），O 为坐标原点，函数．（1）求函数f （x ）的最小值及此时x 的值；（2）若A 为△ABC 的角，f （A ）=4，BC=3，求△ABC 的周长的最大值．2. 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,sin sin a b c a B C ==，且．(I)求角A 的大小；(Ⅱ)若a =B 的平分线交AC 于点D ，求线段BD 的长度．3. 17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2ccosB=2a+b ．（1）求角C ；（2）若△ABC 的面积为，求ab 的最小值．4. 17. 在△中，分别为角的对边，.(Ⅰ) 求的大小； (Ⅱ) 若,, 求△的面积.5. 17．（12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，bsin （B+C ）+acosA=0，且c=2，sinC=．（1）求证：A=+B ；（2）求△ABC 的面积．6. 17．(12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,2sin 3.a b c b c B A ==，且 (1)求cos B 的值；(2)若2a ABC =∆，求的面积．7. 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，O 为原点，()221,0,2cos,sin ,2cos ,22OA OB OC βαα⎛⎫⎛=== ⎪ ⎝⎭⎝)sin ,0ββαπ<<<．(I)若,AB AC BC ⊥求；(Ⅱ)设()1,1,OD AB AC AD αβ=+=若求，的值.8. 17．（12分）在ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．（1）若223cos cos20A A +=，且ABC 为锐角三角形，7a =,6c =，求b 的值；（2）若a =,3A π=，求b c +的取值围．答案一、选择题1. 10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2﹣x）=0，（2）f（x﹣2）=f（﹣x），（3）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称，又关于直线x=﹣1对称；再结合g（x）的解析式画出这2个函数区间[﹣3，3]上的图象，数形结合可得它们的图象区间[﹣3，3]上的交点个数．【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．又f（x）在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，可得函数f（x）在[﹣3，3]上的图象以及函数g（x）=在[﹣3，3]上的图象，数形结合可得函数f（x）的图象与函数g（x）的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为6，故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象的对称性，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．2. 11．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【分析】根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴T==π，解得ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣），若此时函数关于原点对称，则φ﹣=kπ，即φ=+kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=﹣1时，φ=．即f（x）=sin（2x）．由2x=，解得x=+，k∈Z，故当k=0时，函数的对称轴为x=，故选：B【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．3. 4．若tanθ+=4，则sin2θ=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．【解答】解：sin2θ=2sinθcosθ=====。

2018年高考数学文科考点过关习题第三章三角函数解三角形与平面向量18和答案

考点测试18 同角三角函数基本关系式与诱导公式一、基础小题1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3 ＝－cos π3＝－12，故选C.2．α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)的值为( )A ．－45 B.45 C.35 D ．－35答案 B解析因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45，故选B. 3．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )A ．sin θ<0，cos θ>0B ．sin θ>0，cos θ<0C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0答案 B解析 sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0.4．点A (sin2013°，cos2013°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析注意到2013°＝360°³5＋(180°＋33°)，因此2013°角的终边在第三象限，sin2013°<0，cos2013°<0.所以点A 位于第三象限．5．已知sin θ＝－13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ的值是( )A.229 B ．－229 C ．－19 D.19答案 B解析 ∵sin θ＝－13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos θ＝1－sin 2θ＝223.∴原式＝－sin(π－θ)²(－cos θ)＝sin θcos θ＝－13³223＝－229.6．已知2tan α²sin α＝3，－π2<α<0，则sin α等于( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－12答案 B解析由2tan α²sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2<α<0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32.7．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α＝( )A.25 B ．－25 C.25或－25 D ．－15 答案 B解析由已知条件可得tan α＝－2，所以sin αcos α＝ sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25.8．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两个根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5 D ．－1－ 5 答案 B解析由题意得sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，解得m ≤0或m ≥4，所以m ＝1－5，故选B.9．已知tan140°＝k ，则sin140°＝( ) A.k 1＋k2B.11＋k 2 C ．－k 1＋k 2 D ．－11＋k 2答案 C解析因为k ＝tan140°＝tan(180°－40°)＝－tan40°，所以tan40°＝－k ，所以k <0，sin40°＝－k cos40°，sin140°＝sin(180°－40°)＝sin40°，因为sin 240°＋cos 240°＝1，所以k 2cos 240°＋cos 240°＝1，所以cos40°＝1k 2＋1，所以sin40°＝－kk 2＋1. 10．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2 答案 A解析由于1＋sin x cos x ²sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos x sin x －1＝12.11．若sin θcos θ＝18，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos θ－sin θ＝________.答案－32解析 (cos θ－sin θ)2＝cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－14＝34，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴cos θ<sin θ，∴cos θ－sin θ＝－32.12．化简 1－sin 2440°＋1－2sin80°cos80°＝________. 答案 sin80°解析由于1－sin 2440°＝1－sin 2360°＋80° ＝1－sin 280°＝cos 280°＝cos80°；1－2sin80°cos80°＝sin 280°＋cos 280°－2sin80°cos80°＝ sin80°－cos80° 2 ＝|sin80°－cos80°|＝sin80°－cos80°. 故原式＝cos80°＋sin80°－cos80°＝sin80°. 二、高考小题 13．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B ．－125 C.512 D ．－512答案 D解析因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.14．若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1 D.1625答案 A解析当tan α＝34时，原式＝cos 2α＋4sin αcos α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4³34916＋1＝6425，故选A.15．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 B解析由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，因为－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.16．sin750°＝________. 答案12解析 sin750°＝sin(2³360°＋30°)＝sin30°＝12.三、模拟小题17．已知锐角α满足5α的终边上有一点P (sin(－50°)，cos130°)，则α的值为( )A ．8° B．44° C．26° D．40°答案 B解析点P (sin(－50°)，cos130°)化简为P (cos220°，sin220°)，因为0°<α<90°，所以5α＝220°，所以α＝44°.故选B.18．1－2sin π＋2 cos π－2 等于( ) A ．sin2－cos2 B ．sin2＋cos2 C ．±(sin2－cos2) D ．cos2－sin2 答案 A 解析1－2sin π＋2 cos π－2＝1－2sin2cos2＝sin2－cos2 2＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.19．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．1 答案 A解析解法一：由sin α－cos α＝2，得22sin α－22cos α＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.∵α∈(0，π)，∴⎝⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，34π，∴α－π4＝π2，α＝34π，∴tan α＝－1. 解法二：由sin α－cos α＝2得1－2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝－1，∴(sin α＋cos α)2＝0，即sin α＋cos α＝0，由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin α＋cos α＝0可知sin α＝22，cos α＝－22，∴tan α＝sin αcos α＝－1.20．化简1＋sin α＋cos α＋2sin αcos α1＋sin α＋cos α的结果是( )A ．2sin αB ．2cos αC ．sin α＋cos αD ．sin α－cos α答案 C解析原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＝ sin α＋cos α 2＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＝sin α＋cos α sin α＋cos α＋11＋sin α＋cos α＝sin α＋cos α.21．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则下列结论正确的是( )A ．3≤m ≤9B ．3≤m <5C ．m ＝0或m ＝8D ．m ＝8答案 D解析因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以sin θ＝m －3m ＋5≥0 ①，cos θ＝4－2m m ＋5≤0②，且⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，整理得m 2－6m ＋9＋16－16m ＋4m 2 m ＋5 2＝1，即5m 2－22m ＋25＝m 2＋10m ＋25，即4m (m －8)＝0，解得m ＝0或m ＝8，又m ＝0不满足①②两式，m ＝8满足①②两式，故m ＝8.22. 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin 2θ－cos 2θ的值为( )A ．1B ．－725 C.725 D ．－2425答案 B解析解法一：由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，小正方形的边长为cos θ－sin θ，∵小正方形的面积是125，∴(cos θ－sin θ)2＝125，又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cos θ>sin θ，∴cos θ－sin θ＝15，又(cos θ－sin θ)2＝1－2cos θsin θ＝125，∴2sin θcos θ＝2425，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4925，∴sin θ＋cos θ＝75，∴sin 2θ－cos 2θ＝(sin θ－cos θ)(sin θ＋cos θ)＝－725，故选B.解法二：设直角三角形中较小的直角边长为x ，∵小正方形的面积是125，∴小正方形的边长为15，直角三角形的另一直角边长为x ＋15，又大正方形的面积是1，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋152＝12，解得x ＝35，∴sin θ＝35，cos θ＝45，∴sin 2θ－cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725，故选B.23．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝( ) A ．－79 B.79 C ．－29 D.29答案 A解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2³19－1＝－79，选A. 24．已知tan α＝2，则sin π＋α －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋cos π－α 的值为________．答案－3解析 sin π＋α －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋cos π－α ＝－sin α－cos αsin α－cos α＝－tan α－1tan α－1＝－3.一、高考大题本考点在近三年高考中未独立命题．二、模拟大题1．已知tan αtan α－6＝－1，求下列各式的值．(1)2cos α－3sin α3cos α＋4sin α；(2)1－3sin αcos α＋3cos 2α. 解由tan αtan α－6＝－1，得tan α＝3.(1)2cos α－3sin α3cos α＋4sin α＝2－3tan α3＋4tan α＝－715.(2)1－3sin αcos α＋3cos 2α ＝1－3sin αcos α＋3cos 2αcos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2α－3sin αcos α＋3cos 2αcos 2α＋sin 2α＝sin 2α－3sin αcos α＋4cos 2αcos 2α＋sin 2α＝tan 2α－3tan α＋4tan 2α＋1＝25.2．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两个根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及θ的值．解(1)⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12， ①sin θcos θ＝m2， ②sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)将①式两边平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32. ∴sin θcos θ＝34. 由②式得m 2＝34，∴m ＝32.(3)由(2)可知原方程变为 2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32，sin θ＝12.又θ∈(0,2π)，∴θ＝π3或θ＝π6. 3．已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin α1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α²cos α和sin α－cos α的值．解 (1)f (α)＝sin α－sin α² 1＋cos α 21－cos 2α－1＝sin α＋sin α²1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)解法一：由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α²cos α＋cos 2α＝125，即2sin α²cos α＝－2425，∴sin α²cos α＝－1225， ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α²cos α＝4925，又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0， ∴sin α－cos α<0，∴sin α－cos α＝－75. 解法二：联立方程⎩⎨⎧ sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝45，cos α＝－35.∵－π2<α<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－35，cos α＝45，∴sin α²cos α＝－1225，sin α－cos α＝－75. 4．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解

I 2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形一、选择题1.【2018全国二卷6】在中，，，则 A ．BCD ．2.【2018全国二卷10】若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．3.【2018全国三卷4】若，则 A ．B ．C ．D ．4．【2018全国三卷9】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A ．B ．C ．D ．5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A. 1B. 2C. 3D.46.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A 在区间35[,]44ππ上单调递增 B 在区间3[,]4ππ上单调递减 C 在区间53[,]42ππ上单调递增 D 在区间3[,2]2ππ上单调递减 7．【2018浙江卷5】函数y=||2x sin2x 的图象可能是ABC △cos 2C 1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6II A ． B ．C ．D ．二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________． 2．【2018全国二卷15】已知，，则__________．3.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为________．4.【2018北京卷11】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．5．【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是．6．【2018江苏卷13】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．7.【2018浙江卷13】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b=2，A=60°，sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，III 则sin B=___________，c=___________．三．解答题1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .2.【2018北京卷15】在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．3.【2018天津卷15】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小；（II ）设a=2，c=3，求b 和sin(2)A B -的值. 4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．IV 6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求c osβ的值． 7.【2018上海卷18】设常数a R ∈，函数f x （）=x x a 2cos 22sin + （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =-（）ππ-［，］上的解. 参考答案一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D二、填空题1. 2. 3. 3 4.23 5.π6- 6. 9 7.3721；三．解答题 1.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==. （2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.2.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cosB=–17，∴B ∈（π2，π），∴sinB==12-V 由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A，∴．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A=π3．（Ⅱ）在△ABC 中，∵sinC=sin （A+B ）11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sinC=h BC ，∴h=sin BC C ⋅=7=，∴AC边上的高为33．3.解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a<c ，故cos A =sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= 4.解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，． 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-VI （2）因为为锐角，所以．又因为，因此．因为，所以，因此，．5.解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH=10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD 的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP 的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则si nθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sinθ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k （sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．,αβ(0,π)αβ+∈cos()αβ+=sin()αβ+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+VII 设f （θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[来源:学§科§网]6.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 7. 解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ，当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。

(完整版)2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形一、选择题1.【2018全国二卷6】在中，，，，则 A ．BCD ．2.【2018全国二卷10】若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．3.【2018全国三卷4】若，则 A ．B ．C ．D ．4．【2018全国三卷9】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A ．B ．C ．D ．5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A. 1B. 2C. 3D.46.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A 在区间35[,]44ππ上单调递增 B 在区间3[,]4ππ上单调递减 C 在区间53[,]42ππ上单调递增 D 在区间3[,2]2ππ上单调递减 7．【2018浙江卷5】函数y=||2x sin2x 的图象可能是ABC △cos 2C =1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6A ．B ．C ．D ．二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________． 2．【2018全国二卷15】已知，，则__________．3.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为________．4.【2018北京卷11】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．5．【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是． 6．【2018江苏卷13】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．7.【2018浙江卷13】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．三．解答题1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，5BD =.sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，（1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC .2.【2018北京卷15】在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=–17．（△）求∠A ；（△）求AC 边上的高．3.【2018天津卷15】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小；（II ）设a=2，c=3，求b 和sin(2)A B -的值.4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cosβ的值．7.【2018上海卷18】设常数a R ∈，函数f x （）=x x a 2cos 22sin + （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解.参考答案一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D二、填空题1. 2. 3. 3 4.23 5.π6- 6. 9 7.3721；三．解答题 1.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠== （2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.12-2.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cosB=–17，∴B ∈（π2，π），∴．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A，∴．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A=π3．（Ⅱ）在△ABC 中，∵sinC=sin （A+B ）11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sinC=h BC ，∴h=sin BC C ⋅=7，∴AC边上的高为33．3.解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B ．又因为(0π)B ∈，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故πsin cos()6b A a B =-，可得sin A ．因为a<c ，故cos A =sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= 4.解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．5.解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH=10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD 的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP 的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sinθ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k （sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 5cos()αβ+=-225sin()1cos ()αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[来源:学§科§网]6.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 7. 解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ，1)2cos()2sin()(+-+-=-x x a x f 12cos 2sin ++-=x x a当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。

文科数学高考真题分类汇编三角函数的图象与性质答案

将 y = f (x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的
函数为 g (x ) ，则 g( x) = Asin x .
若
g
4
=
2
，则 g
4
=
Asin
4
=
2A= 2
2 ，即 A = 2 ，
所以
f
(x) = 2sin 2x ，则
f
3 8
=
2
sin
2
31．A【解析】 = 2 (x + ) [5 , 9 ] 不合题意排除 D． 4 44
= 1 (x + ) [3 , 5 ] 合题意排除 B，C． 4 44
另： (
−
)
2， (x +
) [
+
, +
]
[
, 3
]
2
42 4
4 22
得： + , + 3 1 5
2 42
42 2
4
32．B【解析】由于
4
4
2
即
=
k
+ 3
，所以
3
的最小正值是为
．
28
8
21．D【解析】函数 y
=
sin
x
的图象向左平移
个单位，得到函数
f
(x) =
sin( x +
)=
2
2
cos x 的图象， f (x) = cos x 为偶函数，排除 A； f (x) = cos x 的周期为2 ，排除 B；
因为 f ( ) = cos = 0 ，所以 f (x) = cos x 不关于直线 x = 对称，排除 C；故选 D．

2018年全国1卷省份高考模拟文科数学分类汇编--三角函数

2018年全国1卷省份高考模拟文科数学分类汇编---三角函数1.（2018江西模拟）在△ABC 中，若6=a ，b =4，B=2A ，则sinA 的值为（）DA ．36 B ．66 C ．632 D ．33 2.（2018江西模拟）设函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin )(πx x f )89,0(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πx ，若方程a x f =)(恰好有三个根，分别为321,,x x x )(321x x x <<，则32132x x x ++的值为（）DA ．πB ．43πC ．23π D ．47π 3.（2018湖南师大附中模拟）函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，||φ<π2)的最小正周期为π，若其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象(D)(A) 关于点⎝⎛⎭⎫7π12，0对称 (B) 关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0对称 (C) 关于直线x ＝7π12对称 (D) 关于直线x ＝－π12对称4.（2018湖南师大附中模拟）点A 从()1，0出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B 的坐标是⎝⎛⎭⎫－35，45，记∠B ＝α，则sin 2α＝__－2425__ . 【解析】由题意可得：sin α＝45，cos α＝－35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425. 5.（2018长沙模拟）设函数 )2<||0,>,0>)(sin()(πϕωϕωA x A x f +=的部分图象如图所示，则)0(f = DA. 3B. 23C.2 D. 16.(2018长沙模拟)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知22)(b c a c a +-=. (I) 求角B 的值；(II)设c a m -=2，若3=b ，求m 的取值范围.7.（2018武汉模拟）函数()sin(2)sin(2)33f x x x ππ=-++的最小正周期为（）CA ．2πB ．4πC ．πD ．2π 8.（2018武汉模拟）在钝角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4a =，3b =，则c 的取值范围是．(1(5,7)9.（2018武汉模拟）已知函数()2cos2f x x x a =++（a 为常数）（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若()f x 在[0,]2π上有最小值1，求a 的值.解:（1）1()2cos 2)2f x x x a =++2sin(2)6x a π=++222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈∴36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈∴()f x 单调增区间为[,]36k k ππππ-+，k Z ∈（1）02x π≤≤时，72666x πππ≤+≤1sin(2)126x π-≤+≤∴当2x π=时，()f x 最小值为11a -=∴2a =10.（2018河北邯郸模拟）函数()cos()6f x x ππ=-的图象的对称轴方程为（）CA ．2()3x k k Z =+∈ B ．1()3x k k Z =+∈ C ．1()6x k k Z =+∈ D ．1()3x k k Z =-∈11.（2018河北邯郸模拟）若sin()3sin()αβπαβ+=-+，,(0,)2παβ∈，则t a n t a n αβ=（）AA ．2B ．12 C ．3 D ．1312.（2018河北邯郸模拟）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin 20sin ab C B =，2241a c +=，且8cos 1B =.（1）求b ；（2）证明：ABC ∆的三个内角中必有一个角是另一个角的两倍. （1）解：∵sin 20sin ab C B =，∴20abc b =，即20ac =，则b 6==.（2）证明：∵20ac =，2241a c +=，∴4a =，5c =或5a =，4c =.若4a =，5c =，则2225643cos 2564A +-==⨯⨯，∴2co s 2c o s 1c o s 2B A A =-=，∴2B A =.若5a =，4c =，同理可得2B C =.故ABC ∆的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍.13.（2018安徽黄山模拟）已知,sin 2cos R ααα∈+=,则tan α= . 3或13-14.（2018安徽黄山模拟）已知函数21()2cos 2f x x x =--.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()0c f C ==，若sin 2sin B A =，求a b 、的值．解：(1) 211cos 21()2cos 2sin(2)12226x f x x x x x p+=--=--=--…3分由222,262k x k k Z pp p p p -+???，得,()63k x k k Z ppp p -+＃+? ∴函数()f x 的单调递增区间为[,]()63k k k Z p pp p -++?. ………………………6分 (2)由()0f C =，得sin(2)16C p -=， 110,2666C C p p pp <<\-<-<Q ， 2,623C C p p p-==.…………………………………………………………………8分又sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a = ①;由余弦定理得2222cos 3c a b ab p=+-，即223a b ab +-=，② 由①②解得1,2a b ==. ……………………12分15.（2018郑州模拟）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．解：（Ⅰ）由正弦定理可得：，从而可得：，即，又B为三角形内角，所以sinB≠0，于是，又A为三角形内角，所以．（Ⅱ）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，得：，所以，所以≤2+，即△ABC面积的最大值为2+．16.（2018河南开封模拟）在△ABC中，a=2，b=，B=，则A=（）D A．B．C．D．或【分析】由已知及正弦定理可求sinA=的值，由题意可得范围A∈（，π），进而可求A的值．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，b=，B=，∴由正弦定理可得：sinA===，∵A∈（，π），∴A=或．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．17.（2018河南开封模拟）若，则sin2α=（）A．B．C．D．【分析】由已知直接利用诱导公式及二倍角的余弦求解．【解答】解：∵，∴sin2α=﹣cos（）=﹣cos2（）=﹣[2﹣1]=1﹣=1﹣2×=．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是中档题．18.（2018河南开封模拟）已知函数，若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…+x n=（）＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1A． B．445πC．455πD．【分析】函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点，转化为函数与y=3的交点问题，求出函数f（x）的对称轴，根据f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．【解答】解：函数，令2x﹣=+kπ得x=+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T=π，0≤x≤，当k=30时，可得x=，∴f（x）在[0，]上有30条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数与y=3的交点x1，x2关于对称，x2，x3关于对称，…，即x1+x2=×2，x2+x3=×2，…，x n﹣1+x n=2×（）将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+...+2x28+x29=2（++...+）=（2+5+8+ (89)×=455π+x n=（x1+x2）+（x2+x3）+x3+…+x n﹣1+（x n﹣1+x n）=2则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1（）=455π，故选：C【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题19.（2018广东茂名模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（）A． B．．C．D．【分析】设f（x）的周期为T，由f（x1）=1，f（x2）=0，|x1﹣x2|min=，得，在由（）=，求出ϕ的值，结合三角函数的性质求解单调性．【解答】解：设f（x）的周期为T，由f（x1）=1，f（x2）=0，|x1﹣x2|min=，得，由f（）=，得sin（π+ϕ）=，即cosϕ=，又0＜ϕ＜，∴ϕ=，f（x）=sin（πx）．由，得．∴f（x）的单调递增区间为．故选：B．【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征的应用，解析式的求法．属于基础题．20.（2018广东茂名模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）结合题意，由余弦定理可得，变形可得，有C的范围，分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，由正弦定理分析可得sin∠CDA的值，即可得∠CDA的值，由三角形内角和定理可得∠ACD的值，进而分析可得△ABC是等腰三角形，且，由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若2c•cosB﹣b=2a，则有，整理得a2+b2﹣c2=﹣ab，，又在△ABC中，0＜C＜π，∴，即角C的大小为；（Ⅱ）由（Ⅰ），在△ADC中，AC=b=，AD=，由正弦定理得，∵在△ADC中，0＜∠CDA＜π，C为钝角，∴，故．∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴，∴△ABC是等腰三角形，，故△ABC的面积．【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，关键是求出C的大小．21.（2018广东佛山模拟）若sin （α+β）cosα﹣cos （α+β）sinα=，则cos2β= ﹣ ．【解答】解：∵sin （α+β）cosα﹣cos （α+β）sinα=sin[（α+β）﹣α]=sinβ=，则cos2β=1﹣2sin 2β=1﹣2•=﹣，故答案为：﹣．22.（2018广东佛山模拟）已知函数f （x ）=2cos 2x+2sinxcosx ．（Ⅰ）求函数f （x ）的最大值；（Ⅱ）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且f （C ）=2，c=，a=2，求△ABC 的面积．（Ⅱ）利用函数的关系式首先求出C 的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=2cos 2x+2sinxcosx ． =cos2x+1+sin2x ， =2sin （2x+）+1，则函数的最大值f （x ）max =3．（Ⅱ）△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且f （C ）=2，则：，解得：C=，由于：c=，a=2，利用余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，解得：b=3（负值舍去）．则：．23.（2018河北衡水模拟）若，，则角是（）D A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角24.（2018衡水模拟）已知向量，，若，则（）AA ．B ．C ．D ． 25.（2018河北衡水模拟）在中，角，，的对边分别为，，，且满足sin cos 0θθ⋅<tan 0sin θθ>θ(4sin ,1cos )a αα=-(1,2)b =-2a b ⋅=-22sin cos 2sin cos αααα=-11-27-12-ABC ∆A B C a b c．（1）求角的大小；（2）若，求的周长．解：（1）∵， ∴， ∴，由正弦定理，得，∴，∵，∴．（2）∵∴，由余弦定理，得，即，∴，∴的周长为．26.（2018济南模拟）若sin 4A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,4A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A 的值为（）B A ．35 B ．45 C ．35或45 D ．3427.（2018济南模拟）将函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x （）DA ．为奇函数，在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 B ．为偶函数，在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递222(2)()2cos a c a b c abc C --+=B ABC ∆2b =ABC ∆222(2)()2cos a c a b c abc C --+=222(2)cos 2a c b a c b C ac+--⨯=(2)cos cos a c B b C -=2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=2sin cos sin()sin A B B C A =+=sin 0A ≠60B =︒1sin 2ABC S ac B ∆==4ac =2222cos60b a c ac =+-︒2()3a c ac =+-216()a c =+4a c +=ABC ∆6a b c ++=增C ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称28.（2018济南模拟）在平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=，30B ∠=，AB =5BC =，则线段BD 的长度为 29.。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(09 解三角形)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（09解三角形）一、选择题1．（2018全国新课标Ⅰ理）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则（）A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 31. 答案：A解答：取2AB AC ==,则BC =∴区域Ⅰ的面积为112222S =⨯⨯=，区域Ⅲ的面积为231222S ππ=⋅-=-，区域Ⅱ的面积为22312S S π=⋅-=，故12p p =.2．（2018全国新课标Ⅱ文、理）在ABC △中，cos2C 1BC =，5AC =，则AB =（）A ．BCD ．2．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 12125C C =-=⨯-=-⎝⎭，所以22232cos 125215325c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，c ∴=A ．3．（2018全国新课标Ⅲ文、理）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π63．答案：C解答：2222cos 1cos 442ABCa b c ab C S ab C ∆+-===，又1s i n 2ABC S ab C ∆=，故t a n 1C =，∴4C π=.故选C.二、填空1．（2018北京文）若ABC △)222a c b +-，且C ∠为钝角，则B ∠=_________；c a的取值范围是_________．1．【答案】60o ；()2+∞,．【解析】)2221sin 2ABC S a c b ac B +-=V Q，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin cos B B ∴3B π∠=，则21sin cos sin sin 1132sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，3B π∠=，06A π∴<∠<，)1tan 0tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，，故()2,ca ∈+∞．2．（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．2．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，111a c+=，因此()11444559c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9．3．（2018浙江）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若ab =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．3．.答案：73 解答：由正弦定理sin sin a bA B =2sin B=，所以sin 7B =. 由余弦定理，222cos 2b c a A bc +-=，得214724c c+-=，所以3c =.4．（2018全国新课标Ⅰ文）△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．4.解答：根据正弦定理有：sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，∴2sin sin 4sin sin sin B C A B C =，∴1sin 2A =.∵2228b c a +-=，∴2224cos 2b c a A bc bc +-===，∴bc =，∴1sin 2S bc A ==.三、解答题1．（2018北京理）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．1．【答案】（1）π3A ∠=；(2) AC．【解析】（1）在ABC △中，17cosB =-Q ，π,2B ⎛⎫∴∈π ⎪⎝⎭，sin B ∴=由正弦定理得7sin sin sin a b A B A =⇒=，sin A ∴． π,2B ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭Q ，π0,2A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，π3A ∴∠=．（2）在ABC △中，()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+Q 1172⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．如图所示，在ABC △中，sin hC BC=Q，sin 7h BC C =⋅=， AC ∴．2．（2018天津理）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小；（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.2．【答案】（1）π3；（2）b =，()sin 2A B -=【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由sin cos 6πb A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得sin cos 6πa B a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin co πs 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tan B =．又因为()0,πB ∈，可得π3B =．（2）在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，π3B =，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．所以，()11sin 2sin 2cos cos2sin 27A B A B A B -=-=-=3．（2018全国新课标Ⅰ理）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =BC .3.答案：（1；（2）5. 解答：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得：52sin 45sin ADB =∠,∴sin 5ADB ∠=,∵90ADB ∠<,∴cos 5ADB ∠==.（2）2ADB BDC π∠+∠=,∴cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠， ∴cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠,∴222cos 2DC BD BC BDC BD DC+-∠=⋅⋅,2=∴5BC =. 古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

精编2018版高考一轮总复习数学文科模拟演练第3章三角函数解三角形33和答案

(时间：40分钟)1．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋πD ．y ＝sin|x |答案 B解析注意到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π3时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①②. 2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈，∴y max ＋y min ＝2－ 3.3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得的线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( )A ．0B ．3C ．1D ． 3答案 D解析由条件可知，f (x )的周期是π4.由πω＝π4，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π12＝tan π3＝ 3.4．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z )C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z )D ．R 答案 C解析 ∵cos x －32≥0, 得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2x (x ∈)的递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3答案 A解析首先将函数化为y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(x ∈)，令t ＝2x －π6，x 增大，t 增大，所以为求函数的增区间，须研究y ＝2sin t 的减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z 得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，所以k ＝0时得⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，故选A.6．函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________.答案 5 3π4＋2k π(k ∈Z )解析函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．7．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值是________．答案 2解析由题意得ω×π6＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，ω＝6k ＋2(k ∈Z )，∵ω∈N *，所以ω的最小值是2.8．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值为________．答案32解析因为f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以T 4≤π3，即π2ω≤π3.所以ω≥32，即ω的最小值为32.9．设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、周期和单调区间； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．解 (1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠5π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠5π3＋2k π，k ∈Z. 因为ω＝12，所以周期T ＝πω＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．(2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )．解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．所以不等式－1≤f (x )≤3的解集是 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解 ∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0.∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .(时间：20分钟)11．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则|φ|的最小值是( )A ．π4B ．π3C ．π6D ．π2答案 A解析由题意可知，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，故φ＝k π－π4，k ∈Z .当k ＝0时，φ＝－π4，此时|φ|＝π4为最小值，选A. 12．若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34解析由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z .因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，2π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－πω，πω. 所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34.13．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．答案 (3，2)解析令y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin (x ＋π3 )＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2.14．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称．(1)求φ，ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间；(3)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，求f (x )的最大值与最小值．解 (1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ＝π2，即f (x )＝cos ωx .因为图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0对称，所以ω×3π＝π＋k π，k ∈Z ，且0<ω<1，所以ω＝23.(2)由(1)得f (x )＝cos 23x ，由－π＋2k π≤23x ≤2k π且k ∈Z 得，3k π－3π2≤x ≤3k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π－3π2，3k π，k ∈Z .(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π2，所以23x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3，当23x ＝0时，即x ＝0，函数f (x )的最大值为1，当23x ＝－π2时，即x ＝－3π4，函数f (x )的最小值为0.。